Sujet maths Bac Série D PDF 2013

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O, I, J),

on désigne par K, A et B les points d’affixes respectives

\(z_{1}=2, z_{2}=4+2 i\) et \(z_{3}=2+4 i .\) L’unité graphique est \(2 cm\)

1- a) Placer les points K,A et B.

b) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe:

\(\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}\)

2- On note S la similitude directe de centre K qui transforme A en B.

a) Démontrer que:

l’écriture complexe de S est : \(z ‘=(1+i) z-2 i\)

b) Déterminer les affixes respectives des points I’ et J’

 images respectives des points I et J puis placer I’ et J’.

3- Déterminer:

 le rapport et une mesure de l’angle orienté de la similitude directe S.

4- Soit (C) le cercle de centre \(Ω(1;1)\) et de rayon 2

a) Tracer (C).

b) Déterminer le centre et le rayon de (C’), image de (C) par S.

c)Construire \(( C ‘)\)

5-a) Déterminer puis construire I’image par \(S\) de la droite (IJ).

On pourra caractériser l’image par S de la droite (IJ) par deux de ses points.

b) On désigne par E le point d’intersection de (C)

et la droite (IJ) d’abscisse négative.

Placer E et l’image E ‘ de E par \(S\).

Justifier la position du point E ‘

On considère la suite numérique \((u)\) définie par:

\(u_{0}=\sqrt{2}\) et ∀ n∊IN:  \(n, u_{n+1}=2+\frac{1}{2} u_{n}\)

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).

L’unité graphique est 2 cm.

1- Déterminer les valeurs exactes de \(u_{1}\) et \(u_{2}\)

2- Soit \(f\) la fonction définie par:

 \(f(x)=\frac{1}{2} x+2\) et de représentation graphique (D).

a) Tracer (D) et la droite ( \(Δ\) ) d’équation \(y=x\)

b) Placer \(u_{0}\) sur l’axe (OI).

c) A l’aide de (D) et \((Δ),\)

placer les termes \(u_{1}, u_{2}\) et \(u_{3}\) de la suite \((u)\) sur l’axe (OI).

3- a) Démontrer par récurrence que ∀ n∊IN: \(n, u_{n} ≤ 4\)

b) Démonter que la suite \((u)\) est croissante.

c) En déduire que la suite \((u)\) est convergente.

4. On considère la suite ( \(v\) ) définie par:

∀ n∊IN : \(v_{n}=u_{n}-4\)

Démontrer que la suite ( \(v\) ) est une suite géométrique

dont on précisera le premier terme et la raison

5- On pose, pour tout nombre entier naturel n :

\(T _{n}=v_{0}+v_{1}+…+v_{n}\)

la somme des \(n+1\) premiers termes de la suite \((v)\)

\(S _{n}=u_{0}+u_{1}+…+u_{n}\)

la somme des \(n+1\) premiers termes de la suite \((u)\)

a) Déterminer une expression de \(T _{n}\) en fonction de \(n\)

b) Justifier que: \(S _{n}=2(\sqrt{2}-4)(1-\frac{1}{2^{n+1}})+4(n+1)\)

c)Déterminer la limite de \(S_{n}\)

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).

L’unité graphique est 2 cm.

On considère la fonction \(f\) dérivable et définie sur ]-∞ ; 1[ par:

f(x)=x²-1+ln(1-x)

 On note (C) la courbe représentative de \(f\)

1- a) Calculer: lim_{x ⟶-∞} \(f(x)\)

b)Calculer: \(\lim _{x ⟶-∞} \frac{f(x)}{x}\)

puis donner une interprétation graphique du résultat.

c)Calculer la limite de \(f\) à gauche en 1

puis donner une interprétation graphique du résultat.

2- a) Pour tout nombre réel  x de l’intervalle ]-∞ ;1[ calculer  f  ‘(x).

b) Démontrer que \(f\) est strictement décroissante sur ]-∞;1[

c) Dresser le tableau de variation de \(f\)

3- a) Démontrer que l’équation (E):

x∊]-∞;1 [, f(x)=0  admet une solution unique α.

b) Justifier que -0,7<α<-0,6

4- a) Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à (C)

 au point d’abscisse 0 est: y=-x-1

b) On donne le tableau de valeurs suivant:

Tracer (T) et (C).

On pourra faire la figure dans la partie du plan caractérisée par:

 \(\{\begin{array}{l}-3 ≤ x ≤ 5 \\ -4 ≤ y ≤ 6\end{array}.\)

5- On designe par \(A\):

 l’aire de la partie du plan délimitée par (C), la droite (OI)

et les droites d’équations respectives x= α et x=0

a) Calculer:

 \(\int_{α}^{0}ln(1-x) dx\) à l’aide d’une intégration par parties.

b) Démontrer que la valeur de \(A\) en unités d’airé est:

 \(A =\frac{α^{3}}{3}-2α-(1-α) ln (1-α)\)

c) Déterminer en cm²:

 l’arrondi d’ordre 2 de la valeur de \(A\) pour \(\alpha=-0,65\)

6- Soit \(f^{-1}\) la bijection réciproque de \(f\)

et (C’) la courbe représentative de \(f^{-1}\) dans le plan muni du repère ( O, I, J)

a) Calculer \(f(-1)\)

b) Démontrer que:

le nombre dérivé de \(f^{-1}\) en ln2 existe puis le calculer.

c) Construire la courbe (C’)

et sa tangente ( \(Δ\) ) au point d’abscisse \(\ln 2\) sur la figure de la question \(4-b\) ).