Exercice 1:
Soit (m) un nombre complexe non réel ((m∈ℂ-IR )).
Parie A:
On considère dans ({C}), l’équation d’inconnue (z) définie par:
(E): (z^{2}-(1+i)(1+m) z+2 i m=0)
1 (a) Montrer que le discriminent de l’équation ( (E) ) est non nul.
b) Déterminer (z_{1}) et (z_{2}), les deux solutions de l’équation ((E)).
2 On suppose dans cette question que (m= e ^{i theta}) avec (0<theta<pi).
a Déterminer le module et un argument de (z_{1}+z_{2}).
b) Montrer que:
si (z_{1}×z_{2}∈IR) alors (z_{1}+z_{2}=2 i)
Parie B :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ((O ; vec{u}, vec{v})).
On considère les points suivants:
A d’affixe (a=1+i,) B d’affixe (b=(1+i) m,)
C d’affixe (c=1-i, D) limage du point B par la rotation
de centre O et d’angle (frac{pi}{2}) et Ω le milieu du segment ([CD]).
1 a ) Montrer que l’affixe de Ω est (omega=frac{(1-i)(1-m)}{2}).
b) Calculer (frac{b-a}{omega})
c) En déduire que ((OΩ) perp(A B)) et que (AB=2 OΩ).
2 La droite ((OΩ)) coupe la droite ((A B)) au point (H) d’affixe (h).
a) Montrer que (frac{h-a}{b-a}) est un réel
et que (frac{h}{b-a}) est un imaginaire pur.
b) En déduire (h) en fonction de (m).
Exercice 2:
On admet que 2969 (l’année amazighe actuelle) est un nombre premier.
Soient (n) et (m) deux entiers naturels vérifiant (n^{8}+m^{8} ≡ 0[2969]).
1 On suppose dans cette question que 2969 ne divise pas (n .)
a) En utilisant le théorème de BEZOUT,
montrer que :
((exists u∈Z ) ; u×n ≡ 1[2969])
b) En déduire que ((u×m)^{8} ≡-1[2969])
et que ((u×m)^{2968} ≡-1[2969).
(On remarque que (: 2968=8×371) )
c) Montrer que 2969 ne divise pas (u×m)
d) En déduire qu’on a aussi :
((u×m)^{2968} ≡ 1[2969) ]
2 a En utilisant les résultats précédents,
montrer que 2969 divise (n).
b) Montrer que:
(n^{8}+m^{8} ≡ 0[2969] ⇔ n ≡ 0[2969]) et (m ≡ 0[2969]).
Exercice 3:
Partie A :
On considère la fonction (f) définie sur (R) par:
(f(x)=4 x( e ^{-x}+frac{1}{2} x-1))
et on note (C_{f}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
((O; vec{i}, vec{j})).
1 Calculer:
(lim _{x➝-∞} f(x)) et (lim _{x➝+∞} f(x)).
2)-a Montrer que (f) est dérivable sur (R)
et que ∀x∈R: ( f^{prime}(x)=4( e ^{-x}-1)(1-x)).
b) Étudier les variation de (f) sur (R),
puis donner son tableau de variations.
c) Montrer qu’il existe un unique réel (α∈] frac{3}{2},2[)
tel que (f(α)=0).
(On prendra (e ^{frac{3}{2}}=4,5) )
d) Vérifier que (e ^{-a}=1-frac{α}{2}).
3)-a En appliquant
le théorème de ROLLE à la fonction (f^{prime}),
montrer qu’il existe un réel (x_{0}∈[0,1[.)
tel que (f^{prime prime}(x_{0})=0).
b) En appliquant
le théorème des accroissements finis à la fonction (f^{prime prime}),
montrer que pour tout réel (x) différent de (x_{0}) de l’intervalle (] 0,1[.), on a : (frac{f^{prime prime}(x)}{x-x_{0}}>0)
c) En déduire que (I(x_{0}, f(x_{0}))) est un point d’inflexion de la courbe (C _{f}).
4-a) Étudier les branches infinies de la courbe (C _{f}).
(b) Représenter graphiquement la courbe (C _{f}) dans le repère ((O ; vec{i}, vec{j})). ( On prendra (:|vec{i}|=|vec{j}|=1 cm , f(1)=-0,5) et il n’est pas demandé de représenter le point (I) )
5-a) Vérifier que ∀x∈]-∞, α]: ( f(x)≤ 0).
b) Montrer que :
(int_{0}^{a} f(x) d x=frac{2}{3} α(α^{2}-3)),
en déduire que: (frac{3}{2}<α≤ sqrt{3}).
c) Calculer en fonction de (α), en (cm ^{2}),
l’aire du domaine plan limité par la courbe (C _{f})
et les droites d’équations (y=0, x=0) et (x=α).
Partie B:
On considère la suite ((u_{n})_{n∈N }) définie par:
(u_{0}<α)
∀n∈N , (u_{n+1}=f(u_{n})+u_{n})
1-a) Montrer par récurrence que :
((∀n∈N ) ; u_{n}<α).
(Utiliser la question Partie A: 5-a) )
(b) En déduire que la suite ((u_{n})_{n∈N }) est décroissante.
2 On suppose que (0≤ u_{0})
et on pose ∀x∈IR 🙁 g(x)= e ^{-x}+frac{1}{2} x-frac{3}{4})
a) Montrer que ∀x∈IR: (g(x)>0)
(On prendra (: ln 2=0,69) )
(b) En utilisant le résultat de la question précédente,
montrer que ∀n∈IN: (0≤ u_{n})
(On remarque que: (f(x)+x=4x g(x)))
(c) Montrer que la suite ((u_{n})_{n∈N}) est convergente,
(d) Calculer (lim _{n➝+∞} u_{n}).
3 On suppose que (u_{0}<0)
a) Montrer que ∀n∈IN (u_{n+1}-u_{n}≤ f(u_{0})).
(b) Montrer que ∀n∈IN: (u_{n}≤ u_{0}+n f(u_{0})).
(c) En déduire (lim _{n➝+∞} u_{n}).