Examen National Maths 2 Bac Economie Générale et Statistiques 2019 Rattrapage

Exercice 1: (4.5 Pts)

Soit $(u_n{)}_{n\in IN}$ la suite numérique définie par:
$u_0=1$
$u_{n+1}=\frac{u_n-9}{u_n-5}$ pour tout $n$ de IN
1. Calculer $u_1$ et $u_2$
2. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de IN:
$u_n<3$
3.a. Vérifier que pour tout $n$ de IN: 
$u_{n+1}-u_n=\frac{(u_n-3{)}^2}{5-u_n}$
3.b. Montrer que:
 $(u_n{)}_{n\in IN}$ est une suite croissante.
4. En déduire que la suite $(u_n{)}_{n\in IN}$ est convergente.
5. On pose pour tout $n$ de IN :
$v_n=\frac{-2u_n+4}{u_n-3}$
5.a. Vérifier que $v_0=-1$
5.b. Montrer que:
 $v_{n+1}=\frac{-u_n+1}{u_n-3}$
5.c. En déduire que:
 $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison 1
6.a. Montrer que pour tout $n$ de IN:
 $u_n=\frac{3v_n+4}{v_n+2}$
6.b. En déduire que pour tout $n$ de IN:
$u_n=\frac{3n+1}{n+1}$6.c. Calculer $\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n$

Exercice 2: (4 Pts)

Les résultats seront donnés sous forme de fraction)
Un sac $S_1$ contient:
deux boules blanches, une boule rouge et trois boules vertes.
Un autre sac $S_2$ contient:
une boule blanche, deux boules rouges et une boule verte.
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
On considère l’expérience suivante :
« on tire une boule du sac $S_1$ puis on tire une boule du sac $S_2$ »On considère les événements suivants :
A: « Les deux boules tirées sont blanches»
B: « Les deux boules tirées sont de couleurs différentes»
1. Montrer que $p(A)=\frac{1}{12}$
2. Montrer que:
$p(\overline{B})=\frac{7}{24}$
( $\overline{B}$ est l’événement contraire de $B$ )
et en déduire $p(B)$
3. Calculer $p(A\cup B)$

Exercice 3: (11.5 Pts)

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$
définie sur $]0;+\infty [$ par :
$f(x)=(1-lnx)lnx$
et soit $(C_f)$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$
1. Calculer $\underset{x➝0}{lim}f(x)$
et interpréter géométriquement le résultat.
2.a. Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$
2.b. On admet que $\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{(\ln x{)}^2}{x}=0$
Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{f(x)}{x}$
et interpréter géométriquement le résultat.
3.a. Montrer que, pour tout $x$ de $]0;+\infty [$:$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}(1-2\ln x).$
3.b. Montrer que:
 $f$ est croissante sur $]0;\sqrt{e}]$et qu’elle est décroissante sur $[\sqrt{e};+\infty [$3.c. Calculer $f(\sqrt{e})$
puis dresser le tableau de variations de $f$

3.d. Résoudre l’équation $f(x)=0$
et en déduire les coordonnées des points d’intersection de $(C_f)$
avec l’axe des abscisses.
3.e. Donner l’équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$
au point d’abscisse $x_0=1$
4.a. Montrer que pour tout $x$ de $]0;+\infty [$:$f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x^2}(2\ln x-3)$ 
4.b. Montrer que:
$A(e^{\frac{3}{2}};\frac{-3}{4})$ est un point d’inflexion de $(C_f)$
5. Dans la figure ci-dessous Figue 1.
$(C_f)$ est la courbe représentative de $f$et soit $F$ la fonction définie par :
$F(x)=-x(\ln x{)}^2+3x\ln x-3x$
5.a. Montrer que:
$F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$ 5.b. A partir de la courbe $(C_f)$ Figue 1,
donner les variations de $F$ sur $]0;+\infty [$ 5.c. Calculer l’aire de la partie hachurée.