Cette série de nombres complexes 2ème Bac (PC et SVT), consacrée à la forme exponentielle, rassemble des exercices de synthèse : formules de Moivre et d’Euler, linéarisation, équations dans ℂ, rotations, translations et homothéties. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.

Exercices corrigés de nombres complexes 2ème Bac : forme exponentielle

Nombres complexes 2 · Série de synthèse 2ème Bac

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape

Exercice 1

Donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants :

1) \(z_1=2+2i\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Forme exponentielle : \(z=|z|e^{i\theta}\) avec \(\theta=\arg z\) ; \(e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}\) ; \(\dfrac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}=e^{i(\alpha-\beta)}\) ; \(\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}\).

🔢 \(|z_1|=\sqrt{4+4}=2\sqrt2\) et \(z_1=2\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)\).

✅ \(z_1=2\sqrt2\,e^{i\frac\pi4}\).

2) \(z_2=1-i\sqrt3\).

Correction détaillée

🔢 \(|z_2|=\sqrt{1+3}=2\) et \(z_2=2\left(\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2\right)\).

✅ \(z_2=2e^{-i\frac\pi3}\).

3) \(z_1\times z_2\).

Correction détaillée

🔢 On multiplie les modules et on additionne les arguments : \(2\sqrt2\times2\) et \(\dfrac\pi4-\dfrac\pi3=-\dfrac\pi{12}\).

✅ \(z_1z_2=4\sqrt2\,e^{-i\frac\pi{12}}\).

4) \(\dfrac{z_1}{z_2}\).

Correction détaillée

🔢 On divise les modules et on soustrait les arguments : \(\dfrac{2\sqrt2}2=\sqrt2\) et \(\dfrac\pi4+\dfrac\pi3=\dfrac{7\pi}{12}\).

✅ \(\dfrac{z_1}{z_2}=\sqrt2\,e^{i\frac{7\pi}{12}}\).

5) \(\left(z_2\right)^{12}\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(z_2\right)^{12}=2^{12}e^{-i\frac{12\pi}3}=2^{12}e^{-4i\pi}\).

✅ \(\left(z_2\right)^{12}=4096\).

Exercice 2

En utilisant la formule de Moivre :

1) Montrer que \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) et \(\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\) pour tout \(\theta\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formule de Moivre : \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\). On identifie parties réelle et imaginaire.

🔢 Étape 1 : \((\cos\theta+i\sin\theta)^2=\cos^2\theta-\sin^2\theta+2i\sin\theta\cos\theta\).

🔢 Étape 2 : Moivre : \((\cos\theta+i\sin\theta)^2=\cos2\theta+i\sin2\theta\). On identifie.

✅ \(\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\) et \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\).

2.a) Montrer que \(\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formule de Moivre : \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\). On identifie parties réelle et imaginaire.

🔢 Étape 1 : \((\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos^3\theta+3i\cos^2\theta\sin\theta-3\cos\theta\sin^2\theta-i\sin^3\theta\).

🔢 Étape 2 : Partie réelle : \(\cos3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\left(1-\cos^2\theta\right)\).

✅ \(\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\).

2.b) Montrer que \(\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formule de Moivre : \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\). On identifie parties réelle et imaginaire.

🔢 Partie imaginaire : \(\sin3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta=3\left(1-\sin^2\theta\right)\sin\theta-\sin^3\theta\).

✅ \(\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\).

3.a) Montrer que \(\cos4\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formule de Moivre : \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\). On identifie parties réelle et imaginaire.

🔢 Étape 1 : \((c+is)^4=c^4+4ic^3s-6c^2s^2-4ics^3+s^4\) avec \(c=\cos\theta\), \(s=\sin\theta\).

🔢 Étape 2 : Partie réelle : \(c^4-6c^2s^2+s^4=c^4-6c^2\left(1-c^2\right)+\left(1-c^2\right)^2=8c^4-8c^2+1\).

✅ \(\cos4\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1\).

3.b) Montrer que \(\sin4\theta=4\cos^3\theta\sin\theta-4\cos\theta\sin^3\theta\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formule de Moivre : \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\). On identifie parties réelle et imaginaire.

🔢 Partie imaginaire de \((c+is)^4\) : \(4c^3s-4cs^3\).

✅ \(\sin4\theta=4\cos^3\theta\sin\theta-4\cos\theta\sin^3\theta\).

Exercice 3

Linéariser \(\cos^4\theta\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formules d’Euler : \(\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2\), \(\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\) ; on développe avec le binôme de Newton puis on regroupe \(e^{ik\theta}+e^{-ik\theta}=2\cos k\theta\).

🔢 Étape 1 : \(\cos^4\theta=\dfrac{\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^4}{16}=\dfrac{e^{4i\theta}+4e^{2i\theta}+6+4e^{-2i\theta}+e^{-4i\theta}}{16}\).

🔢 Étape 2 : On regroupe : \(\dfrac{2\cos4\theta+8\cos2\theta+6}{16}\).

✅ \(\cos^4\theta=\dfrac18\cos4\theta+\dfrac12\cos2\theta+\dfrac38\).

Exercice 4

1) Montrer que \((\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2)\) : \(e^{i\alpha}+e^{i\beta}=e^{i\frac{\alpha+\beta}2}\left(e^{i\frac{\alpha-\beta}2}+e^{-i\frac{\alpha-\beta}2}\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Factoriser par l’« arc moyen » \(e^{i\frac{\alpha+\beta}2}\).

🔢 \(e^{i\frac{\alpha+\beta}2}e^{i\frac{\alpha-\beta}2}=e^{i\alpha}\) et \(e^{i\frac{\alpha+\beta}2}e^{-i\frac{\alpha-\beta}2}=e^{i\beta}\).

✅ L’égalité est démontrée ; elle donne \(e^{i\alpha}+e^{i\beta}=2\cos\dfrac{\alpha-\beta}2\,e^{i\frac{\alpha+\beta}2}\).

2) On pose \(u=3e^{i\frac\pi5}\), \(v=3e^{i\frac\pi7}\), \(u_1=1+e^{i\frac\pi3}\), \(u_2=1-e^{i\frac\pi3}\). Déterminer le module et l’argument de \(u+v\), \(u_1\) et \(u_2\).

Correction détaillée

⚠️ L’exposant de \(v\) est en très petit sur le scan (lu \(e^{i\frac\pi7}\)) ; avec un autre exposant \(\beta\), le calcul est identique : \(|u+v|=6\cos\frac{\pi/5-\beta}2\), \(\arg=\frac{\pi/5+\beta}2\).

🔢 Étape 1 : \(u+v=3\left(e^{i\frac\pi5}+e^{i\frac\pi7}\right)=6\cos\dfrac{\pi}{35}\,e^{i\frac{6\pi}{35}}\) (car \(\dfrac{\alpha-\beta}2=\dfrac\pi{35}\), \(\dfrac{\alpha+\beta}2=\dfrac{6\pi}{35}\)).

🔢 Étape 2 : \(u_1=1+e^{i\frac\pi3}=2\cos\dfrac\pi6\,e^{i\frac\pi6}=\sqrt3\,e^{i\frac\pi6}\).

🔢 Étape 3 : \(u_2=1-e^{i\frac\pi3}=1+e^{i\frac{4\pi}3}=2\cos\dfrac{2\pi}3\,e^{i\frac{2\pi}3}=-e^{i\frac{2\pi}3}=e^{-i\frac\pi3}\) (vérification : \(1-\frac12-i\frac{\sqrt3}2\)).

✅ \(|u+v|=6\cos\dfrac\pi{35}\), \(\arg(u+v)=\dfrac{6\pi}{35}\) ; \(|u_1|=\sqrt3\), \(\arg u_1=\dfrac\pi6\) ; \(|u_2|=1\), \(\arg u_2=-\dfrac\pi3\).

Exercice 5

En utilisant les formules d’Euler, montrer que \((\theta\in\mathbb R)\) :

1) Montrer que \(\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}2\).

Correction détaillée

🔢 \(\cos^2\theta=\dfrac{\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^2}4=\dfrac{e^{2i\theta}+2+e^{-2i\theta}}4=\dfrac{2\cos2\theta+2}4\).

✅ \(\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}2\).

2) Montrer que \(\cos^3\theta=\dfrac14\cos3\theta+\dfrac34\cos\theta\).

Correction détaillée

🔢 \(\cos^3\theta=\dfrac{e^{3i\theta}+3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}+e^{-3i\theta}}8=\dfrac{2\cos3\theta+6\cos\theta}8\).

✅ \(\cos^3\theta=\dfrac14\cos3\theta+\dfrac34\cos\theta\).

3) Montrer que \(\sin^3\theta=-\dfrac14\sin3\theta+\dfrac34\sin\theta\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sin^3\theta=\dfrac{\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^3}{(2i)^3}=\dfrac{e^{3i\theta}-3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}-e^{-3i\theta}}{-8i}\).

🔢 Étape 2 : Numérateur : \(2i\sin3\theta-6i\sin\theta\).

✅ \(\sin^3\theta=\dfrac{2i\left(\sin3\theta-3\sin\theta\right)}{-8i}=-\dfrac14\sin3\theta+\dfrac34\sin\theta\).

4) Montrer que \(\sin^4\theta=\dfrac18\cos4\theta-\dfrac12\cos2\theta+\dfrac38\).

Correction détaillée

🔢 \(\sin^4\theta=\dfrac{\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^4}{16}=\dfrac{e^{4i\theta}-4e^{2i\theta}+6-4e^{-2i\theta}+e^{-4i\theta}}{16}\).

✅ \(\sin^4\theta=\dfrac{2\cos4\theta-8\cos2\theta+6}{16}=\dfrac18\cos4\theta-\dfrac12\cos2\theta+\dfrac38\).

5.a) Linéariser \(\sin^5\theta\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^5=e^{5i\theta}-5e^{3i\theta}+10e^{i\theta}-10e^{-i\theta}+5e^{-3i\theta}-e^{-5i\theta}=2i\left(\sin5\theta-5\sin3\theta+10\sin\theta\right)\).

🔢 Étape 2 : Et \((2i)^5=32i\).

✅ \(\sin^5\theta=\dfrac1{16}\left(\sin5\theta-5\sin3\theta+10\sin\theta\right)\).

5.b) Linéariser \(\cos^2\theta\sin^3\theta\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\cos^2\theta\sin^3\theta=\left(1-\sin^2\theta\right)\sin^3\theta=\sin^3\theta-\sin^5\theta\).

🔢 Étape 2 : En utilisant 3) et 5.a) : \(\dfrac{-\sin3\theta+3\sin\theta}4-\dfrac{\sin5\theta-5\sin3\theta+10\sin\theta}{16}\).

✅ \(\cos^2\theta\sin^3\theta=\dfrac1{16}\left(\sin3\theta+2\sin\theta-\sin5\theta\right)\).

Exercice 6

Résoudre dans \(\mathbb C\) les équations suivantes :

1) \((E)\) : \(z^2-z+2=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=1-8=-7<0\).

✅ \(S=\left\{\dfrac{1-i\sqrt7}2,\dfrac{1+i\sqrt7}2\right\}\).

