Examen Math Bac Economie 2018 Normal
* Suite Numérique (4.5 points )
On considère la suite numérique ((u_{n})_{n in N }) définie par:
(u_{0}=3) et ∀ n∊IN : (u_{n+1}=frac{2}{3} u_{n}+5)
1. Calculer (u_{1}) et (u_{2}) (0.5)
2. a. Montrer par récurrence que ∀ n∊IN : (Nu_{n}<15) (0.5)
b. Montrer que ∀ n∊IN : (u_{n+1}-u_{n}=-frac{1}{3} u_{n}+5) (0.5)
c. Vérifier que ∀ n∊IN : (-frac{1}{3} u_{n}+5>0) (0.25)
d. En déduire que ((u_{n})_{n in N }) est croissante et qu’elle est convergente. (0.5)
3. On pose ∀ n∊IN : (v_{n}=u_{n}-15)
a. Montrer que ∀ n∊IN : (v_{n+1}=frac{2}{3} v_{n}) (0.5)
b. Calculer le premier terme (v_{0}) et montrer que ∀ n∊IN : (v_{n}=(-12) × (frac{2}{3})^{n}) (0.75)
4. a. Calculer (u_{n}) en fonction de n (0.5)
b. Calculer (lim _{n➝+∞} u_{n}). (0.5)
* Probabilité (4 points )
Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher : 3 boules rouges, 3 boules blanches et 2 boules vertes.
On tire simultanément au hasard trois boules du sac.
On considère les événements suivants:
A: » Les trois boules tirées sont blanches »
B: » Les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux «
C: » Il n’y a aucune boule blanche parmi les trois boules tirées «
1. a. Montrer que (p(A)=frac{1}{56}). (0.5)
b. Calculer (p(B)) et (p(C)). (1.5)
2. Soit (x) la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées.
a. Copier et remplir le tableau ci-contre en justifiant les réponses, (1.5)
(begin{array}{|l|p{1in}|c|} hline x_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 \ hline p(x=x_{i}) \ hline end{array}).
b. Calculer (E(x)) l’espérance mathématique de la variable aléatoire (x).
* Etudes de Fonctions (9 points )
Partie I
On considère la fonction numérique (f) de la variable réelle x définie sur ]0,+∞[ par:
(f(x)=x-frac{1}{x}+ln x)
et soit ((C)) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ((O,vec{i},vec{j}))
1. Calculer (lim _{xrightarrow 0} f(x)) et donner une interprétation géométrique du résultat (1)
2 . a. Calculer (lim_{x⟶+∞} f(x)) (0.5)
b. Montrer que (lim _{x⟶+∞} frac{f(x)}{x}=1) (7.5)
c. Calculer (lim _{x⟶+∞}(f(x)-x)) et donner une interprétation géométrique du résultat (1)
3. a. Montrer que ∀ x>0 : ( f ‘(x)=1+frac{1}{x}+frac{1}{x^{2}}) (0.75)
b. Calculer (f(1)) puis dresser le tableau de variations de (f) (0.75)
c. En déduire le signe de (f) sur ]0,1] et sur [1,+∞[ (0.5)
d. Déterminer l’équation de la tangente ((T)) à la courbe ((C)) au point d’abscisse 1 (0.75)
4. Dans la figure ci-dessous ((C)) est la courbe représentative de (f) dans le repère ((0,vec{i}, vec{j}))
a. En utilisant une intégration par parties, montrer que : (int_{1}^{e} ln (x) d x=1) (1)
b. Montrer que l’aire de la parie hachurée est égale à (frac{1}{2}(e^{2}-1)) u.a (1)
(u.a signifie unité d’aire).
Partie II
Soit (g) la fonction numérique de la variable réelle (x) définie sur ]0,+∞[ par:
(g(x)=frac{1}{2}(x-1)(x-1+2 ln x))
1. Montrer que∀ x>0 : g ‘(x)=f(x) (1)
2. En utilisant 3.c de la partie I, montrer que (g) est décroissante ]0,1] et et croissante sur [1,+∞[ (1)
3. a. Que représente la fonction (g) pour la fonction (f)? (justifier la réponse) (0.5)
b. En déduire, sans calcul, la valeur de (g(e)-g(1)) (justifier la réponse), (1)
Correction
* Suite Numérique
Soit n∊IN On a : (u_{n+1}=frac{2}{3} u_{n}+5 quad ) et (u_{0}=3 )
1.Calculer (u_{1}) et (u_{2})
(u_{1}=frac{2}{3} u_{0}+5=frac{2}{3}(3)+5=7)
(u_{2}=frac{2}{3} u_{1}+5=frac{2}{3}(7)+5=frac{14}{3}+5=frac{29}{3})
2. a. Montrer par récurrence que ∀ n∊IN : (Nu_{n}<15)
Pour (n=0) ⟶ On a (u_{0}=3)⟶ Donc (u_{0}<15) (vrai)
Soit n∊IN :
Supposons que : (u_{n}<15) Et montrons que : (u_{n+1}<15 ?)
