Cette série de nombres complexes 2ème Bac (PC et SVT) rassemble des exercices de synthèse : forme algébrique, conjugué, module, argument, forme trigonométrique et équations dans ℂ. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.

Exercices corrigés de nombres complexes 2ème Bac

Nombres complexes · Série de synthèse 2ème Bac

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Exercice 1

Trouver la forme algébrique et déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants :

1) \(z_1=(2+i)(-1+i)+(1+2i)^2\)

Correction détaillée

🔢 \((2+i)(-1+i)=-2+2i-i+i^2=-3+i\) et \((1+2i)^2=1+4i-4=-3+4i\).

✅ \(z_1=-6+5i\) : \(\operatorname{Re}z_1=-6\), \(\operatorname{Im}z_1=5\).

2) \(z_2=\left(1+i\sqrt3\right)^3\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\left(1+i\sqrt3\right)^2=1-3+2i\sqrt3=-2+2i\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : \(\left(-2+2i\sqrt3\right)\left(1+i\sqrt3\right)=-2-2i\sqrt3+2i\sqrt3-6\).

✅ \(z_2=-8\) : \(\operatorname{Re}z_2=-8\), \(\operatorname{Im}z_2=0\).

3) \(z_3=\dfrac{1-3i}{3-i}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour un quotient, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : \(\dfrac{a}{c+id}=\dfrac{a(c-id)}{c^2+d^2}\).

🔢 \(z_3=\dfrac{(1-3i)(3+i)}{3^2+1^2}=\dfrac{3+i-9i+3}{10}=\dfrac{6-8i}{10}\).

✅ \(z_3=\dfrac35-\dfrac45i\) : \(\operatorname{Re}=\dfrac35\), \(\operatorname{Im}=-\dfrac45\).

4) \(z_4=\dfrac{1+i}{3-2i}\)

Correction détaillée

🔢 \(z_4=\dfrac{(1+i)(3+2i)}{13}=\dfrac{3+2i+3i-2}{13}\).

✅ \(z_4=\dfrac1{13}+\dfrac5{13}i\) : \(\operatorname{Re}=\dfrac1{13}\), \(\operatorname{Im}=\dfrac5{13}\).

5) \(z_5=(1+i)^{10}\)

Correction détaillée

🔢 \((1+i)^2=2i\), donc \((1+i)^{10}=(2i)^5=32\,i^5\) avec \(i^5=i\).

✅ \(z_5=32i\) : \(\operatorname{Re}=0\), \(\operatorname{Im}=32\).

Exercice 2

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique :

1) \(z_1=\dfrac1{2-3i}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour un quotient, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : \(\dfrac{a}{c+id}=\dfrac{a(c-id)}{c^2+d^2}\).

🔢 \(z_1=\dfrac{2+3i}{4+9}\).

✅ \(z_1=\dfrac2{13}+\dfrac3{13}i\).

2) \(z_2=\dfrac{1-i}{3+i}\)

Correction détaillée

🔢 \(z_2=\dfrac{(1-i)(3-i)}{10}=\dfrac{3-i-3i-1}{10}\).

✅ \(z_2=\dfrac15-\dfrac25i\).

3) \(z_3=\dfrac{2i}{1-2i}+\dfrac{(1+i)^2}{i}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{2i}{1-2i}=\dfrac{2i(1+2i)}5=\dfrac{-4+2i}5\) et \(\dfrac{(1+i)^2}i=\dfrac{2i}i=2\).

✅ \(z_3=\dfrac65+\dfrac25i\).

4) \(z_4=(3+i)(1-5i)\)

Correction détaillée

🔢 \(3-15i+i-5i^2=3-14i+5\).

✅ \(z_4=8-14i\).

5) \(z_5=\dfrac{3-6i}{3+i}+\dfrac4{3-i}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{(3-6i)(3-i)}{10}=\dfrac{3-21i}{10}\) et \(\dfrac{4(3+i)}{10}=\dfrac{12+4i}{10}\).

✅ \(z_5=\dfrac{15-17i}{10}=\dfrac32-\dfrac{17}{10}i\).

6) \(z_6=\left(\dfrac{4-6i}{2-3i}\right)\left(\dfrac{1+3i}{3+2i}\right)\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{4-6i}{2-3i}=2\) et \(\dfrac{1+3i}{3+2i}=\dfrac{(1+3i)(3-2i)}{13}=\dfrac{9+7i}{13}\).

✅ \(z_6=\dfrac{18}{13}+\dfrac{14}{13}i\).

Exercice 3

Démontrer que \(S=(1+i)^5+(1-i)^5\) est un nombre réel.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((1-i)^5=\overline{(1+i)^5}\), donc \(S=w+\overline w=2\operatorname{Re}(w)\) avec \(w=(1+i)^5\).

🔢 Étape 2 : Calcul : \((1+i)^5=(2i)^2(1+i)=-4-4i\).

✅ \(S=-8\in\mathbb R\).

Exercice 4

On pose \(j=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\) et \(S=j^{2n}-j^n\), \(n\in\mathbb Z\).

1) Montrer que \(j^2=\overline j\).

Correction détaillée

🔢 \(j^2=\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}2\right)^2=\frac14-\frac34-i\frac{\sqrt3}2\).

✅ \(j^2=-\frac12-i\frac{\sqrt3}2=\overline j\).

2) Démontrer que \(S\in i\mathbb R\) pour tout \(n\in\mathbb Z\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(j^{2n}=\left(j^2\right)^n=\left(\overline j\right)^n=\overline{j^n}\).

🔢 Étape 2 : \(S=\overline{j^n}-j^n=-2i\operatorname{Im}\left(j^n\right)\).

✅ \(S\) est un imaginaire pur.

Exercice 5

Soit \(u\in\mathbb C\) tel que \(u\notin\mathbb R\).

Montrer que \(\left(\forall z\in\mathbb C\right)\) : \(|1+uz|=|1+\overline uz|\Longrightarrow z\in\mathbb R\).

Correction détaillée

⚠️ Le conjugué \(\overline u\) est lu comme multipliant \(z\) (et non \(\overline z\)) sur le scan.

🔢 Étape 1 : On élève au carré : \(|1+uz|^2=1+2\operatorname{Re}(uz)+|u|^2|z|^2\) et \(|1+\overline uz|^2=1+2\operatorname{Re}(\overline uz)+|u|^2|z|^2\).

🔢 Étape 2 : L’égalité donne \(\operatorname{Re}\left((u-\overline u)z\right)=0\), avec \(u-\overline u=2i\operatorname{Im}u\).

🔢 Étape 3 : \(\operatorname{Re}\left(2i\operatorname{Im}(u)\,z\right)=-2\operatorname{Im}(u)\operatorname{Im}(z)=0\) et \(\operatorname{Im}u\neq0\) car \(u\notin\mathbb R\).

✅ \(\operatorname{Im}z=0\) : \(z\in\mathbb R\).

Exercice 6

Écrire en fonction de \(\overline z\) le conjugué des nombres complexes suivants :

1) \(Z_1=(2+i)(5-i)\)

Correction détaillée

🔢 \(\overline{Z_1}=(2-i)(5+i)\). Avec \(Z_1=10-2i+5i+1=11+3i\).

✅ \(\overline{Z_1}=11-3i\).

2) \(Z_2=2z+5i\)

Correction détaillée

🔢 \(\overline{Z_2}=2\overline z+\overline{5i}\).

✅ \(\overline{Z_2}=2\overline z-5i\).

3) \(Z_3=\dfrac{z-1}{-3z+i}\)

Correction détaillée

🔢 Le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués.

✅ \(\overline{Z_3}=\dfrac{\overline z-1}{-3\overline z-i}\).

Exercice 7

Résoudre dans \(\mathbb C\) les équations suivantes :

1) \(2z+i\overline z=5-4i\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On pose \(z=x+iy\) : \(2x+2iy+i(x-iy)=(2x+y)+i(x+2y)\).

🔢 Étape 2 : On identifie : \(2x+y=5\) et \(x+2y=-4\). Donc \(3x=14\).

✅ \(S=\left\{\dfrac{14}3-\dfrac{13}3i\right\}\).

2) \(z=2\overline z-2+6i\)

Correction détaillée

🔢 \(x+iy=2x-2iy-2+6i\) : \(x=2x-2\) et \(y=-2y+6\).

✅ \(S=\{2+2i\}\).

Exercice 8

Résoudre dans \(\mathbb C\) les équations suivantes :

1) \(2z-3\overline z+1+2i=0\)

Correction détaillée

🔢 \(z=x+iy\) : \(2x+2iy-3x+3iy+1+2i=(1-x)+i(5y+2)\).

✅ \(x=1\), \(y=-\frac25\) : \(S=\left\{1-\frac25i\right\}\).

2) \(z+(1-i)\overline z+3-2i=0\)

Correction détaillée

🔢 \((1-i)(x-iy)=x-y-i(x+y)\). On obtient \((2x-y+3)+i(-x-2)=0\).

✅ \(x=-2\), \(y=-1\) : \(S=\{-2-i\}\).

3) \((3+i)z+\overline z=-i\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((3+i)(x+iy)=(3x-y)+i(x+3y)\) ; on ajoute \(x-iy\) : \((4x-y)+i(x+2y)=-i\).

🔢 Étape 2 : \(4x-y=0\) et \(x+2y=-1\) : \(y=4x\), \(9x=-1\).

✅ \(S=\left\{-\dfrac19-\dfrac49i\right\}\).

Exercice 9

Démontrer que \(S=\left(\sqrt3+i\right)^{2n+1}-\left(i-\sqrt3\right)^{2n+1}\) est un nombre réel pour tout \(n\in\mathbb Z\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(i-\sqrt3=-\left(\sqrt3-i\right)\) et \(2n+1\) est impair : \(\left(i-\sqrt3\right)^{2n+1}=-\left(\sqrt3-i\right)^{2n+1}\).

🔢 Étape 2 : Donc \(S=w+\overline w\) avec \(w=\left(\sqrt3+i\right)^{2n+1}\) (car \(\sqrt3-i=\overline{\sqrt3+i}\)).

✅ \(S=2\operatorname{Re}(w)\in\mathbb R\).

Exercice 10

Dans le plan complexe, soit les points \(A(1+i)\), \(B\left(\frac12+2i\right)\) et \(C(-1-i)\).

Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan, \(B\) est écrit \(\left(\frac12+2i\right)\) : avec cette valeur les points ne sont pas alignés (\(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{-4+12i}5\notin\mathbb R\)) ; on a pris \(B\left(\frac12+\frac12i\right)\).

🔢 Étape 1 : Trois points sont alignés si \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb R\).

🔢 Étape 2 : Avec \(B\left(\frac12+\frac12i\right)\) : \(\dfrac{-2-2i}{-\frac12-\frac12i}=4\in\mathbb R\).

✅ \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

Exercice 11

Soit dans le plan complexe les points \(A(2;-3)\), \(B(1;1)\) et \(C(1;2)\).

1) Déterminer les affixes des points \(A\), \(B\) et \(C\).

Correction détaillée

🔢 On lit les coordonnées : \(A(2;-3)\), \(B(1;1)\), \(C(1;2)\).

✅ \(z_A=2-3i\), \(z_B=1+i\), \(z_C=1+2i\).

2) Déterminer l’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

Correction détaillée

🔢 \(z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A\).

✅ \(z_{\overrightarrow{AB}}=-1+4i\).

3) Déterminer l’affixe de \(I\), milieu de \([AB]\).

Correction détaillée

🔢 \(z_I=\dfrac{z_A+z_B}2=\dfrac{3-2i}2\).

✅ \(z_I=\dfrac32-i\).

4) Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{-1+5i}{-1+4i}=\dfrac{(-1+5i)(-1-4i)}{17}=\dfrac{21-i}{17}\notin\mathbb R\).

✅ \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.

5) Déterminer le barycentre de \(\{(A,2);(B,-1);(C,3)\}\).

Correction détaillée

🔢 La somme des poids est \(4\neq0\) : \(z_G=\dfrac{2z_A-z_B+3z_C}4=\dfrac{(4-6i)-(1+i)+(3+6i)}4\).

✅ \(z_G=\dfrac{6-i}4=\dfrac32-\dfrac14i\).

