Sujet maths Bac Série D 2015
* Exercice 1
Partie I
On considère la fonction \(P\) définie sur \(C\) par :
\(\forall z \in C , P (z)=z^{3}-(3+2 i) z^{2}+(1+5 i) z+2-2 i\)
1. \(a\) ) Calculer \(P (i)\)
b) Déterminer deux nombres complexes \(a\) et \(b\) tels que : \(P(z)=(z-i)\left(z^{2}+a z+b\right)\)
2. Résoudre dans \(C,\) l’équation : \(z^{2}-(3+i) z+2+2 i=0\)
3. En déduire les solutions dans C de l’équation (E) : \(P (z)=0\)
Partie II
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
\(( O ; \vec{u}, \vec{v})\) d’unité \(5cm\).
On pose : \(z_{0}=2\) et \(\forall n \in P , \quad z_{n+1}=\frac{1+i}{2} z_{n}\)
On note \(A_{n}\) le point du plan d’affixe \(z_{n}\)
1. a) Calculer \(z_{1}\) et \(z_{2}\)
b) Placer les points \(A _{0}, A _{1}\) et \(A _{2}\) dans le plan complexe.
2. On considère la suite \(U\) définie par:
\(\forall n \in N , U_{n}=\left|z_{n+1}-z_{n}\right|\)
a) Justifier que:
\(\forall n \in N , \quad U_{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left|z_{n}\right|\)
b) Démontrer que:
\(U\) est une suite géométrique de raison \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) et de premier terme \(\sqrt{2}\)
c) Exprimer \(U_{n}\) en fonction de \(n\)
3. On désigne par \(A_{0} A_{1}+A_{1} A_{2}+….+A_{n}-1 A_{n}\)
la longueur de la ligne brisée \(A_{0} A_{1} A_{2}…A_{n}-1 A_{n}\) \(\left(n \in N ^{*}\right)\)
On pose \(\forall n \in N ^{*}, l_{n}= A _{0} A _{1}+ A _{1} A _{2}+…+ A _{n-1} A _{n}\)
a) Calculer \(l_{n}\)
b) En déduire la limite de \(l_{n}\)
* Exercice 2
Mariam, une jeune diplômée sans emploi, a reçu un fonds et décide d’ouvrir un restaurant.
Après un mois d’activité, elle constate que:
– Pour un jour donné, la probabilité qu’il ait une affluence de clients est 0,6
– Pour un jour donné, la probabilité qu’il ait une affluence de clients est 0,6
– Lorsqu’il y a une affluence de clients, la probabilité qu’elle réalise un bénéfice est 0,7
– Lorsqu’il n’y a pas d’affluence de clients, la probabilité qu’elle réalise un bénéfice est 0,4
On désigne par A l’événement: » il y a affluence de clients »
et B l’événement: « Mariam réalise un bénéfice »
1. On choisit un jour au hasard.
a) Calculer la probabilité de l’événement E suivant:
a) Calculer la probabilité de l’événement E suivant:
E: » il y a une affluence de clients et Mariam réalise un bénéfice »
b) Démontrer que la probabilité \(p( B )\) de l’événement B est 0,58.
c) Mariam réalise un bénéfice.
Calculer la probabilité qu’il y ait eu une affluence de clients ce jour-là. On donnera l’arrondi d’ordre 2 du résultat.
2. Mariam veut faire des prévisions pour trois jours successifs donnés. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où elle réalise un bénéfice sur les 3 jours successifs.
a) Déterminer les valeurs prises par X.
b) Déterminer la loi de probabilité de X.
c) Calculer 1 ‘espérance mathématique \(E ( X )\) de \(X\).
3. Soit \(n\) un nombre entier naturel supérieur ou égal à \(2 .\)
b) Démontrer que la probabilité \(p( B )\) de l’événement B est 0,58.
c) Mariam réalise un bénéfice.
Calculer la probabilité qu’il y ait eu une affluence de clients ce jour-là. On donnera l’arrondi d’ordre 2 du résultat.
2. Mariam veut faire des prévisions pour trois jours successifs donnés. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où elle réalise un bénéfice sur les 3 jours successifs.
a) Déterminer les valeurs prises par X.
b) Déterminer la loi de probabilité de X.
c) Calculer 1 ‘espérance mathématique \(E ( X )\) de \(X\).
