Probabilités 2ème Bac : série de synthèse corrigée

Exercice 1

On lance un dé équilibré à six faces. On considère les événements \(A\) : « obtenir un nombre impair » et \(B\) : « obtenir un multiple de \(3\) ».

Calculer \(P(A\cup B)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Dans une situation d’équiprobabilité : \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\). Et pour deux événements quelconques : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) ; \(P(\bar A)=1-P(A)\).

🔢 Étape 1 : L’univers est \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) (\(6\) issues équiprobables). \(A=\{1,3,5\}\) et \(B=\{3,6\}\).

🔢 Étape 2 : \(A\cap B=\{3\}\) donc \(P(A)=\dfrac36\), \(P(B)=\dfrac26\), \(P(A\cap B)=\dfrac16\).

🔢 Étape 3 : \(P(A\cup B)=\dfrac36+\dfrac26-\dfrac16=\dfrac46\). Vérification directe : \(A\cup B=\{1,3,5,6\}\) : \(4\) issues sur \(6\).

✅ \(P(A\cup B)=\dfrac23\).

Exercice 2

Dans un lycée, \(60\,\%\) des élèves ne portent ni bague ni collier ; \(20\,\%\) portent une bague et \(30\,\%\) portent un collier. On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants.

a) Quelle est la probabilité qu’un élève porte une bague ou un collier ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Dans une situation d’équiprobabilité : \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\). Et pour deux événements quelconques : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) ; \(P(\bar A)=1-P(A)\).

🔢 « Ni bague ni collier » est le contraire de « bague ou collier ». Donc \(P(\text{bague}\cup\text{collier})=1-0{,}6\).

✅ \(P(\text{bague ou collier})=0{,}4\).

b) Quelle est la probabilité qu’un élève porte une bague et un collier ?

Correction détaillée

🔢 Formule : \(P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C)\), soit \(0{,}4=0{,}2+0{,}3-P(B\cap C)\).

✅ \(P(B\cap C)=0{,}5-0{,}4=0{,}1\), soit \(10\,\%\) des élèves.

Exercice 3

Dans une classe de terminale, \(54\,\%\) des élèves pratiquent le football, \(32\,\%\) pratiquent le basket et \(15\,\%\) pratiquent les deux sports. On choisit un élève au hasard. On considère les événements \(E_1\), \(E_2\), \(E_3\), \(E_4\) ci-dessous.

1) \(E_1\) : « pratiquer le football mais pas le basket ».

Correction détaillée

📘 Méthode : Dans une situation d’équiprobabilité : \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\). Et pour deux événements quelconques : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) ; \(P(\bar A)=1-P(A)\).

🔢 Étape 1 : Notons \(F\) le football et \(B\) le basket : \(P(F)=0{,}54\), \(P(B)=0{,}32\), \(P(F\cap B)=0{,}15\).

🔢 Étape 2 : \(E_1=F\setminus B\) donc \(P(E_1)=P(F)-P(F\cap B)=0{,}54-0{,}15\).

✅ \(P(E_1)=0{,}39\).

2) \(E_2\) : « pratiquer le football ou le basket ou les deux ».

Correction détaillée

🔢 \(P(F\cup B)=0{,}54+0{,}32-0{,}15\).

✅ \(P(E_2)=0{,}71\).

3) \(E_3\) : « pratiquer un seul sport ».

Correction détaillée

🔢 Un seul sport = (football ou basket) sans les deux : \(P(F\cup B)-P(F\cap B)=0{,}71-0{,}15\). Autre méthode : \(0{,}39+(0{,}32-0{,}15)=0{,}56\).

✅ \(P(E_3)=0{,}56\).

4) \(E_4\) : « ne pratiquer ni le football ni le basket ».

Correction détaillée

🔢 \(E_4=\overline{F\cup B}\) donc \(P(E_4)=1-0{,}71\).

✅ \(P(E_4)=0{,}29\).

Exercice 4

On lance deux fois de suite un dé équilibré à six faces et on note les numéros obtenus.

1) Dresser le tableau des \(36\) issues équiprobables.

Correction détaillée

📘 Méthode : Dans une situation d’équiprobabilité : \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\). Et pour deux événements quelconques : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) ; \(P(\bar A)=1-P(A)\).

🔢 On note chaque issue par le couple \((a,b)\) (premier lancer, second lancer). Il y a \(6\times6=36\) couples, tous équiprobables :

1er \ 2e	1	2	3	4	5	6
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

✅ \(\operatorname{card}\Omega=36\), chaque issue a la probabilité \(\dfrac1{36}\).

2.a) Calculer \(P(A)\) : « obtenir un double ».

Correction détaillée

🔢 Les doubles sont \((1,1),(2,2),\dots,(6,6)\) : \(6\) issues.

✅ \(P(A)=\dfrac6{36}=\dfrac16\).

2.b) Calculer \(P(B)\) : « obtenir deux numéros consécutifs ».

Correction détaillée

🔢 Couples \((a,b)\) avec \(|a-b|=1\) : \((1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\) et les cinq couples inversés : \(10\) issues.

✅ \(P(B)=\dfrac{10}{36}=\dfrac5{18}\).

2.c) Calculer \(P(C)\) : « obtenir au moins un \(6\) ».

Correction détaillée

🔢 Contraire : « aucun \(6\) » \(\Rightarrow 5\times5=25\) issues. Donc \(11\) issues contiennent un \(6\).

✅ \(P(C)=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}\).

2.d) Calculer \(P(D)\) : « la somme dépasse \(7\) ».

Correction détaillée

🔢 Somme \(8\) : \(5\) couples ; \(9\) : \(4\) ; \(10\) : \(3\) ; \(11\) : \(2\) ; \(12\) : \(1\). Total \(5+4+3+2+1=15\).

✅ \(P(D)=\dfrac{15}{36}=\dfrac5{12}\).

Exercice 5

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.

1) Dresser, à l’aide d’un arbre, la liste de tous les résultats possibles \(\Omega_3\). Quel est \(\operatorname{card}(\Omega_3)\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Dans une situation d’équiprobabilité : \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\). Et pour deux événements quelconques : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) ; \(P(\bar A)=1-P(A)\).

🔢 Étape 1 : À chaque lancer, deux issues \(P\) ou \(F\). L’arbre a \(3\) niveaux et \(2\) branches par nœud.

🔢 Étape 2 : Les \(8\) chemins sont : \(PPP,\ PPF,\ PFP,\ PFF,\ FPP,\ FPF,\ FFP,\ FFF\).

✅ \(\Omega_3=\{PPP,PPF,PFP,PFF,FPP,FPF,FFP,FFF\}\) et \(\operatorname{card}\Omega_3=2^3=8\) ; les issues sont équiprobables (pièce équilibrée).

2) Calculer la probabilité de \(A\) : « le tirage ne comporte que deux Piles exactement ».

Correction détaillée

🔢 Les issues à exactement deux Piles : \(PPF,\ PFP,\ FPP\) : \(3\) issues.

✅ \(P(A)=\dfrac38\).

Exercice 6

On lance quatre fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.

1) Écrire la liste de toutes les issues équiprobables.

Correction détaillée

📘 Méthode : Dans une situation d’équiprobabilité : \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\). Et pour deux événements quelconques : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) ; \(P(\bar A)=1-P(A)\).

🔢 Étape 1 : Chaque lancer donne \(P\) ou \(F\) : \(2^4=16\) issues :

🔢 Étape 2 : \(PPPP,\ PPPF,\ PPFP,\ PPFF,\ PFPP,\ PFPF,\ PFFP,\ PFFF,\ FPPP,\ FPPF,\ FPFP,\ FPFF,\ FFPP,\ FFPF,\ FFFP,\ FFFF\).

✅ \(\operatorname{card}\Omega=16\), issues équiprobables.

2) Quel est l’événement le plus probable : \(A\) « \(2\) piles et \(2\) faces » ou \(B\) « \(3\) piles et \(1\) face » ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A\) : \(PPFF,PFPF,PFFP,FPPF,FPFP,FFPP\) : \(6\) issues, soit \(C_4^2=6\). \(P(A)=\dfrac6{16}=\dfrac38\).

🔢 Étape 2 : \(B\) : \(PPPF,PPFP,PFPP,FPPP\) : \(4\) issues, soit \(C_4^3=4\). \(P(B)=\dfrac4{16}=\dfrac14\).

✅ \(P(A)=\dfrac38>P(B)=\dfrac14\) : l’événement \(A\) est le plus probable.

Exercice 7

Activités sur probabilité et fréquence : étude a priori (théorique) de l’expérience « lancer de dés ».

1.a) Combien de résultats peut-on obtenir en lançant un dé ? Lesquels ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour un dé équilibré, chaque face a la même chance d’apparaître : \(P(\{k\})=\dfrac16\).

🔢 Un dé cubique a six faces numérotées de \(1\) à \(6\).

✅ \(6\) résultats : \(1,2,3,4,5,6\).

1.b) Ces résultats sont-ils équiprobables ?

Correction détaillée

🔢 Le dé est supposé équilibré : aucune face n’est favorisée.

✅ Oui : chaque résultat a la probabilité \(\dfrac16\).

2.a) On lance deux dés. Combien de résultats peut-on obtenir ? Sont-ils équiprobables ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Chaque résultat est un couple (dé 1, dé 2) : \(6\times6\) possibilités.

🔢 Étape 2 : On dénombre la grille \(6\times6\) : \(11,12,\dots,16\ ;\ 21,\dots,26\ ;\ \dots\ ;\ 61,\dots,66\).

