Cette série de fonctions logarithmiques 2ème Bac (PC et SVT) rassemble des exercices de synthèse : propriétés de ln, équations et inéquations, limites, dérivées, branches infinies et tableaux de variation. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.
Exercices corrigés de fonctions logarithmiques 2ème Bac
Fonctions logarithmiques · Série de synthèse 2ème Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
On pose \(\ln2\approx0{,}7\) et \(\ln3\approx1{,}1\). Calculer :
1) \(\ln6\) ; \(\ln4\) ; \(\ln8\) ; \(\ln72\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln6=\ln2+\ln3\approx0{,}7+1{,}1\) ; \(\ln4=2\ln2\) ; \(\ln8=3\ln2\) ; \(\ln72=\ln\left(2^3\times3^2\right)=3\ln2+2\ln3\).
✅ \(\ln6\approx1{,}8\) ; \(\ln4\approx1{,}4\) ; \(\ln8\approx2{,}1\) ; \(\ln72\approx4{,}3\).
2) \(\ln\dfrac12\) ; \(\ln\dfrac32\) ; \(\ln\sqrt2\) ; \(\ln\sqrt6\) ; \(\ln\left(3\sqrt2\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln\frac12=-\ln2\) ; \(\ln\frac32=\ln3-\ln2\) ; \(\ln\sqrt2=\frac12\ln2\) ; \(\ln\sqrt6=\frac12(\ln2+\ln3)\) ; \(\ln3\sqrt2=\ln3+\frac12\ln2\).
✅ \(\approx-0{,}7\) ; \(0{,}4\) ; \(0{,}35\) ; \(0{,}9\) ; \(1{,}45\).
3) \(\ln\left(12\sqrt[3]3\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln12=2\ln2+\ln3\) et \(\ln\sqrt[3]3=\frac13\ln3\).
✅ \(=2\ln2+\frac43\ln3\approx1{,}4+1{,}47=2{,}87\).
4) \(A=\ln\sqrt{2+\sqrt2}+\ln\sqrt{2-\sqrt2}\)
Correction détaillée
🔢 \(A=\frac12\ln\left[\left(2+\sqrt2\right)\left(2-\sqrt2\right)\right]=\frac12\ln2\).
✅ \(A=\frac12\ln2\approx0{,}35\).
5) \(B=\dfrac14\ln81+\ln\sqrt3-\ln\dfrac1{27}\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac14\ln81=\ln3\) ; \(\ln\sqrt3=\frac12\ln3\) ; \(-\ln\frac1{27}=\ln27=3\ln3\).
✅ \(B=\frac92\ln3\approx4{,}95\).
6) \(C=\ln\left(\sqrt2+1\right)^{2015}+\ln\left(\sqrt2-1\right)^{2019}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sqrt2-1=\frac1{\sqrt2+1}\), donc \(\ln\left(\sqrt2-1\right)=-\ln\left(\sqrt2+1\right)\).
🔢 Étape 2 : \(C=(2015-2019)\ln\left(\sqrt2+1\right)\).
✅ \(C=-4\ln\left(\sqrt2+1\right)\).
Exercice 2
On pose \(\alpha=\ln a\) et \(\beta=\ln b\). Calculer en fonction de \(\alpha\) et \(\beta\) les réels suivants :
1) \(\ln\left(a^2b^5\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln\left(a^2b^5\right)=2\ln a+5\ln b\).
✅ \(=2\alpha+5\beta\).
2) \(\ln\left(\dfrac1{\sqrt[6]{a^2b}}\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac1{\sqrt[6]{a^2b}}=\left(a^2b\right)^{-1/6}\).
✅ \(\ln(\cdot)=-\dfrac16(2\alpha+\beta)=-\dfrac\alpha3-\dfrac\beta6\).
Exercice 3
Simplifier et calculer :
1) \(A=\ln\left(e^2\right)+\ln\left(e^4\right)-\ln\left(\dfrac1e\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(2+4-(-1)\).
✅ \(A=7\).
2) \(B=2\ln\left(\sqrt e\right)+\ln\left(e\sqrt e\right)-\dfrac13\ln\left(e^9\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(2\times\frac12+\frac32-\frac13\times9\).
✅ \(B=1+\frac32-3=-\frac12\).
Exercice 4
Simplifier les expressions suivantes.
1) \(A=\ln\left(3-\sqrt3\right)+\ln\left(3+\sqrt3\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\left(3-\sqrt3\right)\left(3+\sqrt3\right)=9-3=6\).
✅ \(A=\ln6\).
2) \(B=\ln e^3-\ln\dfrac2e+\ln2\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln e^3=3\) ; \(\ln\frac2e=\ln2-1\).
✅ \(B=3-\ln2+1+\ln2=4\).
3) \(C=3\ln2+\dfrac12\ln9-2\ln\left(2\sqrt6\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac12\ln9=\ln3\) et \(2\ln\left(2\sqrt6\right)=\ln24=3\ln2+\ln3\).
✅ \(C=3\ln2+\ln3-3\ln2-\ln3=0\).
Exercice 5
Simplifier et calculer :
1) \(\log_84\)
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\log_ab=\dfrac{\ln b}{\ln a}\) (\(a>0\), \(a\neq1\), \(b>0\)) ; \(\log\) désigne le logarithme décimal \(\log_{10}\).
🔢 \(\log_ab=\dfrac{\ln b}{\ln a}\) : \(\dfrac{\ln4}{\ln8}=\dfrac{2\ln2}{3\ln2}\).
✅ \(\log_84=\dfrac23\).
2) \(\log_{\sqrt2}\dfrac12\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\ln\frac12}{\ln\sqrt2}=\dfrac{-\ln2}{\frac12\ln2}\).
✅ \(=-2\).
3) \(\log_{\sqrt3}9\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\ln9}{\ln\sqrt3}=\dfrac{2\ln3}{\frac12\ln3}\).
✅ \(=4\).
4) \(A=\log_2\dfrac15+\log_2(10)+\log_{\frac13}\left(\sqrt[4]3\right)\)
Correction détaillée
⚠️ L’indice de la racine est lu comme \(4\) (scan peu net).
🔢 Étape 1 : \(\log_2\frac15+\log_210=\log_22=1\).
🔢 Étape 2 : \(\log_{1/3}\left(3^{1/4}\right)=\dfrac{\frac14\ln3}{-\ln3}=-\dfrac14\).
✅ \(A=\dfrac34\).
Exercice 6
On pose \(\alpha=\log_{40}(100)\) et \(\beta=\log_{16}(25)\).
Calculer \(\beta\) en fonction de \(\alpha\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\alpha=\dfrac{\ln100}{\ln40}=\dfrac{2\ln2+2\ln5}{3\ln2+\ln5}\) et \(\beta=\dfrac{\ln25}{\ln16}=\dfrac{2\ln5}{4\ln2}\).
🔢 Étape 2 : Posons \(r=\frac{\ln5}{\ln2}\) : \(\alpha=\dfrac{2+2r}{3+r}\), d’où \(\alpha(3+r)=2+2r\), soit \(r=\dfrac{3\alpha-2}{2-\alpha}\).
🔢 Étape 3 : \(\beta=\dfrac r2\).
✅ \(\beta=\dfrac{3\alpha-2}{2(2-\alpha)}\).
Exercice 7
Simplifier et calculer :
1) \(\log_{10}100\)
Correction détaillée
🔢 \(100=10^2\).
✅ \(=2\).
2) \(\log_{10}0{,}0001\)
Correction détaillée
🔢 \(0{,}0001=10^{-4}\).
✅ \(=-4\).
3) \(A=\log(250000)+\log\sqrt{250}-\log(125)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(A=\log\dfrac{250000\times\sqrt{250}}{125}\) avec \(\sqrt{250}=5\sqrt{10}\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{250000\times5\sqrt{10}}{125}=10^4\sqrt{10}\).
✅ \(A=4+\frac12=\frac92\).
Exercice 8
Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(\left(\dfrac32\right)^n\geq10^{20}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En prenant le logarithme décimal : \(n\log\frac32\geq20\), avec \(\log\frac32\approx0{,}17609>0\).
🔢 Étape 2 : \(n\geq\dfrac{20}{0{,}17609}\approx113{,}58\).
✅ Le plus petit entier est \(n=114\).
Exercice 9
Résoudre dans \(\mathbb R\) (où \(\log\) désigne le logarithme décimal) :
1) \(\log_3(2x)\times\left(\log_5(x)-1\right)=0\)
Correction détaillée
📘 Méthode : On détermine le domaine (bases strictement positives et différentes de \(1\), arguments \(>0\)), puis on passe en \(\ln\).
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>0\). Un produit est nul si l’un des facteurs l’est.
🔢 Étape 2 : \(\log_3(2x)=0\iff2x=1\iff x=\frac12\) ; \(\log_5x=1\iff x=5\).
✅ \(S=\left\{\dfrac12,5\right\}\).
2) \(2(\log x)^2-19\log x-10=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). Avec \(t=\log x\) : \(2t^2-19t-10=0\), \(\Delta=361+80=441=21^2\), \(t=\frac{19\pm21}4\), soit \(t=10\) ou \(t=-\frac12\).
✅ \(S=\left\{10^{10},\dfrac1{\sqrt{10}}\right\}\).
3) \(\log_{\frac12}\left(x-\dfrac12\right)\geq1\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>\frac12\). \(\log_{1/2}u=\dfrac{\ln u}{-\ln2}\geq1\iff\ln u\leq-\ln2\iff u\leq\frac12\) (la base est \(<1\), le sens s’inverse).
🔢 Étape 2 : Avec \(u=x-\frac12\) : \(x-\frac12\leq\frac12\iff x\leq1\).
✅ \(S=\left]\dfrac12,1\right]\).
4) \(\log_{2x}(4x)+\log_{4x}(16x)=4\)
Correction détaillée
⚠️ Les bases \(2x\) et \(4x\) sont lues d’après le scan (petits indices).
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>0\), \(2x\neq1\), \(4x\neq1\), soit \(x\notin\left\{\frac12,\frac14\right\}\).
🔢 Étape 2 : Posons \(x=2^p\). \(\log_{2x}(4x)=\dfrac{2+p}{1+p}\) et \(\log_{4x}(16x)=\dfrac{4+p}{2+p}\) (\(p\neq-1,-2\)).
🔢 Étape 3 : L’équation devient \((2+p)^2+(4+p)(1+p)=4(1+p)(2+p)\iff2p^2+9p+8=4p^2+12p+8\iff2p^2+3p=0\).
🔢 Étape 4 : \(p=0\) ou \(p=-\frac32\).
✅ \(S=\left\{1,\ 2^{-3/2}\right\}=\left\{1,\dfrac{\sqrt2}4\right\}\).
Exercice 10
Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(\log_3(7x-1)^2=0\)
Correction détaillée
📘 Méthode : On détermine le domaine (bases strictement positives et différentes de \(1\), arguments \(>0\)), puis on passe en \(\ln\).
🔢 Domaine : \(7x-1\neq0\). \(\log_3u=0\iff u=1\) : \((7x-1)^2=1\iff7x-1=\pm1\).
✅ \(S=\left\{0,\dfrac27\right\}\).
2) \(\log_3(5x+1)=2\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>-\frac15\). \(5x+1=3^2=9\).
✅ \(S=\left\{\dfrac85\right\}\).
3) \(\dfrac{\log_3(5x+1)}{\log_3(7x-1)^2}\leq1\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(5x+1>0\), \(7x\neq1\) et \(\log_3(7x-1)^2\neq0\iff(7x-1)^2\neq1\iff x\notin\left\{0,\frac27\right\}\).
🔢 Étape 2 : Notons \(A=\log_3(5x+1)\) et \(B=\log_3(7x-1)^2\). L’inégalité s’écrit \(\dfrac{A-B}B\leq0\), avec \(A-B=\log_3\dfrac{5x+1}{(7x-1)^2}\).
🔢 Étape 3 : Signe de \(B\) : \(B>0\iff|7x-1|>1\iff x<0\) ou \(x>\frac27\) ; \(B<0\iff0<x<\frac27\), \(x\neq\frac17\).
🔢 Étape 4 : Signe de \(A-B\) : \(A-B\geq0\iff5x+1\geq(7x-1)^2\iff49x^2-19x\leq0\iff0\leq x\leq\frac{19}{49}\).
🔢 Étape 5 : Cas \(B>0\) : on veut \(A-B\leq0\), c’est-à-dire \(x\leq0\) ou \(x\geq\frac{19}{49}\). Avec \(-\frac15<x<0\) ou \(x>\frac27\) : on obtient \(\left]-\frac15,0\right[\) et \(\left[\frac{19}{49},+\infty\right[\).
🔢 Étape 6 : Cas \(B<0\) : on veut \(A-B\geq0\) donc \(0\leq x\leq\frac{19}{49}\), avec \(0<x<\frac27\) (\(x\neq\frac17\)) : on obtient \(\left]0,\frac17\right[\cup\left]\frac17,\frac27\right[\).
✅ \(S=\left]-\dfrac15,0\right[\cup\left]0,\dfrac17\right[\cup\left]\dfrac17,\dfrac27\right[\cup\left[\dfrac{19}{49},+\infty\right[\).
Exercice 11
1) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation \(\log_x(x+1)=\log_{x+1}(x)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : On détermine le domaine (bases strictement positives et différentes de \(1\), arguments \(>0\)), puis on passe en \(\ln\).
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>0\), \(x\neq1\) (bases de \(\log_x\)), \(x+1\neq1\), donc \(x>0\), \(x\neq1\).
🔢 Étape 2 : Avec \(u=\ln x\) et \(v=\ln(x+1)\) (non nuls) : \(\dfrac vu=\dfrac uv\iff v^2=u^2\iff v=u\) ou \(v=-u\).
🔢 Étape 3 : \(v=u\iff x+1=x\), impossible. \(v=-u\iff x+1=\frac1x\iff x^2+x-1=0\iff x=\frac{-1\pm\sqrt5}2\).
✅ \(S=\left\{\dfrac{\sqrt5-1}2\right\}\) (la racine négative est rejetée).
2) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation \(\log_2(x)>\log_x(2)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>0\), \(x\neq1\). Posons \(t=\ln x\) et \(a=\ln2>0\) : \(\dfrac ta>\dfrac at\iff\dfrac{t^2-a^2}{at}>0\iff\dfrac{(t-a)(t+a)}t>0\).
🔢 Étape 2 : Tableau de signes : positif pour \(-a<t<0\) ou \(t>a\).
✅ \(S=\left]\dfrac12,1\right[\cup]2,+\infty[\).
Exercice 12
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
1) \(f(x)=\ln(x+1)\)
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\ln u\) existe si \(u>0\) ; \(\sqrt u\) existe si \(u\geq0\) ; un quotient exige un dénominateur non nul.
🔢 Il faut \(x+1>0\).
✅ \(D_f=]-1,+\infty[\).
2) \(f(x)=\ln\left(x^2-3x+2\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)>0\).
✅ \(D_f=]-\infty,1[\,\cup\,]2,+\infty[\).
3) \(f(x)=\dfrac x{\ln x}\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(\ln x\neq0\), c’est-à-dire \(x\neq1\).
✅ \(D_f=]0,1[\,\cup\,]1,+\infty[\).
4) \(f(x)=\ln x+\ln(x-1)\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(x-1>0\).
✅ \(D_f=]1,+\infty[\).
5) \(f(x)=\ln\left(\dfrac{x-4}{x+1}\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{x-4}{x+1}>0\) : tableau de signes.
✅ \(D_f=]-\infty,-1[\,\cup\,]4,+\infty[\).
Exercice 13
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
1) \(f(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{\ln(\ln x)}\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\), \(\ln x>0\iff x>1\), et \(\ln(\ln x)\neq0\iff\ln x\neq1\iff x\neq e\).
