Ce devoir 3 du 2ème semestre 2ème Bac (PC et SVT) propose un modèle de devoir surveillé : calcul intégral, probabilités, géométrie dans l’espace et étude d’une fonction logarithmique. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.
Devoir 3 corrigé du 2ème semestre 2ème Bac
Devoir 3 du 2ème semestre · Série de synthèse 2ème Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
1) Calculer \(I=\displaystyle\int_0^1(x^2-x+1)dx\), \(J=\displaystyle\int_0^1(e^x+e^{2x})dx\) et \(K=\displaystyle\int_0^{\pi/4}\cos(2x)dx\).
Correction détaillée
⚠️ Les bornes de \(K\) sont peu lisibles sur le scan ; lues \(0\) et \(\dfrac\pi4\) (avec \(\dfrac\pi2\) on trouverait \(K=0\)). Les bornes de \(I\) et \(J\) sont \(0\) et \(1\).
📘 Méthode : Primitives usuelles : \(\int x^n=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\), \(\int e^{ax}=\dfrac{e^{ax}}a\), \(\int\cos(ax)=\dfrac{\sin(ax)}a\). Équation différentielle \(y »+ay’+by=0\) : équation caractéristique \(r^2+ar+b=0\) ; si deux racines réelles \(r_1\neq r_2\) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\).
🔢 Étape 1 : \(I=\left[\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^2}2+x\right]_0^1=\dfrac13-\dfrac12+1=\dfrac56\).
🔢 Étape 2 : \(J=\left[e^x+\dfrac{e^{2x}}2\right]_0^1=\left(e+\dfrac{e^2}2\right)-\left(1+\dfrac12\right)=\dfrac{e^2+2e-3}2\).
🔢 Étape 3 : \(K=\left[\dfrac{\sin2x}2\right]_0^{\pi/4}=\dfrac{\sin(\pi/2)}2=\dfrac12\).
✅ \(I=\dfrac56\), \(J=\dfrac{e^2+2e-3}2\), \(K=\dfrac12\).
2.a) Résoudre l’équation différentielle \((E):y »+y’-2y=0\).
Correction détaillée
🔢 Équation caractéristique : \(r^2+r-2=0\), \(\Delta=9\), \(r=\dfrac{-1\pm3}2\) : \(r_1=1\), \(r_2=-2\).
✅ \(y(x)=Ae^x+Be^{-2x}\), \((A,B)\in\mathbb R^2\).
2.b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) vérifiant \(f(0)=0\) et \(f'(0)=1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=Ae^x-2Be^{-2x}\). \(f(0)=A+B=0\) et \(f'(0)=A-2B=1\).
🔢 Étape 2 : \(B=-A\Rightarrow A+2A=1\Rightarrow A=\dfrac13\), \(B=-\dfrac13\).
✅ \(f(x)=\dfrac13\left(e^x-e^{-2x}\right)\).
Exercice 2
Une urne contient \(5\) boules blanches, \(3\) boules rouges et \(2\) boules noires (indiscernables au toucher). On tire au hasard et simultanément \(4\) boules de l’urne. 1) On considère les événements \(A\) : « obtenir une boule rouge exactement » et \(B\) : « obtenir au moins une boule blanche ». 2) Soit \(X\) la variable aléatoire qui relie chaque tirage au nombre de boules rouges tirées.
1.a) Montrer que \(p(A)=\dfrac12\) (\(A\) : « obtenir une boule rouge exactement »).
Correction détaillée
📘 Méthode : Tirage simultané \(\Rightarrow\) combinaisons ; \(P(E)=\dfrac{\operatorname{card}E}{\operatorname{card}\Omega}\). « Au moins un » \(\Rightarrow\) passer par le contraire. \(E(X)=\sum x_ip_i\), \(V(X)=E(X^2)-E(X)^2\), \(\sigma=\sqrt V\).
🔢 Étape 1 : \(5+3+2=10\) boules, tirage simultané de \(4\) : \(\operatorname{card}\Omega=C_{10}^4=210\).
🔢 Étape 2 : Une rouge parmi \(3\), trois non rouges parmi \(7\) : \(3\times C_7^3=3\times35=105\).
✅ \(p(A)=\dfrac{105}{210}=\dfrac12\).
1.b) Montrer que \(p(B)=\dfrac{41}{42}\) (\(B\) : « obtenir au moins une boule blanche »).
Correction détaillée
🔢 Contraire : aucune blanche : \(4\) boules parmi les \(5\) non blanches : \(C_5^4=5\).