✅ \(36\) résultats, tous équiprobables (probabilité \(\dfrac1{36}\) chacun).

2.b) Compléter le tableau des sommes possibles : nombre d’apparitions théoriques sur \(36\) et fréquence théorique de chaque somme.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On compte, pour chaque somme \(s\), les couples \((a,b)\) avec \(a+b=s\). Par exemple \(s=7\) : \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\) donc \(6\) couples ; \(s=2\) : seulement \((1,1)\).

🔢 Étape 2 : Tableau :

Somme	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Nb d’apparitions (sur 36)	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
Fréquence théorique	\(\frac1{36}\)	\(\frac2{36}\)	\(\frac3{36}\)	\(\frac4{36}\)	\(\frac5{36}\)	\(\frac6{36}\)	\(\frac5{36}\)	\(\frac4{36}\)	\(\frac3{36}\)	\(\frac2{36}\)	\(\frac1{36}\)

🔢 Étape 3 : Contrôle : \(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36\).

✅ La somme la plus probable est \(7\) (\(\dfrac6{36}=\dfrac16\)) ; les sommes extrêmes \(2\) et \(12\) ont chacune \(\dfrac1{36}\).

Exercice 8

Une urne contient \(4\) boules blanches, \(3\) boules noires et \(5\) boules rouges. On tire simultanément \(3\) boules de l’urne.

1) Calculer \(\operatorname{card}\Omega\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Types de tirages : simultané \(\Rightarrow\) combinaisons, \(\operatorname{card}\Omega=C_n^p\) ; successif sans remise \(\Rightarrow\) arrangements, \(A_n^p\) ; successif avec remise \(\Rightarrow\) \(n^p\). On a équiprobabilité, donc \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}\).

🔢 On tire \(3\) boules parmi \(4+3+5=12\), sans ordre.

✅ \(\operatorname{card}\Omega=C_{12}^3=220\).

2.a) \(P(B)\) : « trois boules blanches ».

Correction détaillée

🔢 \(C_4^3=4\) cas favorables.

✅ \(P(B)=\dfrac4{220}=\dfrac1{55}\).

2.b) \(P(N)\) : « trois boules noires ».

Correction détaillée

🔢 \(C_3^3=1\).

✅ \(P(N)=\dfrac1{220}\).

2.c) \(P(R)\) : « trois boules rouges ».

Correction détaillée

🔢 \(C_5^3=10\).

✅ \(P(R)=\dfrac{10}{220}=\dfrac1{22}\).

2.d) \(P(D)\) : « trois boules de couleurs différentes ».

Correction détaillée

🔢 Une de chaque couleur : \(4\times3\times5=60\).

✅ \(P(D)=\dfrac{60}{220}=\dfrac3{11}\).

2.e) \(P(M)\) : « trois boules de même couleur ».

Correction détaillée

🔢 \(M=B\cup N\cup R\) (événements deux à deux incompatibles) : \(4+1+10=15\) cas.

✅ \(P(M)=\dfrac{15}{220}=\dfrac3{44}\).

2.f) \(P(E)\) : « deux boules blanches seulement ».

Correction détaillée

🔢 Deux blanches parmi \(4\) et la troisième parmi les \(8\) non blanches : \(C_4^2\times C_8^1=6\times8=48\).

✅ \(P(E)=\dfrac{48}{220}=\dfrac{12}{55}\).

Exercice 9

Une urne contient \(4\) boules blanches et \(5\) boules noires, indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise \(3\) boules de l’urne. Mêmes événements que ci-dessus : \(B\), \(N\), \(M\) (même couleur), \(D\) (couleurs différentes), \(E\).

1) Calculer \(\operatorname{card}\Omega\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Types de tirages : simultané \(\Rightarrow\) combinaisons, \(\operatorname{card}\Omega=C_n^p\) ; successif sans remise \(\Rightarrow\) arrangements, \(A_n^p\) ; successif avec remise \(\Rightarrow\) \(n^p\). On a équiprobabilité, donc \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}\).

🔢 Tirages ordonnés sans répétition de \(3\) boules parmi \(9\).

✅ \(\operatorname{card}\Omega=A_9^3=9\times8\times7=504\).

2.a) \(P(B)\) : « trois boules blanches ».

Correction détaillée

🔢 \(A_4^3=4\times3\times2=24\).

✅ \(P(B)=\dfrac{24}{504}=\dfrac1{21}\).

2.b) \(P(N)\) : « trois boules noires ».

Correction détaillée

🔢 \(A_5^3=60\).

✅ \(P(N)=\dfrac{60}{504}=\dfrac5{42}\).

2.c) \(P(M)\) : « trois boules de même couleur ».

Correction détaillée

🔢 \(M=B\cup N\) (incompatibles) : \(24+60=84\) cas.

✅ \(P(M)=\dfrac{84}{504}=\dfrac16\).

2.d) \(P(D)\) : « trois boules de couleurs deux à deux différentes ».

Correction détaillée

⚠️ Dans l’énoncé source, les événements sont « les mêmes que dans l’exercice précédent » : \(D\) est ici un événement impossible.

🔢 L’urne ne contient que \(2\) couleurs : il est impossible d’avoir \(3\) couleurs différentes.

✅ \(D=\varnothing\) donc \(P(D)=0\).

2.e) \(P(E)\) : « tirer deux boules blanches seulement ».

Correction détaillée

🔢 Choisir la position de la boule non blanche : \(3\) possibilités. Puis \(4\times3\) pour les deux blanches (ordonnées) et \(5\) pour la noire : \(3\times4\times3\times5=180\).

✅ \(P(E)=\dfrac{180}{504}=\dfrac5{14}\).

Exercice 10

Une urne contient \(3\) boules blanches et \(4\) boules noires. On tire successivement \(2\) boules avec remise.

1) Calculer \(\operatorname{card}\Omega\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Types de tirages : simultané \(\Rightarrow\) combinaisons, \(\operatorname{card}\Omega=C_n^p\) ; successif sans remise \(\Rightarrow\) arrangements, \(A_n^p\) ; successif avec remise \(\Rightarrow\) \(n^p\). On a équiprobabilité, donc \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}\).

🔢 \(2\) tirages avec remise parmi \(7\) boules.

✅ \(\operatorname{card}\Omega=7^2=49\).

2.a) \(P(B)\) : « deux boules blanches ».

Correction détaillée

🔢 \(3^2=9\) cas.

✅ \(P(B)=\dfrac9{49}\).

2.b) \(P(N)\) : « deux boules noires ».

Correction détaillée

🔢 \(4^2=16\) cas.

✅ \(P(N)=\dfrac{16}{49}\).

2.c) \(P(M)\) : « deux boules de même couleur ».

Correction détaillée

🔢 \(M=B\cup N\), incompatibles : \(9+16=25\).

✅ \(P(M)=\dfrac{25}{49}\).

2.d) \(P(D)\) : « deux boules de couleurs différentes ».

Correction détaillée

🔢 Contraire de \(M\) : \(1-\dfrac{25}{49}\) (ou \(2\times3\times4=24\)).

✅ \(P(D)=\dfrac{24}{49}\).

2.e) \(P(E)\) : « une boule blanche seulement ».

Correction détaillée

🔢 Exactement une blanche et une noire, dans les deux ordres : \(2\times3\times4=24\).

✅ \(P(E)=\dfrac{24}{49}\) (ici \(E=D\)).

Exercice 11

Trois sacs contiennent : sac \(1\) : \(2\) boules vertes, \(1\) rouge, \(1\) bleue ; sac \(2\) : \(1\) verte, \(1\) bleue, \(1\) rouge ; sac \(3\) : \(2\) rouges, \(2\) bleues. On tire une boule dans le premier sac et on note sa couleur, puis on recommence avec le deuxième sac, enfin avec le troisième. On range les trois boules, par ordre de tirage, dans une boîte à trois places.

Quelle est la probabilité d’obtenir l’ordonnancement rouge, vert, bleu ?

Correction détaillée

⚠️ « Ordre » est lu comme ordre de tirage : rouge dans le sac 1, vert dans le sac 2, bleu dans le sac 3.

📘 Méthode : Épreuves indépendantes : la probabilité d’une suite de résultats est le produit des probabilités.

🔢 Étape 1 : Les trois tirages sont indépendants, chacun dans un sac différent.

🔢 Étape 2 : Sac \(1\) (\(2\) vertes, \(1\) rouge, \(1\) bleue, soit \(4\) boules) : \(P(\text{rouge})=\dfrac14\). Sac \(2\) (\(1\) verte, \(1\) bleue, \(1\) rouge) : \(P(\text{vert})=\dfrac13\). Sac \(3\) (\(2\) rouges, \(2\) bleues) : \(P(\text{bleu})=\dfrac24=\dfrac12\).

🔢 Étape 3 : On multiplie : \(\dfrac14\times\dfrac13\times\dfrac12\).

✅ \(P=\dfrac1{24}\).

Exercice 12

Un sac contient \(4\) boules rouges, \(3\) boules vertes et \(2\) boules blanches. On tire simultanément et au hasard \(3\) boules du sac.

1) Combien y a-t-il de résultats possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Types de tirages : simultané \(\Rightarrow\) combinaisons, \(\operatorname{card}\Omega=C_n^p\) ; successif sans remise \(\Rightarrow\) arrangements, \(A_n^p\) ; successif avec remise \(\Rightarrow\) \(n^p\). On a équiprobabilité, donc \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}\).