2) \((E)\) : \(z^2-z-2=0\).

Correction détaillée

🔢 \(\Delta=1+8=9\), \(\sqrt\Delta=3\) : \(z=\dfrac{1\pm3}2\).

✅ \(S=\{-1,2\}\).

3) \((E)\) : \(z^2-2z+1=0\).

Correction détaillée

🔢 \(z^2-2z+1=(z-1)^2\) (\(\Delta=0\)).

✅ \(S=\{1\}\) (racine double).

Exercice 7

Soit \(z\in\mathbb C\) et \(P(z)=z^2-2z+2\).

1) Calculer \(P(1-i)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((1-i)^2=-2i\).

🔢 Étape 2 : \(P(1-i)=-2i-2(1-i)+2=-2i-2+2i+2\).

✅ \(P(1-i)=0\).

2) En déduire dans \(\mathbb C\) la résolution de l’équation \(P(z)=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=4-8=-4\) donc \(z=\dfrac{2\pm2i}2\).

✅ \(S=\{1-i,\,1+i\}\) (le résultat de 1) donne une racine, l’autre est son conjugué).

Exercice 8

Résoudre dans \(\mathbb C\) les équations suivantes :

1) \(\left(z^2+9\right)\left(z^2-4\right)=0\).

Correction détaillée

🔢 Produit nul : \(z^2=-9\) ou \(z^2=4\).

✅ \(S=\{-3i,\,3i,\,-2,\,2\}\).

2) \(z^2-6z+13=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=36-52=-16\), \(\sqrt{-\Delta}=4\).

✅ \(S=\{3-2i,\,3+2i\}\).

Exercice 9

1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-8z+17=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=64-68=-4\).

✅ \(S=\{4-i,\,4+i\}\).

Partie 2 Soit \(P(z)=z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i\).

2.a) Montrer que l’équation \(P(z)=0\) admet un imaginaire pur unique comme solution.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(z=iy\) (\(y\in\mathbb R\)) : \(P(iy)=-iy^3+(8-i)y^2+(17-8i)iy+17i\).

🔢 Étape 2 : Partie réelle : \(8y^2+8y=8y(y+1)\). Partie imaginaire : \(-y^3-y^2+17y+17=(y+1)\left(17-y^2\right)\).

🔢 Étape 3 : Les deux s’annulent si \(y=-1\) (pour \(y=0\), la partie imaginaire vaut \(17\ne0\) ; pour \(y=\pm\sqrt{17}\), la partie réelle \(\ne0\)).

✅ L’unique imaginaire pur solution est \(z=-i\).

2.b) Déterminer les réels \(a,b,c\) tels que \(P(z)=(z+i)\left(az^2+bz+c\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Identification des coefficients de deux polynômes égaux.

🔢 Étape 1 : \((z+i)\left(az^2+bz+c\right)=az^3+(b+ia)z^2+(c+ib)z+ic\).

🔢 Étape 2 : On identifie : \(a=1\) ; \(b+i=-8+i\Rightarrow b=-8\) ; \(c+ib=17-8i\Rightarrow c=17\) ; \(ic=17i\) (cohérent).

✅ \(a=1\), \(b=-8\), \(c=17\).

2.c) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(P(z)=0\).

Correction détaillée

🔢 \(P(z)=(z+i)\left(z^2-8z+17\right)=0\iff z=-i\) ou \(z^2-8z+17=0\).

✅ \(S=\{-i,\,4-i,\,4+i\}\).

Exercice 10

Résoudre dans \(\mathbb C\) les équations suivantes :

1) \(2z^2-2z+5=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=4-40=-36\), \(\sqrt{-\Delta}=6\).

✅ \(S=\left\{\dfrac{1-3i}2,\dfrac{1+3i}2\right\}\).

2) \(3z^3-3z^2+2z-2=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On factorise : \(3z^2(z-1)+2(z-1)=(z-1)\left(3z^2+2\right)\).

🔢 Étape 2 : \(3z^2+2=0\iff z^2=-\dfrac23\).

✅ \(S=\left\{1,\,-i\sqrt{\dfrac23},\,i\sqrt{\dfrac23}\right\}\) (avec \(\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}3\)).

Exercice 11

1) Donner la forme exponentielle et la forme algébrique du nombre complexe \(z=-\dfrac{1+i\sqrt3}{\sqrt2+i\sqrt2}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(1+i\sqrt3=2e^{i\frac\pi3}\) et \(\sqrt2+i\sqrt2=2e^{i\frac\pi4}\), donc \(z=-e^{i\frac\pi{12}}=e^{i\left(\frac\pi{12}+\pi\right)}=e^{i\frac{13\pi}{12}}=e^{-i\frac{11\pi}{12}}\).

🔢 Étape 2 : Forme algébrique : \(z=-\dfrac{(1+i\sqrt3)(\sqrt2-i\sqrt2)}{4}=-\dfrac{\sqrt2+\sqrt6+i\left(\sqrt6-\sqrt2\right)}4\).

✅ \(z=e^{-i\frac{11\pi}{12}}=-\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4-i\,\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

2) En déduire \(\cos\dfrac{11\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{11\pi}{12}\).

Correction détaillée

🔢 \(z=\cos\left(-\dfrac{11\pi}{12}\right)+i\sin\left(-\dfrac{11\pi}{12}\right)=\cos\dfrac{11\pi}{12}-i\sin\dfrac{11\pi}{12}\). On identifie les parties réelle et imaginaire.

✅ \(\cos\dfrac{11\pi}{12}=-\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\) et \(\sin\dfrac{11\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

Exercice 12

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct.

1) Donner l’écriture complexe de \(t\), translation de vecteur \(\vec u\) d’affixe \(4-2i\). On pose \(A(3+5i)\), \(B(3-5i)\), \(C(7+3i)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Translation de vecteur \(\vec u\) d’affixe \(u\) : \(z’=z+u\). Homothétie de centre \(\Omega\), rapport \(k\) : \(z’-\omega=k(z-\omega)\). Rotation de centre \(\Omega\), angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 Une translation de vecteur d’affixe \(u\) s’écrit \(z’=z+u\).

✅ \(z’=z+4-2i\).

2) Montrer que \(C\) est l’image de \(A\) par \(t\).

Correction détaillée

🔢 \(z_A+4-2i=3+5i+4-2i=7+3i=z_C\).

✅ \(t(A)=C\).

3) Déterminer l’affixe \(z_{B’}\) de \(B’\), image de \(B\) par \(t\).

Correction détaillée

🔢 \(z_{B’}=z_B+4-2i=3-5i+4-2i\).

✅ \(z_{B’}=7-7i\).

Exercice 13

1) Donner l’écriture complexe de l’homothétie \(h\) de centre \(\Omega(3-2i)\) et de rapport \(4\).

Correction détaillée

🔢 \(z’-\omega=4(z-\omega)\), soit \(z’=4z-3\omega=4z-3(3-2i)\).

✅ \(z’=4z-9+6i\).

2) Déterminer l’affixe \(z_{A’}\) de l’image \(A’\) de \(A(3+5i)\) par \(h\).

Correction détaillée

🔢 \(z_{A’}=4(3+5i)-9+6i=12+20i-9+6i\).

✅ \(z_{A’}=3+26i\).

Exercice 14

1) Donner l’écriture complexe de la rotation \(r\) de centre \(B(4+8i)\) et d’angle \(\dfrac\pi2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z’-z_B=i(z-z_B)\), donc \(z’=iz+z_B(1-i)\).

🔢 Étape 2 : \(z_B(1-i)=(4+8i)(1-i)=4-4i+8i+8=12+4i\).

✅ \(z’=iz+12+4i\).

2) Soit \(C\) l’image de \(A(7+2i)\) par \(r\). Montrer que \(z_C=10+11i\).

Correction détaillée

🔢 \(z_C=i(7+2i)+12+4i=7i-2+12+4i\).

✅ \(z_C=10+11i\).

Exercice 15

Déterminer l’écriture complexe de la rotation de centre \(\Omega(1+i)\) et d’angle \(\dfrac{3\pi}4\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z’-\omega=e^{i\frac{3\pi}4}(z-\omega)\) avec \(e^{i\frac{3\pi}4}=-\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\).

🔢 Étape 2 : \(z’=e^{i\frac{3\pi}4}z+\left(1-e^{i\frac{3\pi}4}\right)(1+i)\).

🔢 Étape 3 : \(\left(1+\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2\right)(1+i)=1+i+\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2+\dfrac{\sqrt2}2=1+\sqrt2+i\).

✅ \(z’=\left(-\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)z+1+\sqrt2+i\).

Exercice 16

Soit \(r\) la rotation de centre \(\Omega(i)\) qui transforme \(O\) en \(O’\) d’affixe \(\dfrac{\sqrt3+i}2\). Déterminer l’angle de \(r\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z_{O’}-\omega=\dfrac{\sqrt3+i}2-i=\dfrac{\sqrt3-i}2\) et \(z_O-\omega=-i\).

🔢 Étape 2 : \(e^{i\theta}=\dfrac{z_{O’}-\omega}{z_O-\omega}=\dfrac{\sqrt3-i}{2}\times\dfrac1{-i}=\dfrac{(\sqrt3-i)\,i}2=\dfrac{1+i\sqrt3}2\) (car \(\frac1{-i}=i\)).

🔢 Étape 3 : \(\dfrac{1+i\sqrt3}2=\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3\).

✅ L’angle de \(r\) est \(\dfrac\pi3\).

Exercice 17

Soit \(f\) l’application d’écriture complexe \(z’=-2z+3-3i\). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(f\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Écriture \(z’=az+b\) : si \(a=1\) translation ; si \(a\in\mathbb R\setminus\{1\}\) homothétie de rapport \(a\) ; si \(|a|=1,\ a\ne1\) rotation d’angle \(\arg a\). Le centre vérifie \(\omega=a\omega+b\).

🔢 Étape 1 : Le coefficient de \(z\) est \(a=-2\), réel différent de \(1\) : \(f\) est une homothétie de rapport \(-2\).

🔢 Étape 2 : Centre : \(\omega=-2\omega+3-3i\iff3\omega=3-3i\iff\omega=1-i\).

✅ \(f\) est l’homothétie de centre \(\Omega(1-i)\) et de rapport \(-2\).

Exercice 18

Soit \(A(i)\), \(R_0\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac\pi6\), \(R_1\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac\pi3\). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(R_1\circ R_0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(R_0:\ z\mapsto e^{i\frac\pi6}z\) et \(R_1:\ z\mapsto e^{i\frac\pi3}(z-i)+i\).

🔢 Étape 2 : \(R_1\circ R_0(z)=e^{i\frac\pi3}\left(e^{i\frac\pi6}z-i\right)+i=e^{i\frac\pi2}z+i\left(1-e^{i\frac\pi3}\right)=iz+i-ie^{i\frac\pi3}\).

🔢 Étape 3 : \(ie^{i\frac\pi3}=i\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\right)=-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac i2\), donc \(b=i+\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac i2=\dfrac{\sqrt3+i}2\).

