Ce devoir 2 du 2ème semestre 2ème Bac (PC et SVT) propose deux modèles de devoirs avec examen blanc : géométrie dans l’espace, nombres complexes, probabilités, suites numériques et étude de fonctions logarithmiques. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.
Devoir 2 corrigé du 2ème semestre 2ème Bac
Devoirs 2 du 2ème semestre · Série de synthèse 2ème Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les points \(A(3,0,2)\), \(B(5,-1,1)\), \(C(0,2,3)\) et la sphère \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2-2x-2z-25=0\).
1) Montrer que le centre de la sphère \((S)\) est \(\Omega(1,0,1)\) et que son rayon est \(R=3\sqrt3\).
Correction détaillée
⚠️ L’équation est lue \(x^2+y^2+z^2-2x-2z-25=0\) (le signe devant \(y^2\) est flou sur le scan ; c’est la seule lecture qui donne \(R=3\sqrt3\)).
📘 Méthode : Sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(R\) : \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\). Produit vectoriel : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\). Distance : \(d(\Omega,\mathcal P)=\dfrac{|ax_\Omega+by_\Omega+cz_\Omega+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). Si \(d<R\), le plan coupe la sphère suivant un cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\), de centre le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan.
🔢 \(x^2+y^2+z^2-2x-2z-25=0\iff(x-1)^2+y^2+(z-1)^2=25+1+1=27\).
✅ Centre \(\Omega(1,0,1)\), rayon \(R=\sqrt{27}=3\sqrt3\).
2.a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec i+\vec j+\vec k\) et que \(x+y+z-5=0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(2,-1,-1)\), \(\overrightarrow{AC}(-3,2,1)\).
🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left(\begin{vmatrix}-1&-1\\2&1\end{vmatrix},\ -\begin{vmatrix}2&-1\\-3&1\end{vmatrix},\ \begin{vmatrix}2&-1\\-3&2\end{vmatrix}\right)=(-1+2,\ -(2-3),\ 4-3)=(1,1,1)\).
🔢 Étape 3 : Le plan a pour équation \(x+y+z+d=0\) ; \(A(3,0,2)\) : \(3+0+2+d=0\Rightarrow d=-5\).
✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec i+\vec j+\vec k\) et \((ABC):x+y+z-5=0\).
2.b) Vérifier que \(d(\Omega,(ABC))=\sqrt3\) puis montrer que \((ABC)\) coupe \((S)\) en un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(r=2\sqrt6\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(d=\dfrac{|1+0+1-5|}{\sqrt3}=\dfrac3{\sqrt3}=\sqrt3\).
🔢 Étape 2 : \(\sqrt3<3\sqrt3\) donc le plan coupe la sphère suivant un cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{27-3}\).
✅ \(d=\sqrt3\) et \(r=\sqrt{24}=2\sqrt6\).
3.a) Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((ABC)\). Montrer que \(\begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=1+t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)) est une représentation paramétrique de \((\Delta)\).
Correction détaillée
⚠️ Le signe de \(t\) dans \(x=1\pm t\) est flou ; on retient \(x=1+t\) (vecteur directeur \((1,1,1)\)).
🔢 Le vecteur normal \(\vec n(1,1,1)\) dirige \((\Delta)\), qui passe par \(\Omega(1,0,1)\).
✅ \((\Delta):x=1+t,\ y=t,\ z=1+t\).
3.b) Montrer que \(H(2,1,2)\) est le point d’intersection de \((\Delta)\) et du plan \((ABC)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : On remplace : \((1+t)+t+(1+t)-5=0\iff3t-3=0\iff t=1\).
🔢 Étape 2 : Pour \(t=1\) : \((2,1,2)\).
✅ \((\Delta)\cap(ABC)=\{H(2,1,2)\}\).
3.c) En déduire le centre du cercle \((\Gamma)\).
Correction détaillée
🔢 Le centre de \((\Gamma)\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((ABC)\), c’est-à-dire l’intersection de \((\Delta)\) et du plan.
✅ Le centre de \((\Gamma)\) est \(H(2,1,2)\).
Exercice 2
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) d’affixes respectives \(a=3-4i\), \(b=1-i\), \(c=-1+2i\).
1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-6z+25=0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Alignement : \(A,B,C\) alignés \(\iff\dfrac{a-c}{b-c}\in\mathbb R\). Angle orienté : \((\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})\equiv\arg\dfrac{d-c}{b-c}\pmod{2\pi}\). Translation de vecteur \(\vec u\) d’affixe \(w\) : \(z’=z+w\).
🔢 \(\Delta=36-100=-64=(8i)^2\). \(z=\dfrac{6\pm8i}2\).
✅ \(S=\{3+4i,\ 3-4i\}\).
