Examen Bac 2 Economie Générale et Statistiques 2020 Normale
– 7 juillet 2020 – Session Normale
Partie I
Obligatoire: Exercice 1 et Exercice 2
* Exercice 1: (6 pts) *
Soit ((u_{n})_{n∈IN}) la suite numérique définie par:
(u_{0}=0) et (u_{n+1}=frac{1}{4} u_{n}-frac{9}{2}) pour tout n de IN
1. Calculer (u_{1}) et (u_{2}). (0.5)
2. a. Montrer par récurrence que:
pour tout n de IN, (u_{n}>-6). (0.75)
2. b. Montrer que pour tout n de IN:
(u_{n+1}-u_{n}=frac{-3}{4}(u_{n}+6)). (0.75)
2.c. En déduire que:
((u_{n})_{n∈IN}), est une suite décroissante. (0.25)
3. Montrer que ((u_{n})_{n∈IN}), est une suite convergente. (0.25)
4. On pose pour tout n de IN:
(v_{n}=frac{1}{3} u_{n}+2)
4.a. Calculer (v_{0}). (0.25)
4.b. Montrer que:
((v_{n})) est une suite géométrique de raison (frac{1}{4}). (1)
4.c. Donner (v_{n}) en fonction de n. pour tout n de . (0.5)
5. Vérifier que pour tout n de IN:
(u_{n}=3(v_{n}-2)). (0.5)
5. b. En déduire que pour tout n de IN:
(u_{n}=(6((frac{1}{4})^{n}-1)). (0.5)
5.c. Calculer (lim_{n➝+∞} u_{n}). (0.5)
* Exercice 2: (10 pts) *
Partie A:
On considère la fonction numérique (g)
définie sur ]0;+∞[ par: g(x)=x-1+ln(x)
1. Montrer que: (g ‘(x)=1+frac{1}{x}) pour tout x de ]0;+∞[. (0.5)
2. Donner le signe de g ‘(x) sur ]0;+∞[. (0.5)
3. Calculer g(1) et dresser le tableau de variations de (g)
(sans calculer les limites). (1)
4. En déduire que g(x)≤0 sur ]0;1] et que g(x)≥0 sur [1;+∞[. (1)
Partie B:
On considère la fonction numérique (f) définie sur ]0;+∞[par:
(f(x)=(1-frac{1}{x})lnx)
et soit ((C_{f})) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
((O;vec{i};vec{j}))
1. Calculer (lim_{x➝0 atop x>0} f(x))
et puis donner une interprétation géométrique du résultat. (1.25)
2. Calculer (lim_{x➝+∞} f(x)) et (lim _{x➝+∞} frac{f(x)}{x})
puis donner une interprétation géométrique du résultat. (1.5)
3.a. Montrer que (f ‘(x)=frac{g(x)}{x^{2}}) pour tout x de ]0;+∞[. (1)
3.b. En déduire le signe de f ‘(x) sur ]0;1] et sur [1;+∞[. (1)
3.c. Calculer f(1) et dresser le tableau de variations de (f). (0.75)
4. Dans ta figure ci-dessous ((C_{f})) est la courbe représentative de (f)
et (D) la droite d’équation y=x-1 dans le repère orthodromie ((O;vec{i};vec{j})).
4.a Résoudre graphiquement sur ]0;+∞[ l’inéquation: f(x)≥x-1. (1)
4.b, Déterminer graphiquement sur ]0;+∞[
l’ensemble des solutions de l’équation: f(x)=1. (0.5)
PARTIE II :
Le candidat a le choix de répondre exclusivement:
Soit a l’exercice 3 Soit a l’exercice 4
* Exercice 3: (4 pts) *
On considère la fonction numérique (h)
définie sur IR par: (h(x)=e^{x}-x-1)
1. Calculer h ‘ (x) pour tout x de . (0.5)
2. Etudier le signe de h ‘(x) sur . (1)
3. Calculer h(0) et dresser le tableau de variations de (h)
(sans calculer les limites). (1.5)
4. En déduire que h(x)≥0 sur . (1)
* Exercice 4: (4 pts) *
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes:
1. (f_{1}(x)=x+frac{1}{2sqrt{x}}) définie sur ]0;+∞[. (1)
2. (f_{2}(x)=2 frac{ln x}{x}+2x) définie sur ]0;+∞[. (1)
3. (f_{3}(x)=frac{2 x}{(x^{2}+1)^{2}}) définie sur . (1)
4. (f_{4}(x)=frac{-1}{x(lnx)^{2}}) définie sur ]1;+∞[. (1)