🔢 Étape 4 : Le coefficient \(a=i\) vérifie \(|a|=1\), \(a\neq1\) : c’est une rotation d’angle \(\dfrac\pi2=\dfrac\pi6+\dfrac\pi3\).

🔢 Étape 5 : Centre : \(\omega=\dfrac b{1-i}=\dfrac{(\sqrt3+i)(1+i)}4=\dfrac{\sqrt3-1+i(\sqrt3+1)}4\).

✅ \(R_1\circ R_0\) est la rotation d’angle \(\dfrac\pi2\) et de centre \(\Omega\left(\dfrac{\sqrt3-1}4+i\,\dfrac{\sqrt3+1}4\right)\).

Exercice 19

Soit \(ABC\) un triangle isocèle et rectangle en \(A\) tel que \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv\dfrac\pi2\,[2\pi]\). Soit \(R\) la rotation de centre \(A\) qui transforme \(B\) en \(C\) et \(T\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Déterminer les transformations \(F_1=R\circ T\) et \(F_2=T\circ R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On prend \(A\) pour origine : \(z_A=0\), \(z_B=b\) et, comme \(AC=AB\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac\pi2\), \(z_C=ib\).

🔢 Étape 2 : \(R:\ z\mapsto iz\) (rotation de centre \(A\) d’angle \(\dfrac\pi2\)) et \(T:\ z\mapsto z+b\).

🔢 Étape 3 : \(F_1=R\circ T:\ z\mapsto i(z+b)=iz+ib\). C’est une rotation d’angle \(\dfrac\pi2\), de centre \(\omega_1=\dfrac{ib}{1-i}=\dfrac{ib(1+i)}2=\dfrac{ib-b}2=\dfrac{z_C-z_B}2\), c’est-à-dire le point \(\Omega_1\) tel que \(\overrightarrow{A\Omega_1}=\dfrac12\overrightarrow{BC}\).

🔢 Étape 4 : \(F_2=T\circ R:\ z\mapsto iz+b\). C’est une rotation d’angle \(\dfrac\pi2\), de centre \(\omega_2=\dfrac b{1-i}=\dfrac{b(1+i)}2=\dfrac{b+ib}2=\dfrac{z_B+z_C}2\), c’est-à-dire le milieu \(I\) de \([BC]\).

✅ \(F_1\) et \(F_2\) sont deux rotations d’angle \(\dfrac\pi2\) ; le centre de \(F_2\) est le milieu de \([BC]\) et celui de \(F_1\) est le point \(\Omega_1\) tel que \(\overrightarrow{A\Omega_1}=\dfrac12\overrightarrow{BC}\).

Exercice 20

Montrer que pour tout \(z\in\mathbb C^*\) : \(|z-1|\le\big||z|-1\big|+|z|\,|\arg z|\), où \(\arg z\) désigne l’argument de \(z\) appartenant à \(]-\pi,\pi]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Écrire \(z-1=r(e^{i\theta}-1)+(r-1)\) puis utiliser l’inégalité triangulaire et \(|\sin x|\le|x|\).

🔢 Étape 1 : On pose \(z=re^{i\theta}\), \(r=|z|>0\), \(\theta\in]-\pi,\pi]\). Alors \(z-1=r\left(e^{i\theta}-1\right)+(r-1)\).

🔢 Étape 2 : Inégalité triangulaire : \(|z-1|\le r\left|e^{i\theta}-1\right|+|r-1|\).

🔢 Étape 3 : \(\left|e^{i\theta}-1\right|=\left|e^{i\frac\theta2}\right|\left|e^{i\frac\theta2}-e^{-i\frac\theta2}\right|=2\left|\sin\dfrac\theta2\right|\).

🔢 Étape 4 : Or \(|\sin x|\le|x|\) pour tout réel \(x\), donc \(2\left|\sin\dfrac\theta2\right|\le|\theta|\).

✅ \(|z-1|\le\big||z|-1\big|+|z|\,|\arg z|\).

Exercice 21

1) Soient \(a,b,c\) trois complexes de module \(1\) avec \(a\neq c\) et \(b\neq c\). Montrer que \(\left(\dfrac{c-b}{c-a}\right)^2\dfrac ab\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Un nombre est réel si et seulement s’il est égal à son conjugué ; pour \(|u|=1\) : \(\bar u=\dfrac1u\).

🔢 Étape 1 : Pour \(|u|=1\), \(\bar u=\dfrac1u\). On pose \(w=\dfrac{c-b}{c-a}\).

🔢 Étape 2 : \(\overline{c-b}=\dfrac1c-\dfrac1b=\dfrac{b-c}{bc}\) et \(\overline{c-a}=\dfrac{a-c}{ac}\).

🔢 Étape 3 : \(\bar w=\dfrac{b-c}{bc}\times\dfrac{ac}{a-c}=\dfrac{c-b}{c-a}\times\dfrac ab=w\,\dfrac ab\).

🔢 Étape 4 : Alors \(\overline{w^2\dfrac ab}=\bar w^{\,2}\,\dfrac ba=w^2\dfrac{a^2}{b^2}\times\dfrac ba=w^2\dfrac ab\).

✅ \(w^2\dfrac ab\) est égal à son conjugué : c’est un réel.

2) En déduire que \(\arg\left(\dfrac{c-b}{c-a}\right)\equiv\dfrac12\arg\left(\dfrac ba\right)\ \left[\dfrac\pi2\right]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(w^2\dfrac ab\in\mathbb R^*\), donc \(\arg\left(w^2\dfrac ab\right)\equiv0\,[\pi]\), soit \(2\arg w-\arg\dfrac ba\equiv0\,[\pi]\) (car \(\arg\dfrac ab=-\arg\dfrac ba\)).

🔢 Étape 2 : D’où \(2\arg w\equiv\arg\dfrac ba\,[\pi]\), c’est-à-dire \(\arg w\equiv\dfrac12\arg\dfrac ba\,\left[\dfrac\pi2\right]\).

✅ \(\arg\left(\dfrac{c-b}{c-a}\right)\equiv\dfrac12\arg\left(\dfrac ba\right)\left[\dfrac\pi2\right]\).

Exercice 22

1) Soit \(z=e^{\frac{2i\pi}7}\), \(S=z+z^2+z^4\) et \(T=z^3+z^5+z^6\). Montrer que \(S\) et \(T\) sont conjugués.

Correction détaillée

📘 Méthode : \(z\) est une racine 7-ième de l’unité : \(z^7=1\), \(\bar z=z^{-1}=z^6\), et on réduit les exposants modulo \(7\).

🔢 Étape 1 : \(z^7=1\) et \(|z|=1\), donc \(\bar z=\dfrac1z=z^6\).

🔢 Étape 2 : \(\bar S=\bar z+\bar z^2+\bar z^4=z^6+z^{12}+z^{24}=z^6+z^5+z^3\) (car \(z^{12}=z^5\) et \(z^{24}=z^3\)).

✅ \(\bar S=T\).

2) Montrer que \(\operatorname{Im}(S)>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\operatorname{Im}(S)=\sin\dfrac{2\pi}7+\sin\dfrac{4\pi}7+\sin\dfrac{8\pi}7\).

🔢 Étape 2 : \(\sin\dfrac{8\pi}7=-\sin\dfrac\pi7\) et \(\sin\dfrac{4\pi}7>0\) (car \(0<\dfrac{4\pi}7<\pi\)).

🔢 Étape 3 : Sur \(\left[0,\dfrac\pi2\right]\) le sinus est croissant et \(\dfrac\pi7<\dfrac{2\pi}7\), donc \(\sin\dfrac{2\pi}7-\sin\dfrac\pi7>0\).

✅ \(\operatorname{Im}(S)=\left(\sin\dfrac{2\pi}7-\sin\dfrac\pi7\right)+\sin\dfrac{4\pi}7>0\).

3) Calculer \(S+T\) et \(S\times T\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(S+T=z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=\dfrac{z^7-1}{z-1}-1=-1\) (car \(z\neq1\) et \(z^7=1\)).

🔢 Étape 2 : \(S\times T=z^4+z^6+z^7+z^5+z^7+z^8+z^7+z^9+z^{10}\).

🔢 Étape 3 : Avec \(z^7=1\), \(z^8=z\), \(z^9=z^2\), \(z^{10}=z^3\) : \(S\times T=3+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=3-1\).

✅ \(S+T=-1\) et \(S\times T=2\).

4) En déduire \(S\) et \(T\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(S\) et \(T\) sont les solutions de \(X^2-(S+T)X+ST=0\), soit \(X^2+X+2=0\).

🔢 Étape 2 : \(\Delta=1-8=-7\), donc \(X=\dfrac{-1\pm i\sqrt7}2\).

🔢 Étape 3 : Comme \(\operatorname{Im}(S)>0\), \(S\) est la solution de partie imaginaire positive.

✅ \(S=\dfrac{-1+i\sqrt7}2\) et \(T=\dfrac{-1-i\sqrt7}2\).

Exercice 23

Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes suivants :

1) \(z_1=i^{2020}\).

Correction détaillée

🔢 \(i^4=1\) et \(2020=4\times505\).

✅ \(z_1=\left(i^4\right)^{505}=1\).

2) \(z_2=\left(3-\sqrt2\,i\right)^2\).

Correction détaillée

🔢 \(z_2=9-6\sqrt2\,i+2i^2=9-2-6\sqrt2\,i\).

✅ \(z_2=7-6\sqrt2\,i\).

3) \(z_3=\dfrac{1+i}{\sqrt3\,i}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour mettre un quotient sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : \(\dfrac1{x+iy}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}\).

🔢 \(\dfrac1i=-i\), donc \(z_3=\dfrac{(1+i)(-i)}{\sqrt3}=\dfrac{-i+1}{\sqrt3}\).

✅ \(z_3=\dfrac{\sqrt3}3-\dfrac{\sqrt3}3\,i\).

4) \(z_4=\dfrac{(1-2i)^2-(1-i)^3}{(1+3i)^3+(1+i)^2}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour mettre un quotient sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : \(\dfrac1{x+iy}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}\).

🔢 Étape 1 : \((1-2i)^2=-3-4i\) ; \((1-i)^2=-2i\) donc \((1-i)^3=-2i(1-i)=-2-2i\). Numérateur : \(-3-4i+2+2i=-1-2i\).

🔢 Étape 2 : \((1+3i)^2=-8+6i\) donc \((1+3i)^3=(-8+6i)(1+3i)=-26-18i\) ; \((1+i)^2=2i\). Dénominateur : \(-26-16i\).

🔢 Étape 3 : \(z_4=\dfrac{-1-2i}{-26-16i}=\dfrac{1+2i}{26+16i}=\dfrac{(1+2i)(26-16i)}{26^2+16^2}=\dfrac{58+36i}{932}\).

✅ \(z_4=\dfrac{29}{466}+\dfrac{9}{233}\,i\).

5) \(z_5=\dfrac1{7-4i}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour mettre un quotient sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : \(\dfrac1{x+iy}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}\).

🔢 \(z_5=\dfrac{7+4i}{49+16}\).

✅ \(z_5=\dfrac7{65}+\dfrac4{65}\,i\).