2.a) Calculer \(\dfrac{a-c}{b-c}\) et en déduire que \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(a-c=(3-4i)-(-1+2i)=4-6i\) ; \(b-c=(1-i)-(-1+2i)=2-3i\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{4-6i}{2-3i}=\dfrac{2(2-3i)}{2-3i}=2\).
✅ \(\dfrac{a-c}{b-c}=2\in\mathbb R\) : les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
2.b) Soit \(T\) la translation de vecteur \(\vec u\) d’affixe \(-5+i\). Vérifier que l’affixe de \(D\), image de \(C\) par \(T\), est \(d=-6+3i\).
Correction détaillée
🔢 \(d=c+(-5+i)=(-1+2i)+(-5+i)\).
✅ \(d=-6+3i\).
2.c) Montrer que \(\dfrac{d-c}{b-c}=-1-i\) et que \(-\dfrac{3\pi}4\) est un argument de \(-1-i\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(d-c=-5+i\). \(\dfrac{-5+i}{2-3i}=\dfrac{(-5+i)(2+3i)}{13}=\dfrac{-10-15i+2i-3}{13}=\dfrac{-13-13i}{13}=-1-i\).
🔢 Étape 2 : \(|-1-i|=\sqrt2\) et \(-1-i=\sqrt2\left(-\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2\right)\) : \(\cos\theta=\sin\theta=-\dfrac{\sqrt2}2\).
✅ \(\dfrac{d-c}{b-c}=-1-i\) et \(\arg(-1-i)\equiv-\dfrac{3\pi}4\pmod{2\pi}\).
2.d) En déduire une mesure de l’angle orienté \((\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})\).
Correction détaillée
🔢 \((\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})\equiv\arg\dfrac{d-c}{b-c}\pmod{2\pi}\).
✅ \((\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})\equiv-\dfrac{3\pi}4\pmod{2\pi}\).
Exercice 3
Une urne contient huit jetons : un jeton porte le nombre \(1\), cinq jetons portent le nombre \(2\) et deux jetons portent le nombre \(3\) (indiscernables au toucher). On tire au hasard et simultanément trois jetons de l’urne.
1) Soit \(A\) : « obtenir trois jetons portant des nombres distincts deux à deux ». Montrer que \(p(A)=\dfrac5{28}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Tirage simultané de \(3\) jetons parmi \(8\) : \(\operatorname{card}\Omega=C_8^3=56\). \(P(E)=\dfrac{\operatorname{card}E}{\operatorname{card}\Omega}\).
🔢 Un jeton \(1\), un jeton \(2\) (parmi \(5\)), un jeton \(3\) (parmi \(2\)) : \(1\times5\times2=10\) cas.
✅ \(p(A)=\dfrac{10}{56}=\dfrac5{28}\).
2) Soit \(B\) : « les jetons tirés portent des nombres de somme égale à \(8\) ». Montrer que \(p(B)=\dfrac5{56}\).
Correction détaillée
🔢 Somme \(8\) avec des nombres \(1,2,3\) : \(3+3+2\) uniquement (\(2+2+4\) et \(1+\dots\) sont impossibles, \(1+3+3=7\)). Il faut les deux jetons \(3\) (\(C_2^2=1\)) et un jeton \(2\) (\(5\) choix).
✅ \(p(B)=\dfrac5{56}\).
3) Soit \(C\) : « les jetons tirés portent des nombres de somme égale à \(7\) ». Montrer que \(p(C)=\dfrac38\).
Correction détaillée
🔢 Somme \(7\) : \(1+3+3\) : \(1\times C_2^2=1\) cas ; \(2+2+3\) : \(C_5^2\times2=20\) cas ; (\(1+2+4\) impossible).
✅ \(p(C)=\dfrac{1+20}{56}=\dfrac{21}{56}=\dfrac38\).
Exercice 4
On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par \(u_0=4\) et \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n+2}{u_n+3}\) pour tout \(n\in\mathbb N\). On pose \(v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}\).
1) Montrer par récurrence que \(\forall n\in\mathbb N,\ u_n>1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Suite géométrique \(v_{n+1}=qv_n\) : \(v_n=v_0q^n\) ; si \(|q|<1\), \(v_n\to0\).
🔢 Étape 1 : \(u_0=4>1\).
🔢 Étape 2 : Si \(u_n>1\) : \(u_{n+1}-1=\dfrac{2u_n+2-u_n-3}{u_n+3}=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}>0\).
✅ Pour tout \(n\), \(u_n>1\).
2.a) Vérifier que \(1-v_n=\dfrac3{u_n+2}\) et en déduire que \(1-v_n>0\).
Correction détaillée
🔢 \(1-v_n=\dfrac{u_n+2-(u_n-1)}{u_n+2}=\dfrac3{u_n+2}\). Comme \(u_n>1\), \(u_n+2>0\).
✅ \(1-v_n=\dfrac3{u_n+2}>0\) pour tout \(n\).
