Géométrie dans l'espace 2ème Bac : exercices corrigés

Exercice 1

Soit \(ABCDEFGH\) un cube de côté \(a=1\). Calculer les produits scalaires suivants :

1) \(\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{GC}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Cube \(ABCDEFGH\) : on se place dans le repère orthonormé \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\), où \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(E(0,0,1)\), d’où \(C(1,1,0)\), \(F(1,0,1)\), \(G(1,1,1)\), \(H(0,1,1)\). Le produit scalaire s’écrit alors \(\vec u\cdot\vec v=xx’+yy’+zz’\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AF}(1,0,1)\) et \(\overrightarrow{GC}(0,0,-1)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{GC}=0+0-1\).

✅ \(\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{GC}=-1\).

2) \(\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{CD}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{CD}(-1,0,0)\) et \(\overrightarrow{AF}(1,0,1)\).

✅ \(\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{CD}=-1\).

3) \(\overrightarrow{DH}\cdot\overrightarrow{DC}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{DH}(0,0,1)\) et \(\overrightarrow{DC}(1,0,0)\).

✅ \(\overrightarrow{DH}\cdot\overrightarrow{DC}=0\) : les droites \((DH)\) et \((DC)\) sont orthogonales.

4) \(\overrightarrow{EH}\cdot\overrightarrow{GC}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{EH}(0,1,0)\) et \(\overrightarrow{GC}(0,0,-1)\).

✅ \(\overrightarrow{EH}\cdot\overrightarrow{GC}=0\).

5) \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DB}\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AE}(0,0,1)\) et \(\overrightarrow{DB}(1,-1,0)\).

✅ \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DB}=0\).

Exercice 2

1) Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points de l’espace tels que \(AB=\sqrt5\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\). Calculer \(\left(-2\overrightarrow{AB}\right)\cdot\overrightarrow{BC}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On décompose avec Chasles pour faire apparaître les données \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et \(AB^2=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}\).

🔢 Étape 1 : Relation de Chasles : \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).

🔢 Étape 2 : \(\left(-2\overrightarrow{AB}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2AB^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times5-2\times3\).

✅ \(\left(-2\overrightarrow{AB}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=4\).

Correction détaillée

🔢 Étape 2 : \(25=4+2\,\vec u\cdot\vec v+9\iff2\,\vec u\cdot\vec v=12\).

✅ \(\vec u\cdot\vec v=6\).

Exercice 3

Déterminer les coordonnées d’un vecteur \(\vec n\) normal à un plan dirigé par \(\vec u(2,-1,3)\) et \(\vec v(4,0,2)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Un vecteur normal à un plan est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan : on résout le système \(\vec n\cdot\vec u=\vec n\cdot\vec v=0\).

🔢 Étape 1 : On cherche \(\vec n(a,b,c)\) avec \(\vec n\cdot\vec u=0\) et \(\vec n\cdot\vec v=0\) : \(2a-b+3c=0\) et \(4a+2c=0\).

🔢 Étape 2 : La 2ème équation donne \(c=-2a\) ; la 1ère devient \(2a-b-6a=0\), soit \(b=-4a\).

🔢 Étape 3 : Pour \(a=1\) : \(\vec n(1,-4,-2)\). Vérification : \(2+4-6=0\) et \(4+0-4=0\).

✅ \(\vec n(1,-4,-2)\) (ou tout multiple non nul).

Exercice 4

\(ABCDEFGH\) est un cube tel que \(AB=1\), \(I\) est le milieu du segment \([EH]\) et \(J\) le milieu de \([EF]\).

1) Montrer que \(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{EB}=0\) et que \(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{ED}=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Cube \(ABCDEFGH\) : on se place dans le repère orthonormé \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\), où \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(E(0,0,1)\), d’où \(C(1,1,0)\), \(F(1,0,1)\), \(G(1,1,1)\), \(H(0,1,1)\). Le produit scalaire s’écrit alors \(\vec u\cdot\vec v=xx’+yy’+zz’\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AG}(1,1,1)\), \(\overrightarrow{EB}(1,0,-1)\), \(\overrightarrow{ED}(0,1,-1)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{EB}=1+0-1=0\) et \(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{ED}=0+1-1=0\).

✅ Les deux produits scalaires sont nuls.

2) En déduire que le vecteur \(\overrightarrow{EG}\) est normal au plan \((BDE)\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit \(\overrightarrow{EG}\), mais c’est \(\overrightarrow{AG}\) qui est normal à \((BDE)\) (on a \(\overrightarrow{EG}\cdot\overrightarrow{EB}=1\neq0\)). La question 1 porte bien sur \(\overrightarrow{AG}\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{EB}\) et \(\overrightarrow{ED}\) sont deux vecteurs non colinéaires de \((BDE)\).

🔢 Étape 2 : Le vecteur \(\overrightarrow{AG}\) est orthogonal à ces deux vecteurs (question 1) : il est donc normal au plan \((BDE)\).

✅ Le vecteur \(\overrightarrow{AG}\) est normal au plan \((BDE)\).

3) Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{FI}\) et \(\overrightarrow{CJ}\) sont orthogonaux.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EI}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}\) (car \(\overrightarrow{EI}=\dfrac12\overrightarrow{EH}=\dfrac12\overrightarrow{AD}\)).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FJ}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}-\dfrac12\overrightarrow{AB}\).

🔢 Étape 3 : Comme \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\) est orthonormée : \(\overrightarrow{FI}\cdot\overrightarrow{CJ}=\left(-1\right)\left(-\dfrac12\right)AB^2+\dfrac12(-1)AD^2=\dfrac12-\dfrac12\).

✅ \(\overrightarrow{FI}\cdot\overrightarrow{CJ}=0\), donc \(\overrightarrow{FI}\perp\overrightarrow{CJ}\).

4.a) Le repère étant \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\), déterminer les coordonnées des points \(F\), \(C\), \(I\) et \(J\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(F(1,0,1)\), \(C(1,1,0)\).

🔢 Étape 2 : \(I\) milieu de \([EH]\) avec \(E(0,0,1)\), \(H(0,1,1)\) : \(I\left(0,\dfrac12,1\right)\).

🔢 Étape 3 : \(J\) milieu de \([EF]\) avec \(E(0,0,1)\), \(F(1,0,1)\) : \(J\left(\dfrac12,0,1\right)\).

✅ \(F(1,0,1)\), \(C(1,1,0)\), \(I\left(0,\dfrac12,1\right)\), \(J\left(\dfrac12,0,1\right)\).

4.b) Montrer que \(\overrightarrow{FI}\cdot\overrightarrow{CJ}=0\) et en déduire que \(\overrightarrow{FI}\) et \(\overrightarrow{CJ}\) sont orthogonaux.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{FI}\left(-1,\dfrac12,0\right)\) et \(\overrightarrow{CJ}\left(-\dfrac12,-1,1\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{FI}\cdot\overrightarrow{CJ}=\dfrac12-\dfrac12+0=0\).

✅ \(\overrightarrow{FI}\cdot\overrightarrow{CJ}=0\), donc \(\overrightarrow{FI}\perp\overrightarrow{CJ}\).

Exercice 5

Soit \(\mathcal{P}\) le plan passant par \(A(4,2,-3)\) et dont un vecteur normal est \(\vec n(1,-2,-1)\).

1) Déterminer une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Le plan de vecteur normal \(\vec n(a,b,c)\) a pour équation \(ax+by+cz+d=0\) ; on trouve \(d\) en écrivant qu’un point connu y appartient. Autre méthode : \(M\in\mathcal{P}\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\).

🔢 Étape 1 : Une équation de \(\mathcal{P}\) est de la forme \(x-2y-z+d=0\).

🔢 Étape 2 : \(A\in\mathcal{P}\) : \(4-4+3+d=0\iff d=-3\).

✅ \(\mathcal{P}:\ x-2y-z-3=0\).

Exercice 6

\(ABCDEFGH\) est un cube tel que \(AB=1\), \(I\) est le milieu du segment \([AE]\). On se place dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\).

1) Déterminer un vecteur normal au plan \((CHI)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Cube \(ABCDEFGH\) : on se place dans le repère orthonormé \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\), où \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(E(0,0,1)\), d’où \(C(1,1,0)\), \(F(1,0,1)\), \(G(1,1,1)\), \(H(0,1,1)\). Le produit scalaire s’écrit alors \(\vec u\cdot\vec v=xx’+yy’+zz’\).

🔢 Étape 1 : \(C(1,1,0)\), \(H(0,1,1)\), \(I\left(0,0,\dfrac12\right)\) ; \(\overrightarrow{CH}(-1,0,1)\) et \(\overrightarrow{CI}\left(-1,-1,\dfrac12\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\vec n(a,b,c)\perp\overrightarrow{CH}\) : \(-a+c=0\) ; \(\vec n\perp\overrightarrow{CI}\) : \(-a-b+\dfrac c2=0\).

🔢 Étape 3 : \(c=a\), puis \(b=-a+\dfrac a2=-\dfrac a2\). Pour \(a=2\) : \(\vec n(2,-1,2)\).

✅ \(\vec n(2,-1,2)\) est normal à \((CHI)\).

2) En déduire une équation cartésienne du plan \((CHI)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((CHI):2x-y+2z+d=0\).

🔢 Étape 2 : \(C\in(CHI)\) : \(2-1+0+d=0\iff d=-1\).

✅ \((CHI):\ 2x-y+2z-1=0\) (on vérifie : \(H\) : \(-1+2-1=0\) ; \(I\) : \(1-1=0\)).

Exercice 7

On considère les plans d’équations : \((P):2x-4y+z+1=0\) et \((P’):x+y+2z-3=0\).

1) Montrer que \((P)\perp(P’)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Deux plans sont perpendiculaires \(\iff\) leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

🔢 Étape 1 : \(\vec n(2,-4,1)\) est normal à \((P)\) et \(\vec n'(1,1,2)\) est normal à \((P’)\).

🔢 Étape 2 : \(\vec n\cdot\vec n’=2-4+2=0\).

✅ Les normales sont orthogonales, donc \((P)\perp(P’)\).

2) Déterminer l’équation cartésienne du plan \((Q)\) parallèle au plan \((P)\) passant par le point \(A(1,-1,1)\).

Correction détaillée

⚠️ Le nom du point est caché par le curseur dans le scan ; lu \(A(1,-1,1)\).

🔢 Étape 1 : \((Q)\parallel(P)\) : même vecteur normal \(\vec n(2,-4,1)\), donc \((Q):2x-4y+z+d=0\).

🔢 Étape 2 : \(A\in(Q)\) : \(2+4+1+d=0\iff d=-7\).

✅ \((Q):\ 2x-4y+z-7=0\).

Exercice 8

L’espace est muni d’un repère orthonormé \(\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)\). On considère le plan \((P)\) d’équation \(x+2y-z-1=0\).

1) Les points \(A(1,1,2)\) et \(B(2,1,1)\) appartiennent-ils au plan \((P)\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A\) : \(1+2\times1-2-1=0\), donc \(A\in(P)\).

🔢 Étape 2 : \(B\) : \(2+2\times1-1-1=2\neq0\), donc \(B\notin(P)\).

✅ \(A\in(P)\) et \(B\notin(P)\).

2) Calculer la distance \(AB\) puis les distances des deux points \(A\) et \(B\) au plan \((P)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Distance d’un point \(M(x_0,y_0,z_0)\) au plan \(ax+by+cz+d=0\) : \(\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(1,0,-1)\), donc \(AB=\sqrt{1+0+1}=\sqrt2\).

🔢 Étape 2 : \(d(A,(P))=0\) car \(A\in(P)\).

🔢 Étape 3 : \(d(B,(P))=\dfrac{|2+2-1-1|}{\sqrt{1+4+1}}=\dfrac2{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}3\).

✅ \(AB=\sqrt2\), \(d(A,(P))=0\), \(d(B,(P))=\dfrac{\sqrt6}3\).

3) Le point \(A\) est-il le projeté orthogonal de \(B\) sur le plan \((P)\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A\in(P)\) (question 1), mais il faudrait en plus que \(\overrightarrow{AB}\) soit colinéaire à \(\vec n(1,2,-1)\).

🔢 Étape 2 : Or \(\overrightarrow{AB}(1,0,-1)\) n’est pas colinéaire à \(\vec n\) (on aurait \(AB=d(B,(P))\), or \(\sqrt2\neq\dfrac{\sqrt6}3\)).

✅ Non, \(A\) n’est pas le projeté orthogonal de \(B\) sur \((P)\).

Exercice 9

Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs tels que \(\|\vec u\|=1\), \(\|\vec v\|=3\) et \(\left(\widehat{\vec u;\vec v}\right)=\dfrac\pi3\). Calculer \(\|\vec u\wedge\vec v\|\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Dans un repère orthonormé direct, pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\). De plus \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin(\vec u,\vec v)\) et \(\vec u\wedge\vec v=\vec0\iff\vec u,\vec v\) colinéaires.

🔢 \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin\dfrac\pi3=1\times3\times\dfrac{\sqrt3}2\).

✅ \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\dfrac{3\sqrt3}2\).

Exercice 10

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \(\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)\), on considère \(\vec u(1,1,1)\) et \(\vec v(2,1,2)\). Calculer \(\vec u\wedge\vec v\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Dans un repère orthonormé direct, pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\). De plus \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin(\vec u,\vec v)\) et \(\vec u\wedge\vec v=\vec0\iff\vec u,\vec v\) colinéaires.

🔢 \(\vec u\wedge\vec v=\left(1\times2-1\times1,\ 1\times2-1\times2,\ 1\times1-1\times2\right)\).

✅ \(\vec u\wedge\vec v=(1,0,-1)\), soit \(\vec i-\vec k\).

Exercice 11

Soient \(\vec u=\vec i+2\vec j+\vec k\) et \(\vec v=3\vec i-2\vec j-\vec k\). Calculer \(\vec u\wedge\vec v\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\vec u(1,2,1)\) et \(\vec v(3,-2,-1)\).

🔢 Étape 2 : \(\vec u\wedge\vec v=\left(2\times(-1)-1\times(-2),\ 1\times3-1\times(-1),\ 1\times(-2)-2\times3\right)=(0,4,-8)\).

✅ \(\vec u\wedge\vec v=4\vec j-8\vec k\).

Exercice 12

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \(\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)\), on considère les points \(A(0,1,2)\), \(B(1,1,0)\) et \(C(1,0,1)\).

1) Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et vérifier que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.

Correction détaillée

📘 Méthode : Dans un repère orthonormé direct, pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\). De plus \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin(\vec u,\vec v)\) et \(\vec u\wedge\vec v=\vec0\iff\vec u,\vec v\) colinéaires.

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(1,0,-2)\) et \(\overrightarrow{AC}(1,-1,-1)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left(0\times(-1)-(-2)(-1),\ (-2)\times1-1\times(-1),\ 1\times(-1)-0\times1\right)=(-2,-1,-1)\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-2,-1,-1)\neq\vec0\), donc \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.

2) Calculer la surface du triangle \(ABC\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire du triangle \(ABC\) : \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\). Plan \((ABC)\) : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) en est un vecteur normal (non nul si \(A,B,C\) non alignés).

🔢 \(\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt6\).

✅ \(S_{ABC}=\dfrac12\sqrt6=\dfrac{\sqrt6}2\).

3) Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\vec n(2,1,1)\) (opposé du produit vectoriel) est normal à \((ABC)\) : \(2x+y+z+d=0\).

🔢 Étape 2 : \(A(0,1,2)\in(ABC)\) : \(0+1+2+d=0\iff d=-3\). Vérification : \(B\) : \(2+1+0-3=0\) ; \(C\) : \(2+0+1-3=0\).

✅ \((ABC):\ 2x+y+z-3=0\).

Exercice 13

L’espace est muni d’un repère orthonormé.

Quelle est l’intersection des plans d’équations respectives \((P):x-y+2z+1=0\) et \((P’):2x+y-z+2=0\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : L’intersection de deux plans de normales non colinéaires est une droite dirigée par \(\vec n\wedge\vec n’\).

🔢 Étape 1 : Les vecteurs normaux \(\vec n(1,-1,2)\) et \(\vec n'(2,1,-1)\) ne sont pas colinéaires : les plans sont sécants suivant une droite \((D)\).

🔢 Étape 2 : Un vecteur directeur de \((D)\) est orthogonal à \(\vec n\) et \(\vec n’\) : \(\vec n\wedge\vec n’=\left((-1)(-1)-2\times1,\ 2\times2-1\times(-1),\ 1\times1-(-1)\times2\right)=(-1,5,3)\).

🔢 Étape 3 : Un point de \((D)\) : pour \(z=0\), le système \(x-y+1=0\), \(2x+y+2=0\) donne \(3x+3=0\), \(x=-1\), \(y=0\) : \(A_0(-1,0,0)\).

✅ \((P)\cap(P’)\) est la droite passant par \(A_0(-1,0,0)\) et de vecteur directeur \(\vec u(-1,5,3)\) : \(\begin{cases}x=-1-t\\y=5t\\z=3t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).

Exercice 14

L’espace est muni d’un repère orthonormé.

Calculer la distance du point \(M(-1,0,1)\) à la droite \((D)\) dont une représentation paramétrique est \(\begin{cases}x=-1+t\\y=5t\\z=3t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Distance d’un point \(M\) à une droite \((D)\) passant par \(A_0\) et de vecteur directeur \(\vec u\) : \(d(M,(D))=\dfrac{\left\|\overrightarrow{A_0M}\wedge\vec u\right\|}{\|\vec u\|}\).

🔢 Étape 1 : \((D)\) passe par \(A_0(-1,0,0)\) et est dirigée par \(\vec u(1,5,3)\), \(\|\vec u\|=\sqrt{35}\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{A_0M}(0,0,1)\), donc \(\overrightarrow{A_0M}\wedge\vec u=\left(0\times3-1\times5,\ 1\times1-0\times3,\ 0\right)=(-5,1,0)\), de norme \(\sqrt{26}\).

🔢 Étape 3 : \(d(M,(D))=\dfrac{\left\|\overrightarrow{A_0M}\wedge\vec u\right\|}{\|\vec u\|}=\dfrac{\sqrt{26}}{\sqrt{35}}\).

✅ \(d(M,(D))=\sqrt{\dfrac{26}{35}}=\dfrac{\sqrt{910}}{35}\approx0{,}86\).

Exercice 15

\(ABCDEFGH\) est un cube de côté \(1\), l’espace étant orienté et muni du repère orthonormé direct \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\). \(I\) est le milieu de \([EF]\) et \(K\) le centre de gravité du carré \(ADHE\).

1.a) Montrer que \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{IG}\wedge\overrightarrow{IA}\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE}\right)\) : \(\overrightarrow{AC}\) est certainement une faute pour \(\overrightarrow{AD}\) (les arêtes issues de \(A\) sont \(AB\), \(AD\), \(AE\)).

📘 Méthode : Repère orthonormé direct \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\).

🔢 Étape 1 : Coordonnées : \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(G(1,1,1)\), \(I\left(\dfrac12,0,1\right)\) (milieu de \([EF]\)), \(K\left(0,\dfrac12,\dfrac12\right)\) (centre du carré \(ADHE\)).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{BK}\left(-1,\dfrac12,\dfrac12\right)\), \(\overrightarrow{IG}\left(\dfrac12,1,0\right)\), \(\overrightarrow{IA}\left(-\dfrac12,0,-1\right)\).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{IG}\wedge\overrightarrow{IA}=\left(1\times(-1)-0\times0,\ 0\times\left(-\dfrac12\right)-\dfrac12\times(-1),\ \dfrac12\times0-1\times\left(-\dfrac12\right)\right)=\left(-1,\dfrac12,\dfrac12\right)\).

✅ \(\overrightarrow{IG}\wedge\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{BK}\).

1.b) En déduire la surface du triangle \(IGA\).

Correction détaillée

🔢 \(S_{IGA}=\dfrac12\left\|\overrightarrow{IG}\wedge\overrightarrow{IA}\right\|=\dfrac12\left\|\overrightarrow{BK}\right\|=\dfrac12\sqrt{1+\dfrac14+\dfrac14}=\dfrac12\sqrt{\dfrac32}\).

✅ \(S_{IGA}=\dfrac{\sqrt6}4\).

2) Calculer le volume du tétraèdre \(BICA\). En déduire la distance du point \(B\) au plan \((ICA)\).

Correction détaillée

⚠️ Dans une autre version du même exercice, la question 1 demande l’aire du triangle \(ICA\) (au lieu de \(IGA\)) ; on a gardé \(IGA\), qui découle directement de \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{IG}\wedge\overrightarrow{IA}\), et l’aire de \(ICA\) est calculée ici à la question 2.

📘 Méthode : Volume d’un tétraèdre \(ABCD\) : \(V=\dfrac16\left|\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AD}\right)\right|=\dfrac13\,S_{\text{base}}\times h\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(1,0,0)\), \(\overrightarrow{AI}\left(\dfrac12,0,1\right)\), \(\overrightarrow{AC}(1,1,0)\). Le produit mixte vaut \(\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AI}\wedge\overrightarrow{AC}\right)\) avec \(\overrightarrow{AI}\wedge\overrightarrow{AC}=(-1,1,\tfrac12)\), soit \(-1\). Donc \(V_{BICA}=\dfrac16|-1|=\dfrac16\).

🔢 Étape 2 : Aire de \(ICA\) : \(\overrightarrow{IC}\left(\dfrac12,1,-1\right)\), \(\overrightarrow{IA}\left(-\dfrac12,0,-1\right)\), \(\overrightarrow{IC}\wedge\overrightarrow{IA}=(-1,1,\tfrac12)\) de norme \(\dfrac32\), donc \(S_{ICA}=\dfrac34\).

🔢 Étape 3 : \(V=\dfrac13\,S_{ICA}\times d(B,(ICA))\), donc \(d(B,(ICA))=\dfrac{3V}{S_{ICA}}=\dfrac{1/2}{3/4}\).

✅ \(V_{BICA}=\dfrac16\) et \(d(B,(ICA))=\dfrac23\).

Exercice 16

On suppose que \(ABCD\) est un quadrilatère convexe de diagonales qui se coupent en \(T\), et soit \(\Omega\) un point tel que \(\overrightarrow{D\Omega}=\overrightarrow{BT}\).

a) Comparer les distances \(BD\) et \(\Omega T\), puis comparer les surfaces des triangles \(ABD\) et \(A\Omega T\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{D\Omega}=\overrightarrow{BT}\) donne \(\overrightarrow{\Omega T}=\overrightarrow{\Omega D}+\overrightarrow{DT}=-\overrightarrow{BT}+\overrightarrow{DT}=\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{DT}=\overrightarrow{DB}\).

🔢 Étape 2 : Donc \(\Omega T=BD\) et \(\Omega\), \(T\), \(B\), \(D\) sont alignés sur la droite \((BD)\).

🔢 Étape 3 : Les triangles \(ABD\) et \(A\Omega T\) ont leurs bases \(BD\) et \(\Omega T\) de même longueur, portées par la même droite, et le même sommet \(A\) : même hauteur.

✅ \(BD=\Omega T\) et \(S_{ABD}=S_{A\Omega T}\).

b) Montrer que \(\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{A\Omega}=\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{BD}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Linéarité du produit vectoriel : \(\vec u\wedge(\vec v+\vec w)=\vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w\), et \(\vec u\wedge\vec v=\vec0\) si \(\vec u,\vec v\) colinéaires.

🔢 Étape 1 : \(T\in(AC)\) car \(T\) est l’intersection des diagonales, donc \(\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AT}=\vec0\).

🔢 Étape 2 : Chasles : \(\overrightarrow{A\Omega}=\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{T\Omega}=\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{BD}\) (car \(\overrightarrow{T\Omega}=-\overrightarrow{\Omega T}=-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BD}\)).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{A\Omega}=\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{BD}=\vec0+\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{BD}\).

✅ \(\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{A\Omega}=\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{BD}\).

Exercice 17

1) Déterminer l’équation cartésienne de la sphère de centre \(\Omega(1,-1,2)\) et de rayon \(R=3\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère de centre \(\Omega(a,b,c)\) et de rayon \(R\) : \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\). Une équation \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) se met sous cette forme par complétion de carrés : \(R^2=a^2+b^2+c^2-d\) ; c’est une sphère si \(R^2>0\), le point \(\Omega\) si \(R^2=0\), l’ensemble vide si \(R^2<0\).

🔢 Étape 1 : \((x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9\).

🔢 Étape 2 : Développée : \(x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z+1+1+4-9=0\).

✅ \((S):\ (x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9\), soit \(x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z-3=0\).

2) Déterminer l’équation cartésienne de la sphère de centre \(\Omega(0,-3,0)\) et qui passe par \(A(2,1,-1)\).

Correction détaillée

🔢 Le rayon est \(R=\Omega A=\sqrt{2^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{21}\).

✅ \(x^2+(y+3)^2+z^2=21\), soit \(x^2+y^2+z^2+6y-12=0\).

Exercice 18

Déterminer une représentation paramétrique de la sphère de centre \(\Omega(-1,0,2)\) et de rayon \(R=3\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère de centre \(\Omega(a,b,c)\) et de rayon \(R\) : \(x=a+R\sin\varphi\cos\theta\), \(y=b+R\sin\varphi\sin\theta\), \(z=c+R\cos\varphi\). Pour le vérifier : \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\sin^2\varphi+R^2\cos^2\varphi=R^2\).

🔢 Un point \(M(x,y,z)\) est sur la sphère si \(x=-1+3\sin\varphi\cos\theta\), \(y=3\sin\varphi\sin\theta\), \(z=2+3\cos\varphi\).

✅ \(\begin{cases}x=-1+3\sin\varphi\cos\theta\\y=3\sin\varphi\sin\theta\\z=2+3\cos\varphi\end{cases}\), \((\varphi,\theta)\in[0,\pi]\times[0,2\pi]\).

Exercice 19

Déterminer l’ensemble \((S)\) des points \(M(x,y,z)\) tels que \(\begin{cases}x=\frac12+2\sin\varphi\cos\theta\\y=-1+2\sin\varphi\sin\theta\\z=1+2\cos\varphi\end{cases}\), \((\varphi,\theta)\in\mathbb R^2\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(x-\dfrac12\right)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=4\sin^2\varphi\cos^2\theta+4\sin^2\varphi\sin^2\theta+4\cos^2\varphi=4\sin^2\varphi+4\cos^2\varphi=4\).

✅ \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega\left(\dfrac12,-1,1\right)\) et de rayon \(2\).

Exercice 20

Déterminer l’ensemble \((S)\) des points \(M(x,y,z)\) dans les cas suivants :

1) \((S_1):x^2+y^2+z^2-2x-6y-4z=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère de centre \(\Omega(a,b,c)\) et de rayon \(R\) : \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\). Une équation \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) se met sous cette forme par complétion de carrés : \(R^2=a^2+b^2+c^2-d\) ; c’est une sphère si \(R^2>0\), le point \(\Omega\) si \(R^2=0\), l’ensemble vide si \(R^2<0\).

🔢 \((x-1)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=1+9+4=14\).

✅ \((S_1)\) est la sphère de centre \(\Omega_1(1,3,2)\) et de rayon \(\sqrt{14}\).

2) \((S_2):x^2+y^2+z^2-6x+4y+6z+22=0\).

Correction détaillée

🔢 \((x-3)^2+(y+2)^2+(z+3)^2=9+4+9-22=0\).

✅ \((S_2)=\{\Omega_2\}\) avec \(\Omega_2(3,-2,-3)\) : un seul point.

3) \((S_3):x^2+y^2+z^2-2x+3y+z+7=0\).

Correction détaillée

🔢 \((x-1)^2+\left(y+\dfrac32\right)^2+\left(z+\dfrac12\right)^2=1+\dfrac94+\dfrac14-7=-\dfrac72\).

✅ Le second membre est négatif : \((S_3)=\varnothing\).

Exercice 21

Soient \(A(-1,2,1)\) et \(B(1,-1,0)\). Déterminer l’ensemble \((S)\) des points \(M(x,y,z)\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff M\) est sur la sphère de diamètre \([AB]\) (centre le milieu de \([AB]\), rayon \(\dfrac{AB}2\)).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{MA}(-1-x,2-y,1-z)\) et \(\overrightarrow{MB}(1-x,-1-y,-z)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(x+1)(x-1)+(y-2)(y+1)+(z-1)z=x^2+y^2+z^2-y-z-3\).

🔢 Étape 3 : En complétant les carrés : \(x^2+\left(y-\dfrac12\right)^2+\left(z-\dfrac12\right)^2=3+\dfrac14+\dfrac14=\dfrac72\).

✅ \((S)\) est la sphère de diamètre \([AB]\) : centre \(I\left(0,\dfrac12,\dfrac12\right)\), rayon \(\dfrac{AB}2=\dfrac{\sqrt{14}}2\).

Exercice 22

Soit \((S):(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=9\) et \((D):\begin{cases}x=1-t\\y=1+t\\z=1+t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\). Étudier la position relative de la sphère et de la droite.

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et droite \((D)\) passant par \(A\), de vecteur directeur \(\vec u\) : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{\|\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\). Si \(d>R\) : aucun point commun ; si \(d=R\) : tangente (un point) ; si \(d<R\) : deux points d’intersection.

🔢 Étape 1 : \(\Omega(1,1,2)\), \(R=3\) ; \((D)\) passe par \(A(1,1,1)\) avec \(\vec u(-1,1,1)\), \(\|\vec u\|=\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{A\Omega}(0,0,1)\), \(\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u=\left(0\times1-1\times1,\ 1\times(-1)-0\times1,\ 0\right)=(-1,-1,0)\), de norme \(\sqrt2\).

🔢 Étape 3 : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6}3\approx0{,}82<3\).

✅ \(d(\Omega,(D))<R\) : la droite coupe la sphère en deux points.

Exercice 23

Soit \((S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z=0\) et \((D):\begin{cases}x=2+3t\\y=4+t\\z=-2+5t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\). Étudier la position relative de la sphère et de la droite.

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et droite \((D)\) passant par \(A\), de vecteur directeur \(\vec u\) : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{\|\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\). Si \(d>R\) : aucun point commun ; si \(d=R\) : tangente (un point) ; si \(d<R\) : deux points d’intersection.

🔢 Étape 1 : \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=1+4+1=6\) : \(\Omega(1,2,-1)\), \(R=\sqrt6\).