✅ \(D_f=]1,e[\,\cup\,]e,+\infty[\).
2) \(f(x)=\sqrt{1-\ln(e-x)}\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(e-x>0\) et \(1-\ln(e-x)\geq0\iff e-x\leq e\iff x\geq0\).
✅ \(D_f=[0,e[\).
3) \(f(x)=\dfrac x{\sqrt{(\ln2x)^2-1}}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Il faut \(x>0\) et \((\ln2x)^2>1\iff\ln2x>1\) ou \(\ln2x<-1\).
🔢 Étape 2 : \(2x>e\) ou \(2x<e^{-1}\).
✅ \(D_f=\left]0,\dfrac1{2e}\right[\cup\left]\dfrac e2,+\infty\right[\).
Exercice 14
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\) dans chacun des cas suivants :
1) \(f(x)=\dfrac1x\ln(x+2)\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x+2>0\) et \(x\neq0\).
✅ \(D_f=]-2,0[\,\cup\,]0,+\infty[\).
2) \(f(x)=\ln\left(x^2-4\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(x^2-4>0\iff|x|>2\).
✅ \(D_f=]-\infty,-2[\,\cup\,]2,+\infty[\).
3) \(f(x)=\ln\left(2x^2-x+3\right)\)
Correction détaillée
🔢 Le discriminant de \(2x^2-x+3\) est \(1-24<0\) et le coefficient de \(x^2\) est positif : \(2x^2-x+3>0\) sur \(\mathbb R\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
4) \(f(x)=\ln(3x+1)+\ln(x+2)\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(3x+1>0\) et \(x+2>0\) : \(x>-\frac13\) et \(x>-2\).
✅ \(D_f=\left]-\dfrac13,+\infty\right[\).
5) \(f(x)=\ln\left[(3x+1)(x+2)\right]\)
Correction détaillée
🔢 \((3x+1)(x+2)>0\) à l’extérieur des racines \(-2\) et \(-\frac13\).
✅ \(D_f=]-\infty,-2[\,\cup\,\left]-\dfrac13,+\infty\right[\).
6) \(f(x)=\ln\left(\dfrac{2x-1}{x+1}\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{2x-1}{x+1}>0\) : racines \(\frac12\) et \(-1\).
✅ \(D_f=]-\infty,-1[\,\cup\,\left]\dfrac12,+\infty\right[\).
7) \(f(x)=\dfrac{\ln(2x-1)}{\ln(x+1)}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Il faut \(2x-1>0\), \(x+1>0\) et \(\ln(x+1)\neq0\) (soit \(x\neq0\)).
🔢 Étape 2 : \(x>\frac12\) : la valeur \(0\) est exclue d’office.
✅ \(D_f=\left]\dfrac12,+\infty\right[\).
8) \(f(x)=\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x\neq-1\) et \(\dfrac{x-1}{x+1}\neq0\), c’est-à-dire \(x\neq1\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-1,1\}\).
Exercice 15
Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\) dans chacun des cas suivants :
1) \(f(x)=(\ln x-2)\sqrt{4-x}\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(4-x\geq0\).
✅ \(D_f=]0,4]\).
2) \(f(x)=\sqrt{1-\ln x}\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(1-\ln x\geq0\iff x\leq e\).
✅ \(D_f=]0,e]\).
3) \(f(x)=\dfrac{2x}{1-\ln x}\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(\ln x\neq1\).
✅ \(D_f=]0,e[\,\cup\,]e,+\infty[\).
Exercice 16
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations et inéquations suivantes :
1) \(\ln(x-2)=0\)
Correction détaillée
📘 Méthode : On détermine d’abord le domaine, puis on utilise \(\ln a=\ln b\iff a=b\) et \(\ln a\leq\ln b\iff a\leq b\) (pour \(a,b>0\)).
🔢 Domaine : \(x>2\). \(\ln(x-2)=0\iff x-2=1\).
✅ \(S=\{3\}\).
2) \(\ln(3x-1)=\ln(5x-10)\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>2\) (donc \(3x-1>0\) aussi). \(3x-1=5x-10\iff x=\frac92\).
✅ \(S=\left\{\frac92\right\}\).
3) \(\ln(2x-1)-\ln(1-x)=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(\frac12<x<1\). \(2x-1=1-x\iff x=\frac23\in\left]\frac12,1\right[\).
✅ \(S=\left\{\frac23\right\}\).
4) \(\ln(2x)=\ln\left(x^2+1\right)\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). \(2x=x^2+1\iff(x-1)^2=0\).
✅ \(S=\{1\}\).
5) \(\ln(2x-6)\geq0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>3\). \(2x-6\geq1\iff x\geq\frac72\).
✅ \(S=\left[\frac72,+\infty\right[\).
6) \(\ln(x-1)-\ln(3x+1)<0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>1\). \(x-1<3x+1\iff x>-1\), vrai sur le domaine.
✅ \(S=]1,+\infty[\).
Exercice 17
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations et inéquations suivantes :
1) \(\ln(2x-1)=\dfrac32\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>\frac12\). \(2x-1=e^{3/2}\).
✅ \(S=\left\{\dfrac{e^{3/2}+1}2\right\}\).
2) \(2(\ln x)^2+\ln x-6=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). Avec \(t=\ln x\) : \(2t^2+t-6=0\), \(\Delta=49\), \(t=\frac32\) ou \(t=-2\).
✅ \(S=\left\{e^{3/2},e^{-2}\right\}\).
3) \(3(\ln x)^2+2\ln x-1=0\)
Correction détaillée
🔢 \(3t^2+2t-1=0\), \(\Delta=16\), \(t=\frac13\) ou \(t=-1\).
✅ \(S=\left\{e^{1/3},e^{-1}\right\}\).
4) \(\dfrac{\ln x+3}{\ln x-1}\geq-1\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\), \(x\neq e\). Avec \(t=\ln x\) : \(\dfrac{t+3}{t-1}+1=\dfrac{2t+2}{t-1}\geq0\iff t\leq-1\) ou \(t>1\).
✅ \(S=\left]0,\frac1e\right]\cup]e,+\infty[\).
5) \(\ln x+\ln(x-1)-\ln2=\ln3\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>1\). \(\ln\dfrac{x(x-1)}2=\ln3\iff x^2-x-6=0\iff x=3\) ou \(x=-2\) (rejeté).
✅ \(S=\{3\}\).
6) \(\ln(2x+5)+\ln(x+1)\leq\ln4\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>-1\). \((2x+5)(x+1)\leq4\iff2x^2+7x+1\leq0\), de racines \(\frac{-7\pm\sqrt{41}}4\).
✅ \(S=\left]-1,\dfrac{-7+\sqrt{41}}4\right]\).
7) \(\ln(14-x)>\ln\left(10+7x-3x^2\right)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x<14\) et \(-3x^2+7x+10>0\iff-1<x<\frac{10}3\), soit \(]-1,\frac{10}3[\).
🔢 Étape 2 : \(14-x>10+7x-3x^2\iff3x^2-8x+4>0\iff x<\frac23\) ou \(x>2\).
✅ \(S=\left]-1,\frac23\right[\cup\left]2,\frac{10}3\right[\).
Exercice 18
Résoudre dans \(\mathbb R^2\) le système suivant :
\(\begin{cases}3\ln x+\ln y=2\\2\ln x-\ln y=3\end{cases}\)
Correction détaillée
🔢 On pose \(X=\ln x\), \(Y=\ln y\) (avec \(x,y>0\)). En additionnant : \(5X=5\), donc \(X=1\) et \(Y=2-3=-1\).
✅ \(S=\left\{\left(e,\frac1e\right)\right\}\).
Exercice 19
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations et inéquations suivantes.
1.a) \(\ln(2x-3)+\ln(x+1)=\ln3\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>\frac32\). \((2x-3)(x+1)=3\iff2x^2-x-6=0\iff x=2\) ou \(x=-\frac32\) (rejeté).
✅ \(S=\{2\}\).
1.b) \(\ln(2x+1)-2\ln(1-x)=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(-\frac12<x<1\). \(2x+1=(1-x)^2\iff x^2-4x=0\iff x=0\) ou \(x=4\) (rejeté).
✅ \(S=\{0\}\).
1.c) \(\ln|x+2|-\ln|8x-1|=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x\neq-2\), \(x\neq\frac18\). \(|x+2|=|8x-1|\iff x+2=8x-1\) ou \(x+2=1-8x\).
✅ \(S=\left\{\frac37,-\frac19\right\}\).
1.d) \((\ln x)^3+2(\ln x)^2-3\ln x=0\)
Correction détaillée
🔢 \(t(t^2+2t-3)=t(t-1)(t+3)=0\).
✅ \(S=\left\{1,e,e^{-3}\right\}\).
2.a) \(\ln\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)>0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x<-2\) ou \(x>1\). \(\dfrac{x+2}{x-1}>1\iff\dfrac3{x-1}>0\iff x>1\).
✅ \(S=]1,+\infty[\).
2.b) \(\ln\left(\dfrac{2x+1}{x-3}\right)<1\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x<-\frac12\) ou \(x>3\). \(\dfrac{2x+1}{x-3}<e\iff\dfrac{(2-e)x+1+3e}{x-3}<0\).
🔢 Étape 2 : Racine du numérateur : \(x_0=\dfrac{3e+1}{e-2}\approx12{,}75\). Pour \(x<3\) le numérateur est positif et \(x-3<0\) : ✓. Pour \(3<x<x_0\) : quotient positif ✗. Pour \(x>x_0\) : ✓.
✅ \(S=\left]-\infty,-\frac12\right[\cup\left]\dfrac{3e+1}{e-2},+\infty\right[\).
2.c) \(\dfrac{\ln x-1}{\ln x+1}\geq0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\), \(x\neq\frac1e\). \(\frac{t-1}{t+1}\geq0\iff t<-1\) ou \(t\geq1\).
✅ \(S=\left]0,\frac1e\right[\cup[e,+\infty[\).
2.d) \((\ln x)^2-\ln x-2\leq0\)
Correction détaillée
🔢 \(t^2-t-2=(t-2)(t+1)\leq0\iff-1\leq t\leq2\).
✅ \(S=\left[\frac1e,e^2\right]\).
Exercice 20
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations suivantes.
1) \(\ln x+\ln(3x+2)=\ln(2x+3)\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). \(x(3x+2)=2x+3\iff3x^2-3=0\iff x=\pm1\).
✅ \(S=\{1\}\) (\(x=-1\) est rejeté).
2) \(\ln(x-3)+\ln(x+1)=\ln(x+7)\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>3\). \((x-3)(x+1)=x+7\iff x^2-3x-10=0\iff x=5\) ou \(x=-2\).
✅ \(S=\{5\}\) (\(x=-2\) est rejeté).
3) \(4(\ln x)^2-4\ln x-3=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). Avec \(t=\ln x\) : \(4t^2-4t-3=0\), \(\Delta=64\), \(t=\frac32\) ou \(t=-\frac12\).
✅ \(S=\left\{e^{3/2},e^{-1/2}\right\}\).
Exercice 21
Résoudre dans \(\mathbb R\) les inéquations suivantes.
1) \(\ln(3-x)-\ln(x+1)\leq0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(-1<x<3\). \(3-x\leq x+1\iff x\geq1\).
✅ \(S=[1,3[\).
2) \(4(\ln x)^2-4\ln x-3\leq0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). \(4t^2-4t-3=4\left(t-\frac32\right)\left(t+\frac12\right)\leq0\iff-\frac12\leq t\leq\frac32\).
✅ \(S=\left[e^{-1/2},e^{3/2}\right]\).
Exercice 22
Calculer les limites suivantes.
1) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\ln x+1}{\ln x}\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Limites de référence : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}x=0\), \(\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\), \(\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1\).
🔢 \(\dfrac{2\ln x+1}{\ln x}=2+\dfrac1{\ln x}\) et \(\ln x\to+\infty\).
✅ \(=2\).
2) \(\lim_{x\to+\infty}\left(\ln^2x-\ln x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln^2x-\ln x=\ln x(\ln x-1)\) avec \(\ln x\to+\infty\).
✅ \(=+\infty\).
3) \(\lim_{x\to+\infty}(x-\ln x)\)
Correction détaillée
🔢 \(x-\ln x=x\left(1-\dfrac{\ln x}x\right)\), \(\frac{\ln x}x\to0\).
✅ \(=+\infty\).
4) \(\lim_{x\to0^+}\left(\ln^2x+\ln x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln x(\ln x+1)\) : produit de deux termes qui tendent vers \(-\infty\).
✅ \(=+\infty\).
5) \(\lim_{x\to0^+}\left(\dfrac1x+\ln x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac1x+\ln x=\dfrac{1+x\ln x}x\) avec \(x\ln x\to0\), donc le numérateur \(\to1\) et \(\frac1x\to+\infty\).
✅ \(=+\infty\).
6) \(\lim_{x\to0^+}x^4\ln x\)
Correction détaillée
🔢 Croissances comparées : \(x^n\ln x\to0\) en \(0^+\).
✅ \(=0\).
7) \(\lim_{x\to0^+}\left(2x-x^3\ln x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(x^3\ln x\to0\) et \(2x\to0\).
✅ \(=0\).
8) \(\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\dfrac1x\right)\)
Correction détaillée
🔢 Avec \(h=\frac1x\to0^+\) : \(\dfrac{\ln(1+h)}h\to1\).
✅ \(=1\).
9) \(\lim_{x\to0^+}x(\ln x)^2\)
Correction détaillée
🔢 Posons \(X=\sqrt x\) : \(x(\ln x)^2=X^2(2\ln X)^2=4(X\ln X)^2\).
✅ \(=0\).
10) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(x^2+3x\right)}{x-1}\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln\left(x^2+3x\right)=2\ln x+\ln\left(1+\frac3x\right)\) et \(x-1\sim x\).
✅ \(=0\).
11) \(\lim_{x\to0^+}x^2(\ln x)^5\)
Correction détaillée
🔢 \(x^2(\ln x)^5=\left(x^{2/5}\ln x\right)^5\), et \(x^{2/5}\ln x\to0\).
✅ \(=0\).
12) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3\ln x+1}x\)
Correction détaillée
🔢 \(3\frac{\ln x}x+\frac1x\).
✅ \(=0\).
13) \(\lim_{x\to2}\dfrac{\ln(x-1)}{x-2}\)
Correction détaillée
🔢 Posons \(h=x-2\to0\) : \(\dfrac{\ln(1+h)}h\).
✅ \(=1\).
14) \(\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln\left(x^2+x+1\right)}x\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\ln(1+u)}u\times\dfrac ux\) avec \(u=x^2+x\to0\) et \(\frac ux=x+1\to1\).
✅ \(=1\).
15) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(x+1)-\ln(1-x)}x\)
Correction détaillée
🔢 \(=\dfrac{\ln(1+x)}x+\dfrac{\ln(1-x)}{-x}\to1+1\).
✅ \(=2\).
16) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(x^2+2\right)}{x+2}\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln\left(x^2+2\right)=2\ln x+\ln\left(1+\frac2{x^2}\right)\), et \(\frac{\ln x}x\to0\).
✅ \(=0\).
17) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+3)}{x^2+x+1}\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac{\ln(x+3)}{x+3}\times\frac{x+3}{x^2+x+1}\to0\times0\).
✅ \(=0\).
18) \(\lim_{x\to+\infty}\left(\ln^2x-x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(x\left(\dfrac{\ln^2x}x-1\right)\) et \(\frac{\ln^2x}x\to0\).
✅ \(=-\infty\).
19) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x)}x\)
Correction détaillée
🔢 \(3\times\dfrac{\ln(1+3x)}{3x}\).
✅ \(=3\).
20) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+3)}x\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac{\ln(x+3)}{x+3}\times\frac{x+3}x\).
✅ \(=0\).
21) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(x^2+4x\right)}x\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln\left(x^2+4x\right)=2\ln x+\ln\left(1+\frac4x\right)\).
✅ \(=0\).
22) \(\lim_{x\to0^+}x\ln\left(1+\dfrac1{x^2}\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(x\ln\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)=x\ln\left(1+x^2\right)-2x\ln x\).
✅ \(=0\).
23) \(\lim_{x\to1}\dfrac{(x+2)\ln x}{x^2-1}\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{x+2}{x+1}\times\dfrac{\ln x}{x-1}\) avec \(\frac{\ln x}{x-1}\to1\) (nombre dérivé de \(\ln\) en \(1\)).
✅ \(=\dfrac32\).
24) \(\lim_{x\to0^+}\left(x+\left(1-\dfrac2x\right)\ln x\right)\)
Correction détaillée
⚠️ Le sens de la limite n’est pas lisible sur le scan : on traite \(x\to0^+\) (seul cas où \(\ln x\) est défini).
🔢 Étape 1 : \(x+\ln x-2\dfrac{\ln x}x\) : \(\frac{\ln x}x\to-\infty\) donc \(-2\frac{\ln x}x\to+\infty\), qui l’emporte sur \(\ln x\) (car \(\frac{\ln x}x\times x\)…) :
🔢 Étape 2 : \(x+\ln x-\dfrac{2\ln x}x=x+\dfrac{\ln x}x(x-2)\) avec \(\frac{\ln x}x\to-\infty\) et \(x-2\to-2\).
✅ \(=+\infty\).
25) \(\lim_{x\to+\infty}\left(x+\left(1-\dfrac2x\right)\ln x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(x+\ln x-\dfrac{2\ln x}x\to+\infty\).
✅ \(=+\infty\).
26) \(\lim_{x\to0^+}\left(\dfrac1x-\ln x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac1x\to+\infty\) et \(-\ln x\to+\infty\) : somme de deux termes qui tendent vers \(+\infty\).
✅ \(=+\infty\).
Exercice 23
Déterminer le domaine de dérivation et la dérivée de la fonction suivante :
\(f(x)=\ln\left(3x^2+5\right)\)
Correction détaillée
📘 Méthode : \((\ln u)’=\dfrac{u’}u\) avec \(u>0\) ; \((\ln|u|)’=\dfrac{u’}u\) pour \(u\neq0\).
🔢 Étape 1 : \(3x^2+5>0\) pour tout \(x\), donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) : \(D=\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{\left(3x^2+5\right)’}{3x^2+5}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{6x}{3x^2+5}\).
Exercice 24
Calculer la dérivée des fonctions définies par :
1) \(f(x)=x^2-\ln x\)
Correction détaillée
🔢 \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\).
✅ \(f'(x)=2x-\dfrac1x=\dfrac{2x^2-1}x\).
2) \(f(x)=x\ln x\)
Correction détaillée
🔢 Dérivée d’un produit : \(f'(x)=1\times\ln x+x\times\frac1x\).
✅ \(f'(x)=\ln x+1\).
3) \(f(x)=\ln\left(1+x^2\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(1+x^2>0\), donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}\).
Exercice 25
Calculer la dérivée de la fonction définie sur \(I=]-2,+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{\sqrt[4]{x^3+8}}{\left(x^2+1\right)^3}\).
\(f(x)=\dfrac{\sqrt[4]{x^3+8}}{\left(x^2+1\right)^3}\)
Correction détaillée
⚠️ L’indice de la racine est lu comme \(4\) (scan peu net).
📘 Méthode : Pour un quotient de puissances, on passe par \(\dfrac{f’}f=(\ln f)’\) (valable car \(f>0\)).
🔢 Étape 1 : Sur \(I=]-2,+\infty[\), \(f(x)>0\). On utilise la dérivée logarithmique : \(\ln f=\frac14\ln\left(x^3+8\right)-3\ln\left(x^2+1\right)\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f’}f=\dfrac{3x^2}{4\left(x^3+8\right)}-\dfrac{6x}{x^2+1}=\dfrac{3x^2\left(x^2+1\right)-24x\left(x^3+8\right)}{4\left(x^3+8\right)\left(x^2+1\right)}=\dfrac{3x\left(-7x^3+x-64\right)}{4\left(x^3+8\right)\left(x^2+1\right)}\).
🔢 Étape 3 : On multiplie par \(f(x)=\dfrac{\left(x^3+8\right)^{1/4}}{\left(x^2+1\right)^3}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{3x\left(-7x^3+x-64\right)}{4\left(x^2+1\right)^4\left(x^3+8\right)^{3/4}}\).
Exercice 26
Déterminer le domaine de dérivation et la dérivée des fonctions suivantes :
1) \(f(x)=\ln|\ln|x||\)
Correction détaillée
📘 Méthode : \((\ln u)’=\dfrac{u’}u\) avec \(u>0\) ; \((\ln|u|)’=\dfrac{u’}u\) pour \(u\neq0\).
🔢 Étape 1 : Il faut \(x\neq0\) et \(\ln|x|\neq0\), c’est-à-dire \(|x|\neq1\) : \(D=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}\).
🔢 Étape 2 : \((\ln|u|)’=\dfrac{u’}u\) avec \(u=\ln|x|\), \(u’=\dfrac1x\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{1/x}{\ln|x|}=\dfrac1{x\ln|x|}\).
2) \(f(x)=\ln\left|\sin^2x+3\sin x+4\right|\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Avec \(t=\sin x\) : \(t^2+3t+4\) a pour discriminant \(9-16<0\), donc est strictement positif : \(D=\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{2\sin x\cos x+3\cos x}{\sin^2x+3\sin x+4}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{\cos x(2\sin x+3)}{\sin^2x+3\sin x+4}\).
Exercice 27
Déterminer les fonctions primitives des fonctions suivantes :
1) \(I=\mathbb R\) ; \(f(x)=\dfrac{x^3}{x^4+2}\)
Correction détaillée
📘 Méthode : On reconnaît la forme \(\dfrac{u’}u\), de primitive \(\ln|u|\).
🔢 \(\left(x^4+2\right)’=4x^3\), donc \(f=\frac14\dfrac{\left(x^4+2\right)’}{x^4+2}\).
✅ \(F(x)=\dfrac14\ln\left(x^4+2\right)\).
2) \(I=]0;1[\) ; \(g(x)=\dfrac1{x\ln x}\)
Correction détaillée
🔢 \(g=\dfrac{(\ln x)’}{\ln x}\). Sur \(]0,1[\), \(\ln x<0\), d’où \(\ln|\ln x|=\ln(-\ln x)\).
✅ \(G(x)=\ln(-\ln x)\).
3) \(I=]-\infty;1[\) ; \(h(x)=\dfrac1{x-1}\)
Correction détaillée
🔢 Sur \(I\), \(x-1<0\), donc \(\ln|x-1|=\ln(1-x)\).
✅ \(H(x)=\ln(1-x)\).
4) \(I=\left]\dfrac{3\pi}2;2\pi\right[\) ; \(k(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)
Correction détaillée
🔢 \(k=\dfrac{(\sin x)’}{\sin x}\). Sur \(I\), \(\sin x<0\).
✅ \(K(x)=\ln|\sin x|=\ln(-\sin x)\).
5) \(M(x)=\dfrac1{x^2-1}\) (on pourra écrire \(g(x)=\dfrac a{x-1}+\dfrac b{x+1}\))
Correction détaillée
⚠️ L’intervalle n’est pas précisé dans l’énoncé.
🔢 Étape 1 : \(\dfrac a{x-1}+\dfrac b{x+1}=\dfrac{(a+b)x+(a-b)}{x^2-1}\). Par identification : \(a+b=0\) et \(a-b=1\), soit \(a=\frac12\), \(b=-\frac12\).
🔢 Étape 2 : Donc \(M(x)=\dfrac12\left(\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1}\right)\).
✅ Sur chacun des intervalles de \(\mathbb R\setminus\{-1,1\}\) : \(\dfrac12\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\).
6) \(N(x)=\dfrac{x^3+2x^2-3x+2}{x-3}\)
Correction détaillée
⚠️ L’intervalle n’est pas précisé dans l’énoncé.
🔢 Étape 1 : Division euclidienne : \(x^3+2x^2-3x+2=(x-3)\left(x^2+5x+12\right)+38\).
🔢 Étape 2 : Donc \(N(x)=x^2+5x+12+\dfrac{38}{x-3}\).
✅ Sur \(]-\infty,3[\) ou sur \(]3,+\infty[\) : \(\dfrac{x^3}3+\dfrac52x^2+12x+38\ln|x-3|\).
7) \(I=]3;+\infty[\) ; \(q(x)=\dfrac1{(x-2)\ln(x-2)}\)
Correction détaillée
🔢 \(q=\dfrac{(\ln(x-2))’}{\ln(x-2)}\). Sur \(I\), \(x-2>1\) donc \(\ln(x-2)>0\).
✅ \(Q(x)=\ln(\ln(x-2))\).
Exercice 28
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{5x+1}{x^2+x-2}\).
1) Déterminer l’ensemble de définition de \(f\), puis les réels \(a\) et \(b\) tels que \(\forall x\in D\) ; \(f(x)=\dfrac a{x-1}+\dfrac b{x+2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\) : \(D=\mathbb R\setminus\{-2,1\}\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac a{x-1}+\dfrac b{x+2}=\dfrac{(a+b)x+2a-b}{x^2+x-2}\) : \(a+b=5\) et \(2a-b=1\), d’où \(a=2\), \(b=3\).
✅ \(D=\mathbb R\setminus\{-2,1\}\) ; \(a=2\) et \(b=3\).
2) En déduire la fonction primitive de \(f\) sur \(]-\infty;-2[\) telle que \(F(-3)=\ln2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \(]-\infty,-2[\) : \(x-1<0\) et \(x+2<0\), donc \(F(x)=2\ln(1-x)+3\ln(-x-2)+C\).
🔢 Étape 2 : \(F(-3)=2\ln4+3\ln1+C=4\ln2+C=\ln2\), d’où \(C=-3\ln2\).
✅ \(F(x)=2\ln(1-x)+3\ln(-x-2)-3\ln2\).
Exercice 29
Démontrer que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et expliciter \(f'(x)\).
1) \(f(x)=x^2(2\ln x-1)\)
Correction détaillée
🔢 Produit : \(f'(x)=2x(2\ln x-1)+x^2\times\frac2x\).
✅ \(f'(x)=4x\ln x-2x+2x=4x\ln x\).
2) \(f(x)=\ln\sqrt{1+4x+x^2}\)
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=\frac12\ln\left(x^2+4x+1\right)\), avec \(x^2+4x+1>0\) sur \(]0,+\infty[\).
✅ \(f'(x)=\dfrac12\times\dfrac{2x+4}{x^2+4x+1}=\dfrac{x+2}{x^2+4x+1}\).
3) \(f(x)=\dfrac{x^2\ln x}{1+x}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Quotient avec \(u=x^2\ln x\), \(u’=2x\ln x+x\), \(v=1+x\), \(v’=1\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{(2x\ln x+x)(1+x)-x^2\ln x}{(1+x)^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{x^2\ln x+2x\ln x+x^2+x}{(1+x)^2}\).
4) \(f(x)=\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}x\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=\ln\left(1+x^2\right)\), \(u’=\frac{2x}{1+x^2}\), \(v=x\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{\frac{2x^2}{1+x^2}-\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2x^2-\left(1+x^2\right)\ln\left(1+x^2\right)}{x^2\left(1+x^2\right)}\).
Exercice 30
Déterminer une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur \(I\).
1) \(f(x)=\dfrac3{2x+1}\) ; \(I=\left]-\dfrac12,+\infty\right[\)
Correction détaillée
📘 Méthode : On reconnaît la forme \(\dfrac{u’}u\), de primitive \(\ln|u|\).
🔢 \(\dfrac3{2x+1}=\dfrac32\times\dfrac{(2x+1)’}{2x+1}\).
✅ \(F(x)=\dfrac32\ln(2x+1)\).
2) \(f(x)=\dfrac{4x-2}{x^2-x+1}\) ; \(I=\mathbb R\)
Correction détaillée
🔢 \(\left(x^2-x+1\right)’=2x-1\) et \(4x-2=2(2x-1)\). Le trinôme est \(>0\) (\(\Delta=-3<0\)).
✅ \(F(x)=2\ln\left(x^2-x+1\right)\).
3) \(f(x)=\dfrac1{x\ln x}\) ; \(I=]1;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(f=\dfrac{(\ln x)’}{\ln x}\) avec \(\ln x>0\) sur \(I\).
✅ \(F(x)=\ln(\ln x)\).
4) \(f(x)=\dfrac{\ln x}x\) ; \(I=]0;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(f=u’u\) avec \(u=\ln x\).
✅ \(F(x)=\dfrac12(\ln x)^2\).
5) \(f(x)=\tan x\) ; \(I=\left]0;\dfrac\pi2\right[\)
Correction détaillée
🔢 \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{(\cos x)’}{\cos x}\) avec \(\cos x>0\) sur \(I\).
✅ \(F(x)=-\ln(\cos x)\).
Exercice 31
Partie A Soit la fonction \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x-\ln x\).
1) Déterminer \(D_g\), puis les limites de \(g\) aux bornes de \(D_g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\ln x\) n’existe que pour \(x>0\) : \(D_g=]0,+\infty[\).
🔢 Étape 2 : En \(0^+\) : \(-\ln x\to+\infty\), donc \(g\to+\infty\). En \(+\infty\) : \(g(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}x\right)\to+\infty\).
✅ \(D_g=]0,+\infty[\) ; \(\lim\limits_{0^+}g=\lim\limits_{+\infty}g=+\infty\).
2) Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in D_g\), puis dresser le tableau de variation de \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}x\).
🔢 Étape 2 : Pour \(x\in]0,1[\), \(g'(x)<0\) ; pour \(x>1\), \(g'(x)>0\). \(g(1)=1-\ln1=1\).
✅ \(g\) est décroissante sur \(]0,1]\), croissante sur \([1,+\infty[\), et admet un minimum \(g(1)=1\).
3) En déduire que \(\forall x>0\) : \(x>\ln x\).
Correction détaillée
🔢 Le minimum de \(g\) vaut \(1>0\), donc \(g(x)=x-\ln x\geq1>0\) pour tout \(x>0\).
✅ \(\forall x>0\), \(\ln x<x\).
Partie B Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{x+\ln x}{x-\ln x}\) si \(x>0\) et \(f(0)=-1\).
1) Montrer que \(D_f=[0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>0\), le dénominateur \(x-\ln x=g(x)\) est \(>0\) (partie A) : \(f(x)\) est défini. En \(0\), \(f(0)=-1\) est donné.
✅ \(D_f=[0,+\infty[\).
2) Montrer que \(f\) est continue à droite de \(0\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x\to0^+\) : \(\dfrac{x+\ln x}{x-\ln x}=\dfrac{\frac x{\ln x}+1}{\frac x{\ln x}-1}\) avec \(\dfrac x{\ln x}\to0\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=\dfrac{1}{-1}=-1=f(0)\) : \(f\) est continue à droite en \(0\).
3) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=\dfrac{1+\frac{\ln x}x}{1-\frac{\ln x}x}\) et \(\dfrac{\ln x}x\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=1\) : la droite \(y=1\) est asymptote horizontale à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
4) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite de \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{f(x)+1}x=\dfrac{(x+\ln x)+(x-\ln x)}{x(x-\ln x)}=\dfrac{2}{x-\ln x}\).
✅ \(\dfrac2{x-\ln x}\to0\) : \(f\) est dérivable à droite en \(0\) avec \(f’_d(0)=0\) (tangente horizontale à l’origine du point d’abscisse \(0\)).
5) Montrer que \(\forall x\in]0,+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{2(1-\ln x)}{(x-\ln x)^2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=x+\ln x\), \(u’=1+\frac1x\) ; \(v=x-\ln x\), \(v’=1-\frac1x\).