2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n(u_n+2)=u_n-1\iff u_nv_n+2v_n=u_n-1\iff u_n(1-v_n)=2v_n+1\), avec \(1-v_n\neq0\).
✅ \(u_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}\).
3.a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac14\) et exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-1=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}\) et \(u_{n+1}+2=\dfrac{2u_n+2+2u_n+6}{u_n+3}=\dfrac{4(u_n+2)}{u_n+3}\).
🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2}=\dfrac{u_n-1}{4(u_n+2)}=\dfrac14v_n\). \(v_0=\dfrac{4-1}{4+2}=\dfrac12\).
✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac14\), de premier terme \(\dfrac12\) : \(v_n=\dfrac12\left(\dfrac14\right)^n\).
3.b) Montrer que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=0\) et en déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(0<\dfrac14<1\Rightarrow\left(\dfrac14\right)^n\to0\) donc \(v_n\to0\).
🔢 Étape 2 : \(u_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}\to\dfrac{0+1}{1-0}\).
✅ \(\displaystyle\lim v_n=0\) et \(\displaystyle\lim u_n=1\).
Exercice 5
Partie 1 : \(g\) est la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=2\ln x+1+\dfrac3{x^2}\). Partie 2 : \(f\) est la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=(x^2+3)\ln x\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) (unité \(3\) cm).
Partie 1 – 1.a) Montrer que \(g'(x)=\dfrac{2(x^2-3)}{x^3}\) pour tout \(x\in]0,+\infty[\), où \(g(x)=2\ln x+1+\dfrac3{x^2}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Logarithme : \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=0\). Branche parabolique : si \(\lim f=\pm\infty\) et \(\lim\dfrac{f(x)}x=\pm\infty\), direction \((Oy)\). Concavité : \(f »>0\Rightarrow\) convexe ; \(f »<0\Rightarrow\) concave ; le point où \(f »\) change de signe est un point d’inflexion. IPP : \(\int u\,v’=[uv]-\int u’v\).
🔢 \(g'(x)=\dfrac2x-\dfrac6{x^3}=\dfrac{2x^2-6}{x^3}\).
✅ \(g'(x)=\dfrac{2(x^2-3)}{x^3}\).
Partie 1 – 1.b) Montrer que \(g\) est croissante sur \([\sqrt3,+\infty[\) et décroissante sur \(]0,\sqrt3]\).
Correction détaillée
🔢 Sur \(]0,+\infty[\), \(x^3>0\) donc \(g’\) a le signe de \(x^2-3\) : négatif si \(x<\sqrt3\), positif si \(x>\sqrt3\).
✅ \(g\) décroît sur \(]0,\sqrt3]\) et croît sur \([\sqrt3,+\infty[\).
Partie 1 – 2.a) Montrer que \(g(\sqrt3)=2+\ln3\) et vérifier que \(g(\sqrt3)>0\).
Correction détaillée
🔢 \(g(\sqrt3)=2\ln\sqrt3+1+\dfrac33=\ln3+2\). Comme \(\ln3>0\).
✅ \(g(\sqrt3)=2+\ln3>0\).
Partie 1 – 2.b) En déduire que \(g(x)>0\) pour tout \(x\in]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 D’après 1.b), \(g(\sqrt3)\) est le minimum de \(g\) sur \(]0,+\infty[\).
✅ \(g(x)\geq g(\sqrt3)>0\) pour tout \(x>0\).
Partie 2 – 1.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter géométriquement (\(f(x)=(x^2+3)\ln x\)).
Correction détaillée
⚠️ Sur le scan, la fonction est écrite \((x^2\cdot3)\ln x\) ; la lecture \((x^2+3)\ln x\) est la seule compatible avec \(f’=xg\) et avec la primitive \(\dfrac{x^3}3+3x\) de \(x^2+3\).
🔢 \(x^2+3\to3\) et \(\ln x\to-\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=-\infty\) : l’axe des ordonnées (\(x=0\)) est asymptote verticale à \((C_f)\).
Partie 2 – 1.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\), montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\) (on peut écrire \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{x^2+3}x\ln x\)) et en déduire une branche infinie.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=(x^2+3)\ln x\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=\left(x+\dfrac3x\right)\ln x\to+\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty\) : \((C_f)\) admet en \(+\infty\) une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
Partie 2 – 2) Montrer que \(f'(x)=xg(x)\) pour tout \(x>0\) puis en déduire que \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=2x\ln x+\dfrac{x^2+3}x=2x\ln x+x+\dfrac3x=x\left(2\ln x+1+\dfrac3{x^2}\right)\).
🔢 Étape 2 : Or \(g>0\) et \(x>0\).
✅ \(f'(x)=xg(x)>0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
Partie 2 – 3.a) Montrer que \(f »(x)=\dfrac{2x^2\ln x+3(x^2-1)}{x^2}\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan écrit \(f\) avec un seul prime ; c’est bien la dérivée seconde (la dérivée première est \(f’=xg\) d’après la question 2).
