QCM Bachelor Série n° 1 Avec Correction

Science Pro Bachelor Vrai-Faux Avec Correction

L’exercice Vrai-Faux est noté sur 11, le problème est noté sur 9.
Il se compose de quatre parties :

1. Analyse (programme de première)

2.Géométrie (programme de première)

3. Statistiques et probabilités (programme de première)

4. Analyse (programme de terminale)

Vrai ou faux

Question 1.

Les prix réglementés du gaz évoluent mensuellement ils ont augmenté:

en mai 2018 de 0,4 %

en juin 2018 de 2,1%

en juillet 2018 de 7,45%

Affirmation:

l’augmentation cumulée sur ces trois mois est de 9,95 %.

Question 2.

Affirmation: toute suite qui tend vers +∞ est croissante.

Question 3.

On considère la suite

(u_{n})

définie sur IN par:

u_{0} = 0

et pour tout entier naturel n

u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2 n + 3

Affirmation:

pour tout entier naturel n :

u_{n} = 3^{n} + n - 1

Question 4.

Affirmation:

l’équation

\ln (4 x + 5) + \ln x + 1) = 1

possède exactement deux solutions dans

R

Question 5.

Soit

f

la fonction définie sur IR par:

f (x) = x e^{x^{2}}

Sur la figure ci-dessous,

on a représenté la courbe Cf représentative de la fonction

f

ainsi que ses tangentes

d_{1}

d_{2}

aux points A et B d’abscisses respectives -1 et 1

Affirmation:

d_{1}

d_{2}

sont parallèles.

Question 6.

Un cycliste part de chez lui à 8h00 et doit parcourir une distance de 61 km

pour arriver à son point d’ au plus tard.

Son parcours est constitué:

d’une descente de 16 km qu’il parcourt à la vitesse de 80 km/h,

puis de 40 km de plat qu’il parcourt à la vitesse de 50 km/h,

et enfin d’une montée de 5 km qu’il parcourt à une vitesse de x km/h

Affirmation:

le cycliste sera à l’heure si et seulement si x≥10.

Question 7.

Soit

f

une fonction à valeurs réelles, dérivable sur

R

Pour tout x∊IR:

f ‘ (x) = 1 + f^{2} (x)

f (1) = 0

Affirmation:

f

est strictement positive sur

[- 1; 0]

Question 8.

Une urne contient n boules numérotées, indiscernables au toucher.

une boule porte le numéro 10,

trois boules portent le numéro 5,

les boules restantes portent le numéro 0

Après avoir misé

Math input error

un joueur tire au hasard l’une des boules

et remporte la somme affichée sur la boule.

Affirmation:

le jeu est équitable si et seulement si n=25

Question 9.

Une pièce de monnaie est mal équilibrée.

La probabilité de tomber sur FACE est deux fois plus grande que celle de tomber sur PILE.

On lance 15 fois successivement la pièce.

Affirmation :

la probabilité de tomber exactement 10 fois sur FACE est supérieure à 0,2.

Question 10.

Dans un repère on considère quatre points :

A (1; 1), B (4; 1), C (4; 2)

D (1; 2)

On définit les points M,N et P par:

\vec{D M} = - 2 \vec{B D}

\vec{C N} = 5 \vec{C A}

\vec{B P} = 3 \vec{A B}

Affirmation:

les points M, N et P sont alignés.

Correction

Question 1: C’est faux.

On pose:

P_{i}

: prix initial du gaz avril 2018

P_{f}

: prix final du gaz juillet 2018

Taux de croissance:

mai 2018 :

T_{1} = 0, 4 %

juin 2018 :

T_{2} = 2, 1 %

juillet 2018 :

T_{3} = 7, 45 %

On a:

P_{f} = T_{C} \times P_{i}

T_{C}

:taux de croissance Global

avec

T_{C} = (1 + T_{1}) (1 + T_{2}) (1 + T_{3})

D’où:

P_{f} = (1 + T_{1}) (1 + T_{2}) (1 + T_{3}) \times P_{i}

⇒

P_{f} = (1, 004) (1, 021) (1, 0745) \times P_{i}

⇒

P_{f} = 1, 1014 \times P_{i}

⇒ sur ces trois mois l’augmentation cumulée est de :

10, 14 %

≠

10, 149, 95

Donc: l’ affirmation est fausse.