6) \(z_6=\dfrac{1+i}{1-i}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour mettre un quotient sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : \(\dfrac1{x+iy}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}\).

🔢 \(z_6=\dfrac{(1+i)^2}{2}=\dfrac{2i}2\).

✅ \(z_6=i\).

7) \(z_7=\dfrac1{1-i}+\dfrac1{1+i}+\dfrac i2\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac1{1-i}+\dfrac1{1+i}=\dfrac{(1+i)+(1-i)}{2}=1\).

✅ \(z_7=1+\dfrac12\,i\).

Exercice 24

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct.

1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-z+1=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=1-4=-3\), \(\sqrt{-\Delta}=\sqrt3\).

✅ \(S=\left\{\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i,\ \dfrac12-\dfrac{\sqrt3}2i\right\}\).

2) On considère \(A=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\), \(B=\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}2i\) et \(C=\dfrac{1+\sqrt5}2\). Montrer que le triangle \(AA’C\) est isocèle en \(A\), où \(A’\) est l’image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac\pi2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z_{A’}=iz_A=\dfrac i2-\dfrac{\sqrt3}2\).

🔢 Étape 2 : \(AA’=|z_{A’}-z_A|=|z_A|\,|i-1|=1\times\sqrt2=\sqrt2\) (car \(|z_A|=1\)).

🔢 Étape 3 : \(z_C-z_A=\dfrac{1+\sqrt5}2-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}2i=\dfrac{\sqrt5}2-\dfrac{\sqrt3}2i\), donc \(AC=\sqrt{\dfrac54+\dfrac34}=\sqrt2\).

✅ \(AA’=AC=\sqrt2\) : le triangle \(AA’C\) est isocèle en \(A\).

3) Soit \(B’\) l’image de \(B\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac\pi4\). Écrire \(z_{B’}\) en fonction de \(z_B\), puis sous forme trigonométrique et sous forme algébrique.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z_{B’}=e^{i\frac\pi4}z_B\).

🔢 Étape 2 : \(z_B=e^{-i\frac\pi3}\), donc \(z_{B’}=e^{i\left(\frac\pi4-\frac\pi3\right)}=e^{-i\frac\pi{12}}=\cos\dfrac\pi{12}-i\sin\dfrac\pi{12}\).

🔢 Étape 3 : Forme algébrique : \(z_{B’}=\dfrac{\sqrt2}2(1+i)\left(\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}2i\right)=\dfrac{\sqrt2}4\left[(1+\sqrt3)+i(1-\sqrt3)\right]\).

✅ \(z_{B’}=e^{i\frac\pi4}z_B=\cos\dfrac\pi{12}-i\sin\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt2(1+\sqrt3)}4+i\,\dfrac{\sqrt2(1-\sqrt3)}4\).

4) En déduire \(\cos\dfrac\pi{12}\) et \(\sin\dfrac\pi{12}\).

Correction détaillée

🔢 On identifie les deux écritures de \(z_{B’}\) : \(\cos\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt2(1+\sqrt3)}4\) et \(-\sin\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt2(1-\sqrt3)}4\).

✅ \(\cos\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\) et \(\sin\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

Exercice 25

(Bac 2016, session normale)

1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-4z+29=0\).

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan, l’équation est écrite « \(z^2-4bz+29\) » avec un « b » parasite ; elle est lue \(z^2-4z+29=0\) (confirmé par une autre copie du même sujet).

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=16-116=-100\), \(\sqrt{-\Delta}=10\).

✅ \(S=\{2-5i,\ 2+5i\}\).

2.a) On pose \(a=5+2i\), \(b=5+8i\), \(\omega=2+5i\) et \(u=b-\omega\). Vérifier que \(u=3+3i\) et que \(\arg u\equiv\dfrac\pi4\,[2\pi]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=5+8i-2-5i=3+3i\).

🔢 Étape 2 : \(u=3\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)\).

✅ \(u=3+3i=3\sqrt2\,e^{i\frac\pi4}\), donc \(\arg u\equiv\dfrac\pi4\,[2\pi]\).

2.b) Déterminer un argument de \(\bar u\).

Correction détaillée

🔢 \(\arg\bar u\equiv-\arg u\,[2\pi]\).

✅ \(\arg\bar u\equiv-\dfrac\pi4\,[2\pi]\).

2.c) Vérifier que \(a-\omega=\bar u\). En déduire que \(\Omega A=\Omega B\) et que \(\arg\dfrac{b-\omega}{a-\omega}\equiv\dfrac\pi2\,[2\pi]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(Z=\dfrac{c-a}{b-a}\) : \(|Z|=\dfrac{AC}{AB}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\,[2\pi]\).

🔢 Étape 1 : \(a-\omega=5+2i-2-5i=3-3i=\bar u\).

🔢 Étape 2 : \(\Omega A=|a-\omega|=|\bar u|=|u|=|b-\omega|=\Omega B\).

🔢 Étape 3 : \(\dfrac{b-\omega}{a-\omega}=\dfrac u{\bar u}=\dfrac{3\sqrt2e^{i\frac\pi4}}{3\sqrt2e^{-i\frac\pi4}}=e^{i\frac\pi2}\).

✅ \(\Omega A=\Omega B\) et \(\arg\dfrac{b-\omega}{a-\omega}\equiv\dfrac\pi2\,[2\pi]\).

2.d) Soit \(R\) la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\dfrac\pi2\). Déterminer l’image de \(A\) par \(R\).

Correction détaillée

🔢 \(z’-\omega=i(a-\omega)=i(3-3i)=3+3i\), donc \(z’=\omega+3+3i=5+8i\).

✅ L’image de \(A\) par \(R\) est le point \(B\).

Exercice 26

(Bac 2019, session normale)

1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-2z+4=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=4-16=-12\), \(\sqrt{-\Delta}=2\sqrt3\).

✅ \(S=\left\{1-i\sqrt3,\ 1+i\sqrt3\right\}\).

2.a) On pose \(a=1-i\sqrt3\), \(b=2+2i\), \(c=\sqrt3+i\), \(d=-2+2\sqrt3\). Montrer que \(a-d=-\sqrt3\,(c-d)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(a-d=1-i\sqrt3+2-2\sqrt3=3-2\sqrt3-i\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : \(c-d=\sqrt3+i+2-2\sqrt3=2-\sqrt3+i\), donc \(-\sqrt3(c-d)=-2\sqrt3+3-i\sqrt3\).

✅ \(a-d=-\sqrt3\,(c-d)\).

2.b) En déduire que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont alignés.

Correction détaillée

📘 Méthode : Trois points \(D,M,N\) sont alignés si et seulement si \(\dfrac{m-d}{n-d}\in\mathbb R\).

🔢 Étape 1 : Comme \(a-d=-\sqrt3(c-d)\) avec \(-\sqrt3\) réel, \(A\), \(C\), \(D\) sont alignés.

🔢 Étape 2 : De plus \(b-d=4-2\sqrt3+2i=2\left(2-\sqrt3+i\right)=2(c-d)\), donc \(B\), \(C\), \(D\) sont alignés.

✅ Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont alignés.

3) Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(-\dfrac\pi3\). Montrer que son écriture complexe est \(z’=\dfrac12a\,z\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(a=1-i\sqrt3=2\left(\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2\right)=2e^{-i\frac\pi3}\), donc \(\dfrac12a=e^{-i\frac\pi3}\).

🔢 Étape 2 : L’écriture complexe de la rotation de centre \(O\) et d’angle \(-\dfrac\pi3\) est \(z’=e^{-i\frac\pi3}z\).

✅ \(z’=\dfrac12a\,z\).

4.a) Soit \(H\) l’image de \(B\) par \(R\) et \(P\) le point d’affixe \(p=a-c\). Montrer que \(h=ip\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(h=\dfrac12ab=\dfrac12(1-i\sqrt3)(2+2i)=(1-i\sqrt3)(1+i)=(1+\sqrt3)+i(1-\sqrt3)\).

🔢 Étape 2 : \(p=a-c=1-\sqrt3-i(\sqrt3+1)\), donc \(ip=i(1-\sqrt3)+(\sqrt3+1)\).

✅ \(h=ip\).

4.b) Montrer que le triangle \(OHP\) est rectangle isocèle en \(O\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(Z=\dfrac{c-a}{b-a}\) : \(|Z|=\dfrac{AC}{AB}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\,[2\pi]\).

🔢 \(\dfrac hp=i\) : \(\left|\dfrac hp\right|=1\) donc \(OH=OP\), et \(\arg\dfrac hp\equiv\dfrac\pi2\,[2\pi]\) donc \((\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OH})\equiv\dfrac\pi2\,[2\pi]\).

✅ Le triangle \(OHP\) est rectangle isocèle en \(O\).

Exercice 27

1.a) On donne \(A(1)\), \(B(3+4i)\), \(C\left(2\sqrt3+i(-2-\sqrt3)\right)\), \(D\left(-2\sqrt3+i(-2+\sqrt3)\right)\). Montrer que l’image de \(B\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{2\pi}3\) est \(D\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(b-a=2+4i\) et \(e^{i\frac{2\pi}3}=\dfrac{-1+i\sqrt3}2\).

🔢 Étape 2 : \(e^{i\frac{2\pi}3}(b-a)=(1+2i)(-1+i\sqrt3)=-1+i\sqrt3-2i-2\sqrt3=(-1-2\sqrt3)+i(\sqrt3-2)\).

🔢 Étape 3 : Donc \(a+e^{i\frac{2\pi}3}(b-a)=-2\sqrt3+i(-2+\sqrt3)=d\).

✅ La rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{2\pi}3\) transforme \(B\) en \(D\).

1.b) En déduire que \(B\) et \(D\) appartiennent à un cercle \((\mathcal C)\) de centre \(A\) dont on précisera le rayon.

Correction détaillée

🔢 Une rotation de centre \(A\) conserve la distance à \(A\) : \(AD=AB=|2+4i|=\sqrt{20}\).

✅ \(B\) et \(D\) appartiennent au cercle de centre \(A\) et de rayon \(2\sqrt5\).

2.a) Soit \(F\) l’image de \(A\) par l’homothétie de centre \(B\) et de rapport \(\dfrac32\). Montrer que \(z_F=-2i\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z_F-b=\dfrac32(a-b)=\dfrac32(-2-4i)=-3-6i\).

🔢 Étape 2 : \(z_F=3+4i-3-6i\).

✅ \(z_F=-2i\).

2.b) Montrer que \(F\) est le milieu de \([CD]\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{c+d}2=\dfrac{i(-2-\sqrt3-2+\sqrt3)}2=\dfrac{-4i}2\) (les parties réelles \(2\sqrt3\) et \(-2\sqrt3\) s’annulent).

✅ \(\dfrac{c+d}2=-2i=z_F\) : \(F\) est le milieu de \([CD]\).

2.c) Calculer \(\dfrac{c-z_F}{a-z_F}\), l’écrire sous forme exponentielle puis en déduire que \((AF)\) est la médiatrice de \([CD]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(Z=\dfrac{c-a}{b-a}\) : \(|Z|=\dfrac{AC}{AB}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\,[2\pi]\).

