Ces devoirs du 2ème semestre 2ème Bac (PC et SVT) proposent trois modèles de devoirs surveillés : fonction exponentielle, limites, nombres complexes et équations différentielles. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.
Devoirs corrigés du 2ème semestre 2ème Bac
Devoirs du 2ème semestre · Série de synthèse 2ème Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
A.a) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb R\) : \(\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}=1-\dfrac2{1+e^x}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Exponentielle : \(e^a e^b=e^{a+b}\), \(\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\), \(e^{\ln a}=a\) (\(a>0\)) ; \(e^u=e^v\iff u=v\) ; \(e^u<e^v\iff u<v\). Limites : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\).
🔢 Étape 1 : On multiplie numérateur et dénominateur par \(e^x\) : \(\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\).
🔢 Étape 2 : Or \(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=\dfrac{(e^x+1)-2}{e^x+1}=1-\dfrac2{1+e^x}\).
✅ L’égalité est démontrée pour tout \(x\in\mathbb R\).
A.b) Simplifier le nombre \(E=\dfrac{e^{1-\ln2}}{e^{1+\ln2}}\).
Correction détaillée
⚠️ Le dénominateur de l’énoncé (exposant) est peu lisible sur le scan ; il est lu \(1+\ln2\).
🔢 \(E=e^{(1-\ln2)-(1+\ln2)}=e^{-2\ln2}=e^{\ln(2^{-2})}\).
✅ \(E=\dfrac14\).
B.a) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation \(e^{1/x}=e^x\).
Correction détaillée
⚠️ Exposant lu \(\dfrac1x\) (petit sur le scan).
🔢 Il faut \(x\neq0\). \(e^{1/x}=e^x\iff\dfrac1x=x\iff x^2=1\).
✅ \(S=\{-1,1\}\).
B.b) Résoudre \(3e^{2x}-e^x-2=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Posons \(t=e^x>0\) : \(3t^2-t-2=0\), \(\Delta=1+24=25\), \(t=\dfrac{1\pm5}{6}\) : \(t=1\) ou \(t=-\dfrac23\).
🔢 Étape 2 : \(t=-\dfrac23\) est rejetée (\(t>0\)). \(e^x=1\iff x=0\).
✅ \(S=\{0\}\).
B.c) Résoudre \(2^{x+1}=8\).
Correction détaillée
🔢 \(2^{x+1}=2^3\iff x+1=3\).
✅ \(S=\{2\}\).
B.d) Résoudre \(1-2e^x<0\).
Correction détaillée
🔢 \(1-2e^x<0\iff e^x>\dfrac12\iff x>\ln\dfrac12=-\ln2\).
✅ \(S=\ ]-\ln2,+\infty[\).
C.1) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(e^{-x}+2\big)\).
Correction détaillée
⚠️ Les bornes des limites (\(\to+\infty\), \(\to-\infty\)) sont peu lisibles sur le scan ; la valeur naturelle de chaque limite a été retenue.
🔢 \(e^{-x}\to0\).
✅ La limite vaut \(2\).
C.2) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{e^{2x}-1}{x}=2\times\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\), et \(\dfrac{e^t-1}{t}\to1\) quand \(t\to0\).
✅ La limite vaut \(2\).
C.3) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2-x)e^{2x}\).
Correction détaillée
🔢 \((x^2-x)e^{2x}=\dfrac14(2x)^2e^{2x}-\dfrac12(2x)e^{2x}\) et \(t^ne^t\to0\) quand \(t\to-\infty\).
✅ La limite vaut \(0\).
C.4) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(e^{2x}-e^x+4\big)\).
Correction détaillée
🔢 Forme indéterminée \(+\infty-\infty\). On factorise : \(e^{2x}-e^x+4=e^{2x}\Big(1-e^{-x}+4e^{-2x}\Big)\).
✅ \(e^{2x}\to+\infty\) et la parenthèse tend vers \(1\) : la limite vaut \(+\infty\).
C.5) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+e^x)}{e^x}\).
Correction détaillée
🔢 Posons \(t=e^x\to+\infty\) : \(\dfrac{\ln(1+t)}{t}=\dfrac{\ln(1+t)}{1+t}\times\dfrac{1+t}{t}\) et \(\dfrac{\ln u}{u}\to0\).
✅ La limite vaut \(0\).
C.6) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{1+x^2}\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{e^x}{1+x^2}=\dfrac{e^x}{x^2}\times\dfrac{x^2}{1+x^2}\) avec \(\dfrac{e^x}{x^2}\to+\infty\) et \(\dfrac{x^2}{1+x^2}\to1\).
