Examen National Math Bac 2 SM 2021 Bac Blanc 6

Exercice 1: (4 Pts)

Soit $m$ un nombre complexe non nul.
I.
On considère dans $ℂ$ l’équation d’inconnue $Z$ définie par:
$(E_m):z^3+(2-i)z^2+(m^2+1-2i)z-i(m^2+1)=0$
Et soit $z_0;z_1$ et $z_2$ sont les solutions de l’équation $(E_m)$.
1) Vérifier que $z_0=i$ est une solution de l’équation $(E_m)$
2) Résoudre dans $C$ l’équation $(E_m)$.
3) Montrer que:
$|z_1|=|z_2|$ si ct seulement si $m\in R^{\ast }$.
4) Sachant que $m=e^{iӨ}$ avec $\pi <Ө<\frac{3\pi }{2};$
mettre les racines de l’équation $(E_m)$ sous La forme exponentielle.

II.
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct
$(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$.
On considère les points $A;B$ et $M$ d’affures respectives:
$z_A=-1+im;z_B=-1-im\text{ et }{z}_M=m$
1) Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixes $m$
pour que les points $A,B$ et $M$ soient alignés
2) On suppose que $m\overline{m}+Re(m)\ne 0;$
et soit $R$ la transformation du plan reliant le point $M$ d’affixe $z$
au point $M^{\prime }$ d’affixe $z^{\prime }$ avec: $z^{\prime }=iz-1$.
a) Montrer que:
$R$ est une rotation en déterminant l’affixe de son centre $\Omega$
et une mesure de son angle.
b) Montrer que:
le nombre complexe $\frac{z_B-m}{z_B-z_A}$ est imaginaire pur
si seulement si $m\overline{m}-\mathrm{Im}(m)=0$
c) En déduire l’ensemble des points $M$
pour lesquels les points $A;B;M$ et $\Omega$ sont cocycliques.

Exercice 2: (4,5 Pts)

I –
On considère dans $Z^2$ l’équation:
$(E):13x-162y=1$.
1) Vérifier que le couple $(25;2)$ est une solution particulière de $(E)$
2) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation $(E)$.
II –
On considère dans $Z$ l’équation $(F):x^{25}\equiv 3[163]$
1) Soit $x$ une solution de l’équation $(F)$.
a) Montrer que:
163 est premier ; et que $x$ et 163 sont premier entre eux
b) Montrer que:
$x^{162}\equiv 1[163]$.
c) Montrer que:
$x\equiv 3^{13}[163]$.
2) Montrer que:
si l’entier $x$ vérifie la relation $x\equiv 3^{13}[163]$
alors: $x$ est une solutions de l’équation $(F)$.
3) Montrer que:
l’ensemble des solutions de l’équation $(F)$ est l’ensemble des entier
qui s’écrivent sous la forme $20+163k$ avec $k\in Z$
Remarque que $3^8\equiv 41[163])$

III-
On considère dans $Z$ le système $(S)$:
$\{\begin{array}{l}x\equiv a[13]\\ x\equiv b[162]\end{array}$.
1) Vérifier que:
$x_0=325b-324a$ est une solution du système $(S)$.
2) Montrer que:
$x$ est solution de $(S)$ si et seulement si $x\equiv x_0[2106]$.

Exercice 3: (8,5 Pts)

Partie I
On considère la fonction $f$ définie sur $IR$ par:
$f(x)=e^{-2x}\ln (1+e^x)$
Soit $(C_f)$ la représentation graphique de $f$
dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$
1) a) Montrer que:
$\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)=0$,
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Calculer:
$\underset{x➝-\infty }{lim}f(x)$ et $\underset{x➝-\infty }{lim}\frac{f(x)}{x}$,
puis interprète graphiquement le résultat obtenu.
2) Montrer que:
$f$ est dérivable sur $IR$
puis vérifier que $\forall x\in IR$ :
$f^{\prime }(x)=e^{-2x}(\frac{e^x}{e^x+1}-2\ln (1+e^x))$
3) Soit $t\in ]0;+\infty [.$
En utilisant le théorème des accroissement finis
Montrer que: $\frac{t}{1+t}<\ln (1+t)<t$
4) En déduire les variations de la fonction $f$,
puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
5) Construire la courbe $(C_f)$.

Partie II
1) Montrer quel’équation $f(x)=e^x$
admet ure solution unique $\alpha$ dans $IR$ et que $-1<\alpha <0$.
2) Montrer que:
$\alpha$ est l’unique solution de l’équation $\phi (x)=x$,
avec $\phi (x)=\frac{1}{3}\ln (\ln (1+e^x))$
3) Montrer que $\phi$ est dérivable sur $IR$,
et ∀x∈IR: $|{\phi }^{\prime }(x)|\le \frac{1}{3}$.
4) Soit $(U_n)$ la suite définie par: $U_0=0$
et ∀n∈IN : $U_{n+1}=\phi (U_n)$
a) Montrer que $(\forall n\in IN$
$|U_{n+1}-\alpha |\le \frac{1}{3}|U_n-\alpha |$.
b) Montrer que ∀n∈IN:
$|U_n-\alpha |\le (\frac{1}{3}{)}^n$.
c) En déduire que;
la suite $(U_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Partie III
On considère la fonction $F$ définie sur $R_{+}^{\ast }$ par $\forall x>0$:
(F ( x )=\int_{0}^{x} f (t) dt\)
1) Calculer $F^{\prime }(x)$ pour tout $x>0$.
En déduire la monotonie de $F$ sur lintervalle $]0;+\infty [$
2) Calculer ${\int }_0^x\frac{e^{-t}}{1+e^t}dt.$
(Remarque que $\frac{1}{t(1+t)}=\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1})$
3) En utilisant la méthode d’intégration par partie calculer:
${\int }_0^x{e}^{-2t}\ln (1+e^t)dt$
4) En déduire l’aire du domaine délimité par
la courbe $(C_f)$ et les droites d’équations $x=0;x=1$ et $y=0$

Exercice 4: (3 Pts)

On considère la fonction $F$ définie sur $IR$ par:
$F(x)={\int }_x^{2x}\frac{1}{\sqrt{1+t^2+t^4}}dt$
1) Montrer que $F$ est impaire.
2) Montrer que $(\forall x\in R_{+}^{\ast })(\exists c_x\in ]x;2x[)$ :
$F(x)=\frac{x}{\sqrt{1+c_x^2+c_x}}$
3) a) En déduire que:
$(\forall x\in R_{+}^{\ast });0\le F(x)\le \frac{1}{x}$.
b) Calculer:
$\underset{x➝+\infty }{lim}F(x)$; puis en déduire $\underset{x➝-\infty }{lim}F(x)$.
4) Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur $R$,
puis déterminer sa fonction dérivée $F^{\prime }$.

By: Prof. Younes Baba