🔢 Étape 1 : \(c-z_F=2\sqrt3-2i-\sqrt3 i+2i=2\sqrt3-i\sqrt3=\sqrt3(2-i)\) et \(a-z_F=1+2i\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{\sqrt3(2-i)}{1+2i}=\dfrac{\sqrt3(2-i)(1-2i)}5=\dfrac{\sqrt3(-5i)}5=-i\sqrt3=\sqrt3\,e^{-i\frac\pi2}\).

🔢 Étape 3 : L’argument \(-\dfrac\pi2\) signifie \((\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FC})\equiv-\dfrac\pi2\), donc \((FA)\perp(FC)\), c’est-à-dire \((AF)\perp(CD)\).

✅ \((AF)\) est perpendiculaire à \((CD)\) et passe par son milieu \(F\) : c’est la médiatrice de \([CD]\).

Exercice 28

Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que :

1) \(|z-1+2i|=4\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On pose \(z=x+iy\) et on traduit la condition en une équation en \(x\) et \(y\) ; ou on reconnaît \(|z-a|=r\) (cercle), \(|z-a|=|z-b|\) (médiatrice).

🔢 \(|z-(1-2i)|=4\) : la distance de \(M\) au point \(A(1-2i)\) vaut \(4\).

✅ Cercle de centre \(A(1-2i)\) et de rayon \(4\).

2) \(|z-2+i|=|\bar z+2-2i|\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On pose \(z=x+iy\) et on traduit la condition en une équation en \(x\) et \(y\) ; ou on reconnaît \(|z-a|=r\) (cercle), \(|z-a|=|z-b|\) (médiatrice).

🔢 Étape 1 : \(|\bar z+2-2i|=|\overline{z+2+2i}|=|z+2+2i|\).

🔢 Étape 2 : Donc \(|z-(2-i)|=|z-(-2-2i)|\) : \(MA=MB\) avec \(A(2-i)\), \(B(-2-2i)\).

🔢 Étape 3 : En posant \(z=x+iy\) : \((x-2)^2+(y+1)^2=(x+2)^2+(y+2)^2\iff8x+2y+3=0\).

✅ Médiatrice de \([AB]\), la droite d’équation \(8x+2y+3=0\).

3) \(|iz-2+i|=6\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On pose \(z=x+iy\) et on traduit la condition en une équation en \(x\) et \(y\) ; ou on reconnaît \(|z-a|=r\) (cercle), \(|z-a|=|z-b|\) (médiatrice).

🔢 Étape 1 : \(iz-2+i=i(z+1+2i)\) (car \(i\times2i=-2\) et \(i\times1=i\)).

🔢 Étape 2 : \(|i|\,|z+1+2i|=6\iff|z-(-1-2i)|=6\).

✅ Cercle de centre \(\Omega(-1-2i)\) et de rayon \(6\).

4) \(|\bar z-1+2i|=|z-3-i|\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On pose \(z=x+iy\) et on traduit la condition en une équation en \(x\) et \(y\) ; ou on reconnaît \(|z-a|=r\) (cercle), \(|z-a|=|z-b|\) (médiatrice).

🔢 Étape 1 : \(|\bar z-1+2i|=|\overline{z-1-2i}|=|z-1-2i|\).

🔢 Étape 2 : Donc \(MA=MB\) avec \(A(1+2i)\), \(B(3+i)\).

🔢 Étape 3 : \((x-1)^2+(y-2)^2=(x-3)^2+(y-1)^2\iff4x-2y-5=0\).

✅ Médiatrice de \([AB]\), la droite d’équation \(4x-2y-5=0\).

5) \(z\bar z+i(z-\bar z)=-1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On pose \(z=x+iy\) et on traduit la condition en une équation en \(x\) et \(y\) ; ou on reconnaît \(|z-a|=r\) (cercle), \(|z-a|=|z-b|\) (médiatrice).

🔢 Étape 1 : \(z\bar z=x^2+y^2\) et \(z-\bar z=2iy\), donc \(i(z-\bar z)=-2y\).

🔢 Étape 2 : L’équation devient \(x^2+y^2-2y+1=0\iff x^2+(y-1)^2=0\).

✅ L’ensemble est réduit au point \(A(i)\).

6) \(\arg z\equiv\dfrac\pi4\,[\pi]\).

Correction détaillée

🔢 \(\arg z\equiv\dfrac\pi4\,[\pi]\) signifie que \(\dfrac{z}{1+i}\in\mathbb R^*\), c’est-à-dire \(y=x\) avec \(z\neq0\).

✅ La droite d’équation \(y=x\) privée de l’origine \(O\).

Exercice 29

2.a) On pose \(a=2i\), \(b=-\sqrt3+i\), \(c=-\sqrt3-i\) et \(Z=\dfrac{a-b}{c-b}\). Interpréter géométriquement \(|Z|\) et \(\arg Z\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(Z=\dfrac{c-a}{b-a}\) : \(|Z|=\dfrac{AC}{AB}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\,[2\pi]\).

🔢 D’après le cours, \(|Z|=\dfrac{BA}{BC}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})\,[2\pi]\).

✅ \(|Z|=\dfrac{BA}{BC}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})\,[2\pi]\).

2.b) Écrire \(Z\) sous forme algébrique puis trigonométrique.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(a-b=\sqrt3+i\) et \(c-b=-2i\).

🔢 Étape 2 : \(Z=\dfrac{\sqrt3+i}{-2i}=\dfrac{(\sqrt3+i)\,i}2=\dfrac{-1+i\sqrt3}2\).

🔢 Étape 3 : \(Z=\cos\dfrac{2\pi}3+i\sin\dfrac{2\pi}3\).

✅ \(Z=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i=\cos\dfrac{2\pi}3+i\sin\dfrac{2\pi}3\).

2.c) Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(|Z|=1\) donc \(BA=BC\).

🔢 Étape 2 : L’angle en \(B\) mesure \(\dfrac{2\pi}3\).

✅ \(ABC\) est isocèle en \(B\), avec un angle de \(120^\circ\) en \(B\).

2.d) Donner une mesure de l’angle \((\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})\).

Correction détaillée

🔢 C’est \(\arg Z\).

✅ \((\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})\equiv\dfrac{2\pi}3\,[2\pi]\).

Exercice 30

Soit \(f\) l’application d’écriture complexe \(z’=4z+6-3i\). Déterminer l’unique point invariant de \(f\), puis la nature et les éléments caractéristiques de \(f\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Écriture \(z’=az+b\), \(a\in\mathbb R\setminus\{1\}\) : homothétie de rapport \(a\) ; le centre est l’unique solution de \(\omega=a\omega+b\).

🔢 Étape 1 : Point invariant : \(z=4z+6-3i\iff-3z=6-3i\iff z=-2+i\).

🔢 Étape 2 : Le coefficient de \(z\) est \(4\in\mathbb R\setminus\{1\}\) : \(f\) est une homothétie de rapport \(4\).

✅ \(f\) est l’homothétie de centre \(\Omega(-2+i)\) et de rapport \(4\).

Exercice 31

1.b) On pose \(a=2\), \(b=1+i\sqrt3\), \(c=1-i\sqrt3\). Montrer que \(A\), \(B\), \(C\) appartiennent à un même cercle \((\Gamma)\) de centre \(O\).

Correction détaillée

🔢 \(|a|=2\), \(|b|=\sqrt{1+3}=2\), \(|c|=2\).

✅ \(OA=OB=OC=2\) : \(A\), \(B\), \(C\) appartiennent au cercle \((\Gamma)\) de centre \(O\) et de rayon \(2\).

2) Déterminer un argument de \(b\), en déduire une mesure de \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\) et la nature du triangle \(OAB\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(b=2\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\right)=2e^{i\frac\pi3}\), donc \(\arg b\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\).

🔢 Étape 2 : \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\equiv\arg\dfrac ba=\arg\left(e^{i\frac\pi3}\right)\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\).

🔢 Étape 3 : \(OA=OB=2\) et l’angle au sommet \(O\) vaut \(\dfrac\pi3\).

✅ \(OAB\) est un triangle équilatéral.

Exercice 32

Soit \(m\) un nombre complexe de module \(2\). On pose \(a=1+i+m\) et \(b=1-i+m\).

1) Pour quelles valeurs de \(m\) les nombres \(a\) et \(b\) sont-ils conjugués ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\bar a=1-i+\bar m\). \(\bar a=b\iff\bar m=m\iff m\in\mathbb R\).

🔢 Étape 2 : Avec \(|m|=2\) : \(m=2\) ou \(m=-2\).

✅ \(m=2\) ou \(m=-2\).

2) Pour quelles valeurs de \(m\) les nombres \(a\) et \(b\) ont-ils le même module ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On pose \(m=x+iy\) : \(|a|^2=(x+1)^2+(y+1)^2\) et \(|b|^2=(x+1)^2+(y-1)^2\).

🔢 Étape 2 : \(|a|=|b|\iff(y+1)^2=(y-1)^2\iff4y=0\iff y=0\).

✅ \(m\) réel de module \(2\) : \(m=2\) ou \(m=-2\).

3) Pour quelles valeurs de \(m\) a-t-on \(a+ib=0\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(a+ib=1+i+m+i(1-i+m)=2+2i+(1+i)m=(1+i)(2+m)\).

🔢 Étape 2 : \(a+ib=0\iff m=-2\), et \(|-2|=2\) convient.

✅ \(m=-2\).

Exercice 33

1.a) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-4z+8=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=16-32=-16\), \(\sqrt{-\Delta}=4\).

✅ \(S=\{2-2i,\ 2+2i\}\).

1.b) Écrire les solutions sous forme trigonométrique.

Correction détaillée

🔢 \(|2\pm2i|=2\sqrt2\) et \(2+2i=2\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)\).

✅ \(2+2i=2\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)\) et \(2-2i=2\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4-i\sin\dfrac\pi4\right)\).

2.b) On pose \(A(2-2i)\) et \(B(2+2i)\). Quelle est la nature du triangle \(OAB\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(Z=\dfrac{c-a}{b-a}\) : \(|Z|=\dfrac{AC}{AB}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\,[2\pi]\).

🔢 Étape 1 : \(OA=OB=2\sqrt2\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac ba=\dfrac{2+2i}{2-2i}=\dfrac{(1+i)^2}{2}=i\), donc \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\equiv\dfrac\pi2\,[2\pi]\).

✅ \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\).

3.a) Soit \(C\) d’affixe \(z_C=(2-2i)e^{i\frac\pi3}\). Écrire \(z_C\) sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Forme algébrique : \(z_C=(2-2i)\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\right)=1+i\sqrt3-i+\sqrt3=(1+\sqrt3)+i(\sqrt3-1)\).

🔢 Étape 2 : Forme trigonométrique : \(2-2i=2\sqrt2\,e^{-i\frac\pi4}\), donc \(z_C=2\sqrt2\,e^{i\left(\frac\pi3-\frac\pi4\right)}=2\sqrt2\,e^{i\frac\pi{12}}\).

✅ \(z_C=(1+\sqrt3)+i(\sqrt3-1)=2\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi{12}+i\sin\dfrac\pi{12}\right)\).