✅ \(p(B)=1-\dfrac5{210}=\dfrac{41}{42}\).
2.a) Vérifier que \(X(\Omega)=\{0,1,2,3\}\).
Correction détaillée
🔢 \(X\) = nombre de boules rouges parmi les \(4\) tirées ; il y a \(3\) rouges et \(7\) non rouges. On peut tirer aucune rouge (\(4\) boules non rouges sur \(7\)) jusqu’à \(3\) rouges.
✅ \(X(\Omega)=\{0,1,2,3\}\).
2.b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(P(X=0)=\dfrac{C_7^4}{210}=\dfrac{35}{210}=\dfrac16\) ; \(P(X=1)=\dfrac{105}{210}=\dfrac12\).
🔢 Étape 2 : \(P(X=2)=\dfrac{C_3^2C_7^2}{210}=\dfrac{63}{210}=\dfrac3{10}\) ; \(P(X=3)=\dfrac{C_3^3C_7^1}{210}=\dfrac7{210}=\dfrac1{30}\).
🔢 Étape 3 :
| \(x_i\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\frac16\) | \(\frac12\) | \(\frac3{10}\) | \(\frac1{30}\) |
🔢 Étape 4 : Contrôle : \(35+105+63+7=210\).
✅ Loi donnée dans le tableau ci-dessus.
2.c) Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de \(X\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(E(X)=0+\dfrac12+\dfrac6{10}+\dfrac3{30}=\dfrac{15+18+3}{30}=\dfrac65\).
🔢 Étape 2 : \(E(X^2)=\dfrac12+\dfrac{12}{10}+\dfrac9{30}=\dfrac{15+36+9}{30}=2\).
🔢 Étape 3 : \(V(X)=2-\dfrac{36}{25}=\dfrac{14}{25}\).
✅ \(E(X)=\dfrac65\), \(\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{14}}5\).
Exercice 3
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les points \(A(1,2,-2)\), \(B(0,3,-3)\), \(C(1,1,-2)\) et le plan \((P)\) d’équation \(x+y-3=0\). Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(0,1,-1)\) tangente à \((P)\).
1.a) Calculer la distance du point \(\Omega(0,1,-1)\) au plan \((P):x+y-3=0\).
Correction détaillée
⚠️ Le plan est lu \(x+y-3=0\) et la sphère \(x^2+y^2+z^2-2y+2z=0\) (signes flous sur le scan, cohérents entre eux).
📘 Méthode : Sphère tangente à un plan : rayon \(R=d(\Omega,\mathcal P)\) ; le point de contact est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan.
🔢 \(d=\dfrac{|0+1-3|}{\sqrt{1+1}}=\dfrac2{\sqrt2}\).
✅ \(d(\Omega,(P))=\sqrt2\).
1.b) Déduire que l’équation de la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) tangente à \((P)\) est \(x^2+y^2+z^2-2y+2z=0\).
Correction détaillée
🔢 \(R=\sqrt2\) : \(x^2+(y-1)^2+(z+1)^2=2\iff x^2+y^2+z^2-2y+2z+2-2=0\).
✅ \((S):x^2+y^2+z^2-2y+2z=0\).
2.a) Déterminer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(A(1,2,-2)\), \(B(0,3,-3)\), \(C(1,1,-2)\) : \(\overrightarrow{AB}(-1,1,-1)\), \(\overrightarrow{AC}(0,-1,0)\).
🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\big(1\times0-(-1)(-1),\ (-1)\times0-(-1)\times0,\ (-1)(-1)-1\times0\big)=(-1,0,1)\).
✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=-\vec i+\vec k\).
2.b) Montrer que \(x-z-3=0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
Correction détaillée
🔢 Vecteur normal \((-1,0,1)\), ou \((1,0,-1)\) : \(x-z+d=0\). Avec \(A\) : \(1+2+d=0\Rightarrow d=-3\).
✅ \((ABC):x-z-3=0\) (vérifié avec \(B\) : \(0+3-3=0\) et \(C\) : \(1+2-3=0\)).
3.a) Vérifier que la sphère \((S)\) est tangente au plan \((ABC)\).
Correction détaillée
🔢 \(d(\Omega,(ABC))=\dfrac{|0-(-1)-3|}{\sqrt{1+0+1}}=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\).
✅ \(d(\Omega,(ABC))=\sqrt2=R\) : \((S)\) est tangente à \((ABC)\).
3.b) Calculer \(\Omega C\) et en déduire le point de contact de \((S)\) et du plan \((ABC)\).
