Limite et continuité
⇲ Fonctions monotones et limites
⇲ Définition
Soit I un intervalle de R
Une fonction est dite monotone sur I,
lorsqu’elle est croissante sur I ou décroissante sur I.
lorsqu’elle est croissante sur I ou décroissante sur I.
Une fonction est dite strictement monotone sur I,
lorsqu’elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I.
lorsqu’elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I.
Activité 1
Soit f la fonction définie sur [-2, 2] par f(x)=x lxl +1.
1) Tracer la courbe représentative de f dans un repère du plan.
2) Etudier le sens de variation de f sur chacun des deux intervalles [-2, 0] et [0, 2].
3) En déduire que pour tout x de [-2, 2] on a -3≤ f(x)≤ 5.
⇲ Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R
* La fonction f est majorée sur I s’il existe un réel M tel que pour tout x ∈ I f(x) ≤ M
* La fonction f est minorée sur I s’il existe un réel m tel que pour tout x ∈ I m≤ f(x).
* La fonction f est dite bornée sur I s’il existe deux réels m et M
tels que pour tout x ∈l, m≤ f(x) ≤ M .
tels que pour tout x ∈l, m≤ f(x) ≤ M .
Activité 2
1) Soit la fonction f définie sur IR par
Montrer que f est bornée sur IR.
Activité 3
Soit la fonction f définie sur ]π/2,π] par f(x)=1/sinx
1) Montrer que f est croissante sur ]π/2,π]
2) La fonction f est-elle majorée sur ]π/2,π]
3) Quelle est la limite de f à gauche en π ?
⇲ Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I = ]a, b[ (ou I = ]a,+∞[ ).
Si f est croissante et non majorée sur I alors
Activité 4
Soit f une fonction décroissante et non minorée sur un intervalle I = ]a, b[ .
1) Montrer que (-f ) est croissante et non majorée sur I .
⇲ Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle Si f est décroissante et non minorée sur I
Activité 5
On considère les fonctions f et g définies par
1) Montrer que f est décroissante sur [0,π/2[ et g est croissante sur ]0, +∞[ .
3) La fonction f est-elle majorée ? minorée ?
4) Montrer que g est majorée sur ]0, +∞[ .
⇲ Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I = ]a, b[ (ou I = ]a,+∞[ ).
* Si f est croissante et majorée sur I alors f admet une limite finie à gauche en b(ou en +∞). .
* Si f est décroissante et minorée sur I alors f admet
une limite finie à gauche en b(ou en +∞).
⇲ Prolongement par continuité
⇲ Limite et ordre
⇲ Fonctions monotones et limites
⇲ Limite et continuité d’une fonction composée
⇲ Continuité sur un intervalle
⇲ Image d’un intervalle par une fonction continue
⇲ Résolution d’équations de la forme : f(x) = k
⇲ Limites et comportement asymptotique
4 math va vous aider à développer vos compétences et à consolider et approfondir vos connaissances en mathématiques.
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