3.b) En déduire \(\cos\dfrac\pi{12}\) et \(\sin\dfrac\pi{12}\).

Correction détaillée

🔢 On identifie : \(2\sqrt2\cos\dfrac\pi{12}=1+\sqrt3\) et \(2\sqrt2\sin\dfrac\pi{12}=\sqrt3-1\).

✅ \(\cos\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\) et \(\sin\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

4.a) Comparer \(OA\) et \(OC\) et donner une mesure de \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(Z=\dfrac{c-a}{b-a}\) : \(|Z|=\dfrac{AC}{AB}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\,[2\pi]\).

🔢 \(\dfrac{z_C}{z_A}=e^{i\frac\pi3}\), donc \(\dfrac{OC}{OA}=1\) et \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\).

✅ \(OC=OA\) et \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\).

4.b) Quelle est la nature exacte du triangle \(OAC\) ?

Correction détaillée

🔢 Triangle isocèle en \(O\) dont l’angle au sommet vaut \(\dfrac\pi3\).

✅ \(OAC\) est équilatéral.

Exercice 34

(Bac 2015, session normale)

1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2+10z+26=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=100-104=-4\), \(\sqrt{-\Delta}=2\).

✅ \(S=\{-5-i,\ -5+i\}\).

2.a) On pose \(A(-2+2i)\), \(B(-5+i)\), \(C(-5-i)\), \(\Omega(-3)\). Montrer que \(\dfrac{b-\omega}{a-\omega}=i\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(b-\omega=-2+i\) et \(a-\omega=1+2i\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{-2+i}{1+2i}=\dfrac{(-2+i)(1-2i)}5=\dfrac{-2+4i+i+2}5=i\).

✅ \(\dfrac{b-\omega}{a-\omega}=i\).

2.b) En déduire la nature du triangle \(\Omega AB\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(Z=\dfrac{c-a}{b-a}\) : \(|Z|=\dfrac{AC}{AB}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\,[2\pi]\).

🔢 \(|i|=1\) donc \(\Omega B=\Omega A\) ; \(\arg i=\dfrac\pi2\) donc \((\overrightarrow{\Omega A},\overrightarrow{\Omega B})\equiv\dfrac\pi2\,[2\pi]\).

✅ \(\Omega AB\) est rectangle isocèle en \(\Omega\).

3.a) Soit \(D\) l’image de \(C\) par la translation de vecteur \(\vec u\) d’affixe \(6+4i\). Montrer que \(z_D=1+3i\).

Correction détaillée

🔢 \(z_D=z_C+6+4i=-5-i+6+4i\).

✅ \(z_D=1+3i\).

3.b) Montrer que \(\dfrac{b-d}{a-d}=2\). En déduire que \(A\) est le milieu de \([BD]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(b-d=-6-2i\) et \(a-d=-3-i\), donc \(\dfrac{b-d}{a-d}=2\).

🔢 Étape 2 : Ainsi \(b-d=2(a-d)\), c’est-à-dire \(a=\dfrac{b+d}2\).

✅ \(\dfrac{b-d}{a-d}=2\) et \(A\) est le milieu de \([BD]\).

Exercice 35

1.a) Linéariser \(\cos^4x\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formules d’Euler : \(\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2\), puis binôme de Newton et \(e^{ikx}+e^{-ikx}=2\cos kx\).

🔢 \(\cos^4x=\dfrac{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^4}{16}=\dfrac{2\cos4x+8\cos2x+6}{16}\).

✅ \(\cos^4x=\dfrac18\cos4x+\dfrac12\cos2x+\dfrac38\).

1.b) Linéariser \(\cos^4x\sin^2x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\cos^4x\sin^2x=\cos^4x-\cos^6x\).

🔢 Étape 2 : \(\cos^6x=\dfrac{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^6}{64}=\dfrac{2\cos6x+12\cos4x+30\cos2x+20}{64}=\dfrac1{32}\cos6x+\dfrac3{16}\cos4x+\dfrac{15}{32}\cos2x+\dfrac5{16}\).

🔢 Étape 3 : On soustrait à la linéarisation de \(\cos^4x\) : coefficient de \(\cos4x\) : \(\dfrac18-\dfrac3{16}=-\dfrac1{16}\) ; de \(\cos2x\) : \(\dfrac12-\dfrac{15}{32}=\dfrac1{32}\) ; constante : \(\dfrac38-\dfrac5{16}=\dfrac1{16}\).

✅ \(\cos^4x\sin^2x=-\dfrac1{32}\cos6x-\dfrac1{16}\cos4x+\dfrac1{32}\cos2x+\dfrac1{16}\).

2.a) Calculer \(I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos^4x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\left(\dfrac18\cos4x+\dfrac12\cos2x+\dfrac38\right)dx=\left[\dfrac{\sin4x}{32}+\dfrac{\sin2x}4+\dfrac{3x}8\right]_0^{\frac\pi2}\).

🔢 Étape 2 : \(\sin2\pi=\sin\pi=0\).

✅ \(I=\dfrac{3\pi}{16}\).

2.b) Calculer \(J=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos^4x\sin^2x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(J=\left[-\dfrac{\sin6x}{192}-\dfrac{\sin4x}{64}+\dfrac{\sin2x}{64}+\dfrac x{16}\right]_0^{\frac\pi2}\).

🔢 Étape 2 : \(\sin3\pi=\sin2\pi=\sin\pi=0\), il reste \(\dfrac1{16}\times\dfrac\pi2\).

✅ \(J=\dfrac\pi{32}\).

Exercice 36

1) Soit \(z=e^{i\theta}\) avec \(\theta\in]0,\pi[\) et \(Z=\dfrac{iz(z-1)}{z+1}\). Donner la forme exponentielle de \(z+1\), \(z-1\) et \(Z\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Factoriser par l’« arc moyen » : \(e^{i\theta}\pm1=e^{i\frac\theta2}\left(e^{i\frac\theta2}\pm e^{-i\frac\theta2}\right)\).

🔢 Étape 1 : \(z+1=e^{i\frac\theta2}\left(e^{i\frac\theta2}+e^{-i\frac\theta2}\right)=2\cos\dfrac\theta2\,e^{i\frac\theta2}\), avec \(\cos\dfrac\theta2>0\) car \(\dfrac\theta2\in\left]0,\dfrac\pi2\right[\).

🔢 Étape 2 : \(z-1=e^{i\frac\theta2}\left(e^{i\frac\theta2}-e^{-i\frac\theta2}\right)=2i\sin\dfrac\theta2\,e^{i\frac\theta2}=2\sin\dfrac\theta2\,e^{i\left(\frac\theta2+\frac\pi2\right)}\), avec \(\sin\dfrac\theta2>0\).

🔢 Étape 3 : \(Z=i\,e^{i\theta}\times\dfrac{2i\sin\frac\theta2\,e^{i\frac\theta2}}{2\cos\frac\theta2\,e^{i\frac\theta2}}=i^2\tan\dfrac\theta2\,e^{i\theta}=-\tan\dfrac\theta2\,e^{i\theta}\).

🔢 Étape 4 : Comme \(\tan\dfrac\theta2>0\) : \(Z=\tan\dfrac\theta2\,e^{i(\theta+\pi)}\).

✅ \(z+1=2\cos\dfrac\theta2\,e^{i\frac\theta2}\), \(z-1=2\sin\dfrac\theta2\,e^{i\left(\frac\theta2+\frac\pi2\right)}\), \(Z=\tan\dfrac\theta2\,e^{i(\theta+\pi)}\).

2) En déduire \(\operatorname{Re}(Z)\) et \(\operatorname{Im}(Z)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(Z=-\tan\dfrac\theta2\,(\cos\theta+i\sin\theta)\).

🔢 Étape 2 : \(\operatorname{Im}(Z)=-\tan\dfrac\theta2\sin\theta=-\dfrac{\sin\frac\theta2}{\cos\frac\theta2}\times2\sin\dfrac\theta2\cos\dfrac\theta2=-2\sin^2\dfrac\theta2=\cos\theta-1\).

✅ \(\operatorname{Re}(Z)=-\tan\dfrac\theta2\cos\theta\) et \(\operatorname{Im}(Z)=-2\sin^2\dfrac\theta2=\cos\theta-1\).

Exercice 37

a) Soit \(Z=\dfrac{z-(4+2i)}{z+2i}\) pour \(z\neq-2i\). Écrire \(Z\) sous forme cartésienne.

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé parle de « forme cartésienne de \(z’\) » ; l’expression écrite est celle de \(Z\) (lue ainsi).

📘 Méthode : Pour mettre un quotient sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : \(\dfrac1{x+iy}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}\).

🔢 Étape 1 : Avec \(z=x+iy\) : \(Z=\dfrac{(x-4)+i(y-2)}{x+i(y+2)}=\dfrac{\left[(x-4)+i(y-2)\right]\left[x-i(y+2)\right]}{x^2+(y+2)^2}\).

🔢 Étape 2 : Partie réelle du numérateur : \(x(x-4)+(y-2)(y+2)=x^2+y^2-4x-4\).

🔢 Étape 3 : Partie imaginaire : \(-(x-4)(y+2)+x(y-2)=-4x+4y+8\).

✅ \(Z=\dfrac{x^2+y^2-4x-4}{x^2+(y+2)^2}+i\,\dfrac{4(y-x+2)}{x^2+(y+2)^2}\).

b) Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(Z\) soit réel.

Correction détaillée

🔢 \(Z\in\mathbb R\iff\operatorname{Im}Z=0\iff y=x-2\).

✅ La droite d’équation \(y=x-2\) (la droite \((AB)\) avec \(A(4+2i)\), \(B(-2i)\)), privée du point \(B(-2i)\).

c) Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(Z\) soit imaginaire pur.

Correction détaillée

🔢 \(Z\in i\mathbb R\iff\operatorname{Re}Z=0\iff x^2+y^2-4x-4=0\iff(x-2)^2+y^2=8\).

✅ Le cercle de centre \(I(2)\) et de rayon \(2\sqrt2\) (cercle de diamètre \([AB]\)), privé du point \(B(-2i)\).

d) Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|Z|=1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On pose \(z=x+iy\) et on traduit la condition en une équation en \(x\) et \(y\) ; ou on reconnaît \(|z-a|=r\) (cercle), \(|z-a|=|z-b|\) (médiatrice).

🔢 Étape 1 : \(|Z|=1\iff|z-(4+2i)|=|z+2i|\iff MA=MB\).

🔢 Étape 2 : \((x-4)^2+(y-2)^2=x^2+(y+2)^2\iff-8x-8y+16=0\iff x+y=2\).

✅ La médiatrice de \([AB]\), droite d’équation \(x+y=2\).

Exercice 38

(Bac 2014, session normale)

1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-z\sqrt2+2=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=2-8=-6\), \(\sqrt{-\Delta}=\sqrt6\).

✅ \(S=\left\{\dfrac{\sqrt2-i\sqrt6}2,\ \dfrac{\sqrt2+i\sqrt6}2\right\}\).

2.a) On pose \(u=\dfrac{\sqrt2}2+\dfrac{\sqrt6}2i\). Montrer que \(|u|=\sqrt2\) et \(\arg u\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(|u|=\sqrt{\dfrac24+\dfrac64}=\sqrt2\).

