Etudes de fonctions
⇲ Plan d’étude d’une fonction numérique
Pour étudier une fonction numérique f
et tracer convenablement sa courbe représentative C,
il importe d’étudier les propriétés de f telles que:
parité,variation, branches infinies,etc…
On disposera, également, de moyens tels que :
changement de repère, utilisation de transformations planes ou une transformation d’écriture conduisant à un changement de repère et permettant d’alléger le procédé de construction de la courbe C.
Pour étudier une fonction numérique f
et tracer convenablement sa courbe représentative C,
il importe d’étudier les propriétés de f telles que:
parité,variation, branches infinies,etc…
On disposera, également, de moyens tels que :
changement de repère, utilisation de transformations planes ou une transformation d’écriture conduisant à un changement de repère et permettant d’alléger le procédé de construction de la courbe C.
⇲ Plan d’étude :
En général, on adopte la démarche suivante
(lorsque l’énoncé de l’exercice ne suggère aucun autre plan d’étude) :
1ère étape : Détermination de l’ensemble D sur lequel la fonction f est définie.
2ème étape : Réduction de domaine d’étude :
– si f est paire ou impaire le domaine d’étude de f est De=D∩R+.
– si f est périodique de période T, il suffit d’étudier f sur un domaine du type
– si f est paire ou impaire le domaine d’étude de f est De=D∩R+.
– si f est périodique de période T, il suffit d’étudier f sur un domaine du type
De=D∩[a,a+T]
3ème étape : Calcul des limites de f aux bornes de son ensemble de définition
(ou d’étude).
4ème étape : Etude du sens de variation de f et consignation des résultats
dans un tableau de variations.
6ème étape : Construction de quelques points de la courbe C ,
dans un tableau de variations.
5ème étape : Etude du comportement asymptotique de la courbe C.
6ème étape : Construction de quelques points de la courbe C ,
ainsi que les asymptotes éventuelles ou les éléments de symétrie de C
et les tangentes aux points particuliers etc.
et les tangentes aux points particuliers etc.
7ème étape : Construction de C dans un repère convenablement choisi.
Asymptote oblique
Soit f une fonction définie sur un intervalle du type [α, +∞[ .
alors la droite D : y = ax + b est une asymptote oblique à la courbe représentative de f
au voisinage de +∞.
– Si b = +∞ ou -∞ :
la courbe possède une branche parabolique
de direction la droite D : y = ax au voisinage de +∞).
Le résultat est vrai pour une fonction f définie sur un intervalle du type:
de direction la droite D : y = ax au voisinage de +∞).
Le résultat est vrai pour une fonction f définie sur un intervalle du type:
]-∞, α] et x tendant vers -∞.
Axe de symétrie
Soit f une fonction définie sur D
et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal .
Axe de symétrie
Soit f une fonction définie sur D
et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal .
Soit a un réel et ∆ la droite d’équation: x = a.
La droite ∆ est un axe de symétrie de la courbe C
si et seulement si pour tout x de:
– D, (2a -x) ∈ D.
– f (2a -x) = f(x).
La droite ∆ est un axe de symétrie de la courbe C
si et seulement si pour tout x de:
– D, (2a -x) ∈ D.
– f (2a -x) = f(x).
Centre de symétrie
Soit f une fonction définie sur D et C sa courbe représentative
dans un repère du plan.
Soit W(a,b) un point du plan.
Le point W est un centre de symétrie de la courbe C,
si et seulement si pour tout x de D:
(2a -x) ∈ D.
f(2a -x) = 2b – f(x).
(2a -x) ∈ D.
f(2a -x) = 2b – f(x).
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