Exercice 1:

Thème Analyse :
Partie I :

On considère la fonction u définie sur IR par:
\(U(x)=\frac{{e}^{2 x}-1}{{e}^{2 x}+1}\)
1-a) Montrer que la fonction \({u}\) est impaire.
b) Calculer \(\lim _{x➝+∞} u(x)\),
puis interpréter géométriquement le résultat.
2-a) Montrer que \(u\) est strictement croissante sur IR.
b) Écrire une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \({C}_{u}\)
au point d’abscisse 0.
3)- Montrer que:
\(u\) admet une bijection réciproque de \(u^{-1}\)
définie sur un intervalle \(J\) que l’on déterminera.
4-a) Tracer dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i}, \vec{j})\)
les courbes \(C_{u}\) et \(C_{u^{-1}}\).
b) Calculer en cm² la surface du secteur Δ tel que :
\((Δ)=\{M(x, y)∈ {P} /(x, y)∈[0, \ln 2]^{2} \text { et } u(x)≤ y≤ u^{-1}(x)\}\)

Partie II :

Soit \(f\) fonction numérique définie par:
\(\left\{\begin{array}{l}f(0)=1 \\ f(x)=\frac{2 x}{x+u(x)}, \text { si } x≠0\end{array}\right.\)
1-a) Justifier que: \(D_{f}\)=IR,
puis calculer \(\lim _{x➝-∞} f({x})\)
b) Montrer que la fonction \(f\) est paire,
puis déduire \(\lim _{x➝+∞} f({x})\)
2) Montrer que \(f\) est continue sur IR

3-a) Montrer que ∀ t∈IR+:
\(u'(t)=1-(u(t))^{2}\),
puis en déduire que ∀ x∈IR+:
\(x-\frac{x^{3}}{3}≤ u(x)≤ x\)
b) Vérifier que ∀x∈IR*+:
\(\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{x-u(x)}{2x^{2}}.f(x)\),
puis en déduire que \(f\) est dérivable en 0
et que \(f'(0)=f(0)\).
4-a ) Montrer que \(f\) est dérivable sur IR*+
et que ∀x∈IR*+:
\(f'(x)=2×\frac{u(x)-x.u'(x)}{(x+u(x))^{2}}\)
b) En utilisant le théorème des accroissement finis,
montrer que ∀x∈IR*+:
\(u(x)-x.u'(x)>f(0)\)
c) Montrer que \(f\) est strictement croissante sur IR+,
puis déterminer \(f\)(IR).

Partie III :

Soit \(F\) la fonction numérique définie par:
\(\left\{\begin{array}{l} F(0)=0 \\ F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x} \ln (f(t)) d t, \text { si } x≠0 \end{array}\right.\)
1-a) Justifier soigneusement que : \(D_{F}=IR\)
b) Montrer que \(F\) est paire
(Utiliser une intégration par changement de variable ).
2-a) En utilisant le théorème de la moyenne,
montrer que ∀x∈IR*: \(f(0)≤ F(x)≤ ln(f(x))\)
(b) En déduire que \(F\) est continue en 0.
c) Montrer que \(F\) est dérivable à droite en 0
et donner \({F}_{{d}}'(0)\)

3-a) Vérifier que ∀ t∈IR*+:
\( \frac{2 t}{1+t}≤ f(t)≤ 2\)
b) En déduire que, pour tout \(x∈[1,+∞[\), on a :
\(\frac{1}{x}\left(\int_{0}^{1} \ln (f(t)) dt+\int_{1}^{x} \ln \left(\frac{2 t}{1+t}\right) dt\right)≤ F(x)≤ \ln 2\)
c) Montrer que ∀x∈[1,+∞[:
\(\int 1^{x} \ln(\frac{2 t}{1+t}) dt=(x+1).\ln(\frac{2 x}{x+1})-\ln x\)
d) En déduire :
\(\lim _{x➝+∞} F(x)\), puis interpréter géométriquement le résultat.
4-a) Montrer que \({F}\) est dérivable sur IR*+
et que ∀ x∈IR*+:
\(F'(x)=\frac{\ln (f(x))-F(x)}{x}\)
b) Dresser le tableau de variation de \(F\) sur IR*+.

Exercice 2:

Thème : Nombres complexes:

Soit \(α\) un nombre complexe non nul et l’équation (E):
\(z^{3}+α z^{2}-\bar{α} z-1=0\)
1-a) Montrer que;
si \(z_{0}, z_{1}\) et \(z_{2}\) sont les solutions de \(({E})\) alors \(z_{0} z_{1} z_{2}=1\)
b) Montrer que:
si \(z\) est solution de \((E)\) alors \(\frac{1}{\bar{z}}\) est aussi solution.
c) En déduire que:
\((E)\) admet au moins une solution de module 1 .
2- On suppose que \(|α|=1\).
a) Vérifier que \(-α\) est une solution de \((E)\)
et montrer que \((E)\) est équivalente à :
\((z+α)\left(a z^{2}+b z+c\right)=0\)
où \(a, b\) et \(c\) sont trois nombres complexes à déterminer en fonction de \({α}\).
b) Soit \({\theta}\) un argument de \({α}\).
Écrire les solutions de \(({E})\) en fonction \(\operatorname{de} {\theta}\).
3- Donner les solutions de l’équation:
\((F): 2 z^{3}+(1+i \sqrt{3}) z^{2}-(1-i \sqrt{3}) z-2=0\)

Exercice 3: 

Thème : Arithmétiques:

Soit
\((S):\left\{\begin{array}{l}n \equiv 13[19] \\ n \equiv 6[12]\end{array}\right.\)
1-a) Montrer que:
\(∃(u,v)∈Z×Z ; \mathbf{19 u}+\mathbf{12} {v}=\mathbf{1}\)
b) Montrer que:
\(N=13×12 v+6×19 u\) est une solution de \((S)\).
2-a) Soit \(n_{0}\) une solution de \((S)\).
Montrer que:
\((S) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}n \equiv n_{0}[19] \\ n \equiv n_{0}[12]\end{array}\right.\)
b) Montrer que:
\(\left\{\begin{array}{l}n \equiv n_{0}[19] \\ n \equiv n_{0}[12]\end{array} ⇔n \equiv n_{0}[12×19] .\right.\)
3-a) Trouver une solution de \(19 u+12 v=1\) puis calculer \(N\).
b) En déduire l’ensemble des solutions de ( \({S}\) ) ( utiliser 2.b).