Exercice 1:
Calculer les intégrales proposées
(Vérifier que chacune des fonctions est positive sur l’intervalle considérée):
1-\(I_{1}=\int_{0}^{1}(5 x^{2}+3x) dx\)
2-\(I_{2}=\int_{-1}^{1}(x^{2}) dx\)
3-\(I_{3}=\int_{-1}^{1}(x^{2}-x) dx\)
4-\(I_{4}=\int_{0}^{1}(x^{2}-3x+8) dx\)
Exercice 2:
1-Prouvez que, pour tout t∈[0,1],
\(\frac{t^{2}}{2}≤ \frac{t^{2}}{1+t}≤ t^{2}\)
2-Déduisez-en un encadrement de
\(I=\int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{1+t} dt\)
Exercice 3:
Soit \(f\) une fonction continue et positive sur [0;1]
telle que, pour tout x∈[0;1], il existe deux réels m et M
tels que: m≤ f(x)≤ M
Déterminer la limite de la suite de terme général :
\(u_{n}=\int_{0}^{\frac{1}{n}} f(x) dx\)
Exercice 4:
Étudier la limite de la suite de terme général
\(u_{n}=\int_{n}^{n+1} e^{-x} dx\)
Vous pourrez commencer par:
encadrer \({e}^{-x}\) sur [n;n+1] en fonction de n.
Exercice 5:
On pose ∀n∈IN:
\(I_{n}=\frac{1}{n !}\int_{0}^{1}(1-x)^{n} e^{-x} dx\)
Prouver que
\(0≤ I_{n}≤ \frac{1}{n !}\int_{0}^{1} e^{-x} dx\)
En déduire \(\lim _{n➝+∞} I_{n}\)
Exercice 6:
1-Vrai ou faux?
L’intégrale d’une fonction continue et impaire est nulle.
2-Vrai ou faux?
Si∀n∈IN \(\in_{-2}^{2} f(t) d t=0\), alors \(f\) est impaire.
3- Trouvez une fonction paire, non identiquement nulle sur \([-2,2]\),
telle que \(\int_{-2}^{2} f(t) d t=0 .\)
4- Vrai ou faux?
Si \(\lim _{x➝+∞} f(x)=0\), alors \(\int_{1}^{x} f(t) d t\) admet une limite finie quand \(x\) tend vers +∞
5- Trouvez une fonction telle que:
\(\lim _{x➝+∞} f(x)=0\) et \(\lim _{x➝+∞}\int_{1}^{x} f(t) dt=+∞\)
6- Trouvez une fonction telle que:
\(\lim _{x➝+∞} f(x)=0\)
et \(\lim _{x➝+∞} \int_{1}^{x} f(t) d t=32\)
7- Vrai ou faux ?
Soit \(u\) un réel strictement positif, alors \(\int_{0}^{u} E(x) dx \in N,\)
E(x) désignant la partie entière de \(x\).
8- Trouvez une fonction telle que
\(|\int_{a}^{b} f(t) dt|=\int_{a}^{b}|f(t)| d t\)
9- Trouvez une fonction \(f\) telle que:
\(|\int_{a}^{b} f(t) dt|<\int_{a}^{b}|f(t)| d t\)
10- Trouvez une condition nécessaire et suffisante sur \(f\)
pour que: \(|\int_{a}^{b} f(t) dt|=\int_{a}^{b}|f(t)| d t\)
11- Vrai ou faux ?
\(\int_{2}^{3} x t^{2} d t=\int_{2}^{3} x t^{2} d x\)
12- Vrai ou faux ?
\(\int_{2}^{3} x t^{2} d t=\int_{2}^{3} x^{2} t d x\)
13- Trouvez deux fonctions \(f\) et \(g\) continues sur [1,2], distinctes,
telles que: \(\int_{1}^{2} f(t) d t=\int_{1}^{2} g(u) du\)
14- Vrai ou faux ?
Si \(f\) est bornée sur [a,b], alors la fonction \(x-\int_{a}^{x} f(u) du\) l’est aussi.
15- Vrai ou faux?
Si \(f\) est croissante sur [a,b], alors la fonction \(x-\int_{a}^{x} f(u) d u\) l’est aussi.
16- Déterminez une fonction polynôme de degré supérieur ou égal à 2
et dont la valeur moyenne sur [-2;2] est 0.
Exercice 7:
On rappelle que:
\(\cos ^{2} t=\frac{1+\cos 2 t}{2}\)
Démontrer que:
\(\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} t d t=\frac{π}{4}\)
Exercice 8:
Calculer l’intégrale suivante:
\(\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}|\sin t| d t\)
On utilisera la relation de Chasles afin de supprimer les valeurs absolues.
Exercice 9:
Calculer les intégrales suivantes:
1- \( \int_{0}^{1} x e^{-x^{2}} d x\)
2- \(\int_{2}^{4} \frac{e^{t}}{e^{t+1}} d t\)
3- \(\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{ln(t)}{t} d t\)
4- \(\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} d x\)
Exercice 10:
Calculer la valeur moyenne de la fonction \(f\)
définie sur l’intervalle [e;e²] par:
\(f(x)=\frac{\ln ^{2} x}{x}\)