Examen math Bac 2 SM 2020 Préparation 04

Durée de l’épreuve 4h

L’épreuve est composée de Quatre exercices indépendants entre eux :

* Suite Arithmétique (3 points )

* Structures Algébriques (3 points )

* Nombres Complexes (4 points )

* Suite Numérique (5.5 points )

* Analyse (4.5 points )

* Suite Arithmétique (3 points )

Soient p et q deux entiers naturels premiers

tels que: p ≤ q et \(10^{p+q-1} ≡ 1[p q]\)

1)- a) Montrer que: \(p ∧ 10=1\)

6) En déduire que:

\(10^{p-1} ≡ 1[p]\) et \(10^{q} ≡ 1[p]\)

2) -a) Montrer que: \((p-1) ∧ q=1\)

6)- Prouver que: p=3

puis en déduire que \(10^{q+2} ≡ 1[q]\)

3)- a) Décomposer \(10^{3}-1\) en facteurs premiers.

b) Prouver que : q∈{3 ; 37}

* Structures Algébriques (3 points )

Dans \(M _{2}( R )\) on considére le sous-ensemble :

\(H =\{M(x)=(\begin{array}{ll}
x & x \\
0 & 0
\end{array}) / x ∊Z \}\)

1) Montrer que: \(( H ,+)\) est un groupe commutatif.

2)-a) Montrer que:

\(H\) est une partie stable \(d e( M _{2}( R ), ×)\)

6) \(-\) Montrer que: \(( H ,+, ×)\) est un anneau unitaire

en précisant l’élément neutre de \(( H,×)\).

3) Montrer que l’anneau \(( H ,+, ×)\) est intègre.

4) -a) soit x ∊Z, Montrer que:

la matrice \(M(x)\) est inversible dans \(( H ,+, ×)\)si et Seulement si : x ∊{-1;1\}

6) l’anneau \(( H ,+, ×)\) est-il un corps ? justifier votre réponse.

* Nombres Complexes (4 points )

Ces parties I et II sont indépendantes

partie I:

On considère dans l’ensemble ℂ l’équation :

\((E): z^{2}-(1+a)(1+i) z+(1+a^{2}) i=0\) Où \(a ∊ ℂ-\{-i;i\}\)

1) Vérifier que:u=a+i est solution de \((E)\)

2) En déduire la deuxième solution v de \((E)\)

puis montrer que: |u|+|v| ≥ 2

3) – Déterminer la nature de l’ensemble des points \(M(a)\)

tels que: |u|+|v|=2

4)- On suppose dans cette question que: |a|=1

a) Montrer que: \(\frac{u}{v}∊R\)

6) – Montrer que: \(u^{2}=a[(a-\bar{a})+2 i]\)

et que : arg(u) ≡ \(\frac{1}{2}\)+arg (a)+\(\frac{π}{4}[2 π]\)

partie II:

Dans te plan complexe muni d’un repère orthonormé direct

\((O,\vec{u}, \vec{v}), O n\)

Considère les points \(M, M_{1}\) et \(M_{2}\) d’affixes respectifs :

\(a, z_{1}=(1+i) a+2 i\) et \(z_{1}=(1-i) a+2 i\)

1)- a) Vérifier que: \(z_{2}=-i z_{1}-2+2 i\)

6) En déduire que: \(M_{2}=r (M_{1})\) Où \(r\) est une rotation dont

on déterminera L’angle et l’affixe de son centre \(Ω\).

2) On suppose que \(a≠0\) et on note I le milieu du segment \([M_{1} M_{2}]\)

a) Montrer que: \(I=t(M_{1})\) Où \(t\) est une translation

on déterminera l’affixe De son vecteur.

6) Montrer que: \((I Ω) \perp(M_{1} M_{2})\)

3) a) Montrer que \(: \frac{z_{1}-a}{z_{2}-a} ∊i R ⇔|a|=2\)

b) En déduire l’ensemble des points \(M(a)\) du plan complexe

pour que les points\(Ω,M,M_{1}\) et \(M_{2}\) sont cocycliques.

