Calcul Integrale 2 bac science physique Série 1

Exercice 1:

Calculer les intégrales proposées
(Vérifier que chacune des fonctions est positive sur l’intervalle considérée):
1- $I_{1} = \int_{0}^{1} (5 x^{2} + 3 x) d x$
2- $I_{2} = \int_{- 1}^{1} (x^{2}) d x$
3- $I_{3} = \int_{- 1}^{1} (x^{2} - x) d x$
4- $I_{4} = \int_{0}^{1} (x^{2} - 3 x + 8) d x$

Exercice 2:

1-Prouvez que, pour tout t∈[0,1],
$\frac{t^{2}}{2} \leq \frac{t^{2}}{1 + t} \leq t^{2}$
2-Déduisez-en un encadrement de
$I = \int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{1 + t} d t$

Exercice 3:

Soit $f$ une fonction continue et positive sur [0;1]
telle que, pour tout x∈[0;1], il existe deux réels m et M
tels que: m≤ f(x)≤ M
Déterminer la limite de la suite de terme général :
$u_{n} = \int_{0}^{\frac{1}{n}} f (x) d x$

Exercice 4:

Étudier la limite de la suite de terme général
$u_{n} = \int_{n}^{n + 1} e^{- x} d x$
Vous pourrez commencer par:
encadrer $e^{- x}$ sur [n;n+1] en fonction de n.

Exercice 5:

On pose ∀n∈IN:
$I_{n} = \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} (1 - x)^{n} e^{- x} d x$
Prouver que
$0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} e^{- x} d x$
En déduire $lim_{n ➝ + \infty} I_{n}$

Exercice 6:

1-Vrai ou faux?
L’intégrale d’une fonction continue et impaire est nulle.
2-Vrai ou faux?
Si∀n∈IN $\in_{- 2}^{2} f (t) d t = 0$ , alors $f$ est impaire.
3- Trouvez une fonction paire, non identiquement nulle sur $[- 2, 2]$ ,
telle que $\int_{- 2}^{2} f (t) d t = 0 .$
4- Vrai ou faux?
Si $lim_{x ➝ + \infty} f (x) = 0$ , alors $\int_{1}^{x} f (t) d t$ admet une limite finie quand $x$ tend vers +∞

5- Trouvez une fonction telle que:
$lim_{x ➝ + \infty} f (x) = 0$ et $lim_{x ➝ + \infty} \int_{1}^{x} f (t) d t = + \infty$
6- Trouvez une fonction telle que:
$lim_{x ➝ + \infty} f (x) = 0$
et $lim_{x ➝ + \infty} \int_{1}^{x} f (t) d t = 32$
7- Vrai ou faux ?
Soit $u$ un réel strictement positif, alors $\int_{0}^{u} E (x) d x \in N,$
E(x) désignant la partie entière de $x$ .
8- Trouvez une fonction telle que
$| \int_{a}^{b} f (t) d t | = \int_{a}^{b} | f (t) | d t$
9- Trouvez une fonction $f$ telle que:
$| \int_{a}^{b} f (t) d t | < \int_{a}^{b} | f (t) | d t$

10- Trouvez une condition nécessaire et suffisante sur $f$
pour que: $| \int_{a}^{b} f (t) d t | = \int_{a}^{b} | f (t) | d t$
11- Vrai ou faux ?
$\int_{2}^{3} x t^{2} d t = \int_{2}^{3} x t^{2} d x$
12- Vrai ou faux ?
$\int_{2}^{3} x t^{2} d t = \int_{2}^{3} x^{2} t d x$
13- Trouvez deux fonctions $f$ et $g$ continues sur [1,2], distinctes,
telles que: $\int_{1}^{2} f (t) d t = \int_{1}^{2} g (u) d u$
14- Vrai ou faux ?
Si $f$ est bornée sur [a,b], alors la fonction $x - \int_{a}^{x} f (u) d u$ l’est aussi.
15- Vrai ou faux?
Si $f$ est croissante sur [a,b], alors la fonction $x - \int_{a}^{x} f (u) d u$ l’est aussi.
16- Déterminez une fonction polynôme de degré supérieur ou égal à 2
et dont la valeur moyenne sur [-2;2] est 0.

Exercice 7:

On rappelle que:
$\cos^{2} t = \frac{1 + \cos 2 t}{2}$
Démontrer que:
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} t d t = \frac{π}{4}$

Exercice 8:

Calculer l’intégrale suivante:
$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} | \sin t | d t$
On utilisera la relation de Chasles afin de supprimer les valeurs absolues.

Exercice 9:

Calculer les intégrales suivantes:
1- $\int_{0}^{1} x e^{- x^{2}} d x$
2- $\int_{2}^{4} \frac{e^{t}}{e^{t + 1}} d t$
3- $\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{l n (t)}{t} d t$
4- $\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Exercice 10:

Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$
définie sur l’intervalle [e;e²] par:
$f (x) = \frac{\ln^{2} x}{x}$