6) Déterminer le point \(D\) pour que le quadrilatère \(ABCD\) soit un parallélogramme.

Correction détaillée

🔢 \(ABCD\) est un parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff z_B-z_A=z_C-z_D\).

✅ \(z_D=z_A+z_C-z_B=2-2i\).

Exercice 12

Soit dans le plan complexe les points \(A,B,C,D,E\) d’affixes respectives \(z_A=1+i\), \(z_B=3+2i\), \(z_C=2-i\), \(z_D=-2i\) et \(z_E=2\). (Question 1 : placer les points dans le plan.)

2) Déterminer l’affixe de \(I\) milieu de \([AB]\).

Correction détaillée

🔢 \(z_I=\dfrac{(1+i)+(3+2i)}2\).

✅ \(z_I=2+\dfrac32i\).

3) Déterminer l’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

Correction détaillée

🔢 \(z_B-z_A=(3+2i)-(1+i)\).

✅ \(z_{\overrightarrow{AB}}=2+i\).

4) Montrer que le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.

Correction détaillée

🔢 \(z_{\overrightarrow{DC}}=z_C-z_D=(2-i)-(-2i)=2+i\).

✅ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) : \(ABCD\) est un parallélogramme.

Exercice 13

1°) Vérifier que les points \(A(5+3i)\), \(B(2+i)\) et \(C(-1-i)\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{-6-4i}{-3-2i}=2\in\mathbb R\).

✅ Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

2°) Est-ce que les points \(M(-2+2i)\), \(N(2-i)\) et \(P(1-i)\) sont alignés ?

Correction détaillée

⚠️ Le troisième point est écrit « \(N(1-i)\) » sur le scan : on le lit comme \(P(1-i)\).

🔢 \(\dfrac{z_P-z_M}{z_N-z_M}=\dfrac{3-3i}{4-3i}=\dfrac{(3-3i)(4+3i)}{25}=\dfrac{21-3i}{25}\notin\mathbb R\).

✅ Non, \(M\), \(N\), \(P\) ne sont pas alignés.

Exercice 14

Dans le plan complexe on considère le nombre complexe \(U\) et soit \(M\) l’image du nombre complexe \(z\) et on pose : \(U=(z-2i)(\overline z-1)\) et \(z=x+yi\) avec \(x\in\mathbb R\) et \(y\in\mathbb R\).

1) Écrire en fonction de \(x\) et \(y\) la partie réelle et la partie imaginaire de \(U\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On pose \(z=x+iy\) avec \(x,y\in\mathbb R\) et on sépare partie réelle et partie imaginaire.

🔢 Étape 1 : \(z-2i=x+i(y-2)\) et \(\overline z-1=(x-1)-iy\).

🔢 Étape 2 : \(U=\left[x(x-1)+y(y-2)\right]+i\left[-xy+(y-2)(x-1)\right]\).

✅ \(\operatorname{Re}U=x^2+y^2-x-2y\) et \(\operatorname{Im}U=2-2x-y\).

2) Déterminer l’ensemble \((\Delta)\) des points \(M(z)\) du plan tels que \(U\) est réel.

Correction détaillée

🔢 \(U\in\mathbb R\iff\operatorname{Im}U=0\iff2x+y-2=0\).

✅ \((\Delta)\) est la droite d’équation \(2x+y-2=0\).

3) Déterminer l’ensemble \((C)\) des points \(M(z)\) tels que \(U\) est imaginaire pur.

Correction détaillée

🔢 \(U\in i\mathbb R\iff\operatorname{Re}U=0\iff x^2+y^2-x-2y=0\iff\left(x-\frac12\right)^2+(y-1)^2=\frac54\).

✅ \((C)\) est le cercle de centre \(\Omega\left(\frac12,1\right)\) et de rayon \(\frac{\sqrt5}2\).

Exercice 15

Dans le plan complexe on considère le nombre complexe \(U\) et soit \(M\) l’image du nombre complexe \(z\) et on pose : \(U=2iz-\overline z\) et \(z=x+yi\) avec \(x\in\mathbb R\) et \(y\in\mathbb R\).

1) Écrire en fonction de \(x\) et \(y\) la partie réelle et la partie imaginaire de \(U\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On pose \(z=x+iy\) avec \(x,y\in\mathbb R\) et on sépare partie réelle et partie imaginaire.

🔢 \(U=2i(x+iy)-(x-iy)=(-x-2y)+i(2x+y)\).

✅ \(\operatorname{Re}U=-x-2y\) et \(\operatorname{Im}U=2x+y\).

2) Déterminer l’ensemble \((\Delta)\) des points \(M(z)\) du plan tels que \(U\) est réel.

Correction détaillée

🔢 \(\operatorname{Im}U=0\iff2x+y=0\).

✅ \((\Delta)\) est la droite d’équation \(y=-2x\).

Exercice 16

Déterminer les ensembles suivants :

1) \(\mathrm{(E_1)}=\left\{M(z)\,/\,\dfrac{z-2i}{z+i}\in\mathbb R\right\}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Il faut \(z\neq-i\). \(\dfrac{z-2i}{z+i}=\dfrac{(z-2i)(\overline z-i)}{|z+i|^2}\) et \((z-2i)(\overline z-i)=\left[x^2+(y-2)(y+1)\right]-3xi\).

🔢 Étape 2 : Le quotient est réel \(\iff-3x=0\iff x=0\).

✅ \((E_1)\) est l’axe des imaginaires purs privé du point \(-i\).

2) \(\mathrm{(E_2)}=\left\{M(z)\,/\,\dfrac{z-2i}{z+i}\in i\mathbb R\right\}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Avec le même calcul, le quotient est imaginaire pur \(\iff x^2+(y-2)(y+1)=0\iff x^2+y^2-y-2=0\).

🔢 Étape 2 : Cela s’écrit \(x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac94\).

✅ \((E_2)\) est le cercle de centre \(\left(0,\frac12\right)\) et de rayon \(\frac32\) (de diamètre \([-i,2i]\)), privé du point \(-i\).

Exercice 17

Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(A(z)\), \(B(\overline z)\) et \(C\left(\frac1z\right)\) soient alignés.

Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(A(z)\), \(B(\overline z)\) et \(C\left(\dfrac1z\right)\) soient alignés.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Il faut \(z\neq0\). Si \(z\in\mathbb R\), alors \(A=B\) et les trois points sont alignés.

🔢 Étape 2 : Sinon, \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés \(\iff\dfrac{\frac1z-z}{\overline z-z}\in\mathbb R\iff\dfrac{1-z^2}{|z|^2-z^2}\in\mathbb R\).

🔢 Étape 3 : Avec \(r=|z|^2\) et \(w=z^2\) : \(\dfrac{1-w}{r-w}=1+\dfrac{1-r}{r-w}\).

🔢 Étape 4 : Ce nombre est réel \(\iff r=1\) ou \(w\in\mathbb R\), c’est-à-dire \(|z|=1\) ou \(z^2\in\mathbb R\) (\(z\) réel ou imaginaire pur).

✅ L’ensemble est la réunion de l’axe des réels, de l’axe des imaginaires et du cercle unité, privée de l’origine.

Exercice 18

Déterminer l’ensemble \((\Delta)\) des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|z-1-2i|=|z-7+2i|\).

\(|z-1-2i|=|z-7+2i|\)

Correction détaillée

📘 Méthode : \(|z-a|=|z-b|\) : médiatrice de \([AB]\) ; \(|z-a|=r\) : cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\).

🔢 Étape 1 : \(|z-z_A|=|z-z_B|\) avec \(A(1,2)\) et \(B(7,-2)\) : \(M\) est équidistant de \(A\) et \(B\).

🔢 Étape 2 : \((x-1)^2+(y-2)^2=(x-7)^2+(y+2)^2\iff12x-8y-48=0\).

✅ C’est la médiatrice de \([AB]\), d’équation \(3x-2y-12=0\).

Exercice 19

Déterminer l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que :

a) \(|z-3+i|=5\)

Correction détaillée

🔢 \(|z-(3-i)|=5\).

✅ Cercle de centre \(\Omega(3,-1)\) et de rayon \(5\).

b) \(|z-4-5i|=|z+2|\)

Correction détaillée

🔢 Équidistance à \(A(4,5)\) et \(B(-2,0)\) : \((x-4)^2+(y-5)^2=(x+2)^2+y^2\iff-12x-10y+37=0\).

✅ Médiatrice de \([AB]\), d’équation \(12x+10y-37=0\).

Exercice 20

Déterminer l’ensemble \((C)\) des points d’affixe \(z\) tels que \(|z-2i|=3\).

\(|z-2i|=3\)

Correction détaillée

🔢 \(|z-z_\Omega|=3\) avec \(z_\Omega=2i\).

✅ Cercle \((C)\) de centre \(\Omega(0,2)\) et de rayon \(3\).

Exercice 21

Déterminer l’ensemble \((\Delta)\) des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|iz+3|=\left|\frac1iz-4i+1\right|\).

\(|iz+3|=\left|\dfrac1iz-4i+1\right|\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(iz+3=i(z-3i)\), donc \(|iz+3|=|z-3i|\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac1i=-i\) : \(-iz+1-4i=-i(z+4+i)\), donc le second membre vaut \(|z+4+i|\).

🔢 Étape 3 : On cherche les \(M\) équidistants de \(A(0,3)\) et \(B(-4,-1)\) : \(x^2+(y-3)^2=(x+4)^2+(y+1)^2\iff-8x-8y-8=0\).

✅ C’est la médiatrice de \([AB]\), d’équation \(x+y+1=0\).

Exercice 22

Dans le plan complexe, déterminer l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tel que \(Z=\dfrac{5z-2}{z-1}\) soit un imaginaire pur.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Il faut \(z\neq1\). \(Z=\dfrac{(5z-2)(\overline z-1)}{|z-1|^2}\) et \((5z-2)(\overline z-1)=5|z|^2-5z-2\overline z+2\), de partie réelle \(5x^2+5y^2-7x+2\).

🔢 Étape 2 : \(Z\in i\mathbb R\iff5x^2+5y^2-7x+2=0\iff\left(x-\frac7{10}\right)^2+y^2=\frac9{100}\).

✅ Cercle de centre \(\left(\frac7{10},0\right)\) et de rayon \(\frac3{10}\) (de diamètre \(\left[\frac25,1\right]\)), privé du point d’affixe \(1\).

Exercice 23

Déterminer l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(\left|\dfrac{z-2}{z+1-i}\right|=1\).

\(\left|\dfrac{z-2}{z+1-i}\right|=1\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Il faut \(z\neq-1+i\). L’égalité équivaut à \(|z-2|=|z-(-1+i)|\) : équidistance à \(A(2,0)\) et \(B(-1,1)\).

🔢 Étape 2 : \((x-2)^2+y^2=(x+1)^2+(y-1)^2\iff-6x+2y+2=0\).

✅ Médiatrice de \([AB]\), d’équation \(3x-y-1=0\).

Exercice 24

Soit \(z\) un nombre complexe tel que \(z\neq1\). On pose \(Z=\dfrac{z-2i}{z-1}\), avec \(z=x+iy\), \((x,y)\in\mathbb R^2\). Écrire \(\operatorname{Re}(Z)\) et \(\operatorname{Im}(Z)\) en fonction de \(x\) et \(y\), puis déterminer l’ensemble \((D)\) des points \(M(z)\) tels que \(Z\) est un réel et l’ensemble \((\zeta)\) tels que \(Z\) est un imaginaire pur.

Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(Z=\dfrac{z-2i}{z-1}\) soit réel, puis imaginaire pur (\(z\neq1\)).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(Z=\dfrac{(z-2i)(\overline z-1)}{|z-1|^2}\) : partie réelle \(\propto x^2+y^2-x-2y\), partie imaginaire \(\propto2-2x-y\) (calcul de l’exercice \(U\)).

🔢 Étape 2 : \(Z\in\mathbb R\iff2x+y-2=0\) ; or \(z=1\) vérifie cette équation, il est exclu.

🔢 Étape 3 : \(Z\in i\mathbb R\iff x^2+y^2-x-2y=0\) ; \(z=1\) y est aussi, il est exclu.

