Examen Bac 2 Economie Générale et Statistiques 2020 Normale
– 7 juillet 2020 – Session Normale
Partie I
Obligatoire: Exercice 1 et Exercice 2
* Exercice 1: (6 pts) *
Soit \((u_{n})_{n∈IN}\) la suite numérique définie par:
\(u_{0}=0\) et \(u_{n+1}=\frac{1}{4} u_{n}-\frac{9}{2}\) pour tout n de IN
1. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\). (0.5)
2. a. Montrer par récurrence que:
pour tout n de IN, \(u_{n}>-6\). (0.75)
2. b. Montrer que pour tout n de IN:
\(u_{n+1}-u_{n}=\frac{-3}{4}(u_{n}+6)\). (0.75)
2.c. En déduire que:
\((u_{n})_{n∈IN}\), est une suite décroissante. (0.25)
3. Montrer que \((u_{n})_{n∈IN}\), est une suite convergente. (0.25)
4. On pose pour tout n de IN:
\(v_{n}=\frac{1}{3} u_{n}+2\)
4.a. Calculer \(v_{0}\). (0.25)
4.b. Montrer que:
\((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{4}\). (1)
4.c. Donner \(v_{n}\) en fonction de n. pour tout n de . (0.5)
5. Vérifier que pour tout n de IN:
\(u_{n}=3(v_{n}-2)\). (0.5)
5. b. En déduire que pour tout n de IN:
\(u_{n}=(6((\frac{1}{4})^{n}-1)\). (0.5)
5.c. Calculer \(lim_{n➝+∞} u_{n}\). (0.5)
* Exercice 2: (10 pts) *
Partie A:
On considère la fonction numérique \(g\)
définie sur ]0;+∞[ par: g(x)=x-1+ln(x)
1. Montrer que: \(g ‘(x)=1+\frac{1}{x}\) pour tout x de ]0;+∞[. (0.5)
2. Donner le signe de g ‘(x) sur ]0;+∞[. (0.5)
3. Calculer g(1) et dresser le tableau de variations de \(g\)
(sans calculer les limites). (1)
4. En déduire que g(x)≤0 sur ]0;1] et que g(x)≥0 sur [1;+∞[. (1)
Partie B:
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur ]0;+∞[par:
\(f(x)=(1-\frac{1}{x})lnx\)
et soit \((C_{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\((O;\vec{i};\vec{j})\)
1. Calculer \(\lim_{x➝0 \atop x>0} f(x)\)
et puis donner une interprétation géométrique du résultat. (1.25)
2. Calculer \(\lim_{x➝+∞} f(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}\)
puis donner une interprétation géométrique du résultat. (1.5)
3.a. Montrer que \(f ‘(x)=\frac{g(x)}{x^{2}}\) pour tout x de ]0;+∞[. (1)
3.b. En déduire le signe de f ‘(x) sur ]0;1] et sur [1;+∞[. (1)
3.c. Calculer f(1) et dresser le tableau de variations de \(f\). (0.75)
4. Dans ta figure ci-dessous \((C_{f})\) est la courbe représentative de \(f\)
et (D) la droite d’équation y=x-1 dans le repère orthodromie \((O;\vec{i};\vec{j})\).
4.a Résoudre graphiquement sur ]0;+∞[ l’inéquation: f(x)≥x-1. (1)
4.b, Déterminer graphiquement sur ]0;+∞[
l’ensemble des solutions de l’équation: f(x)=1. (0.5)
PARTIE II :
Le candidat a le choix de répondre exclusivement:
Soit a l’exercice 3 Soit a l’exercice 4
* Exercice 3: (4 pts) *
On considère la fonction numérique \(h\)
définie sur IR par: \(h(x)=e^{x}-x-1\)
1. Calculer h ‘ (x) pour tout x de . (0.5)
2. Etudier le signe de h ‘(x) sur . (1)
3. Calculer h(0) et dresser le tableau de variations de \(h\)
(sans calculer les limites). (1.5)
4. En déduire que h(x)≥0 sur . (1)
* Exercice 4: (4 pts) *
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes:
1. \(f_{1}(x)=x+\frac{1}{2\sqrt{x}}\) définie sur ]0;+∞[. (1)
2. \(f_{2}(x)=2 \frac{\ln x}{x}+2x\) définie sur ]0;+∞[. (1)
3. \(f_{3}(x)=\frac{2 x}{(x^{2}+1)^{2}}\) définie sur . (1)
4. \(f_{4}(x)=\frac{-1}{x(lnx)^{2}}\) définie sur ]1;+∞[. (1)