Examen national Mathématiques 2 BAC Sciences Physiques 2003 Normale

Exercice 1: (2 Pts)

1. En utilisant une intégration par parties,
calculer l’intégrale:
$I={\int }_1^2\ln (x)dx$.
2. Calculer l’intégrale :
$J={\int }_0^{\ln 4}x\sqrt{e^x}dx$
(on pourra poser $t=\sqrt{e^x}$ ).

Exercice 2: (3 Pts)

Un sac contient:
* six boules blanches portant les nombres $0,0,0,1,1,2$
* deux boules noires portant les nombres 0 et 1
(les boules sont indiscernables au toucher).
On tire simultanément et au hasard deux boules du sac.
1. Calculer les probabilités des deux événements suivants:
A : « les deux boules tirées sont de même couleur « .
B :  » le produit des nombres portés par les deux boules est nul ».
2. Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage
associe la somme des deux nombres portés par les deux boules tirées.
Déterminer la loi de probabilité de $X.$

Exercice 3: (3.5 Pts)

Soit m un nombre complexe de module $\sqrt{2}$
et $\alpha$ un de ses arguments.
Dans l’ensemble des nombres complexes,
on considère l’équation $(E)$:
$m{z}^2-2z+\overline{m}=0$
(on rappelle que $\overline{m}$ est le conjugué de $m$ et que $|m|=\sqrt{m\overline{m}}$ ).
1. Montrer que:
les deux solutions de l’équation $(E)$ sont :
$z^{\prime }=\frac{1+i}{m}$
et $z»=\frac{1-i}{m}$
2. Ecrire sous forme trigonométrique:
$z^{\prime },z{»}^{\prime }$ et $\frac{z^{\prime }}{z»}$.
3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
$(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$,
on considère les points
$A$, $B$ et $C$ d’affixes $z^{\prime },z»$ et $z^{\prime }+z»$ respectivement.
Montrer que le quadrilatère OACB est un carre

Exercice 4: (2.5 Pts)

On considère, dans l’espace muid’un repère orthonormé,
le point $A(2,0,2)$ et le plan $(P)$ d’équation:
$x+y-z-3=0.$
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$
passant par le point $A$ et orthogonale au plan $(P)$.
2. Déterminer les coordonnées de B
point d’intersection de la droite $(D)$ et le plan $(P)$
3. On considère la sphère $(S)$ de centre Aet qui coupe le plan $(P)$
suivant le cercle de centre B et de rayon 2.
a) Déterminer le rayon de la sphère $(S)$.
b) Ecrire une équation cartésienne de la sphère $(S)$.

Problème 5: (9 Pts)

On considère la fonction f définie sur IR par:
$\{\begin{array}{l}f(x)=\ln (1-x^3)\text{ si }x<0\\ f(x)=4x\sqrt{x}-3x^2\text{ si }x\ge 0\end{array}$
Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1.a) Montrer que f est continue au point 0.
b) Montrer que f est dérivable au point 0.
(on rappelle que $\underset{t➝0}{lim}\frac{\ln (1+t)}{t}=1$ ).
2. Montrer que:
la fonction f est décroissante sur les deux intervalles $]-\infty ;0[$ et $[1;+\infty [$
et croissante sur l’intervalle $[0;1].$
3.a) Calculer $\underset{x➝-\infty }{lim}f(x)$
et $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$.
b) Vérifier que pour tout x<0:
$\frac{f(x)}{x}=3\frac{\ln (-x)}{x}+\frac{\ln (1-x^{-3})}{x}$.
c) Etudier les deux branches infinies de la courbe $(C)$.

4. Construire la courbe $(C)$.
5. Soit h la restriction de la fonction f a l’intervalle $]-\infty ;0[.$
a) Montrer que:
h admet une fonction réciproque dont on précisera l’ensemble de définition J.
b) Déterminer $h^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $J.$
6. On considère la suite $(u_n)$ définie par:
$u_0=\frac{4}{9}$
et pour tout n de IN , $u_{n+1}=4u_n\sqrt{u_n}-3u_n^2$
On pourra, ci-après, utiliser les résultats de l’étude de la fonction $f.$
a) Montrer par récurrence que:
pour tout $n$ de IN, $\frac{4}{9}\le u_n\le 1$.
b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.