🔢 Étape 2 : \((D)\) passe par \(A(2,4,-2)\), \(\vec u(3,1,5)\), \(\|\vec u\|^2=35\). \(\overrightarrow{A\Omega}(-1,-2,1)\).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u=\left((-2)\times5-1\times1,\ 1\times3-(-1)\times5,\ (-1)\times1-(-2)\times3\right)=(-11,8,5)\) ; norme au carré \(121+64+25=210\).

🔢 Étape 4 : \(d(\Omega,(D))^2=\dfrac{210}{35}=6=R^2\).

✅ \(d(\Omega,(D))=R=\sqrt6\) : la droite est tangente à la sphère.

Exercice 24

Soit \((S):x^2+y^2+z^2+2x-2y-1=0\) et \((D):\begin{cases}x=-1+t\\y=1+2t\\z=2\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\). Étudier la position relative de la sphère et de la droite.

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et droite \((D)\) passant par \(A\), de vecteur directeur \(\vec u\) : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{\|\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\). Si \(d>R\) : aucun point commun ; si \(d=R\) : tangente (un point) ; si \(d<R\) : deux points d’intersection.

🔢 Étape 1 : \((x+1)^2+(y-1)^2+z^2=3\) : \(\Omega(-1,1,0)\), \(R=\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : \((D)\) passe par \(A(-1,1,2)\), \(\vec u(1,2,0)\), \(\|\vec u\|=\sqrt5\). \(\overrightarrow{A\Omega}(0,0,-2)\).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u=\left(0\times0-(-2)\times2,\ (-2)\times1-0\times0,\ 0\right)=(4,-2,0)\), de norme \(\sqrt{20}\).

🔢 Étape 4 : \(d(\Omega,(D))=\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt5}=2>\sqrt3\).

✅ \(d(\Omega,(D))>R\) : la droite ne rencontre pas la sphère.

Exercice 25

Soit \((S):x^2+y^2+z^2-2x-2y-14=0\) et le plan \((P):2x-y-z+5=0\). Étudier la position relative de la sphère \((S)\) et du plan \((P)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : on calcule \(d=d(\Omega,(P))\). Si \(d>R\) : intersection vide ; si \(d=R\) : tangence en un point (le projeté orthogonal de \(\Omega\)) ; si \(d<R\) : cercle de centre le projeté orthogonal \(H\) de \(\Omega\) sur \((P)\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 Étape 1 : \((x-1)^2+(y-1)^2+z^2=16\) : \(\Omega(1,1,0)\), \(R=4\).

🔢 Étape 2 : \(d(\Omega,(P))=\dfrac{|2-1-0+5|}{\sqrt{4+1+1}}=\dfrac6{\sqrt6}=\sqrt6\approx2{,}45<4\).

✅ \(d(\Omega,(P))<R\) : le plan coupe la sphère suivant un cercle de rayon \(r=\sqrt{16-6}=\sqrt{10}\).

Exercice 26

Soit \((S):x^2+y^2+z^2-2x+2z+1=0\) et le plan \((P):x-y+z-3=0\). Étudier la position relative de la sphère \((S)\) et du plan \((P)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : on calcule \(d=d(\Omega,(P))\). Si \(d>R\) : intersection vide ; si \(d=R\) : tangence en un point (le projeté orthogonal de \(\Omega\)) ; si \(d<R\) : cercle de centre le projeté orthogonal \(H\) de \(\Omega\) sur \((P)\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 Étape 1 : \((x-1)^2+y^2+(z+1)^2=1+1-1=1\) : \(\Omega(1,0,-1)\), \(R=1\).

🔢 Étape 2 : \(d(\Omega,(P))=\dfrac{|1-0-1-3|}{\sqrt3}=\sqrt3>1\).

✅ \(d(\Omega,(P))>R\) : le plan ne coupe pas la sphère.

Exercice 27

Soit \((S):(x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2=9\) et le plan \((P):2x-y+3z-2=0\). Étudier la position relative de la sphère \((S)\) et du plan \((P)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : on calcule \(d=d(\Omega,(P))\). Si \(d>R\) : intersection vide ; si \(d=R\) : tangence en un point (le projeté orthogonal de \(\Omega\)) ; si \(d<R\) : cercle de centre le projeté orthogonal \(H\) de \(\Omega\) sur \((P)\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 Étape 1 : \(\Omega(2,1,-3)\), \(R=3\).

🔢 Étape 2 : \(d(\Omega,(P))=\dfrac{|4-1-9-2|}{\sqrt{4+1+9}}=\dfrac8{\sqrt{14}}=\dfrac{4\sqrt{14}}7\approx2{,}14<3\).

✅ \(d(\Omega,(P))<R\) : le plan coupe la sphère suivant un cercle de rayon \(r=\sqrt{9-\dfrac{32}7}=\sqrt{\dfrac{31}7}\).

Exercice 28

Soit \((S):x^2+y^2+(z+2)^2=3\) et le point \(A(1,-1,-1)\). Vérifier que \(A\in(S)\) et déterminer l’équation cartésienne du plan \((P)\) tangent à la sphère en \(A\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Le plan tangent à une sphère en un point \(A\) est le plan passant par \(A\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega A}\) : \(M\in(P)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0\).

🔢 Étape 1 : \(1+1+(-1+2)^2=3\), donc \(A\in(S)\).

🔢 Étape 2 : Le centre est \(\Omega(0,0,-2)\) ; le plan tangent en \(A\) est orthogonal à \(\overrightarrow{\Omega A}(1,-1,1)\) : \(x-y+z+d=0\).

🔢 Étape 3 : \(A\in(P)\) : \(1+1-1+d=0\iff d=-1\).

✅ \((P):\ x-y+z-1=0\).

Exercice 29

On considère les plans d’équations respectives \((P):x-y+z=0\) et \((Q):2x+3y+z-6=0\), la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(1,2,4)\) et tangente au plan \((P)\), et la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire au plan \((Q)\).

1) Montrer que les plans \((P)\) et \((Q)\) sont orthogonaux.

Correction détaillée

🔢 \(\vec n_P(1,-1,1)\) et \(\vec n_Q(2,3,1)\) : \(\vec n_P\cdot\vec n_Q=2-3+1=0\).

✅ Les normales sont orthogonales, donc \((P)\perp(Q)\).

2.a) Déterminer l’équation cartésienne de la sphère \((S)\).

Correction détaillée

🔢 \((S)\) est tangente à \((P)\) : \(R=d(\Omega,(P))=\dfrac{|1-2+4|}{\sqrt3}=\sqrt3\).

✅ \((S):\ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=3\).

2.b) Déterminer le point de tangence de \((P)\) et \((S)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Le point de tangence \(H\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((P)\) : \(H=\Omega+s\,\vec n_P=(1+s,\,2-s,\,4+s)\).

🔢 Étape 2 : \(H\in(P)\) : \((1+s)-(2-s)+(4+s)=3+3s=0\iff s=-1\).

✅ Le point de tangence est \(H(0,3,3)\).

3.a) Déterminer le point d’intersection de \((\Delta)\) et \((Q)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((\Delta)\) passe par \(\Omega(1,2,4)\) et est dirigée par \(\vec n_Q(2,3,1)\) : \(x=1+2t\), \(y=2+3t\), \(z=4+t\).

🔢 Étape 2 : Dans \((Q)\) : \(2(1+2t)+3(2+3t)+(4+t)-6=14t+6=0\iff t=-\dfrac37\).

✅ \(K=\left(\dfrac17,\dfrac57,\dfrac{25}7\right)\).

3.b) Montrer que le plan \((Q)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(d(\Omega,(Q))=\dfrac{|2+6+4-6|}{\sqrt{14}}=\dfrac6{\sqrt{14}}\) et \(d^2=\dfrac{36}{14}=\dfrac{18}7<3=R^2\).

🔢 Étape 2 : Donc \((Q)\) coupe \((S)\) suivant un cercle. Son centre est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((Q)\), c’est-à-dire \(K\) (car \((\Delta)\perp(Q)\) passe par \(\Omega\)).

🔢 Étape 3 : Rayon : \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{3-\dfrac{18}7}=\sqrt{\dfrac37}\).

✅ Cercle de centre \(K\left(\dfrac17,\dfrac57,\dfrac{25}7\right)\) et de rayon \(r=\sqrt{\dfrac37}=\dfrac{\sqrt{21}}7\).

Exercice 30

On considère l’ensemble \((S_m)\) des points \(M(x,y,z)\) de l’espace qui vérifient l’équation \((S_m):mx^2+my^2+mz^2-2(m-1)x+2y+2z=0\), où \(m\) est un paramètre non nul.

1) Montrer que \((S_m)\) est une sphère pour tout \(m\in\mathbb R^*\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère de centre \(\Omega(a,b,c)\) et de rayon \(R\) : \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\). Une équation \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) se met sous cette forme par complétion de carrés : \(R^2=a^2+b^2+c^2-d\) ; c’est une sphère si \(R^2>0\), le point \(\Omega\) si \(R^2=0\), l’ensemble vide si \(R^2<0\).

🔢 Étape 1 : On divise par \(m\neq0\) : \(x^2+y^2+z^2-\dfrac{2(m-1)}mx+\dfrac2my+\dfrac2mz=0\).

🔢 Étape 2 : Centre \(\Omega_m\left(\dfrac{m-1}m,-\dfrac1m,-\dfrac1m\right)\) et \(R_m^2=\dfrac{(m-1)^2}{m^2}+\dfrac1{m^2}+\dfrac1{m^2}=\dfrac{(m-1)^2+2}{m^2}>0\).

✅ Pour tout \(m\neq0\), \(R_m^2>0\) : \((S_m)\) est la sphère de centre \(\Omega_m\) et de rayon \(\dfrac{\sqrt{(m-1)^2+2}}{|m|}\).

2) Montrer que toutes les sphères se coupent suivant un seul cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour une famille dépendant d’un paramètre \(m\), on écrit l’équation sous la forme \(m\,U(x,y,z)+V(x,y,z)=0\) : les points communs sont ceux qui vérifient \(U=0\) et \(V=0\).

🔢 Étape 1 : On regroupe selon \(m\) : \(m\left(x^2+y^2+z^2-2x\right)+2(x+y+z)=0\).

🔢 Étape 2 : Un point est sur toutes les sphères \(\iff\) cette égalité vaut pour tout \(m\iff x^2+y^2+z^2-2x=0\) et \(x+y+z=0\).

🔢 Étape 3 : C’est l’intersection de la sphère \((\Sigma)\) de centre \(O'(1,0,0)\) et de rayon \(1\) avec le plan \((\Pi):x+y+z=0\).

🔢 Étape 4 : \(d(O’,(\Pi))=\dfrac1{\sqrt3}<1\), donc c’est un cercle : rayon \(r=\sqrt{1-\dfrac13}=\sqrt{\dfrac23}\), centre le projeté de \(O’\) : \(O’-\dfrac13(1,1,1)\).

✅ Les sphères \((S_m)\) contiennent toutes le cercle de centre \(\left(\dfrac23,-\dfrac13,-\dfrac13\right)\) et de rayon \(\dfrac{\sqrt6}3\), situé dans le plan \(x+y+z=0\).

Exercice 31

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \(\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)\), on considère les plans \((P_m)\) d’équation \(x+y-z-m=0\) avec \(m\) paramètre réel, et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(1,2,1)\) et de rayon \(R=\sqrt3\).

1) Étudier et discuter suivant le paramètre \(m\) la position relative de la sphère \((S)\) et du plan \((P_m)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : on calcule \(d=d(\Omega,(P))\). Si \(d>R\) : intersection vide ; si \(d=R\) : tangence en un point (le projeté orthogonal de \(\Omega\)) ; si \(d<R\) : cercle de centre le projeté orthogonal \(H\) de \(\Omega\) sur \((P)\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 Étape 1 : \(d\left(\Omega,(P_m)\right)=\dfrac{|1+2-1-m|}{\sqrt3}=\dfrac{|2-m|}{\sqrt3}\), à comparer à \(R=\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{|2-m|}{\sqrt3}<\sqrt3\iff|2-m|<3\iff-1<m<5\).

✅ Si \(m\in]-1,5[\) : \((P_m)\) coupe \((S)\) suivant un cercle ; si \(m=-1\) ou \(m=5\) : \((P_m)\) est tangent à \((S)\) ; si \(m<-1\) ou \(m>5\) : \((P_m)\cap(S)=\varnothing\).

2) Soit \((E)\) l’ensemble des réels \(m\) tels que \((P_m)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((C_m)\). Déterminer l’ensemble des centres des cercles \((C_m)\) lorsque \(m\) varie dans \((E)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après 1) : \((E)=]-1,5[\).

🔢 Étape 2 : Le centre de \((C_m)\) est le projeté orthogonal \(H_m\) de \(\Omega\) sur \((P_m)\) : \(H_m=\Omega+s(1,1,-1)\) avec \((1+s)+(2+s)-(1-s)-m=2+3s-m=0\), soit \(s=\dfrac{m-2}3\).

🔢 Étape 3 : \(H_m=\left(1+s,\,2+s,\,1-s\right)\) avec \(s=\dfrac{m-2}3\in]-1,1[\) quand \(m\in]-1,5[\).

🔢 Étape 4 : Extrémités : \(s=-1\) donne \((0,1,2)\) et \(s=1\) donne \((2,3,0)\).

✅ Les centres décrivent le segment ouvert d’extrémités \((0,1,2)\) et \((2,3,0)\) : c’est le diamètre de \((S)\) dirigé par \(\vec n(1,1,-1)\), privé de ses extrémités.

Exercice 32

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \(\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)\), on considère l’ensemble \((S_m)\) des points \(M(x,y,z)\) tels que \((S_m):x^2+y^2+z^2+mx+2(m-1)y+(m+4)z+1=0\) où \(m\) est un paramètre réel.

1) Montrer que \((S_m)\) est une sphère pour tout \(m\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère de centre \(\Omega(a,b,c)\) et de rayon \(R\) : \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\). Une équation \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) se met sous cette forme par complétion de carrés : \(R^2=a^2+b^2+c^2-d\) ; c’est une sphère si \(R^2>0\), le point \(\Omega\) si \(R^2=0\), l’ensemble vide si \(R^2<0\).

🔢 Étape 1 : Centre \(\Omega_m\left(-\dfrac m2,\,1-m,\,-\dfrac{m+4}2\right)\).

🔢 Étape 2 : \(R_m^2=\dfrac{m^2}4+(m-1)^2+\dfrac{(m+4)^2}4-1=\dfrac{m^2}2+2m+4+m^2-2m=\dfrac32m^2+4\).

✅ \(R_m^2=\dfrac32m^2+4>0\) pour tout \(m\) : \((S_m)\) est une sphère de rayon \(\sqrt{\dfrac32m^2+4}\).

2) Déterminer l’ensemble des centres des \((S_m)\) lorsque \(m\) varie dans \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(x=-\dfrac m2\), \(y=1-m\), \(z=-2-\dfrac m2\), \(m\in\mathbb R\).

✅ C’est la droite passant par \(A_0(0,1,-2)\) et de vecteur directeur \(\vec u(1,2,1)\) (en posant \(t=-\dfrac m2\) : \(x=t\), \(y=1+2t\), \(z=-2+t\)).