✅ La limite vaut \(+\infty\).
Exercice 2
On considère dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\) les points \(A,B,C\) et \(D\) d’affixes respectives \(a=2+2i\), \(b=2-2i\), \(c=-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\) et \(d=(1-\sqrt3)+i(1+\sqrt3)\).
1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-4z+8=0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Si \(\Delta<0\), les solutions de \(az^2+bz+c=0\) sont \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\). Forme trigonométrique : \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), \(r=|z|\), \(\theta=\arg z\).
🔢 \(\Delta=16-32=-16=(4i)^2\). Les racines sont \(z=\dfrac{4\pm4i}{2}\).
✅ \(S=\{2+2i,\ 2-2i\}\).
2.a) Écrire chacun des nombres \(b\) et \(c\) sous forme trigonométrique.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(b=2-2i\) : \(|b|=\sqrt{4+4}=2\sqrt2\) ; \(b=2\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2\right)\), donc \(\arg b=-\dfrac\pi4\).
🔢 Étape 2 : \(c=-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\) : \(|c|=\sqrt{\dfrac34+\dfrac14}=1\) ; \(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}2\), \(\sin\theta=\dfrac12\), donc \(\arg c=\dfrac{5\pi}6\).
✅ \(b=2\sqrt2\left(\cos\left(-\dfrac\pi4\right)+i\sin\left(-\dfrac\pi4\right)\right)\) et \(c=\cos\dfrac{5\pi}6+i\sin\dfrac{5\pi}6\).
2.b) Vérifier que \(bc=d\).
Correction détaillée
🔢 \(bc=(2-2i)\left(-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\right)=-\sqrt3+i+\sqrt3i-i^2\).
✅ \(bc=(1-\sqrt3)+i(1+\sqrt3)=d\).
2.c) En déduire un argument de \(d\).
Correction détaillée
🔢 \(d=bc\) donc \(\arg d\equiv\arg b+\arg c=-\dfrac\pi4+\dfrac{5\pi}6\pmod{2\pi}\). Aussi \(|d|=2\sqrt2\times1=2\sqrt2>0\).
✅ \(\arg d\equiv\dfrac{7\pi}{12}\pmod{2\pi}\).
2.d) Soit \(E\) l’image de \(B\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(-\dfrac\pi2\). Montrer que \(e=-2-2i\) puis que le triangle \(ABE\) est rectangle et isocèle en \(B\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(e=e^{-i\pi/2}b=-i(2-2i)=-2i+2i^2=-2-2i\).
🔢 Étape 2 : \(a-b=4i\) et \(e-b=-4\). \(\dfrac{e-b}{a-b}=\dfrac{-4}{4i}=-\dfrac1i=i\).
🔢 Étape 3 : \(\left|\dfrac{e-b}{a-b}\right|=1\Rightarrow BE=BA\) ; \(\arg\dfrac{e-b}{a-b}=\dfrac\pi2\Rightarrow(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BE})=\dfrac\pi2\).
✅ \(e=-2-2i\) et \(ABE\) est rectangle et isocèle en \(B\) (\(BA=BE=4\)).
Exercice 3
Partie 1 : on considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)=e^x-x\). Partie 2 : soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=2e^x-x^2-1\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
Partie 1 – 1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\) avec \(g(x)=e^x-x\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Exponentielle : \(e^a e^b=e^{a+b}\), \(\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\), \(e^{\ln a}=a\) (\(a>0\)) ; \(e^u=e^v\iff u=v\) ; \(e^u<e^v\iff u<v\). Limites : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\).
🔢 Étape 1 : En \(-\infty\) : \(e^x\to0\) et \(-x\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(g(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right)\), \(\dfrac{e^x}x\to+\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g=+\infty\).
Partie 1 – 2) Calculer \(g'(x)\) puis donner le tableau de variation de \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g'(x)=e^x-1\). \(g'(x)>0\iff x>0\).
🔢 Étape 2 : \(g(0)=1\).
🔢 Étape 3 :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(g(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
✅ \(g\) est décroissante sur \(]-\infty,0]\), croissante sur \([0,+\infty[\), de minimum \(g(0)=1\).
Partie 1 – 3) En déduire que \(g(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Le minimum de \(g\) est \(1\).
✅ Pour tout \(x\), \(g(x)\geq1>0\).
