Sujet maths Bac Série D 2016
* Exercice 1
1- On considère la fonction \(h\) dérivable et définie sur l’intervalle \([0;1]\) par:
\(h(x)=2 x-x^{2}\)
a) Démontrer que:
\(h\) est strictement croissante sur l’intervalle \([0 ; 1]\)
b) En déduire que:
b) En déduire que:
l’image de l’intervalle \([0 ; 1]\) par \(h\) est 1 ‘intervalle \([0 ; 1]\)
\(2-\) Soit \(u\) la suite définie par:
\(u_{0}=\frac{3}{7}\) et \(\forall n \in N , u_{n+1}=h\left(u_{n}\right)\)
a) Démontrer par récurrence que : \(\forall n \in N , 0<u_{n}<1\)
b) Démontrer que la suite \(u\) est croissante.
c) Justifier que la suite \(u\) est convergente.
3- On considère la suite \(v\) définie par : \(\forall n \in N , v_{n}=\ln \left(1-u_{n}\right)\)
a) Démontrer que \(v\) est une suite géométrique de raison 2
b) Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\)
c) Calculer la limite de la suite \(v\)
\(d\) En déduire la limite de la suite \(u\).
\(2-\) Soit \(u\) la suite définie par:
\(u_{0}=\frac{3}{7}\) et \(\forall n \in N , u_{n+1}=h\left(u_{n}\right)\)
a) Démontrer par récurrence que : \(\forall n \in N , 0<u_{n}<1\)
b) Démontrer que la suite \(u\) est croissante.
c) Justifier que la suite \(u\) est convergente.
3- On considère la suite \(v\) définie par : \(\forall n \in N , v_{n}=\ln \left(1-u_{n}\right)\)
a) Démontrer que \(v\) est une suite géométrique de raison 2
b) Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\)
c) Calculer la limite de la suite \(v\)
\(d\) En déduire la limite de la suite \(u\).
* Exercice 2
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O \(; \vec{u}, \vec{v}\) ),
(unité graphique : \(2 cm\) ).
On considère la transformation \(\mathscr{S}\) du plan
qui à tout point \(M\) d’affixe \(z,\) associe le point \(M\) ‘ d’affixe \(z^{\prime}\)
telle que : \(z^{\prime}=\left(1-i \frac{\sqrt{3}}{3}\right) z+2 i \frac{\sqrt{3}}{3}\)
1- \(a)\) Soit \(\Omega\) le point d’affixe 2 Vérifier que : \(\mathscr{S}(\Omega)=\Omega\)
b) Justifier que \(\mathscr{G}\) est une similitude directe
1- \(a)\) Soit \(\Omega\) le point d’affixe 2 Vérifier que : \(\mathscr{S}(\Omega)=\Omega\)
b) Justifier que \(\mathscr{G}\) est une similitude directe
dont on précisera les éléments caractéristiques.
2- \(a\) ) Démontrer que: \(\forall z \neq 2, \frac{z^{\prime}-z}{2-z}=i \frac{\sqrt{3}}{3}\)
b) En déduire que le triangle M\OmegaM’est rectangle en M.
c) Donner un programme de construction de l’image M’ par \(\mathscr{S}\) d’un point Monné.
3- \(a\) ) Placer les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives
2- \(a\) ) Démontrer que: \(\forall z \neq 2, \frac{z^{\prime}-z}{2-z}=i \frac{\sqrt{3}}{3}\)
b) En déduire que le triangle M\OmegaM’est rectangle en M.
c) Donner un programme de construction de l’image M’ par \(\mathscr{S}\) d’un point Monné.
3- \(a\) ) Placer les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives
\(-1+i\) et \(5-i\) dans le plan muni du repère (O \(; \vec{u}, \vec{v}\) ).
Construire les images respectives \(A^{\prime}\) et \(B^{\prime}\) de \(A\) et \(B\) par \(\mathscr{S}\)
b) On note \(z_{A}, z_{B}, z_{A}\), et \(z_{B}\), les affixes respectives des points \(A, B, A^{\prime}\) et \(B^{\prime}\)
b) On note \(z_{A}, z_{B}, z_{A}\), et \(z_{B}\), les affixes respectives des points \(A, B, A^{\prime}\) et \(B^{\prime}\)
Démontrer que : \(z_{A^{\prime}}-z_{A}=z_{B}-z_{B^{\prime}}\)
c) En déduire la nature du quadrilatère AA’BB’.
