Examen math Bac 2 SM 2020 Préparation 04

Durée de l’épreuve 4h

L’épreuve est composée de Quatre exercices indépendants entre eux :

* Suite Arithmétique (3 points )

* Structures Algébriques (3 points )

* Nombres Complexes (4 points )

* Suite Numérique (5.5 points )

* Analyse (4.5 points )

* Suite Arithmétique (3 points )

Soient p et q deux entiers naturels premiers

tels que: p ≤ q et

10^{p + q - 1} \equiv 1 [p q]

1)- a) Montrer que:

p \land 10 = 1

6) En déduire que:

10^{p - 1} \equiv 1 [p]

10^{q} \equiv 1 [p]

2) -a) Montrer que:

(p - 1) \land q = 1

6)- Prouver que: p=3

puis en déduire que

10^{q + 2} \equiv 1 [q]

3)- a) Décomposer

10^{3} - 1

en facteurs premiers.

b) Prouver que : q∈{3 ; 37}

* Structures Algébriques (3 points )

Dans

M_{2} (R)

on considére le sous-ensemble :

$H = {M (x) = (\begin{array}{ll} x & x \\ 0 & 0 \end{array}) / x ∊ Z}$

1) Montrer que:

(H, +)

est un groupe commutatif.

2)-a) Montrer que:

H

est une partie stable

d e (M_{2} (R), \times)

-

Montrer que:

(H, +, \times)

est un anneau unitaire

en précisant l’élément neutre de

(H, \times)

3) Montrer que l’anneau

(H, +, \times)

est intègre.

4) -a) soit x ∊Z, Montrer que:

la matrice

M (x)

est inversible dans

(H, +, \times)

si et Seulement si : x ∊{-1;1\}

6) l’anneau

(H, +, \times)

est-il un corps ? justifier votre réponse.

* Nombres Complexes (4 points )

Ces parties I et II sont indépendantes

partie I:

On considère dans l’ensemble ℂ l’équation :

(E) : z^{2} - (1 + a) (1 + i) z + (1 + a^{2}) i = 0

Où

a ∊ ℂ - {- i; i}

1) Vérifier que:u=a+i est solution de

(E)

2) En déduire la deuxième solution v de

(E)

puis montrer que: |u|+|v| ≥ 2

3) – Déterminer la nature de l’ensemble des points

M (a)

tels que: |u|+|v|=2

4)- On suppose dans cette question que: |a|=1

a) Montrer que:

\frac{u}{v} ∊ R

6) – Montrer que:

u^{2} = a [(a - \bar{a}) + 2 i]

et que : arg(u) ≡

\frac{1}{2}

+arg (a)+

\frac{π}{4} [2 π]

partie II:

Dans te plan complexe muni d’un repère orthonormé direct

(O, \vec{u}, \vec{v}), O n

Considère les points

M, M_{1}

M_{2}

d’affixes respectifs :

a, z_{1} = (1 + i) a + 2 i

z_{1} = (1 - i) a + 2 i

1)- a) Vérifier que:

z_{2} = - i z_{1} - 2 + 2 i

6) En déduire que:

M_{2} = r (M_{1})

Où

r

est une rotation dont

on déterminera L’angle et l’affixe de son centre

Ω

2) On suppose que

a \neq 0

et on note I le milieu du segment

[M_{1} M_{2}]

a) Montrer que:

I = t (M_{1})

Où

t

est une translation

on déterminera l’affixe De son vecteur.

6) Montrer que:

(I Ω) ⊥ (M_{1} M_{2})

3) a) Montrer que

: \frac{z_{1} - a}{z_{2} - a} ∊ i R \Leftrightarrow | a | = 2

b) En déduire l’ensemble des points

M (a)

du plan complexe

pour que les points

Ω, M, M_{1}

M_{2}

sont cocycliques.

* Suite Numérique (5.5 points )

I- Soit n∊IN* et $f_{n}$ la fonction définie sur $R^{* +}$ par:
$\forall x ∊ R^{* +}$ : $f_{n} (x) = (x - 1)^{n} l n x$
1) a)Montrer que l’équation :
$(E) : f_{n} (x) = 1$ admet une unique solution $a_{n}$
dans intervalle [1;+∞[ et que: $2 < a_{n} < e$
6)- Montrer que:
la suite $(a_{n})_{n ∊ I N *}$ est strictement décroissante,
puis en déduire
Qu’elle est convergente.
2) On pose : $L = lim_{n ➝ + \infty} a_{n}$
a) Montrer que : ∀ n∊IN* : $f_{n} (L) \leq 1$
6)- Montrer que : $L = 2$ ( On pourra raisonner par (absurde).
II- soient $(u_{n})_{n ∊ I N *}$ et $(v_{n ∊ I N})$ les suites
définies par ∀ n ∊IN*:
$u_{n} = \int_{1}^{2} f_{n} (x) d x$
$v_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k + 1}$
1) a) Montrer que:
∀ n ∊IN*: $(n + 1) u_{n} = \ln 2 - \int_{1}^{2} \frac{(x - 1)^{n + 1}}{x} d x$
6) En deduire que:
∀ n ∊IN*: $\frac{1}{2 (n + 2)} \leq \ln 2 - (n + 1) u_{n} \leq \frac{1}{n + 2}$
Puis Déterminer la limite de la suite $((n + 1) u_{n})_{neve}$
2)- Soit n∊IN* On pose :
$S_{n} (x) = 1 - (x - 1) + (x - 1)^{2} - \dots + (- 1)^{n} (x - 1)^{n}$ et $x > 0$
a) $-$ Montrer que : $S_{n} (x) = \frac{1 - (- 1)^{n + 1} (x - 1)^{n + 1}}{x}$
6) $-$ En déduire que :

(\forall n ∊ N^{*}); \ln 2 - v_{n} = (- 1)^{n + 1} [\ln 2 - (n + 1) u_{n}]

et calculer sa limite de la suite

(v_{n})_{n c \lor}

* Analyse (4.5 points )

Soit $F$ la fonction definie sur IR+ par:
∀ x∊IR*+: $F (x) = e^{- x^{2}} \int_{0}^{x} t^{2} e^{- t^{2}} d t$
1- a) Montrer que:
∀ x∊IR*+: $0 \leq F (x) \leq \frac{1}{3} x^{3} e^{- x^{2}}$
6) Prouver que:
$lim_{x ➝ + \infty} \frac{1}{3} x^{3} e^{- x^{2}} = 0$
Puis en déduire $lim_{x ➝ + \infty} F (x)$
2) Montrer que: F est dérivable sur IR+ et que ∀x∊IR+:

F ‘ (x) = x e^{- x^{2}} G (x)

Où G est la fonction définie sur ∀ IR+ par:

G (x) = x e^{- x^{2}} - 2 \int_{0}^{x} t^{2} e^{- t^{2}} d t

3) a) Déterminer:

la monotonie de

G

sur

[0; \frac{1}{2}]

et sur

[\frac{1}{2}; + \infty]

b) justifier que

\forall x ∊] 0; \frac{1}{2}]

G (x) > 0

4) 0n considère la fonction

H

définie sur [0;1] par:
H(0)=0 et ∀x∊] 0;1]:

H (x) = F - l n x

a) Montrer que:
H satisfait les conditions du théorème de Rolle sur [0;1]
6) En déduire que: ∃! a∊IR*+:

F ‘ (a) = 0

et que

a > \frac{1}{2}

5) Prouter que: ∀x∊IR*+:

F (x) \leq \frac{1}{2} a e^{- 2 a^{2}}