✅ \(Z\) réel : droite \(2x+y-2=0\) privée du point d’affixe \(1\) ; \(Z\) imaginaire pur : cercle de centre \(\left(\frac12,1\right)\) et de rayon \(\frac{\sqrt5}2\) (de diamètre \([1,2i]\)) privé du point d’affixe \(1\).

Exercice 25

Calculer le module des nombres complexes suivants :

1) \(z=\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2\)

Correction détaillée

🔢 \(|z|=\sqrt{\frac14+\frac34}\).

✅ \(|z|=1\).

2) \(z’=3-4i\)

Correction détaillée

🔢 \(|z’|=\sqrt{9+16}\).

✅ \(|z’|=5\).

Exercice 26

Partie A Déterminer les modules des complexes suivants :

1) \(z_1=3+\sqrt3\,i\)

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt{9+3}\).

✅ \(|z_1|=2\sqrt3\).

2) \(z_2=\dfrac12-\sqrt3\,i\)

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt{\frac14+3}=\sqrt{\frac{13}4}\).

✅ \(|z_2|=\dfrac{\sqrt{13}}2\).

3) \(z_3=\dfrac1{1+i}\)

Correction détaillée

🔢 \(|z_3|=\dfrac1{|1+i|}\).

✅ \(|z_3|=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\).

4) \(z_4=x\) où \(x\in\mathbb R\)

Correction détaillée

🔢 Le module d’un réel est sa valeur absolue.

✅ \(|z_4|=|x|\).

Partie B Écrire sous la forme algébrique les complexes suivants puis déterminer leurs modules :

1) \(u_1=\dfrac{2+5i}{1+3i}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_1=\dfrac{(2+5i)(1-3i)}{10}=\dfrac{17-i}{10}\).

🔢 Étape 2 : \(|u_1|=\dfrac{|2+5i|}{|1+3i|}=\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt{10}}\).

✅ \(u_1=\dfrac{17}{10}-\dfrac1{10}i\) ; \(|u_1|=\dfrac{\sqrt{290}}{10}\).

2) \(u_2=\dfrac{1+i}{i-3\sqrt2}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_2=\dfrac{(1+i)\left(-i-3\sqrt2\right)}{1+18}=\dfrac{(1-3\sqrt2)-(1+3\sqrt2)i}{19}\).

🔢 Étape 2 : \(|u_2|=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt{19}}\).

✅ \(u_2=\dfrac{1-3\sqrt2}{19}-\dfrac{1+3\sqrt2}{19}i\) ; \(|u_2|=\dfrac{\sqrt{38}}{19}\).

3) \(u_3=\left(2-\sqrt3\,i\right)\left(\sqrt2+i\right)\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_3=2\sqrt2+2i-\sqrt6\,i+\sqrt3=\left(2\sqrt2+\sqrt3\right)+\left(2-\sqrt6\right)i\).

✅ \(|u_3|=\sqrt{21}\).

Exercice 27

Calculer le module des nombres complexes suivants :

1) \(z_1=5\left(1+i\sqrt3\right)\)

Correction détaillée

🔢 \(|z_1|=5\left|1+i\sqrt3\right|=5\times2\).

✅ \(|z_1|=10\).

2) \(z_2=(1+i)\left(\sqrt3-i\right)\)

Correction détaillée

🔢 \(|z_2|=|1+i|\,|\sqrt3-i|=\sqrt2\times2\).

✅ \(|z_2|=2\sqrt2\).

3) \(z_3=\left(\dfrac{1+i\sqrt3}{1-i}\right)^3\)

Correction détaillée

🔢 \(\left|\dfrac{1+i\sqrt3}{1-i}\right|=\dfrac2{\sqrt2}=\sqrt2\), puis on met au cube.

✅ \(|z_3|=\left(\sqrt2\right)^3=2\sqrt2\).

Exercice 28

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec u;\vec v)\). On considère les points \(A,B,C,D,E,F\) d’affixes \(z_A=2\), \(z_B=-2i\), \(z_C=2+2i\), \(z_D=3i\), \(z_E=-3\), \(z_F=-2+2i\).

2) En utilisant la représentation, déterminer l’argument des complexes \(z_A=2\), \(z_B=-2i\), \(z_C=2+2i\), \(z_D=3i\), \(z_E=-3\) et \(z_F=-2+2i\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(z=a+ib\neq0\) : \(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\cos\theta=\frac ar\), \(\sin\theta=\frac br\), et \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) avec \(\theta=\arg z\).

🔢 On lit l’angle que fait chaque vecteur \(\overrightarrow{OM}\) avec l’axe réel : \(z_A\) réel positif, \(z_B\) sur le demi-axe négatif des imaginaires, \(z_C\) et \(z_F\) sur les bissectrices, \(z_D\) sur le demi-axe positif des imaginaires, \(z_E\) réel négatif.

✅ \(\arg z_A=0\), \(\arg z_B=-\dfrac\pi2\), \(\arg z_C=\dfrac\pi4\), \(\arg z_D=\dfrac\pi2\), \(\arg z_E=\pi\), \(\arg z_F=\dfrac{3\pi}4\) (modulo \(2\pi\)).

Exercice 29

Donner la forme trigonométrique du nombre complexe \(z\) dans les cas suivants :

1) \(z_1=\sqrt3+i\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(z=a+ib\neq0\) : \(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\cos\theta=\frac ar\), \(\sin\theta=\frac br\), et \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) avec \(\theta=\arg z\).

🔢 \(|z_1|=2\), \(\cos\theta=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\theta=\frac12\).

✅ \(z_1=2\left(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6\right)\).

2) \(z_2=1-i\)

Correction détaillée

🔢 \(|z_2|=\sqrt2\), \(\cos\theta=\frac1{\sqrt2}\), \(\sin\theta=-\frac1{\sqrt2}\).

✅ \(z_2=\sqrt2\left(\cos\left(-\frac\pi4\right)+i\sin\left(-\frac\pi4\right)\right)\).

3) \(z_3=-\dfrac{\sqrt3}6+\dfrac12i\)

Correction détaillée

🔢 \(|z_3|=\sqrt{\frac1{12}+\frac14}=\frac1{\sqrt3}\). \(\cos\theta=-\frac12\) et \(\sin\theta=\frac{\sqrt3}2\).

✅ \(z_3=\dfrac{\sqrt3}3\left(\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3\right)\).

4) \(z_4=-1-\sqrt3\,i\)

Correction détaillée

🔢 \(|z_4|=2\), \(\cos\theta=-\frac12\), \(\sin\theta=-\frac{\sqrt3}2\).

✅ \(z_4=2\left(\cos\left(-\frac{2\pi}3\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}3\right)\right)\).

5) \(z=7\)

Correction détaillée

🔢 Réel strictement positif : module \(7\), argument \(0\).

✅ \(z=7(\cos0+i\sin0)\).

6) \(z=-12\)

Correction détaillée

🔢 Réel strictement négatif : module \(12\), argument \(\pi\).

✅ \(z=12(\cos\pi+i\sin\pi)\).

Exercice 30

Donner la forme trigonométrique du nombre complexe \(z\) dans les cas suivants avec \(\theta\in]-\pi;\pi[\setminus\{0\}\) :

1) \(z_1=\sin\theta+i\cos\theta\)

Correction détaillée

🔢 \(\sin\theta=\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)\) et \(\cos\theta=\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)\).

✅ \(z_1=\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)+i\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)\) : module \(1\), argument \(\frac\pi2-\theta\).

2) \(z_2=1-\cos\theta-i\sin\theta\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(1-\cos\theta=2\sin^2\frac\theta2\) et \(\sin\theta=2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2\) : \(z_2=2\sin\frac\theta2\left(\sin\frac\theta2-i\cos\frac\theta2\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\sin\frac\theta2-i\cos\frac\theta2=\cos\left(\frac\theta2-\frac\pi2\right)+i\sin\left(\frac\theta2-\frac\pi2\right)\).

🔢 Étape 3 : Si \(\theta\in]0,\pi[\), \(\sin\frac\theta2>0\) : c’est la forme trigonométrique. Si \(\theta\in]-\pi,0[\), \(\sin\frac\theta2<0\) : on écrit \(z_2=-2\sin\frac\theta2\left(\cos\left(\frac\theta2+\frac\pi2\right)+i\sin\left(\frac\theta2+\frac\pi2\right)\right)\).

✅ Pour \(\theta\in]0,\pi[\) : module \(2\sin\frac\theta2\), argument \(\frac\theta2-\frac\pi2\). Pour \(\theta\in]-\pi,0[\) : module \(-2\sin\frac\theta2\), argument \(\frac\theta2+\frac\pi2\).

3) \(z_3=\sin\theta+2i\sin^2\dfrac\theta2\)

Correction détaillée

🔢 \(2\sin^2\frac\theta2=1-\cos\theta\). \(z_3=2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2+2i\sin^2\frac\theta2=2\sin\frac\theta2\left(\cos\frac\theta2+i\sin\frac\theta2\right)\).

✅ Pour \(\theta\in]0,\pi[\) : module \(2\sin\frac\theta2\), argument \(\frac\theta2\). Pour \(\theta\in]-\pi,0[\) : module \(-2\sin\frac\theta2\), argument \(\frac\theta2+\pi\).

Exercice 31

On considère les nombres complexes \(z_1=\sqrt3-i\) et \(z_2=1-i\), \(Z=\dfrac{z_1}{z_2}\) et \(U=z_1^6\times z_2^2\).

1) Écrivez \(z_1\), \(z_2\) et \(Z\) sous leurs formes trigonométriques.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z_1=\sqrt3-i=2\left(\cos\left(-\frac\pi6\right)+i\sin\left(-\frac\pi6\right)\right)\) et \(z_2=1-i=\sqrt2\left(\cos\left(-\frac\pi4\right)+i\sin\left(-\frac\pi4\right)\right)\).

🔢 Étape 2 : \(Z=\dfrac{z_1}{z_2}\) : module \(\frac2{\sqrt2}=\sqrt2\), argument \(-\frac\pi6+\frac\pi4=\frac\pi{12}\).

✅ \(Z=\sqrt2\left(\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12}\right)\).

2) Écrire le complexe \(Z\) sous sa forme algébrique puis en déduire \(\cos\frac\pi{12}\) et \(\sin\frac\pi{12}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(Z=\dfrac{\sqrt3-i}{1-i}=\dfrac{(\sqrt3-i)(1+i)}2=\dfrac{\sqrt3+1}2+\dfrac{\sqrt3-1}2i\).

🔢 Étape 2 : On identifie avec \(\sqrt2\cos\frac\pi{12}+i\sqrt2\sin\frac\pi{12}\).

✅ \(\cos\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\) et \(\sin\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

3) Calculer \(U=z_1^6\times z_2^2\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé définit \(U\) mais la question correspondante n’apparaît pas sur le scan : on calcule \(U\).

🔢 \(z_1^6=64\,e^{-i\pi}=-64\) et \(z_2^2=-2i\).

✅ \(U=128i\) (module \(128\), argument \(\frac\pi2\)).

Exercice 32

Écrire le complexe \(Z=\left(\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt6}2\right)^8\) sous sa forme algébrique.

Écrire le complexe \(Z=\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt6}2\right)^8\) sous sa forme algébrique.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\left|\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt6}2\right|=\sqrt{\frac12+\frac32}=\sqrt2\), \(\cos\theta=\frac12\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt3}2\) : argument \(\frac\pi3\).

🔢 Étape 2 : \(Z=\left(\sqrt2\right)^8\left(\cos\frac{8\pi}3+i\sin\frac{8\pi}3\right)=16\left(\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3\right)\).

✅ \(Z=-8+8\sqrt3\,i\).

Exercice 33

Déterminer le module et l’argument du nombre complexe \(z\) dans les cas suivants :

1) \(z=\dfrac32-i\dfrac{3\sqrt3}2\)

Correction détaillée

🔢 \(|z|=\sqrt{\frac94+\frac{27}4}=3\), \(\cos\theta=\frac12\), \(\sin\theta=-\frac{\sqrt3}2\).

✅ \(|z|=3\), \(\arg z=-\dfrac\pi3\).

2) \(z=-5-5i\)

Correction détaillée

🔢 \(|z|=5\sqrt2\), \(\cos\theta=\sin\theta=-\frac{\sqrt2}2\).