Partie 2 – 1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}x\) avec \(f(x)=2e^x-x^2-1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(2e^x\to0\) et \(-x^2-1\to-\infty\) : \(\lim f=-\infty\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{2e^x}x-x-\dfrac1x\to0+\infty-0\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=+\infty\).
Partie 2 – 2) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Pour \(x>0\) : \(f(x)=x^2\left(2\dfrac{e^x}{x^2}-1\right)-1\). Or \(\dfrac{e^x}{x^2}\to+\infty\), donc la parenthèse \(\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=x\left(2\dfrac{e^x}{x^2}-1\right)-\dfrac1x\to+\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty\).
Partie 2 – 3) Déterminer les branches infinies de \((C_f)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Si \(\lim f=\pm\infty\) et \(\lim\dfrac{f(x)}x=\pm\infty\) : branche parabolique de direction \((Oy)\).
🔢 En \(-\infty\) : \(f\to-\infty\) et \(\dfrac fx\to+\infty\). En \(+\infty\) : \(f\to+\infty\) et \(\dfrac fx\to+\infty\).
✅ Dans les deux cas, \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
Partie 2 – 4.a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et que \(f'(x)=2g(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) est dérivable comme somme de fonctions dérivables. \(f'(x)=2e^x-2x=2(e^x-x)\).
✅ \(f'(x)=2g(x)\).
Partie 2 – 4.b) Donner le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : D’après la partie 1, \(g>0\) donc \(f’>0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
🔢 Étape 2 :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | |
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\ +\infty\) |
✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), de \(-\infty\) à \(+\infty\).
Partie 2 – 4.c) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle \(]-0{,}6\,;-0{,}3[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est continue et strictement croissante sur \([-0{,}6;-0{,}3]\).
🔢 Étape 2 : \(f(-0{,}6)=2e^{-0{,}6}-0{,}36-1\approx-0{,}26<0\) et \(f(-0{,}3)=2e^{-0{,}3}-0{,}09-1\approx0{,}39>0\).
🔢 Étape 3 : D’après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie, il existe un unique \(\alpha\).
✅ \(f(\alpha)=0\) avec \(\alpha\in]-0{,}6;-0{,}3[\) (et \(\alpha\) est l’unique zéro de \(f\) sur \(\mathbb R\)).
Partie 2 – 4.d) Représenter \((C_f)\) dans le repère \((O,\vec i,\vec j)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Points : \(f(-0{,}5)\approx-0{,}04\), \(f(0)=1\), \(f(1)=2e-2\approx3{,}44\), \(f(-2)=2e^{-2}-5\approx-4{,}73\), \(f(-1)=2e^{-1}-2\approx-1{,}26\). Tangente en \(0\) : \(f'(0)=2\), donc \(y=2x+1\).
🔢 Étape 2 : Courbe strictement croissante, passant par \((\alpha,0)\) avec \(\alpha\approx-0{,}5\), avec branches paraboliques d’axe \((Oy)\) de chaque côté.
✅ Tracé : courbe croissante construite à partir de ces points et de la tangente \(y=2x+1\) en \(x=0\).
Exercice 4
1.a) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation \(5x^2+2x-336=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\Delta=4+4\times5\times336=4+6720=6724=82^2\).
🔢 Étape 2 : \(x=\dfrac{-2\pm82}{10}\) : \(x=8\) ou \(x=-\dfrac{42}5\).
✅ \(S=\left\{-\dfrac{42}5,\ 8\right\}\).
1.b) En déduire les solutions dans \(\mathbb R\) de \(5\times2^{2x}+2^{x+1}-336=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(5\times2^{2x}+2^{x+1}-336=5(2^x)^2+2\times2^x-336\). Posons \(t=2^x>0\) : \(5t^2+2t-336=0\).
🔢 Étape 2 : D’après 1.a) : \(t=8\) ou \(t=-\dfrac{42}5\). La seconde est négative, rejetée.
🔢 Étape 3 : \(2^x=8=2^3\iff x=3\).
✅ \(S=\{3\}\).
2.a) Résoudre l’équation différentielle \((E) : y’=2y-4\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Équation différentielle \(y’=ay+b\) (\(a\neq0\)) : solutions \(y=Ce^{ax}-\dfrac ba\), \(C\in\mathbb R\). Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’v\). Valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) : \(\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)dx\).
🔢 \(y’=2y-4\) : \(a=2\), \(b=-4\). Solution particulière constante : \(y=-\dfrac ba=2\).
