Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade Math – Algèbre 02 – Exercice 31
Soit x,y,z des réels, Tel que:
x, y, z> 0 & x≤2 & y≤3 & x+y+z=11
Montrer que: xyz ≤36.
* on a
ab ≤ ((a+b)/2)²
((a+b)/2)² – ab = (a-b)² / 4 ≥ 0
* de même pour
abc ≤ ((a+b+c)/3)³ ①
* on a :
xyz=(3x྾2y྾z )/ 6
on pose:
a=3x, b=2y , c=z
abc=6xyz
①:abc ≤ ((a+b+c)/3)³
6xyz≤(3x+2y+z)/3)³
6xyz≤(2x+y+11)³/27
xyz≤(2x+y+11)³/162 ②
*or on a:
x≤2 & y≤3
2x+y+11≤18
②: xyz≤18³/162
Donc: xyz≤36