✅ \(|z|=5\sqrt2\), \(\arg z=-\dfrac{3\pi}4\).

3) \(z=-6+6\sqrt3\,i\)

Correction détaillée

🔢 \(|z|=\sqrt{36+108}=12\), \(\cos\theta=-\frac12\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt3}2\).

✅ \(|z|=12\), \(\arg z=\dfrac{2\pi}3\).

4) \(z=(3-3i)^4\)

Correction détaillée

🔢 \(3-3i=3\sqrt2\left(\cos\left(-\frac\pi4\right)+i\sin\left(-\frac\pi4\right)\right)\). Formule de Moivre : \(z=\left(3\sqrt2\right)^4\left(\cos(-\pi)+i\sin(-\pi)\right)\).

✅ \(|z|=324\), \(\arg z=\pi\) (\(z=-324\)).

5) \(z=-2-2\sqrt3\,i\)

Correction détaillée

🔢 \(|z|=4\), \(\cos\theta=-\frac12\), \(\sin\theta=-\frac{\sqrt3}2\).

✅ \(|z|=4\), \(\arg z=-\dfrac{2\pi}3\).

6) \(z=\sqrt6-i\sqrt2\)

Correction détaillée

🔢 \(|z|=\sqrt8=2\sqrt2\), \(\cos\theta=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\theta=-\frac12\).

✅ \(|z|=2\sqrt2\), \(\arg z=-\dfrac\pi6\).

7) \(z=\left(\sqrt3+3i\right)\left(-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2\right)\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sqrt3+3i=2\sqrt3\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right)\) et \(-\frac12-i\frac{\sqrt3}2=\cos\left(-\frac{2\pi}3\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}3\right)\).

🔢 Étape 2 : Le module se multiplie, les arguments s’additionnent.

✅ \(|z|=2\sqrt3\), \(\arg z=\frac\pi3-\frac{2\pi}3=-\dfrac\pi3\).

8) \(z=\dfrac1{\sqrt6-i\sqrt2}\)

Correction détaillée

🔢 D’après 6) : \(\sqrt6-i\sqrt2=2\sqrt2\,e^{-i\pi/6}\). L’inverse a pour module l’inverse du module et pour argument l’opposé.

✅ \(|z|=\dfrac1{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}4\), \(\arg z=\dfrac\pi6\).

9) \(z=\dfrac{-2-2\sqrt3\,i}{\sqrt6-i\sqrt2}\)

Correction détaillée

🔢 D’après 5) et 6) : module \(\frac4{2\sqrt2}=\sqrt2\) ; argument \(-\frac{2\pi}3-\left(-\frac\pi6\right)\).

✅ \(|z|=\sqrt2\), \(\arg z=-\dfrac\pi2\) (\(z=-i\sqrt2\)).

Exercice 34

Soit le complexe \(u=\left(\sqrt3-1\right)+i\left(\sqrt3+1\right)\).

1) Calculer \(u^2\), puis déterminer la forme trigonométrique de \(u^2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=\left(\sqrt3-1\right)+i\left(\sqrt3+1\right)\). \(u^2=\left[(\sqrt3-1)^2-(\sqrt3+1)^2\right]+2i(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=-4\sqrt3+4i\).

🔢 Étape 2 : \(|u^2|=8\), \(\cos\theta=-\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\theta=\frac12\).

✅ \(u^2=-4\sqrt3+4i=8\left(\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6\right)\).

2) En déduire la forme trigonométrique de \(u\).

Correction détaillée

🔢 \(|u|=\sqrt8=2\sqrt2\) et \(\arg u\equiv\frac{5\pi}{12}\ [\pi]\). Comme \(\operatorname{Re}u>0\), \(\arg u=\frac{5\pi}{12}\).

✅ \(u=2\sqrt2\left(\cos\dfrac{5\pi}{12}+i\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)\).

Exercice 35

Donner une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants :

1) \(z_1=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\)

Correction détaillée

🔢 \(|z_1|=1\), \(\cos\theta=\frac12\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt3}2\).

✅ \(z_1=\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\).

2) \(z_2=\sqrt6-\sqrt2\,i\)

Correction détaillée

🔢 \(|z_2|=2\sqrt2\), \(\cos\theta=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\theta=-\frac12\).

✅ \(z_2=2\sqrt2\left(\cos\left(-\frac\pi6\right)+i\sin\left(-\frac\pi6\right)\right)\).

3) \(z_3=-\dfrac1{2\sqrt3}-\dfrac12i\)

Correction détaillée

🔢 \(|z_3|=\sqrt{\frac1{12}+\frac14}=\frac1{\sqrt3}\), \(\cos\theta=-\frac12\), \(\sin\theta=-\frac{\sqrt3}2\).

✅ \(z_3=\dfrac{\sqrt3}3\left(\cos\left(-\frac{2\pi}3\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}3\right)\right)\).

4) \(z_4=(1-i)\left(-\sqrt3+i\right)\)

Correction détaillée

🔢 \(1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}\) et \(-\sqrt3+i=2e^{i5\pi/6}\).

✅ \(z_4=2\sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}{12}+i\sin\frac{7\pi}{12}\right)\).

5) \(z_5=\dfrac{1+\sqrt3\,i}{1+i}\)

Correction détaillée

🔢 \(1+\sqrt3i=2e^{i\pi/3}\) et \(1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}\).

✅ \(z_5=\sqrt2\left(\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12}\right)\).

6) \(z_6=(1+i)^5\)

Correction détaillée

🔢 \((1+i)^5=\left(\sqrt2\right)^5\left(\cos\frac{5\pi}4+i\sin\frac{5\pi}4\right)\).

✅ \(z_6=4\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}4+i\sin\frac{5\pi}4\right)\) (argument \(-\frac{3\pi}4\) modulo \(2\pi\)).

Exercice 36

Soit \(\theta\) un réel de l’intervalle \(\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[\). Donner une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants :

1) \(z_1=\sin\theta+i\cos\theta\)

Correction détaillée

🔢 \(z_1=\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)+i\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)\).

✅ Module \(1\), argument \(\frac\pi2-\theta\).

2) \(z_2=-\sin\theta+i\cos\theta\)

Correction détaillée

🔢 \(-\sin\theta=\cos\left(\frac\pi2+\theta\right)\) et \(\cos\theta=\sin\left(\frac\pi2+\theta\right)\).

✅ Module \(1\), argument \(\frac\pi2+\theta\).

3) \(z_3=-\sin\theta-i\cos\theta\)

Correction détaillée

🔢 \(-\sin\theta=\cos\left(-\frac\pi2-\theta\right)\) et \(-\cos\theta=\sin\left(-\frac\pi2-\theta\right)\).

✅ Module \(1\), argument \(-\frac\pi2-\theta\).

4) \(z_4=1+i\tan\theta\)

Correction détaillée

🔢 \(z_4=\dfrac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta}\) avec \(\cos\theta>0\) sur \(\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[\).

✅ Module \(\dfrac1{\cos\theta}\), argument \(\theta\).

5) \(z_5=1+\cos\theta+i\sin\theta\)

Correction détaillée

🔢 \(1+\cos\theta=2\cos^2\frac\theta2\) et \(\sin\theta=2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2\) : \(z_5=2\cos\frac\theta2\left(\cos\frac\theta2+i\sin\frac\theta2\right)\) avec \(\cos\frac\theta2>0\).

✅ Module \(2\cos\frac\theta2\), argument \(\frac\theta2\).

6) \(z_6=\dfrac{1+i\tan\theta}{1-i\tan\theta}\)

Correction détaillée

🔢 \(1+i\tan\theta=\frac{e^{i\theta}}{\cos\theta}\) et \(1-i\tan\theta=\frac{e^{-i\theta}}{\cos\theta}\).

✅ \(z_6=e^{2i\theta}\) : module \(1\), argument \(2\theta\).

Exercice 37

Déterminer les racines carrées de \(z=\frac{\sqrt3}2+\frac12i\).

Déterminer les racines carrées de \(z=\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z=\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6\), donc ses racines carrées sont \(\pm\left(\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12}\right)\).

🔢 Étape 2 : Or \(\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4\) et \(\sin\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4\) (méthode algébrique : \(x^2-y^2=\frac{\sqrt3}2\), \(x^2+y^2=1\), \(2xy=\frac12\)).

✅ Les racines carrées de \(z\) sont \(\pm\left(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4+\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4i\right)\).

Exercice 38

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec u;\vec v)\) ; les points \(A\), \(B\) et \(C\) ont pour affixes \(z_A=2\), \(z_B=1+\sqrt3i\) et \(z_C=3+i\sqrt3\).

Montrer que le triangle \(ABC\) est équilatéral.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(AB=|z_B-z_A|=\left|-1+i\sqrt3\right|=2\).

✅ \(AB=AC=BC\) : le triangle \(ABC\) est équilatéral.

Exercice 39

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) des points dans le plan complexe d’affixes respectifs \(z_A=3+5i\), \(z_B=3-5i\) et \(z_C=7+3i\).

1) Montrer que \(\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}=2i\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z_B-z_C=-4-8i\) et \(z_A-z_C=-4+2i\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{-4-8i}{-4+2i}=\dfrac{(-4-8i)(-4-2i)}{20}=\dfrac{16+8i+32i-16}{20}\).

✅ \(\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}=2i\).

2) Montrer que \(ABC\) est un triangle rectangle et que \(BC=2AC\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Le quotient \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) donne : module \(\dfrac{AC}{AB}\) et argument \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).

🔢 \(\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}=2i\) a pour module \(2\) et pour argument \(\frac\pi2\).

✅ \(\dfrac{BC}{AC}=2\) donc \(BC=2AC\), et \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\frac\pi2\) : \(ABC\) est rectangle en \(C\).

Exercice 40

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). Soient \(A\), \(B\) et \(C\) des points dans le plan complexe d’affixes respectifs \(a=2i\), \(b=\sqrt2(1+i)\) et \(c=a+b\).

1) Montrer que \(OBCA\) est un losange.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(c=a+b=\sqrt2+i(2+\sqrt2)\), donc \(z_C-z_A=z_B\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}\) : \(OBCA\) est un parallélogramme.

🔢 Étape 2 : \(OA=|2i|=2\) et \(OB=\left|\sqrt2(1+i)\right|=2\) : deux côtés consécutifs sont égaux.

✅ \(OBCA\) est un losange.

2) Montrer que \(\arg c\equiv\dfrac{3\pi}8\ [2\pi]\).

Correction détaillée

🔢 \(a=2e^{i\pi/2}\) et \(b=2e^{i\pi/4}\). \(c=a+b=2e^{i3\pi/8}\left(e^{i\pi/8}+e^{-i\pi/8}\right)=4\cos\frac\pi8\,e^{i3\pi/8}\) avec \(4\cos\frac\pi8>0\).

✅ \(\arg c\equiv\dfrac{3\pi}8\ [2\pi]\) (la diagonale \(OC\) du losange est bissectrice de l’angle \(\widehat{AOB}\)).

Exercice 41

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) des points dans le plan complexe d’affixes respectifs \(a=2+i\), \(b=3+2i\) et \(c=5-i\). Soit \(\alpha\) une mesure de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\).

Calculer \(\tan\alpha\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}\) a pour affixe \(b-a=1+i\) et \(\overrightarrow{AC}\) a pour affixe \(c-a=3-2i\).

🔢 Étape 2 : \(\alpha=\arg\dfrac{c-a}{b-a}\) avec \(\dfrac{3-2i}{1+i}=\dfrac{(3-2i)(1-i)}2=\dfrac{1-5i}2\). Donc \(\tan\alpha=\dfrac{\operatorname{Im}}{\operatorname{Re}}\).

✅ \(\tan\alpha=\dfrac{-5/2}{1/2}=-5\).

Exercice 42

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé \(\mathcal R(O;\vec e_1;\vec e_2)\), les points \(A\), \(B\) et \(C\) ont pour affixes respectives \(z_1=-\sqrt2\), \(z_2=1+i\) et \(z_3=1-i\).