🔢 Étape 2 : \(u’v-uv’=\left(1+\frac1x\right)(x-\ln x)-(x+\ln x)\left(1-\frac1x\right)=\left(x-\ln x+1-\frac{\ln x}x\right)-\left(x-1+\ln x-\frac{\ln x}x\right)=2-2\ln x\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}=\dfrac{2(1-\ln x)}{(x-\ln x)^2}\).
6) Dresser le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Le signe de \(f’\) est celui de \(1-\ln x\) : positif pour \(x<e\), négatif pour \(x>e\).
🔢 Étape 2 : \(f(0)=-1\), \(f(e)=\dfrac{e+1}{e-1}\approx2{,}16\), \(\lim\limits_{+\infty}f=1\).
✅ \(f\) est croissante sur \([0,e]\) (de \(-1\) à \(\frac{e+1}{e-1}\)) puis décroissante sur \([e,+\infty[\) (vers \(1\)).
7) Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) et de la droite \((\Delta):y=1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=1\iff x+\ln x=x-\ln x\iff2\ln x=0\iff x=1\).
✅ Un seul point d’intersection : \(A(1,1)\).
8) Montrer que \((C_f)\) coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse \(\alpha\) tel que \(\dfrac12<\alpha<1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=0\iff x+\ln x=0\). Sur \([\frac12,1]\subset[0,e]\), \(f\) est continue et strictement croissante.
🔢 Étape 2 : \(f\left(\frac12\right)=\dfrac{\frac12-\ln2}{\frac12+\ln2}<0\) (car \(\ln2\approx0{,}69>\frac12\)) et \(f(1)=1>0\).
✅ D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in\left]\frac12,1\right[\).
Exercice 32
Considérons les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(]-1,+\infty[\) par \(f(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}2\) et \(g(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^3}3\).
1.a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-1^+}g(x)\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé est difficile à lire (indices des limites) : on traite \(f\) et \(g\) en \(-1^+\) et en \(+\infty\).
🔢 Étape 1 : En \(-1^+\) : \(\ln(1+x)\to-\infty\), \(-x\to1\), \(\frac{x^2}2\to\frac12\) : \(f\to-\infty\). De même \(g\to-\infty\) (\(-\frac{x^3}3\to\frac13\)).
🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(f(x)=x^2\left(\dfrac{\ln(1+x)}{x^2}-\dfrac1x+\dfrac12\right)\), avec \(\dfrac{\ln(1+x)}{x^2}\to0\).
✅ \(\lim\limits_{-1^+}f=-\infty\) ; \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\) ; \(\lim\limits_{-1^+}g=-\infty\).
1.b) Montrer que \(\forall x\in]-1,+\infty[\) : \(g(x)=(1+x)\left(\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}-\dfrac{2x^3-3x^2+6x}{6(1+x)}\right)\), et en déduire \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Réduction : \(-x+\frac{x^2}2-\frac{x^3}3=-\dfrac{6x-3x^2+2x^3}6\). Donc \(g(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x^3-3x^2+6x}6=(1+x)\left(\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}-\dfrac{2x^3-3x^2+6x}{6(1+x)}\right)\).
🔢 Étape 2 : Quand \(x\to+\infty\) : \(\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}\to0\) et \(\dfrac{2x^3-3x^2+6x}{6(1+x)}\sim\dfrac{x^2}3\to+\infty\).
✅ La parenthèse tend vers \(-\infty\) et \(1+x\to+\infty\) : \(\lim\limits_{+\infty}g=-\infty\).
1.c) Étudier les variations de \(f\) et \(g\), puis dresser leurs tableaux de variation.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=\dfrac1{1+x}-1+x=\dfrac{1-(1+x)+x(1+x)}{1+x}=\dfrac{x^2}{1+x}\geq0\).
🔢 Étape 2 : \(g'(x)=f'(x)-x^2=\dfrac{x^2-x^2(1+x)}{1+x}=\dfrac{-x^3}{1+x}\) : positif sur \(]-1,0]\), négatif sur \([0,+\infty[\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \(]-1,+\infty[\) (de \(-\infty\) à \(+\infty\)), \(f(0)=0\). \(g\) croît sur \(]-1,0]\) puis décroît sur \([0,+\infty[\), de maximum \(g(0)=0\).
2) En déduire que \(\forall x\in]0,+\infty[\) : \(x-\dfrac{x^2}2<\ln(1+x)<x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est strictement croissante avec \(f(0)=0\) : pour \(x>0\), \(f(x)>0\), soit \(\ln(1+x)>x-\frac{x^2}2\).
🔢 Étape 2 : \(g\) admet \(0\) pour maximum strict : pour \(x>0\), \(g(x)<0\), soit \(\ln(1+x)<x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3\).
✅ L’encadrement est démontré pour tout \(x>0\).
3) Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : D’après 2) : \(\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^3}3<x-\ln(1+x)<\dfrac{x^2}2\).
🔢 Étape 2 : On divise par \(x^2>0\) : \(\dfrac12-\dfrac x3<\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}<\dfrac12\), puis théorème des gendarmes.
✅ \(\lim\limits_{0^+}\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}=\dfrac12\).
4) Montrer que \(\forall x\in]0,+\infty[\) : \(x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4<\ln(1+x)<x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : L’inégalité de droite a été montrée en 2).
🔢 Étape 2 : Posons \(h(x)=\ln(1+x)-x+\frac{x^2}2-\frac{x^3}3+\frac{x^4}4\). Alors \(h'(x)=\dfrac1{1+x}-1+x-x^2+x^3=\dfrac{x^4}{1+x}>0\).
🔢 Étape 3 : \(h\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\) et \(h(0)=0\), donc \(h(x)>0\) pour \(x>0\).
✅ L’encadrement est démontré.
Exercice 33
Considérons la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x-3+\dfrac3{2x}+\dfrac12\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|\).
1) Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x\neq0\) et \(\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|>0\), c’est-à-dire \(x\neq1\) et \(x\neq-1\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}\).
2) Montrer que le domaine d’étude de \(f\) est \(D_E=]0,1[\cup]1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=-x-3-\dfrac3{2x}+\dfrac12\ln\left|\dfrac{-x+1}{-x-1}\right|=-x-3-\dfrac3{2x}-\dfrac12\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|\), donc \(f(x)+f(-x)=-6\).
✅ Le point \(\Omega(0,-3)\) est centre de symétrie de \((C_f)\) : on étudie \(f\) sur \(D_E=]0,1[\cup]1,+\infty[\).
3) Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de \(D_E\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(0^+\) : \(\dfrac3{2x}\to+\infty\), \(x-3\to-3\) et \(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\to1\), \(\ln\to0\) : \(f\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : En \(1^\pm\) : \(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\to+\infty\), donc \(\frac12\ln\left|\cdot\right|\to+\infty\) : \(f\to+\infty\).
🔢 Étape 3 : En \(+\infty\) : \(\frac3{2x}\to0\), \(\ln\frac{x+1}{x-1}\to\ln1=0\) et \(x-3\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=\lim\limits_{1^-}f=\lim\limits_{1^+}f=\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
4) Étudier les variations de \(f\) sur \(D_E\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=1-\dfrac3{2x^2}+\dfrac12\left(\dfrac1{x+1}-\dfrac1{x-1}\right)=1-\dfrac3{2x^2}-\dfrac1{x^2-1}\).
🔢 Étape 2 : Mise au même dénominateur : \(f'(x)=\dfrac{2x^4-7x^2+3}{2x^2(x^2-1)}=\dfrac{(2x^2-1)(x^2-3)}{2x^2(x^2-1)}\).
🔢 Étape 3 : Zéros du numérateur sur \(D_E\) : \(x=\frac{\sqrt2}2\) et \(x=\sqrt3\). Tableau de signes : \(f'<0\) sur \(]0,\frac{\sqrt2}2[\), \(f’>0\) sur \(]\frac{\sqrt2}2,1[\), \(f'<0\) sur \(]1,\sqrt3[\), \(f’>0\) sur \(]\sqrt3,+\infty[\).
✅ \(f\) décroît sur \(\left]0,\frac{\sqrt2}2\right]\) et sur \(]1,\sqrt3]\), elle croît sur \(\left[\frac{\sqrt2}2,1\right[\) et sur \([\sqrt3,+\infty[\).
5) Étudier les branches infinies de \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\lim\limits_{0^\pm}f=+\infty\) et \(\lim\limits_{1^\pm}f=+\infty\) : les droites \(x=0\) et \(x=1\) sont asymptotes verticales (et \(x=-1\), \(x=0\) par symétrie).
🔢 Étape 2 : \(f(x)-(x-3)=\dfrac3{2x}+\dfrac12\ln\dfrac{x+1}{x-1}\to0\) en \(+\infty\), et c’est \(>0\) pour \(x>1\).
✅ La droite \(y=x-3\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(+\infty\) (par symétrie \(y=x-3\) en \(-\infty\)), \((C_f)\) étant au-dessus de cette droite en \(+\infty\).
Exercice 34
Considérons la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\sqrt{1-\ln x}\).
1) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(1-\ln x\geq0\iff x\leq e\).
✅ \(D_f=]0,e]\).
2) Résoudre l’équation \(f(x)=1\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{1-\ln x}=1\iff1-\ln x=1\iff\ln x=0\).
✅ \(S=\{1\}\).
3) Résoudre l’inéquation \(f(x)\leq1\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{1-\ln x}\leq1\iff0\leq1-\ln x\leq1\iff0\leq\ln x\leq1\).
✅ \(S=[1,e]\).
4) Étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) à gauche de \(e\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)-f(e)}{x-e}=\dfrac{\sqrt{1-\ln x}}{x-e}\) pour \(x<e\).
🔢 Étape 2 : Avec \(1-\ln x\sim\dfrac{e-x}e\) : \(\dfrac{\sqrt{(e-x)/e}}{-(e-x)}=-\dfrac1{\sqrt e\sqrt{e-x}}\to-\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à gauche en \(e\) : \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale au point \((e,0)\).
5) Étudier les variations de \(f\) et en déduire que \(f\) est une bijection de \(D_f\) vers un intervalle \(J\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Pour \(x\in]0,e[\) : \(f'(x)=\dfrac{-\frac1x}{2\sqrt{1-\ln x}}<0\). En \(0^+\), \(1-\ln x\to+\infty\), donc \(f\to+\infty\) ; \(f(e)=0\).
🔢 Étape 2 : \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(]0,e]\).
✅ \(f\) réalise une bijection de \(]0,e]\) sur \(J=f(]0,e])=[0,+\infty[\).
Exercice 35
Considérons la fonction \(g\) définie par \(g(x)=x\ln\left(1+\dfrac1x\right)\).
1) Déterminer l’ensemble de définition de \(g\).
Correction détaillée
🔢 \(1+\dfrac1x=\dfrac{x+1}x>0\iff x<-1\) ou \(x>0\).
✅ \(D_g=]-\infty,-1[\cup]0,+\infty[\).
2.a) Montrer que \(g\) admet un prolongement par continuité en \(0\), noté \(\tilde g\).
Correction détaillée
🔢 \(g(x)=x\ln(x+1)-x\ln x\) pour \(x>0\) : \(x\ln(x+1)\to0\) et \(x\ln x\to0\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}g=0\) : le prolongement \(\tilde g\) vérifie \(\tilde g(0)=0\).
2.b) Étudier la dérivabilité de \(\tilde g\) en \(0\) et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\tilde g(x)-\tilde g(0)}x=\ln\left(1+\dfrac1x\right)\to+\infty\) quand \(x\to0^+\).
✅ \(\tilde g\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) ; la courbe admet une demi-tangente verticale à l’origine.
3) Déterminer les limites de \(g\) en \(+\infty\) et en \(-1\) à gauche.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(h=\frac1x\to0^+\) et \(g(x)=\dfrac{\ln(1+h)}h\to1\).
🔢 Étape 2 : En \(-1^-\) : \(1+\frac1x\to0^+\) donc \(\ln\left(1+\frac1x\right)\to-\infty\), et \(x\to-1\) : \(g\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}g=1\) ; \(\lim\limits_{-1^-}g=+\infty\).
4) Déterminer la dérivée de \(g\) puis dresser le tableau de variation de \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g'(x)=\ln\left(1+\dfrac1x\right)+x\times\dfrac{-1/x^2}{1+1/x}=\ln\left(1+\dfrac1x\right)-\dfrac1{x+1}\).
🔢 Étape 2 : Posons \(k=g’\) : \(k'(x)=-\dfrac1{x(x+1)}+\dfrac1{(x+1)^2}=\dfrac{-1}{x(x+1)^2}\). Sur \(]0,+\infty[\), \(k'<0\) et \(k\to0\) en \(+\infty\), donc \(k>0\). Sur \(]-\infty,-1[\), \(k’>0\) et \(k\to0\) en \(-\infty\), donc \(k<0\).
✅ \(g\) est croissante sur \(]0,+\infty[\) (de \(0\) à \(1\)) et décroissante sur \(]-\infty,-1[\) (de \(1\) à \(+\infty\)).
5) Étudier les branches infinies de la courbe \(C_g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\lim\limits_{\pm\infty}g=1\) et \(\lim\limits_{-1^-}g=+\infty\).
🔢 Étape 2 : \(g\) croît vers \(1\) en \(+\infty\) (donc \(g<1\)) et décroît vers \(1\) en \(-\infty\) (donc \(g>1\)).
✅ \(y=1\) est asymptote horizontale en \(\pm\infty\) (\(C_g\) en dessous en \(+\infty\), au-dessus en \(-\infty\)) ; \(x=-1\) est asymptote verticale.
Exercice 36
Soit \(f\) la fonction numérique définie par \(f(x)=x(\ln x-1)^2\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\).
1) Déterminer \(D_f\), puis calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x(\ln x-1)^2\) pour \(x>0\) et \(f(0)=0\) : \(D_f=[0,+\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(x\to+\infty\) : \(x\to+\infty\) et \((\ln x-1)^2\to+\infty\).
✅ \(D_f=[0,+\infty[\) ; \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
2) Étudier la continuité de \(f\) à droite en \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\ln^2x-2x\ln x+x\). Or \(x\ln^2x=4\left(\sqrt x\ln\sqrt x\right)^2\to0\), \(x\ln x\to0\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=0=f(0)\) : \(f\) est continue à droite en \(0\).
3) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) à droite et interpréter le résultat géométriquement.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=(\ln x-1)^2\to+\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale à l’origine.
4) Étudier les variations de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=(\ln x-1)^2+2(\ln x-1)=(\ln x-1)(\ln x+1)\).
🔢 Étape 2 : \(f’>0\) sur \(]0,\frac1e[\), \(f'<0\) sur \(]\frac1e,e[\), \(f’>0\) sur \(]e,+\infty[\). \(f\left(\frac1e\right)=\frac4e\) et \(f(e)=0\).
✅ \(f\) croît sur \([0,\frac1e]\), décroît sur \([\frac1e,e]\), croît sur \([e,+\infty[\) ; maximum local \(\frac4e\) en \(\frac1e\), minimum local \(0\) en \(e\).
5) Déterminer le point d’inflexion de la courbe \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 \(f »(x)=\dfrac{\ln x+1}x+\dfrac{\ln x-1}x=\dfrac{2\ln x}x\), qui s’annule en changeant de signe en \(x=1\). \(f(1)=1\).
✅ \((C_f)\) admet un point d’inflexion \(I(1,1)\).
6) Déterminer les branches infinies de la courbe \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=(\ln x-1)^2\to+\infty\) quand \(x\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(+\infty\).
Exercice 37
Partie 1 Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x-1-\ln x\).
1.a) Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=1-\dfrac1x\).
✅ \(g'(x)=\dfrac{x-1}x\).
1.b) Étudier les variations de la fonction \(g\).
