Exercice 1:
Soit \(n∈IN ^{*}\)
on pose:
\(u_{n}=\underbrace{11….1}_{n \text { foix }}\)
1-Vérifier que:
\((∀n∈IN ^{*}) ; 9 u_{n} = 10^{n}-1\)
2-Prouver que:
\((∀n∈IN ^{*}) ; u_{n} ≡ 0 [7] ⇔ n ≡ 0 [6]\)
3-Déduire le plus petit entier naturel \(n\) tel que Un soit divisible par 63
Exercice 2:
Soit \(p\) entier relatif tel que: \(p≠1\)
et soit \(n∈IN\) on pose :
\(S_{n}=1+p+p^{2}+…+p^{n-1}\)
1-a- Vérifier que :
\((∀n∈IN ^{*}) ; S_{n}=\frac{1-p^{n}}{1-p}\)
b-Déduire que :
\((∀n∈IN ^{*}) ; p^{n} \wedge(1-p)=1\)
2- On considère dans \(Z ^{2}\) l’équation:
\(( E _{n}): p^{n} x+(1-p) y=p\)
a-Vérifier que:
l’ensemble des solutions de l’équation (En) est non vide
b-Résoudre dans \(Z ^{2}\) l’équation :(En)
c- En déduire les solutions de l’équation:
\(( F _{n}): 10^{n} x-2^{n+2} y=10×2^{n-1}\)
Exercice 3:
Soit n ∈IN , on pose :
\(I_ {n}=\int_{n}^{1}(1-x^{2})^{n} d x\)
1-a- Montrer que :
la suite \((I_{n})_{n∈IN }\) est décroissante .
b-Déduire que:
\((I_{n})_{n∈IN }\) est convergente vers L réel tel que: \(0≤ L≤ 1\)
2- soit : \(a∈] 0;1[\)
a- Montrer que:
\((∀n∈IN ^{*}) ; I_{n}≤ a+(1-a)(1-a^{2})^{n}\)
b- Deduire que \(L≤ a\)
puis déterminer la valeur de L
3-a- Montrer que :
\((∀n∈IN ) ; I_{n+1}=\frac{2 n+2}{2 n+3}×I_{n}\)
b- Déduire que:
\((∀n∈IN ) ; I_{n}=\frac{2^{2 n}×(n !)^{2}}{(2 n+1) !}\)
Exercice 4:
le plan complexe (P) muni du repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\)
soit \(m∈ℂ\)
on considère la transformation \(f_{m}\) qui lié
tout point M(z) au point M(z’) tel que:
\(z’=(i m-1) z+m\)
1-a- Déterminer m pour que\(f_{m}\) soit une Translation.
b-Déterminer la valeur de m pour \(f_{m}\) soit une Homothétie
(déterminer: rapport et l’affixe du centre)
2- a-Monter que: \(f_{m}\) est une rotation ⇔\(m=e^{i Ө}-i\)
avec \(Ө∈ R -\{-\frac{\pi}{2}+2 k \pi / k∈ Z \}\)
b-On suppose que \(Ө ≡ 0[2 \pi]\)
déterminer les éléments caractéristiques du rotation \(f_{m}\),
et écrire une représentation complexe de \(f_{m}^{-1}\)
3- Soit \(z∈ℂ\)
on pose \(z’=i z+1-i\)
a-Ecrire sous forme algébrique les racines cubiques de a=-1
b-Démonter que:
\((z’)^{3}+1=0 ⇔ z^{3}-3(1+i) z^{2}+6 i z+2-i=0\)
c-Résoudre dans \(ℂ\) l’équation \((E): z^{3}-3(1+i) z^{2}+6 i z+2-i=0\)
d-Soient A, B, C points images des solutions de l équation (E) dans le plan complexe (P)
Montrer que l’ensemble des points M(z) du (P)
tel que \(|i z+(1-i)|=1\) est un cercle circonscrit au triangle ABC
et le construire dans le plan (P).
Exercice 5:
Pour tout \(n∈ IN ^{*}\)
Soit \(f_{n}\) fonction définie par:
\((∀x∈ IR ) ; f_{n}(x)=n(2-x) e^{x}-1\)
1-a- calculer les limites:
\(\lim _{x ➝-∞} f_{n}(x) .\)
\(\lim _{x ➝+∞} f_{n}(x)\)
b- Donner le tableau de variation de la fonction \(f_{n}\)
2-a- Montrer que l équation :\(E_{n}: f_{n}=0\)
admet deux racines \(α_{n}\) et \(β_{n}\)
tel que: \(α_{n}<1<β_{n}<2\)
b-Donner un tableau de signe de \(f_{n}\) sur IR
3 a- Etudier le signe de \(f_{n+1}(x)-f_{n}(x)\) sur lR
b- En déduire la monotonie des deux suites:
\((α_{n})_{n∈ IN ^{*}}\) \((β_{n})_{n∈ IN ^{*}}\)
4-a- Vérifier que :\((∀n∈ IN ^{*}) ; 2-β_{n}=\frac{1}{n} e^{-β_{n}}\)
b-Montrer que:
la suite \((β_{n})_{n∈ IN ^{*}}\) est convergente et calculer sa limite.
5-Montrer que:
la suite \((α_{n})_{n∈ IN ^{*}}\) est non minorée .
Déduire sa limite (justifier votre réponse )
Exercice 6:
Soit F fonction définie sur lR par:
\(F(0)=\ln 3\)
\((∀x∈IR ^{*}) ; F(x)=\int_{x}^{3 x} \frac{\cos t}{t} dt\)1-Étudier la parité de la fonction F.
2- Étudier le signe de \(F(\frac{π}{6})\) et \(F(\frac{π}{2})\)
3) a-Montrer que:
\((∀x∈IR ^{*+}); F(x)=\ln 3-2×\int_{x}^{3 x} \frac{\sin ^{2}(\frac{t}{2})}{t} dt\)
b-Déduire que:
\((∀x∈IR ^{*}); -2 x^{2}≤ F(x)-\ln 3≤ 0\)
c-Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction F a droite en 0 .
4- a-En utilisant une intégration par partie ,
Montrer que:
\((∀x∈IR ^{*+}); F(x)=\frac{\sin (3 x)-\sin x}{3 x}+\int_{x}^{3 x} \frac{\sin (t)}{t^{2}} dt\)
b-Déduire que:\((∀x∈IR ^{*}); |F(x)|≤ \frac{2}{x}\)
puis calculer \(\lim _{x ➝+∞} F(x)\)
4-a- Montrer que F est dérivable sur\((∀x∈IR ^{*})\)
et on a: \((∀x∈IR ^{*+}); F'(x)=\frac{\cos (3 x)-\cos x}{x}\)
b- Montrer que:
l’équation \(( E ): F(x)=0\) admet unique solution dans \(]\frac{π}{6};\frac{π}{2}[\)