Sujet maths Bac Série D 2015

* Exercice 1

Partie I

On considère la fonction

P

définie sur

C

par :

\forall z \in C, P (z) = z^{3} - (3 + 2 i) z^{2} + (1 + 5 i) z + 2 - 2 i

a

) Calculer

P (i)

b) Déterminer deux nombres complexes

a

b

tels que :

P (z) = (z - i) (z^{2} + a z + b)

2. Résoudre dans

C,

l’équation :

z^{2} - (3 + i) z + 2 + 2 i = 0

3. En déduire les solutions dans C de l’équation (E) :

P (z) = 0

Partie II

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

(O; \vec{u}, \vec{v})

d’unité

5 c m

On pose :

z_{0} = 2

\forall n \in P, z_{n + 1} = \frac{1 + i}{2} z_{n}

On note

A_{n}

le point du plan d’affixe

z_{n}

1. a) Calculer

z_{1}

z_{2}

b) Placer les points

A_{0}, A_{1}

A_{2}

dans le plan complexe.

2. On considère la suite

U

définie par:

\forall n \in N, U_{n} = | z_{n + 1} - z_{n} |

a) Justifier que:

\forall n \in N, U_{n} = \frac{\sqrt{2}}{2} | z_{n} |

b) Démontrer que:

U

est une suite géométrique de raison

\frac{\sqrt{2}}{2}

et de premier terme

\sqrt{2}

c) Exprimer

U_{n}

en fonction de

n

3. On désigne par

A_{0} A_{1} + A_{1} A_{2} + \dots . + A_{n} - 1 A_{n}

la longueur de la ligne brisée

A_{0} A_{1} A_{2} \dots A_{n} - 1 A_{n}

(n \in N^{*})

On pose

\forall n \in N^{*}, l_{n} = A_{0} A_{1} + A_{1} A_{2} + \dots + A_{n - 1} A_{n}

a) Calculer

l_{n}

b) En déduire la limite de

l_{n}

* Exercice 2

Mariam, une jeune diplômée sans emploi, a reçu un fonds et décide d’ouvrir un restaurant.

Après un mois d’activité, elle constate que:
– Pour un jour donné, la probabilité qu’il ait une affluence de clients est 0,6

– Lorsqu’il y a une affluence de clients, la probabilité qu’elle réalise un bénéfice est 0,7

– Lorsqu’il n’y a pas d’affluence de clients, la probabilité qu’elle réalise un bénéfice est 0,4

On désigne par A l’événement: » il y a affluence de clients »

et B l’événement: « Mariam réalise un bénéfice »

1. On choisit un jour au hasard.
a) Calculer la probabilité de l’événement E suivant:

E: » il y a une affluence de clients et Mariam réalise un bénéfice »
b) Démontrer que la probabilité

p (B)

de l’événement B est 0,58.
c) Mariam réalise un bénéfice.
Calculer la probabilité qu’il y ait eu une affluence de clients ce jour-là. On donnera l’arrondi d’ordre 2 du résultat.
2. Mariam veut faire des prévisions pour trois jours successifs donnés. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où elle réalise un bénéfice sur les 3 jours successifs.
a) Déterminer les valeurs prises par X.
b) Déterminer la loi de probabilité de X.
c) Calculer 1 ‘espérance mathématique

E (X)

X

.
3. Soit

n

un nombre entier naturel supérieur ou égal à

2 .

On note

P_{n}

la probabilité que Mariam réalise au moins une fois un bénéfice pendant

n

jours successifs sur une période de

n

jours.
a) Justifier que pour tout nombre entier naturel

n

supérieur ou égal à 2 :

P_{n} = 1 - (0, 42)^{n}

b) Déterminer la valeur minimale de

n

pour qu’on ait :

P_{n} \geq 0, 9999

* Exercice 3

Partie A
Soit

r

la fonction définie sur

R

par:

r (x) = x e^{- x}

On considère l’équation différentielle (E) :

y^{'} + y = r

Soit

g

la fonction dérivable et définie sur

R

par:

\forall x \in R, g (x) = \frac{1}{2} x^{2} e^{- x}

1. Démontrer que

g

est solution de l’équation (E).
2. Soit l’équation différentielle (F) :

y^{'} + y = 0

a) Démontrer que:

une fonction

φ

est solution de (E) si et seulement si

φ - g

est solution de (F).
b) Résoudre l’équation différentielle (F).
c) En déduire la solution

φ

de (E) qui vérifie

φ (0) = - \frac{3}{2}

Partie B
On considère la fonction

f

dérivable et définie sur

R

par:

f (x) = \frac{x^{2} - 3}{2} e^{- x}

On note

(E)

la courbe représentative de

f

dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, I,

J

), d’unités graphiques

O I = 2 c m

O J = 4 c m

1. a) Calculer

lim_{x \to - \infty} f (x)

b) Démontrer que:

la courbe

(C)

admet en

- \infty

une branche parabolique de direction celle de (OJ).
2. Calculer la limite de

f

+ \infty

et interpréter graphiquement ce résultat.
3. a) soit

f^{'}

la fonction dérivée de

f

Démontrer que :

\forall x \in R, f^{'} (x) = \frac{3 + 2 x - x^{2}}{2} e^{- x}

b) Étudier les variations de

f

c) Dresser le tableau de variations de

f

4. Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à la courbe (

C

)

au point d’abscisse 0 est:

y = \frac{3}{2} x - \frac{3}{2}

5. Étudier les positions relatives de

(C)

par rapport à 1 ‘axe des abscisses.
6. Représenter graphiquement (T) et (

C

Partie C
1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer

\int_{0}^{1} x e^{- x} d x

2. a) Vérifier que:

f

est solution de l’équation différentielle (E) de la partie A).
b) En déduire que:

\forall x \in R, f (x) = - f^{'} (x) + x e^{- x}

c

) En utilisant la question précédente, calculer en cm²,

l’aire

C

de la partie du plan limitée par la courbe

(E),

la droite

(O I)

et les droites d’équations

x = 0

x = 1

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