Correction détaillée
🔢 \(g'<0\) sur \(]0,1[\) et \(g’>0\) sur \(]1,+\infty[\).
✅ \(g\) décroît sur \(]0,1]\), croît sur \([1,+\infty[\) ; \(g(1)=0\).
2) En déduire que \(g(x)\geq0\) pour tout \(x\in]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Le minimum de \(g\) est \(g(1)=0\).
✅ \(g(x)\geq0\) pour tout \(x>0\) (soit \(\ln x\leq x-1\)).
Partie 2 Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x^2-x\ln x\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(\ln x\) impose \(x>0\) ; \(f(0)=0\) est donné.
✅ \(D_f=[0,+\infty[\).
2.a) Étudier la continuité de la fonction \(f\) à droite en \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2\to0\) et \(x\ln x\to0\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=0=f(0)\) : \(f\) est continue à droite en \(0\).
2.b) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) à droite et interpréter le résultat géométriquement.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=x-\ln x\to+\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale.
3) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), puis étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x^2\left(1-\dfrac{\ln x}x\right)\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=x-\ln x=g(x)\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\) ; branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
4.a) Montrer que \(\forall x>0\) : \(f'(x)=x+g(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=2x-\ln x-x\times\frac1x=2x-\ln x-1=x+(x-1-\ln x)\).
✅ \(f'(x)=x+g(x)\).
4.b) En déduire les variations de \(f\) sur \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>0\), \(g(x)\geq0\), donc \(f'(x)\geq x>0\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
5.a) Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\) est une tangente à \((C_f)\) au point \(A(1,1)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\) et \(f'(1)=1+g(1)=1\). L’équation de la tangente est \(y=f'(1)(x-1)+f(1)=x\).
✅ \((\Delta):y=x\) est tangente à \((C_f)\) en \(A(1,1)\).
5.b) Étudier les positions relatives de \((C_f)\) et de la droite \((\Delta)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=x^2-x-x\ln x=x(x-1-\ln x)=x\,g(x)\geq0\).
✅ \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]0,+\infty[\), avec contact en \(A(1,1)\).
6.a) Calculer \(f »(x)\) pour tout \(x>0\).
Correction détaillée
🔢 \(f »(x)=2-\dfrac1x\).
✅ \(f »(x)=\dfrac{2x-1}x\).
6.b) Étudier la concavité de la courbe \((C_f)\) et déterminer son point d’inflexion.
Correction détaillée
🔢 \(f »<0\) sur \(]0,\frac12[\) et \(f »>0\) sur \(]\frac12,+\infty[\). \(f\left(\frac12\right)=\frac14+\frac12\ln2\).
✅ \((C_f)\) est concave sur \(]0,\frac12]\), convexe sur \([\frac12,+\infty[\) ; point d’inflexion \(\left(\frac12,\frac14+\frac12\ln2\right)\).
8.a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
Correction détaillée
🔢 \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\) ; \(f(0)=0\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(f\) est une bijection de \([0,+\infty[\) sur \(J=[0,+\infty[\).
8.b) Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \(]0,+\infty[\), \(f'(x)>0\) : \(f^{-1}\) est dérivable sur \(f(]0,+\infty[)=]0,+\infty[\).
🔢 Étape 2 : En \(0\) : \(\dfrac{f^{-1}(y)-f^{-1}(0)}y=\dfrac x{f(x)}=\dfrac1{x-\ln x}\to0\) (en posant \(y=f(x)\to0^+\)).
✅ \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\) (et \((f^{-1})'(0)=0\)).
8.c) Calculer \((f^{-1})'(1)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\), donc \(f^{-1}(1)=1\) ; \((f^{-1})'(1)=\dfrac1{f'(1)}=\dfrac1{f'(f^{-1}(1))}\).
✅ \((f^{-1})'(1)=1\).
Partie 3 Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par \(u_0=\frac12\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(0\leq u_n\leq1\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=\frac12\in[0,1]\). Si \(u_n\in[0,1]\), comme \(f\) est croissante, \(f(0)\leq f(u_n)\leq f(1)\), c’est-à-dire \(0\leq u_{n+1}\leq1\).
✅ Par récurrence, \(0\leq u_n\leq1\) pour tout \(n\).
2) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=u_n\,g(u_n)\geq0\) (d’après 5.b)).
✅ \((u_n)\) est croissante.
3) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((u_n)\) est croissante et majorée par \(1\) : elle converge vers \(\ell\in\left[\frac12,1\right]\).
🔢 Étape 2 : \(f\) est continue : \(f(\ell)=\ell\iff\ell\,g(\ell)=0\iff g(\ell)=0\) (car \(\ell\geq\frac12>0\)) \(\iff\ell=1\).
✅ \(\lim u_n=1\).
Exercice 38
Partie 1 Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x(x-1)+\ln x\).
1.a) Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=2x-1+\dfrac1x\).
✅ \(g'(x)=\dfrac{2x^2-x+1}x\).
1.b) Étudier les variations de la fonction \(g\).
Correction détaillée
🔢 Le discriminant de \(2x^2-x+1\) est \(1-8<0\) : le trinôme est \(>0\).
✅ \(g’>0\) sur \(]0,+\infty[\) : \(g\) est strictement croissante.
2) Calculer \(g(1)\), puis déduire le signe de \(g(x)\) sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=1\times0+\ln1=0\). \(g\) est strictement croissante.
✅ \(g(x)<0\) sur \(]0,1[\) ; \(g(1)=0\) ; \(g(x)>0\) sur \(]1,+\infty[\).
Partie 2 Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=(x-1)^2+\ln^2(x)\).
1) Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter le résultat géométriquement.
Correction détaillée
🔢 \((x-1)^2\to1\) et \(\ln^2x\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=+\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale à \((C_f)\).
2) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x\), puis étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=x-2+\dfrac1x+\dfrac{\ln^2x}x\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\), \(\lim\limits_{+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
3.a) Montrer que \(\forall x\in]0,+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{2g(x)}x\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=2(x-1)+\dfrac{2\ln x}x=\dfrac{2\left(x^2-x+\ln x\right)}x\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2g(x)}x\).
3.b) En déduire les variations de \(f\) sur \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Signe de \(g\) : \(f'<0\) sur \(]0,1[\) et \(f’>0\) sur \(]1,+\infty[\).
✅ \(f\) décroît sur \(]0,1]\) et croît sur \([1,+\infty[\) ; minimum \(f(1)=0\).
Partie 3 Soit \(h\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(I=]0,1]\).
1) Montrer que la fonction \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
Correction détaillée
🔢 \(h\) est continue et strictement décroissante sur \(]0,1]\), avec \(\lim\limits_{0^+}h=+\infty\) et \(h(1)=0\).
✅ \(h\) est une bijection de \(]0,1]\) sur \(J=[0,+\infty[\).
Exercice 39
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x(\ln x)^2+x\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x(\ln x)^2+x\) pour \(x>0\), \(f(0)=0\).
✅ \(D_f=[0,+\infty[\).
2.a) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}x(\ln x)^2=0\).
Correction détaillée
🔢 Avec \(X=\sqrt x\to0^+\) : \(x(\ln x)^2=X^2(2\ln X)^2=4(X\ln X)^2\), et \(X\ln X\to0\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}x\ln^2x=0\).
2.b) En déduire que la fonction \(f\) est continue à droite du point \(x_0=0\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\ln^2x+x\to0+0=0=f(0)\).
✅ \(f\) est continue à droite en \(0\).
2.c) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) à droite et interpréter le résultat géométriquement.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=\ln^2x+1\to+\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale à l’origine.
3) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), puis étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\left(\ln^2x+1\right)\to+\infty\) et \(\dfrac{f(x)}x=\ln^2x+1\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
4) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in D_f\setminus\{0\}\), et étudier les variations de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\ln^2x+x\times\dfrac{2\ln x}x+1=\ln^2x+2\ln x+1=(\ln x+1)^2\geq0\).
✅ \(f'(x)\geq0\), nulle seulement en \(\frac1e\) : \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
5.a) Calculer \(f »(x)\) pour tout \(x\in D_f\setminus\{0\}\).
Correction détaillée
🔢 \(f »(x)=2(\ln x+1)\times\dfrac1x\).
✅ \(f »(x)=\dfrac{2(\ln x+1)}x\).
5.b) Étudier la concavité de la courbe \((C_f)\) et déterminer son point d’inflexion.
Correction détaillée
🔢 \(f »<0\) sur \(]0,\frac1e[\) et \(f »>0\) sur \(]\frac1e,+\infty[\). \(f\left(\frac1e\right)=\frac1e\times1+\frac1e=\frac2e\).
✅ \((C_f)\) est concave sur \(]0,\frac1e]\), convexe sur \([\frac1e,+\infty[\) ; point d’inflexion \(\left(\frac1e,\frac2e\right)\) (tangente horizontale).
6.a) Déterminer l’équation de la droite \((\Delta)\) tangente à la courbe \((C_f)\) au point d’abscisse \(x_0=1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\) et \(f'(1)=(0+1)^2=1\) : \(y=f'(1)(x-1)+f(1)\).
✅ \((\Delta):y=x\).
6.b) Étudier les positions relatives de \((C_f)\) et de la droite \((\Delta)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=x\ln^2x\geq0\).
✅ \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\), avec contact en \(x=1\).
8.a) Montrer que la fonction \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
Correction détaillée
🔢 \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\), \(f(0)=0\), \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(f\) est une bijection de \([0,+\infty[\) sur \(J=[0,+\infty[\).
8.b) Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé demande « dérivable sur \(J\) » mais \(f’\left(\frac1e\right)=0\) : \(f^{-1}\) n’est pas dérivable en \(\frac2e\).
🔢 Étape 1 : Comme \(f’\) s’annule en \(x=\frac1e\) (où \(f\left(\frac1e\right)=\frac2e\)), \(f^{-1}\) n’est pas dérivable en \(\frac2e\) : sa courbe y a une tangente verticale.
🔢 Étape 2 : Sur \(J\setminus\left\{\frac2e\right\}\), \(f’\neq0\) : \(f^{-1}\) est dérivable (en \(0\) : \(\frac x{f(x)}=\frac1{\ln^2x+1}\to0\), donc \((f^{-1})'(0)=0\)).
✅ \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\setminus\left\{\dfrac2e\right\}\).
8.c) Calculer \((f^{-1})'(1)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\) et \(f'(1)=1\).
✅ \((f^{-1})'(1)=\dfrac1{f'(1)}=1\).
Partie 2 Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par \(u_0=\frac1e\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(\frac1e\leq u_n\leq1\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=\frac1e\). Si \(\frac1e\leq u_n\leq1\), comme \(f\) est croissante : \(f\left(\frac1e\right)\leq u_{n+1}\leq f(1)\), c’est-à-dire \(\frac2e\leq u_{n+1}\leq1\), et \(\frac1e\leq\frac2e\).
✅ Par récurrence, \(\frac1e\leq u_n\leq1\) pour tout \(n\).
2) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=u_n\ln^2u_n\geq0\).
✅ \((u_n)\) est croissante.
3) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Croissante et majorée par \(1\) : elle converge vers \(\ell\in\left[\frac1e,1\right]\).
🔢 Étape 2 : \(f(\ell)=\ell\iff\ell\ln^2\ell=0\iff\ell=1\) (car \(\ell>0\)).
✅ \(\lim u_n=1\).
Exercice 40
La fonction \(f\) est définie sur \([1,+\infty[\) par \(f(x)=x\sqrt{\ln x}\). On désigne par \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Montrer que \(f\) est continue sur \(I=[1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(x\mapsto\ln x\) est continue et \(\geq0\) sur \(I\), \(\sqrt{\cdot}\) est continue sur \([0,+\infty[\), donc \(x\sqrt{\ln x}\) est continue sur \(I\) (produit et composée de fonctions continues).
✅ \(f\) est continue sur \([1,+\infty[\).
2.a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(1\) et interpréter géométriquement le résultat trouvé.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x\sqrt{\ln x}}{x-1}=x\times\sqrt{\dfrac{\ln x}{x-1}}\times\dfrac1{\sqrt{x-1}}\).
🔢 Étape 2 : Quand \(x\to1^+\) : \(\dfrac{\ln x}{x-1}\to1\), \(\dfrac1{\sqrt{x-1}}\to+\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(1\) : demi-tangente verticale au point \((1,0)\).
2.b) Dresser le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>1\) : \(f'(x)=\sqrt{\ln x}+x\times\dfrac{1/x}{2\sqrt{\ln x}}=\sqrt{\ln x}+\dfrac1{2\sqrt{\ln x}}>0\). \(f(1)=0\), \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\), de \(0\) à \(+\infty\).
3.a) Déterminer l’intersection de \((\Delta):y=x\) et \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 \(x\sqrt{\ln x}=x\iff\sqrt{\ln x}=1\) (car \(x\geq1>0\)) \(\iff\ln x=1\).
✅ \((\Delta)\) et \((C_f)\) se coupent au seul point \((e,e)\).
4.a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque définie sur \(J=[0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\) ; \(f(1)=0\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(f\) est une bijection de \([1,+\infty[\) sur \(J=[0,+\infty[\).
Exercice 41
Partie 1 Soit \(g\) la fonction définie sur \(]-1,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{2x}{x+1}-\ln(1+x)\).
1) Dresser le tableau de variation de \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g'(x)=\dfrac2{(x+1)^2}-\dfrac1{x+1}=\dfrac{1-x}{(x+1)^2}\).
🔢 Étape 2 : Limites : en \(-1^+\), \(g(x)=\dfrac{2x-(x+1)\ln(1+x)}{x+1}\) avec numérateur \(\to-2\) et dénominateur \(\to0^+\) : \(g\to-\infty\). En \(+\infty\) : \(\frac{2x}{x+1}\to2\) et \(-\ln(1+x)\to-\infty\) : \(g\to-\infty\).
🔢 Étape 3 : \(g(1)=1-\ln2\approx0{,}31\).
✅ \(g\) croît sur \(]-1,1]\) (de \(-\infty\) à \(1-\ln2\)) puis décroît sur \([1,+\infty[\) (vers \(-\infty\)).
2) Montrer que l’équation \(g(x)=0\) admet dans l’intervalle \(]-1,+\infty[\) deux solutions \(0\) et \(\alpha\) et vérifier que \(3{,}8<\alpha<4\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g(0)=0\). Sur \(]-1,1]\), \(g\) est strictement croissante : \(0\) est la seule solution.
🔢 Étape 2 : Sur \([1,+\infty[\), \(g\) est continue, strictement décroissante de \(1-\ln2>0\) à \(-\infty\) : une unique solution \(\alpha>1\).
🔢 Étape 3 : \(g(3{,}8)=\dfrac{7{,}6}{4{,}8}-\ln4{,}8\approx0{,}015>0\) et \(g(4)=\dfrac85-\ln5\approx-0{,}009<0\).
✅ \(g(x)=0\iff x=0\) ou \(x=\alpha\), avec \(3{,}8<\alpha<4\).
3) En déduire le signe de \(g(x)\) pour tout \(x\in]-1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 D’après les variations de \(g\) et ses zéros \(0\) et \(\alpha\).
✅ \(g(x)<0\) sur \(]-1,0[\) ; \(g(x)\geq0\) sur \([0,\alpha]\) ; \(g(x)<0\) sur \(]\alpha,+\infty[\).
4) Montrer que pour tout \(x\) de \(]-1,+\infty[\) : \(g(x)\leq1\).
Correction détaillée
🔢 Le maximum de \(g\) est \(g(1)=1-\ln2\).
✅ \(g(x)\leq1-\ln2<1\).
Partie 2 Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{\sqrt x}\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\).
1) Montrer que \(f\) est continue sur \([0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Sur \(]0,+\infty[\), c’est un quotient de fonctions continues. En \(0\) : \(f(x)=\sqrt x\times\dfrac{\ln(1+x)}x\to0\times1=0=f(0)\).
