Exercice 1: (4.5 Pts)
Soit ((u_{n})_{n∈IN}) la suite numérique définie par:
(u_{0}=1)
(u_{n+1}=frac{u_{n}-9}{u_{n}-5}) pour tout (n) de IN
1. Calculer (u_{1}) et (u_{2})
2. Montrer par récurrence que pour tout (n) de IN:
( u_{n}<3)
3.a. Vérifier que pour tout (n) de IN:
(u_{n+1}-u_{n}=frac{(u_{n}-3)^{2}}{5-u_{n}})
3.b. Montrer que:
((u_{n})_{n∈IN}) est une suite croissante.
4. En déduire que la suite ((u_{n})_{n∈IN}) est convergente.
5. On pose pour tout (n) de IN :
(v_{n}=frac{-2 u_{n}+4}{u_{n}-3})
5.a. Vérifier que (v_{0}=-1)
5.b. Montrer que:
(v_{n+1}=frac{-u_{n}+1}{u_{n}-3})
5.c. En déduire que:
((v_{n})) est une suite arithmétique de raison 1
6.a. Montrer que pour tout (n) de IN:
(u_{n}=frac{3 v_{n}+4}{v_{n}+2})
6.b. En déduire que pour tout (n) de IN:
(u_{n}=frac{3 n+1}{n+1})6.c. Calculer (lim _{n➝+∞} u_{n})
Exercice 2: (4 Pts)
Les résultats seront donnés sous forme de fraction)
Un sac (S_{1}) contient:
deux boules blanches, une boule rouge et trois boules vertes.
Un autre sac (S_{2}) contient:
une boule blanche, deux boules rouges et une boule verte.
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
On considère l’expérience suivante :
« on tire une boule du sac (S_{1}) puis on tire une boule du sac (S_{2}) »On considère les événements suivants :
A: « Les deux boules tirées sont blanches»
B: « Les deux boules tirées sont de couleurs différentes»
1. Montrer que (p(A)=frac{1}{12})
2. Montrer que:
(p(bar{B})=frac{7}{24})
( (bar{B}) est l’événement contraire de (B) )
et en déduire (p(B))
3. Calculer (p(A cup B))
Exercice 3: (11.5 Pts)
On considère la fonction numérique (f) de la variable réelle (x)
définie sur (]0;+∞[) par :
(f(x)=(1-ln x) ln x)
et soit ((C_{f})) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé ((O ; vec{i} ; vec{j}))
1. Calculer (lim _{x➝ 0} f(x))
et interpréter géométriquement le résultat.
2.a. Calculer (lim _{x➝+∞} f(x))
2.b. On admet que (lim _{x➝+∞} frac{(ln x)^{2}}{x}=0)
Calculer (lim _{x➝+∞} frac{f(x)}{x})
et interpréter géométriquement le résultat.
3.a. Montrer que, pour tout (x) de (]0;+∞[):(f^{prime}(x)=frac{1}{x}(1-2 ln x).)
3.b. Montrer que:
(f) est croissante sur (]0;sqrt{e}])et qu’elle est décroissante sur ([sqrt{e};+∞[)3.c. Calculer (f(sqrt{e}))
puis dresser le tableau de variations de (f)
3.d. Résoudre l’équation (f(x)=0)
et en déduire les coordonnées des points d’intersection de ((C_{f}))
avec l’axe des abscisses.
3.e. Donner l’équation de la tangente ((T)) à la courbe ((C_{f}))
au point d’abscisse (x_{0}=1)
4.a. Montrer que pour tout (x) de (]0;+∞[):(f^{prime prime}(x)=frac{1}{x^{2}}(2 ln x-3))
4.b. Montrer que:
(A(e^{frac{3}{2}} ; frac{-3}{4})) est un point d’inflexion de ((C_{f}))
5. Dans la figure ci-dessous Figue 1.
((C_{f})) est la courbe représentative de (f)et soit (F) la fonction définie par :
(F(x)=-x(ln x)^{2}+3 x ln x-3 x)
5.a. Montrer que:
(F) est une primitive de (f) sur (]0;+∞[) 5.b. A partir de la courbe ((C_{f})) Figue 1,
donner les variations de (F) sur (]0;+∞[) 5.c. Calculer l’aire de la partie hachurée.