3) Montrer qu’il existe un cercle \((C)\) inclus dans toutes les sphères \((S_m)\), \(\forall m\in\mathbb R\), et déterminer le plan \((P)\) qui contient ce cercle \((C)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On regroupe : \(\left(x^2+y^2+z^2-2y+4z+1\right)+m\,(x+2y+z)=0\).

🔢 Étape 2 : Les points communs vérifient \(x+2y+z=0\) et \(x^2+y^2+z^2-2y+4z+1=0\), c’est-à-dire \(x^2+(y-1)^2+(z+2)^2=4\).

🔢 Étape 3 : La seconde équation est la sphère de centre \(A_0(0,1,-2)\) et de rayon \(2\) ; le plan \((P):x+2y+z=0\) passe par son centre (\(0+2-2=0\)) : l’intersection est un grand cercle.

✅ \((P):\ x+2y+z=0\) ; \((C)\) est le cercle de centre \(A_0(0,1,-2)\) et de rayon \(2\) contenu dans \((P)\).

4) Soit un point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) dans l’espace tel que \(M_0\notin(P)\). Montrer qu’il existe une sphère unique qui passe par \(M_0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(M_0\in(S_m)\iff m\left(x_0+2y_0+z_0\right)=-\left(x_0^2+y_0^2+z_0^2-2y_0+4z_0+1\right)\).

🔢 Étape 2 : Comme \(M_0\notin(P)\), \(x_0+2y_0+z_0\neq0\) : cette équation en \(m\) a une solution unique.

✅ Il existe une unique valeur de \(m\), donc une unique sphère \((S_m)\) passant par \(M_0\).

5) Montrer qu’il existe deux sphères \((S_m)\) tangentes au plan \((O;x;y)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Le plan \((xOy)\) a pour équation \(z=0\) : \((S_m)\) lui est tangente \(\iff\left|-\dfrac{m+4}2\right|=R_m\iff\dfrac{(m+4)^2}4=\dfrac{m^2}4+(m-1)^2+\dfrac{(m+4)^2}4-1\).

🔢 Étape 2 : Soit \(\dfrac{m^2}4+m^2-2m=0\iff m\left(\dfrac54m-2\right)=0\iff m=0\) ou \(m=\dfrac85\).

✅ Les deux sphères tangentes au plan \((xOy)\) sont \((S_0)\) (rayon \(2\)) et \((S_{8/5})\) (rayon \(\dfrac{14}5\)).

Exercice 33

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \(\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)\), on considère les points \(A(0,1,1)\), \(B(-2,1,-1)\), \(C(0,2,1)\) et \(M(x,y,z)\).

1.a) Calculer \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AM}(x,y-1,z-1)\) et \(\overrightarrow{BM}(x+2,y-1,z+1)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=x(x+2)+(y-1)^2+(z-1)(z+1)=x^2+2x+(y-1)^2+z^2-1\).

✅ \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=x^2+2x+(y-1)^2+z^2-1\).

1.b) Déduire que l’ensemble des points \(M(x,y,z)\) tel que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=3\) est une sphère \((S)\), puis déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de la sphère \((S)\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=3\iff x^2+2x+(y-1)^2+z^2=4\iff(x+1)^2+(y-1)^2+z^2=5\).

✅ \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(-1,1,0)\) (milieu de \([AB]\)) et de rayon \(R=\sqrt5\).

2.a) Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\). En déduire que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(-2,0,-2)\) et \(\overrightarrow{AC}(0,1,0)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left(0\times0-(-2)\times1,\ (-2)\times0-(-2)\times0,\ (-2)\times1-0\times0\right)=(2,0,-2)\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(2,0,-2)\neq\vec0\) : \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.

2.b) Déterminer l’équation cartésienne du plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\vec n(1,0,-1)\) (proportionnel à \((2,0,-2)\)) est normal : \(x-z+d=0\).

🔢 Étape 2 : \(A(0,1,1)\in(ABC)\) : \(0-1+d=0\iff d=1\). Vérification : \(B\) : \(-2+1+1=0\) ; \(C\) : \(0-1+1=0\).

✅ \((ABC):\ x-z+1=0\).

3.a) Calculer \(d(\Omega,(ABC))\), la distance entre le point \(\Omega\) et le plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 \(d(\Omega,(ABC))=\dfrac{|-1-0+1|}{\sqrt2}=0\).

✅ \(d(\Omega,(ABC))=0\) : \(\Omega\in(ABC)\).

3.b) Déduire l’intersection du plan \((ABC)\) et de la sphère \((S)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 Le plan passe par le centre de la sphère : l’intersection est un grand cercle.

✅ \((ABC)\cap(S)\) est le cercle de centre \(\Omega(-1,1,0)\) et de rayon \(R=\sqrt5\).

Exercice 34

L’espace est muni d’un repère orthonormé direct \(\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)\).

1) On considère la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(1,-3,2)\) et de rayon \(R=3\). Déterminer l’équation cartésienne de la sphère \((S)\).

Correction détaillée

🔢 \((x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=9\).

✅ \((S):\ (x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=9\).

2.a) On considère la droite \((\Delta):\begin{cases}x=1+2t\\y=-3-2t\\z=2+t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\). Montrer que la droite \((\Delta)\) coupe la sphère \((S)\) en deux points \(I\) et \(J\) tels que l’abscisse de \(I\) soit négative.

Correction détaillée

📘 Méthode : Une droite \((D)\) \((A,\vec u)\) coupe la sphère en les points de paramètre \(t\) tels que \(\|\overrightarrow{\Omega M(t)}\|^2=R^2\) : on remplace \(x,y,z\) par leurs expressions en \(t\) dans l’équation de la sphère et on résout l’équation du second degré en \(t\).

🔢 Étape 1 : On remplace dans l’équation de \((S)\) : \((2t)^2+(-2t)^2+t^2=9\iff9t^2=9\iff t=\pm1\).

🔢 Étape 2 : \(t=-1\) : \(I(-1,-1,1)\) (abscisse négative) ; \(t=1\) : \(J(3,-5,3)\).

✅ \((\Delta)\) coupe \((S)\) en \(I(-1,-1,1)\) et \(J(3,-5,3)\).

2.b) Vérifier que \([IJ]\) est un diamètre de la sphère \((S)\).

Correction détaillée

🔢 Milieu de \([IJ]\) : \(\left(\dfrac{-1+3}2,\dfrac{-1-5}2,\dfrac{1+3}2\right)=(1,-3,2)=\Omega\).

✅ Le milieu de \([IJ]\) est le centre \(\Omega\) : \([IJ]\) est un diamètre de \((S)\) (c’est normal : \((\Delta)\) passe par \(\Omega\)).

3.a) On considère les points \(A(1,1,1)\), \(B(1,2,3)\) et \(C(2,1,-1)\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(0,1,2)\) et \(\overrightarrow{AC}(1,0,-2)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left(1\times(-2)-2\times0,\ 2\times1-0\times(-2),\ 0\times0-1\times1\right)=(-2,2,-1)\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-2,2,-1)\).

3.b) Déterminer l’équation cartésienne du plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\vec n(2,-2,1)\) est normal : \(2x-2y+z+d=0\).

🔢 Étape 2 : \(A\in(ABC)\) : \(2-2+1+d=0\iff d=-1\). Vérification : \(B\) : \(2-4+3-1=0\) ; \(C\) : \(4-2-1-1=0\).

✅ \((ABC):\ 2x-2y+z-1=0\).

4.a) Calculer \(d(\Omega,(ABC))\), la distance entre le point \(\Omega\) et le plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 \(d(\Omega,(ABC))=\dfrac{|2+6+2-1|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac93=3\).

✅ \(d(\Omega,(ABC))=3=R\) : le plan \((ABC)\) est tangent à \((S)\).

4.b) Vérifier que \((\Delta)\perp(ABC)\).

Correction détaillée

🔢 \((\Delta)\) a pour vecteur directeur \(\vec u(2,-2,1)\), qui est le vecteur normal de \((ABC)\) trouvé en 3.b).

✅ \(\vec u\) est normal à \((ABC)\), donc \((\Delta)\perp(ABC)\).

5) Déterminer le point d’intersection du plan \((ABC)\) et de la sphère \((S)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Le plan est tangent à la sphère : l’intersection est le point de tangence, projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((ABC)\). Comme \((\Delta)\) passe par \(\Omega\) et est orthogonale à \((ABC)\), c’est le point où \((\Delta)\) coupe \((ABC)\).

🔢 Étape 2 : \(2(1+2t)-2(-3-2t)+(2+t)-1=9+9t=0\iff t=-1\).

✅ Le point d’intersection est \(I(-1,-1,1)\).

Exercice 35

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \(\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)\), on considère les points \(A(-2,-1,-3)\), \(B(-3,0,-2)\) et \(C(-4,2,1)\).

1) Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(-1,1,1)\) et \(\overrightarrow{AC}(-2,3,4)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left(1\times4-1\times3,\ 1\times(-2)-(-1)\times4,\ (-1)\times3-1\times(-2)\right)=(1,2,-1)\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(1,2,-1)\).

2) Déterminer l’équation cartésienne du plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 \(x+2y-z+d=0\) ; \(A(-2,-1,-3)\in(ABC)\) : \(-2-2+3+d=0\iff d=1\). Vérification : \(B\) : \(-3+0+2+1=0\) ; \(C\) : \(-4+4-1+1=0\).

✅ \((ABC):\ x+2y-z+1=0\).

3.a) Soit \((S)\) la sphère d’équation \(x^2+y^2+z^2+2x+4y-4z+3=0\). Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de la sphère \((S)\).

Correction détaillée

🔢 \((x+1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2=1+4+4-3=6\).

✅ \(\Omega(-1,-2,2)\) et \(R=\sqrt6\).

3.b) Montrer que le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 \(d(\Omega,(ABC))=\dfrac{|-1-4-2+1|}{\sqrt{1+4+1}}=\dfrac6{\sqrt6}=\sqrt6\).

✅ \(d(\Omega,(ABC))=R\) : le plan \((ABC)\) est tangent à \((S)\).

3.c) Déterminer la représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 Le vecteur normal \(\vec n(1,2,-1)\) est un vecteur directeur de \((\Delta)\).

✅ \((\Delta):\begin{cases}x=-1+t\\y=-2+2t\\z=2-t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).

3.d) Déterminer le point d’intersection du plan \((ABC)\) et de la sphère \((S)\).

Correction détaillée

🔢 Point de tangence = intersection de \((\Delta)\) et \((ABC)\) : \((-1+t)+2(-2+2t)-(2-t)+1=6t-6=0\iff t=1\).

✅ Le point de tangence est \(H(0,0,1)\).

Exercice 36

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \(\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)\), on considère les points \(A(2,1,0)\), \(B(1,2,2)\) et \(C(3,3,1)\).

1.a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(-1,1,2)\) et \(\overrightarrow{AC}(1,2,1)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left(1\times1-2\times2,\ 2\times1-(-1)\times1,\ (-1)\times2-1\times1\right)=(-3,3,-3)\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-3,3,-3)\).

1.b) En déduire que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\neq\vec0\).

✅ \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.

1.c) Déterminer l’équation cartésienne du plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 Le vecteur \((1,-1,1)\) est normal : \(x-y+z+d=0\) ; \(A(2,1,0)\) : \(2-1+0+d=0\iff d=-1\).

✅ \((ABC):\ x-y+z-1=0\) (vérification : \(B\) : \(1-2+2-1=0\) ; \(C\) : \(3-3+1-1=0\)).

1.d) Calculer le volume du tétraèdre \(OABC\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Volume d’un tétraèdre \(OABC\) : \(V=\dfrac16\left|\overrightarrow{OA}\cdot\left(\overrightarrow{OB}\wedge\overrightarrow{OC}\right)\right|=\dfrac13\,S_{ABC}\times d(O,(ABC))\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{OA}(2,1,0)\), \(\overrightarrow{OB}(1,2,2)\), \(\overrightarrow{OC}(3,3,1)\).

🔢 Étape 2 : Produit mixte : \(\overrightarrow{OA}\cdot\left(\overrightarrow{OB}\wedge\overrightarrow{OC}\right)\) avec \(\overrightarrow{OB}\wedge\overrightarrow{OC}=(2\times1-2\times3,\ 2\times3-1\times1,\ 1\times3-2\times3)=(-4,5,-3)\) : \(2\times(-4)+1\times5+0=-3\).

🔢 Étape 3 : \(V=\dfrac16|-3|\).

✅ \(V_{OABC}=\dfrac12\).

2) Soit \(H\) le projeté orthogonal du point \(O\) sur le plan \((ABC)\). Déterminer \(\overrightarrow{OH}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{OH}\) est colinéaire à \(\vec n(1,-1,1)\) : \(H=(s,-s,s)\).

🔢 Étape 2 : \(H\in(ABC)\) : \(s+s+s-1=0\iff s=\dfrac13\).

✅ \(H\left(\dfrac13,-\dfrac13,\dfrac13\right)\) et \(\overrightarrow{OH}=\dfrac13(1,-1,1)\), de longueur \(OH=\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3\).

3.a) Montrer que le triangle \(ABC\) est équilatéral.

Correction détaillée

🔢 \(AB^2=1+1+4=6\), \(AC^2=1+4+1=6\), \(BC^2=(3-1)^2+(3-2)^2+(1-2)^2=4+1+1=6\).

✅ \(AB=AC=BC=\sqrt6\) : \(ABC\) est équilatéral.

3.b) Déterminer les coordonnées du point \(G\) centre de gravité du triangle \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 \(G=\left(\dfrac{2+1+3}3,\dfrac{1+2+3}3,\dfrac{0+2+1}3\right)\).

✅ \(G(2,2,1)\).

4) Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 \(S_{ABC}=\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|=\dfrac12\sqrt{9+9+9}=\dfrac{3\sqrt3}2\). (Contrôle : triangle équilatéral de côté \(\sqrt6\) : \(\dfrac{\sqrt3}4\times6\).)

✅ \(S_{ABC}=\dfrac{3\sqrt3}2\).

5.a) Soit \((S)\) la sphère d’équation \(x^2+y^2+z^2-2x-6y+5=0\). Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de la sphère \((S)\).

Correction détaillée

🔢 \((x-1)^2+(y-3)^2+z^2=1+9-5=5\).

✅ \(\Omega(1,3,0)\) et \(R=\sqrt5\).

5.b) Vérifier que les points \(A\), \(B\), \(C\) appartiennent à \((S)\).

Correction détaillée

🔢 \(\Omega A^2=1+4+0=5\), \(\Omega B^2=0+1+4=5\), \(\Omega C^2=4+0+1=5\).

✅ \(\Omega A=\Omega B=\Omega C=\sqrt5=R\) : \(A,B,C\in(S)\).

5.c) Calculer \(d(\Omega,(ABC))\). En déduire l’intersection de \((S)\) et du plan \((ABC)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 Étape 1 : \(d(\Omega,(ABC))=\dfrac{|1-3+0-1|}{\sqrt3}=\sqrt3<\sqrt5\) : le plan coupe la sphère suivant un cercle de rayon \(r=\sqrt{5-3}=\sqrt2\).

🔢 Étape 2 : Ce cercle passe par \(A\), \(B\), \(C\) : c’est le cercle circonscrit au triangle équilatéral \(ABC\), de centre \(G(2,2,1)\) (on a bien \(\overrightarrow{\Omega G}(1,-1,1)\) colinéaire à \(\vec n\) et \(\Omega G=\sqrt3\)), et de rayon \(\dfrac{\sqrt6}{\sqrt3}=\sqrt2\).