✅ \(f\) est continue sur \([0,+\infty[\).
2) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\ln(1+x)}x\times\dfrac1{\sqrt x}\to+\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale.
3) Montrer que \(\forall x>0\) : \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{2x\sqrt x}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{\frac{\sqrt x}{1+x}-\frac{\ln(1+x)}{2\sqrt x}}x=\dfrac{\frac{2x}{1+x}-\ln(1+x)}{2x\sqrt x}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{2x\sqrt x}\).
4) Dresser le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f’\) a le signe de \(g\) : positive sur \(]0,\alpha[\), négative sur \(]\alpha,+\infty[\). \(\lim\limits_{+\infty}f=\lim\dfrac{\ln(1+x)}{\sqrt x}=0\).
✅ \(f\) croît sur \([0,\alpha]\) (de \(0\) à \(f(\alpha)\)) puis décroît vers \(0\).
5) Vérifier que \(f(\alpha)=\dfrac{2\sqrt\alpha}{1+\alpha}\).
Correction détaillée
🔢 \(g(\alpha)=0\iff\ln(1+\alpha)=\dfrac{2\alpha}{\alpha+1}\), donc \(f(\alpha)=\dfrac{2\alpha}{(\alpha+1)\sqrt\alpha}\).
✅ \(f(\alpha)=\dfrac{2\sqrt\alpha}{1+\alpha}\).
Exercice 42
Partie A Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x^3-x-2\ln x+1\).
1) Montrer que pour tout \(x\in]0,+\infty[\) : \(g'(x)=\dfrac{(x-1)\left(3x^2+3x+2\right)}x\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=3x^2-1-\dfrac2x=\dfrac{3x^3-x-2}x\). Or \((x-1)(3x^2+3x+2)=3x^3-x-2\).
✅ \(g'(x)=\dfrac{(x-1)\left(3x^2+3x+2\right)}x\).
2) Étudier les variations de \(g\) puis déterminer le signe de \(g(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(3x^2+3x+2>0\) (\(\Delta=9-24<0\)) : \(g’\) a le signe de \(x-1\). \(g\) décroît sur \(]0,1]\), croît sur \([1,+\infty[\), et \(g(1)=1-1-0+1=1\).
✅ Le minimum de \(g\) est \(1>0\) : \(g(x)>0\) pour tout \(x>0\).
Partie B Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x+\dfrac1x+\dfrac{\ln x}{x^2}\) ; \((C_f)\) est sa courbe dans un repère orthonormé (unité \(2\) cm).
1) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac1x\to0\), \(\dfrac{\ln x}{x^2}\to0\), \(x\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
2) Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter graphiquement.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=\dfrac{x^3+x+\ln x}{x^2}\) : numérateur \(\to-\infty\), dénominateur \(\to0^+\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=-\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale.
3) Montrer que \(\forall x>0\) : \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}\), puis donner le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=1-\dfrac1{x^2}+\dfrac{\frac1x\cdot x^2-2x\ln x}{x^4}=1-\dfrac1{x^2}+\dfrac{1-2\ln x}{x^3}=\dfrac{x^3-x+1-2\ln x}{x^3}\).
🔢 Étape 2 : Comme \(g>0\) : \(f’>0\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}\) ; \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\), de \(-\infty\) à \(+\infty\).
4) Vérifier que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=\dfrac1x+\dfrac{\ln x}{x^2}\to0\).
✅ \((\Delta):y=x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(+\infty\).
5.a) Soit \(h\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(h(x)=x+\ln x\). Montrer que l’équation \(h(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle \(\left]\frac12,1\right[\), et vérifier que \(e^{-\alpha}=\alpha\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(h'(x)=1+\frac1x>0\) : \(h\) est strictement croissante et continue. \(h\left(\frac12\right)=\frac12-\ln2<0\), \(h(1)=1>0\).
🔢 Étape 2 : \(h(\alpha)=0\iff\ln\alpha=-\alpha\iff\alpha=e^{-\alpha}\).
✅ Il existe un unique \(\alpha\in\left]\frac12,1\right[\) avec \(h(\alpha)=0\), et \(e^{-\alpha}=\alpha\).
5.b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=\dfrac{x+\ln x}{x^2}=\dfrac{h(x)}{x^2}\).
✅ \((C_f)\) est au-dessous de \((\Delta)\) sur \(]0,\alpha[\), au-dessus sur \(]\alpha,+\infty[\), et les deux se coupent en \(x=\alpha\).
Exercice 43
Partie A (Étude d’une fonction auxiliaire) \(g\) est définie sur \([0,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{2x^2}{x^2+1}-\ln\left(1+x^2\right)\).
1) Démontrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) sur l’intervalle \(]1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g'(x)=\dfrac{4x}{\left(x^2+1\right)^2}-\dfrac{2x}{1+x^2}=\dfrac{2x\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\).
🔢 Étape 2 : \(g\) est strictement décroissante sur \([1,+\infty[\) de \(g(1)=1-\ln2>0\) vers \(\lim\limits_{+\infty}g=2-\infty=-\infty\) (\(\frac{2x^2}{x^2+1}\to2\) et \(\ln(1+x^2)\to+\infty\)).
✅ \(g\) étant continue et strictement décroissante sur \([1,+\infty[\), elle s’annule une seule fois en \(\alpha>1\).
2) Préciser le signe de \(g(x)\) sur l’intervalle \([0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g\) croît sur \([0,1]\) à partir de \(g(0)=0\), puis décroît et s’annule en \(\alpha\).
✅ \(g(x)\geq0\) sur \([0,\alpha]\) (nulle en \(0\) et en \(\alpha\)) et \(g(x)<0\) sur \(]\alpha,+\infty[\).
Partie B (Étude d’une fonction) \(f\) est définie sur \(I=[0,+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}x\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\).
1) Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\times\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}\to0\times1=0=f(0)\).
✅ \(f\) est continue à droite en \(0\).
2) Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)}x\) et interpréter géométriquement le résultat trouvé.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}\to1\).
✅ \(f\) est dérivable à droite en \(0\), \(f’_d(0)=1\) : la tangente à l’origine est la droite \(y=x\).
3.a) Vérifier que \(\forall x>0\) : \(f(x)=\dfrac{2\ln x}x+\dfrac1x\ln\left(1+\dfrac1{x^2}\right)\).
Correction détaillée
🔢 \(\ln\left(1+x^2\right)=\ln\left(x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)\right)=2\ln x+\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\).
✅ L’égalité est vérifiée.
3.b) En déduire \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et interpréter le résultat.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{2\ln x}x\to0\) et \(\dfrac1x\ln\left(1+\dfrac1{x^2}\right)\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale en \(+\infty\).
4.a) Démontrer que \(\forall x>0\) : \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{\frac{2x}{1+x^2}\cdot x-\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}=\dfrac{\frac{2x^2}{1+x^2}-\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
4.b) En déduire les variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f’\) a le signe de \(g\) (partie A).
✅ \(f\) croît sur \([0,\alpha]\), décroît sur \([\alpha,+\infty[\) ; maximum \(f(\alpha)\) ; \(\lim\limits_{+\infty}f=0\).
Exercice 44
Partie A Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x+(x-2)\ln x\).
a) Montrer que \(\forall x>0\) : \(g'(x)=\ln x+2\left(\dfrac{x-1}x\right)\).
Correction détaillée
⚠️ Sur le scan, \(g'(x)\) est écrit comme un produit « \(2\frac{x-1}x\ln x\) » : c’est une coquille, la dérivée correcte est \(\ln x+2\frac{x-1}x\).
🔢 \(g'(x)=1+\ln x+(x-2)\times\dfrac1x=\ln x+\dfrac{2x-2}x\).
✅ \(g'(x)=\ln x+2\,\dfrac{x-1}x\).
b) Étudier les variations de \(g\). Puis en déduire que la fonction \(g\) est strictement positive.
Correction détaillée
🔢 Sur \(]0,1[\) : \(\ln x<0\) et \(x-1<0\), donc \(g'<0\). Sur \(]1,+\infty[\) : \(g’>0\). \(g(1)=1\).
✅ \(g\) admet un minimum \(g(1)=1>0\) : \(g(x)>0\) pour tout \(x>0\).
Partie B Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=1+x\ln x-(\ln x)^2\) ; \((C_f)\) est sa courbe dans un repère orthonormé (unité \(2\) cm).
1) Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter géométriquement le résultat trouvé.
Correction détaillée
🔢 \(x\ln x\to0\) et \(-(\ln x)^2\to-\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=-\infty\) : asymptote verticale \(x=0\).
2) Montrer que \((C_f)\) admet une branche parabolique dirigée vers l’axe des ordonnées.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\left[\dfrac1x+\ln x-\dfrac{\ln^2x}x\right]\to+\infty\) et \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac1x+\ln x-\dfrac{\ln^2x}x\to+\infty\) quand \(x\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
3.a) Vérifier que \(\forall x>0\) : \(f'(x)=\dfrac{g(x)}x\), et étudier les variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=\ln x+1-\dfrac{2\ln x}x=\dfrac{x\ln x+x-2\ln x}x=\dfrac{x+(x-2)\ln x}x=\dfrac{g(x)}x\).
🔢 Étape 2 : \(g>0\) (partie A) donc \(f’>0\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
3.b) En déduire que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) que l’on précisera.
Correction détaillée
🔢 \(f\) est continue, strictement croissante, \(\lim\limits_{0^+}f=-\infty\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(f\) est une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(J=\mathbb R\).
4.a) Écrire une équation cartésienne de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\) et \(f'(1)=g(1)=1\) : \(y=1\times(x-1)+1\).
✅ \((T):y=x\).
4.b) Étudier le sens de variation de la fonction \(h\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(h(x)=x-1-\ln x\). En déduire le signe de \(h(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(h'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}x\) : \(h\) décroît sur \(]0,1]\), croît sur \([1,+\infty[\) ; \(h(1)=0\) est le minimum.
✅ \(h(x)\geq0\) pour tout \(x>0\) (nulle seulement en \(1\)).
4.c) Montrer que \(f(x)-x=(\ln x-1)\,h(x)\) et en déduire la position de la courbe \((C_f)\) par rapport à \((T)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((\ln x-1)(x-1-\ln x)=x\ln x-\ln x-\ln^2x-x+1+\ln x=1+x\ln x-\ln^2x-x=f(x)-x\).
🔢 Étape 2 : Comme \(h\geq0\) : \(f(x)-x\) a le signe de \(\ln x-1\) (ou est nul si \(x=1\)).
✅ \((C_f)\) est au-dessous de \((T)\) pour \(x<e\) (contact en \(x=1\)), et au-dessus pour \(x>e\) ; ils se coupent en \(x=e\).
Exercice 45
Bac 2014 session normale.
Partie I On considère la fonction \(g\) définie sur \(D=]0,+\infty[\) par \(g(x)=1-\dfrac1{x^2}+\ln x\).
1) Montrer que \(g'(x)=\dfrac2{x^3}+\dfrac1x\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) et en déduire que la fonction \(g\) est croissante sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=\dfrac{2}{x^3}+\dfrac1x\) (dérivée de \(-x^{-2}\) : \(2x^{-3}\)).
✅ \(g'(x)>0\) sur \(]0,+\infty[\) : \(g\) est strictement croissante.
2) Vérifier que \(g(1)=0\) puis en déduire que \(g(x)\leq0\) pour tout \(x\) de \(]0,1]\) et \(g(x)\geq0\) pour tout \(x\) de \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=1-1+0=0\), puis la croissance de \(g\).
✅ \(g(x)\leq0\) sur \(]0,1]\) et \(g(x)\geq0\) sur \([1,+\infty[\).
Partie II On considère \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=(1+\ln x)^2+\dfrac1{x^2}\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) (unité \(1\) cm).
1) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) ; puis interpréter géométriquement ce résultat.
Correction détaillée
🔢 \((1+\ln x)^2\to+\infty\) et \(\dfrac1{x^2}\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=+\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale.
2.a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \((1+\ln x)^2\to+\infty\) et \(\frac1{x^2}\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
2.b) Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(1+\ln x)^2}x=0\) (on pourra poser \(t=\sqrt x\)) puis montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Avec \(t=\sqrt x\) : \(\ln x=2\ln t\) et \(\dfrac{(1+\ln x)^2}x=\dfrac{(1+2\ln t)^2}{t^2}=\left(\dfrac1t+2\dfrac{\ln t}t\right)^2\to0\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{(1+\ln x)^2}x+\dfrac1{x^3}\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}\frac{f(x)}x=0\).
2.c) Déterminer la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)\to+\infty\) et \(\frac{f(x)}x\to0\).
✅ Branche parabolique de direction l’axe des abscisses.
3.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{2g(x)}x\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\), puis en déduire que la fonction \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et la fonction \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=2(1+\ln x)\times\dfrac1x-\dfrac2{x^3}=\dfrac2x\left(1+\ln x-\dfrac1{x^2}\right)=\dfrac{2g(x)}x\).
🔢 Étape 2 : Signe de \(g\) (partie I).
✅ \(f’\leq0\) sur \(]0,1]\) et \(f’\geq0\) sur \([1,+\infty[\).
3.b) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(]0,+\infty[\) puis en déduire que \(f(x)\geq2\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) admet un minimum \(f(1)=(1+0)^2+1=2\).
✅ \(f(x)\geq f(1)=2\).
5.a) On considère les deux intégrales suivantes : \(I=\displaystyle\int_1^e(1+\ln x)\,dx\) et \(J=\displaystyle\int_1^e(1+\ln x)^2dx\). Montrer que \(H:x\mapsto x\ln x\) est une primitive de la fonction \(h\mapsto1+\ln x\) sur \(]0,+\infty[\) et en déduire que \(I=e\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(H'(x)=\ln x+x\times\frac1x=1+\ln x\).
🔢 Étape 2 : \(I=H(e)-H(1)=e\ln e-0\).
✅ \(I=e\).
5.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(J=2e-1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : On pose \(u=1+\ln x\), \(u’=\frac1x\), \(v’=1+\ln x\), \(v=x\ln x\).
🔢 Étape 2 : \(J=\left[(1+\ln x)\,x\ln x\right]_1^e-\displaystyle\int_1^e\dfrac1x\,x\ln x\,dx=2e-\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx=2e-\left[x\ln x-x\right]_1^e=2e-1\).
✅ \(J=2e-1\).
5.c) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f)\) et l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=e\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\geq2>0\) : l’aire est \(\displaystyle\int_1^ef(x)\,dx=J+\int_1^e\dfrac{dx}{x^2}=2e-1+\left[-\dfrac1x\right]_1^e\).
🔢 Étape 2 : \(=2e-1+1-\dfrac1e\).
✅ \(\mathcal A=\left(2e-\dfrac1e\right)\) cm\(^2\).
Exercice 46
Bac 2015 session normale.
Partie I On considère la fonction numérique \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac1{x(1-\ln x)}\) et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) (unité \(2\) cm).
1) Montrer que \(D_f=]0,e[\,\cup\,]e,+\infty[\) (\(D_f\) ensemble de définition de la fonction \(f\)).
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(x(1-\ln x)\neq0\iff\ln x\neq1\iff x\neq e\).
✅ \(D_f=]0,e[\cup]e,+\infty[\).
2.a) Calculer \(\lim\limits_{x\to e^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to e^-}f(x)\) puis interpréter géométriquement ces deux résultats.
Correction détaillée
🔢 \(d(x)=x(1-\ln x)\) : en \(e^+\), \(\ln x>1\) donc \(d(x)\to0^-\) ; en \(e^-\), \(d(x)\to0^+\).
✅ \(\lim\limits_{e^+}f=-\infty\) et \(\lim\limits_{e^-}f=+\infty\) : la droite \(x=e\) est asymptote verticale.
