Activité 1
1) Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2x³ – 3x² – x + 1
dont la courbe est représentée par le graphique ci-contre.
Montrer que la courbe (C) de f admet au voisinage de +∞ et de -∞
des branches paraboliques de direction celle de l’axe des ordonnées.
2) On a représenté dans le graphique ci-contre
Montre que sa courbe (C) admet au voisinage de +∞
Branches paraboliques d’une courbe:
une branche parabolique de direction celle de l’axe des ordonnées.
une branche parabolique de direction celle de l’axe des abscisses.
Activité 2
Soit f la fonction définie sur R-{1} par f(x)=(2x+1)/x-1
et représentée ci-contre :
et une asymptote verticale.
Asymptotes parallèles aux axes du repère
Asymptote verticale
On dit que la droite Δ : x = a est une asymptote à la courbe de f
dans l’un des quatre cas suivants :
Asymptote horizontale
On dit que la droite
Δ : y= b est une asymptote à la courbe de f lorsque
Soit f la fonction définie par
et (C) sa courbe représentative dans un repère du plan
a) Montrer que la droite D : x = -1 est une asymptote à (C).
b) Montrer que pour tout x différent de -1 on a
c) Prouver alors que la droite Δ: y =2x +2
Asymptote oblique à une courbe
On dit que la droite Δ : y = ax + b
est une asymptote oblique à la courbe de f
au voisinage de -∞ (resp. de +∞)
si on a :
Activité 4
a) Donner l’ensemble de définition et préciser le domaine de continuité de f.
b) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
c) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
a) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x ≠ 2 on a :
est une asymptote oblique à la courbe représentative (C) de h au voisinage de +∞.
4) Soit k la fonction définie par:
Montrer que sa courbe représentative admet une branche parabolique
de direction la droite D : y = x au voisinage de +∞.
Soit f une fonction définie sur un intervalle du type [c, +∞[ .
Asymptote oblique
est une asymptote oblique à la courbe représentative de f au voisinage de +∞ .
Branche parabolique
alors la courbe représentative de f admet au voisinage de +∞
une branche parabolique de direction celle de la droite D: y = ax.
Les résultats sont vrais pour une fonction f.
définie sur un intervalle du type ]-∞, c] et x tendant vers -∞.
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