Exercice 1: (4 Pts)
Soit
1. Calculer
2. a. Montrer par récurrence que pour tout
2. b. Vérifier que pour tout
et en déduire que
3. Montrer que:
la suite
4. On pose pour tout
4.a. Calculer
4. b. Montrer que
4. c. En déduire que pour tout
5. Calculer
Exercice 2: (4 Pts)
(Donner les résultats sous forme de fraction)
Une urne contient trois boules rouges et cinq boules vertes.
Les boules sont indiscernables au toucher.
On tire successivement et sans remise deux boules de l’urne.
On considère les événements suivants :
A: « Les deux boules tirées sont rouges »
B: « La première boule tirée est rouge »
C: « La deuxième boule tirée est verte
1. Montrer que:
2. Calculer
3. Calculer
4. Les événements
Justifier la réponse.
Exercice 3: (10 Pts)
Partie I
On considère la fonction numérique
1. Calculer
2.a. Etudier le signe de
2.b. Calculer
et dresser le tableau de variations de
(le calcul des limites aux bornes n’est pas demandé)
2.c. En déduire que:
pour tout
Partie II
On considère la fonction numérique
et soit
1.a. Montrer que:
1.b. Donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
2.a. Calculer
2.b. Donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
3.a. Montrer que:
pour tout
3.b. En déduire que
3.e. Dresser le tableau de variations de
3.d. Donner l’équation de la tangente
3.e. Résoudre I’équation
et en déduire les coordonnées du point d’intersection
de
4.a. Montrer que pour tout
4.b. Montrer que:
5. Dans la figure ci- dessous
dans le repère
5.a. En utilisant une intégration par parties,
montrer que:
5.b. Calculer l’aire de la partie hachurée de la figure.