✅ \(y(x)=Ce^{2x}+2\), \(C\in\mathbb R\).
2.b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) qui vérifie \(f(\ln2)=6\).
Correction détaillée
🔢 \(f(\ln2)=Ce^{2\ln2}+2=4C+2=6\Rightarrow C=1\).
✅ \(f(x)=e^{2x}+2\).
3) Calculer \(I=\displaystyle\int_0^1(2x+1)dx\), \(J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos(2x)dx\), \(K=\displaystyle\int_0^1xe^{x^2}dx\), \(L=\displaystyle\int_e^{e^2}\dfrac{dx}{x\ln x}\).
Correction détaillée
⚠️ La borne supérieure de \(J\) est peu lisible : lue \(\dfrac\pi2\).
🔢 Étape 1 : \(I=[x^2+x]_0^1=2\).
🔢 Étape 2 : \(J=\left[\dfrac{\sin2x}2\right]_0^{\pi/2}=\dfrac{\sin\pi}2-0=0\).
🔢 Étape 3 : \(K=\left[\dfrac12e^{x^2}\right]_0^1=\dfrac{e-1}2\) (\(xe^{x^2}\) est de la forme \(\frac12u’e^u\)).
🔢 Étape 4 : \(L=[\ln|\ln x|]_e^{e^2}=\ln(2)-\ln(1)\) (\(\dfrac1{x\ln x}=\dfrac{u’}u\) avec \(u=\ln x\)).
✅ \(I=2\), \(J=0\), \(K=\dfrac{e-1}2\), \(L=\ln2\).
4.a) Soit \(F(x)=\dfrac x2\big(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\big)\) sur \(]0,+\infty[\). Montrer que \(F\) est une primitive de \(x\mapsto\sin(\ln x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(F'(x)=\dfrac12\big(\sin\ln x-\cos\ln x\big)+\dfrac x2\left(\dfrac{\cos\ln x}x+\dfrac{\sin\ln x}x\right)\).
🔢 Étape 2 : \(=\dfrac12\sin\ln x-\dfrac12\cos\ln x+\dfrac12\cos\ln x+\dfrac12\sin\ln x\).
✅ \(F'(x)=\sin(\ln x)\) : \(F\) est une primitive de \(x\mapsto\sin(\ln x)\).
4.b) En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_1^{e^\pi}\sin(\ln x)dx\).
Correction détaillée
⚠️ Sur le scan, le résultat à retrouver est écrit \(\dfrac{1-e^{\pi}}2\) : le calcul donne \(\dfrac{1+e^\pi}2\) pour ces bornes (le signe ou l’exposant du scan sont probablement mal lus ; avec la borne \(e^{2\pi}\) on obtiendrait \(\dfrac{1-e^{2\pi}}2\)).
🔢 Étape 1 : \(\displaystyle\int_1^{e^\pi}\sin(\ln x)dx=F(e^\pi)-F(1)\).
🔢 Étape 2 : \(F(e^\pi)=\dfrac{e^\pi}2(\sin\pi-\cos\pi)=\dfrac{e^\pi}2\) ; \(F(1)=\dfrac12(\sin0-\cos0)=-\dfrac12\).
✅ \(\displaystyle\int_1^{e^\pi}\sin(\ln x)dx=\dfrac{1+e^\pi}2\).
5.a) En utilisant une intégration par parties, montrer que \(I’=\displaystyle\int_1^{e^2}\dfrac{\ln x}{\sqrt x}dx=4\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Équation différentielle \(y’=ay+b\) (\(a\neq0\)) : solutions \(y=Ce^{ax}-\dfrac ba\), \(C\in\mathbb R\). Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’v\). Valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) : \(\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)dx\).
🔢 Étape 1 : Posons \(u=\ln x\), \(v’=x^{-1/2}\) : \(u’=\dfrac1x\), \(v=2\sqrt x\).
🔢 Étape 2 : \(I’=\left[2\sqrt x\ln x\right]_1^{e^2}-\displaystyle\int_1^{e^2}\dfrac{2\sqrt x}xdx=\left[2\sqrt x\ln x\right]_1^{e^2}-\int_1^{e^2}\dfrac2{\sqrt x}dx\).
🔢 Étape 3 : \(=\left[2\sqrt x\ln x-4\sqrt x\right]_1^{e^2}=(2e\times2-4e)-(0-4)\).
✅ \(I’=4\).
5.b) En déduire la valeur moyenne de \(x\mapsto\dfrac{\ln x}{\sqrt x}\) sur le segment \([1,e^2]\).
