Limite et continuité : Limite et ordre

Limite et continuité

 ⇲  Limite et ordre

Activité 1 

a) Montrer que pour tout réel x on a -x2 + 2x – 5 < 0.


Activité 2
Soit la fonction f définie par 
2) a) Montrer que pour tout réel x on a
3) Montrer que pour tout réel x on a f(x)>0

 ⇲  Théorème 
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, sauf peut-être en un réel x0.
On suppose que lim f(x) = l.
Si f (x) ≥ 0 pour tout x de I, distinct de , alors  l≥ 0. 
Si f(x) ≤ 0 pour tout x de I, distinct de , alors I≤ 0. 
Le résultat du théorème reste vrai lorsque x –0 tend vers x+0 , , -∞ ou +∞.

Activité 3
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I, sauf peut-être en un réel x0 . 
On suppose que 
et pour tout x de I, différent de , f(x) ≤ g(x). 
Montrer que l  ≤ l’     (Indication : considérer la fonction h = f – g) 
 ⇲  Théorème 
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I, sauf peut-être en un réel x0. 
et pour tout x de I, différent de x0 , f(x) ≤ g(x) alors l ≤ l’ 
Le résultat du théorème reste vrai lorsque x tend vers x+0 ,  x–0, -∞ ou +∞.

Activité 4 
Soit la fonction f définie sur par
1) Montrer que pour on a : -x2  ≤f(x) ≤x2

 ⇲  Théorème 
Soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle ouvert I, sauf peut-être en x0de I.
et pour tout x de I, différent de x0 , h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) 

Le résultat du théorème reste vrai lorsque x tend vers x –0 x+0 , , -∞ ou +∞.
Activité 5 
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I, sauf peut-être en un réel x0  . 
On suppose que pour tout x de I, différent de x0
Si pour tout x de I, différent de alors on a 
a) Montrer que ∀ ∈ x I – {x}x on a : – Ig(x)I ≤f(x) ≤g(x) .
b) En déduire 

 ⇲  Théorème 
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I, sauf peut-être en un réel x0  .
Si pour tout x de I, différent de  x0
Le résultat du théorème reste vrai lorsque x tend vers x –0 x+0 , , -∞ ou +∞.

 Activité 6 
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I, sauf peut-être en x0 de I 
et soit l un réel. On suppose que pour tout x de I, différent de x0 on a : 
 
 ⇲  Théorème 
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I, sauf peut-être en un réel x0 de l et soit l un réel 
Si pour tout x de I, différent de x0

Activité 7 
Soit la fonction f définie sur R* par
a) Montrer que pour tout x Є R*  on a|f(x) – 3|≤|x|
b) Déterminer alors . 

Activité 8 
Soit f la fonction définie sur R* par
a) Montrer que pour tout réel non nul x on a
Le résultat du théorème reste vrai lorsque x tend vers x –0 x+0 , , -∞ ou +∞.

 ⇲  Théorème 
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I, sauf peut-être en un réel x0 de l
Si pour tout x de I, différent de x0 on a f(x)≥ g(x)
Si pour tout x de I, différent de x0 on a f(x)≤ g(x)
Le résultat du théorème reste vrai lorsque x tend vers x –0 x+0 , , -∞ ou +∞.

Activité 9 
1) a) Montrer que pour tout réel x on a x-1≤ x + cosx ≤ x + 1
b) En déduire 
2) Calculer les limites suivantes :