2) Déterminer le module et l’argument du nombre complexe \(\dfrac{z_2-z_1}{z_3-z_1}\) et déterminer une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Le quotient \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) donne : module \(\dfrac{AC}{AB}\) et argument \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=\dfrac{1+\sqrt2+i}{1+\sqrt2-i}=\dfrac{\left(1+\sqrt2+i\right)^2}{\left(1+\sqrt2\right)^2+1}\) : module \(1\), et son argument est \(2\arg\left(1+\sqrt2+i\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\tan\left(\arg(1+\sqrt2+i)\right)=\dfrac1{1+\sqrt2}=\sqrt2-1=\tan\frac\pi8\) : argument \(\frac\pi8\).

✅ Module \(1\), argument \(\frac\pi4\) : \(\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}\right)\equiv\dfrac\pi4\ [2\pi]\).

3) Montrer que la droite \((OA)\) est la médiatrice du segment \([BC]\) et en déduire que \(\left(\overrightarrow{AO};\overrightarrow{AB}\right)\equiv\dfrac\pi8\ [2\pi]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z_C=\overline{z_B}\) : \(B\) et \(C\) sont symétriques par rapport à l’axe des réels, qui est la droite \((OA)\) : c’est la médiatrice de \([BC]\).

🔢 Étape 2 : Donc \((OA)\) est bissectrice de l’angle \(\widehat{BAC}\) et \(\left(\overrightarrow{AO};\overrightarrow{AB}\right)=\frac12\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}\right)\).

✅ \(\left(\overrightarrow{AO};\overrightarrow{AB}\right)\equiv\dfrac\pi8\ [2\pi]\).

4) Écrivez le nombre \(\dfrac{z_1-z_2}{z_1}\) sous sa forme algébrique puis en déduire \(\cos\left(\frac\pi8\right)\) et \(\sin\left(\frac\pi8\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{z_1-z_2}{z_1}=\dfrac{-\sqrt2-1-i}{-\sqrt2}=\dfrac{1+\sqrt2+i}{\sqrt2}=\left(1+\dfrac{\sqrt2}2\right)+\dfrac{\sqrt2}2i\).

🔢 Étape 2 : Son argument est \(\frac\pi8\) (d’après 3)) et son module est \(\sqrt{\left(1+\frac{\sqrt2}2\right)^2+\frac12}=\sqrt{2+\sqrt2}\).

✅ \(\cos\dfrac\pi8=\dfrac{1+\frac{\sqrt2}2}{\sqrt{2+\sqrt2}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\) et \(\sin\dfrac\pi8=\dfrac{\frac{\sqrt2}2}{\sqrt{2+\sqrt2}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}2\).

Exercice 43

Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des nombres complexes tels que : \(|a|=|b|=|c|=1\) et \(a\neq c\) et \(b\neq c\).

1) Montrer que \(\left(\dfrac{c-b}{c-a}\right)^2\times\dfrac ab\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Comme \(|a|=|b|=|c|=1\), on a \(\overline a=\frac1a\), etc. Alors \(\overline{c-b}=\dfrac1c-\dfrac1b=\dfrac{b-c}{bc}\) et \(\overline{c-a}=\dfrac{a-c}{ac}\).

🔢 Étape 2 : Donc \(\overline w=\dfrac{b-c}{bc}\times\dfrac{ac}{a-c}=\dfrac{c-b}{c-a}\times\dfrac ab=w\,\dfrac ab\), où \(w=\dfrac{c-b}{c-a}\).

🔢 Étape 3 : D’où \(w^2\dfrac ab=w\overline w=|w|^2\).

✅ \(\left(\dfrac{c-b}{c-a}\right)^2\dfrac ab=|w|^2\in\mathbb R\).

2) En déduire que \(\arg\left(\dfrac{c-b}{c-a}\right)\equiv\dfrac12\arg\left(\dfrac ba\right)\ \left[\dfrac\pi2\right]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(w\neq0\) (car \(b\neq c\)) donc \(|w|^2>0\) et \(\arg\left(w^2\frac ab\right)\equiv0\ [\pi]\).

🔢 Étape 2 : \(2\arg w+\arg a-\arg b\equiv0\ [\pi]\), d’où \(2\arg w\equiv\arg\frac ba\ [\pi]\).

✅ \(\arg w\equiv\dfrac12\arg\dfrac ba\ \left[\dfrac\pi2\right]\).

Exercice 44

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \((O,\vec u,\vec v)\). On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(z_A=2-2i\sqrt3\), \(z_B=2+2i\sqrt3\) et \(z_C=8\).

1) Donner une forme trigonométrique des nombres complexes \(z_A\), \(z_B\) et \(z_C\).

Correction détaillée

🔢 \(z_A=2-2i\sqrt3=4\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}2\right)\), \(z_B=2+2i\sqrt3\) et \(z_C=8\).

✅ \(z_A=4\left(\cos\left(-\frac\pi3\right)+i\sin\left(-\frac\pi3\right)\right)\), \(z_B=4\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right)\), \(z_C=8(\cos0+i\sin0)\).

3.a) On pose \(Z=\dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C}\). Déterminer \(|Z|\) et \(\arg(Z)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z_A-z_C=-6-2i\sqrt3=4\sqrt3\,e^{-i5\pi/6}\) et \(z_B-z_C=-6+2i\sqrt3=4\sqrt3\,e^{i5\pi/6}\).

🔢 Étape 2 : \(Z=e^{-i5\pi/6-i5\pi/6}=e^{-i5\pi/3}\).

✅ \(|Z|=1\) et \(\arg Z\equiv\dfrac\pi3\ [2\pi]\).

3.b) En déduire la nature du triangle \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 \(|Z|=1\) donne \(CA=CB\) et \(\arg Z=\frac\pi3\) donne \(\left(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}\right)=\frac\pi3\).

✅ Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(C\) avec un angle de \(\frac\pi3\) : il est équilatéral.

Exercice 45

On pose : \(z_1=1+i\), \(z_2=\sqrt3+i\) et \(z_3=\dfrac{z_1}{z_2}\).

1) Donner une forme trigonométrique des nombres complexes \(z_1\), \(z_2\) et \(z_3\).

Correction détaillée

🔢 \(z_1=1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}\), \(z_2=\sqrt3+i=2e^{i\pi/6}\), \(z_3=\frac{z_1}{z_2}=\frac{\sqrt2}2e^{i\pi/12}\).

✅ \(z_3=\dfrac{\sqrt2}2\left(\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12}\right)\).

2) Déduire \(\cos\left(\frac\pi{12}\right)\) et \(\sin\left(\frac\pi{12}\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z_3=\dfrac{(1+i)\left(\sqrt3-i\right)}4=\dfrac{\sqrt3+1}4+\dfrac{\sqrt3-1}4i\).

🔢 Étape 2 : On identifie avec \(\frac{\sqrt2}2\cos\frac\pi{12}+i\frac{\sqrt2}2\sin\frac\pi{12}\).

✅ \(\cos\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\), \(\sin\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

3) On pose \(z_4=\left(\sqrt6+\sqrt2\right)+i\left(\sqrt6-\sqrt2\right)\). Montrer que \(\left(\dfrac{z_4}4\right)^{2016}\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après 2) : \(z_4=4\left(\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12}\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac{z_4}4\right)^{2016}=\cos\frac{2016\pi}{12}+i\sin\frac{2016\pi}{12}=\cos168\pi+i\sin168\pi\).

✅ \(\left(\dfrac{z_4}4\right)^{2016}=1\in\mathbb R\).

Exercice 46

On considère dans le plan complexe les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives \(z_A=i\) et \(z_B=-\frac{\sqrt3}2+\frac12i\) et le point \(C\) d’affixe \(z_C\) tel que \(C\) est le symétrique du point \(B\) par rapport à l’axe des réels.

2) Déterminer le module et l’argument de \(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\).

Correction détaillée

🔢 \(z_C-z_B=-i\) et \(z_A-z_B=\frac{\sqrt3}2+\frac12i=e^{i\pi/6}\). \(-i=e^{-i\pi/2}\).

✅ Le quotient vaut \(e^{-i2\pi/3}\) : module \(1\), argument \(-\dfrac{2\pi}3\).

3) Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(\left|\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right|=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(MA=MB\) : \(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\) avec \(A(0,1)\), \(B\left(-\frac{\sqrt3}2,\frac12\right)\).

🔢 Étape 2 : \(x^2+(y-1)^2=\left(x+\frac{\sqrt3}2\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2\iff\sqrt3x+y=0\).

✅ Médiatrice de \([AB]\), d’équation \(y=-\sqrt3x\) (droite passant par \(O\)).

4) On pose \(Z=\dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C}\). Déterminer \(|Z|\) et \(\arg(Z)\).

Correction détaillée

🔢 \(z_A-z_C=i+\frac{\sqrt3}2+\frac i2=\sqrt3e^{i\pi/3}\) et \(z_B-z_C=i\).

✅ \(Z=\sqrt3\,e^{i(\pi/3-\pi/2)}\) : \(|Z|=\sqrt3\), \(\arg Z=-\dfrac\pi6\).

Exercice 47

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\). On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(a=i\), \(b=-\frac{\sqrt3}2+\frac12i\) et \(c=-\frac{\sqrt3}2-\frac12i\).

1) Donner une forme trigonométrique des nombres complexes \(a\), \(b\) et \(c\).

Correction détaillée

🔢 \(a=i=e^{i\pi/2}\), \(b=-\frac{\sqrt3}2+\frac12i=e^{i5\pi/6}\), \(c=\overline b=e^{-i5\pi/6}\).

✅ \(a=\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\), \(b=\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6\), \(c=\cos\left(-\frac{5\pi}6\right)+i\sin\left(-\frac{5\pi}6\right)\).

3.a) On pose \(Z=\dfrac{c-b}{a-b}\). Déterminer \(|Z|\) et \(\arg(Z)\).

Correction détaillée

🔢 \(c-b=-i\) et \(a-b=e^{i\pi/6}\) : \(Z=e^{-i\pi/2-i\pi/6}\).

✅ \(|Z|=1\), \(\arg Z\equiv-\dfrac{2\pi}3\ [2\pi]\).

3.b) Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z-i|=\left|z+\frac{\sqrt3}2-\frac12i\right|\).

Correction détaillée

🔢 \(z+\frac{\sqrt3}2-\frac12i=z-b\). On cherche donc les points équidistants de \(A\) et \(B\) : \(\sqrt3x+y=0\).

✅ Médiatrice de \([AB]\) : la droite \(y=-\sqrt3\,x\).

Exercice 48

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\). On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(a=2\), \(b=\sqrt2(-1+i)\) et \(c=\sqrt2(-1-i)\). Soit \(E\) d’affixe \(e\) le milieu de \([AB]\).

1) Donner une forme trigonométrique des nombres complexes \(a\), \(b\) et \(c\).

Correction détaillée

🔢 \(a=2\), \(b=\sqrt2(-1+i)=2e^{i3\pi/4}\), \(c=\sqrt2(-1-i)=2e^{-i3\pi/4}\).

✅ \(a=2(\cos0+i\sin0)\), \(b=2\left(\cos\frac{3\pi}4+i\sin\frac{3\pi}4\right)\), \(c=2\left(\cos\left(-\frac{3\pi}4\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}4\right)\right)\).

3) Montrer que le triangle \(OAB\) est isocèle, puis déduire une mesure de l’angle orienté \(\left(\vec u,\overrightarrow{OE}\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(OA=|a|=2\) et \(OB=|b|=2\). Le point \(E\), milieu de \([AB]\), est sur la médiane issue de \(O\), qui est aussi la bissectrice de \(\widehat{AOB}\).

✅ \(\left(\vec u,\overrightarrow{OE}\right)\equiv\dfrac12\left(0+\dfrac{3\pi}4\right)=\dfrac{3\pi}8\ [2\pi]\).

4) Déterminer \(e\) puis \(|e|\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(e=\dfrac{a+b}2=\dfrac{2-\sqrt2+i\sqrt2}2\).

🔢 Étape 2 : \(|e|^2=\left(1-\frac{\sqrt2}2\right)^2+\frac12=2-\sqrt2\).

✅ \(e=1-\dfrac{\sqrt2}2+\dfrac{\sqrt2}2i\) ; \(|e|=\sqrt{2-\sqrt2}\).