Correction détaillée
🔢 \(\mu=\dfrac1{e^2-1}\displaystyle\int_1^{e^2}\dfrac{\ln x}{\sqrt x}dx\).
✅ \(\mu=\dfrac4{e^2-1}\approx0{,}63\).
Exercice 5
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=(x^2-2x+1)e^{2x}\) et \((C)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) (\(\|\vec i\|=\|\vec j\|=2\) cm).
1.a) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\) et interpréter le résultat.
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\) ; \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\).
🔢 \(f(x)=(x^2-2x+1)e^{2x}=\dfrac14(2x)^2e^{2x}-(2x)e^{2x}+e^{2x}\). Pour \(t=2x\to-\infty\) : \(t^2e^t\to0\), \(te^t\to0\), \(e^t\to0\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=0\) : la droite \(y=0\) (axe des abscisses) est asymptote à \((C)\) au voisinage de \(-\infty\).
1.b) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\), et interpréter.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=(x-1)^2e^{2x}\to+\infty\times+\infty\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{(x-1)^2}xe^{2x}=\left(x-2+\dfrac1x\right)e^{2x}\to+\infty\).
✅ \((C)\) admet en \(+\infty\) une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
2.a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et que \(f'(x)=2x(x-1)e^{2x}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=(2x-2)e^{2x}+2(x^2-2x+1)e^{2x}=(2x^2-2x)e^{2x}\).
✅ \(f'(x)=2x(x-1)e^{2x}\).
2.b) Donner le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(e^{2x}>0\), donc \(f’\) a le signe de \(x(x-1)\) : positive sur \(]-\infty,0[\) et \(]1,+\infty[\), négative sur \(]0,1[\). \(f(0)=1\), \(f(1)=0\).
🔢 Étape 2 :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(1\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
✅ \(f\) est croissante sur \(]-\infty,0]\) et \([1,+\infty[\), décroissante sur \([0,1]\) ; maximum local \(f(0)=1\), minimum \(f(1)=0\).
3) Tracer la courbe \((C)\) dans le repère \((O,\vec i,\vec j)\).
Correction détaillée
🔢 Points : \(f(0)=1\) (tangente horizontale), \(f(1)=0\) (tangente horizontale), \(f(-1)=4e^{-2}\approx0{,}54\), \(f(2)=e^4\approx54{,}6\), \(f(0{,}5)=\dfrac14e\approx0{,}68\).
✅ Courbe : asymptote \(y=0\) en \(-\infty\), maximum \((0,1)\), point bas \((1,0)\), puis croissance très rapide (branche parabolique d’axe \((Oy)\)).
4.a) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb R\) : \(f »(x)-4f'(x)+4f(x)=2e^{2x}\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan est partiellement illisible ; l’égalité est lue \(f »-4f’+4f=2e^{2x}\) (elle est vérifiée par le calcul).
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=(2x^2-2x)e^{2x}\) ; \(f »(x)=(4x-2)e^{2x}+2(2x^2-2x)e^{2x}=(4x^2-2)e^{2x}\).
🔢 Étape 2 : \(f »-4f’+4f=\big(4x^2-2-8x^2+8x+4x^2-8x+4\big)e^{2x}\).
✅ \(f »(x)-4f'(x)+4f(x)=2e^{2x}\).
4.b) En déduire que \(\displaystyle\int_0^1f(x)dx=\dfrac{e^2-5}4\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(4f=2e^{2x}+4f’-f »\). Donc \(4\displaystyle\int_0^1f=\int_0^12e^{2x}dx+4\big[f\big]_0^1-\big[f’\big]_0^1\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^12e^{2x}dx=e^2-1\) ; \(f(1)-f(0)=-1\) ; \(f'(1)-f'(0)=0-0=0\).
🔢 Étape 3 : \(4\displaystyle\int_0^1f=e^2-1-4-0=e^2-5\).
✅ \(\displaystyle\int_0^1f(x)dx=\dfrac{e^2-5}4\).
4.c) Calculer l’aire du domaine limité par \((C)\) et les droites d’équations \(x=0\), \(x=1\) et \(y=1\).
Correction détaillée
⚠️ Droite lue \(y=1\) (le scan est peu net) ; si c’était \(y=0\) : \(\mathcal A=(e^2-5)\ \text{cm}^2\).
🔢 Étape 1 : Sur \([0,1]\), \(f\) décroît de \(1\) à \(0\) : \(f(x)\leq1\), donc la courbe est sous la droite \(y=1\).