🔢 \(3\) boules parmi \(4+3+2=9\), simultanément.

✅ \(C_9^3=84\).

2.a) \(P(A)\) : « trois boules de même couleur ».

Correction détaillée

🔢 Trois rouges : \(C_4^3=4\) ; trois vertes : \(C_3^3=1\) ; trois blanches : impossible (\(2\) seulement). Total \(5\).

✅ \(P(A)=\dfrac5{84}\).

2.b) \(P(B)\) : « trois boules distinctes deux à deux (de couleurs différentes) ».

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé source propose deux événements d’intitulé quasi identique (« trois boules distinctes deux à deux » et « trois boules distinctes ») : ils sont traités ensemble.

🔢 Une rouge, une verte, une blanche : \(4\times3\times2=24\).

✅ \(P(B)=\dfrac{24}{84}=\dfrac27\).

2.c) \(P(C)\) : « au plus deux boules rouges ».

Correction détaillée

🔢 Contraire : « trois rouges » : \(C_4^3=4\) cas.

✅ \(P(D)=1-\dfrac4{84}=\dfrac{20}{21}\).

2.d) \(P(D)\) : « au moins une boule blanche ».

Correction détaillée

🔢 Contraire : « aucune blanche » : \(3\) boules parmi \(7\) : \(C_7^3=35\).

✅ \(P(E)=1-\dfrac{35}{84}=\dfrac{49}{84}=\dfrac7{12}\).

Exercice 13

Un sac contient \(3\) boules rouges, \(1\) boule verte et \(5\) boules noires. On tire au hasard successivement et avec remise \(4\) boules du sac.

1) Quel est le nombre de tirages possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Types de tirages : simultané \(\Rightarrow\) combinaisons, \(\operatorname{card}\Omega=C_n^p\) ; successif sans remise \(\Rightarrow\) arrangements, \(A_n^p\) ; successif avec remise \(\Rightarrow\) \(n^p\). On a équiprobabilité, donc \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}\).

🔢 \(4\) tirages avec remise parmi \(3+1+5=9\) boules.

✅ \(9^4=6561\).

2.a) \(P(A)\) : « deux boules rouges et deux boules noires ».

Correction détaillée

🔢 Choisir les \(2\) rangs des rouges : \(C_4^2=6\) ; rouges : \(3^2\) ; noires : \(5^2\). Total \(6\times9\times25=1350\).

✅ \(P(A)=\dfrac{1350}{6561}=\dfrac{50}{243}\).

2.b) \(P(B)\) : « exactement trois boules noires ».

Correction détaillée

🔢 Rang de la non noire : \(4\) ; noires : \(5^3\) ; non noire : \(3+1=4\) choix. Total \(4\times125\times4=2000\).

✅ \(P(B)=\dfrac{2000}{6561}\).

2.c) \(P(C)\) : « au moins trois boules vertes ».

Correction détaillée

🔢 Il n’y a qu’une boule verte, tirée avec remise. Exactement \(3\) vertes : \(C_4^3\times1^3\times8=32\) (la quatrième est non verte : \(8\) choix). \(4\) vertes : \(1\).

✅ \(P(C)=\dfrac{32+1}{6561}=\dfrac{33}{6561}=\dfrac{11}{2187}\).

Exercice 14

Une urne contient \(5\) boules rouges, \(3\) boules blanches et \(7\) boules noires. On tire simultanément \(3\) boules de l’urne.

Calculer la probabilité de chacun des événements \(A\) : « une boule de chaque couleur » ; \(B\) : « trois boules de même couleur » ; \(C\) : « deux boules rouges et une d’une autre couleur » ; \(D\) : « au moins deux boules noires ».

Correction détaillée

📘 Méthode : Types de tirages : simultané \(\Rightarrow\) combinaisons, \(\operatorname{card}\Omega=C_n^p\) ; successif sans remise \(\Rightarrow\) arrangements, \(A_n^p\) ; successif avec remise \(\Rightarrow\) \(n^p\). On a équiprobabilité, donc \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}\).

🔢 Étape 1 : Il y a \(5+3+7=15\) boules ; on tire \(3\) boules simultanément : \(\operatorname{card}\Omega=C_{15}^3=455\).

🔢 Étape 2 : \(A\) : \(5\times3\times7=105\) cas, \(P(A)=\dfrac{105}{455}=\dfrac3{13}\).

🔢 Étape 3 : \(B\) : \(C_5^3+C_3^3+C_7^3=10+1+35=46\) cas, \(P(B)=\dfrac{46}{455}\).

🔢 Étape 4 : \(C\) : \(C_5^2\times10=100\) cas (\(10\) boules non rouges), \(P(C)=\dfrac{100}{455}=\dfrac{20}{91}\).

🔢 Étape 5 : \(D\) : deux noires exactement \(C_7^2\times8=168\) ; trois noires \(C_7^3=35\) ; total \(203\), \(P(D)=\dfrac{203}{455}=\dfrac{29}{65}\).

✅ \(P(A)=\dfrac3{13}\), \(P(B)=\dfrac{46}{455}\), \(P(C)=\dfrac{20}{91}\), \(P(D)=\dfrac{29}{65}\).

Exercice 15

Une urne contient \(2\) boules blanches et \(4\) boules noires, indiscernables au toucher.

1) On tire simultanément \(4\) boules : calculer la probabilité d’obtenir une seule boule blanche.

Correction détaillée

📘 Méthode : Types de tirages : simultané \(\Rightarrow\) combinaisons, \(\operatorname{card}\Omega=C_n^p\) ; successif sans remise \(\Rightarrow\) arrangements, \(A_n^p\) ; successif avec remise \(\Rightarrow\) \(n^p\). On a équiprobabilité, donc \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}\).

🔢 \(\operatorname{card}\Omega=C_6^4=15\). Une blanche parmi \(2\) et trois noires parmi \(4\) : \(2\times C_4^3=8\).

✅ \(P=\dfrac8{15}\).

2.a) On effectue \(4\) tirages successifs sans remise. Probabilité de tirer dans l’ordre noire, noire, noire, blanche ?

Correction détaillée

🔢 \(\operatorname{card}\Omega=A_6^4=360\). Cas favorables : \(4\times3\times2\times2=48\).

✅ \(P=\dfrac{48}{360}=\dfrac2{15}\).

2.b) Probabilité de tirer une seule boule blanche au cours de ces quatre tirages ?

Correction détaillée

🔢 La blanche peut sortir au rang \(1,2,3\) ou \(4\) : \(4\) positions, chacune avec \(2\times(4\times3\times2)=48\) cas : \(192\) cas.

✅ \(P=\dfrac{192}{360}=\dfrac8{15}\) (même résultat qu’en simultané).

3) On effectue maintenant \(4\) tirages successifs avec remise. Calculer la probabilité de tirer dans l’ordre noire, noire, noire, blanche.

Correction détaillée

🔢 \(P=\dfrac46\times\dfrac46\times\dfrac46\times\dfrac26=\left(\dfrac23\right)^3\times\dfrac13\).

✅ \(P=\dfrac8{81}\).

4.a) Probabilité de tirer une seule boule blanche au cours de ces quatre tirages (avec remise).

Correction détaillée

🔢 La blanche peut sortir à \(4\) rangs possibles : \(4\times\dfrac8{81}\).

✅ \(P=\dfrac{32}{81}\).

4.b) Probabilité de n’obtenir aucune boule blanche.

Correction détaillée

🔢 \(\left(\dfrac46\right)^4=\left(\dfrac23\right)^4\).

✅ \(P=\dfrac{16}{81}\).

4.c) Probabilité de tirer au moins une boule blanche.

Correction détaillée

🔢 Contraire de 4.b).

✅ \(P=1-\dfrac{16}{81}=\dfrac{65}{81}\).

Exercice 16

Une urne contient \(5\) boules rouges dont \(2\) ont une tache noire et \(4\) boules jaunes dont une a une tache noire. On extrait une boule au hasard.

Calculer la probabilité de chacun des événements \(A\) : « la boule est jaune » ; \(B\) : « la boule a une tache noire » ; \(C\) : « la boule n’est ni jaune ni tachée de noir ».

Correction détaillée

📘 Méthode : Tirage d’une seule boule : \(P=\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\).

🔢 Étape 1 : Il y a \(5+4=9\) boules ; \(\operatorname{card}\Omega=9\).

🔢 Étape 2 : \(A\) : \(4\) jaunes. \(B\) : \(2\) rouges tachées + \(1\) jaune tachée \(=3\). \(C\) : rouge non tachée : \(5-2=3\).

✅ \(P(A)=\dfrac49\), \(P(B)=\dfrac39=\dfrac13\), \(P(C)=\dfrac39=\dfrac13\).

Exercice 17

Une urne contient une boule blanche numérotée \(1\), deux boules rouges numérotées \(1\) et \(2\) et trois boules vertes numérotées \(1\), \(2\) et \(3\). Les boules sont indiscernables. On extrait successivement deux boules de l’urne sans remettre dans l’urne la première boule tirée.

Trouver la probabilité de chacun des événements \(A\) : « les deux boules sont rouges » ; \(B\) : « les deux boules sont de couleurs différentes » ; \(C\) : « le tirage comporte au moins une boule rouge » ; \(D\) : « le tirage comporte exactement une boule verte » ; \(E\) : « le tirage comporte une boule verte et une boule numérotée \(1\) » ; \(F\) : « le tirage comporte une boule rouge ou une boule numérotée \(1\) ».

