Examen Math bac 2 Technique 2020 Normale

Examen Math Bac professionnel
  Commerce et Comptabilité 2020 
Session Normale 
– 7 juillet 2020 – 
Partie I 
Obligatoire: Exercice 1 et Exercice 2

* Exercice 1: (5 pts) *
Soit la suite numérique \((u_{n})_{n∊IN}\) définie par:
\(u_{0}=6\) et \(u_{n+1}=\frac{1}{3} u_{n}-2\) pour tout n de IN
On pose pour tout n de IN : \(v_{n}=u_{n}+3\)
1. Calculer \(v_{0}\) et \(v_{1}\). (1)
2.a. Montrer que \(v_{n}\) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{3}\). (1.5)
2.b. Donner \(v_{n}\) en fonction de n. (1)
2.c. Vérifier que pour tout n de IN: \(u_{n}=9×(\frac{1}{3})^{n}-3\). (1)
2.d. Calculer \(lim_{n➝+∞}u_{n}\). (0.5)

* Exercice 2: (11 pts) *
On considère la fonction numérique \(f\) de la variable réelle x définie par:

\(f(x)=x+1+\frac{1}{x-1}\)

et soit \((C_{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\)
1. Montrer que le domaine de définition de \(f\) est IR-{1}(0.5)
2. Justifier pourquoi la fonction \(f\) est continue sur IR-{1}(0.5)
3.a. Calculer:
 \(\lim_{x➝1 \atop x>1} f(x)\) et \(\lim _{x➝1 \atop x<1} f(x)\)(1)
3.b. En déduire que \((C_{f})\) admet une asymptote verticale dont on déterminera l’équation(0.5)
4. a. Calculer \(\lim_{x➝+∞} f(x)\) et \(\lim _{x➝-∞} f(x)\)(1)
4.b. Montrer que:

\(\lim _{x➝+∞}(f(x)-(x+1))=0\) et \(\lim _{x➝-∞}(f(x)-(x+1))=0\)(1)

4.c. En déduire que \((C_{f})\) admet une asymptote oblique dont on déterminera I’équation(0.5)
5.a.  Montrer que, pour tout IR-{1}, f ‘(x)=\(\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}\)(1) 
5.b. Etudier le signe de l’expression  x(x-2) sur} R-{1}(1) 
5.c. En déduire que f est croissante sur ]-∞;0] et sur [2;+∞[
et qu’ elle est décroissante sur   [0;1[ et sur  ]1;2](1)
5.d. Calculer f(0) et f(2) puis dresser le tableau de variations de \(f\)(1)
5.e. Donner les abscisses des points où \(( C _{f})\) admet une tangente horizontale(1)
6. Dans la figure ci-dessous\(( C _{f})\) est la courbe représentative de \(f\) 
et (D) la droite d’équation y=x+1
Donner à partir de la figure la position relative de \((C_{f})\) par rapport à (D)(1)

PARTIE II :
Le candidat a le choix de répondre exclusivement:
Soit a l’exercice 3 Soit a  l’exercice 4
* Exercice 3: (4 pts) *

1. Calculer les limites suivantes:
1.a. \(\lim _{x➝0}(\frac{1}{x}+ln x)\)
(1)
1.b. \(\lim _{x➝+∞}(x-lnx)\)
(1)
2. Calculer la dérivé de chacune des fonctions suivantes:
2.a. \(f_{1}\) définie sur ]0 ;+∞[ par: \(f_{1}(x)=xlnx-x\)
(1)
2.b. \(f_{2}\) définie sur ]0 ;+∞[ par: \(f_{2}(x)=\frac{1+lnx}{x}\)
(1)

* Exercice 3: (4 pts) *
(Les questions 1 et 2 sont interdépendantes)
1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes
1.a \(g_{1}(x)=3 x^{2}+\frac{1}{2 \sqrt{x-1}}\) définie sur ]1;+∞[(1)
1.b \(g_{2}(x)=\frac{1+2 x^{4}}{x^{3}}\) définie sur ]0;+∞[(1)
2. On considère la fonction numérique définie sur IR par: \(h(x)=3 x^{2}+2\)
2. a. Donner la primitive \(H\) de \(h\) sur IR qui s’annale en 0(1)
2. b.  En déduire le sens de variations de \(H\) sur IR. (1)