✅ \((S)\cap(ABC)\) est le cercle de centre \(G(2,2,1)\) et de rayon \(\sqrt2\), circonscrit au triangle \(ABC\).

6) Donner des équations cartésiennes des plans \((P_1)\) et \((P_2)\) parallèles à \((ABC)\) et tangents à \((S)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Plans parallèles à \((ABC)\) : \(x-y+z+d=0\).

🔢 Étape 2 : Tangence : \(d(\Omega,\cdot)=R\iff\dfrac{|1-3+0+d|}{\sqrt3}=\sqrt5\iff|d-2|=\sqrt{15}\), d’où \(d=2\pm\sqrt{15}\).

✅ \((P_1):x-y+z+2+\sqrt{15}=0\) et \((P_2):x-y+z+2-\sqrt{15}=0\).

Exercice 37

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \(\left(O;\vec i,\vec j,\vec k\right)\), on considère le point \(A(1,-1,3)\) et le plan \((P)\) d’équation \(x-y+3z=0\). On considère la sphère \((S)\) tangente au plan \((Q)\) en \(A\), telle que le plan \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de centre \(O\) et de rayon \(\sqrt{33}\).

1.a) Déterminer la représentation paramétrique de la droite \((OA)\).

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{OA}(1,-1,3)\) est un vecteur directeur.

✅ \((OA):\begin{cases}x=t\\y=-t\\z=3t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).

1.b) Déterminer une équation cartésienne du plan \((Q)\) orthogonal à la droite \((OA)\) au point \(A\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{OA}(1,-1,3)\) est normal à \((Q)\) : \(x-y+3z+d=0\).

🔢 Étape 2 : \(A(1,-1,3)\in(Q)\) : \(1+1+9+d=0\iff d=-11\).

✅ \((Q):\ x-y+3z-11=0\).

1.c) Vérifier que \((P)\) et \((Q)\) sont parallèles.

Correction détaillée

🔢 \((P)\) et \((Q)\) ont le même vecteur normal \(\vec n(1,-1,3)\), et \(O\in(P)\) mais \(O\notin(Q)\).

✅ \((P)\parallel(Q)\) (strictement).

2.a) Montrer que le point \(\Omega(a,b,c)\), centre de la sphère \((S)\), appartient à la droite \((OA)\), en déduire que \(b=-a\) et \(c=3a\).

Correction détaillée

🔢 \((S)\) est tangente à \((Q)\) en \(A\) : le rayon \(\Omega A\) est orthogonal à \((Q)\), donc \(\Omega\in\) la perpendiculaire à \((Q)\) en \(A\), c’est-à-dire \((OA)\).

✅ \(\Omega\in(OA)\), donc \(\Omega=(t,-t,3t)\) : \(a=t\), \(b=-a\), \(c=3a\).

2.b) Montrer que \(\Omega A^2-\Omega O^2=33\), et en déduire que \(a-b+3c=11\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit \(a-b+3c=11\). Avec \(b=-a\) et \(c=3a\) cela donnerait \(a=1\), c’est-à-dire \(\Omega=A\) et un rayon nul, ce qui est absurde ; le signe correct est \(-11\) (voir la question suivante, qui donne bien le rayon \(2\sqrt{11}\)).

🔢 Étape 1 : Le cercle \((\Gamma)\) a pour centre \(O\) (\(O\in(P)\)), donc \(\Omega O\perp(P)\). Si \(R\) est le rayon de la sphère, le rayon du cercle vérifie \(r^2=R^2-\Omega O^2\), avec \(r^2=33\) et \(R=\Omega A\) (tangence).

🔢 Étape 2 : D’où \(\Omega A^2-\Omega O^2=33\).

🔢 Étape 3 : Développons : \(\Omega A^2-\Omega O^2=(a-1)^2+(b+1)^2+(c-3)^2-a^2-b^2-c^2=-2a+2b-6c+11\).

🔢 Étape 4 : Donc \(-2a+2b-6c+11=33\iff a-b+3c=-11\).

✅ On obtient \(a-b+3c=-11\).

2.c) En déduire les coordonnées du point \(\Omega\) et montrer que le rayon de la sphère est égal à \(2\sqrt{11}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(a-b+3c=a+a+9a=11a=-11\iff a=-1\), donc \(\Omega(-1,1,-3)\).

🔢 Étape 2 : \(R=\Omega A=\sqrt{(1+1)^2+(-1-1)^2+(3+3)^2}=\sqrt{4+4+36}=\sqrt{44}\).

✅ \(\Omega(-1,1,-3)\) et \(R=2\sqrt{11}\) (contrôle : \(R^2=\Omega O^2+33=11+33=44\)).

Exercice 38

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\), on considère les quatre points \(A(-1,2,1)\), \(B(1,-6,-1)\), \(C(2,2,2)\) et \(I(0,1,-1)\).

1.a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(2,-8,-2)\) et \(\overrightarrow{AC}(3,0,1)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left((-8)\times1-(-2)\times0,\ (-2)\times3-2\times1,\ 2\times0-(-8)\times3\right)=(-8,-8,24)\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-8,-8,24)=-8(1,1,-3)\).

1.b) Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\vec n(1,1,-3)\) est normal : \(x+y-3z+d=0\) ; \(A(-1,2,1)\) : \(-1+2-3+d=0\iff d=2\).

🔢 Étape 2 : Vérification : \(B\) : \(1-6+3+2=0\) ; \(C\) : \(2+2-6+2=0\).

✅ \((ABC):\ x+y-3z+2=0\).

2.a) Soit \((Q):x+y-3z+2=0\) et \((Q’)\) le plan de repère \(\left(O,\vec i,\vec k\right)\). Pourquoi \((Q)\) et \((Q’)\) sont-ils sécants ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((Q’)\) est le plan \(xOz\) d’équation \(y=0\), de vecteur normal \(\vec n'(0,1,0)\).

🔢 Étape 2 : \(\vec n(1,1,-3)\) et \(\vec n'(0,1,0)\) ne sont pas colinéaires.

✅ Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires : \((Q)\) et \((Q’)\) sont sécants (suivant une droite).

2.b) Donner une représentation paramétrique de la droite d’intersection \((\Delta)\) des plans \((Q)\) et \((Q’)\).

Correction détaillée

🔢 \(y=0\) et \(x-3z+2=0\), soit \(x=3z-2\). On pose \(z=t\).

✅ \((\Delta):\begin{cases}x=-2+3t\\y=0\\z=t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).

3) Écrire une équation cartésienne de la sphère \((S)\) de centre \(I(0,1,-1)\) et de rayon \(2\).

Correction détaillée

🔢 \(x^2+(y-1)^2+(z+1)^2=4\).

✅ \((S):\ x^2+(y-1)^2+(z+1)^2=4\), soit \(x^2+y^2+z^2-2y+2z-2=0\).

4) On considère les points \(J(2,0,0)\) et \(K(1,0,1)\). Déterminer l’intersection de la sphère \((S)\) et de la droite \((JK)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((JK)\) : \(\overrightarrow{JK}(-1,0,1)\), donc \(x=2-s\), \(y=0\), \(z=s\).

🔢 Étape 2 : Dans l’équation de \((S)\) : \((2-s)^2+1+(s+1)^2=4\iff2s^2-2s+2=0\iff s^2-s+1=0\), de discriminant \(-3<0\).

🔢 Étape 3 : Contrôle par la distance : \(\overrightarrow{JI}(-2,1,-1)\), \(\overrightarrow{JI}\wedge\overrightarrow{JK}=(1,3,1)\) donc \(d(I,(JK))=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt2}\approx2{,}3>2\).

✅ \((S)\cap(JK)=\varnothing\) : la droite \((JK)\) ne rencontre pas la sphère.

Exercice 39

On donne les points \(A(1,1,0)\), \(B(1,-1,1)\) et \(C(0,1,1)\) et soit le plan \((P):x+2y-2z+1=0\).

1) Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et en déduire que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(0,-2,1)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1,0,1)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left((-2)\times1-1\times0,\ 1\times(-1)-0\times1,\ 0\times0-(-2)\times(-1)\right)=(-2,-1,-2)\neq\vec0\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-2,-1,-2)\) : \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.

1.a) Montrer que \((ABC):2x+y+2z-3=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\vec n(2,1,2)\) est normal à \((ABC)\) : \(2x+y+2z+d=0\) ; \(A(1,1,0)\) : \(2+1+d=0\iff d=-3\).

🔢 Étape 2 : Vérification : \(B\) : \(2-1+2-3=0\) ; \(C\) : \(0+1+2-3=0\).

✅ \((ABC):\ 2x+y+2z-3=0\).

1.b) Vérifier que les plans \((P)\) et \((ABC)\) sont perpendiculaires.

Correction détaillée

🔢 \(\vec n_P(1,2,-2)\) et \(\vec n_{ABC}(2,1,2)\) : \(\vec n_P\cdot\vec n_{ABC}=2+2-4=0\).

✅ Les normales sont orthogonales : \((P)\perp(ABC)\).

1.c) Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\) intersection des plans \((P)\) et \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Vecteur directeur : \(\vec n_P\wedge\vec n_{ABC}=\left(2\times2-(-2)\times1,\ (-2)\times2-1\times2,\ 1\times1-2\times2\right)=(6,-6,-3)\), proportionnel à \(\vec u(2,-2,-1)\).

🔢 Étape 2 : Un point de \((D)\) : pour \(z=1\), \(x+2y=1\) et \(2x+y=1\) donnent \(x=y=\dfrac13\) : \(A_1\left(\dfrac13,\dfrac13,1\right)\).

✅ \((D):\begin{cases}x=\frac13+2t\\y=\frac13-2t\\z=1-t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).

1.d) Soit le point \(I(2,1,1)\) et \(M\) un point de \((D)\). Déterminer \(M\) pour que la distance \(IM\) soit minimale et déduire \(d(I,(D))\).

Correction détaillée

📘 Méthode : La distance d’un point \(I\) à une droite \((D)\) est \(IM\) où \(M\) est le projeté orthogonal de \(I\) sur \((D)\) : \(\overrightarrow{IM}\cdot\vec u=0\). On peut aussi utiliser \(d=\dfrac{\|\overrightarrow{A_1I}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\).

🔢 Étape 1 : \(IM\) est minimale lorsque \(M\) est le projeté orthogonal de \(I\) sur \((D)\) : \(\overrightarrow{IM}\cdot\vec u=0\).

🔢 Étape 2 : \(M(t)=\left(\frac13+2t,\frac13-2t,1-t\right)\), \(\overrightarrow{IM}=\left(2t-\frac53,\,-2t-\frac23,\,-t\right)\) ; \(\overrightarrow{IM}\cdot\vec u=4t-\frac{10}3+4t+\frac43+t=9t-2=0\), donc \(t=\dfrac29\).

🔢 Étape 3 : \(M\left(\dfrac79,-\dfrac19,\dfrac79\right)\) ; \(\overrightarrow{IM}\left(-\dfrac{11}9,-\dfrac{10}9,-\dfrac29\right)\), \(IM^2=\dfrac{121+100+4}{81}=\dfrac{225}{81}\).

✅ \(M\left(\dfrac79,-\dfrac19,\dfrac79\right)\) et \(d(I,(D))=IM=\dfrac53\).

2.a) Montrer que les points \(I\), \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas coplanaires.

Correction détaillée

🔢 \(d(I,(ABC))=\dfrac{|4+1+2-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac43\neq0\), donc \(I\notin(ABC)\).

✅ \(I\notin(ABC)\) : les points \(I,A,B,C\) ne sont pas coplanaires.

2.b) Calculer le volume du tétraèdre \(IABC\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Volume d’un tétraèdre \(ABCD\) : \(V=\dfrac16\left|\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AD}\right)\right|=\dfrac13\,S_{\text{base}}\times h\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{IA}(-1,0,-1)\), \(\overrightarrow{IB}(-1,-2,0)\), \(\overrightarrow{IC}(-2,0,0)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{IB}\wedge\overrightarrow{IC}=(0,0,-4)\) donc \(\overrightarrow{IA}\cdot\left(\overrightarrow{IB}\wedge\overrightarrow{IC}\right)=4\).

✅ \(V_{IABC}=\dfrac16\times4=\dfrac23\).

2.c) Calculer \(d(I,(ABC))\) et en déduire l’aire du triangle \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(d(I,(ABC))=\dfrac43\) (question 2.a).

🔢 Étape 2 : \(V=\dfrac13\,S_{ABC}\times d\iff S_{ABC}=\dfrac{3V}d=\dfrac{2}{4/3}\).

✅ \(d(I,(ABC))=\dfrac43\) et \(S_{ABC}=\dfrac32\) (contrôle : \(\dfrac12\|(-2,-1,-2)\|=\dfrac32\)).

3.a) Soit l’ensemble \((S)\) des points \(M(x,y,z)\) vérifiant \(x^2+y^2+z^2-4x-2y-2z+\dfrac{38}9=0\). Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(I\) et tangente au plan \((ABC)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 Étape 1 : \((x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=4+1+1-\dfrac{38}9=\dfrac{16}9\) : sphère de centre \(I(2,1,1)\) et de rayon \(R=\dfrac43\).

🔢 Étape 2 : \(d(I,(ABC))=\dfrac43=R\).

✅ \((S)\) est la sphère de centre \(I\) et de rayon \(\dfrac43\), tangente à \((ABC)\).

3.b) Déterminer une équation cartésienne du plan \((Q)\) tangent à la sphère \((S)\) et strictement parallèle à \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 \((Q):2x+y+2z+d=0\) avec \(d(I,(Q))=\dfrac{|7+d|}3=\dfrac43\), soit \(d+7=\pm4\) : \(d=-3\) (c’est \((ABC)\)) ou \(d=-11\).

✅ \((Q):\ 2x+y+2z-11=0\).

3.c) Montrer que le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) dont on précisera son rayon \(r\) et les coordonnées de son centre \(K\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(d(I,(P))=\dfrac{|2+2-2+1|}{\sqrt{1+4+4}}=1<\dfrac43\) : \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle.

🔢 Étape 2 : \(r=\sqrt{\dfrac{16}9-1}=\dfrac{\sqrt7}3\).

🔢 Étape 3 : \(K\) est le projeté orthogonal de \(I\) sur \((P)\) : \(K=I+s(1,2,-2)\), \((2+s)+2(1+2s)-2(1-2s)+1=3+9s=0\iff s=-\dfrac13\).

✅ \((\Gamma)\) est de rayon \(\dfrac{\sqrt7}3\) et de centre \(K\left(\dfrac53,\dfrac13,\dfrac53\right)\).

Exercice 40

Considérons les points \(A(1,1,2)\), \(B(0,1,1)\) et le vecteur \(\vec N=\vec i+\vec j-\vec k\).

1) Montrer que \(O\), \(A\) et \(B\) ne sont pas alignés.

Correction détaillée

🔢 \(\overrightarrow{OA}(1,1,2)\) et \(\overrightarrow{OB}(0,1,1)\) ne sont pas colinéaires (la 1re coordonnée de \(\overrightarrow{OB}\) est nulle mais pas celle de \(\overrightarrow{OA}\), et \(\overrightarrow{OB}\neq\vec0\)).

✅ \(O\), \(A\), \(B\) ne sont pas alignés.