Correction détaillée

⚠️ Pour \(E\), on lit : une des deux boules est verte et l’autre (une boule différente) porte le numéro \(1\).

📘 Méthode : Types de tirages : simultané \(\Rightarrow\) combinaisons, \(\operatorname{card}\Omega=C_n^p\) ; successif sans remise \(\Rightarrow\) arrangements, \(A_n^p\) ; successif avec remise \(\Rightarrow\) \(n^p\). On a équiprobabilité, donc \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}\).

🔢 Étape 1 : \(6\) boules ; tirage de \(2\) boules sans remise (ou, ce qui revient au même pour ces événements, simultanément) : on raisonne sur les \(C_6^2=15\) paires.

🔢 Étape 2 : \(A\) : \(C_2^2=1\) paire, \(P(A)=\dfrac1{15}\).

🔢 Étape 3 : \(B\) : contraire de « même couleur » : même couleur = \(C_2^2+C_3^2=1+3=4\) paires ; \(P(B)=1-\dfrac4{15}=\dfrac{11}{15}\).

🔢 Étape 4 : \(C\) : contraire « aucune rouge » : \(C_4^2=6\) ; \(P(C)=1-\dfrac6{15}=\dfrac35\).

🔢 Étape 5 : \(D\) : une verte parmi \(3\) et une non verte parmi \(3\) : \(3\times3=9\) ; \(P(D)=\dfrac9{15}=\dfrac35\).

🔢 Étape 6 : \(E\) : une boule du tirage est verte et une autre boule du tirage porte le \(1\). Paires favorables : \(\{V_1,V_2\},\{V_1,V_3\},\{V_1,B_1\},\{V_1,R_1\},\{V_2,B_1\},\{V_2,R_1\},\{V_3,B_1\},\{V_3,R_1\}\), soit \(8\) paires ; \(P(E)=\dfrac8{15}\).

🔢 Étape 7 : \(F\) : contraire « aucune rouge et aucun \(1\) » : les boules ni rouges ni \(1\) sont \(V_2,V_3\) : une seule paire ; \(P(F)=1-\dfrac1{15}=\dfrac{14}{15}\).

✅ \(P(A)=\dfrac1{15}\), \(P(B)=\dfrac{11}{15}\), \(P(C)=\dfrac35\), \(P(D)=\dfrac35\), \(P(E)=\dfrac8{15}\), \(P(F)=\dfrac{14}{15}\).

Exercice 18

Un groupe de \(26\) personnes dont \(10\) sont des femmes doit élire un comité de \(3\) personnes. 1) Calculer la probabilité des événements suivants. 2) Ce groupe de \(26\) personnes doit élire un comité composé d’un président, d’un vice-président et d’un secrétaire ; on calcule la probabilité de chacun des événements suivants.

1.a) \(A\) : « le comité contient au moins une femme ».

Correction détaillée

📘 Méthode : Types de tirages : simultané \(\Rightarrow\) combinaisons, \(\operatorname{card}\Omega=C_n^p\) ; successif sans remise \(\Rightarrow\) arrangements, \(A_n^p\) ; successif avec remise \(\Rightarrow\) \(n^p\). On a équiprobabilité, donc \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}\).

🔢 Étape 1 : Il y a \(26\) personnes dont \(10\) femmes et \(16\) hommes. \(\operatorname{card}\Omega=C_{26}^3=2600\).

🔢 Étape 2 : Contraire : aucune femme, \(C_{16}^3=560\) comités.

✅ \(P(A)=1-\dfrac{560}{2600}=\dfrac{51}{65}\).

1.b) \(B\) : « le comité contient au moins \(2\) hommes ».

Correction détaillée

🔢 \(2\) hommes et \(1\) femme : \(C_{16}^2\times10=1200\). \(3\) hommes : \(C_{16}^3=560\).

✅ \(P(B)=\dfrac{1760}{2600}=\dfrac{44}{65}\).

1.c) \(C\) : « le comité ne contient pas à la fois Madame X et Monsieur Y ».

Correction détaillée

🔢 Contraire : X et Y y sont tous les deux : il reste à choisir \(1\) personne parmi \(24\) : \(24\) comités.

✅ \(P(C)=1-\dfrac{24}{2600}=\dfrac{322}{325}\).

2.a) \(E\) : « le poste de président est occupé par un homme ».

Correction détaillée

🔢 Président, vice-président et secrétaire : tirage ordonné. Seul le président compte : \(\dfrac{16}{26}\).

✅ \(P(E)=\dfrac{16}{26}=\dfrac8{13}\).

2.b) \(F\) : « le président est un homme, le secrétaire est une femme ».

Correction détaillée

🔢 Choisir président homme (\(16\)), secrétaire femme (\(10\)), vice-président parmi les \(24\) restants : \(16\times10\times24\) sur \(26\times25\times24\).

✅ \(P(F)=\dfrac{16\times10}{26\times25}=\dfrac{16}{65}\).

2.c) \(G\) : « les deux sexes figurent dans le comité ».

Correction détaillée

🔢 Contraire : trois hommes ou trois femmes : \(C_{16}^3+C_{10}^3=560+120=680\).

✅ \(P(G)=1-\dfrac{680}{2600}=\dfrac{48}{65}\).

Exercice 19

Une urne contient \(5\) boules blanches, dont \(2\) portent le numéro \(1\) et \(3\) portent le numéro \(2\), et \(7\) boules noires, dont \(3\) portent le numéro \(1\) et \(4\) portent le numéro \(2\). On tire une boule au hasard. On note \(N\) : « noire », \(B\) : « blanche », \(U\) : « numéro \(1\) », \(D\) : « numéro \(2\) ».

1) Calculer \(P(B)\), \(P(N)\), \(P(U)\), \(P(D)\), \(P(B\cap U)\) et \(P(N\cap D)\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan indique « \(4\) boules de numéro \(2\) et \(3\) de numéro \(1\) » parmi les \(7\) noires ; c’est ce qui est utilisé.

📘 Méthode : Probabilité conditionnelle : si \(P(B)\neq0\), \(P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (probabilité de \(A\) sachant que \(B\) est réalisé). Dans l’équiprobabilité : \(P_B(A)=\dfrac{\operatorname{card}(A\cap B)}{\operatorname{card}B}\). On en déduit \(P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)\).

🔢 Il y a \(12\) boules, équiprobables. \(B\) : \(5\) ; \(N\) : \(7\) ; \(U\) (numéro \(1\)) : \(2+3=5\) ; \(D\) (numéro \(2\)) : \(3+4=7\). \(B\cap U\) : \(2\) boules ; \(N\cap D\) : \(4\) boules.

✅ \(P(B)=\dfrac5{12}\), \(P(N)=\dfrac7{12}\), \(P(U)=\dfrac5{12}\), \(P(D)=\dfrac7{12}\), \(P(B\cap U)=\dfrac2{12}=\dfrac16\), \(P(N\cap D)=\dfrac4{12}=\dfrac13\).

2.a) Sachant que la boule tirée est blanche, quelle est la probabilité qu’elle porte le numéro \(1\) ? C’est \(P_B(U)\).

Correction détaillée

🔢 On se restreint aux \(5\) boules blanches, dont \(2\) portent le \(1\).

✅ \(P_B(U)=\dfrac25\).

2.b) Comparer \(P_B(U)\) et \(\dfrac{P(B\cap U)}{P(B)}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{P(B\cap U)}{P(B)}=\dfrac{1/6}{5/12}=\dfrac16\times\dfrac{12}5=\dfrac25\).

✅ Les deux valeurs sont égales : \(P_B(U)=\dfrac{P(B\cap U)}{P(B)}=\dfrac25\).

3.a) Calculer \(P_N(D)\) : probabilité que la boule porte le numéro \(2\) sachant qu’elle est noire.

Correction détaillée

🔢 Parmi les \(7\) noires, \(4\) portent le \(2\).

✅ \(P_N(D)=\dfrac47\).

3.b) Comparer \(P_N(D)\) et \(\dfrac{P(D\cap N)}{P(N)}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{1/3}{7/12}=\dfrac13\times\dfrac{12}7=\dfrac47\).

✅ Égalité : \(P_N(D)=\dfrac{P(D\cap N)}{P(N)}=\dfrac47\).

4.a) Calculer \(P_U(B)\) : probabilité que la boule soit blanche sachant qu’elle porte le numéro \(1\).

Correction détaillée

🔢 Parmi les \(5\) boules de numéro \(1\), \(2\) sont blanches.

✅ \(P_U(B)=\dfrac25\).

4.b) Comparer \(P_U(B)\) et \(\dfrac{P(U\cap B)}{P(U)}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{1/6}{5/12}=\dfrac25\).

✅ Égalité : \(P_U(B)=\dfrac{P(U\cap B)}{P(U)}=\dfrac25\).

Exercice 20

Une urne contient \(25\) boules : \(15\) blanches et \(10\) noires. On tire successivement et sans remise deux boules de l’urne.

1) Sachant que la première boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la seconde soit blanche ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Probabilité conditionnelle : si \(P(B)\neq0\), \(P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (probabilité de \(A\) sachant que \(B\) est réalisé). Dans l’équiprobabilité : \(P_B(A)=\dfrac{\operatorname{card}(A\cap B)}{\operatorname{card}B}\). On en déduit \(P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)\).

🔢 Après un tirage blanc, il reste \(24\) boules dont \(14\) blanches.

✅ \(\dfrac{14}{24}=\dfrac7{12}\).

