Examen National Maths 2 Bac Economie Générale et Statistiques 2020 Rattrapage

Exercice 1: (6 Pts)

Soit $(u_n{)}_{n\ge 1}$ la suite numérique définie par:
$u_0=5$ et $u_{n+1}=\frac{4u_n-9}{u_n-2}$ pour tout $n$ de IN
1. Calculer $u_1$ et $u_2$
2.a. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de IN : $u_n>3$
2.b. Montrer que:
pour tout $n$ de IN $u_{n+1}-u_n=-\frac{(u_n-3{)}^2}{u_n-2}$
2.c. En déduire que:
$(u_n{)}_{n\ge 1}$ est une suite décroissante.
3. Montre que:
la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$ est convergente.
4.On pose pour tout $n$ de IN : $v_n=\frac{1}{u_n-3}$
4.a. Calculer $v_0$
4.b. Calculer $v_{n+1}-v_n$
et en déduire que la suite $(v_n{)}_{n\ge 1}$ est arithmétique de raison 1
4.c. Montre que:
$v_n=\frac{1}{2}+n$; pour tout $n$ de IN
5.a. Vérifier que:
pour tout n de IN: $u_n=\frac{3v_n+1}{v_n}$
5.b. En déduire que:
pour tout n de IN: $u_n=\frac{6n+5}{2n+1}$
5.c. Calculer $\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n$

Exercice 2: (10 Pts)
Partie A

On considère la fonction numérique $g$ définie sur ]0;+∞[ par:
$g(x)=x^2+2-2\ln x$
1. Montrer que $g^{\prime }(x)=2(\frac{x^2-1}{x})$ pour tout $x$ de ] 0 ;+∞[
2. Etudier le signe de $g^{\prime }(x)$ sur ] 0 ;+∞[
3. Calculer $g(1)$ et dresser le tableau de variations de $g$ (Le calcul des limites n’est pas demandé)
4. Déduire du tableau de variations que $g(x)>0$ pour tout $x$ de ] 0 ;+∞[

Partie B

On considère la fonction numérique $f$ définie sur ]0 ;+∞[ :
$f(x)=\frac{x}{2}+1+\frac{\ln x}{x}$
et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$
1. Montrer que $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x➝0}{x>0}}{lim}f(x)=-\infty$
et donner une interprétation géométrique du résultat.
2.a. Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$
2.b. Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}(f(x)-(\frac{x}{2}+1))$
puis donner une interprétation géométrique du résultat.
3.a. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x$ de ] 0 ;+∞[
3.b. Vérifier que:
$f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{2x^2}$ pour tout $x$ de ] 0 ;+∞[
3.c. En déduire que:
$f$ est croissante sur ]0 ;+∞[

4.Soit $(D)$ la droite d’équation $y=\frac{x}{2}+1$
4.a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite $(D)$ et de la courbe $(C)$
4.b. Etudier le signe de $(f(x)-(\frac{x}{2}+1))$ sur $]0;+\infty [$
et en déduire la position relative de $(C)$ par rapport à $(D)$
5. Calculer $f(1)$ et $f^{\prime }(1)$
et donner l’équation de la tangente à $(C)$ au point d’abscisse $x_0=1$
6. Dans la figure ci-dessous $(C)$ est la courbe représentative de $f$
et $(D)$ la droite d’équation $y=\frac{x}{2}+1$
dans le repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$

Soit $a$ l’abscisse du point d’intersection de $(C)$
avec l’axe des abscisses $(O;\overrightarrow{i})$
Donner à partir de la courbe $(C)$ le signe de $f(x)$ sur ]0 ;+∞[

Exercice 3:

On considère la fonction numérique $h$ définie sur IR par:
$h(x)=(x^2+1)e^x-1$
1. Montrer que $h^{\prime }(x)=(x+1{)}^2{e}^x$ pour tout $x$ de IR
2. Donner le signe de $h^{\prime }(x)$ sur IR
3. Calculer $h(0)$
puis dresser le tableau de variations de $h$
(Le calcul des limites n’est pas demandé)
4. Etudier à partir du tableau de variations le signe de $h(x)$ sur IR

Exercice 4:

Déterminer une primitive de chacune des fonctions $f_1,f_2,f_3$ et $f_4$
telles que:
1. $f_1(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ définie sur IR
2. $f_2(x)=3x^2(x^3+1{)}^2$ définie sur IR
$f_3(x)=2x-\frac{2}{x^3}$ définie sur ]0;+∞[
4. $f_4(x)=\frac{1+\ln x}{x}$ définie sur ]0;+∞