🔢 Étape 2 : Aire \(=\displaystyle\int_0^1\big(1-f(x)\big)dx\) unités d’aire \(=\left(1-\dfrac{e^2-5}4\right)=\dfrac{9-e^2}4\) u.a.
🔢 Étape 3 : Une unité d’aire vaut \(2\text{ cm}\times2\text{ cm}=4\text{ cm}^2\).
✅ \(\mathcal A=\dfrac{9-e^2}4\) u.a. \(=(9-e^2)\ \text{cm}^2\approx1{,}61\ \text{cm}^2\).
Exercice 6
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=e^{2x}(2-e^{2x})-x\) et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) (unité : \(2\) cm).
1) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Position relative de \((C)\) et d’une droite \((\Delta)\) : étudier le signe de \(f(x)-y_\Delta\). Fonction réciproque : si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), elle admet une réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(f(I)\) ; \((C_{f^{-1}})\) est le symétrique de \((C_f)\) par rapport à la droite \(y=x\) ; \((f^{-1})'(b)=\dfrac1{f'(f^{-1}(b))}\).
🔢 Étape 1 : \(f(x)=2e^{2x}-e^{4x}-x\).
🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(e^{2x}\to0\), \(e^{4x}\to0\) et \(-x\to+\infty\).
🔢 Étape 3 : En \(+\infty\) : \(f(x)=e^{4x}\left(2e^{-2x}-1-xe^{-4x}\right)\) ; la parenthèse tend vers \(-1\) (car \(xe^{-4x}\to0\)) et \(e^{4x}\to+\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=-\infty\).
2.a) Démontrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=-x\) est asymptote à \((C)\) au voisinage de \(-\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-(-x)=e^{2x}(2-e^{2x})\xrightarrow[x\to-\infty]{}0\times2=0\).
✅ \((\Delta):y=-x\) est asymptote oblique à \((C)\) en \(-\infty\).
2.b) Résoudre \(2-e^{2x}=0\), puis montrer que \((C)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]-\infty,\frac{\ln2}2]\) et en dessous sur \([\frac{\ln2}2,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(2-e^{2x}=0\iff e^{2x}=2\iff x=\dfrac{\ln2}2\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)+x=e^{2x}(2-e^{2x})\) avec \(e^{2x}>0\) : le signe est celui de \(2-e^{2x}\), positif si \(e^{2x}<2\iff x<\dfrac{\ln2}2\).
✅ \((C)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]-\infty,\frac{\ln2}2]\) et en dessous sur \([\frac{\ln2}2,+\infty[\) ; ils se coupent en \(x=\dfrac{\ln2}2\).
3) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=-\infty\) puis interpréter géométriquement.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{2e^{2x}-e^{4x}}x-1=\dfrac{e^{2x}}x\big(2-e^{2x}\big)-1\).
🔢 Étape 2 : Quand \(x\to+\infty\) : \(\dfrac{e^{2x}}x=2\dfrac{e^{2x}}{2x}\to+\infty\) et \(2-e^{2x}\to-\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=-\infty\) : \((C)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées en \(+\infty\).
4.a) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb R\), \(f'(x)=-(2e^{2x}-1)^2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=4e^{2x}-4e^{4x}-1\).
🔢 Étape 2 : \(-(2e^{2x}-1)^2=-(4e^{4x}-4e^{2x}+1)=-4e^{4x}+4e^{2x}-1\).
✅ \(f'(x)=-(2e^{2x}-1)^2\).
4.b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)\leq0\) et \(f'(x)=0\iff e^{2x}=\dfrac12\iff x=-\dfrac{\ln2}2\) : \(f’\) ne s’annule qu’en un point sans changer de signe, donc \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
🔢 Étape 2 :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | |
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\ -\infty\) |
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
5) Montrer que \(A\left(-\dfrac{\ln2}2,\dfrac{\ln2}2+\dfrac34\right)\) est un point d’inflexion de \((C)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f »(x)=-2(2e^{2x}-1)\times4e^{2x}=-8e^{2x}(2e^{2x}-1)\). \(f »\) s’annule et change de signe en \(x_0=-\dfrac{\ln2}2\) (positive avant, négative après).
🔢 Étape 2 : \(f(x_0)=e^{-\ln2}\left(2-e^{-\ln2}\right)+\dfrac{\ln2}2=\dfrac12\times\dfrac32+\dfrac{\ln2}2\).