2) Sachant que la première boule est noire, quelle est la probabilité que la seconde soit noire ?

Correction détaillée

🔢 Il reste \(24\) boules dont \(9\) noires.

✅ \(\dfrac9{24}=\dfrac38\).

3.a) \(P(E)\), \(E\) : « deux boules blanches ».

Correction détaillée

🔢 \(P(B_1\cap B_2)=P(B_1)\times P_{B_1}(B_2)=\dfrac{15}{25}\times\dfrac{14}{24}\).

✅ \(P(E)=\dfrac{7}{20}\).

3.b) \(P(F)\), \(F\) : « deux boules noires ».

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{10}{25}\times\dfrac9{24}\).

✅ \(P(F)=\dfrac3{20}\).

3.c) \(P(G)\), \(G\) : « deux boules de couleurs différentes ».

Correction détaillée

🔢 \(G\) est le contraire de \(E\cup F\) (incompatibles) : \(1-\dfrac7{20}-\dfrac3{20}\).

✅ \(P(G)=\dfrac12\).

Exercice 21

On lance un dé équilibré. On note \(A\) : « obtenir un nombre pair » et \(B\) : « obtenir un multiple de \(3\) ».

1) Calculer \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A\cap B)\) et \(P_B(A)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Probabilité conditionnelle : si \(P(B)\neq0\), \(P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (probabilité de \(A\) sachant que \(B\) est réalisé). Dans l’équiprobabilité : \(P_B(A)=\dfrac{\operatorname{card}(A\cap B)}{\operatorname{card}B}\). On en déduit \(P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)\). \(A\) et \(B\) sont indépendants \(\iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) (\(\iff P_B(A)=P(A)\) si \(P(B)\neq 0\)). \(A\) et \(B\) sont incompatibles \(\iff A\cap B=\varnothing\).

🔢 Étape 1 : \(\Omega=\{1,\dots,6\}\), \(A=\{2,4,6\}\), \(B=\{3,6\}\), \(A\cap B=\{6\}\).

🔢 Étape 2 : \(P(A)=\dfrac12\), \(P(B)=\dfrac13\), \(P(A\cap B)=\dfrac16\). \(P_B(A)=\dfrac{1/6}{1/3}\).

✅ \(P(A)=\dfrac12\), \(P(B)=\dfrac13\), \(P(A\cap B)=\dfrac16\), \(P_B(A)=\dfrac12\).

2) Comparer \(P(A\cap B)\) et \(P(A)\times P(B)\). Conclure.

Correction détaillée

🔢 \(P(A)\times P(B)=\dfrac12\times\dfrac13=\dfrac16=P(A\cap B)\).

✅ \(A\) et \(B\) sont indépendants (on a d’ailleurs \(P_B(A)=P(A)\)).

Exercice 22

On écrit les entiers de \(1\) à \(20\) sur des cartons identiques et on tire un carton au hasard. \(A\) : « le nombre est impair » ; \(B\) : « le nombre est un multiple de \(5\) ».

1) Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? incompatibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : \(A\) et \(B\) sont indépendants \(\iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) (\(\iff P_B(A)=P(A)\) si \(P(B)\neq 0\)). \(A\) et \(B\) sont incompatibles \(\iff A\cap B=\varnothing\).

🔢 Étape 1 : \(A\) : impairs de \(1\) à \(20\) : \(10\) nombres ; \(B=\{5,10,15,20\}\) : \(4\) nombres ; \(A\cap B=\{5,15\}\).

🔢 Étape 2 : \(P(A)=\dfrac{10}{20}=\dfrac12\), \(P(B)=\dfrac4{20}=\dfrac15\), \(P(A\cap B)=\dfrac2{20}=\dfrac1{10}\).

🔢 Étape 3 : \(P(A)P(B)=\dfrac12\times\dfrac15=\dfrac1{10}=P(A\cap B)\). De plus \(A\cap B\neq\varnothing\).

✅ \(A\) et \(B\) sont indépendants, mais ils ne sont pas incompatibles (\(A\cap B=\{5,15\}\)).

Exercice 23

On lance deux fois un dé équilibré. \(A\) : « obtenir \(6\) au premier lancer » ; \(B\) : « obtenir \(6\) au second lancer ».

Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

Correction détaillée

📘 Méthode : \(A\) et \(B\) sont indépendants \(\iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) (\(\iff P_B(A)=P(A)\) si \(P(B)\neq 0\)). \(A\) et \(B\) sont incompatibles \(\iff A\cap B=\varnothing\).

🔢 Étape 1 : \(P(A)=\dfrac6{36}=\dfrac16\), \(P(B)=\dfrac16\). \(A\cap B\) : « \(6\) aux deux lancers » : \(1\) issue sur \(36\).

🔢 Étape 2 : \(P(A)\times P(B)=\dfrac1{36}=P(A\cap B)\).

✅ Oui, \(A\) et \(B\) sont indépendants (les deux lancers ne s’influencent pas).

Exercice 24

Un sac contient \(6\) jetons : \(3\) rouges numérotés \(1,2,3\), \(2\) jaunes numérotés \(1\) et \(2\), et \(1\) bleu numéroté \(1\). On tire un jeton au hasard. \(R\) : « rouge » ; \(U\) : « numéro \(1\) » ; \(D\) : « numéro \(2\) ».

1) Les événements \(R\) et \(U\) sont-ils indépendants ?

Correction détaillée

📘 Méthode : \(A\) et \(B\) sont indépendants \(\iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) (\(\iff P_B(A)=P(A)\) si \(P(B)\neq 0\)). \(A\) et \(B\) sont incompatibles \(\iff A\cap B=\varnothing\).

🔢 Étape 1 : Jetons : \(R_1,R_2,R_3,J_1,J_2,B_1\) (\(6\) jetons). \(P(R)=\dfrac36=\dfrac12\), \(P(U)=\dfrac36=\dfrac12\) (\(R_1,J_1,B_1\)), \(P(R\cap U)=\dfrac16\).

🔢 Étape 2 : \(P(R)P(U)=\dfrac14\neq\dfrac16\).

✅ \(R\) et \(U\) ne sont pas indépendants.

2) Les événements \(R\) et \(D\) sont-ils indépendants ?

Correction détaillée

🔢 \(P(D)=\dfrac26=\dfrac13\) (\(R_2,J_2\)), \(P(R\cap D)=\dfrac16\). \(P(R)P(D)=\dfrac12\times\dfrac13=\dfrac16\).

✅ \(R\) et \(D\) sont indépendants.

Exercice 25

Un sac contient \(4\) boules numérotées \(1\), deux boules numérotées \(2\) et une boule numérotée \(3\). On suppose tous les tirages équiprobables. On tire au hasard deux boules du sac. \(A\) : « obtenir deux boules de même numéro » ; \(B\) : « la somme des numéros des deux boules tirées est \(4\) ».

1) Calculer \(p(A)\), \(p(B)\), \(p(A\cap B)\) et \(p(A\cup B)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(A\) et \(B\) sont indépendants \(\iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) (\(\iff P_B(A)=P(A)\) si \(P(B)\neq 0\)). \(A\) et \(B\) sont incompatibles \(\iff A\cap B=\varnothing\).

🔢 Étape 1 : Le sac contient \(7\) boules : \(4\) portant \(1\), \(2\) portant \(2\), \(1\) portant \(3\). On tire \(2\) boules : \(\operatorname{card}\Omega=C_7^2=21\).

🔢 Étape 2 : \(A\) (même numéro) : \(C_4^2+C_2^2=6+1=7\) cas. \(B\) (somme \(4\)) : \(\{1,3\}\) : \(4\times1=4\) cas ; \(\{2,2\}\) : \(1\) cas ; total \(5\).

🔢 Étape 3 : \(A\cap B\) : même numéro et somme \(4\) : \(\{2,2\}\) : \(1\) cas.

🔢 Étape 4 : \(p(A\cup B)=\dfrac7{21}+\dfrac5{21}-\dfrac1{21}\).

✅ \(p(A)=\dfrac13\), \(p(B)=\dfrac5{21}\), \(p(A\cap B)=\dfrac1{21}\), \(p(A\cup B)=\dfrac{11}{21}\).

2) \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

Correction détaillée

🔢 \(p(A)p(B)=\dfrac13\times\dfrac5{21}=\dfrac5{63}\) alors que \(p(A\cap B)=\dfrac1{21}=\dfrac3{63}\).

✅ \(p(A\cap B)\neq p(A)p(B)\) : \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants.

Exercice 26

Dans une usine, on produit chaque jour mille pièces du même modèle. Chacune est susceptible de présenter un défaut \(A\), un défaut \(B\) ou simultanément les deux. On admet que \(8\,\%\) des pièces présentent le défaut \(A\) ; parmi les pièces qui ont le défaut \(A\), \(15\,\%\) ont le défaut \(B\) ; parmi celles qui n’ont pas le défaut \(A\), \(5\,\%\) ont le défaut \(B\). Déterminer, parmi la production d’un jour, le nombre de pièces qui :

1) Combien de pièces présentent simultanément les défauts \(A\) et \(B\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Probabilité conditionnelle : si \(P(B)\neq0\), \(P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (probabilité de \(A\) sachant que \(B\) est réalisé). Dans l’équiprobabilité : \(P_B(A)=\dfrac{\operatorname{card}(A\cap B)}{\operatorname{card}B}\). On en déduit \(P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)\).

🔢 Pièces avec \(A\) : \(8\,\%\) de \(1000\), soit \(80\). Parmi elles, \(15\,\%\) ont aussi \(B\) : \(0{,}15\times80=12\).