2.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), puis en déduire que la courbe \((C_f)\) admet une asymptote au voisinage de \(+\infty\) dont on déterminera la direction.
Correction détaillée
🔢 \(x(1-\ln x)=x\left(1-\ln x\right)\to-\infty\) (produit de \(x\to+\infty\) par \(1-\ln x\to-\infty\)).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale en \(+\infty\).
2.c) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) (pour calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) on remarquera que \(x(1-\ln x)=x-x\ln x\)).
Correction détaillée
🔢 \(x-x\ln x\to0\) et, pour \(x\) proche de \(0\), \(x(1-\ln x)>0\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=+\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale.
3.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2}\) pour tout \(x\) de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Avec \(d(x)=x-x\ln x\) : \(d'(x)=1-\ln x-1=-\ln x\).
🔢 Étape 2 : \(f’=-\dfrac{d’}{d^2}=\dfrac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2}\).
3.b) Montrer que la fonction \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et la fonction \(f\) est croissante sur \([1;e[\) et \(]e;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Le signe de \(f’\) est celui de \(\ln x\) (le dénominateur est \(>0\)).
✅ \(f’\leq0\) sur \(]0,1]\), \(f’\geq0\) sur \([1,e[\) et sur \(]e,+\infty[\).
3.c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\). Limites : \(+\infty\) en \(0^+\) ; \(+\infty\) en \(e^-\) ; \(-\infty\) en \(e^+\) ; \(0\) en \(+\infty\).
✅ \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(1\) sur \(]0,1]\), croît de \(1\) à \(+\infty\) sur \([1,e[\), puis croît de \(-\infty\) à \(0\) sur \(]e,+\infty[\).
Partie II Soit la fonction \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=1-x^2(1-\ln x)\) (\((C_g)\) est sa courbe représentative).
1.b) On donne le tableau suivant : \(g(2{,}1)=-0{,}14\), \(g(2{,}2)=-0{,}02\), \(g(2{,}3)=0{,}12\), \(g(2{,}4)=0{,}28\). Montrer que l’équation \((E)\) : \(x\in]0,+\infty[\), \(g(x)=0\) admet une solution \(\alpha\) telle que \(2{,}2<\alpha<2{,}3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g'(x)=-2x(1-\ln x)+x=x(2\ln x-1)>0\) sur \(]\sqrt e,+\infty[\), donc \(g\) est continue et strictement croissante sur \([2{,}2;2{,}3]\subset]\sqrt e,+\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(g(2{,}2)<0<g(2{,}3)\).
✅ Théorème des valeurs intermédiaires : il existe un unique \(\alpha\in]2{,}2;2{,}3[\) tel que \(g(\alpha)=0\).
2.a) Vérifier que \(f(x)-x=\dfrac{g(x)}{x(1-\ln x)}\) pour tout \(x\) de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=\dfrac{1-x^2(1-\ln x)}{x(1-\ln x)}\).
✅ \(f(x)-x=\dfrac{g(x)}{x(1-\ln x)}\).
2.b) Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \((\Delta):y=x\) coupe la courbe \((C_f)\) en deux points d’abscisses respectives \(1\) et \(\alpha\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x\iff g(x)=0\). \(g(1)=1-1=0\).
🔢 Étape 2 : \(g\) décroît sur \(]0,\sqrt e]\) de \(1\) à \(g(\sqrt e)=1-\frac e2<0\) puis croît vers \(+\infty\) : \(g\) s’annule exactement deux fois, en \(1\) et en \(\alpha>\sqrt e\).
✅ \((\Delta)\) coupe \((C_f)\) aux points d’abscisses \(1\) et \(\alpha\) (\(\alpha<e\) donc \(\alpha\in D_f\)).
2.c) Déterminer le signe de \(g\) sur \([1,\alpha]\), et montrer que \(f(x)-x\leq0\) pour tout \(x\) de \([1,\alpha]\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \([1,\alpha]\), \(g\) est \(\leq0\) (entre ses deux zéros, \(g\) est négative d’après son tableau de variation).
🔢 Étape 2 : Sur \([1,\alpha]\subset[1,e[\), \(1-\ln x>0\) donc \(x(1-\ln x)>0\).
✅ \(g\leq0\) sur \([1,\alpha]\) et \(f(x)-x=\dfrac{g(x)}{x(1-\ln x)}\leq0\).
4.a) Montrer que \(\displaystyle\int_1^{\sqrt e}\dfrac1{x(1-\ln x)}dx=\ln2\) (on remarquera que \(\dfrac1{x(1-\ln x)}=\dfrac{\frac1x}{1-\ln x}\)).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{1/x}{1-\ln x}=-\dfrac{(1-\ln x)’}{1-\ln x}\), de primitive \(-\ln(1-\ln x)\) (\(1-\ln x>0\) sur \([1,\sqrt e]\)).
🔢 Étape 2 : \(\left[-\ln(1-\ln x)\right]_1^{\sqrt e}=-\ln\left(1-\frac12\right)+\ln1=\ln2\).
✅ \(\displaystyle\int_1^{\sqrt e}f(x)\,dx=\ln2\).
4.b) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f)\) et la droite \((\Delta)\) et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=\sqrt e\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \([1,\sqrt e]\), \(f(x)\leq x\) (2.c, car \(\sqrt e<\alpha\)). Aire en unités d’aire : \(\displaystyle\int_1^{\sqrt e}(x-f(x))\,dx=\left[\dfrac{x^2}2\right]_1^{\sqrt e}-\ln2=\dfrac{e-1}2-\ln2\).
🔢 Étape 2 : Une unité d’aire vaut \(2\times2=4\) cm\(^2\).
✅ \(\mathcal A=4\left(\dfrac{e-1}2-\ln2\right)=(2e-2-4\ln2)\) cm\(^2\).
Partie III On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
1) Montrer par récurrence que : \(0\leq u_n\leq\alpha\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
Correction détaillée
⚠️ Sur \(]0,1[\) la fonction \(f\) est décroissante : la récurrence « \(0\leq u_n\leq\alpha\) » seule ne se transmet pas par \(f\), on utilise donc l’encadrement plus fin \(1\leq u_n\leq\alpha\).
🔢 Étape 1 : On montre \(1\leq u_n\leq\alpha\) (ce qui entraîne \(0\leq u_n\leq\alpha\)). \(u_0=2\in[1,\alpha]\).
🔢 Étape 2 : \(f\) est croissante sur \([1,e[\supset[1,\alpha]\) : si \(1\leq u_n\leq\alpha\), alors \(f(1)\leq u_{n+1}\leq f(\alpha)\), soit \(1\leq u_{n+1}\leq\alpha\) car \(f(1)=1\) et \(f(\alpha)=\alpha\) (\(g(\alpha)=0\)).
✅ Pour tout \(n\), \(1\leq u_n\leq\alpha\), donc \(0\leq u_n\leq\alpha\).
2) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question II 2) c-).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\leq0\) car \(u_n\in[1,\alpha]\) (II.2.c).
✅ \((u_n)\) est décroissante.
3) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Décroissante et minorée par \(1\) : elle converge vers \(\ell\in[1,2]\). \(f\) est continue sur \([1,2]\) : \(f(\ell)=\ell\iff g(\ell)=0\iff\ell=1\) ou \(\ell=\alpha\).
🔢 Étape 2 : Or \(\ell\leq u_0=2<\alpha\), donc \(\ell=1\).
✅ \(\lim u_n=1\).
Exercice 47
Bac 2015 session de rattrapage.
Partie I Soit la fonction \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=1-x+x\ln x\).
1.a) Montrer que \(g'(x)=\ln x\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=-1+\ln x+x\times\frac1x\).
✅ \(g'(x)=\ln x\).
1.b) Montrer que la fonction \(g\) est décroissante sur \(]0,1]\) et la fonction \(g\) est croissante sur \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(\ln x\leq0\) sur \(]0,1]\) et \(\ln x\geq0\) sur \([1,+\infty[\).
✅ \(g\) décroît sur \(]0,1]\) et croît sur \([1,+\infty[\).
2) Calculer \(g(1)\) puis en déduire que \(g(x)\geq0\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=0\) est le minimum de \(g\).
✅ \(g(1)=0\) et \(g(x)\geq0\) pour tout \(x>0\).
Partie II Soit \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=3-\dfrac1{x^2}-\dfrac{2\ln x}x\) (unité \(1\) cm).
1) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) puis interpréter géométriquement ce résultat (pour calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) on remarquera que \(f(x)=\dfrac{3x^2-1-2x\ln x}{x^2}\)).
Correction détaillée
🔢 Numérateur \(\to-1\) (car \(x\ln x\to0\)), dénominateur \(\to0^+\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=-\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale.
2) Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=3\) puis en déduire la nature de la branche de la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé parle de « branche parabolique », mais une limite finie donne en réalité une asymptote horizontale.
🔢 \(\dfrac1{x^2}\to0\) et \(\dfrac{\ln x}x\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=3\) : la droite \(y=3\) est asymptote horizontale à \((C_f)\) en \(+\infty\).
3.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{2g(x)}{x^3}\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\left(\dfrac{2\ln x}x\right)’=\dfrac{2(1-\ln x)}{x^2}\) et \(\left(-\dfrac1{x^2}\right)’=\dfrac2{x^3}\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac2{x^3}-\dfrac{2(1-\ln x)}{x^2}=\dfrac{2-2x+2x\ln x}{x^3}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2g(x)}{x^3}\).
3.b) Interpréter géométriquement le résultat \(f'(1)=0\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(1)=\dfrac{2g(1)}1=0\) et \(f(1)=3-1-0=2\).
✅ \((C_f)\) admet au point \((1,2)\) une tangente horizontale.
3.c) Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g(x)\geq0\), donc \(f'(x)\geq0\).
✅ \(f\) est croissante sur \(]0,+\infty[\).
5.a) Montrer que \(\displaystyle\int_1^e\dfrac{2\ln x}xdx=1\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{2\ln x}x=2u’u\) avec \(u=\ln x\) : primitive \((\ln x)^2\).
✅ \(\left[(\ln x)^2\right]_1^e=1\).
5.b) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=e\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est croissante et \(f(1)=2>0\), donc \(f>0\) sur \([1,e]\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^ef=\int_1^e3\,dx-\int_1^e\dfrac{dx}{x^2}-\int_1^e\dfrac{2\ln x}xdx=3(e-1)-\left(1-\dfrac1e\right)-1\).
✅ \(\mathcal A=\left(3e-5+\dfrac1e\right)\) cm\(^2\).
6.a) Soit la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb R^*\) par \(h(x)=3-\dfrac1{x^2}-\dfrac{2\ln|x|}{|x|}\). Montrer que la fonction \(h\) est paire et que \(h(x)=f(x)\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
⚠️ Sur le scan, \(h(x)\) est écrit avec « \(+\frac{2\ln x}{|x|}\) » : on a corrigé en \(-\frac{2\ln|x|}{|x|}\) pour que \(h=f\) sur \(]0,+\infty[\) comme l’énonce la question.
🔢 Étape 1 : \(\mathbb R^*\) est symétrique par rapport à \(0\) et \(h(-x)=3-\dfrac1{x^2}-\dfrac{2\ln|-x|}{|-x|}=h(x)\) : \(h\) est paire.
🔢 Étape 2 : Pour \(x>0\), \(|x|=x\) et \(h(x)=3-\dfrac1{x^2}-\dfrac{2\ln x}x=f(x)\).
✅ \(h\) est paire et coïncide avec \(f\) sur \(]0,+\infty[\).
Exercice 48
Bac 2016 session de rattrapage.
Partie I Soit la fonction \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac2x-1+2\ln x\), dont le tableau de variations est donné : \(g\) décroît sur \(]0,1]\) et croît sur \([1,+\infty[\).
1) Calculer \(g(1)\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=2-1+0\).
✅ \(g(1)=1\).
2) En déduire à partir du tableau que \(g(x)>0\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Le minimum de \(g\) est \(g(1)=1>0\).
✅ \(g(x)>0\) pour tout \(x>0\).
Partie II Soit la fonction numérique \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=3-3x+2(x+1)\ln x\) (unité \(2\) cm).
1) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) et interpréter géométriquement ce résultat.
Correction détaillée
🔢 \(3-3x\to3\), \(x+1\to1\) et \(\ln x\to-\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=-\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale.
2.a) Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) (on pourra utiliser \(f(x)=x\left[\dfrac3x-3+2\left(1+\dfrac1x\right)\ln x\right]\)).
Correction détaillée
🔢 Le crochet tend vers \(-3+2\ln x\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
2.b) Montrer que la courbe \((C_f)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique dont la direction est celle de l’axe des ordonnées.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac3x-3+2\left(1+\dfrac1x\right)\ln x\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
3.a) Montrer que \(f'(x)=g(x)\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=-3+2\ln x+2(x+1)\times\dfrac1x=2\ln x+\dfrac2x-1\).
✅ \(f'(x)=g(x)\).
3.b) En déduire que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\) et dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f’=g>0\). Limites : \(-\infty\) en \(0^+\), \(+\infty\) en \(+\infty\).
✅ \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) à \(+\infty\).
4.a) Montrer que \(I(1,0)\) est un point d’inflexion de la courbe \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=0\). \(f »(x)=g'(x)=-\dfrac2{x^2}+\dfrac2x=\dfrac{2(x-1)}{x^2}\) s’annule en \(1\) en changeant de signe.
✅ \(I(1,0)\) est un point d’inflexion de \((C_f)\).
4.b) Montrer que \(y=x\) est l’équation de la droite \((T)\) tangente à la courbe \((C_f)\) au point \(I\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé annonce « \(y=x\) » : en fait \(f(1)=0\) et \(f'(1)=1\) donnent \(y=x-1\) (coquille probable).
🔢 \(f'(1)=g(1)=1\) et \(f(1)=0\) : \(y=f'(1)(x-1)+f(1)=x-1\).
✅ La tangente en \(I\) est \(y=x-1\).
5.a) Montrer que \(\displaystyle\int_1^2\left(1+\dfrac x2\right)dx=\dfrac74\).
Correction détaillée
🔢 \(\left[x+\dfrac{x^2}4\right]_1^2=(2+1)-\left(1+\dfrac14\right)\).
✅ \(=\dfrac74\).
5.b) À l’aide d’une intégration par parties montrer que \(\displaystyle\int_1^2(x+1)\ln x\,dx=4\ln2-\dfrac74\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=x+1\), \(v=\dfrac{x^2}2+x\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^2(x+1)\ln x\,dx=\left[\left(\dfrac{x^2}2+x\right)\ln x\right]_1^2-\int_1^2\left(\dfrac x2+1\right)dx=4\ln2-\dfrac74\).
✅ \(=4\ln2-\dfrac74\).
5.c) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est croissante avec \(f(1)=0\) : \(f\geq0\) sur \([1,2]\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^2f=\int_1^2(3-3x)\,dx+2\int_1^2(x+1)\ln x\,dx=-\dfrac32+2\left(4\ln2-\dfrac74\right)=8\ln2-5\).
🔢 Étape 3 : Une unité d’aire vaut \(4\) cm\(^2\).
✅ \(\mathcal A=4(8\ln2-5)=(32\ln2-20)\) cm\(^2\).
6) Résoudre \(\left(x\in]0,+\infty[\right)\) l’inéquation \((x+1)\ln x\geq\dfrac32(x-1)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((x+1)\ln x\geq\frac32(x-1)\iff2(x+1)\ln x-3(x-1)\geq0\iff3-3x+2(x+1)\ln x\geq0\iff f(x)\geq0\).
🔢 Étape 2 : \(f\) est strictement croissante et \(f(1)=0\) : \(f(x)\geq0\iff x\geq1\).
✅ \(S=[1,+\infty[\) (résolution algébrique, sans lecture graphique).
Exercice 49
Bac 2017 session normale.