✅ \(f(x_0)=\dfrac34+\dfrac{\ln2}2\) : \(A\) est un point d’inflexion de \((C)\).
6) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) telle que \(0<\alpha<\dfrac{\ln2}2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(\left[0,\dfrac{\ln2}2\right]\).
🔢 Étape 2 : \(f(0)=1\times(2-1)-0=1>0\) et \(f\left(\dfrac{\ln2}2\right)=2(2-2)-\dfrac{\ln2}2=-\dfrac{\ln2}2<0\).
✅ D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique \(\alpha\in\left]0,\dfrac{\ln2}2\right[\) tel que \(f(\alpha)=0\).
7) Construire \((\Delta)\) et \((C)\) dans le repère (on prendra \(-\dfrac{\ln2}2\approx-0{,}35\) et \(\dfrac34+\dfrac{\ln2}2\approx1{,}1\)).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Points : \(A(-0{,}35;1{,}1)\) (inflexion, tangente de pente \(f'(x_0)=0\), donc horizontale), \(f(0)=1\), \(f(0{,}3)\approx0{,}02\) (zéro \(\alpha\approx0{,}3\)), \(f\left(\dfrac{\ln2}2\right)\approx-0{,}35\) (point d’intersection avec \((\Delta)\)).
🔢 Étape 2 : Tracer \((\Delta):y=-x\) ; \((C)\) décroît de \(+\infty\) à \(-\infty\), asymptote à \((\Delta)\) en \(-\infty\), au-dessus de \((\Delta)\) avant \(\dfrac{\ln2}2\).
✅ Tracé construit à partir de ces points (courbe décroissante, tangente horizontale en \(A\)).
8.a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(\mathbb R\), donc réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur \(f(\mathbb R)=]-\infty,+\infty[=\mathbb R\).
✅ \(f^{-1}\) est définie sur \(\mathbb R\).
8.b) Construire dans le même repère la courbe de \(f^{-1}\) (remarquer que \((\Delta)\) est perpendiculaire à la première bissectrice \(y=x\)).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((C_{f^{-1}})\) est le symétrique de \((C)\) par rapport à \(y=x\).
🔢 Étape 2 : Les droites \(y=-x\) et \(y=x\) sont perpendiculaires : la symétrie d’axe \(y=x\) transforme \((\Delta)\) en elle-même. Donc \((\Delta)\) est aussi asymptote à \((C_{f^{-1}})\), mais en \(+\infty\).
✅ \((C_{f^{-1}})\) s’obtient en échangeant abscisses et ordonnées (symétrie d’axe \(y=x\)) et admet \((\Delta)\) pour asymptote en \(+\infty\).
8.c) Calculer \((f^{-1})'(1)\) (remarquer que \(f^{-1}(1)=0\)).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(0)=1\) donc \(f^{-1}(1)=0\). \(f'(0)=-(2-1)^2=-1\).
🔢 Étape 2 : \((f^{-1})'(1)=\dfrac1{f'(f^{-1}(1))}=\dfrac1{f'(0)}\).
✅ \((f^{-1})'(1)=-1\).
Exercice 7
Dans \(\mathbb C\) on considère l’équation \((E) : z^2-6(1-\sqrt3)z+72=0\). Soient \(a=3(1-\sqrt3)-3i(\sqrt3+1)\), \(b=-\sqrt3+i\sqrt3\) et \(c=-\sqrt3-3i\). Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(B\), \(C\) et \(D\) d’affixes respectives \(b\), \(c\) et \(d\), où \(D\) est l’image de \(B\) par l’homothétie \(h\) de centre \(O\) et de rapport \(\sqrt2\). Soit \(z\) l’affixe d’un point \(M\) et \(z’\) celle de \(M’\) image de \(M\) par la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{-7\pi}{12}\).
1.a) Vérifier que le discriminant de \((E) : z^2-6(1-\sqrt3)z+72=0\) est \(\Delta=-36(\sqrt3+1)^2\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Racines d’une équation du second degré dans \(\mathbb C\) avec \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\). Forme exponentielle : \(z=re^{i\theta}\). Homothétie de centre \(O\), rapport \(k\) : \(z’=kz\). Rotation de centre \(O\), angle \(\theta\) : \(z’=e^{i\theta}z\).
🔢 Étape 1 : \(\Delta=36(1-\sqrt3)^2-4\times72=36\big[(1-\sqrt3)^2-8\big]\).