✅ \(12\) pièces.

2) Combien présentent le défaut \(B\) mais pas le défaut \(A\) ?

Correction détaillée

🔢 Pièces sans \(A\) : \(1000-80=920\). Parmi elles \(5\,\%\) ont \(B\) : \(0{,}05\times920=46\).

✅ \(46\) pièces.

3) Combien présentent le défaut \(A\) et peut-être le défaut \(B\) ?

Correction détaillée

🔢 « \(A\) et peut-être \(B\) » : toutes les pièces ayant \(A\).

✅ \(80\) pièces.

4) Combien ne présentent ni \(A\) ni \(B\) ?

Correction détaillée

🔢 Pièces sans \(A\) et sans \(B\) : \(920-46=874\).

✅ \(874\) pièces.

Exercice 27

On dispose de deux urnes : \(U_1\) contient \(2\) boules rouges et \(3\) vertes ; \(U_2\) contient \(2\) boules rouges et \(2\) vertes. On choisit une urne au hasard puis on tire une boule dans l’urne choisie. \(A_1\) : « on a choisi \(U_1\) » ; \(A_2\) : « on a choisi \(U_2\) » ; \(V\) : « la boule tirée est verte ».

1) Calculer \(P(V\cap A_1)\) et \(P(V\cap A_2)\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé source porte « \(V\cap A_1\) et \(V\cap A_1\) » ; la seconde expression est lue comme \(V\cap A_2\).

📘 Méthode : Arbre pondéré : sur chaque branche on écrit la probabilité conditionnelle ; le produit le long d’un chemin donne la probabilité de l’intersection. Probabilités totales : si \(A_1,A_2,\dots,A_k\) forment une partition de \(\Omega\) (de probabilités non nulles), alors \(P(B)=P(A_1)P_{A_1}(B)+\dots+P(A_k)P_{A_k}(B)\). Bayes : \(P_B(A_i)=\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}\).

🔢 Étape 1 : Le choix de l’urne est au hasard : \(P(A_1)=P(A_2)=\dfrac12\).

🔢 Étape 2 : Dans \(U_1\) (\(2\) rouges, \(3\) vertes) : \(P_{A_1}(V)=\dfrac35\). Dans \(U_2\) (\(2\) rouges, \(2\) vertes) : \(P_{A_2}(V)=\dfrac24=\dfrac12\).

🔢 Étape 3 : \(P(V\cap A_1)=\dfrac12\times\dfrac35\) et \(P(V\cap A_2)=\dfrac12\times\dfrac12\).

✅ \(P(V\cap A_1)=\dfrac3{10}\), \(P(V\cap A_2)=\dfrac14\).

2) En déduire \(P(V)\).

Correction détaillée

🔢 \(A_1\) et \(A_2\) forment une partition : \(P(V)=P(V\cap A_1)+P(V\cap A_2)=\dfrac3{10}+\dfrac14\).

✅ \(P(V)=\dfrac{11}{20}\).

Exercice 28

Une usine fabrique des lampes avec trois machines \(A\), \(B\), \(C\) qui produisent respectivement \(20\,\%\), \(30\,\%\) et \(50\,\%\) des lampes. \(5\,\%\) des lampes produites par \(A\), \(4\,\%\) de celles produites par \(B\) et \(1\,\%\) de celles produites par \(C\) sont défectueuses. On choisit au hasard une lampe de la production globale.

1.a) Probabilité que la lampe soit défectueuse et produite par la machine \(A\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Arbre pondéré : sur chaque branche on écrit la probabilité conditionnelle ; le produit le long d’un chemin donne la probabilité de l’intersection. Probabilités totales : si \(A_1,A_2,\dots,A_k\) forment une partition de \(\Omega\) (de probabilités non nulles), alors \(P(B)=P(A_1)P_{A_1}(B)+\dots+P(A_k)P_{A_k}(B)\). Bayes : \(P_B(A_i)=\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}\).

🔢 \(D\) : « défectueuse ». \(P(A)=0{,}2\), \(P_A(D)=0{,}05\).

✅ \(P(D\cap A)=0{,}2\times0{,}05=0{,}01\).

1.b) Défectueuse et produite par \(B\).

Correction détaillée

🔢 \(P(B)=0{,}3\), \(P_B(D)=0{,}04\).

✅ \(P(D\cap B)=0{,}3\times0{,}04=0{,}012\).

1.c) Défectueuse et produite par \(C\).

Correction détaillée

🔢 \(P(C)=0{,}5\), \(P_C(D)=0{,}01\).

✅ \(P(D\cap C)=0{,}5\times0{,}01=0{,}005\).

2) En déduire la probabilité que la lampe soit défectueuse.

Correction détaillée

🔢 \(A,B,C\) forment une partition de la production : formule des probabilités totales.

✅ \(P(D)=0{,}01+0{,}012+0{,}005=0{,}027\), soit \(2{,}7\,\%\).

3) Calculer la probabilité qu’une lampe soit produite par \(A\) sachant qu’elle est défectueuse.

Correction détaillée

🔢 Formule de Bayes : \(P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}01}{0{,}027}\).

✅ \(P_D(A)=\dfrac{10}{27}\approx0{,}37\).

Exercice 29

Une urne \(U_1\) contient deux jetons portant le numéro \(1\) et quatre jetons portant le numéro \(2\) (indiscernables au toucher). Une urne \(U_2\) contient trois boules rouges et quatre boules vertes. 1) On tire au hasard un jeton de \(U_1\) : \(A\) « le jeton porte le numéro \(1\) », \(B\) « le jeton porte le numéro \(2\) ». 2) On tire un jeton de \(U_1\) et on note son numéro : si le numéro est \(1\), on tire une seule boule de \(U_2\) ; si le numéro est \(2\), on tire au hasard et simultanément deux boules de \(U_2\). On note \(E_n\) l’événement « tirer exactement \(n\) boules rouges ».

1) Calculer \(P(A)\) et \(P(B)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Arbre pondéré : sur chaque branche on écrit la probabilité conditionnelle ; le produit le long d’un chemin donne la probabilité de l’intersection. Probabilités totales : si \(A_1,A_2,\dots,A_k\) forment une partition de \(\Omega\) (de probabilités non nulles), alors \(P(B)=P(A_1)P_{A_1}(B)+\dots+P(A_k)P_{A_k}(B)\). Bayes : \(P_B(A_i)=\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}\).

🔢 \(U_1\) contient \(6\) jetons : \(2\) de numéro \(1\), \(4\) de numéro \(2\).

✅ \(P(A)=\dfrac26=\dfrac13\) et \(P(B)=\dfrac46=\dfrac23\).

2.a) Montrer que \(p(E_1)=\dfrac{11}{21}\) et \(p(E_2)=\dfrac2{21}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(U_2\) : \(3\) rouges, \(4\) vertes (\(7\) boules).

🔢 Étape 2 : Cas \(A\) (jeton \(1\)) : on tire \(1\) boule de \(U_2\) : \(P_A(E_1)=\dfrac37\), \(P_A(E_2)=0\).

🔢 Étape 3 : Cas \(B\) (jeton \(2\)) : on tire \(2\) boules simultanément : \(\operatorname{card}\Omega=C_7^2=21\). \(P_B(E_1)=\dfrac{3\times4}{21}=\dfrac{12}{21}\), \(P_B(E_2)=\dfrac{C_3^2}{21}=\dfrac3{21}\).

🔢 Étape 4 : \(p(E_1)=\dfrac13\times\dfrac37+\dfrac23\times\dfrac{12}{21}=\dfrac3{21}+\dfrac8{21}=\dfrac{11}{21}\).

🔢 Étape 5 : \(p(E_2)=\dfrac13\times0+\dfrac23\times\dfrac3{21}=\dfrac2{21}\).

✅ \(p(E_1)=\dfrac{11}{21}\) et \(p(E_2)=\dfrac2{21}\).

2.b) Calculer la probabilité de \(A\) sachant que \(E_1\) est réalisé.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(P(A\cap E_1)=\dfrac13\times\dfrac37=\dfrac17=\dfrac3{21}\).

🔢 Étape 2 : \(P_{E_1}(A)=\dfrac{3/21}{11/21}\).

✅ \(P_{E_1}(A)=\dfrac3{11}\).

Exercice 30

Une urne contient \(5\) boules blanches numérotées \(1,1,2,2,2\), trois boules vertes numérotées \(1,1,1\) et deux boules rouges numérotées \(1,2\). On tire au hasard successivement et sans remise trois boules.

1) Combien y a-t-il de résultats possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Arbre pondéré : sur chaque branche on écrit la probabilité conditionnelle ; le produit le long d’un chemin donne la probabilité de l’intersection. Probabilités totales : si \(A_1,A_2,\dots,A_k\) forment une partition de \(\Omega\) (de probabilités non nulles), alors \(P(B)=P(A_1)P_{A_1}(B)+\dots+P(A_k)P_{A_k}(B)\). Bayes : \(P_B(A_i)=\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}\).

🔢 \(5+3+2=10\) boules ; tirage ordonné sans remise de \(3\) : \(A_{10}^3\).

✅ \(10\times9\times8=720\).

2.a) \(P(A)\) : « la \(1^{\text{re}}\) boule est blanche, la \(2^{\text{e}}\) blanche et la \(3^{\text{e}}\) rouge ».

Correction détaillée

🔢 \(5\times4\times2=40\) cas, sur \(720\).

