* Exercice 2: (11 pts) *
On considère la fonction numérique \(f\) de la variable réelle x définie par:
\(f(x)=x+1+\frac{1}{x-1}\)
et soit \((C_{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\)
1. Montrer que le domaine de définition de \(f\) est IR-{1}. (0.5)
2. Justifier pourquoi la fonction \(f\) est continue sur IR-{1}. (0.5)
3.a. Calculer:
\(\lim_{x➝1 \atop x>1} f(x)\) et \(\lim _{x➝1 \atop x<1} f(x)\). (1)
3.b. En déduire que \((C_{f})\) admet une asymptote verticale dont on déterminera l’équation. (0.5)
4. a. Calculer \(\lim_{x➝+∞} f(x)\) et \(\lim _{x➝-∞} f(x)\). (1)
4.b. Montrer que:
\(\lim _{x➝+∞}(f(x)-(x+1))=0\) et \(\lim _{x➝-∞}(f(x)-(x+1))=0\). (1)
4.c. En déduire que \((C_{f})\) admet une asymptote oblique dont on déterminera I’équation. (0.5)
5.a. Montrer que, pour tout IR-{1}, f ‘(x)=\(\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}\). (1)
5.b. Etudier le signe de l’expression x(x-2) sur} R-{1}. (1)
5.c. En déduire que f est croissante sur ]-∞;0] et sur [2;+∞[
et qu’ elle est décroissante sur [0;1[ et sur ]1;2]. (1)
5.d. Calculer f(0) et f(2) puis dresser le tableau de variations de \(f\). (1)
5.e. Donner les abscisses des points où \(( C _{f})\) admet une tangente horizontale. (1)
6. Dans la figure ci-dessous\(( C _{f})\) est la courbe représentative de \(f\)
et (D) la droite d’équation y=x+1
Donner à partir de la figure la position relative de \((C_{f})\) par rapport à (D). (1)
PARTIE II :
Le candidat a le choix de répondre exclusivement:
Soit a l’exercice 3 Soit a l’exercice 4
* Exercice 3: (4 pts) *
1. Calculer les limites suivantes:
1.a. \(\lim _{x➝0}(\frac{1}{x}+ln x)\). (1)
1.b. \(\lim _{x➝+∞}(x-lnx)\). (1)
2. Calculer la dérivé de chacune des fonctions suivantes:
2.a. \(f_{1}\) définie sur ]0 ;+∞[ par: \(f_{1}(x)=xlnx-x\). (1)
2.b. \(f_{2}\) définie sur ]0 ;+∞[ par: \(f_{2}(x)=\frac{1+lnx}{x}\). (1)
* Exercice 3: (4 pts) *
(Les questions 1 et 2 sont interdépendantes)
1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes
1.a \(g_{1}(x)=3 x^{2}+\frac{1}{2 \sqrt{x-1}}\) définie sur ]1;+∞[. (1)
1.b \(g_{2}(x)=\frac{1+2 x^{4}}{x^{3}}\) définie sur ]0;+∞[. (1)
2. On considère la fonction numérique définie sur IR par: \(h(x)=3 x^{2}+2\)
2. a. Donner la primitive \(H\) de \(h\) sur IR qui s’annale en 0. (1)
2. b. En déduire le sens de variations de \(H\) sur IR. (1)
