⇲ Continuité sur un intervalle Image d’un intervalle
Activité 1
Déterminer l’ensemble de continuité de f.
Soit a et b deux réels tels que a<b.
* Une fonction définie sur un intervalle ] a, b[ est dite continue sur ]a,b[
si elle est continue en tout réel de ]a, b[.
* Une fonction définie sur un intervalle ] a, b] est dite continue sur ]a,b]
si elle est continue sur ]a, b[ et continue à gauche en b.
* Une fonction définie sur un intervalle [a, b[ est dite continue sur [a,b[
si elle est continue sur ]a, b[ et continue à droite en a.
* Une fonction définie sur un intervalle [a, b] est dite continue sur [a,b]
si elle est continue sur ]a, b[, continue à droite en a et continue à gauche en b.
* Une fonction définie sur un intervalle ]a,+∞[
(resp. sur ]-∞,a[) est dite continue sur ]a,+∞[ (resp. sur ]-∞,a[)
si elle est continue en tout réel de ]a,+∞[ (resp. de ]-∞,a[).
* Une fonction définie sur un intervalle [a,+∞[ est dite continue sur [a,+∞[
si elle est continue sur ]-∞,a[ et continue à droite en a.
* Une fonction définie sur un intervalle ]-∞,a] est dite continue sur ]-∞,a]
si elle est continue sur ]-∞,a[ et continue à gauche en a.
Activité 2
Justifier chacune des affirmations suivantes:
Image d’un intervalle par une fonctionSoit f une fonction définie sur un intervalle I de R .
On désigne par f(I) l’ensemble des réels f(x) tels que x∈I.
On note f(I)= {f(x); x∈I}.
Activité 3
Soit la fonction f:x ↦ x²+x définie dans [-2, 2].
(C) étant sa courbe représentative dans un repère R.
(Voir figure ci-contre)
1) Justifier que f est continue sur l’intervalle [-2, 2].
2) Reproduire le graphique ci-contre
et représenter chacun des ensembles de réels suivants :
f([-2,-1[) ; f([-1,0]) et f([0,2]).
3)- a) Montrer que pour tout x de [0,2], le réel f(x) appartient à l’intervalle [0,6].
b) Montrer que pour tout y de [0,6] il existe un réel x de [0, 2] tel que y = f(x).
c) En déduire f([0, 2]).
4) a) Résoudre graphiquement les équations f(x)=0 et f(x)=1.
b) Résoudre algébriquement les équations f(x)=0 et f(x)=1.
Activité 4
Soit f la fonction définie dans l’intervalle ]-5, 5[ par:
f(x)=2sin3x.
et dont la représentation graphique est illustrée
par la figure ci-contre :
1) a- Justifier que f est continue sur l’intervalle ]-5,5[.
b- Quelle est l’image de ]-5,5[ par f ?
2) Résoudre graphiquement, dans ]-5,5[ l’équation f(x) = 0.
3) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 1.
4) Résoudre algébriquement, dans [-π, π], les équations f(x)=0 et f(x)=1.
Activité 5
1) Représenter dans un repère du plan la courbe de la fonction f définie sur R par
2) Montrer que f n’est pas continue sur .
3) Déterminer l’ensemble f(R). Cet ensemble est-il un intervalle ?
4) Déterminer l’ensemble f(]-∞,0[). Cet ensemble est-il un intervalle ?
5) Résoudre graphiquement l’équation f(x)=k où k est un réel donné. Discuter.
* L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
* L’image d’un intervalle fermé borné [a,b]
par une fonction continue f est un intervalle fermé borné [m,M].
où m et M sont respectivement le minimum et le maximum de f sur l’intervalle [a,b].
Activité 6
1) Soit la fonction f:x↦x²
Déterminer algébriquement, l’image de ] -1,1 [ par f.
2) On considère la fonction g définie sur R par :
g(x)=2x+1 si x≠0 et g(0)=-2
b) Déterminer l’image de l’intervalle ]-∞,0] par g.
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