5) Déduire \(\cos\left(\frac{3\pi}8\right)\) et \(\sin\left(\frac{3\pi}8\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(e=|e|\left(\cos\frac{3\pi}8+i\sin\frac{3\pi}8\right)\), donc \(\cos\frac{3\pi}8=\frac{\operatorname{Re}e}{|e|}=\frac{(2-\sqrt2)/2}{\sqrt{2-\sqrt2}}\) et \(\sin\frac{3\pi}8=\frac{\sqrt2/2}{\sqrt{2-\sqrt2}}\).

✅ \(\cos\dfrac{3\pi}8=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}2\) et \(\sin\dfrac{3\pi}8=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\).

Exercice 49

On considère les nombres complexes suivants : \(a=2i\), \(b=\sqrt3+i\) et \(c=\sqrt2+\sqrt2i\).

1) Donner une forme trigonométrique des nombres complexes \(a\), \(b\) et \(c\).

Correction détaillée

🔢 \(a=2i=2e^{i\pi/2}\), \(b=\sqrt3+i=2e^{i\pi/6}\), \(c=\sqrt2+\sqrt2i=2e^{i\pi/4}\).

✅ \(a=2\left(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\right)\), \(b=2\left(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6\right)\), \(c=2\left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right)\).

2) Vérifier que \(a^{12}=b^{12}\).

Correction détaillée

🔢 \(a^{12}=2^{12}e^{i6\pi}\) et \(b^{12}=2^{12}e^{i2\pi}\).

✅ \(a^{12}=b^{12}=2^{12}=4096\).

3.a) Déterminer la forme algébrique puis une forme trigonométrique du quotient \(\dfrac cb\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac cb=\dfrac{\left(\sqrt2+\sqrt2i\right)\left(\sqrt3-i\right)}4=\dfrac{\left(\sqrt6+\sqrt2\right)+i\left(\sqrt6-\sqrt2\right)}4\).

🔢 Étape 2 : Module \(\frac22=1\), argument \(\frac\pi4-\frac\pi6=\frac\pi{12}\).

✅ \(\dfrac cb=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4+\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4i=\cos\dfrac\pi{12}+i\sin\dfrac\pi{12}\).

3.b) Déduire \(\cos\left(\frac\pi{12}\right)\) et \(\sin\left(\frac\pi{12}\right)\).

Correction détaillée

🔢 On identifie parties réelles et imaginaires.

✅ \(\cos\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\), \(\sin\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

4.a) Montrer que \(O\) est centre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 \(|a|=|b|=|c|=2\) : \(OA=OB=OC\).

✅ \(O\) est le centre du cercle circonscrit à \(ABC\) (de rayon \(2\)).

4.b) Déterminer une mesure de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right)\equiv\arg\dfrac cb\).

✅ \(\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right)\equiv\dfrac\pi{12}\ [2\pi]\).

Exercice 50

On considère les nombres complexes suivants : \(a=1-i\), \(b=\frac{\sqrt3+1}2+i\frac{\sqrt3-1}2\) et \(c=\frac{\sqrt3-1}2+i\frac{\sqrt3+1}2\).

1.a) Déterminer la forme algébrique puis une forme trigonométrique des quotients \(\dfrac ca\) et \(\dfrac ba\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac ca=\dfrac{c(1+i)}2=\dfrac{-1+i\sqrt3}2\) ; \(\dfrac ba=\dfrac{b(1+i)}2=\dfrac{1+i\sqrt3}2\).

✅ \(\dfrac ca=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i=\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3\) ; \(\dfrac ba=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i=\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\).

1.b) Déduire la forme trigonométrique des nombres complexes \(b\) et \(c\).

Correction détaillée

🔢 \(a=1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}\). Donc \(b=a\cdot\frac ba=\sqrt2\,e^{i(\pi/3-\pi/4)}\) et \(c=\sqrt2\,e^{i(2\pi/3-\pi/4)}\).

✅ \(b=\sqrt2\left(\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12}\right)\) et \(c=\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right)\).

2.a) Montrer que le quadrilatère \(OABC\) est un parallélogramme.

Correction détaillée

🔢 \(a+c=1-i+\frac{\sqrt3-1}2+i\frac{\sqrt3+1}2=\frac{\sqrt3+1}2+i\frac{\sqrt3-1}2=b\).

✅ \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\) : \(OABC\) est un parallélogramme.

2.b) Montrer que \((OB)\perp(AC)\).

Correction détaillée

🔢 \(|a|=\sqrt2=|c|\) : le parallélogramme \(OABC\) a deux côtés consécutifs égaux, c’est un losange.

✅ Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires : \((OB)\perp(AC)\).

2.c) Déterminer une mesure de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(c-b=-a\) et \(a-b=-c\) : \(\dfrac{a-b}{c-b}=\dfrac ca=e^{i2\pi/3}\).

✅ \(\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)\equiv\dfrac{2\pi}3\ [2\pi]\).

2.d) Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z-c|=|z-a|\).

Correction détaillée

🔢 Médiatrice de \([AC]\). Dans le losange \(OABC\), c’est la droite \((OB)\), qui passe par \(O\) et par \(B\) d’argument \(\frac\pi{12}\).

✅ La droite \((OB)\), d’équation \(y=(2-\sqrt3)x\).

Exercice 51

On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(a=1\), \(b=1-2i\) et \(c=-2+2i\). Soit \((C)\) le cercle de diamètre \([BC]\).

1.a) Déterminer \(\omega\) l’affixe du point \(\Omega\), centre du cercle \((C)\).

Correction détaillée

🔢 \(\Omega\) est le milieu de \([BC]\) : \(\omega=\dfrac{(1-2i)+(-2+2i)}2\).

✅ \(\omega=-\dfrac12\).

1.b) Calculer \(R\) le rayon du cercle \((C)\).

Correction détaillée

🔢 \(R=\dfrac{BC}2=\dfrac{|c-b|}2=\dfrac{|-3+4i|}2\).

✅ \(R=\dfrac52\).

2.a) Soit \(D\) le point d’affixe \(d=\dfrac{3+9i}{4+2i}\). Déterminer la forme algébrique du nombre complexe \(d\).

Correction détaillée

🔢 \(d=\dfrac{(3+9i)(4-2i)}{20}=\dfrac{12-6i+36i+18}{20}\).

✅ \(d=\dfrac32+\dfrac32i\).

2.b) Montrer que \(D\in(C)\).

Correction détaillée

🔢 \(|d-\omega|=\left|2+\frac32i\right|=\sqrt{4+\frac94}\).

✅ \(\Omega D=\dfrac52=R\) : \(D\in(C)\).

3.a) Soit le point \(E\) d’affixe \(e\) tel que \(E\in(C)\) et \(\left(\overrightarrow{\Omega A},\overrightarrow{\Omega E}\right)\equiv\frac\pi4\ [2\pi]\). Déterminer le module et l’argument du nombre complexe \(e+\frac12\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(e+\frac12=e-\omega\) est l’affixe de \(\overrightarrow{\Omega E}\), de module \(R=\frac52\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{\Omega A}\) a pour affixe \(a-\omega=\frac32>0\) (argument \(0\)), donc \(\arg(e-\omega)\equiv\frac\pi4\).

✅ \(\left|e+\frac12\right|=\dfrac52\) et \(\arg\left(e+\frac12\right)\equiv\dfrac\pi4\ [2\pi]\).

3.b) En déduire que \(e=\dfrac{5\sqrt2-2}4+\dfrac{5\sqrt2}4i\).

Correction détaillée

🔢 \(e+\frac12=\frac52\left(\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2\right)=\frac{5\sqrt2}4+\frac{5\sqrt2}4i\).

✅ \(e=\dfrac{5\sqrt2}4-\dfrac12+\dfrac{5\sqrt2}4i=\dfrac{5\sqrt2-2}4+\dfrac{5\sqrt2}4i\).

Exercice 52

On considère dans le plan complexe les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives \(a=\sqrt3+1+i\left(\sqrt3-1\right)\) et \(b=\sqrt3-1+i\left(\sqrt3+1\right)\).

1) Montrer que \(a^2=4\left(\sqrt3+i\right)\) et que \(b=i\overline a\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(a=\left(\sqrt3+1\right)+i\left(\sqrt3-1\right)\) : \(a^2=\left[(\sqrt3+1)^2-(\sqrt3-1)^2\right]+2i(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)=4\sqrt3+4i\).

🔢 Étape 2 : \(\overline a=(\sqrt3+1)-i(\sqrt3-1)\) et \(i\overline a=(\sqrt3-1)+i(\sqrt3+1)=b\).

✅ \(a^2=4\left(\sqrt3+i\right)\) et \(b=i\overline a\).

2) Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe \(4\left(\sqrt3+i\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt3+i=2e^{i\pi/6}\).

✅ \(4\left(\sqrt3+i\right)=8\left(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6\right)\).

3) Déduire la forme trigonométrique des nombres complexes \(a\) et \(b\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(a^2=8e^{i\pi/6}\) : \(|a|=2\sqrt2\) et \(\arg a\equiv\frac\pi{12}\ [\pi]\) ; \(\operatorname{Re}a>0\), donc \(\arg a=\frac\pi{12}\).

🔢 Étape 2 : \(b=i\overline a\) : \(|b|=|a|\) et \(\arg b=\frac\pi2-\frac\pi{12}\).

✅ \(a=2\sqrt2\left(\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12}\right)\) et \(b=2\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right)\).

4) Calculer \(\arg\left(\dfrac ba\right)\), déduire la nature du triangle \(OAB\).

Correction détaillée

🔢 \(\arg\dfrac ba=\frac{5\pi}{12}-\frac\pi{12}=\frac\pi3\) et \(\left|\dfrac ba\right|=1\).

✅ \(OA=OB\) et \(\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=\frac\pi3\) : le triangle \(OAB\) est équilatéral.

Exercice 53

Bac 2014 session normale. Dans le plan complexe \((P)\) rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes \(a=4-4i\sqrt3\) et \(b=8\) ; \(M(z)\) a pour image \(M'(z’)\) par la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac\pi3\).

1. Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-z\sqrt2+2=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) de discriminant \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=2-8=-6=\left(i\sqrt6\right)^2\).

✅ \(S=\left\{\dfrac{\sqrt2+i\sqrt6}2,\ \dfrac{\sqrt2-i\sqrt6}2\right\}\).

2.a) Montrer que le module de \(u\) est \(\sqrt2\) et que \(\arg(u)\equiv\frac\pi3\ [2\pi]\), où \(u=\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt6}2i\).

Correction détaillée

🔢 \(|u|=\sqrt{\frac12+\frac32}=\sqrt2\) ; \(\cos\theta=\frac{\sqrt2/2}{\sqrt2}=\frac12\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt6/2}{\sqrt2}=\frac{\sqrt3}2\).

✅ \(|u|=\sqrt2\) et \(\arg u\equiv\dfrac\pi3\ [2\pi]\).

2.b) En utilisant l’écriture de \(u\) sous forme trigonométrique, montrer que \(u^6\) est un nombre réel.

Correction détaillée

🔢 \(u^6=\left(\sqrt2\right)^6\left(\cos2\pi+i\sin2\pi\right)\).

✅ \(u^6=8\in\mathbb R\).

3.a) Exprimer \(z’\) en fonction de \(z\) (rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac\pi3\)).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(z’=e^{i\pi/3}z\).

✅ \(z’=\left(\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\right)z\).

3.b) Vérifier que le point \(B\) est l’image du point \(A\) par la rotation \(R\), et en déduire que le triangle \(OAB\) est équilatéral.

Correction détaillée

🔢 \(a=4-4i\sqrt3\) : \(R(A)\) a pour affixe \(\left(\frac12+\frac{\sqrt3}2i\right)\left(4-4i\sqrt3\right)=2-2\sqrt3i+2\sqrt3i+6=8=b\).

✅ \(R(A)=B\) : \(OA=OB\) et \(\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=\frac\pi3\), donc \(OAB\) est équilatéral.

Exercice 54

Bac 2014 session de rattrapage. Dans le plan complexe \((P)\), on considère les points \(A,B,C,D,\Omega\) d’affixes \(a=2+i\), \(b=2-i\), \(c=i\), \(d=-i\) et \(\omega=1\) ; \(M(z)\) a pour image \(M'(z’)\) par la rotation \(R\) de centre \(\Omega\) et d’angle \(\frac\pi2\).

1. Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-4z+5=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) de discriminant \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=16-20=-4\).

✅ \(S=\{2+i,\ 2-i\}\).

2.a) Montrer que \(\dfrac{a-\omega}{b-\omega}=i\).

Correction détaillée

🔢 \(a-\omega=1+i\) et \(b-\omega=1-i\) : \(\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)^2}2=\dfrac{2i}2\).

✅ \(\dfrac{a-\omega}{b-\omega}=i\).

2.b) En déduire que le triangle \(\Omega AB\) est rectangle isocèle en \(\Omega\).

Correction détaillée

🔢 \(|i|=1\) donne \(\Omega A=\Omega B\) et \(\arg i=\frac\pi2\) donne \(\left(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega A}\right)=\frac\pi2\).

✅ \(\Omega AB\) est rectangle isocèle en \(\Omega\).

3.a) Montrer que \(z’=iz+1-i\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(z’-\omega=i(z-\omega)\) avec \(\omega=1\) : \(z’=iz-i+1\).

✅ \(z’=iz+1-i\).

3.b) Vérifier que \(R(A)=C\) et \(R(D)=B\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(i(2+i)+1-i=2i-1+1-i=i=c\).

🔢 Étape 2 : \(i(-i)+1-i=1+1-i=2-i=b\).

✅ \(R(A)=C\) et \(R(D)=B\).

3.c) Montrer que les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) appartiennent à un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

Correction détaillée

🔢 \(|a-\omega|=|1+i|=\sqrt2\), \(|b-\omega|=|1-i|=\sqrt2\), \(|c-\omega|=|i-1|=\sqrt2\), \(|d-\omega|=|-i-1|=\sqrt2\).

✅ Les quatre points sont sur le cercle de centre \(\Omega(1)\) et de rayon \(\sqrt2\).

Exercice 55

Bac 2015 session normale (fuite). On considère le nombre complexe \(a=2+\sqrt2+i\sqrt2\). Dans la deuxième partie, \(\Omega\) et \(A\) ont pour affixes \(\omega=\sqrt2\) et \(a\).

1. Montrer que le module de \(a\) est \(2\sqrt{2+\sqrt2}\).

Correction détaillée

🔢 \(|a|^2=\left(2+\sqrt2\right)^2+2=8+4\sqrt2=4\left(2+\sqrt2\right)\).

✅ \(|a|=2\sqrt{2+\sqrt2}\).

2. Vérifier que \(a=2\left(1+\cos\frac\pi4\right)+2i\sin\frac\pi4\).

Correction détaillée

🔢 \(2\cos\frac\pi4=\sqrt2\) et \(2\sin\frac\pi4=\sqrt2\).

✅ \(a=2+\sqrt2+i\sqrt2\).

3.a) Par la linéarisation de \(\cos^2\theta\) (\(\theta\in\mathbb R\)), montrer que \(1+\cos2\theta=2\cos^2\theta\).

Correction détaillée

🔢 \(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\).

✅ \(1+\cos2\theta=2\cos^2\theta\).

3.b) Montrer que \(a=4\cos^2\frac\pi8+4i\cos\frac\pi8\sin\frac\pi8\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2\left(1+\cos\frac\pi4\right)=4\cos^2\frac\pi8\) (question 3.a) avec \(\theta=\frac\pi8\)).

🔢 Étape 2 : \(2\sin\frac\pi4=2\times2\sin\frac\pi8\cos\frac\pi8\).

✅ \(a=4\cos^2\frac\pi8+4i\cos\frac\pi8\sin\frac\pi8\).

3.c) Montrer que \(a=4\cos\frac\pi8\left(\cos\frac\pi8+i\sin\frac\pi8\right)\) est la forme trigonométrique de \(a\), puis montrer que \(a^4=\left(2\sqrt{2+\sqrt2}\right)^4i\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On factorise \(4\cos\frac\pi8>0\) dans 3.b).

🔢 Étape 2 : \(|a|=4\cos\frac\pi8=2\sqrt{2+\sqrt2}\) et \(\arg a=\frac\pi8\). Donc \(a^4=|a|^4\left(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\right)\).

✅ \(a^4=\left(2\sqrt{2+\sqrt2}\right)^4\,i\).

II.1) Montrer que l’affixe \(b\) du point \(B\) image de \(A\) par la rotation \(R\) de centre \(\Omega(\omega=\sqrt2)\) et d’angle \(\frac\pi2\) est égale à \(2i\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(b-\omega=i(a-\omega)=i\left(2+i\sqrt2\right)=2i-\sqrt2\).

✅ \(b=\sqrt2+2i-\sqrt2=2i\).

II.2) Déterminer l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) qui vérifie \(|z-2i|=2\).

Correction détaillée

🔢 \(|z-b|=2\).

✅ Cercle de centre \(B(2i)\) et de rayon \(2\).

Exercice 56

Bac 2015 session normale. Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(\Omega\) ont pour affixes \(a=-2+2i\), \(b=-5+i\), \(c=-5-i\) et \(\omega=-3\) ; \(D\) est l’image de \(C\) par la translation \(T\) de vecteur \(\vec u\) d’affixe \(6+4i\).

1. Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2+10z+26=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) de discriminant \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=100-104=-4\).

✅ \(S=\{-5+i,\ -5-i\}\).

2.a) Montrer que \(\dfrac{b-\omega}{a-\omega}=i\).

Correction détaillée

🔢 \(b-\omega=-2+i\) et \(a-\omega=1+2i\) : \(\dfrac{-2+i}{1+2i}=\dfrac{(-2+i)(1-2i)}5=\dfrac{5i}5\).

✅ \(\dfrac{b-\omega}{a-\omega}=i\).

2.b) En déduire la nature du triangle \(\Omega AB\).

Correction détaillée

🔢 Module \(1\) : \(\Omega A=\Omega B\) ; argument \(\frac\pi2\).

✅ \(\Omega AB\) est rectangle isocèle en \(\Omega\).

3.a) Montrer que l’affixe \(d\) du point \(D\) est \(1+3i\).

Correction détaillée

🔢 \(d=c+6+4i=-5-i+6+4i\).

✅ \(d=1+3i\).

3.b) Montrer que \(\dfrac{b-d}{a-d}=2\) puis en déduire que le point \(A\) est le milieu du segment \([BD]\).

Correction détaillée

🔢 \(b-d=-6-2i\) et \(a-d=-3-i\), donc \(\dfrac{b-d}{a-d}=2\), c’est-à-dire \(b-d=2(a-d)\).

✅ \(a=\dfrac{b+d}2\) : \(A\) est le milieu de \([BD]\).

Exercice 57

Bac 2015 session de rattrapage. Dans le plan complexe \((P)\), \(A\), \(B\), \(C\) ont pour affixes \(a=4+4i\), \(b=2+3i\) et \(c=3+4i\) ; \(M(z)\) a pour image \(M'(z’)\) par la rotation \(R\) de centre \(C\) et d’angle \(\frac\pi2\).

1.a) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-8z+32=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) de discriminant \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=64-128=-64\).

✅ \(S=\{4+4i,\ 4-4i\}\).

1.b) Écrire le nombre complexe \(a=4+4i\) sous forme trigonométrique, puis déduire que \(a^{16}\) est un nombre réel.

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé dit « réel négatif », or \(a^{16}=2^{40}>0\).

🔢 Étape 1 : \(|a|=4\sqrt2\), \(\arg a=\frac\pi4\).

🔢 Étape 2 : \(a^{16}=\left(4\sqrt2\right)^{16}\left(\cos4\pi+i\sin4\pi\right)=2^{40}\).

✅ \(a=4\sqrt2\left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right)\) et \(a^{16}=2^{40}\in\mathbb R\).

2.a) Montrer que \(z’=iz+7+i\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(z’-c=i(z-c)\) avec \(c=3+4i\) : \(z’=iz+3+4i-i(3+4i)=iz+3+4i-3i+4\).

✅ \(z’=iz+7+i\).

2.b) Vérifier que l’affixe \(d\) du point \(D\) image de \(A\) par la rotation \(R\) est \(3+5i\).

Correction détaillée

🔢 \(d=i(4+4i)+7+i=4i-4+7+i\).

✅ \(d=3+5i\).

2.c) Montrer que l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) qui vérifie \(|z-3-5i|=|z-4-4i|\) est la droite \((BC)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : C’est la médiatrice de \([AD]\) (\(|z-d|=|z-a|\)).

🔢 Étape 2 : \(CA=CD\) car \(D=R(A)\). \(BA=|b-a|=|-2-i|=\sqrt5\) et \(BD=|b-d|=|-1-2i|=\sqrt5\).

✅ \(B\) et \(C\) sont sur la médiatrice de \([AD]\) : c’est la droite \((BC)\).

Exercice 58

Bac 2016 session normale. Dans le plan complexe \((P)\), on considère les points \(\Omega\), \(A\), \(B\) d’affixes respectives \(\omega=2+5i\), \(a=5+2i\), \(b=5+8i\).

1. Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-4z+29=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) de discriminant \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=16-116=-100\).

✅ \(S=\{2+5i,\ 2-5i\}\).

2.a) Soit \(u=b-\omega\). Vérifier que \(u=3+3i\), puis montrer que \(\arg u\equiv\frac\pi4\ [2\pi]\).

Correction détaillée

🔢 \(u=(5+8i)-(2+5i)=3+3i=3\sqrt2\left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right)\).

✅ \(u=3+3i\) et \(\arg u\equiv\dfrac\pi4\ [2\pi]\).

2.b) Déterminer l’argument du nombre complexe \(\overline u\).

Correction détaillée

🔢 \(\arg\overline u=-\arg u\).

✅ \(\arg\overline u\equiv-\dfrac\pi4\ [2\pi]\).

2.c) Vérifier que \(a-\omega=\overline u\), puis en déduire que \(\Omega A=\Omega B\) et \(\arg\left(\dfrac{b-\omega}{a-\omega}\right)\equiv\frac\pi2\ [2\pi]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(a-\omega=3-3i=\overline u\). Donc \(\Omega A=|\overline u|=|u|=\Omega B\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{b-\omega}{a-\omega}=\dfrac u{\overline u}\) a pour argument \(\frac\pi4-\left(-\frac\pi4\right)\).

✅ \(\Omega A=\Omega B\) et \(\arg\dfrac{b-\omega}{a-\omega}\equiv\dfrac\pi2\ [2\pi]\).

2.d) On considère la rotation \(R\) de centre \(\Omega\) et d’angle \(\frac\pi2\). Déterminer l’image du point \(A\) par la rotation \(R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(z’=\omega+i(a-\omega)=2+5i+i(3-3i)=2+5i+3i+3\).

✅ \(R(A)=B\), d’affixe \(5+8i\).

Exercice 59

Bac 2016 session de rattrapage. Dans le plan complexe \((P)\), les points \(A\), \(B\), \(C\), \(\Omega\) ont pour affixes \(a=4+5i\), \(b=3+4i\), \(c=6+7i\) et \(\omega=4+7i\).

1. Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-8z+41=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) de discriminant \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=64-164=-100\).

✅ \(S=\{4+5i,\ 4-5i\}\).

2.a) Montrer que \(\dfrac{c-b}{a-b}\in\mathbb R\), en déduire que les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 \(c-b=3+3i\) et \(a-b=1+i\) : \(\dfrac{3+3i}{1+i}=3\).

✅ \(\dfrac{c-b}{a-b}=3\in\mathbb R\) : \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

2.b) Montrer que \(z’=-iz-3+11i\) (rotation \(R\) de centre \(\Omega\) et d’angle \(-\frac\pi2\)).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(z’-\omega=-i(z-\omega)\), donc \(z’=-iz+\omega+i\omega=-iz+4+7i+4i-7\).

✅ \(z’=-iz-3+11i\).

2.c) Déterminer l’image du point \(C\) par la rotation \(R\) puis donner la forme trigonométrique du nombre \(\dfrac{a-\omega}{c-\omega}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(-i(6+7i)-3+11i=-6i+7-3+11i=4+5i\).

🔢 Étape 2 : \(a-\omega=-2i\) et \(c-\omega=2\) : \(\dfrac{a-\omega}{c-\omega}=-i\).