Question 2: C’est faux.

Contre exemple:

ON prend la suite (Un) définie sur IN par:

U_{n} = - n

: 0 ≤n≤10

U_{n} = n

: n≥10

On a d’une part :

lim_{n ➝ + \infty} u (x) = lim_{n ➝ + \infty} n = + \infty

d’autre part :

U_{1} = - 1

U_{2} = - 2

U_{1} > U_{2}

⇒ la suite (Un ) tend vers + et n’est pas croissante .
Donc l’affirmation est fausse.

Question 3: C’est vrai.

Démonstration par récurrence:

Montrons que ∀n∊IN :

u_{n} = 3^{n} + n - 1

Initialisation : Pour n=0 on a

u_{0} = 3

Hérédité: Soit n∊IN on suppose que

u_{n} = 3^{n} + n - 1

Montrons que:

u_{n + 1} = 3^{n + 1} + (n + 1) - 1 = 3^{n + 1} + n

On a:

u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2 n + 3

⇒

u_{n + 1} = 3 (3^{n} + n - 1) - 2 n + 3

⇒

u_{n + 1} = 3^{n + 1} + 3 n - 3 - 2 n + 3

⇒

u_{n + 1} = 3^{n + 1} + n

Conclusion: ∀n∊IN :

u_{n} = 3^{n} + n - 1

Donc l’affirmation est vraie.

Question 4: C’est faux.
Résoudre dans IR l’équation:
ln (4x+5)+ln(x+1)=1 ⓐ
Domaine de définition ID:
x∊ID ⇔ x+1>0 et 4x+5>0
⇔ x>-1 et x>

\frac{- 5}{4}

⇔ ID=] -1 ,+∞ [ .
ⓐ ⇔ ln(4x+5)×(x+1)=1=ln(e)
⇔ ln(4x+5)×(x+1)=1=ln(e)
⇔(4x+5)×(x+1)=e
⇔ 4x²+9x+(5-e)=0
Δ= 81-4×4×(5-e)=1+16e>0
D’où:
l’équation admet 2 solutions distinctes:
x=

\frac{- 9 + \sqrt{1 + 16 e}}{8}

∈ ID

ou x=

\frac{- 9 - \sqrt{1 + 16 e}}{8}

∉ ID

⇒ l’équation ⓐ admet qu’une seule solution dans IR.

Donc l’affirmation est fausse .

Question 5: C’est vrai.
On a :

f (x) = x \times e^{x ²}

(I D_{f}) = I R

L’équation de

d_{1}

d_{1}

tangente de

C_{f}

au point A(-1,f(-1))

d_{1}

: y=f ‘(-1)(x-(-1))+f(-1)=f ‘(-1)(x+1))+f(-1)

tangente de

C_{f}

au point AB(1,f(1))

d_{1}

: y=f ‘(1)(x-1)+f(1)

Calcule de f ‘(x):

f =

f_{1} \times f_{2}

avec:

f_{1} = x

f_{2} = e^{x ²}

f_{1}

est dérivable sur IR comme fonction polynôme .

f_{2}

est dérivable sur IR car la fonction x➝

e^{x}

est dérivable sur IR.

produit de deux fonctions dérivables sur IR est une fonction dérivable sur IR

⇒

f

est dérivables sur IR

∀ x∊IR :

f ‘ (x) = (x \times e^{x ²})

’

f ‘ (x) = x^{'} \times e^{x ²} + x \times (e^{x ²})^{'}

f ‘ (x) = e^{x ²} + x \times (2 x \times e^{x ²})^{'}

f ‘ (x) = e^{x ²} + 2 x ² \times e^{x ²}

f ‘ (x) = (1 + 2 x ²) \times e^{x ²}

Alors:

d_{1}

: y=3e(x+1))+f(-1)=3e+b

⇒ coefficients directeurs de

d_{1}

: a=3e

d_{1}

: y=3e(x-1)+f(1)=3e+b’

⇒ coefficients directeurs de

d_{2}

: b=3e

d’ où:

d_{1}

d_{2}

sont parallèles car leurs coefficients directeurs sont égaux

Donc l’affirmation est vraie.