🔢 Étape 1 : \(f »(x)=g(x)+xg'(x)=2\ln x+1+\dfrac3{x^2}+\dfrac{2(x^2-3)}{x^2}\).
🔢 Étape 2 : \(=2\ln x+3+\dfrac{3-6}{x^2}=\dfrac{2x^2\ln x+3x^2-3}{x^2}\).
✅ \(f »(x)=\dfrac{2x^2\ln x+3(x^2-1)}{x^2}\).
Partie 2 – 3.b) Étudier le signe de \(3(x^2-1)\) et de \(2x^2\ln x\) sur \(]0,+\infty[\) puis déduire la concavité de \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(3(x^2-1)\) : négatif sur \(]0,1[\), nul en \(1\), positif sur \(]1,+\infty[\). \(2x^2\ln x\) a le signe de \(\ln x\) : mêmes signes.
🔢 Étape 2 : Donc \(f »(x)\) (somme des deux, sur \(x^2>0\)) est négative sur \(]0,1[\) et positive sur \(]1,+\infty[\).
✅ \((C_f)\) est concave sur \(]0,1]\), convexe sur \([1,+\infty[\) et admet un point d’inflexion d’abscisse \(1\), le point \((1,0)\).
Partie 2 – 4) Montrer que \(y=4x-4\) est une équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(1)=4\ln1=0\) et \(f'(1)=1\times g(1)=2\ln1+1+3=4\).
🔢 Étape 2 : \(y=f'(1)(x-1)+f(1)=4(x-1)\).
✅ \((T):y=4x-4\).
Partie 2 – 5) Tracer la droite \((T)\) et la courbe \((C_f)\) dans le repère \((O,\vec i,\vec j)\) (unité \(3\) cm).
Correction détaillée
🔢 Points : \(f(1)=0\), \(f(e)=(e^2+3)\approx10{,}39\), \(f(2)=7\ln2\approx4{,}85\), \(f(0{,}5)=3{,}25\times(-0{,}693)\approx-2{,}25\), \(f(0{,}1)\approx-6{,}93\). Tangente \(y=4x-4\) en \((1,0)\), point d’inflexion.
✅ Courbe croissante, asymptote verticale \(x=0\), traversant \((T)\) en \((1,0)\) (concave puis convexe).
Partie 2 – 6.a) Montrer que \(u:x\mapsto\dfrac{x^3}3+3x\) est une primitive de \(x\mapsto x^2+3\) sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 \(u'(x)=x^2+3\).
✅ \(u\) est une primitive de \(x\mapsto x^2+3\).
Partie 2 – 6.b) Par intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_1^e(x^2+3)\ln x\,dx=\dfrac29(14+e^3)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Posons \(U=\ln x\), \(V’=x^2+3\) : \(U’=\dfrac1x\), \(V=\dfrac{x^3}3+3x\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^e(x^2+3)\ln x\,dx=\left[\left(\dfrac{x^3}3+3x\right)\ln x\right]_1^e-\int_1^e\left(\dfrac{x^2}3+3\right)dx\).
🔢 Étape 3 : \(=\left(\dfrac{e^3}3+3e\right)-\left[\dfrac{x^3}9+3x\right]_1^e=\dfrac{e^3}3+3e-\dfrac{e^3}9-3e+\dfrac19+3\).
✅ \(\displaystyle\int_1^e(x^2+3)\ln x\,dx=\dfrac{2e^3}9+\dfrac{28}9=\dfrac29(14+e^3)\).
Partie 2 – 6.c) Calculer en \(\text{cm}^2\) l’aire du domaine délimité par \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=1\) et \(x=e\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \([1,e]\), \(f\geq0\) (\(\ln x\geq0\)). Aire \(=\displaystyle\int_1^ef(x)dx=\dfrac29(14+e^3)\) u.a.
🔢 Étape 2 : Une unité d’aire vaut \(3\text{ cm}\times3\text{ cm}=9\text{ cm}^2\).
✅ \(\mathcal A=9\times\dfrac29(14+e^3)=2(14+e^3)\ \text{cm}^2\approx68{,}17\ \text{cm}^2\).
Exercice 6
Dans l’espace rapporté au repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les points \(\Omega(-1,1,2)\), \(A(2,2,4)\), \(B(6,1,3)\), \(C(-4,4,5)\). Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega\) tangente au plan \((ABC)\).
1) Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) puis montrer que \(x+2y+2z-14=0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Plan \((ABC)\) : vecteur normal \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\). Sphère tangente à un plan : \(d(\Omega,\mathcal P)=R\), et le point de contact \(H\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan. Distance : \(d(\Omega,\mathcal P)=\dfrac{|ax_\Omega+by_\Omega+cz_\Omega+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(4,-1,-1)\), \(\overrightarrow{AC}(-6,2,1)\).
🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\big((-1)(1)-(-1)(2),\ (-1)(-6)-4\times1,\ 4\times2-(-1)(-6)\big)=(1,2,2)\).
🔢 Étape 3 : \(x+2y+2z+d=0\) et \(A(2,2,4)\) : \(2+4+8+d=0\Rightarrow d=-14\).
✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(1,2,2)\) et \((ABC):x+2y+2z-14=0\).
2.a) Calculer la distance \(d(\Omega,(ABC))\).
Correction détaillée
🔢 \(\Omega(-1,1,2)\) : \(d=\dfrac{|-1+2+4-14|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac93\).
✅ \(d(\Omega,(ABC))=3\).
2.b) Montrer que \(x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-3=0\) est une équation cartésienne de la sphère \((S)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((S)\) est tangente à \((ABC)\) : son rayon est \(R=d=3\). \((x+1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=9\).
🔢 Étape 2 : Développons : \(x^2+2x+1+y^2-2y+1+z^2-4z+4-9=0\).
✅ \((S):x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-3=0\).
2.c) Montrer que le triplet de coordonnées de \(H\), point de contact de \((S)\) et du plan \((ABC)\), est \((0,3,4)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(H\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((ABC)\) : \(H=\Omega+t(1,2,2)=(-1+t,1+2t,2+2t)\).
🔢 Étape 2 : Dans le plan : \((-1+t)+2(1+2t)+2(2+2t)-14=9t-9=0\Rightarrow t=1\).
✅ \(H=(0,3,4)\) (on vérifie \(0+6+8-14=0\)).
2.d) Montrer que la droite \((\Omega H)\) coupe la sphère \((S)\) en deux points à déterminer.
Correction détaillée
🔢 \((\Omega H)\) : \(x=-1+t,\ y=1+2t,\ z=2+2t\). Les points de la sphère sont à distance \(3\) de \(\Omega\) : \(\Omega M=3|t|\sqrt{1+4+4}/3\), soit \(\|t(1,2,2)\|=3|t|=3\), donc \(t=\pm1\).
✅ Les deux points d’intersection sont \(H(0,3,4)\) (\(t=1\)) et \(H'(-2,-1,0)\) (\(t=-1\)).
Exercice 7
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\) on considère les points \(A,B,C\) d’affixes respectives \(a=2\sqrt3\), \(b=3+i\sqrt3\) et \(c=\bar b\).
1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-6z+12=0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Forme exponentielle : \(z=re^{i\theta}\), \(r=|z|\). Rotation de centre \(O\) et d’angle \(\theta\) : \(z’=e^{i\theta}z\). \(\dfrac{z-c}{z-b}\in\mathbb R\iff M\), \(B\), \(C\) alignés (pour \(z\neq b\)).
🔢 \(\Delta=36-48=-12=(2i\sqrt3)^2\). \(z=\dfrac{6\pm2i\sqrt3}2\).
✅ \(S=\{3+i\sqrt3,\ 3-i\sqrt3\}\).
2.a) Écrire \(b=3+i\sqrt3\) sous forme exponentielle.
Correction détaillée
🔢 \(|b|=\sqrt{9+3}=2\sqrt3\) ; \(b=2\sqrt3\left(\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\right)\).
✅ \(b=2\sqrt3\,e^{i\frac\pi6}\).
2.b) Déduire que \(a^6+b^6=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(a=2\sqrt3\) donc \(a^6=(2\sqrt3)^6=2^6\times3^3=1728\).
🔢 Étape 2 : \(b^6=(2\sqrt3)^6e^{i\pi}=-1728\).
✅ \(a^6+b^6=1728-1728=0\).
2.c) Déterminer l’affixe \(a’\) du point \(A’\), image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac\pi4\).
Correction détaillée
🔢 \(a’=e^{i\pi/4}a=2\sqrt3\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)\).
✅ \(a’=\sqrt6+i\sqrt6=2\sqrt3\,e^{i\frac\pi4}\).
2.d) Déduire que \(\arg(a’c)\equiv\dfrac\pi{12}\ [2\pi]\) et \(|a’c|=12\), puis déterminer \(\cos\dfrac\pi{12}\) et \(\sin\dfrac\pi{12}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(c=\bar b=2\sqrt3\,e^{-i\frac\pi6}\). \(a’c=2\sqrt3e^{i\frac\pi4}\times2\sqrt3e^{-i\frac\pi6}=12e^{i\left(\frac\pi4-\frac\pi6\right)}=12e^{i\frac\pi{12}}\).
🔢 Étape 2 : Forme algébrique : \(a’c=(\sqrt6+i\sqrt6)(3-i\sqrt3)=(3\sqrt6+3\sqrt2)+i(3\sqrt6-3\sqrt2)\).
🔢 Étape 3 : On identifie avec \(12\cos\dfrac\pi{12}+12i\sin\dfrac\pi{12}\).