On a:
(u_{n+1}-15 =frac{2}{3} u_{n}+5-15)
(=frac{2}{3} u_{n}-10)
(=frac{2}{3}(u_{n}-15))
D’après l’hypothèse de récurrence, on a : (u_{n}<15)
D’où (u_{n}-15<0)
⟶ (quadfrac{2}{3}(u_{n}-15)<0)
Donc (u_{n+1}-15<0)
D’où (u_{n+1}<15)
On déduit que ∀n∊IN : ( u_{n}<15)
b. Montrer que ∀ n∊IN : (u_{n+1}-u_{n}=-frac{1}{3} u_{n}+5)
Soit n∊IN :
On a : (u_{n+1}-u_{n})
(=frac{2}{3} u_{n}+5-u_{n})
(=left(frac{2}{3}-1right) u_{n}+5)
(=-frac{1}{3} u_{n}+5)
Donc : ∀n∊IN : ( u_{n+1}-u_{n}=-frac{1}{3} u_{n}+5)
c. Vérifier que ∀ n∊IN : (-frac{1}{3} u_{n}+5>0)
c. Soit (n in N)
On a (u_{n}<15)
➝ (quad-frac{1}{3} u_{n}>-5)
➝ (quad-frac{1}{3} u_{n}+5>0)
Donc ∀ n∊IN : (-frac{1}{3} u_{n}+5>0)
d. En déduire que ((u_{n})_{n in N }) est croissante et qu’elle est convergente.
Soit n∊IN :
On a (u_{n+1}-u_{n}=-frac{1}{3} u_{n}+5) et (-frac{1}{3} u_{n}+5>0)
Donc pour tout (n) de (N : u_{n+1}-u_{n}>0)
D’où ((u_{n})_{n∊IN}) est (strictement) croissante
Puisque ((u_{n})_{n∊IN}) est croissante et majorée (par 15 ) alors
((u_{n})_{n∊IN}) est convergente.
3. Soit n∊IN On a : (v_{n}=u_{n}-15)
a. Montrer que ∀ n∊IN : (v_{n+1}=frac{2}{3} v_{n})
Soit n∊IN :
On a déjà montré que (u_{n+1}-15=frac{2}{3}(u_{n}-15))
Donc pour tout (n) de (N : v_{n+1}=frac{2}{3} v_{n})
b. Calculer de (v_{0})
(v_{0}=u_{0}-15=3-15=-12)
*montrer que ∀ n∊IN : (v_{n}=(-12) × (frac{2}{3})^{n})
Soit n∊IN :
On a: (N : v_{n+1}=frac{2}{3} v_{n})
Donc ((v_{n})_{n∊IN}) est une suite géométrique de raison (q=frac{2}{3}) et de premier terme (v_{0}=-12)
Donc ∀ n∊IN : ( v_{n}=v_{0} × q^{n})
D’où ∀ n∊IN : (v_{n}=(-12) × frac{2}{2})^{n})
4. a. Calcule de (u_{n}) en fonction de n
Soit n∊IN :
on a (v_{n}=u_{n}-15)
donc (u_{n}=v_{n}+15)
d’où ∀ n∊IN : (u_{n}=(-12) × frac{2}{3})^{n}+15)
b. Calcule de (lim _{n➝+∞} u_{n})
on a : (-1<frac{2}{3}<1)
donc (lim _{n➝+∞}frac{2}{3})^{n}=0)
d’où :
(lim _{n➝+∞} u_{n}=lim _{n➝+∞}(-12) × frac{2}{3})^{n}+15=15).
* Probabilité
Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher :
3 boules rouges, 3 boules blanches et 2 boules vertes.
On tire simultanément au hasard trois boules du sac.