Question 6: C’est vrai.
Soit

T

le temps nécessaire pour réaliser ce parcours

On remarque que ce ce parcours comprend 3 étapes:

Temp

T_{1}

pour l’étape 1:
distance

d_{1}

= 16 km avec une vitesse de

v_{1}

= 80 km/h

On a:

v_{1} = \frac{d_{1}}{T_{1}}

⇒

T_{1} = \frac{v_{1}}{d_{1}}

⇒

T_{1} = \frac{16}{80}

= 0, 2 heure
⇒

T_{1}

= 12 minutes.Temp

T_{2}

pour l’étape 2:
distance

d_{2}

= 40 km avec une vitesse de

v_{2}

= 50 km/h
On a:

v_{2} = \frac{d_{2}}{T_{2}}

⇒

T_{2} = \frac{v_{2}}{d_{2}}

⇒

T_{2} = \frac{40}{50}

= 0, 8 heure
⇒

T_{2}

= 48 minutes.Temp

T_{3}

pour l’étape 3:
distance

d_{3}

= 5 km avec une vitesse de

v_{3}

= x km/h
On a:

v_{3} = \frac{d_{3}}{T_{3}}

⇒

T_{3} = \frac{v_{3}}{d_{3}}

⇒

T_{3} = \frac{5}{x}

heure
⇒

T_{3} = \frac{5 \times 60}{x} = \frac{300}{x}

minutes.

D’où:
le temps T nécessaire pour réaliser ce parcours est:

T = T_{1} + T_{2} + T_{3}

⇔

T = 12 + 48 + \frac{300}{x} = 60 + \frac{300}{x}

En fin:
Le cycliste part de chez lui à 8 heures
l’heure d’arrivée : 9h30
⇒ Temp nécessaire est : 9h30 – 8h = 1,5h = 90 minutes.Alors:
le cycliste sera à l’heure ssi: T ≤ 90 minutes.
⇒

60 + \frac{300}{x}

≤ 90 minutes.
⇒

\frac{300}{x}

≤ 30 minutes.

⇒

x \geq 10

Ainsi: le cycliste sera à l’heure ssi

x \geq 10

Donc l’affirmation est vraie .

Question 7 : C’est faux.

On a: f est dérivable sur IR

et ∀ x∊IR: f ‘ (x) = 1 + f ²(x)

⇒

f

est strictement croissante sur IR (car f ²(x) > 0 )

Soit x∊ [-1;0] : -1≤x≤0<1

⇒ f (x) < f (1) = 0

d’ où :

f

est strictement négative sur [-1;0].

Donc l’affirmation est fausse .

Question 8 : C’est vrai.

Soit X la variable aléatoire égale au Gain réalisé,

après avoir misé 1 € et tiré une boule au hasard .

Les boules sont numérotées 0 , 5 et 10

On a 3 cas :

cas n° 1 :

le joueur tire une boule N° 10: gain réalisé = 10 – 1 = 9 €.

« une boule N° 10 sur n boules »

p(X=4€) =

\frac{1}{n}

cas n° 2 ::

le joueur tire une boule N° 5: gain réalisé = 5 – 1 = 4 €.

Trois boules N° 5 sur n boules

p(X=9€) =

\frac{3}{n}

cas n° 3 :

le joueur tire une boule N° 0: gain réalisé = 0 – 1 = – 1 € ( perte ).