✅ \(|a’c|=12\), \(\arg(a’c)\equiv\dfrac\pi{12}\) ; \(\cos\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\) et \(\sin\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).
2.e) Déterminer et représenter l’ensemble des points \(M(z)\) vérifiant \(\dfrac{z-c}{z-b}\in\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Il faut \(z\neq b\). \(\dfrac{z-c}{z-b}\in\mathbb R\iff\overrightarrow{BM}\) et \(\overrightarrow{CM}\) colinéaires \(\iff M\in(BC)\).
🔢 Étape 2 : \(b=3+i\sqrt3\) et \(c=3-i\sqrt3\) ont la même partie réelle : \((BC)\) est la droite verticale \(x=3\). Le point \(C\) donne \(0\in\mathbb R\) : il appartient à l’ensemble ; \(B\) est exclu.
✅ L’ensemble est la droite \(x=3\) privée du point \(B(3,\sqrt3)\) ; on la trace parallèlement à l’axe imaginaire, passant par \(C(3,-\sqrt3)\).
Exercice 8
Une urne contient quatre boules indiscernables au toucher : trois boules rouges portent les numéros \(1,1,2\) et une boule verte porte le numéro \(2\). On tire de l’urne deux boules successivement et avec remise. Soit \(A\) : « les boules tirées sont de même couleur » et \(B\) : « le produit des nombres portés par les deux boules tirées est pair ».
1.a) Montrer que \(p(A)=\dfrac58\) et que \(p(B)=\dfrac34\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Tirages successifs avec remise : les tirages sont indépendants. Loi d’une variable aléatoire : \(P(X=x_i)=p_i\), \(E(X)=\sum x_ip_i\).
🔢 Étape 1 : Tirages avec remise : \(4^2=16\) issues. \(A\) : deux rouges (\(3\times3=9\)) ou deux fois la verte (\(1\)) : \(10\) cas, \(p(A)=\dfrac{10}{16}=\dfrac58\).
🔢 Étape 2 : \(B\) : produit pair \(\iff\) au moins un nombre pair. Nombres : \(1,1,2,2\), donc \(P(\text{pair})=\dfrac12\) à chaque tirage. Contraire : deux nombres impairs : \(\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14\).
✅ \(p(A)=\dfrac58\) et \(p(B)=1-\dfrac14=\dfrac34\).
1.b) Sachant que les deux boules tirées sont de la même couleur, quelle est la probabilité qu’elles portent des nombres ayant un produit pair ?
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(p(A\cap B)\) : deux rouges avec au moins un \(2\) : \(9-2\times2=5\) cas (les rouges sont \(1,1,2\) : sans \(2\), \(2\times2=4\) cas, donc \(9-4=5\)) ; deux fois la verte (\(2\times2=4\), pair) : \(1\) cas. Total \(6\) cas : \(p(A\cap B)=\dfrac6{16}=\dfrac38\).
🔢 Étape 2 : \(p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}=\dfrac{3/8}{5/8}\).
✅ \(p_A(B)=\dfrac35\).
2) Soit \(X\) la variable aléatoire qui relie chaque tirage au nombre de boules vertes tirées. Donner la loi de \(X\) et calculer l’espérance.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(X\in\{0,1,2\}\). La boule verte a la probabilité \(\dfrac14\) à chaque tirage (avec remise).
🔢 Étape 2 : \(P(X=0)=\left(\dfrac34\right)^2=\dfrac9{16}\) ; \(P(X=1)=2\times\dfrac14\times\dfrac34=\dfrac6{16}=\dfrac38\) ; \(P(X=2)=\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac1{16}\).
🔢 Étape 3 :
| \(x_i\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\frac9{16}\) | \(\frac6{16}\) | \(\frac1{16}\) |
🔢 Étape 4 : \(E(X)=0+\dfrac6{16}+\dfrac2{16}=\dfrac8{16}\).
✅ Loi : \(\dfrac9{16},\dfrac38,\dfrac1{16}\) ; \(E(X)=\dfrac12\) (c’est \(2\times\dfrac14\), loi binomiale \(\mathcal B(2,\tfrac14)\)).
Exercice 9
Partie 1 : soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=(2-x)e^x-2\) et \((C)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) (unité \(2\) cm). Partie 2 : soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)=2-2e^{-x}\).
Partie 1 – 1) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-2\) et interpréter géométriquement.
Correction détaillée
📘 Méthode : Branche parabolique de direction \((Oy)\) si \(\lim f=\pm\infty\) et \(\lim\dfrac fx=\pm\infty\). Convexité : \(f »>0\Rightarrow\) courbe au-dessus de ses tangentes ; \(f »<0\Rightarrow\) en dessous. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et inégalité des accroissements finis (IAF) : si \(|g’|\leq k\) sur \(I\), alors \(|g(a)-g(b)|\leq k|a-b|\).