🔢 Étape 2 : \(u=\sqrt2\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\right)=\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3\right)\).

✅ \(|u|=\sqrt2\) et \(\arg u\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\).

2.b) Montrer que \(u^6\) est un nombre réel.

Correction détaillée

🔢 \(u^6=\left(\sqrt2\right)^6e^{6i\frac\pi3}=8e^{2i\pi}\).

✅ \(u^6=8\in\mathbb R\).

3.a) Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac\pi3\). Déterminer l’écriture complexe de \(R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 Centre \(O\) : \(z’=e^{i\frac\pi3}z\).

✅ \(z’=\left(\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\right)z\).

3.b) On pose \(A\left(4-4i\sqrt3\right)\) et \(B(8)\). Montrer que \(B\) est l’image de \(A\) par \(R\) et que le triangle \(OAB\) est équilatéral.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(e^{i\frac\pi3}z_A=\dfrac{1+i\sqrt3}2\times4\left(1-i\sqrt3\right)=2\left(1+3\right)=8\).

🔢 Étape 2 : Donc \(R(A)=B\) : \(OA=OB\) (\(=8\)) et \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\).

✅ \(R(A)=B\) et \(OAB\) est équilatéral (isocèle en \(O\) avec un angle de \(\dfrac\pi3\)).

Exercice 39

(Bac 2014, session de rattrapage)

1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-4z+5=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=16-20=-4\), \(\sqrt{-\Delta}=2\).

✅ \(S=\{2-i,\ 2+i\}\).

2.a) On pose \(A(2+i)\), \(B(2-i)\), \(C(i)\), \(D(-i)\) et \(\Omega(1)\). Montrer que \(\dfrac{a-\omega}{b-\omega}=i\).

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan, le point \(A\) est partiellement masqué par le curseur ; il est lu \(A(2+i)\), seule valeur donnant \(\frac{a-\omega}{b-\omega}=i\).

🔢 \(\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)^2}{2}=\dfrac{2i}2\).

✅ \(\dfrac{a-\omega}{b-\omega}=i\).

2.b) En déduire que le triangle \(\Omega AB\) est rectangle isocèle en \(\Omega\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(Z=\dfrac{c-a}{b-a}\) : \(|Z|=\dfrac{AC}{AB}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\,[2\pi]\).

🔢 \(\left|\dfrac{a-\omega}{b-\omega}\right|=1\) donc \(\Omega A=\Omega B\) ; \(\arg\dfrac{a-\omega}{b-\omega}\equiv\dfrac\pi2\,[2\pi]\) donc \((\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega A})\equiv\dfrac\pi2\,[2\pi]\).

✅ \(\Omega AB\) est rectangle isocèle en \(\Omega\).

3.a) Soit \(R\) la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\dfrac\pi2\). Montrer que son écriture complexe est \(z’=iz+1-i\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(z’-1=i(z-1)\), donc \(z’=iz-i+1\).

✅ \(z’=iz+1-i\).

3.b) Montrer que \(R(A)=C\) et \(R(D)=B\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(R(A)\) : \(i(2+i)+1-i=2i-1+1-i=i=z_C\).

🔢 Étape 2 : \(R(D)\) : \(i(-i)+1-i=1+1-i=2-i=z_B\).

✅ \(R(A)=C\) et \(R(D)=B\).

3.c) En déduire que \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Une rotation de centre \(\Omega\) conserve la distance à \(\Omega\) : \(\Omega C=\Omega A\) et \(\Omega B=\Omega D\).

🔢 Étape 2 : Avec \(\Omega A=\Omega B\) (question 2.b), on a \(\Omega A=\Omega B=\Omega C=\Omega D=\sqrt2\).

✅ Les quatre points appartiennent au cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(\sqrt2\).

Exercice 40

(Bac 2015, session normale)

i.1) On pose \(a=2+\sqrt2+i\sqrt2\). Montrer que \(|a|=2\sqrt{2+\sqrt2}\).

Correction détaillée

🔢 \(|a|^2=\left(2+\sqrt2\right)^2+2=4+4\sqrt2+2+2=8+4\sqrt2=4\left(2+\sqrt2\right)\).

✅ \(|a|=2\sqrt{2+\sqrt2}\).

i.2) Vérifier que \(a=2\left(1+\cos\dfrac\pi4\right)+2i\sin\dfrac\pi4\).

Correction détaillée

🔢 \(2\left(1+\dfrac{\sqrt2}2\right)=2+\sqrt2\) et \(2\times\dfrac{\sqrt2}2=\sqrt2\).

✅ \(a=2\left(1+\cos\dfrac\pi4\right)+2i\sin\dfrac\pi4\).

i.3.a) Montrer que \(1+\cos2\theta=2\cos^2\theta\).

Correction détaillée

🔢 \(\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\).

✅ \(1+\cos2\theta=2\cos^2\theta\).

i.3.b) En déduire que \(a=4\cos^2\dfrac\pi8+4i\cos\dfrac\pi8\sin\dfrac\pi8\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Avec \(\theta=\dfrac\pi8\) : \(2\left(1+\cos\dfrac\pi4\right)=4\cos^2\dfrac\pi8\).

🔢 Étape 2 : Et \(2\sin\dfrac\pi4=2\times2\sin\dfrac\pi8\cos\dfrac\pi8\).

✅ \(a=4\cos^2\dfrac\pi8+4i\cos\dfrac\pi8\sin\dfrac\pi8\).

i.3.c) En déduire la forme trigonométrique de \(a\), puis que \(a^4=\left(2\sqrt{2+\sqrt2}\right)^4i\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On factorise : \(a=4\cos\dfrac\pi8\left(\cos\dfrac\pi8+i\sin\dfrac\pi8\right)\) avec \(4\cos\dfrac\pi8>0\).

🔢 Étape 2 : Donc \(|a|=4\cos\dfrac\pi8=2\sqrt{2+\sqrt2}\) et \(\arg a\equiv\dfrac\pi8\,[2\pi]\).

🔢 Étape 3 : \(a^4=|a|^4e^{i\frac{4\pi}8}=\left(2\sqrt{2+\sqrt2}\right)^4e^{i\frac\pi2}\).

✅ \(a=4\cos\dfrac\pi8\left(\cos\dfrac\pi8+i\sin\dfrac\pi8\right)\) et \(a^4=\left(2\sqrt{2+\sqrt2}\right)^4\,i\).

ii.1) Soit \(\Omega(\sqrt2)\) et \(R\) la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\dfrac\pi2\). Montrer que l’affixe de \(B\), image de \(A(a)\) par \(R\), est \(2i\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 Étape 1 : \(a-\omega=2+i\sqrt2\).

🔢 Étape 2 : \(b-\omega=i(a-\omega)=2i-\sqrt2\), donc \(b=\sqrt2+2i-\sqrt2\).

✅ \(b=2i\).

ii.2) Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z-2i|=2\).

Correction détaillée

🔢 \(|z-b|=2\) avec \(b=2i\) : \(BM=2\).

✅ Le cercle de centre \(B(2i)\) et de rayon \(2\).

Exercice 41

(Bac 2015, session de rattrapage)

1.a) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-8z+32=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=64-128=-64\), \(\sqrt{-\Delta}=8\).

✅ \(S=\{4-4i,\ 4+4i\}\).

1.b) Écrire \(a=4+4i\) sous forme trigonométrique et en déduire \(a^{16}\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé annonce un réel négatif ; avec \(a=4+4i\), \(a^{16}=2^{40}>0\) (l’angle \(16\times\frac\pi4=4\pi\)). C’est un réel, mais positif.

🔢 Étape 1 : \(|a|=4\sqrt2\) et \(a=4\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)\).

🔢 Étape 2 : \(a^{16}=\left(4\sqrt2\right)^{16}e^{i\,4\pi}=2^{40}\).

✅ \(a=4\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)\) et \(a^{16}=2^{40}\), nombre réel.

2.a) On pose \(A(4+4i)\), \(B(2+3i)\), \(C(3+4i)\). Soit \(R\) la rotation de centre \(C\) et d’angle \(\dfrac\pi2\). Montrer que son écriture complexe est \(z’=iz+7+i\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 Étape 1 : \(z’-c=i(z-c)\Rightarrow z’=iz+c(1-i)\).

🔢 Étape 2 : \((3+4i)(1-i)=3-3i+4i+4=7+i\).

✅ \(z’=iz+7+i\).

2.b) Soit \(D\) l’image de \(A\) par \(R\). Montrer que \(z_D=3+5i\).

Correction détaillée

🔢 \(z_D=i(4+4i)+7+i=4i-4+7+i\).

✅ \(z_D=3+5i\).

2.c) Montrer que l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z-3-5i|=|z-4-4i|\) est la droite \((BC)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : La condition s’écrit \(MD=MA\) : c’est la médiatrice de \([AD]\).

🔢 Étape 2 : \(CA=|4+4i-3-4i|=1\) et \(CD=|3+5i-3-4i|=1\) : \(C\) est sur la médiatrice.

🔢 Étape 3 : \(BA=|2+i|=\sqrt5\) et \(BD=|1+2i|=\sqrt5\) : \(B\) est sur la médiatrice.

🔢 Étape 4 : \(B\neq C\), donc la médiatrice de \([AD]\) est la droite \((BC)\).

✅ L’ensemble est la droite \((BC)\).

Exercice 42

(Bac 2016, session de rattrapage)

1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-8z+41=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=64-164=-100\), \(\sqrt{-\Delta}=10\).

✅ \(S=\{4-5i,\ 4+5i\}\).

2.a) On pose \(A(4+5i)\), \(B(3+4i)\), \(C(6+7i)\), \(\Omega(4+7i)\). Calculer \(\dfrac{c-b}{a-b}\) et en déduire que \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

Correction détaillée

📘 Méthode : Trois points \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si \(\dfrac{c-b}{a-b}\in\mathbb R\).

🔢 \(c-b=3+3i\) et \(a-b=1+i\), donc \(\dfrac{c-b}{a-b}=3\).

✅ Le quotient est réel : \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

2.b) Soit \(R\) la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(-\dfrac\pi2\). Montrer que son écriture complexe est \(z’=-iz-3+11i\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 Étape 1 : \(z’-\omega=-i(z-\omega)\Rightarrow z’=-iz+\omega(1+i)\).

🔢 Étape 2 : \((4+7i)(1+i)=4+4i+7i-7=-3+11i\).

✅ \(z’=-iz-3+11i\).

2.c) Déterminer l’image de \(C\) par \(R\), puis la forme trigonométrique de \(\dfrac{a-\omega}{c-\omega}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(z_{C’}=-i(6+7i)-3+11i=-6i+7-3+11i=4+5i=a\).

🔢 Étape 2 : Donc \(a-\omega=-i(c-\omega)\) et \(\dfrac{a-\omega}{c-\omega}=-i\).

✅ \(R(C)=A\) et \(\dfrac{a-\omega}{c-\omega}=-i=\cos\left(-\dfrac\pi2\right)+i\sin\left(-\dfrac\pi2\right)\).