🔢 Étape 2 : \((1-\sqrt3)^2=4-2\sqrt3\), donc \(\Delta=36(-4-2\sqrt3)=-36(4+2\sqrt3)\), et \((\sqrt3+1)^2=4+2\sqrt3\).
✅ \(\Delta=-36(\sqrt3+1)^2\).
1.b) En déduire les solutions de \((E)\).
Correction détaillée
🔢 \(\Delta=\big(6i(\sqrt3+1)\big)^2\). \(z=\dfrac{6(1-\sqrt3)\pm6i(\sqrt3+1)}2\).
✅ \(z_1=3(1-\sqrt3)+3i(\sqrt3+1)\) et \(z_2=3(1-\sqrt3)-3i(\sqrt3+1)\) (\(=a\)).
2.a) Vérifier que \(b\bar c=a\), puis en déduire que \(ac=12b\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\bar c=-\sqrt3+3i\). \(b\bar c=(-\sqrt3+i\sqrt3)(-\sqrt3+3i)=3-3\sqrt3\,i-3i-3\sqrt3\).
🔢 Étape 2 : \(=3(1-\sqrt3)-3i(\sqrt3+1)=a\).
🔢 Étape 3 : Alors \(ac=b\bar cc=b|c|^2\) et \(|c|^2=3+9=12\).
✅ \(b\bar c=a\) et \(ac=12b\).
2.b) Écrire les nombres complexes \(b\) et \(c\) sous forme exponentielle.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(|b|=\sqrt{3+3}=\sqrt6\) ; \(b=\sqrt6\left(-\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac i{\sqrt2}\right)\), \(\arg b=\dfrac{3\pi}4\).
🔢 Étape 2 : \(|c|=\sqrt{3+9}=2\sqrt3\) ; \(c=2\sqrt3\left(-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}2i\right)\), \(\arg c=-\dfrac{2\pi}3\).
✅ \(b=\sqrt6\,e^{i\frac{3\pi}4}\) et \(c=2\sqrt3\,e^{-i\frac{2\pi}3}\).
2.c) En déduire que \(a=6\sqrt2\,e^{-i\frac{7\pi}{12}}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(a=b\bar c=\sqrt6\,e^{i3\pi/4}\times2\sqrt3\,e^{i2\pi/3}=2\sqrt{18}\,e^{i\left(\frac{3\pi}4+\frac{2\pi}3\right)}=6\sqrt2\,e^{i\frac{17\pi}{12}}\).
🔢 Étape 2 : Comme \(\dfrac{17\pi}{12}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{12}\).
✅ \(a=6\sqrt2\,e^{-i\frac{7\pi}{12}}\).
3.a) Déterminer \(d\), l’affixe de \(D\) image de \(B\) par l’homothétie \(h\) de centre \(O\) et de rapport \(\sqrt2\).
Correction détaillée
🔢 \(d=\sqrt2\,b=\sqrt2(-\sqrt3+i\sqrt3)\).
✅ \(d=-\sqrt6+i\sqrt6\).
3.b) Vérifier que \(z’=\dfrac{\sqrt2}{12}az\), où \(z’\) est l’affixe de \(M’\) image de \(M\) par la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(-\dfrac{7\pi}{12}\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé est lu : \(z\) affixe de \(M\), \(z’\) affixe de \(M’\) image de \(M\) par \(R\) (sans passage par l’homothétie).
🔢 \(z’=e^{-i\frac{7\pi}{12}}z\). D’après 2.c), \(e^{-i\frac{7\pi}{12}}=\dfrac a{6\sqrt2}=\dfrac{a\sqrt2}{12}\).
✅ \(z’=\dfrac{\sqrt2}{12}az\).
3.c) Déterminer l’image du point \(C\) par la rotation \(R\).
Correction détaillée
🔢 \(c’=\dfrac{\sqrt2}{12}ac=\dfrac{\sqrt2}{12}\times12b=\sqrt2\,b=d\).
✅ L’image de \(C\) par \(R\) est le point \(D\).
3.d) Déterminer la nature du triangle \(ODC\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D=R(C)\) donc \(OD=OC\) (\(|d|=\sqrt2\times\sqrt6=2\sqrt3=|c|\)).
🔢 Étape 2 : \((\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD})\equiv-\dfrac{7\pi}{12}\), qui n’est pas \(\pm\dfrac\pi2\) : l’angle \(\widehat{COD}=\dfrac{7\pi}{12}\) (\(105^\circ\)).
✅ Le triangle \(ODC\) est isocèle en \(O\) (non rectangle).