Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \(( O ; \vec{u}, \vec{v})\)
On note \(B\) et \(C\) les points du plan d’affixes respectives \(3-2 i\) et \(5+i\)
On désigne par \(S\) la similitude directe de centre \(O\) qui transforme \(C\) en \(B\).
1. a) Démontrer que:
l’écriture complexe de \(S\) est: \(z^{\prime}=\frac{1}{2}(1-i) z\)
b) Déterminer les éléments caractéristiques de \(S\).
c) Déterminer :
l’affixe du point \(D\) qui a pour image le point \(C\) par \(S\).
2. a) Justifier que:
l’affixe \(z_{1}\) du point \(B _{1}\), image de \(B\) par \(S\) est \(\frac{1}{2}(1-5 i)\)
b) Justifier que:
le triangle \(OBB _{1}\) est rectangle et isocèle en \(B _{1}\)
3. On définit les points suivants:
\(B _{0}= B\) et \(\forall n \in N ^{*}, B _{n+1}=S\left( B _{n}\right)\)
On note \(z_{n}\) l’affixe du point \(B _{n}\)
a) Démontrer par récurrence que:
\(\forall n \in N ^{*}, z_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}(1-i)^{n} z_{0}\)
b) Calculer la distance \(OB _{n}\) en fonction de \(n\)
c) Calculer \(\lim _{n \rightarrow \infty} OB _{n}\)
Pour étudier 1 ‘évolution du nombre de bacheliers accédant aux études supérieures,
le ministère du plan d’un pays a diligenté une enquête depuis 1 ‘an 2003.
Les résultats de cette enquête sont consignés dans le tableau ci-dessous.
1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique double \(( X , Y )\)
On prendra pour origine le point \(\Omega(0 ; 24)\)
2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de la série (X, Y).
3. Justifier que:
a) La variance de X est \(\frac{20}{3}\)
b) La covariance de X et Y est \(\frac{44}{3}\)
4. \(a\) ) Sachant que la variance de \(Y\) est égale a \(\frac{98}{3},\)
déterminer la valeur du coefficient de corrélation
linéaire.
b) Justifier que ce résultat permet d’envisager un ajustement linéaire.
a) Déterminer une équation de (D).
b) Tracer (D).
6. On suppose que l’évolution se poursuit de la même manière au cours des années suivantes.
Donner une estimation du nombre de bacheliers qui accéderont aux études supérieures en 2020
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
L’unité graphique est le centimètre.
Partie A
Soit \(g\) la fonction dérivable et définie sur \(R\) par:
\(g(x)=x+(a x+b) e^{-x},\) oú \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.
Dans le plan muni du repère (O, \(1, J\) ), on désigne par:
\((\mathscr{E})\) la courbe représentative de \(g ;( D )\) la droite d’équation \(y=x\)
1. \(a\) ) On donne: \(g(0)=1 .\) Déterminer la valeur de \(b\).
b) On admet que la tangente (T) à ( \(\mathscr{P}\) )
2. Soit \(h\) la fonction dérivable et définie sur \(R\) par \(: h(x)=e^{x}-x\)
a) soit \(h^{\prime}\) la dérivée de \(h\)
b) Dresser le tableau de variation de \(h\)
c) En déduire que: \(\forall x \in R , h(x)>0\)
Partie B
Soit \(f\) la fonction dérivable et définie sur \(R\) par:
\(f(x)=x+(x+1) e^{-x}\)
1. a) Calculer la limite de \(f\) en \(-\infty\).
b) Justifier que:
\(\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=+\infty\)
\(c\) ) Donner une interprétation graphique de ces résultats.
2. a) Calculer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
b) Démontrer que (D) est une asymptote à ( \(\mathscr{E}\) ) en \(+\infty\)
c) Étudier les positions relatives de \((\mathscr{P})\) et \(( D )\)
3. \(a\) ) On désigne par \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\)
Démontrer que : \(\forall x \in R , f^{\prime}(x)=e^{-x} h(x)\)
b) Déterminer le sens de variations de \(f\)
c) Dresser le tableau de variations de \(f\)
4. Construire sur le même graphique (T), ( \(\mathscr{E}\) ) et (D).
5. a) Démontrer que \(f\) est une bijection de \(R\) sur \(R\).
b) On note \(f^{-1}\) la bijection réciproque de \(f\).
Calculer \(\left(f^{-1}\right)^{\prime}(1)\)
c) Construire \((\Gamma),\) la courbe représentative de \(f^{-1}\)
sur le même graphique que \((\mathscr{E})\)
Partie C
On pose:
\(\forall n \in N ^{*}, I_{n}=\int_{-1}^{n}(t+1) e^{-t} d t\)
1. A l’aide d’une intégration par parties, démontrer que:
\(\forall n \in N ^{*}, I_{n}=(-2-n) e^{-n}+e\)
2. Calculer 1’aire \(\mathscr{Q}_{n}, en cm ²\) de la partie du plan limitée par la courbe \((\mathscr{P}),\)
3. Calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \infty\)