✅ \(P(A)=\dfrac{40}{720}=\dfrac1{18}\).

2.b) \(P(B)\) : « deux boules blanches et une rouge ».

Correction détaillée

🔢 Rang de la rouge : \(3\) possibilités, \(5\times4\times2=40\) cas pour chacune : \(120\) cas.

✅ \(P(B)=\dfrac{120}{720}=\dfrac16\).

2.c) \(P(C)\) : « trois boules de couleurs distinctes deux à deux ».

Correction détaillée

🔢 Une blanche, une verte, une rouge, dans n’importe quel ordre : \(3!\times5\times3\times2=180\).

✅ \(P(C)=\dfrac{180}{720}=\dfrac14\).

2.d) \(P(D)\) : « la somme des numéros des boules tirées est paire ».

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Numéros : boules « \(1\) » : \(2\) blanches, \(3\) vertes, \(1\) rouge = \(6\) ; boules « \(2\) » : \(3\) blanches, \(1\) rouge = \(4\). La somme de trois nombres égaux à \(1\) ou \(2\) vaut \(3+k\) (\(k\) = nombre de « 2 »), paire \(\iff k\) impair \(\iff k=1\) ou \(k=3\).

🔢 Étape 2 : \(k=1\) : \(3\) rangs pour le « 2 » : \(3\times4\times(6\times5)=360\). \(k=3\) : \(4\times3\times2=24\). Total \(384\).

✅ \(P(D)=\dfrac{384}{720}=\dfrac8{15}\).

3) Calculer \(p(C\cap D)\) et \(p_D(C)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(C\cap D\) : trois couleurs distinctes (B, V, R) avec somme paire. Les verts valent toujours \(1\). Il faut \(k\) impair parmi les numéros (B,R) : soit « \(2\) » pour B et « \(1\) » pour R (\(3\) blanches \(\times\) \(1\) rouge), soit « \(1\) » pour B et « \(2\) » pour R (\(2\) blanches \(\times\) \(1\) rouge). Cas favorables non ordonnés : \(3\times3\times1+2\times3\times1=15\) (verte : \(3\) choix). Ordonnés : \(15\times3!=90\).

🔢 Étape 2 : \(p(C\cap D)=\dfrac{90}{720}=\dfrac18\).

🔢 Étape 3 : \(p_D(C)=\dfrac{p(C\cap D)}{p(D)}=\dfrac{1/8}{8/15}=\dfrac{15}{64}\).

✅ \(p(C\cap D)=\dfrac18\) et \(p_D(C)=\dfrac{15}{64}\).

Exercice 31

Une urne contient deux boules blanches numérotées \(1\) et \(2\) et trois boules rouges numérotées \(1\), \(2\) et \(2\), toutes indiscernables au toucher. 1) On tire simultanément deux boules de l’urne. On note \(A\) « tirer deux boules de couleurs différentes » et \(B\) « tirer deux boules de même numéro ». 2) On tire successivement et sans remise deux boules de l’urne ; soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.

1.a) \(P(A)\) et \(P(B)\) (tirage simultané de deux boules).

Correction détaillée

📘 Méthode : Arbre pondéré : sur chaque branche on écrit la probabilité conditionnelle ; le produit le long d’un chemin donne la probabilité de l’intersection. Probabilités totales : si \(A_1,A_2,\dots,A_k\) forment une partition de \(\Omega\) (de probabilités non nulles), alors \(P(B)=P(A_1)P_{A_1}(B)+\dots+P(A_k)P_{A_k}(B)\). Bayes : \(P_B(A_i)=\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}\).

🔢 \(5\) boules, \(\operatorname{card}\Omega=C_5^2=10\). \(A\) : une blanche et une rouge : \(2\times3=6\). \(B\) : même numéro : numéro \(1\) : \(B_1,R_1\) \(\Rightarrow 1\) paire ; numéro \(2\) : \(B_2,R_2,R_2’\) \(\Rightarrow C_3^2=3\) paires ; total \(4\).

✅ \(P(A)=\dfrac6{10}=\dfrac35\), \(P(B)=\dfrac4{10}=\dfrac25\).

1.b) Sachant que les deux boules sont de couleurs différentes, probabilité qu’elles portent le même numéro.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A\cap B\) : une blanche et une rouge de même numéro : \(B_1R_1\), \(B_2R_2\), \(B_2R_2’\) : \(3\) paires, \(P(A\cap B)=\dfrac3{10}\).

🔢 Étape 2 : \(P_A(B)=\dfrac{3/10}{3/5}\).

✅ \(P_A(B)=\dfrac12\).

2) Déterminer la loi de probabilité de \(X\) (nombre de boules rouges) et calculer \(E(X)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Loi d’une variable aléatoire : on liste les valeurs \(x_i\) et les probabilités \(p_i=P(X=x_i)\) avec \(\sum p_i=1\) ; \(E(X)=\sum x_ip_i\).

🔢 Étape 1 : Tirage successif sans remise de \(2\) boules : \(5\times4=20\) cas. \(X\in\{0,1,2\}\).

🔢 Étape 2 : \(P(X=0)=\dfrac25\times\dfrac14=\dfrac1{10}\). \(P(X=2)=\dfrac35\times\dfrac24=\dfrac3{10}\). \(P(X=1)=1-\dfrac1{10}-\dfrac3{10}=\dfrac35\).

🔢 Étape 3 : \(E(X)=0\times\dfrac1{10}+1\times\dfrac35+2\times\dfrac3{10}\).

✅ Loi : \(P(X=0)=\dfrac1{10}\), \(P(X=1)=\dfrac35\), \(P(X=2)=\dfrac3{10}\) ; \(E(X)=\dfrac65\).

Exercice 32

Une urne \(A\) contient \(2\) boules rouges et \(3\) boules noires. Une urne \(B\) contient \(3\) boules rouges et \(2\) boules noires. On tire au hasard une boule de l’urne \(A\) : si elle est noire, on la place dans \(B\) ; sinon, on l’écarte du jeu. On tire ensuite au hasard une boule de l’urne \(B\). Événements : \(R_1\) « la boule tirée de \(A\) est rouge », \(N_1\) « elle est noire », \(R_2\) « la boule tirée de \(B\) est rouge », \(N_2\) « elle est noire ».

a.1) Calculer \(P(R_1)\) et \(P(N_1)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Arbre pondéré : sur chaque branche on écrit la probabilité conditionnelle ; le produit le long d’un chemin donne la probabilité de l’intersection. Probabilités totales : si \(A_1,A_2,\dots,A_k\) forment une partition de \(\Omega\) (de probabilités non nulles), alors \(P(B)=P(A_1)P_{A_1}(B)+\dots+P(A_k)P_{A_k}(B)\). Bayes : \(P_B(A_i)=\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}\).

🔢 Urne \(A\) : \(2\) rouges, \(3\) noires (\(5\) boules).

✅ \(P(R_1)=\dfrac25\), \(P(N_1)=\dfrac35\).

a.2) Calculer \(P_{R_1}(R_2)\).

Correction détaillée

🔢 Si \(R_1\) est réalisé, la boule est écartée : \(B\) reste \(3\) rouges, \(2\) noires.

✅ \(P_{R_1}(R_2)=\dfrac35\).

a.3) Calculer \(P_{N_1}(R_2)\).

Correction détaillée

🔢 Si \(N_1\) est réalisé, la noire est placée dans \(B\) : \(B\) devient \(3\) rouges, \(3\) noires (\(6\) boules).

✅ \(P_{N_1}(R_2)=\dfrac36=\dfrac12\).

b) En déduire \(P(R_2)=\dfrac{27}{50}\).

Correction détaillée

🔢 \(R_1\) et \(N_1\) forment une partition : \(P(R_2)=P(R_1)P_{R_1}(R_2)+P(N_1)P_{N_1}(R_2)=\dfrac25\times\dfrac35+\dfrac35\times\dfrac12=\dfrac6{25}+\dfrac3{10}=\dfrac{12}{50}+\dfrac{15}{50}\).

✅ \(P(R_2)=\dfrac{27}{50}\).

c) Calculer \(P(N_2)\).

Correction détaillée

🔢 \(N_2\) est le contraire de \(R_2\).

✅ \(P(N_2)=1-\dfrac{27}{50}=\dfrac{23}{50}\).

Exercice 33

Le sac \(S_1\) contient \(3\) billes jaunes et \(2\) vertes ; les sacs \(S_2,S_3,\dots\) contiennent chacun \(2\) billes jaunes et \(2\) vertes. On tire une bille de \(S_1\) et on la met dans \(S_2\), puis on tire une bille de \(S_2\) et on la met dans \(S_3\), etc. \(E_n\) : « la bille tirée dans \(S_n\) est verte » ; on pose \(u_n=P(E_n)\).

1) Calculer \(P(E_1)\), \(P_{E_1}(E_2)\), \(P_{\overline{E_1}}(E_2)\) puis \(P(E_2)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Arbre pondéré : sur chaque branche on écrit la probabilité conditionnelle ; le produit le long d’un chemin donne la probabilité de l’intersection. Probabilités totales : si \(A_1,A_2,\dots,A_k\) forment une partition de \(\Omega\) (de probabilités non nulles), alors \(P(B)=P(A_1)P_{A_1}(B)+\dots+P(A_k)P_{A_k}(B)\). Bayes : \(P_B(A_i)=\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}\).

🔢 Étape 1 : \(S_1\) : \(3\) jaunes, \(2\) vertes : \(P(E_1)=\dfrac25\).