🔢 \(f(x)=(2-x)e^x-2=2e^x-xe^x-2\). Quand \(x\to-\infty\) : \(e^x\to0\) et \(xe^x\to0\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=-2\) : la droite \(y=-2\) est asymptote horizontale à \((C)\) en \(-\infty\).
Partie 1 – 2.a) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=-\infty\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(2-x\to-\infty\) et \(e^x\to+\infty\) donc \(f(x)\to-\infty\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{2-x}x e^x-\dfrac2x=\left(\dfrac2x-1\right)e^x-\dfrac2x\to-\infty\) (\(\dfrac2x-1\to-1\), \(e^x\to+\infty\)).
✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}\frac{f(x)}x=-\infty\).
Partie 1 – 2.b) En déduire que \((C)\) admet une branche parabolique au voisinage de \(+\infty\) et déterminer sa direction.
Correction détaillée
🔢 Les deux limites sont infinies.
✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées en \(+\infty\).
Partie 1 – 3.a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et que \(f'(x)=(1-x)e^x\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) est dérivable (produit et somme de fonctions dérivables). \(f'(x)=-e^x+(2-x)e^x=(1-x)e^x\).
✅ \(f'(x)=(1-x)e^x\).
Partie 1 – 3.b) Donner le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(e^x>0\) : \(f’\) a le signe de \(1-x\). \(f(1)=e-2\approx0{,}72\).
🔢 Étape 2 :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | \(-2\) | \(\nearrow\) | \(e-2\) | \(\searrow\) | \(-\infty\) |
✅ \(f\) est croissante sur \(]-\infty,1]\), décroissante sur \([1,+\infty[\), de maximum \(f(1)=e-2\).
Partie 1 – 3.c) Montrer que \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \([1,+\infty[\) et que \(\dfrac32<\alpha<2\) (on admet \(e^{3/2}>4\)).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \([1,+\infty[\), \(f\) est continue et strictement décroissante, de \(f(1)=e-2>0\) à \(-\infty\) : TVI \(\Rightarrow\) une solution unique \(\alpha\).
🔢 Étape 2 : \(f\left(\dfrac32\right)=\dfrac12e^{3/2}-2>\dfrac12\times4-2=0\) et \(f(2)=0\times e^2-2=-2<0\).
🔢 Étape 3 : Donc \(f\left(\dfrac32\right)>0=f(\alpha)>f(2)\) et \(f\) est décroissante : \(\dfrac32<\alpha<2\).
✅ \(\alpha\) est l’unique solution de \(f(x)=0\) dans \([1,+\infty[\) et \(\dfrac32<\alpha<2\).
Partie 1 – 3.d) Montrer que \(y=x\) est une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point d’abscisse \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(f(0)=2-2=0\) et \(f'(0)=1\).
✅ \((T):y=f'(0)x+f(0)=x\).
Partie 1 – 4.a) Étudier la concavité de \((C)\).
Correction détaillée
🔢 \(f »(x)=-e^x+(1-x)e^x=-xe^x\). Signe : \(f »>0\) si \(x<0\) ; \(f »<0\) si \(x>0\).
✅ \((C)\) est convexe sur \(]-\infty,0]\), concave sur \([0,+\infty[\) ; \(O(0,0)\) est un point d’inflexion.
Partie 1 – 4.b) En déduire la position relative de \((C)\) et de \((T)\).
Correction détaillée
🔢 Sur \(]-\infty,0]\) (convexe) la courbe est au-dessus de sa tangente ; sur \([0,+\infty[\) (concave) elle est en dessous.
✅ \((C)\) est au-dessus de \((T)\) sur \(]-\infty,0]\) et en dessous sur \([0,+\infty[\).
Partie 1 – 4.c) Tracer la droite \((T)\) et la courbe \((C)\) dans le repère (unité \(2\) cm).
Correction détaillée
🔢 Points : \(f(0)=0\), \(f(1)=e-2\approx0{,}72\), \(f(\alpha)=0\) avec \(\alpha\approx1{,}59\), \(f(2)=-2\), \(f(-2)=4e^{-2}-2\approx-1{,}46\), \(f(-1)=3e^{-1}-2\approx-0{,}90\).
✅ Courbe : asymptote \(y=-2\) en \(-\infty\), croissante jusqu’au maximum \((1,0{,}72)\), puis décroissante ; \((T):y=x\) tangente en \(O\), \((C)\) au-dessus à gauche, en dessous à droite.
Partie 1 – 5.a) Par intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_0^1(2-x)e^xdx=2e-3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(U=2-x\), \(V’=e^x\) : \(U’=-1\), \(V=e^x\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^1(2-x)e^xdx=\big[(2-x)e^x\big]_0^1+\int_0^1e^xdx=(e-2)+(e-1)\).