( n-1-3) boules N° 0 sur n boules

p(X=-1€) =

\frac{n - 4}{n}

On calcule E (X )

E (X ) = (9×

\frac{1}{n}

)×(4×

\frac{3}{n}

)×((-1)×

\frac{n - 4}{n}

)

⇔ E (X ) =

\frac{2 - n}{n}

d’où

Le jeu est donc équitable ⇔ E (X ) = 0 ⇔ n=25.

Donc l’affirmation est vraie .

Question 9 : C’est Vrai.

On pose les événements

F = » l’ événements d’ avoir côté Face «

Son probabilité est

P_{(F)}

P = » l’ événements d’ avoir côté Pile »

Son probabilité est

P_{(P)}

On désigne par X la variable aléatoire:

égale au nombre de fois où le côté Face apparaît sur 15 lancers successifs de la pièce .

Nous sommes en présence de 15 épreuves aléatoires identiques et

indépendantes .

La variable aléatoire discrète X représentant le nombre de réalisations de F

suit donc une loi binomiale de paramètres:

n = 15 et p =

p_{((F))}

* Calcule de

P_{(F)}

La probabilité de tomber sur FACE est deux fois plus grande que celle de tomber sur PILE.

⇒

P_{(F)}

=2×

P_{(P)}

P_{(F)}

P_{(P)}

⇒ 2×

P_{(P)}

P_{(F)}

⇒

P_{(P)}

\frac{1}{3}

d’ où :

p = (P_{F}

\frac{2}{3}

En fait, on répète n=15 fois un schéma de Bernoulli.

( la probabilité de tomber exactement k=10 fois sur FACE avec p=

\frac{2}{3}

)

Ici, il s’agit de calculer: P (X = 10 ).

P (X = 10 )=

C_{k}^{n} \times p^{k} \times (1 - p)^{k}

P (X = 10 )=

C_{5}^{10} \times (\frac{2}{3})^{5} \times (1 - \frac{2}{3})^{5}

= 0, 2143.

Alors:

la probabilité de tomber exactement 10 fois sur FACE est égale à 0, 2143

supérieure à 0,2.

Donc l’affirmation est Vrai.

Question 10 : C’est Vrai.

A (1;1), B (4;1), C (4;2) et D (1;2)

Etape 1 :

Détermination les coordonnées des points M, N et P .

• Détermination des coordonnées du point M:

On pose M (x,y)

B (4;1) et D (1;2) ⇒

\vec{D M}

(x-1,y-2) et

\vec{B D}

(-3,1)

\vec{D M} = - 2 \vec{B D}

⇒ x-1 = 6 et y-2 = -2

⇒x = 7 et y = 0

⇒ M ( 7 , 0 )

• Détermination des coordonnées du point N:

On pose N (x,y)

A (1;1) et C (4;2) ⇒

\vec{C N}

(x-4,y-2) et

\vec{C A}

(-3,-1)

\vec{C N} = 5 \vec{C A}

⇒ x-4 = -15 et y-2 = -5

⇒x = -11 et y = -3

⇒ N ( -11 , -3 )

• Détermination des coordonnées du point P:

On pose P (x,y)

A (1;1) et B (4;1) ⇒

\vec{B P}

(x-4,y-1) et

\vec{A B}

(3,0)

\vec{C N} = 3 \vec{C A}

⇒ x-4 = 9 et y-1 = 0

⇒x = 13 et y = 1

⇒ P ( -11 , 1)

Etape 2 :

Détermination s ‘il existe un réel α tel que:

\vec{M N} = α \vec{M P}

ⓐ

On a:

\vec{M N}

(-11-7,-3-0) ⇒

\vec{M N}

(-18,-3)

\vec{M P}

(13-7,1-0) ⇒

\vec{M P}

(6,1)

ⓐ ⇔ -18=6α et -3 = α

⇔ α = -3

d’où :

\vec{M N} = - 3 \vec{M P}

⇔ les points M, N et P sont bien alignés,

car les vecteurs

\vec{M N}

\vec{M P}

sont colinéaires.

Donc l’affirmation est vraie .