3. Soit \(n\) un nombre entier naturel supérieur ou égal à \(2 .\)
On note \(P_{n}\) la probabilité que Mariam réalise au moins une fois un bénéfice pendant \(n\) jours successifs sur une période de \(n\) jours.
a) Justifier que pour tout nombre entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 :
a) Justifier que pour tout nombre entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 :
\( P_{n}=1-(0,42)^{n}\)
b) Déterminer la valeur minimale de \(n\) pour qu’on ait :
\(P_{n} \geq 0,9999\).
* Exercice 3
Partie A
Soit \(r\) la fonction définie sur \(R\) par: \(r(x)=x e^{-x}\)
Soit \(r\) la fonction définie sur \(R\) par: \(r(x)=x e^{-x}\)
On considère l’équation différentielle (E) : \(y^{\prime}+y=r\)
Soit \(g\) la fonction dérivable et définie sur \(R\) par:
\(\forall x \in R , g(x)=\frac{1}{2} x^{2} e^{-x}\)
1. Démontrer que \(g\) est solution de l’équation (E).
2. Soit l’équation différentielle (F) : \(y^{\prime}+y=0\)
a) Démontrer que:
2. Soit l’équation différentielle (F) : \(y^{\prime}+y=0\)
a) Démontrer que:
une fonction \(\varphi\) est solution de (E) si et seulement si \(\varphi-g\) est solution de (F).
b) Résoudre l’équation différentielle (F).
c) En déduire la solution \(\varphi\) de (E) qui vérifie \(\varphi(0)=-\frac{3}{2}\).
b) Résoudre l’équation différentielle (F).
c) En déduire la solution \(\varphi\) de (E) qui vérifie \(\varphi(0)=-\frac{3}{2}\).
Partie B
On considère la fonction \(f\) dérivable et définie sur \(R\) par: \(f(x)=\frac{x^{2}-3}{2} e^{-x}\)
On note \((\mathscr{E})\) la courbe représentative de \(f\) dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, I, \(J\) ), d’unités graphiques \(OI =2 cm\) et \(OJ =4 cm\)
1. a) Calculer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\)
b) Démontrer que:
On considère la fonction \(f\) dérivable et définie sur \(R\) par: \(f(x)=\frac{x^{2}-3}{2} e^{-x}\)
On note \((\mathscr{E})\) la courbe représentative de \(f\) dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, I, \(J\) ), d’unités graphiques \(OI =2 cm\) et \(OJ =4 cm\)
1. a) Calculer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\)
b) Démontrer que:
la courbe \((\mathscr{C})\) admet en \(-\infty\) une branche parabolique de direction celle de (OJ).
2. Calculer la limite de \(f\) en \(+\infty\) et interpréter graphiquement ce résultat.
3. a) soit \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\)
Démontrer que : \(\forall x \in R , f^{\prime}(x)=\frac{3+2 x-x^{2}}{2} e^{-x}\)
b) Étudier les variations de \(f\)
c) Dresser le tableau de variations de \(f\)
4. Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à la courbe ( \(\mathscr{C}\) )
2. Calculer la limite de \(f\) en \(+\infty\) et interpréter graphiquement ce résultat.
3. a) soit \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\)
Démontrer que : \(\forall x \in R , f^{\prime}(x)=\frac{3+2 x-x^{2}}{2} e^{-x}\)
b) Étudier les variations de \(f\)
c) Dresser le tableau de variations de \(f\)
4. Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à la courbe ( \(\mathscr{C}\) )
au point d’abscisse 0 est: \(y=\frac{3}{2} x-\frac{3}{2}\)
5. Étudier les positions relatives de \((\mathscr{C})\) par rapport à 1 ‘axe des abscisses.
6. Représenter graphiquement (T) et ( \(\mathscr{C}\) ).
5. Étudier les positions relatives de \((\mathscr{C})\) par rapport à 1 ‘axe des abscisses.
6. Représenter graphiquement (T) et ( \(\mathscr{C}\) ).
Partie C
1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(\int_{0}^{1} x e^{-x} d x\)
2. a) Vérifier que:
1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(\int_{0}^{1} x e^{-x} d x\)
2. a) Vérifier que:
\(f\) est solution de l’équation différentielle (E) de la partie A).
b) En déduire que:
b) En déduire que:
\(\forall x \in R , \quad f(x)=-f^{\prime}(x)+x e^{-x}\)
\(c\) ) En utilisant la question précédente, calculer en cm²,
\(c\) ) En utilisant la question précédente, calculer en cm²,
l’aire \(\mathscr{C}\) de la partie du plan limitée par la courbe \((\mathscr{E}),\)
la droite \(( OI )\) et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\).
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