Sujet maths Bac Série D PDF 2008
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Nombres Complexes
* Probabilité
* Etude d’une fonction numérique
* Nombres Complexes
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé \((O ; e _{1} ; e _{2})\)
On considère l’équation (E) :
\(z ∈ℂ, z^{3}+(6-4 i) z^{2}+(1-20i) z-14-5 i=0\)
1- a) Vérifier que i est une solution de l’équation (E).
b) Résoudre dans C l’équation : \(z^{2}+(6-4 i) z+5-14 i=0\)
c)Résoudre à l’aide des questions qui précèdent I’équation (E).
2- On considère les points A,B et D d’affixe respectives u=i ; v=-2+3 i et t=-4+i
a) Placer les points A, B et D dans un repère.
b) Ecrire le nombre complexe Z=\(\frac{ u-v}{t-v}\) sous forme trigonométrique.
c) En déduire que le triangle ABD est rectangle isocèle en B.
3- Soit S la similitude directe de centre A qui transforme D en B.
B’ est l’image de B par S.
a) Justifier que le triangle ABB’ est isocèle en B’
b) En déduire la construction du point B’
4- a) Déterminer l’écriture complexe de S.
Calculer l’affixe de B’
* Probabilité
Le tableau ci- dessous donne les notes sur 20 obtenues en mathématiques et en sciences physiques
par huit candidats de la série D au baccalauréat 2005
\(X _{ i }\) est la note de mathématiques et \(Y _{ i }\) la note en sciences physiques.
\(\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline X _{ i } & 4 & 6 & 7 & 9 & 11 & 14 & 12 & 17 \\
\hline y _{ i } & 3 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 9 & 14 \\
\hline
\end{array}\)
1. Représenter le nuage de points associé à cette série statistique double
dans un repère orthonormé (unité 1cm).
2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage puis placer dans le repère.
3. a) Vérifier que la covariance cov (X,Y) de la série statistique est égal à \(\frac{ 57 }{4}\)
b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre \(X\) et \(Y\).
4. Démontrer qu’une équation de la droite (D) de régression de Y en X par la méthode
des moindres carrés est : y= \(\frac{ 19}{22}\)x-\(\frac{17}{44}\)
5. Sur la base de l’ajustement linéaire ainsi réalisé,
calculer la note probable de mathématique
d’un candidat qui a obtenu 15 sur 20 en sciences physiques.
* Etude d’une fonction numérique
L’objet de ce problème est l’étude de la fonction f dérivable sur ]0;+∞[
Définie par: \(f(x)=2x-3+\frac{lnx}{x}\)
On note (C) la courbe représentative de f dans le plan
muni du repère orthonormé (O,I, J). L’unité graphique est 2cm
Partie A
Soit \(g\) la fonction dérivable sur ]0;+∞[ et définie par : g(x)=2x².
1. Etudier les variations de \(g\), puis dresser son tableau de variation.
(on ne demande pas de calculer les limites)
2. Justifier que ∀ x∈] 0 ;+∞[: g(x)>0
Partie B
1. a) Calculer la limite de \(f\) en \(+∞\)
b) Déterminer \(\lim_ {x➝0_{+}}(f(x)\)
puis interpréter graphiquement le résultat
2. a)Démontrer que la droite (D) d’équation: y=2 x-3 est asymptote à (C) en +∞
b) Préciser la position de (C)
3. a)Démontrer que pour tout réel strictement positif x: \(f ‘(x)=\frac{g(x)}{x²}\)
b) Etudier les variations de \(f\) puis dresser son tableau de variation.
c)Démontrer que:
y=3 x-4 est l’équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 1
4. a) Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une solution unique α
b) Justifier que : 1,3<α<1,4
Partie C
On pose:
φ(x)=f(x)-(3 x-4) et h(x)=-x²+1-lnx
1. a) Déterminer le sens de variation de h
b) Démontrer que :
∀ x∈]0;1[: h(x)>0 et ∀ x∈]1;+∞[: h(x)<0
2. Etudier les variations de φ(x)
et en déduire le signe de φ(x) suivant les valeurs de x.
3) Déterminer la position de (C) par rapport à la tangente (T).
Partie D
1. Tracer la courbe (C), la droite (D) et la tangente (T).
(On prendra \(\alpha=1,35\) )
2. Calculer en cm² l’aire de la partie du plan délimite par la courbe (C),
la droite (D) et les droites d’équation x=1 et x=e
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