Limite et continuité : Limite et continuité d’une fonction composée

Limite et continuité

⇲ Limite et continuité d’une fonction composée

Activité 1
On considère les fonctions f, g et h définies par

1) Montrer que pour tout réel x on a g(f(x)) = h(x)
2) préciser

et comparer le résultat trouvé avec g(f(-1))

⇲ Définition
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur I et J
telles que pour tout x∈I on a f(x)∈J.
La fonction qui à tout réel x de I associe le réel g(f(x))
est appelée la composée de f par g.
On la note gof on lit :«g rond f» et on écrit (gof)(x) = g(f(x)).

Activité 2
On considère les fonctions f et g définies par

1) Donner l’expression de (gof)(x).
2) Calculer

⇲ Théorème
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur I et J
telles que pour tout x ∈ I on a f(x) ∈ J.

et g est continue en l alors

Le résultat du théorème reste vrai lorsque x tend vers x₀⁻, x₀⁺,-∞ou+∞.

Activité 3
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur I et J
telles que pour tout x ∈ I on a f(x) ∈ J.
Soit un x₀  élément de I.
Montrer que
si f est continue en x₀  et g est continue en y₀=f(x₀)
alors gof est continue en x₀.

⇲  Théorème
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur I et J telles que
pour tout x∈I on a f(x)∈J.
Soit un élément de I.
Si f est continue en x₀ et si g est continue en f(x₀)
alors gof est continue en x₀ .

Activité 4
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x₀ un réel de I.
1) Montrer que si f est positive sur I et continue en x₀
alors la fonction est continue en x₀.
2) Montrer que si f est continue en x₀
alors la fonction lfl est continue en x₀.

Activité 5
On considère la fonction f définie sur ]0,+∞[ par