Partie I On considère la fonction numérique \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x^2+x-2+2\ln x\) ; \(g\) est croissante sur \(]0,+\infty[\) (de \(-\infty\) à \(+\infty\)).
1) Vérifier que \(g(1)=0\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=1+1-2+0\).
✅ \(g(1)=0\).
2) À partir du tableau de variations de la fonction \(g\), montrer que \(g(x)\leq0\) pour tout \(x\) de \(]0,1]\) et que \(g(x)\geq0\) pour tout \(x\) de \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g\) est croissante et \(g(1)=0\).
✅ \(g\leq0\) sur \(]0,1]\), \(g\geq0\) sur \([1,+\infty[\).
Partie II Soit \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x+\left(1-\dfrac2x\right)\ln x\) (unité \(1\) cm).
1) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et interpréter géométriquement ce résultat.
Correction détaillée
🔢 \(1-\frac2x\to-\infty\) et \(\ln x\to-\infty\) : le produit \(\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\).
2.a) Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(x\to+\infty\) et \(\left(1-\frac2x\right)\ln x\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
2.b) Montrer que la courbe \((C_f)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique dont la direction est la droite \((D)\) d’équation \(y=x\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=1+\left(1-\dfrac2x\right)\dfrac{\ln x}x\to1\) et \(f(x)-x=\left(1-\dfrac2x\right)\ln x\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction la droite \(y=x\).
3.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1+\dfrac2{x^2}\ln x+\left(1-\dfrac2x\right)\dfrac1x=\dfrac{x^2+2\ln x+x-2}{x^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
3.b) Montrer que la fonction \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et la fonction \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Signe de \(g\) (partie I).
✅ \(f\) décroît sur \(]0,1]\) et croît sur \([1,+\infty[\).
3.c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\).
✅ \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(1\) puis croît de \(1\) à \(+\infty\).
4.a) Résoudre dans l’intervalle \(]0,+\infty[\) l’équation \(\left(1-\dfrac2x\right)\ln x=0\).
Correction détaillée
🔢 \(1-\frac2x=0\iff x=2\) ou \(\ln x=0\iff x=1\).
✅ \(S=\{1,2\}\).
4.b) En déduire que la courbe \((C_f)\) coupe la droite \((D)\) en deux points dont on déterminera les coordonnées.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\iff\left(1-\frac2x\right)\ln x=0\). \(f(1)=1\) et \(f(2)=2\).
✅ Points d’intersection : \((1,1)\) et \((2,2)\).
4.c) Montrer que \(f(x)\leq x\) pour tout \(x\) de \([1,2]\) et en déduire la position relative de la courbe \((C_f)\) et la droite \((D)\) sur \([1,2]\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=\dfrac{x-2}x\ln x\) : sur \([1,2]\), \(x-2\leq0\) et \(\ln x\geq0\).
✅ \(f(x)\leq x\) : \((C_f)\) est au-dessous de \((D)\) sur \([1,2]\).
6.a) Montrer que \(\displaystyle\int_1^2\dfrac{\ln x}xdx=\dfrac12(\ln2)^2\).
Correction détaillée
🔢 \(\left[\dfrac{(\ln x)^2}2\right]_1^2\).
✅ \(=\dfrac12(\ln2)^2\).
6.b) Montrer que \(H:x\mapsto2\ln x-x\) est une primitive de la fonction \(h:x\mapsto\dfrac2x-1\) sur l’intervalle \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(H'(x)=\dfrac2x-1\).
✅ \(H’=h\).
6.c) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que \(\displaystyle\int_1^2\left(\dfrac2x-1\right)\ln x\,dx=(1-\ln2)^2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=\frac2x-1\), \(v=2\ln x-x\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\left[(2\ln x-x)\ln x\right]_1^2-\int_1^2\dfrac{2\ln x-x}xdx=(2\ln2-2)\ln2-\left[(\ln x)^2-x\right]_1^2=2\ln^22-2\ln2-\left(\ln^22-1\right)\).
✅ \(=\ln^22-2\ln2+1=(1-\ln2)^2\).
6.d) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f)\) et la droite \((D)\) et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=2\).
Correction détaillée
🔢 Sur \([1,2]\), \(x-f(x)=\left(\dfrac2x-1\right)\ln x\geq0\). L’aire est \(\displaystyle\int_1^2\left(\dfrac2x-1\right)\ln x\,dx\).
✅ \(\mathcal A=(1-\ln2)^2\) cm\(^2\).
Partie III On considère la suite numérique définie par \(u_0=\sqrt3\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout entier naturel \(n\).
1) Montrer par récurrence que : \(1\leq u_n\leq2\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 \(1\leq\sqrt3\leq2\). \(f\) est croissante sur \([1,2]\), \(f(1)=1\), \(f(2)=2\) : si \(1\leq u_n\leq2\), alors \(1\leq f(u_n)\leq2\).
✅ \(1\leq u_n\leq2\) pour tout \(n\).
2) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question II 4) c-).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\leq0\) car \(u_n\in[1,2]\).
✅ \((u_n)\) est décroissante.
3) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
Correction détaillée
🔢 Décroissante et minorée par \(1\) : convergente vers \(\ell\in\left[1,\sqrt3\right]\). \(f(\ell)=\ell\iff\ell\in\{1,2\}\) ; or \(\ell\leq\sqrt3<2\).
✅ \(\lim u_n=1\).
Exercice 50
Bac 2018 session de rattrapage.
Partie I Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x^3-1-2\ln^2(x)+2\ln x\) ; \(g\) est croissante sur \(]0,+\infty[\) (de \(-\infty\) à \(+\infty\)).
1) Calculer \(g(1)\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=1-1-0+0\).
✅ \(g(1)=0\).
2) À partir de ce tableau, déterminer le signe de \(g(x)\) sur chacun des intervalles \(]0,1]\) et \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g\) est croissante et \(g(1)=0\).
✅ \(g\leq0\) sur \(]0,1]\), \(g\geq0\) sur \([1,+\infty[\).
Partie II Soit \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x-\dfrac12+\dfrac1{2x^2}+\left(\dfrac{\ln x}x\right)^2\) (unité \(1\) cm).
1.a) Vérifier que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(x\to+\infty\) ; \(\frac1{2x^2}\to0\) ; \(\left(\frac{\ln x}x\right)^2\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
1.b) Montrer que la droite \((D)\) d’équation \(y=x-\frac12\) est asymptote à la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-\left(x-\frac12\right)=\dfrac1{2x^2}+\left(\dfrac{\ln x}x\right)^2\to0\).
✅ \((D):y=x-\frac12\) est asymptote oblique en \(+\infty\).
1.c) Déterminer la position relative de la droite \((D)\) et la courbe \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-\left(x-\frac12\right)=\dfrac1{2x^2}+\left(\dfrac{\ln x}x\right)^2>0\).
✅ \((C_f)\) est strictement au-dessus de \((D)\).
2) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et interpréter géométriquement le résultat.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x-\dfrac12+\dfrac{\frac12+\ln^2x}{x^2}\) avec \(\dfrac12+\ln^2x\to+\infty\) et \(x^2\to0^+\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\).
3.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}\) pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\left(\dfrac{\ln x}x\right)^2\) a pour dérivée \(2\dfrac{\ln x}x\times\dfrac{1-\ln x}{x^2}=\dfrac{2\ln x-2\ln^2x}{x^3}\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=1-\dfrac1{x^3}+\dfrac{2\ln x-2\ln^2x}{x^3}=\dfrac{x^3-1+2\ln x-2\ln^2x}{x^3}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}\).
3.b) Montrer que la fonction \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et que la fonction \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Signe de \(g\).
✅ \(f\) décroît sur \(]0,1]\) et croît sur \([1,+\infty[\).
3.c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1-\frac12+\frac12+0=1\).
✅ \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(1\), puis croît de \(1\) à \(+\infty\).
Partie III On considère la fonction \(h\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(h(x)=f(x)-x\).
1.a) Vérifier que \(h(1)=0\).
Correction détaillée
🔢 \(h(1)=f(1)-1=0\).
✅ \(h(1)=0\).
1.b) Déterminer le signe de \(h(x)\) sur chacun des intervalles \(]0,1]\) et \([1,+\infty[\), puis en déduire que \(f(x)\leq x\) pour tout \(x\) de \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
⚠️ Dans l’énoncé, ce signe est lu graphiquement sur la courbe de \(h\) ; on le démontre ici par le calcul.
🔢 Étape 1 : \(h(x)=\dfrac{1-x^2+2\ln^2x}{2x^2}\). Posons \(k(x)=1-x^2+2\ln^2x\) : \(k(1)=0\) et \(k'(x)=-2x+\dfrac{4\ln x}x=\dfrac{4\ln x-2x^2}x\).
🔢 Étape 2 : Comme \(\ln x\leq x-1\), \(4\ln x-2x^2\leq-2x^2+4x-4=-2\left(x^2-2x+2\right)<0\) : \(k\) est strictement décroissante, donc \(k\geq0\) sur \(]0,1]\) et \(k\leq0\) sur \([1,+\infty[\).
✅ \(h\geq0\) sur \(]0,1]\), \(h\leq0\) sur \([1,+\infty[\) : \(f(x)\leq x\) pour tout \(x\geq1\).
2.a) On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=e\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\). Montrer par récurrence que \(1\leq u_n\leq e\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=e\). \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\) avec \(f(1)=1\) et \(f(e)\leq e\) (III.1.b) : si \(1\leq u_n\leq e\), alors \(1\leq f(u_n)\leq f(e)\leq e\).
✅ \(1\leq u_n\leq e\) pour tout \(n\).
2.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question III 1) b-).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=h(u_n)\leq0\).
✅ \((u_n)\) est décroissante.
2.c) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Décroissante et minorée par \(1\) : elle converge vers \(\ell\in[1,e]\), avec \(f(\ell)=\ell\iff h(\ell)=0\iff k(\ell)=0\).
🔢 Étape 2 : \(k\) est strictement décroissante et \(k(1)=0\) : \(\ell=1\).
✅ \(\lim u_n=1\).
Exercice 51
Bac 2019 session normale.
Première partie Soit \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x+\dfrac12-\ln x+\dfrac12(\ln x)^2\) ; \((C_f)\) est sa courbe représentative (unité \(1\) cm).
1) Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) puis interpréter géométriquement le résultat.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x+\dfrac12+\left(\dfrac12\ln x-1\right)\ln x\) (voir 2.a) : \(\left(\frac12\ln x-1\right)\to-\infty\) et \(\ln x\to-\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\).
2.a) Vérifier que pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) : \(f(x)=x+\dfrac12+\left(\dfrac12\ln x-1\right)\ln x\).
Correction détaillée
🔢 \(\left(\frac12\ln x-1\right)\ln x=\frac12\ln^2x-\ln x\).
✅ L’égalité est vérifiée.
2.b) En déduire que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(\frac12\ln x-1\to+\infty\) et \(\ln x\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
2.c) Montrer que pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) : \(\dfrac{(\ln x)^2}x=4\left(\dfrac{\ln\sqrt x}{\sqrt x}\right)^2\) puis en déduire que \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^2}x=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\ln x=2\ln\sqrt x\) et \(x=(\sqrt x)^2\) : \(\dfrac{\ln^2x}x=\dfrac{4\ln^2\sqrt x}{(\sqrt x)^2}\).
🔢 Étape 2 : Avec \(t=\sqrt x\to+\infty\) : \(\dfrac{\ln t}t\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}\dfrac{(\ln x)^2}x=0\).
2.d) Montrer que \((C_f)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique dont la direction asymptotique est la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=1+\dfrac1{2x}-\dfrac{\ln x}x+\dfrac{\ln^2x}{2x}\to1\) et \(f(x)-x=\dfrac12-\ln x+\dfrac12\ln^2x\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction \((\Delta):y=x\).
3.a) Montrer que pour tout \(x\) de \(]0,1]\) : \((x-1)+\ln x\leq0\) et que pour tout \(x\) de \([1,+\infty[\) : \((x-1)+\ln x\geq0\).
Correction détaillée
🔢 \(\varphi(x)=x-1+\ln x\) est strictement croissante (\(\varphi’=1+\frac1x>0\)) et \(\varphi(1)=0\).
✅ \(\varphi\leq0\) sur \(]0,1]\) et \(\varphi\geq0\) sur \([1,+\infty[\).
3.b) Montrer que pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{x-1+\ln x}x\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1-\dfrac1x+\dfrac{\ln x}x=\dfrac{x-1+\ln x}x\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{x-1+\ln x}x\).
3.c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 Signe de \(f’\) : celui de \(\varphi\). \(f(1)=1+\frac12=\frac32\).
✅ \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(\frac32\) sur \(]0,1]\), puis croît de \(\frac32\) à \(+\infty\) sur \([1,+\infty[\).
4.a) Montrer que pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) : \(f »(x)=\dfrac{2-\ln x}{x^2}\).
Correction détaillée
🔢 \(f »(x)=\dfrac{\left(1+\frac1x\right)x-(x-1+\ln x)}{x^2}=\dfrac{x+1-x+1-\ln x}{x^2}\).
✅ \(f »(x)=\dfrac{2-\ln x}{x^2}\).
4.b) En déduire que \((C_f)\) admet un point d’inflexion dont on déterminera les coordonnées.
Correction détaillée
🔢 \(f »\) s’annule en changeant de signe pour \(\ln x=2\), soit \(x=e^2\). \(f(e^2)=e^2+\frac12-2+\frac12\times4\).
✅ Point d’inflexion \(\left(e^2,\;e^2+\dfrac12\right)\).
5.a) Montrer que pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) : \(f(x)-x=\dfrac12(\ln x-1)^2\), puis en déduire la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
Correction détaillée
🔢 \(\frac12(\ln x-1)^2=\frac12\ln^2x-\ln x+\frac12=f(x)-x\).
✅ \(f(x)-x\geq0\) : \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\), avec contact en \(x=e\).
6.a) Montrer que \(H:x\mapsto x\ln x-x\) est une primitive de la fonction \(h:x\mapsto\ln x\) sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(H'(x)=\ln x+1-1\).
✅ \(H’=h\).
6.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_1^e(\ln x)^2dx=e-2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(u’=\frac1x\), \(v’=\ln x\), \(v=x\ln x-x\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^e\ln^2x\,dx=\left[x\ln^2x\right]_1^e-2\int_1^e\ln x\,dx=e-2\left[x\ln x-x\right]_1^e=e-2\).
✅ \(\displaystyle\int_1^e(\ln x)^2dx=e-2\).
6.c) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((C_f)\) et \((\Delta)\) et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=e\).
Correction détaillée
🔢 \(\mathcal A=\displaystyle\int_1^e\left(f(x)-x\right)dx=\int_1^e\left(\dfrac12\ln^2x-\ln x+\dfrac12\right)dx=\dfrac12(e-2)-1+\dfrac{e-1}2\).
✅ \(\mathcal A=\left(e-\dfrac52\right)\) cm\(^2\).
Deuxième partie Soit \((u_n)\) la suite numérique définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
1.a) Montrer par récurrence que : \(1\leq u_n\leq e\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=1\). \(f\) est croissante sur \([1,e]\), \(f(1)=\frac32\geq1\) et \(f(e)=e+\frac12-1+\frac12=e\) : si \(1\leq u_n\leq e\), alors \(1\leq f(1)\leq u_{n+1}\leq f(e)=e\).
✅ \(1\leq u_n\leq e\) pour tout \(n\).
1.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=\frac12(\ln u_n-1)^2\geq0\).
✅ \((u_n)\) est croissante.
1.c) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
Correction détaillée
🔢 Croissante et majorée par \(e\).
✅ \((u_n)\) est convergente.
2) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).
Correction détaillée
🔢 La limite \(\ell\in[1,e]\) vérifie \(f(\ell)=\ell\iff\frac12(\ln\ell-1)^2=0\iff\ell=e\).
✅ \(\lim u_n=e\).