Exercice 1: (2 Pts)
1. En utilisant une intégration par parties,
calculer l’intégrale:
\(I=\int_{1}^{2} \ln (x) dx\).
2. Calculer l’intégrale :
\(J=\int_{0}^{\ln 4} x \sqrt{e^{x}} dx\)
(on pourra poser \(t=\sqrt{e^{x}}\) ).
Exercice 2: (3 Pts)
Un sac contient:
* six boules blanches portant les nombres \(0,0,0,1,1,2\)
* deux boules noires portant les nombres 0 et 1
(les boules sont indiscernables au toucher).
On tire simultanément et au hasard deux boules du sac.
1. Calculer les probabilités des deux événements suivants:
A : « les deux boules tirées sont de même couleur « .
B : » le produit des nombres portés par les deux boules est nul ».
2. Soit \(X\) la variable aléatoire qui à chaque tirage
associe la somme des deux nombres portés par les deux boules tirées.
Déterminer la loi de probabilité de \(X .\)
Exercice 3: (3.5 Pts)
Soit m un nombre complexe de module \(\sqrt{2}\)
et \(\alpha\) un de ses arguments.
Dans l’ensemble des nombres complexes,
on considère l’équation \((E)\):
\(m z^{2}-2 z+\bar{m}=0\)
(on rappelle que \(\bar{m}\) est le conjugué de \(m\) et que \(|m|=\sqrt{m\bar{m}}\) ).
1. Montrer que:
les deux solutions de l’équation \((E)\) sont :
\(z’=\frac{1+i}{m}\)
et \(z »=\frac{1-i}{m}\)
2. Ecrire sous forme trigonométrique:
\(z’, z »’\) et \(\frac{z’}{z »}\).
3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
\((O ; \vec{u} ; \vec{v})\),
on considère les points
\(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(z’, z »\) et \(z’+z »\) respectivement.
Montrer que le quadrilatère OACB est un carre
Exercice 4: (2.5 Pts)
On considère, dans l’espace muid’un repère orthonormé,
le point \(A(2,0,2)\) et le plan \((P)\) d’équation:
\(x+y-z-3=0.\)
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D)\)
passant par le point \(A\) et orthogonale au plan \((P)\).
2. Déterminer les coordonnées de B
point d’intersection de la droite \((D)\) et le plan \((P)\)
3. On considère la sphère \((S)\) de centre Aet qui coupe le plan \((P)\)
suivant le cercle de centre B et de rayon 2.
a) Déterminer le rayon de la sphère \((S)\).
b) Ecrire une équation cartésienne de la sphère \((S)\).
Problème 5: (9 Pts)
On considère la fonction f définie sur IR par:
\(\left\{\begin{array}{l}f(x)=\ln \left(1-x^{3}\right) \quad \text { si } x<0 \\f(x)=4 x \sqrt{x}-3 x^{2} \quad \text { si } x \geq 0\end{array}\right.\)
Soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1.a) Montrer que f est continue au point 0.
b) Montrer que f est dérivable au point 0.
(on rappelle que \(\lim _{t➝0} \frac{\ln (1+t)}{t}=1\) ).
2. Montrer que:
la fonction f est décroissante sur les deux intervalles \(]-∞; 0[\) et \([1;+∞[\)
et croissante sur l’intervalle \([0 ;1] .\)
3.a) Calculer \(\lim _{x➝-∞} f(x)\)
et \(\lim _{x➝+∞} f(x)\).
b) Vérifier que pour tout x<0:
\(\frac{f(x)}{x}=3 \frac{\ln (-x)}{x}+\frac{\ln(1-x^{-3})}{x}\).
c) Etudier les deux branches infinies de la courbe \((C)\).
4. Construire la courbe \((C)\).
5. Soit h la restriction de la fonction f a l’intervalle \(]-∞ ; 0[.\)
a) Montrer que:
h admet une fonction réciproque dont on précisera l’ensemble de définition J.
b) Déterminer \(h^{-1}(x)\) pour tout \(x\) de \(J.\)
6. On considère la suite \((u_{n})\) définie par:
\(u_{0}=\frac{4}{9}\)
et pour tout n de IN , \(u_{n+1}=4 u_{n} \sqrt{u_{n}}-3 u_{n}^{2}\)
On pourra, ci-après, utiliser les résultats de l’étude de la fonction \(f.\)
a) Montrer par récurrence que:
pour tout \(n\) de IN, \(\frac{4}{9}≤ u_{n}≤ 1\).
b) Montrer que la suite \((u_{n})\) est croissante.
c) En déduire que la suite \((u_{n})\) est convergente et calculer sa limite.