2) Montrer que le vecteur \(\vec N\) est orthogonal aux vecteurs \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\).

Correction détaillée

🔢 \(\vec N\cdot\overrightarrow{OA}=1+1-2=0\) et \(\vec N\cdot\overrightarrow{OB}=0+1-1=0\).

✅ \(\vec N\perp\overrightarrow{OA}\) et \(\vec N\perp\overrightarrow{OB}\).

3) En déduire une équation cartésienne du plan \((OAB)\).

Correction détaillée

🔢 \(\vec N(1,1,-1)\) est normal à \((OAB)\) (orthogonal à deux vecteurs non colinéaires), et \(O\in(OAB)\).

✅ \((OAB):\ x+y-z=0\).

4.a) Soit le plan \((P):x+y-z=0\). Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \((P)\).

Correction détaillée

🔢 \(\vec N(1,1,-1)\) est normal à \((P)\), donc directeur de \((\Delta)\).

✅ \((\Delta):\begin{cases}x=1+t\\y=1+t\\z=2-t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).

4.b) Déterminer les points \(M\) de \((\Delta)\) tels que \(d(M;(P))=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(M(t)=(1+t,1+t,2-t)\) : \(x+y-z=3t\).

🔢 Étape 2 : \(d(M,(P))=\dfrac{|3t|}{\sqrt3}=\sqrt3|t|=1\iff t=\pm\dfrac1{\sqrt3}\).

✅ \(M_1\left(1+\dfrac{\sqrt3}3,1+\dfrac{\sqrt3}3,2-\dfrac{\sqrt3}3\right)\) et \(M_2\left(1-\dfrac{\sqrt3}3,1-\dfrac{\sqrt3}3,2+\dfrac{\sqrt3}3\right)\).

4.c) Caractériser l’ensemble des points \(M\) de \((P)\) tels que \(d(M;(\Delta))=\sqrt2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A\in(P)\) (\(1+1-2=0\)) et \((\Delta)\perp(P)\) en \(A\).

🔢 Étape 2 : Pour \(M\in(P)\), \(\overrightarrow{AM}\) est orthogonal à \(\vec N\), donc la distance de \(M\) à \((\Delta)\) est \(AM\).

✅ L’ensemble est le cercle de \((P)\) de centre \(A\) et de rayon \(\sqrt2\).

5.a) Donner une équation cartésienne du plan médiateur \((Q)\) du segment \([AB]\).

Correction détaillée

⚠️ Dans le scan, la dernière question est numérotée \(4)\) comme la précédente ; on l’a numérotée \(5)\).

📘 Méthode : Le plan médiateur de \([AB]\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(MA=MB\), c’est le plan passant par le milieu de \([AB]\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{AB}\).

🔢 Étape 1 : Milieu \(I_0\left(\dfrac12,1,\dfrac32\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}(-1,0,-1)\) est normal à \((Q)\).

🔢 Étape 2 : \(M\in(Q)\iff\overrightarrow{I_0M}\cdot\overrightarrow{AB}=0\iff-\left(x-\dfrac12\right)-\left(z-\dfrac32\right)=0\).

✅ \((Q):\ x+z-2=0\).

5.b) Montrer que \((Q)\) et \((P)\) sont sécants.

Correction détaillée

🔢 \(\vec n_Q(1,0,1)\) et \(\vec n_P(1,1,-1)\) ne sont pas colinéaires.

✅ Les normales ne sont pas colinéaires : \((Q)\) et \((P)\) sont sécants.

Exercice 41

On considère les points \(A(2,2,0)\), \(B(0,2,2)\) et \(C(1,0,1)\).

1) Calculer les coordonnées de \(\vec u=\overrightarrow{CA}\wedge\overrightarrow{CB}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{CA}(1,2,-1)\) et \(\overrightarrow{CB}(-1,2,1)\).

🔢 Étape 2 : \(\vec u=\left(2\times1-(-1)\times2,\ (-1)\times(-1)-1\times1,\ 1\times2-2\times(-1)\right)=(4,0,4)\).

✅ \(\vec u=(4,0,4)\).

2) Déterminer une équation du plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 \(\vec u\) est colinéaire à \((1,0,1)\) : \(x+z+d=0\) ; \(A(2,2,0)\) : \(d=-2\). Vérification : \(B\) : \(0+2-2=0\) ; \(C\) : \(1+1-2=0\).

✅ \((ABC):\ x+z-2=0\).

3) \(D\) est l’intersection du plan \((P)\) et de l’axe \((O,\vec i)\), \(E\) l’intersection du plan \((P)\) et de l’axe \((O,\vec k)\). Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{AB}\). Et calculer \(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DE}\).

Correction détaillée

⚠️ Le plan \((P)\) n’est défini nulle part dans cet exercice ; on a pris \((P)=(ABC)\) (c’est le seul plan de l’énoncé, et les points \(D\), \(E\) donnent alors un vecteur \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}\), ce qui confirme cette lecture).

🔢 Étape 1 : Avec \((P)=(ABC):x+z-2=0\) : sur l’axe \((Ox)\) (\(y=z=0\)) : \(x=2\), \(D(2,0,0)\) ; sur l’axe \((Oz)\) : \(z=2\), \(E(0,0,2)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{DE}(-2,0,2)\) et \(\overrightarrow{AB}(-2,0,2)\).

🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{DA}(0,2,0)\), donc \(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DE}=0\times(-2)+2\times0+0\times2=0\).

✅ \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}=(-2,0,2)\) et \(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DE}=0\) (\(ABED\) est un parallélogramme ayant un angle droit en \(D\) : un rectangle).

4) Montrer que le triangle \(ABC\) est isocèle et calculer son aire.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(CA=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6\) et \(CB=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6\) : isocèle en \(C\).

🔢 Étape 2 : \(S_{ABC}=\dfrac12\|\vec u\|=\dfrac12\sqrt{16+16}=2\sqrt2\).

✅ \(ABC\) est isocèle en \(C\) et \(S_{ABC}=2\sqrt2\).

5) Déterminer les coordonnées du centre de gravité du triangle \(ABC\).

Correction détaillée

🔢 \(G=\left(\dfrac{2+0+1}3,\dfrac{2+2+0}3,\dfrac{0+2+1}3\right)\).

✅ \(G\left(1,\dfrac43,1\right)\).

6.a) Calculer \(d(I;(P))\) avec \(I(0,2,0)\).

Correction détaillée

🔢 \(d(I,(ABC))=\dfrac{|0+0-2|}{\sqrt2}\).

✅ \(d(I,(ABC))=\sqrt2\).

6.b) Déterminer le volume du tétraèdre \(IBCA\) par deux méthodes différentes.

Correction détaillée

📘 Méthode : Volume d’un tétraèdre \(ABCD\) : \(V=\dfrac16\left|\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AD}\right)\right|=\dfrac13\,S_{\text{base}}\times h\).

🔢 Étape 1 : Méthode 1 (base et hauteur) : \(V=\dfrac13S_{ABC}\times d(I,(ABC))=\dfrac13\times2\sqrt2\times\sqrt2\).

🔢 Étape 2 : Méthode 2 (produit mixte) : \(\overrightarrow{IA}(2,0,0)\), \(\overrightarrow{IB}(0,0,2)\), \(\overrightarrow{IC}(1,-2,1)\) ; \(\overrightarrow{IB}\wedge\overrightarrow{IC}=(4,2,0)\) et \(\overrightarrow{IA}\cdot(\ldots)=8\), donc \(V=\dfrac16\times8\).

✅ Les deux méthodes donnent \(V_{IBCA}=\dfrac43\).

Exercice 42

On considère les points \(A(-1,-1,1)\), \(B(-1,2,-2)\) et le plan \((P)\) dont une équation cartésienne est \(x+y+z-2=0\).

1) Montrer que la droite \((AB)\) est parallèle au plan \((P)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(0,3,-3)\) et \(\vec n_P(1,1,1)\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\vec n_P=0+3-3=0\).

🔢 Étape 2 : De plus \(A\notin(P)\) : \(-1-1+1-2=-3\neq0\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\perp\vec n_P\) et \(A\notin(P)\) : \((AB)\) est strictement parallèle à \((P)\).

2.a) Soit \(\alpha\) un réel et \((S_\alpha)\) l’ensemble des points \(M(x,y,z)\) tels que \(x^2+y^2+z^2+2x-2\alpha y+2\alpha z+\alpha^2+\alpha=0\). Montrer que, pour tout réel \(\alpha\), \((S_\alpha)\) est une sphère de centre \(I_\alpha\) et de rayon \(R_\alpha=\sqrt{\alpha^2-\alpha+1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((x+1)^2+(y-\alpha)^2+(z+\alpha)^2=1+\alpha^2+\alpha^2-\alpha^2-\alpha=\alpha^2-\alpha+1\).

🔢 Étape 2 : Et \(\alpha^2-\alpha+1=\left(\alpha-\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0\).

✅ \((S_\alpha)\) est la sphère de centre \(I_\alpha(-1,\alpha,-\alpha)\) et de rayon \(R_\alpha=\sqrt{\alpha^2-\alpha+1}\).

2.b) Montrer que, quand \(\alpha\) varie dans \(\mathbb R\), \(I_\alpha\) décrit la droite \((AB)\).

Correction détaillée

🔢 \(I_\alpha(-1,\alpha,-\alpha)\) : \(\overrightarrow{AI_\alpha}(0,\alpha+1,-\alpha-1)=\dfrac{\alpha+1}3\overrightarrow{AB}\).

✅ \(I_\alpha\in(AB)\) pour tout \(\alpha\) et, réciproquement, tout point de \((AB)\) est un \(I_\alpha\) (avec \(A=I_{-1}\), \(B=I_2\)) : \(I_\alpha\) décrit toute la droite \((AB)\).

3) Étudier, suivant les valeurs de \(\alpha\), les positions relatives de \((S_\alpha)\) et du plan \((P)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 Étape 1 : \(d(I_\alpha,(P))=\dfrac{|-1+\alpha-\alpha-2|}{\sqrt3}=\sqrt3\) : indépendante de \(\alpha\) (car \((AB)\parallel(P)\)).

🔢 Étape 2 : On compare \(R_\alpha^2=\alpha^2-\alpha+1\) à \(3\) : \(R_\alpha^2-3=\alpha^2-\alpha-2=(\alpha+1)(\alpha-2)\).

✅ Si \(\alpha<-1\) ou \(\alpha>2\) : \((P)\) coupe \((S_\alpha)\) suivant un cercle ; si \(\alpha=-1\) ou \(\alpha=2\) : \((P)\) est tangent à \((S_\alpha)\) ; si \(-1<\alpha<2\) : \((P)\cap(S_\alpha)=\varnothing\).

4.a) Soit \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(I_{1-\alpha}\) le centre de la sphère \((S_{1-\alpha})\). Montrer que \(I\) est le milieu de \([I_\alpha;I_{1-\alpha}]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(I\left(-1,\dfrac12,-\dfrac12\right)\), \(I_\alpha(-1,\alpha,-\alpha)\), \(I_{1-\alpha}(-1,1-\alpha,\alpha-1)\).

🔢 Étape 2 : Milieu de \([I_\alpha I_{1-\alpha}]\) : \(\left(-1,\dfrac{\alpha+1-\alpha}2,\dfrac{-\alpha+\alpha-1}2\right)=\left(-1,\dfrac12,-\dfrac12\right)\).

✅ Le milieu de \([I_\alpha I_{1-\alpha}]\) est \(I\).

4.b) En déduire que les sphères \((S_\alpha)\) et \((S_{1-\alpha})\) sont symétriques par rapport au point \(I\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Leurs centres sont symétriques par rapport à \(I\) (question 4.a).

🔢 Étape 2 : Leurs rayons sont égaux : \(R_{1-\alpha}^2=(1-\alpha)^2-(1-\alpha)+1=\alpha^2-\alpha+1=R_\alpha^2\).

✅ La symétrie de centre \(I\) transforme \((S_\alpha)\) en \((S_{1-\alpha})\).

Exercice 43

Soit \((S)=\left\{M(x,y,z)\ /\ x^2+y^2+z^2-2x+4y+4z+5=0\right\}\). On considère les points \(A(-2,0,0)\), \(B(0,1,0)\) et \(C(0,0,-1)\).

1) Montrer que \((S)\) est une sphère dont on déterminera le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\).

Correction détaillée

🔢 \((x-1)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=1+4+4-5=4\).

✅ \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(1,-2,-2)\) et de rayon \(R=2\).

2.a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(2,1,0)\) et \(\overrightarrow{AC}(2,0,-1)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left(1\times(-1)-0\times0,\ 0\times2-2\times(-1),\ 2\times0-1\times2\right)=(-1,2,-2)\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-1,2,-2)\).

2.b) En déduire que \((ABC):x-2y+2z+2=0\).

Correction détaillée

🔢 \(\vec n(1,-2,2)\) est normal à \((ABC)\) : \(x-2y+2z+d=0\) ; \(A(-2,0,0)\) : \(d=2\). Vérification : \(B\) : \(0-2+0+2=0\) ; \(C\) : \(0-0-2+2=0\).

✅ \((ABC):\ x-2y+2z+2=0\).

3.a) Montrer que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(\Omega\) ne sont pas coplanaires.

Correction détaillée

🔢 \(1-2(-2)+2(-2)+2=1+4-4+2=3\neq0\), donc \(\Omega\notin(ABC)\).

✅ \(\Omega\notin(ABC)\) : les quatre points ne sont pas coplanaires.

3.b) Calculer le volume du tétraèdre \(\Omega ABC\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Volume d’un tétraèdre \(ABCD\) : \(V=\dfrac16\left|\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AD}\right)\right|=\dfrac13\,S_{\text{base}}\times h\).

🔢 Étape 1 : \(S_{ABC}=\dfrac12\|(-1,2,-2)\|=\dfrac32\) et \(d(\Omega,(ABC))=\dfrac{3}{\sqrt{1+4+4}}=1\).

🔢 Étape 2 : \(V=\dfrac13\times\dfrac32\times1\).

✅ \(V_{\Omega ABC}=\dfrac12\).

3.c) Calculer l’aire du triangle \(ABC\), puis en déduire la distance du point \(\Omega\) au plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(S_{ABC}=\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|=\dfrac32\).

🔢 Étape 2 : \(d(\Omega,(ABC))=\dfrac{3V}{S_{ABC}}=\dfrac{3/2}{3/2}=1\) (confirmé par la formule : \(\dfrac3{\sqrt9}=1\)).

✅ \(S_{ABC}=\dfrac32\) et \(d(\Omega,(ABC))=1\).

3.d) En déduire que l’intersection de la sphère \((S)\) et du plan \((ABC)\) est un cercle dont on précisera le centre \(I\) et le rayon \(r\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(d(\Omega,(ABC))=1<R=2\) : l’intersection est un cercle de rayon \(r=\sqrt{4-1}=\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : Son centre \(I\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((ABC)\) : \(I=\Omega+s(1,-2,2)\), \((1+s)-2(-2-2s)+2(-2+2s)+2=3+9s=0\iff s=-\dfrac13\).

✅ Cercle de centre \(I\left(\dfrac23,-\dfrac43,-\dfrac83\right)\) et de rayon \(r=\sqrt3\).

Exercice 44

Bac 2014, session de rattrapage. L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\). On considère le point \(A(0,0,1)\), le plan \((P):2x+y-2z-7=0\) et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(0,3,-2)\) et de rayon \(3\).