* Suite Numérique (5.5 points )

I- Soit n∊IN* et \(f_{n}\) la fonction définie sur \(R^{*+}\) par:
\(∀ x∊R ^{*+}\): \(f_{n}(x)=(x-1)^{n}ln x\)
1) a)Montrer que l’équation :
\((E): f_{n}(x)=1\) admet une unique solution \(a_{n}\)
dans intervalle [1;+∞[ et que: \(2<a_{n}<e\)
6)- Montrer que:
la suite \((a_{n})_{n∊IN*}\) est strictement décroissante,
puis en déduire
Qu’elle est convergente.
2) On pose : \(L=\lim _{n➝+∞} a_{n}\)
a) Montrer que : ∀ n∊IN* : \( f_{n}(L) ≤ 1\)
6)- Montrer que : \(L=2\) ( On pourra raisonner par (absurde).
II- soient \((u_{n})_{n∊IN*}\) et \((v_{n∊IN})\) les suites
définies par ∀ n ∊IN*:
\(u_{n}=\int_{1}^{2} f_{n}(x) dx\)
\(v_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k+1}\)
1) a) Montrer que:
∀ n ∊IN*: \((n+1)u_{n}=\ln 2-\int_{1}^{2} \frac{(x-1)^{n+1}}{x} d x\)
6) En deduire que:
∀ n ∊IN*: \(\frac{1}{2(n+2)} ≤ \ln 2-(n+1) u_{n} ≤ \frac{1}{n+2}\)
Puis Déterminer la limite de la suite \(((n+1) u_{n})_{\text {neve }}\)
2)- Soit n∊IN* On pose :
\(S_{n}(x)=1-(x-1)+(x-1)^{2}-\ldots+(-1)^{n}(x-1)^{n}\) et \(x>0\)
a) \(-\) Montrer que : \(S_{n}(x)=\frac{1-(-1)^{n+1}(x-1)^{n+1}}{x}\)
6) \(-\) En déduire que :

\((∀ n ∊N ^{*}) ; \ln 2-v_{n}=(-1)^{n+1}[\ln 2-(n+1) u_{n}]\)

et calculer sa limite de la suite \((v_{n})_{n c \vee}\)

* Analyse (4.5 points )

Soit \(F\) la fonction definie sur IR+ par:
∀ x∊IR*+: \(F(x)=e^{-x^{2}} \int_{0}^{x} t^{2} e^{-t^{2}} dt\)
1- a) Montrer que:
∀ x∊IR*+: \(0 ≤ F(x)≤ \frac{1}{3} x^{3} e^{-x^{2}}\)
6) Prouver que:
\(\lim _{x➝+∞} \frac{1}{3} x^{3} e^{-x^{2}}=0 \)
Puis en déduire \(\lim _{x➝+∞} F(x)\)
2) Montrer que: F est dérivable sur IR+ et que ∀x∊IR+:

\( F ‘(x)=x e^{-x^{2}} G(x)\)
Où G est la fonction définie sur ∀ IR+ par:
\(G(x)=x e^{-x^{2}}-2 \int_{0}^{x} t^{2} e^{-t^{2}} dt\)
3) a) Déterminer:

la monotonie de \(G\) sur \([0;\frac{1}{2}]\) et sur \([\frac{1}{2};+∞]\)
b) justifier que \( ∀x∊] 0;\frac{1}{2}]\) : \( G(x)>0\)

4) 0n considère la fonction \(H\) définie sur [0;1] par:
H(0)=0 et ∀x∊] 0;1]: \( H(x) = F – lnx\)

a) Montrer que:
H satisfait les conditions du théorème de Rolle sur [0;1]
6) En déduire que: ∃! a∊IR*+: \(F ‘(a)=0 \)

et que \(a>\frac{1}{2}\)
5) Prouter que: ∀x∊IR*+: \(F(x)≤\frac{1}{2} a e^{-2 a^{2}}\)