1. a. Montrer que (p(A)=frac{1}{56}):
Soit Ω l’univers de cette expérience card (Ω) = (C_{3}^{8}=56)
A: » Les trois boules tirées sont blanches »: (BBB)
On a card (A) =(C_{3}^{3}=1)
Donc (p(A)=frac{card (A)}{card (Ω)}=frac{1}{56})
b. Calcule de (p(B)) et (p(C)):
* B: » Les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux « : (RVB)
On a : card (B) =(C_{3}^{1} × C_{3}^{1} × C_{2}^{1}= 3× 3 × 2=18)
Donc p(B) =(frac{card (B)}{card (Ω)}=frac{18}{56}=frac{9}{28})
* C: » Il n’y a aucune boule blanche parmi les trois boules tirées « : (bar{B}bar{B}bar{B})
On a : card (C) =(C_{5}^{3}=10)
Donc p(C) = (frac{card (C)}{card (Ω)}=frac{10}{56}=frac{5}{28})
2. Soit (X) la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées. es valeurs possibles de (X)
Les valeurs possibles de X :
X=0 : (bar{B}bar{B}bar{B})
X=1 : (Bbar{B}bar{B})
X=2 :(BBbar{B})
X=3 :(BBB)
(p(X=0)=p(C)=frac{5}{28})
(p(X=1)=frac{C_{3}^{1} × C_{5}^{2}}{56}=frac{3 × 10}{56}=frac{15}{28})
(p(X=2)=frac{C_{3}^{2} × C_{5}^{1}}{56}=frac{3× 5}{56}=frac{15}{56})
(p(X=3)=p(A)=frac{1}{56})
b. Calcule de E(X)
(E(X)=(0×frac{5}{28})+(1×frac{15}{28})+(2×frac{15}{56})+(3×frac{1}{56})=frac{9}{8})
* Etudes de Fonctions
soit x∈ ]0,+∞[ : (f(x)=x-frac{1}{x}+ln x)
1. * Calculer (lim _{xrightarrow 0 atop x>0} f(x))
(lim _{x rightarrow 0 atop x>0} f(x)=lim _{x rightarrow 0 atop x>0} x-frac{1}{x}+ln (x)=-∞)
Car:
(lim _{x rightarrow 0 atop x>0} x=0^{+})
(lim _{x rightarrow 0 atop x>0}-frac{1}{x}=-∞)
(lim _{x rightarrow 0 atop x>0} ln (x)=-∞)
* Interprétation géométrique du résultat
((C)) admet une asymptote verticale d’équation (x=0)
2 . a. Calculer (lim_{x⟶+∞} f(x))
2. a. (lim _{x⟶+∞} f(x)=lim _{x⟶+∞} x-frac{1}{x}+ln (x)=+∞)
Car :
(lim _{x⟶+∞} x=+∞)
(lim _{x⟶+∞}-frac{1}{x}=0)
(lim _{x⟶+∞}ln (x)=+∞)
b. Montrer que (lim _{x⟶+∞} frac{f(x)}{x}=1)
(lim _{x⟶+∞} frac{f(x)}{x}=lim _{x⟶+∞} frac{x-frac{1}{x}+ln (x)}{x})
(=lim _{x⟶+∞} 1-frac{1}{x^{2}}+frac{ln (x)}{x}=1)
Car :
(lim _{x⟶+∞}-frac{1}{x^{2}}=0)
(lim _{x⟶+∞} frac{ln x}{x}=0)
c. Calculer (lim _{x⟶+∞}(f(x)-x))
(lim _{x⟶+∞} f(x)-x=lim _{x⟶+∞}-frac{1}{x}+ln (x)=+∞)
*Interprétation géométrique du résultat
((C)) admet une branche parabolique de direction l’axe d’équation y=x au voisinage de +∞.
3. a. Montrons que ( f ‘(x)=1+frac{1}{x}+frac{1}{x^{2}}) (x>0)
f est dérivable sur ] 0,+∞[
Soit x∈] 0,+∞[ on a:
(f ‘ (x)=(x-frac{1}{x}+lnx)’)(=1-frac{-1}{x^{2}}+frac{1}{x})(=1+frac{1}{x^{2}}+frac{1}{x})Donc ∀ x>0, f ‘ (x)=(1+frac{1}{x}+frac{1}{x^{2}})
b. Calcule de (f(1))
(f(1)=1-frac{1}{1}+ln (1)=1-1+0=0)
*le tableau de variations de (f)
Soit x∈] 0,+∞[ on a:
(f ‘(x)=1+frac{1}{x}+frac{1}{x^{2}})
Donc f ‘(x)>0 (car x>0)
D’où f est strictement croissante sur ] 0,+∞[
c.le signe de (f) sur ]0,1] et sur [1,+∞[
* Sur ] 0,1]:
On a : 0<x≤1
Et puisque f est strictement croissante sur] 0,1]
Alors : f(x)≤f(1)=0
Et par suite ∀∈] 0,1] : f(x)≤0.
* Sur [1,+∞[ :
On a x≥1
Et puisque f est strictement croissante sur [1,+∞[
Alors : (f(x)≥ f(1)=0
Et par suite ∀∈[1,+∞[ : f(x)≥0.