1.a) Montrer que \(\begin{cases}x=2t\\y=t\\z=1-2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)) est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par le point \(A\) et orthogonale au plan \((P)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\vec n(2,1,-2)\) est normal à \((P):2x+y-2z-7=0\) : c’est un vecteur directeur de \((\Delta)\).

🔢 Étape 2 : Pour \(t=0\) on obtient \(A(0,0,1)\).

✅ \((\Delta)\) passe par \(A(0,0,1)\) et est dirigée par \(\vec n\) : la représentation donnée est la sienne.

1.b) Vérifier que \(H(2,1,-1)\) est le point d’intersection du plan \((P)\) et la droite \((\Delta)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(t=1\) donne \((2,1,-1)\), donc \(H\in(\Delta)\).

🔢 Étape 2 : \(2\times2+1-2\times(-1)-7=4+1+2-7=0\), donc \(H\in(P)\).

✅ \(H(2,1,-1)\) appartient à \((\Delta)\) et à \((P)\) : c’est leur point d’intersection.

2.a) Montrer que \(\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u=-3\left(\vec i+2\vec j+2\vec k\right)\) tel que \(\vec u=2\vec i+\vec j-2\vec k\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{A\Omega}(0,3,-3)\) et \(\vec u(2,1,-2)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u=\left(3\times(-2)-(-3)\times1,\ (-3)\times2-0\times(-2),\ 0\times1-3\times2\right)=(-3,-6,-6)\).

✅ \(\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u=-3\left(\vec i+2\vec j+2\vec k\right)\).

2.b) Montrer que la distance du point \(\Omega\) à la droite \((\Delta)\) est égale à \(3\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Distance d’un point \(\Omega\) à une droite \((\Delta)\) passant par \(A\), de vecteur directeur \(\vec u\) : \(d(\Omega,(\Delta))=\dfrac{\|\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\). La droite est tangente à la sphère si \(d=R\), sécante si \(d<R\).

🔢 Étape 1 : \(\left\|\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u\right\|=3\sqrt{1+4+4}=9\) et \(\|\vec u\|=\sqrt{4+1+4}=3\).

🔢 Étape 2 : \(d(\Omega,(\Delta))=\dfrac93\).

✅ \(d(\Omega,(\Delta))=3\).

2.c) En déduire que la droite \((\Delta)\) est tangente à la sphère \((S)\) et vérifier que le point \(H\) est le point de contact de la droite \((\Delta)\) et la sphère \((S)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(d(\Omega,(\Delta))=3=R\) : \((\Delta)\) est tangente à \((S)\).

🔢 Étape 2 : Le point de contact est le point \(H’\) de \((\Delta)\) tel que \(\overrightarrow{\Omega H’}\perp\vec u\). Pour \(H(2,1,-1)\) : \(\overrightarrow{\Omega H}(2,-2,1)\), \(\overrightarrow{\Omega H}\cdot\vec u=4-2-2=0\) et \(\Omega H=\sqrt{4+4+1}=3=R\).

✅ \((\Delta)\) est tangente à \((S)\) et \(H\) est le point de contact.

Exercice 45

Bac 2015, session normale (suite). L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\). On considère les points \(A(2,1,0)\) et \(B(-4,1,0)\).

1) Soit le plan \((P)\) passant par le point \(A\) et \(\vec u=\vec i+\vec j-\vec k\) est vecteur normal à \((P)\). Montrer que \(x+y-z-3=0\) est une équation cartésienne du plan \((P)\).

Correction détaillée

🔢 \((P):x+y-z+d=0\) ; \(A(2,1,0)\in(P)\) : \(2+1-0+d=0\iff d=-3\).

✅ \((P):\ x+y-z-3=0\).

2) Soit \((S)\) l’ensemble des points \(M\) de l’espace qui vérifient la relation \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\). Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(-1,1,0)\) et de rayon \(3\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) : sphère de diamètre \([AB]\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{MA}(2-x,1-y,-z)\), \(\overrightarrow{MB}(-4-x,1-y,-z)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(2-x)(-4-x)+(1-y)^2+z^2=x^2+2x-8+(y-1)^2+z^2\).

🔢 Étape 3 : \(=(x+1)^2-9+(y-1)^2+z^2\), donc \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff(x+1)^2+(y-1)^2+z^2=9\).

✅ \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(-1,1,0)\) (milieu de \([AB]\)) et de rayon \(3\).

3.a) Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan \((P)\) et en déduire que le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((C)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 \(d(\Omega,(P))=\dfrac{|-1+1-0-3|}{\sqrt3}=\sqrt3<3\).

✅ \(d(\Omega,(P))=\sqrt3<R\) : \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((C)\) de rayon \(\sqrt{9-3}=\sqrt6\).

3.b) Montrer que le centre du cercle \((C)\) est le point \(H(0,2,-1)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Le centre de \((C)\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((P)\) : \(H=\Omega+s\vec u=(-1+s,\,1+s,\,-s)\).

🔢 Étape 2 : \(H\in(P)\) : \((-1+s)+(1+s)+s-3=3s-3=0\iff s=1\).

✅ Le centre de \((C)\) est \(H(0,2,-1)\).

4) Montrer que \(\overrightarrow{OH}\wedge\overrightarrow{OB}=\vec i+4\vec j+8\vec k\), en déduire la surface du triangle \(OHB\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{OH}(0,2,-1)\) et \(\overrightarrow{OB}(-4,1,0)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{OH}\wedge\overrightarrow{OB}=\left(2\times0-(-1)\times1,\ (-1)\times(-4)-0\times0,\ 0\times1-2\times(-4)\right)=(1,4,8)\).

🔢 Étape 3 : \(S_{OHB}=\dfrac12\|(1,4,8)\|=\dfrac12\sqrt{1+16+64}\).

✅ \(S_{OHB}=\dfrac92\).

Exercice 46

Bac 2015, session normale. L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\). On considère le plan \((P):x+y+z+4=0\) et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(1,-1,-1)\) et de rayon \(\sqrt3\).

1.a) Calculer \(d(\Omega,(P))\) et en déduire que le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 \(d(\Omega,(P))=\dfrac{|1-1-1+4|}{\sqrt3}=\dfrac3{\sqrt3}=\sqrt3\).

✅ \(d(\Omega,(P))=\sqrt3=R\) : \((P)\) est tangent à \((S)\).

1.b) Vérifier que \(H(0,-2,-2)\) est le point de contact du plan \((P)\) et de la sphère \((S)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(H\in(P)\) : \(0-2-2+4=0\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{\Omega H}(-1,-1,-1)\) est colinéaire au vecteur normal \((1,1,1)\) et \(\Omega H=\sqrt3=R\).

✅ \(H\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((P)\), à distance \(R\) : c’est le point de contact.

2.a) On considère les points \(A(2,1,1)\) et \(B(1,0,1)\). Vérifier que \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=\vec i-\vec j-\vec k\) puis en déduire que \(x-y-z=0\) est une équation du plan \((OAB)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{OA}(2,1,1)\), \(\overrightarrow{OB}(1,0,1)\) : \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=\left(1\times1-1\times0,\ 1\times1-2\times1,\ 2\times0-1\times1\right)=(1,-1,-1)\).

🔢 Étape 2 : Ce vecteur est normal à \((OAB)\) et \(O\in(OAB)\) : \(x-y-z=0\).

✅ \((OAB):\ x-y-z=0\).

2.b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par le point \(\Omega\) et orthogonale au plan \((OAB)\).

Correction détaillée

🔢 Le vecteur \((1,-1,-1)\) dirige \((\Delta)\), qui passe par \(\Omega(1,-1,-1)\).

✅ \((\Delta):\begin{cases}x=1+t\\y=-1-t\\z=-1-t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).

2.c) Déterminer les coordonnées de chaque point d’intersection de la droite \((\Delta)\) et la sphère \((S)\).

Correction détaillée

🔢 \((\Delta)\) passe par le centre, donc \(\Omega M=\sqrt3\) : \(t^2+t^2+t^2=3\iff t=\pm1\).

✅ Les points d’intersection sont \(M_1(2,-2,-2)\) (\(t=1\)) et \(M_2(0,0,0)\) (\(t=-1\)), c’est-à-dire \(O\).

Exercice 47

Bac 2015, session de rattrapage. L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\). On considère le plan \((P):2x-z-2=0\) et la sphère \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2+2x-2z-7=0\).

1) Montrer que la sphère \((S)\) a pour centre le point \(\Omega(-1,0,1)\) et pour rayon \(\sqrt3\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan indique le rayon \(\sqrt3\), mais l’équation donne \(R^2=9\), donc \(R=3\) ; c’est d’ailleurs la seule valeur compatible avec la question 3 (cercle de rayon \(2\) : \(R^2=d^2+r^2=5+4=9\)).

📘 Méthode : On complète les carrés : \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\iff(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=a^2+b^2+c^2-d\).

🔢 \(x^2+2x+y^2+z^2-2z-7=0\iff(x+1)^2+y^2+(z-1)^2=7+1+1=9\).

✅ \((S)\) a pour centre \(\Omega(-1,0,1)\) et pour rayon \(R=3\).

2.a) Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan \((P)\).

Correction détaillée

🔢 \(d(\Omega,(P))=\dfrac{|2\times(-1)-1-2|}{\sqrt{4+0+1}}=\dfrac5{\sqrt5}\).

✅ \(d(\Omega,(P))=\sqrt5\).

2.b) En déduire que le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 \(\sqrt5<3=R\).

✅ \(d(\Omega,(P))<R\) : \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\).

3) Montrer que le rayon du cercle \((\Gamma)\) est \(2\) et déterminer les coordonnées du point \(H\) le centre du cercle \((\Gamma)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-5}=2\).

🔢 Étape 2 : \(H=\Omega+s(2,0,-1)=(-1+2s,\,0,\,1-s)\) ; \(H\in(P)\) : \(2(-1+2s)-(1-s)-2=5s-5=0\iff s=1\).

✅ Le rayon de \((\Gamma)\) est \(2\) et son centre est \(H(1,0,0)\).

Exercice 48

Bac 2016, session normale. L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\). On considère les points \(A(2,1,3)\), \(B(3,1,1)\) et \(C(2,2,1)\) et la sphère \((S)\) d’équation cartésienne \(x^2+y^2+z^2-2x+2y-34=0\).

1.a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=2\vec i+2\vec j+\vec k\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(1,0,-2)\) et \(\overrightarrow{AC}(0,1,-2)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left(0\times(-2)-(-2)\times1,\ (-2)\times0-1\times(-2),\ 1\times1-0\times0\right)=(2,2,1)\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=2\vec i+2\vec j+\vec k\).

1.b) En déduire que \(2x+2y+z-9=0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 \((ABC):2x+2y+z+d=0\) ; \(A(2,1,3)\) : \(4+2+3+d=0\iff d=-9\). (Vérification : \(B\) : \(6+2+1-9=0\) ; \(C\) : \(4+4+1-9=0\).)

✅ \((ABC):\ 2x+2y+z-9=0\).

2.a) Montrer que la sphère \((S)\) a pour centre le point \(\Omega(1,-1,0)\) et pour rayon \(6\).

Correction détaillée

🔢 \((x-1)^2+(y+1)^2+z^2=34+1+1=36\).

✅ \(\Omega(1,-1,0)\) et \(R=6\).

2.b) Montrer que \(d(\Omega,(ABC))=3\) et en déduire que le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 \(d(\Omega,(ABC))=\dfrac{|2-2+0-9|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac93=3<6\).

✅ \(d=3<R\) : \((ABC)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(\sqrt{36-9}=3\sqrt3\).

3.a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par le point \(\Omega\) et orthogonale au plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 Le vecteur \((2,2,1)\) est normal à \((ABC)\).

✅ \((\Delta):\begin{cases}x=1+2t\\y=-1+2t\\z=t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).

3.b) Montrer que le centre du cercle \((\Gamma)\) est le point \(B\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Le centre de \((\Gamma)\) est le point \(\Delta\cap(ABC)\) : \(2(1+2t)+2(-1+2t)+t-9=9t-9=0\iff t=1\).

🔢 Étape 2 : Pour \(t=1\) : \((3,1,1)\).

✅ Le centre de \((\Gamma)\) est \(B(3,1,1)\).

Exercice 49

Bac 2016, session de rattrapage. L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\). On considère les points \(A(1,3,4)\) et \(B(0,1,2)\).

1.a) Montrer que \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=2\vec i-2\vec j+\vec k\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé annonce d’abord une sphère d’équation \(x^2+y^2+z^2-2x+2y-34=0\) (celle du bac précédent, recopiée par erreur) ; elle n’est pas utilisée, la sphère de l’exercice étant définie à la question 2.

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{OA}(1,3,4)\) et \(\overrightarrow{OB}(0,1,2)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=\left(3\times2-4\times1,\ 4\times0-1\times2,\ 1\times1-3\times0\right)=(2,-2,1)\).

✅ \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=2\vec i-2\vec j+\vec k\).

1.b) En déduire que \(2x-2y+z=0\) est l’équation cartésienne du plan \((OAB)\).

Correction détaillée

🔢 \((2,-2,1)\) est normal à \((OAB)\) et \(O\in(OAB)\).

✅ \((OAB):\ 2x-2y+z=0\) (vérification : \(A\) : \(2-6+4=0\) ; \(B\) : \(0-2+2=0\)).

2.a) Soit la sphère \((S)\) d’équation cartésienne \(x^2+y^2+z^2-6x+6y-6z+2=0\). Montrer que la sphère \((S)\) a pour centre le point \(\Omega(3,-3,3)\) et pour rayon \(5\).

Correction détaillée

🔢 \((x-3)^2+(y+3)^2+(z-3)^2=9+9+9-2=25\).

✅ \(\Omega(3,-3,3)\) et \(R=5\).

3.a) Montrer que le plan \((OAB)\) est tangent à la sphère \((S)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 \(d(\Omega,(OAB))=\dfrac{|6+6+3|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{15}3=5\).

✅ \(d(\Omega,(OAB))=5=R\) : \((OAB)\) est tangent à \((S)\).

3.b) Déterminer les coordonnées du point \(H\) de contact du plan \((OAB)\) et de la sphère \((S)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Le projeté orthogonal \(H\) de \(\Omega\) sur un plan \((P)\) de vecteur normal \(\vec n\) s’écrit \(H=\Omega+s\,\vec n\) ; on trouve \(s\) en écrivant \(H\in(P)\).

🔢 \(H=\Omega+s(2,-2,1)=(3+2s,-3-2s,3+s)\) ; \(H\in(OAB)\) : \(2(3+2s)-2(-3-2s)+(3+s)=15+9s=0\iff s=-\dfrac53\).

✅ \(H\left(-\dfrac13,\dfrac13,\dfrac43\right)\).

Exercice 50

Bac 2017, session normale. L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\). On considère le plan \((P)\) passant par le point \(A(0,1,1)\) et \(\vec u(1,0,-1)\) est un vecteur normal à \((P)\) et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(0,1,-1)\) et de rayon \(\sqrt2\).

1.a) Montrer que \(x-z+1=0\) est une équation cartésienne du plan \((P)\).

Correction détaillée

🔢 \((P):x-z+d=0\) ; \(A(0,1,1)\in(P)\) : \(0-1+d=0\iff d=1\).