Correction détaillée
🔢 \(\overrightarrow{\Omega C}(1,0,-1)\) : \(\Omega C=\sqrt{1+0+1}=\sqrt2=R\) : \(C\in(S)\). De plus \(C\in(ABC)\).
✅ \(C\) est dans la sphère et dans le plan tangent : c’est le point de contact, \(C(1,1,-2)\).
Exercice 4
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=\ln x-\dfrac{\ln x}x\) et \((C)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) (unité \(1\) cm).
1.a) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et interpréter géométriquement.
Correction détaillée
⚠️ Le scan indique \(-\infty\), mais avec \(f(x)=\ln x-\dfrac{\ln x}x\) le produit de deux quantités négatives donne \(+\infty\) (\(f(0{,}01)\approx+455\)). C’est la valeur correcte qui est donnée ici.
📘 Méthode : Croissances comparées : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}x=0\). Branche parabolique de direction \((Ox)\) si \(\lim f=\pm\infty\) et \(\lim\dfrac{f(x)}x=0\).
🔢 \(f(x)=\ln x\left(1-\dfrac1x\right)\). Quand \(x\to0^+\) : \(\ln x\to-\infty\) et \(1-\dfrac1x\to-\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{0^+}f=+\infty\) : l’axe des ordonnées est asymptote verticale.
1.b) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=0\), et interpréter.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=\ln x\left(1-\dfrac1x\right)\to+\infty\times1\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\ln x}x-\dfrac{\ln x}{x^2}\to0-0\).
✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}\frac fx=0\) : \((C)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses.
2.a) Montrer que \(\forall x>0,\ f'(x)=\dfrac{x-1+\ln x}{x^2}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac1x-\dfrac{\frac1x\times x-\ln x}{x^2}=\dfrac1x-\dfrac{1-\ln x}{x^2}=\dfrac{x-1+\ln x}{x^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{x-1+\ln x}{x^2}\).
2.b) En déduire que \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\) et décroissante sur \(]0,1]\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Posons \(h(x)=x-1+\ln x\) : \(h'(x)=1+\dfrac1x>0\), \(h\) est strictement croissante et \(h(1)=0\).
🔢 Étape 2 : Donc \(h<0\) sur \(]0,1[\) et \(h>0\) sur \(]1,+\infty[\). Comme \(x^2>0\), \(f’\) a le signe de \(h\).
✅ \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et croissante sur \([1,+\infty[\).
2.c) Donner le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(1)=\ln1-\dfrac{\ln1}1=0\).
🔢 Étape 2 :
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
✅ \(f\) admet un minimum \(f(1)=0\).
3) Tracer la courbe \((C)\) dans le repère (unité \(1\) cm).
Correction détaillée
🔢 Points : \(f(1)=0\), \(f(e)=1-\dfrac1e\approx0{,}63\), \(f(2)=\dfrac{\ln2}2\approx0{,}35\), \(f(0{,}5)=\ln0{,}5\times(1-2)=0{,}69\), \(f(0{,}1)\approx20{,}7\), \(f(4)=\dfrac34\ln4\approx1{,}04\).
✅ Courbe : asymptote verticale \(x=0\), minimum \((1,0)\) (tangente horizontale), puis croissance lente (branche parabolique d’axe \((Ox)\)).
4.a) Montrer que \(\displaystyle\int_1^e\dfrac{\ln x}xdx=\dfrac12\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\ln x}x=u’u\) avec \(u=\ln x\) : \(\displaystyle\int_1^e=\left[\dfrac{(\ln x)^2}2\right]_1^e\).
✅ \(=\dfrac12-0=\dfrac12\).
4.b) Par intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx=1\).
Correction détaillée
🔢 \(U=\ln x\), \(V’=1\) : \(U’=\dfrac1x\), \(V=x\). \(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx=[x\ln x]_1^e-\int_1^e1\,dx=e-(e-1)\).
✅ \(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx=1\).
4.c) Déduire l’aire du domaine délimité par \((C)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=1\) et \(x=e\).
Correction détaillée
🔢 Sur \([1,e]\), \(f(x)=\ln x\left(1-\dfrac1x\right)\geq0\). Aire \(=\displaystyle\int_1^ef(x)dx=\int_1^e\ln x\,dx-\int_1^e\dfrac{\ln x}xdx=1-\dfrac12\).
✅ \(\mathcal A=\dfrac12\) u.a. \(=\dfrac12\text{ cm}^2\) (unité \(1\) cm).