* Problème
Partie A
Soit \(g\) la fonction dérivable et définie sur \(R\) par \(: g(x)=-1+(2-2 x) e^{-2 x+3}\)
1- Calculer: les limites de \(g\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\)
2- \(a\) ) Soit \(g\) ‘ la fonction dérivée de \(g\).
Justifier que : \(\forall x \in R , g^{\prime}(x)=(4 x-6) e^{-2 x+3}\)
b) Étudier le signe de \(g^{\prime}(x)\) suivant les valeurs de \(x\)
c) Justifier que: \(g\left(\frac{3}{2}\right)=-2\)
\(d\) Dresser le tableau de variations de \(g\)
3- \(a\) ) Démontrer que:
b) Étudier le signe de \(g^{\prime}(x)\) suivant les valeurs de \(x\)
c) Justifier que: \(g\left(\frac{3}{2}\right)=-2\)
\(d\) Dresser le tableau de variations de \(g\)
3- \(a\) ) Démontrer que:
l’équation \(g(x)=0\) admet dans \(R\) une solution unique notée \(\alpha\)
b) Vérifier que: \(0,86<\alpha<0,87\)
c) Justifier que:
b) Vérifier que: \(0,86<\alpha<0,87\)
c) Justifier que:
\(\forall x \in]-\infty ; \alpha[, g(x)>0 \text { et } \forall x \in] \alpha ;+\infty[, g(x)<0\)
Partie B
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J),
(unité graphique : \(2 cm\) ).
On considère la fonction \(f\) dérivable et définie sur \(R\) par:
\(f(x)=-x+\left(x-\frac{1}{2}\right) e^{-2 x+3}\)
On note \((\mathscr{C})\) la courbe représentative de \(f\)
1- a) Calculer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\) et \(\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}\)
b) En déduire que:
1- a) Calculer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\) et \(\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}\)
b) En déduire que:
( \(\mathscr{C}\) ) admet une branche parabolique de direction celle de (OJ) en – \(\infty\)
2- a) Calculer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}\)
b) Démontrer que:
2- a) Calculer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}\)
b) Démontrer que:
la droite \((\mathscr{D})\) d’équation \(y=-x\) est asymptote à \((\mathscr{C})\) en \(+\infty\)
c) Étudier la position de ( \(\mathscr{C}\) ) par rapport à ( \(\mathscr{D}\) ).
3- a) Soit \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\)
c) Étudier la position de ( \(\mathscr{C}\) ) par rapport à ( \(\mathscr{D}\) ).
3- a) Soit \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\)
Démontrer que : \(\forall x \in R , f^{\prime}(x)=g(x)\)
b) En déduire les variations de \(f\)
c) Dresser le tableau de variations de \(f\). On ne calculera pas \(f(\alpha)\)
4- Construire \((\mathscr{D})\) et \((\mathscr{C})\) sur le même graphique. On précisera les points de \((\mathscr{C}) d\) ‘abscisses \(0 ; \frac{1}{2} ; \frac{3}{2} ; 4\) On prendra: \(a=0,865\) et \(f(a)=0,4\)
5- Soit \(t\) un nombre réel strictement supérieur à \(\frac{3}{2} .\)
b) En déduire les variations de \(f\)
c) Dresser le tableau de variations de \(f\). On ne calculera pas \(f(\alpha)\)
4- Construire \((\mathscr{D})\) et \((\mathscr{C})\) sur le même graphique. On précisera les points de \((\mathscr{C}) d\) ‘abscisses \(0 ; \frac{1}{2} ; \frac{3}{2} ; 4\) On prendra: \(a=0,865\) et \(f(a)=0,4\)
5- Soit \(t\) un nombre réel strictement supérieur à \(\frac{3}{2} .\)
On désigne par \(\mathscr{A}(t)\) l’aire en \(cm ^{2}\) de la partie du plan limitée par la courbe \((\varphi),\)
la droite \((\mathscr{D})\) et les droites d’équations \(x=\frac{3}{2}\) et \(x=t\)
On pose \(: I_{t}=\int_{\frac{3}{2}}^{t}\left(x-\frac{1}{2}\right) e^{-2 x+3} d x\)
a) Àl’aide d’une intégration par parties,
a) Àl’aide d’une intégration par parties,
justifier que : \(I_{t}=\frac{3}{4}-\frac{t}{2} e^{-2 t+3}\)
b) En déduire \(\mathscr{A}(t)\)
c) Calculer \(\lim _{t \rightarrow+\infty} A (t)\)
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