✅ \((P):\ x-z+1=0\).

1.b) Montrer que le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\) et vérifier que le point \(B(-1,1,0)\) est le point de contact du plan \((P)\) et de la sphère \((S)\).

Correction détaillée

⚠️ Dans le scan, cette question est numérotée « d. » (au lieu de b.).

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 Étape 1 : \(d(\Omega,(P))=\dfrac{|0+1+1|}{\sqrt2}=\sqrt2=R\).

🔢 Étape 2 : \(B\in(P)\) : \(-1-0+1=0\) ; \(\overrightarrow{\Omega B}(-1,0,1)\) est colinéaire à \(\vec u(1,0,-1)\) et \(\Omega B=\sqrt2\).

✅ \((P)\) est tangent à \((S)\) en \(B\).

2.a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par le point \(A\) et orthogonale au plan \((P)\).

Correction détaillée

🔢 \(\vec u(1,0,-1)\) dirige \((\Delta)\), qui passe par \(A(0,1,1)\).

✅ \((\Delta):\begin{cases}x=t\\y=1\\z=1-t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).

2.b) Montrer que la droite \((\Delta)\) est tangente à la sphère \((S)\) au point \(C(1,1,0)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Une droite est tangente à une sphère en \(C\) si \(C\) est sur la sphère et \(\overrightarrow{\Omega C}\) est orthogonal à la droite. On peut aussi vérifier \(d(\Omega,(\Delta))=R\).

🔢 Étape 1 : \(C\in(\Delta)\) (\(t=1\)).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{\Omega C}(1,0,1)\) : \(\overrightarrow{\Omega C}\cdot\vec u=1-1=0\) et \(\Omega C=\sqrt2=R\).

✅ \(C\in(S)\) et \(\overrightarrow{\Omega C}\perp\vec u\) : \((\Delta)\) est tangente à \((S)\) en \(C\).

3) Montrer que \(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OB}=2\vec k\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{OC}(1,1,0)\) et \(\overrightarrow{OB}(-1,1,0)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OB}=\left(1\times0-0\times1,\ 0\times(-1)-1\times0,\ 1\times1-1\times(-1)\right)=(0,0,2)\).

✅ \(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OB}=2\vec k\).

Exercice 51

Bac 2017, session de rattrapage. L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\). On considère la sphère \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-1=0\) et le plan \((P)\) d’équation \(y-z=0\).

1.a) Montrer que la sphère \((S)\) a pour centre le point \(\Omega(1,1,1)\) et pour rayon \(2\).

Correction détaillée

🔢 \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1+1+1+1=4\).

✅ \(\Omega(1,1,1)\) et \(R=2\).

1.b) Calculer \(d(\Omega,(P))\) et en déduire que le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((C)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 \(d(\Omega,(P))=\dfrac{|1-1|}{\sqrt2}=0\).

✅ \(d(\Omega,(P))=0<R\) : \(\Omega\in(P)\) et \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((C)\).

1.c) Déterminer le centre et le rayon du cercle \((C)\).

Correction détaillée

🔢 Comme le plan passe par \(\Omega\), le cercle est un grand cercle de la sphère.

✅ \((C)\) a pour centre \(\Omega(1,1,1)\) et pour rayon \(R=2\).

2.a) Soit \((\Delta)\) la droite passant par le point \(A(1,-2,2)\) et orthogonale au plan \((P)\). Montrer que \(\vec u(0,1,-1)\) est un vecteur directeur de la droite \((\Delta)\).

Correction détaillée

🔢 \(\vec n(0,1,-1)\) est normal à \((P):y-z=0\).

✅ \(\vec u(0,1,-1)=\vec n\) dirige \((\Delta)\).

2.b) Montrer que \(\left\|\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec u\right\|=\sqrt2\,\|\vec u\|\) et en déduire que la droite \((\Delta)\) coupe la sphère \((S)\) en deux points.

Correction détaillée

📘 Méthode : Distance d’un point \(\Omega\) à une droite \((\Delta)\) passant par \(A\), de vecteur directeur \(\vec u\) : \(d(\Omega,(\Delta))=\dfrac{\|\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\). La droite est tangente à la sphère si \(d=R\), sécante si \(d<R\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{\Omega A}(0,-3,1)\) et \(\vec u(0,1,-1)\) : \(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec u=\left((-3)(-1)-1\times1,\ 1\times0-0\times(-1),\ 0\right)=(2,0,0)\), de norme \(2\).

🔢 Étape 2 : \(\|\vec u\|=\sqrt2\), donc \(\sqrt2\,\|\vec u\|=2\) : l’égalité est vérifiée.

🔢 Étape 3 : \(d(\Omega,(\Delta))=\dfrac{\|\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}=\sqrt2<2=R\).

✅ \(d(\Omega,(\Delta))=\sqrt2<R\) : \((\Delta)\) coupe \((S)\) en deux points.

2.c) Déterminer les coordonnées de chaque point des deux points d’intersection de la droite \((\Delta)\) et la sphère \((S)\).

Correction détaillée

⚠️ Dans le scan, cette question est numérotée « d. » (au lieu de c.).

🔢 Étape 1 : \((\Delta):x=1,\ y=-2+t,\ z=2-t\). Dans \((S)\) : \(0+(t-3)^2+(1-t)^2=4\iff2t^2-8t+10=4\iff t^2-4t+3=0\).

🔢 Étape 2 : \(t=1\) ou \(t=3\).

✅ Les points d’intersection sont \((1,-1,1)\) (\(t=1\)) et \((1,1,-1)\) (\(t=3\)).

Exercice 52

Bac 2018, session normale. L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\). On considère les points \(A(0,-2,-2)\), \(B(1,-2,-4)\) et \(C(-3,-1,2)\).

1) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=2\vec i+2\vec j+\vec k\) puis en déduire que \(2x+2y+z+6=0\) est l’équation cartésienne du plan \((ABC)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(1,0,-2)\) et \(\overrightarrow{AC}(-3,1,4)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left(0\times4-(-2)\times1,\ (-2)\times(-3)-1\times4,\ 1\times1-0\times(-3)\right)=(2,2,1)\).

🔢 Étape 3 : \((ABC):2x+2y+z+d=0\) ; \(A(0,-2,-2)\) : \(-4-2+d=0\iff d=6\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(2,2,1)\) et \((ABC):2x+2y+z+6=0\).

2) On considère la sphère \((S)\) d’équation cartésienne \(x^2+y^2+z^2-2x-2z-23=0\). On vérifie que la sphère \((S)\) a pour centre le point \(\Omega(1,0,1)\) et pour rayon \(R=5\).

Correction détaillée

🔢 \((x-1)^2+y^2+(z-1)^2=23+1+1=25\).

✅ \(\Omega(1,0,1)\) et \(R=5\).

3.a) Vérifier que \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2t\\z=1+t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\), est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par le point \(\Omega\) et orthogonale au plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 \(t=0\) donne \(\Omega(1,0,1)\), et \((2,2,1)\) est un vecteur directeur qui est normal à \((ABC)\).

✅ C’est bien la droite passant par \(\Omega\) et orthogonale à \((ABC)\).

3.b) Déterminer les coordonnées du point \(H\) l’intersection du plan \((ABC)\) et la droite \((\Delta)\).

Correction détaillée

🔢 \(2(1+2t)+2(2t)+(1+t)+6=9t+9=0\iff t=-1\).

✅ \(H(-1,-2,0)\).

4) Vérifier que \(d(\Omega,(ABC))=3\) et en déduire que le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle et déterminer son centre.

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 Étape 1 : \(d(\Omega,(ABC))=\dfrac{|2+0+1+6|}{\sqrt9}=3<5\).

🔢 Étape 2 : Le centre du cercle est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((ABC)\), c’est-à-dire \(H\) ; son rayon est \(\sqrt{25-9}=4\).

✅ Le plan \((ABC)\) coupe \((S)\) suivant le cercle de centre \(H(-1,-2,0)\) et de rayon \(4\).

Exercice 53

Bac 2018, session de rattrapage. L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\). Soit \((S)\) la sphère de rayon \(3\) et le plan \((P)\) passant par le point \(A(-1,0,3)\) et dont un vecteur normal est \(\vec u(4,0,-3)\).

1) Montrer que l’équation cartésienne de la sphère \((S)\) est \(x^2+y^2+z^2-4x-2y-4z=0\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan donne le centre \(\Omega(-1,0,3)\) (qui est en fait le point \(A\)). L’équation de la sphère donnée, la droite de la question 3.a) et la distance \(3\) montrent que le centre est \(\Omega(2,1,2)\).

🔢 Étape 1 : Avec \(\Omega(2,1,2)\) et \(R=3\) : \((x-2)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=9\).

🔢 Étape 2 : En développant : \(x^2+y^2+z^2-4x-2y-4z+4+1+4-9=0\).

✅ \((S):\ x^2+y^2+z^2-4x-2y-4z=0\).

2) Vérifier que \(4x-3z+13=0\) est une équation cartésienne du plan \((P)\).

Correction détaillée

🔢 \((P):4x+0y-3z+d=0\) ; \(A(-1,0,3)\in(P)\) : \(-4-9+d=0\iff d=13\).

✅ \((P):\ 4x-3z+13=0\).

3.a) Vérifier que \(\begin{cases}x=2+4t\\y=1\\z=2-3t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\), est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par le point \(\Omega\) et orthogonale au plan \((P)\).

Correction détaillée

🔢 \(t=0\) donne \(\Omega(2,1,2)\) et \((4,0,-3)\) est normal à \((P)\).

✅ C’est la droite passant par \(\Omega\) et orthogonale à \((P)\).

3.b) Déterminer les coordonnées du point \(H\) l’intersection du plan \((P)\) et la droite \((\Delta)\).

Correction détaillée

🔢 \(4(2+4t)-3(2-3t)+13=25t+15=0\iff t=-\dfrac35\).

✅ \(H\left(-\dfrac25,1,\dfrac{19}5\right)\).

3.c) Calculer \(d(\Omega,(P))\).

Correction détaillée

🔢 \(d(\Omega,(P))=\dfrac{|8-6+13|}{\sqrt{16+9}}=\dfrac{15}5\).

✅ \(d(\Omega,(P))=3\).

3.d) Montrer que le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\) en un point à déterminer.

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 Étape 1 : \(d(\Omega,(P))=3=R\) : \((P)\) est tangent à \((S)\).

🔢 Étape 2 : Le point de tangence est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((P)\), c’est-à-dire \(H\).

✅ \((P)\) est tangent à \((S)\) au point \(H\left(-\dfrac25,1,\dfrac{19}5\right)\).

Exercice 54

Bac 2019, session normale. L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\). On considère les points \(A(1,-1,-1)\), \(B(0,-2,1)\) et \(C(1,-2,0)\).

1.a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec i+\vec j+\vec k\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(-1,-1,2)\) et \(\overrightarrow{AC}(0,-1,1)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left((-1)\times1-2\times(-1),\ 2\times0-(-1)\times1,\ (-1)\times(-1)-(-1)\times0\right)=(1,1,1)\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec i+\vec j+\vec k\).

1.b) En déduire que \(x+y+z+1=0\) est l’équation cartésienne du plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 \((ABC):x+y+z+d=0\) ; \(A(1,-1,-1)\) : \(-1+d=0\iff d=1\). (Vérification : \(B\) : \(0-2+1+1=0\) ; \(C\) : \(1-2+0+1=0\).)

✅ \((ABC):\ x+y+z+1=0\).

2) On considère la sphère \((S)\) d’équation cartésienne \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z+1=0\). On vérifie que la sphère \((S)\) a pour centre le point \(\Omega(2,-1,1)\) et pour rayon \(R=\sqrt5\).

Correction détaillée

🔢 \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=4+1+1-1=5\).

✅ \(\Omega(2,-1,1)\) et \(R=\sqrt5\).

3.a) Calculer \(d(\Omega,(ABC))\).

Correction détaillée

🔢 \(d(\Omega,(ABC))=\dfrac{|2-1+1+1|}{\sqrt3}=\dfrac3{\sqrt3}\).

✅ \(d(\Omega,(ABC))=\sqrt3\).

3.b) En déduire que le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan parle du plan \((P)\), non défini dans l’exercice : il s’agit du plan \((ABC)\) de la question précédente.

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 \(\sqrt3<\sqrt5\).

✅ \(d(\Omega,(ABC))<R\) : le plan \((ABC)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\), de rayon \(\sqrt{5-3}=\sqrt2\) (le plan \((P)\) du texte est le plan \((ABC)\)).

Exercice 55

Bac 2019, session de rattrapage. L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right)\). On considère les points \(A(1,2,2)\), \(B(3,-1,6)\) et \(C(1,1,3)\).

1.a) Vérifier que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec i-2\vec j-2\vec k\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x’,y’,z’)\) : \(\vec u\wedge\vec v=\left(yz’-zy’,\ zx’-xz’,\ xy’-yx’\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) et l’aire du triangle \(ABC\) vaut \(\dfrac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|\).

🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(2,-3,4)\) et \(\overrightarrow{AC}(0,-1,1)\).

🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\left((-3)\times1-4\times(-1),\ 4\times0-2\times1,\ 2\times(-1)-(-3)\times0\right)=(1,-2,-2)\).

✅ \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec i-2\vec j-2\vec k\).

1.b) En déduire que \(x-2y-2z+7=0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 \((ABC):x-2y-2z+d=0\) ; \(A(1,2,2)\) : \(1-4-4+d=0\iff d=7\). (Vérification : \(B\) : \(3+2-12+7=0\) ; \(C\) : \(1-2-6+7=0\).)

✅ \((ABC):\ x-2y-2z+7=0\).

2) On considère les points \(E(5,1,4)\) et \(F(-1,1,12)\) et \((S)\) l’ensemble des points \(M\) qui vérifient \(\overrightarrow{ME}\cdot\overrightarrow{MF}=0\). Montrer que \((S)\) est une sphère a pour centre \(\Omega(2,1,8)\) et pour rayon \(R=5\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((S)\) est la sphère de diamètre \([EF]\) : son centre est le milieu de \([EF]\), \(\left(\dfrac{5-1}2,\dfrac{1+1}2,\dfrac{4+12}2\right)=(2,1,8)\).

🔢 Étape 2 : \(EF=\sqrt{(-6)^2+0^2+8^2}=10\), donc \(R=\dfrac{EF}2=5\).

✅ \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(2,1,8)\) et de rayon \(R=5\).

3.a) Calculer \(d(\Omega,(ABC))\), distance du point \(\Omega\) au plan \((ABC)\).

Correction détaillée

🔢 \(d(\Omega,(ABC))=\dfrac{|2-2-16+7|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac93\).

✅ \(d(\Omega,(ABC))=3\).

3.b) En déduire que le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(r=4\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Sphère \((S)\) (centre \(\Omega\), rayon \(R\)) et plan \((P)\) : avec \(d=d(\Omega,(P))\) : \(d>R\) vide ; \(d=R\) tangente en le projeté orthogonal de \(\Omega\) ; \(d<R\) cercle de centre ce projeté \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

🔢 \(3<5\) : le plan coupe la sphère suivant un cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}\).

✅ \((ABC)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(r=4\).

Exercices corrigés de géométrie dans l’espace 2ème Bac

Géométrie dans l’espace · Série de synthèse 2ème Bac