✅ \(R(C)=A\) et \(\dfrac{a-\omega}{c-\omega}=\cos\left(-\dfrac\pi2\right)+i\sin\left(-\dfrac\pi2\right)\).

Exercice 60

Bac 2017 session normale. On considère les deux nombres complexes \(a\) et \(b\) tels que \(a=\sqrt3+i\) et \(b=\sqrt3-1+\left(\sqrt3+1\right)i\). Dans le plan complexe, \(A(a)\), \(B(b)\) et \(C(c)\) avec \(c=-1+i\sqrt3\).

1.a) Vérifier que \(b=(1+i)a\).

Correction détaillée

🔢 \((1+i)\left(\sqrt3+i\right)=\sqrt3+i+i\sqrt3-1\).

✅ \(b=\sqrt3-1+\left(\sqrt3+1\right)i\).

1.b) En déduire que \(|b|=2\sqrt2\) et \(\arg b\equiv\frac{5\pi}{12}\ [2\pi]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(|a|=2\), \(\arg a=\frac\pi6\) ; \(|1+i|=\sqrt2\), \(\arg(1+i)=\frac\pi4\).

🔢 Étape 2 : \(|b|=\sqrt2\times2\) et \(\arg b=\frac\pi4+\frac\pi6\).

✅ \(|b|=2\sqrt2\) et \(\arg b\equiv\dfrac{5\pi}{12}\ [2\pi]\).

1.c) En déduire que \(\cos\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

Correction détaillée

🔢 \(\operatorname{Re}b=\sqrt3-1=|b|\cos\frac{5\pi}{12}\).

✅ \(\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

2.a) Vérifier que \(c=ia\) puis en déduire que \(OA=OC\) et \(\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)\equiv\frac\pi2\ [2\pi]\).

Correction détaillée

🔢 \(ia=i\sqrt3-1=c\). \(\dfrac ca=i\) : module \(1\), argument \(\frac\pi2\).

✅ \(OA=OC\) et \(\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)\equiv\dfrac\pi2\ [2\pi]\).

2.b) Montrer que le point \(B\) est l’image du point \(A\) par la translation \(T\) de vecteur \(\overrightarrow{OC}\).

Correction détaillée

🔢 \(a+c=\sqrt3+i-1+i\sqrt3=b\).

✅ \(b=a+c\) : \(B=T(A)\).

2.c) En déduire que le quadrilatère \(OABC\) est un carré.

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}\) : \(OABC\) est un parallélogramme, avec deux côtés consécutifs égaux et perpendiculaires.

✅ \(OABC\) est un carré.

Exercice 61

Bac 2017 session de rattrapage. Les points \(A\), \(B\), \(C\) ont pour affixes \(a=-2+2i\), \(b=4-4i\) et \(c=4+8i\) ; \(M(z)\) a pour image \(M'(z’)\) par la rotation \(R\) de centre \(A\) et d’angle \(-\frac\pi2\).

1. Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2+4z+8=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) de discriminant \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=16-32=-16\).

✅ \(S=\{-2+2i,\ -2-2i\}\).

2.a) Montrer que \(z’=-iz-4\) (rotation \(R\) de centre \(A\) et d’angle \(-\frac\pi2\)).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(z’-a=-i(z-a)\) avec \(a=-2+2i\) : \(z’=-iz+a+ia=-iz-2+2i-2i-2\).

✅ \(z’=-iz-4\).

2.b) Vérifier que le point \(B\) est l’image du point \(C\) par la rotation \(R\), en déduire la nature du triangle \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 \(-i(4+8i)-4=-4i+8-4=4-4i=b\).

✅ \(R(C)=B\) : \(AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=-\frac\pi2\) : \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).

3.a) Soit \(\omega\) l’affixe du point \(\Omega\) milieu du segment \([BC]\) ; montrer que \(|c-\omega|=6\).

Correction détaillée

🔢 \(\omega=\dfrac{b+c}2=4+2i\) et \(c-\omega=6i\).

✅ \(|c-\omega|=6\).

3.b) Montrer que l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) qui vérifie \(|c-\omega|=6\) est le cercle circonscrit au triangle \(ABC\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé écrit « \(|c-\omega|=6\) » ; on lit \(|z-\omega|=6\).

🔢 L’ensemble \(\{M:|z-\omega|=6\}\) est le cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(6\). Il contient \(C\) et \(B\) (\(|b-\omega|=|-6i|=6\)) et \(A\) (\(|a-\omega|=|-6|=6\)).

✅ C’est le cercle circonscrit à \(ABC\) (de diamètre \([BC]\)).

Exercice 62

Bac 2018 session normale. Dans le plan complexe \((P)\), on considère la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac{2\pi}3\), la translation \(t\) du vecteur \(\overrightarrow{OA}\) et \(C=t(B)\).

1. Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(2z^2+2z+5=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) de discriminant \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=4-40=-36\).

✅ \(S=\left\{-\dfrac12+\dfrac32i,\ -\dfrac12-\dfrac32i\right\}\).

2.a) Écrire la forme trigonométrique du nombre complexe \(d=-\frac12+i\frac{\sqrt3}2\).

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan, \(d\) est lu comme \(-\frac12+i\frac{\sqrt3}2\) (cohérent avec la rotation d’angle \(\frac{2\pi}3\)).

🔢 \(|d|=1\), \(\cos\theta=-\frac12\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt3}2\).

✅ \(d=\cos\dfrac{2\pi}3+i\sin\dfrac{2\pi}3\).

2.b) Soit le point \(A\) d’affixe \(a=-\frac12+\frac32i\) ; \(B\) l’image de \(A\) par la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac{2\pi}3\), \(b\) l’affixe de \(B\) ; montrer que \(b=da\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(b=e^{i2\pi/3}a=da\).

✅ \(b=da\).

3.a) Vérifier que \(c=b+a\), puis en déduire que \(c=a\left(\frac12+\frac{\sqrt3}2i\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : La translation \(t\) de vecteur \(\overrightarrow{OA}\) donne \(c=b+a\).

🔢 Étape 2 : \(c=da+a=a(d+1)=a\left(\frac12+\frac{\sqrt3}2i\right)\).

✅ \(c=a\left(\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\right)\).

3.b) Déterminer \(\arg\left(\dfrac ca\right)\), puis en déduire que le triangle \(OAC\) est équilatéral.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac ca=\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\).

✅ \(\arg\dfrac ca\equiv\dfrac\pi3\) et \(\left|\dfrac ca\right|=1\) : \(OA=OC\) avec un angle de \(\frac\pi3\), donc \(OAC\) est équilatéral.

Exercice 63

Bac 2018 session de rattrapage.

1. Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-2\sqrt2z+4=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) de discriminant \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=8-16=-8\).

✅ \(S=\left\{\sqrt2+i\sqrt2,\ \sqrt2-i\sqrt2\right\}\).

1.a) Écrire \(a=\sqrt2(1-i)\) sous forme trigonométrique.

Correction détaillée

🔢 \(|a|=\sqrt2\times\sqrt2=2\), \(\arg a=-\frac\pi4\).

✅ \(a=2\left(\cos\left(-\frac\pi4\right)+i\sin\left(-\frac\pi4\right)\right)\).

1.b) Soit le point \(B\), image de \(A\) par la rotation \(R\) (centre \(O\), angle \(\frac\pi3\)) et \(b\) l’affixe de \(B\). Montrer que \(b=2\left(\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12}\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(b=e^{i\pi/3}a=2e^{i(\pi/3-\pi/4)}\).

✅ \(b=2\left(\cos\dfrac\pi{12}+i\sin\dfrac\pi{12}\right)\).

2.a) On considère le point \(C\) d’affixe \(c=1+i\). Montrer que \(b^2-c^2=2\sqrt3\).

Correction détaillée

🔢 \(b^2=4e^{i\pi/6}=2\sqrt3+2i\) et \(c^2=2i\).

✅ \(b^2-c^2=2\sqrt3\).

2.b) Soit \(t\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{OC}\) et \(D\) l’image de \(B\) par \(t\). Montrer que \(OD=|b+c|\).

Correction détaillée

🔢 \(d=b+c\).

✅ \(OD=|d|=|b+c|\).

2.c) En déduire que \(OD\times BC=2\sqrt3\).

Correction détaillée

🔢 \(BC=|c-b|\) et \(OD\times BC=|b+c|\,|c-b|=\left|c^2-b^2\right|\).

✅ \(OD\times BC=2\sqrt3\).

Exercice 64

Bac 2019 session normale. Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ont pour affixes \(a=1-i\sqrt3\), \(b=2+2i\), \(c=\sqrt3+i\) et \(d=-2+2\sqrt3\) ; \(H\) est l’image de \(B\) par la rotation \(R\) et \(P\) d’affixe \(p=a-c\).

1. Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-2z+4=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) de discriminant \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=4-16=-12\).

✅ \(S=\left\{1+i\sqrt3,\ 1-i\sqrt3\right\}\).

2.a) Vérifier que \(a-d=-\sqrt3(c-d)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(a-d=\left(1-i\sqrt3\right)-\left(-2+2\sqrt3\right)=3-2\sqrt3-i\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : \(c-d=\sqrt3+i+2-2\sqrt3=2-\sqrt3+i\), et \(-\sqrt3(c-d)=-2\sqrt3+3-i\sqrt3\).

✅ \(a-d=-\sqrt3\,(c-d)\).

2.b) En déduire que les points \(A\), \(C\) et \(D\) sont alignés.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{a-d}{c-d}=-\sqrt3\in\mathbb R\).

✅ \(A\), \(C\), \(D\) sont alignés.

3. Vérifier que \(z’=\frac12az\) (rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(-\frac\pi3\)).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(z’=e^{-i\pi/3}z=\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}2\right)z\) et \(\frac12a=\frac12-\frac{\sqrt3}2i\).

✅ \(z’=\dfrac12az\).

4.a) Vérifier que \(h=ip\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(h=\frac12ab=\left(1-i\sqrt3\right)(1+i)=\left(1+\sqrt3\right)+i\left(1-\sqrt3\right)\).

🔢 Étape 2 : \(p=a-c=\left(1-\sqrt3\right)-i\left(1+\sqrt3\right)\), donc \(ip=\left(1+\sqrt3\right)+i\left(1-\sqrt3\right)\).

✅ \(h=ip\).

4.b) Montrer que le triangle \(OHP\) est rectangle et isocèle en \(O\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac hp=i\) : module \(1\), argument \(\frac\pi2\).

✅ \(OH=OP\) et \(\left(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OH}\right)=\frac\pi2\) : \(OHP\) est rectangle isocèle en \(O\).

Exercice 65

Bac 2019 session de rattrapage.

1.a) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-3z+3=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) de discriminant \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=9-12=-3\).

✅ \(S=\left\{\dfrac32+\dfrac{\sqrt3}2i,\ \dfrac32-\dfrac{\sqrt3}2i\right\}\).

1.b) Écrire \(a=\frac32+\frac{\sqrt3}2i\) sous forme trigonométrique.

Correction détaillée

🔢 \(|a|=\sqrt{\frac94+\frac34}=\sqrt3\), \(\cos\theta=\frac{\sqrt3}2\), \(\sin\theta=\frac12\).

✅ \(a=\sqrt3\left(\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\right)\).

2. Vérifier que \(b^2=i\), où \(b=\frac{\sqrt2}2(1+i)\).

Correction détaillée

🔢 \(b^2=\frac12(1+i)^2=\frac12\times2i\).

✅ \(b^2=i\).

3. On pose \(h=\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12}\). Montrer que \(h^4+1=a\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(h^4=\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3=\frac12+\frac{\sqrt3}2i\).

🔢 Étape 2 : \(h^4+1=\frac32+\frac{\sqrt3}2i\).

✅ \(h^4+1=a\).

4.a) Soit \(c\) l’affixe du point \(C\) image du point \(B\) par la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac\pi2\). Montrer que \(c=ib\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(c=e^{i\pi/2}b\).

✅ \(c=ib\).

4.b) En déduire la nature du triangle \(OBC\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac cb=i\) : module \(1\), argument \(\frac\pi2\).

✅ \(OBC\) est rectangle isocèle en \(O\).