✅ \(\displaystyle\int_0^1(2-x)e^xdx=2e-3\).
Partie 1 – 5.b) En déduire l’aire du domaine limité par \((C)\), la droite \((T)\) et les droites \(x=0\) et \(x=1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \([0,1]\), \((C)\) est en dessous de \((T)\) : aire \(=\displaystyle\int_0^1\big(x-f(x)\big)dx=\int_0^1\big(x+2-(2-x)e^x\big)dx\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^1(x+2)dx=\dfrac12+2=\dfrac52\). Donc aire \(=\dfrac52-(2e-3)=\dfrac{11}2-2e\) u.a.
🔢 Étape 3 : Une unité d’aire vaut \(2\times2=4\text{ cm}^2\).
✅ \(\mathcal A=\left(\dfrac{11}2-2e\right)\text{u.a.}=(22-8e)\ \text{cm}^2\approx0{,}25\ \text{cm}^2\).
Partie 2 – 1) Montrer que \(\forall x\in\left[\dfrac32,+\infty\right[,\ 0\leq g'(x)\leq\dfrac12\) (avec \(g(x)=2-2e^{-x}\)).
Correction détaillée
⚠️ Le scan écrit « \(g(x)\) » (sans prime) dans l’encadrement ; il s’agit de \(g'(x)\) : avec \(g(x)=2-2e^{-x}\) on a \(g(x)\geq1{,}5\), et l’encadrement \(0\leq g\leq\frac12\) serait faux. La fonction \(g\) est lue \(2-2e^{-x}\) car \(g(\alpha)=\alpha\) équivaut à \(f(\alpha)=0\).
🔢 \(g'(x)=2e^{-x}>0\). Pour \(x\geq\dfrac32\) : \(e^{-x}\leq e^{-3/2}=\dfrac1{e^{3/2}}<\dfrac14\) car \(e^{3/2}>4\).
✅ \(0\leq g'(x)\leq2\times\dfrac14=\dfrac12\) sur \(\left[\dfrac32,+\infty\right[\).
Partie 2 – 2) Montrer que \(g(\alpha)=\alpha\).
Correction détaillée
🔢 \(f(\alpha)=0\iff(2-\alpha)e^\alpha=2\iff2-\alpha=2e^{-\alpha}\iff\alpha=2-2e^{-\alpha}=g(\alpha)\).
✅ \(g(\alpha)=\alpha\).
Partie 2 – 3.a) On considère \(u_0=\dfrac32\) et \(u_{n+1}=2-2e^{-u_n}\). Montrer que \(\forall n\in\mathbb N,\ \dfrac32\leq u_n\leq\alpha\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g\) est croissante (\(g’>0\)). \(u_0=\dfrac32\leq\alpha\) d’après 3.c) de la partie 1.
🔢 Étape 2 : Si \(\dfrac32\leq u_n\leq\alpha\), alors \(g\left(\dfrac32\right)\leq g(u_n)\leq g(\alpha)=\alpha\). Or \(g\left(\dfrac32\right)=2-2e^{-3/2}>2-\dfrac24=\dfrac32\).
✅ Pour tout \(n\), \(\dfrac32\leq u_n\leq\alpha\).
Partie 2 – 3.b) Montrer que \(0\leq\alpha-u_{n+1}\leq\dfrac12(\alpha-u_n)\) (remarquer que \(\displaystyle\int_{u_n}^\alpha g'(x)dx=\alpha-u_{n+1}\)).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\displaystyle\int_{u_n}^\alpha g'(x)dx=g(\alpha)-g(u_n)=\alpha-u_{n+1}\).
🔢 Étape 2 : Comme \(u_n\leq\alpha\) et \(0\leq g’\leq\dfrac12\) sur \(\left[\dfrac32,+\infty\right[\) : \(0\leq\displaystyle\int_{u_n}^\alpha g'(x)dx\leq\dfrac12(\alpha-u_n)\).
✅ \(0\leq\alpha-u_{n+1}\leq\dfrac12(\alpha-u_n)\).
Partie 2 – 3.c) Montrer que \(0\leq\alpha-u_n\leq\dfrac1{2^{n+1}}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Récurrence : \(n=0\) : \(0\leq\alpha-\dfrac32<2-\dfrac32=\dfrac12=\dfrac1{2^1}\).
🔢 Étape 2 : Si \(\alpha-u_n\leq\dfrac1{2^{n+1}}\), alors \(\alpha-u_{n+1}\leq\dfrac12\times\dfrac1{2^{n+1}}=\dfrac1{2^{n+2}}\).
✅ Pour tout \(n\), \(0\leq\alpha-u_n\leq\dfrac1{2^{n+1}}\).
Partie 2 – 3.d) En déduire que \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac1{2^{n+1}}\to0\). Par le théorème des gendarmes, \(\alpha-u_n\to0\).
✅ \((u_n)\) converge vers \(\alpha\).