Exercice 43

(Bac 2017, session normale)

1.a) On pose \(a=\sqrt3+i\) et \(b=\sqrt3-1+\left(\sqrt3+1\right)i\). Montrer que \(b=(1+i)a\).

Correction détaillée

🔢 \((1+i)\left(\sqrt3+i\right)=\sqrt3+i+i\sqrt3-1\).

✅ \(b=(1+i)a\).

1.b) Montrer que \(|b|=2\sqrt2\) et \(\arg b\equiv\dfrac{5\pi}{12}\,[2\pi]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(|a|=2\), \(\arg a\equiv\dfrac\pi6\), \(|1+i|=\sqrt2\), \(\arg(1+i)\equiv\dfrac\pi4\).

🔢 Étape 2 : \(|b|=\sqrt2\times2\) et \(\arg b\equiv\dfrac\pi4+\dfrac\pi6=\dfrac{5\pi}{12}\,[2\pi]\).

✅ \(|b|=2\sqrt2\) et \(\arg b\equiv\dfrac{5\pi}{12}\,[2\pi]\).

1.c) En déduire que \(\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\operatorname{Re}(b)=|b|\cos\dfrac{5\pi}{12}\), soit \(\sqrt3-1=2\sqrt2\cos\dfrac{5\pi}{12}\).

🔢 Étape 2 : \(\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2(\sqrt3-1)}4\).

✅ \(\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

2.a) Soit \(A(a)\), \(B(b)\), \(C(c)\) avec \(c=-1+i\sqrt3\). Montrer que \(c=ia\), puis que \(OA=OC\) et \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})\equiv\dfrac\pi2\,[2\pi]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(Z=\dfrac{c-a}{b-a}\) : \(|Z|=\dfrac{AC}{AB}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\,[2\pi]\).

🔢 Étape 1 : \(ia=i\sqrt3-1=c\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac ca=i\) : \(|i|=1\) donc \(OC=OA\), et \(\arg i\equiv\dfrac\pi2\).

✅ \(c=ia\), \(OA=OC\) et \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})\equiv\dfrac\pi2\,[2\pi]\).

2.b) Montrer que \(B\) est l’image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{OC}\).

Correction détaillée

🔢 \(a+c=\sqrt3+i-1+i\sqrt3=\sqrt3-1+(\sqrt3+1)i=b\).

✅ \(b=a+c\) : \(B\) est l’image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{OC}\).

2.c) Montrer que \(OABC\) est un carré.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(b=a+c\) donc \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\) : \(OABC\) est un parallélogramme.

🔢 Étape 2 : Il a deux côtés consécutifs égaux (\(OA=OC\)) et perpendiculaires.

✅ \(OABC\) est un carré.

Exercice 44

(Bac 2017, session de rattrapage)

1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2+4z+8=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=16-32=-16\), \(\sqrt{-\Delta}=4\).

✅ \(S=\{-2-2i,\ -2+2i\}\).

2.a) On pose \(A(-2+2i)\), \(B(4-4i)\), \(C(4+8i)\). Soit \(R\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(-\dfrac\pi2\). Montrer que \(z’=-iz-4\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 Étape 1 : \(z’-a=-i(z-a)\Rightarrow z’=-iz+a(1+i)\).

🔢 Étape 2 : \((-2+2i)(1+i)=-2-2i+2i-2=-4\).

✅ \(z’=-iz-4\).

2.b) Montrer que \(B\) est l’image de \(C\) par \(R\). En déduire la nature du triangle \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(-i(4+8i)-4=-4i+8-4=4-4i=z_B\).

🔢 Étape 2 : Donc \(AB=AC\) et \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})\equiv-\dfrac\pi2\,[2\pi]\).

✅ \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).

3.a) Soit \(\omega\) l’affixe du milieu de \([BC]\). Montrer que \(|c-\omega|=6\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\omega=\dfrac{4-4i+4+8i}2=4+2i\).

🔢 Étape 2 : \(c-\omega=4+8i-4-2i=6i\).

✅ \(|c-\omega|=6\).

3.b) Montrer que l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z-\omega|=6\) est le cercle circonscrit au triangle \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : C’est le cercle de centre \(\Omega\) (milieu de \([BC]\)) et de rayon \(6=\Omega C\).

🔢 Étape 2 : Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) : son cercle circonscrit est le cercle de diamètre \([BC]\), de centre \(\Omega\) et de rayon \(\dfrac{BC}2=\Omega C=6\).

✅ L’ensemble est le cercle circonscrit à \(ABC\).

Exercice 45

(Bac 2018, session normale)

1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(2z^2+2z+5=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=4-40=-36\), \(\sqrt{-\Delta}=6\).

✅ \(S=\left\{-\dfrac12-\dfrac32i,\ -\dfrac12+\dfrac32i\right\}\).

2.a) Écrire sous forme trigonométrique le nombre \(d=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\).

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan, le symbole « \(\sqrt{}\) » de \(d\) n’apparaît pas (« \(\frac32 i\) ») ; \(d\) est lu \(-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\), seule valeur cohérente avec l’angle \(\frac{2\pi}3\) de la rotation.

🔢 \(|d|=\sqrt{\dfrac14+\dfrac34}=1\), \(\cos\theta=-\dfrac12\), \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}2\).

✅ \(d=\cos\dfrac{2\pi}3+i\sin\dfrac{2\pi}3=e^{i\frac{2\pi}3}\).

2.b) Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{2\pi}3\), \(A\) d’affixe \(a\) (non nul) et \(B\) l’image de \(A\) par \(R\). Montrer que \(b=da\).

Correction détaillée

⚠️ Le point \(A\) est donné par une valeur de \(a\) peu lisible sur le scan (probablement la solution \(-\frac12+\frac32i\) de la question 1) ; le raisonnement ci-dessous ne dépend pas de la valeur de \(a\neq0\).

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 L’écriture complexe de \(R\) est \(z’=e^{i\frac{2\pi}3}z=dz\).

✅ \(b=da\).

3.a) Soit \(t\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{OA}\) et \(C\) l’image de \(B\) par \(t\). Montrer que \(c=b+a\), puis que \(c=a\left(\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(c=b+a\) car \(t:\ z\mapsto z+a\).

🔢 Étape 2 : \(c=da+a=a(1+d)=a\left(\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\right)\).

✅ \(c=b+a=a\left(\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\right)\).

3.b) Déterminer \(\arg\dfrac ca\) et en déduire que \(OAC\) est équilatéral.

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(Z=\dfrac{c-a}{b-a}\) : \(|Z|=\dfrac{AC}{AB}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\,[2\pi]\).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac ca=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i=\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3=e^{i\frac\pi3}\).

🔢 Étape 2 : \(\left|\dfrac ca\right|=1\) donc \(OC=OA\), et \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\).

✅ \(\arg\dfrac ca\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\) et \(OAC\) est équilatéral.

Exercice 46

(Bac 2018, session de rattrapage)

1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-2\sqrt2\,z+4=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=8-16=-8\), \(\sqrt{-\Delta}=2\sqrt2\).

✅ \(S=\left\{\sqrt2(1-i),\ \sqrt2(1+i)\right\}\).

2.a) Soit \(A\) d’affixe \(a=\sqrt2(1-i)\). Écrire \(a\) sous forme trigonométrique.

Correction détaillée

🔢 \(|a|=\sqrt2\times\sqrt2=2\) et \(a=2\left(\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2\right)\).

✅ \(a=2\left(\cos\dfrac\pi4-i\sin\dfrac\pi4\right)=2e^{-i\frac\pi4}\).

2.b) Soit \(B\) l’image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac\pi3\). Montrer que \(b=2\left(\cos\dfrac\pi{12}+i\sin\dfrac\pi{12}\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 \(b=e^{i\frac\pi3}a=2e^{i\left(\frac\pi3-\frac\pi4\right)}=2e^{i\frac\pi{12}}\).

✅ \(b=2\left(\cos\dfrac\pi{12}+i\sin\dfrac\pi{12}\right)\).

3.a) Soit \(C(c)\) avec \(c=1+i\). Montrer que \(b^2-c^2=2\sqrt3\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan numérote cette question « 2) » alors que la question 2 existe déjà ; elle est renumérotée 3).

🔢 Étape 1 : \(b^2=4e^{i\frac\pi6}=4\left(\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac i2\right)=2\sqrt3+2i\).

🔢 Étape 2 : \(c^2=(1+i)^2=2i\).

✅ \(b^2-c^2=2\sqrt3\).

3.b) Soit \(t\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{OC}\) et \(D\) l’image de \(B\) par \(t\). Montrer que \(OD=|b+c|\).

Correction détaillée

🔢 \(d=b+c\), donc \(OD=|d|\).

✅ \(OD=|b+c|\).

3.c) Montrer que \(OD\times BC=2\sqrt3\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(BC=|c-b|\).

🔢 Étape 2 : \(OD\times BC=|b+c|\,|c-b|=|(c+b)(c-b)|=|c^2-b^2|=2\sqrt3\).

✅ \(OD\times BC=2\sqrt3\).

Exercice 47

(Bac 2019, session de rattrapage)

1.a) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-3z+3=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(az^2+bz+c=0\) : \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta<0\), \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 \(\Delta=9-12=-3\), \(\sqrt{-\Delta}=\sqrt3\).

✅ \(S=\left\{\dfrac{3-i\sqrt3}2,\ \dfrac{3+i\sqrt3}2\right\}\).

1.b) Écrire \(a=\dfrac32+\dfrac{\sqrt3}2i\) sous forme trigonométrique.

Correction détaillée

🔢 \(|a|=\sqrt{\dfrac94+\dfrac34}=\sqrt3\) et \(a=\sqrt3\left(\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\right)\).

✅ \(a=\sqrt3\left(\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\right)\).

2) Soit \(b=\dfrac{\sqrt2}2(1+i)\). Montrer que \(b^2=i\).

Correction détaillée

🔢 \(b^2=\dfrac12(1+i)^2=\dfrac12\times2i\).

✅ \(b^2=i\).

3) Soit \(h=\cos\dfrac\pi{12}+i\sin\dfrac\pi{12}\). Montrer que \(h^4+1=a\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formule de Moivre : \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\).

🔢 Étape 1 : Moivre : \(h^4=\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\).

🔢 Étape 2 : \(h^4+1=\dfrac32+\dfrac{\sqrt3}2i\).

✅ \(h^4+1=a\).

4.a) Soit \(B(b)\) et \(C\) l’image de \(B\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac\pi2\). Montrer que \(c=ib\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) : \(z’-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).

🔢 Rotation de centre \(O\), d’angle \(\dfrac\pi2\) : \(z’=iz\).

✅ \(c=ib\).

4.b) Quelle est la nature du triangle \(OBC\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(Z=\dfrac{c-a}{b-a}\) : \(|Z|=\dfrac{AC}{AB}\) et \(\arg Z\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\,[2\pi]\).

🔢 \(\dfrac cb=i\) : \(OC=OB\) et \((\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})\equiv\dfrac\pi2\,[2\pi]\).

✅ \(OBC\) est rectangle isocèle en \(O\).