🔢 Étape 2 : On met la bille tirée dans \(S_2\) (\(2\) jaunes, \(2\) vertes), qui contient alors \(5\) billes. Si \(E_1\) : \(3\) vertes sur \(5\) : \(P_{E_1}(E_2)=\dfrac35\). Si \(\overline{E_1}\) : \(2\) vertes sur \(5\) : \(P_{\overline{E_1}}(E_2)=\dfrac25\).

🔢 Étape 3 : \(P(E_2)=\dfrac25\times\dfrac35+\dfrac35\times\dfrac25=\dfrac6{25}+\dfrac6{25}\).

✅ \(P(E_1)=\dfrac25\), \(P_{E_1}(E_2)=\dfrac35\), \(P_{\overline{E_1}}(E_2)=\dfrac25\), \(P(E_2)=\dfrac{12}{25}\).

2) Dessiner un arbre pondéré et exprimer \(P(E_{n+1})\) en fonction de \(P(E_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Arbre : \(E_n\) (prob. \(p_n\)) \(\to E_{n+1}\) (\(\tfrac35\)) ou \(\overline{E_{n+1}}\) (\(\tfrac25\)) ; \(\overline{E_n}\) (\(1-p_n\)) \(\to E_{n+1}\) (\(\tfrac25\)) ou \(\overline{E_{n+1}}\) (\(\tfrac35\)).

🔢 Étape 2 : Pour tout \(n\geq1\), \(S_{n+1}\) contient \(2\) jaunes, \(2\) vertes et la bille venue de \(S_n\). Probabilités totales : \(p_{n+1}=\dfrac35p_n+\dfrac25(1-p_n)=\dfrac15p_n+\dfrac25\).

✅ \(P(E_{n+1})=0{,}2\,P(E_n)+0{,}4\).

3.a) Montrer que \((u_n)\) est majorée par \(0{,}5\) (\(u_1=0{,}4\) ; \(u_{n+1}=0{,}2u_n+0{,}4\)).

Correction détaillée

🔢 Récurrence : \(u_1=0{,}4\leq0{,}5\). Si \(u_n\leq0{,}5\), alors \(u_{n+1}=0{,}2u_n+0{,}4\leq0{,}1+0{,}4=0{,}5\).

✅ Pour tout \(n\geq1\), \(u_n\leq0{,}5\).

3.b) Montrer que \((u_n)\) est croissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=-0{,}8u_n+0{,}4=0{,}8(0{,}5-u_n)\geq0\) d’après a).

✅ \((u_n)\) est croissante.

3.c) Montrer que \((u_n)\) converge et calculer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Croissante et majorée \(\Rightarrow\) convergente vers \(\ell\). En passant à la limite : \(\ell=0{,}2\ell+0{,}4\), d’où \(0{,}8\ell=0{,}4\).

✅ \((u_n)\) converge et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0{,}5\).

Exercice 34

Une urne contient \(6\) boules indiscernables portant les numéros \(2,2,2,1,1,0\). On tire simultanément \(2\) boules et on note \(Y\) la somme des numéros obtenus.

1) Déterminer les valeurs prises par \(Y\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Variable aléatoire \(X\) de valeurs \(x_1,\dots,x_k\) : loi \(p_i=P(X=x_i)\) avec \(\sum p_i=1\) ; espérance \(E(X)=\sum x_ip_i\) ; variance \(V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=\sum x_i^2p_i-E(X)^2\) ; écart-type \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\).

🔢 Sommes possibles de deux boules parmi \(2,2,2,1,1,0\) : \(2+2=4\), \(2+1=3\), \(2+0=2\), \(1+1=2\), \(1+0=1\).

✅ \(Y(\Omega)=\{1,2,3,4\}\).

2) Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\operatorname{card}\Omega=C_6^2=15\).

🔢 Étape 2 : \(Y=4\) : deux « 2 » : \(C_3^2=3\). \(Y=3\) : un « 2 » et un « 1 » : \(3\times2=6\). \(Y=2\) : « 2 » et « 0 » : \(3\) ; « 1 » et « 1 » : \(1\) ; total \(4\). \(Y=1\) : « 1 » et « 0 » : \(2\). Contrôle : \(3+6+4+2=15\).

🔢 Étape 3 :

\(Y=x_i\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(p_i\)	\(\frac2{15}\)	\(\frac4{15}\)	\(\frac6{15}\)	\(\frac3{15}\)

✅ \(P(Y=1)=\dfrac2{15}\), \(P(Y=2)=\dfrac4{15}\), \(P(Y=3)=\dfrac25\), \(P(Y=4)=\dfrac15\).

3) Calculer \(E(Y)\), \(V(Y)\) et \(\sigma(Y)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(E(Y)=\dfrac{1\times2+2\times4+3\times6+4\times3}{15}=\dfrac{40}{15}\).

🔢 Étape 2 : \(E(Y^2)=\dfrac{1\times2+4\times4+9\times6+16\times3}{15}=\dfrac{120}{15}=8\).

🔢 Étape 3 : \(V(Y)=8-\left(\dfrac83\right)^2=8-\dfrac{64}9\).

✅ \(E(Y)=\dfrac83\), \(V(Y)=\dfrac89\), \(\sigma(Y)=\dfrac{2\sqrt2}3\).

Exercice 35

La loi de probabilité d’une variable aléatoire \(X\) est donnée par : \(x_i=-1,0,2,4\) avec \(P(X=x_i)=\dfrac13,\dfrac14,a,\dfrac16\).

1) Calculer \(P(X=2)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Variable aléatoire \(X\) de valeurs \(x_1,\dots,x_k\) : loi \(p_i=P(X=x_i)\) avec \(\sum p_i=1\) ; espérance \(E(X)=\sum x_ip_i\) ; variance \(V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=\sum x_i^2p_i-E(X)^2\) ; écart-type \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\).

🔢 La somme des probabilités vaut \(1\) : \(\dfrac13+\dfrac14+a+\dfrac16=1\), soit \(a=1-\dfrac{4+3+2}{12}\).

✅ \(P(X=2)=a=\dfrac14\).

2) Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(E(X)=-1\times\dfrac13+0\times\dfrac14+2\times\dfrac14+4\times\dfrac16=-\dfrac13+\dfrac12+\dfrac23=\dfrac56\).

🔢 Étape 2 : \(E(X^2)=1\times\dfrac13+0+4\times\dfrac14+16\times\dfrac16=\dfrac13+1+\dfrac83=4\).

🔢 Étape 3 : \(V(X)=4-\dfrac{25}{36}=\dfrac{119}{36}\).

✅ \(E(X)=\dfrac56\), \(V(X)=\dfrac{119}{36}\), \(\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{119}}6\).

Exercice 36

Une urne contient \(6\) boules portant les numéros \(-1,-1,0,1,1,2\). On tire simultanément \(2\) boules et on note \(Z\) la somme des numéros obtenus.

1) Déterminer les valeurs prises par \(Z\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Variable aléatoire \(X\) de valeurs \(x_1,\dots,x_k\) : loi \(p_i=P(X=x_i)\) avec \(\sum p_i=1\) ; espérance \(E(X)=\sum x_ip_i\) ; variance \(V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=\sum x_i^2p_i-E(X)^2\) ; écart-type \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\).

🔢 Boules \(-1,-1,0,1,1,2\). Sommes : \(-1-1=-2\), \(-1+0=-1\), \(-1+1=0\), \(-1+2=1\), \(0+1=1\), \(0+2=2\), \(1+1=2\), \(1+2=3\).

✅ \(Z(\Omega)=\{-2,-1,0,1,2,3\}\).

2) Déterminer la loi de \(Z\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\operatorname{card}\Omega=C_6^2=15\).

🔢 Étape 2 : \(Z=-2\) : \(\{-1,-1\}\) : \(1\). \(Z=-1\) : \(\{-1,0\}\) : \(2\). \(Z=0\) : \(\{-1,1\}\) : \(2\times2=4\). \(Z=1\) : \(\{-1,2\}\) : \(2\) ; \(\{0,1\}\) : \(2\) ; total \(4\). \(Z=2\) : \(\{0,2\}\) : \(1\) ; \(\{1,1\}\) : \(1\) ; total \(2\). \(Z=3\) : \(\{1,2\}\) : \(2\). Contrôle : \(1+2+4+4+2+2=15\).

🔢 Étape 3 :

\(Z=x_i\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(p_i\)	\(\frac1{15}\)	\(\frac2{15}\)	\(\frac4{15}\)	\(\frac4{15}\)	\(\frac2{15}\)	\(\frac2{15}\)

✅ Loi donnée dans le tableau ci-dessus.

3) Calculer \(E(Z)\), \(V(Z)\), \(\sigma(Z)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(E(Z)=\dfrac{-2-2+0+4+4+6}{15}=\dfrac{10}{15}=\dfrac23\).

🔢 Étape 2 : \(E(Z^2)=\dfrac{4+2+0+4+8+18}{15}=\dfrac{36}{15}=\dfrac{12}5\).

🔢 Étape 3 : \(V(Z)=\dfrac{12}5-\dfrac49=\dfrac{108-20}{45}\).

✅ \(E(Z)=\dfrac23\), \(V(Z)=\dfrac{88}{45}\), \(\sigma(Z)=\sqrt{\dfrac{88}{45}}=\dfrac{2\sqrt{110}}{15}\).

Exercice 37

Une urne contient \(9\) jetons numérotés de \(1\) à \(9\). On tire successivement et sans remise \(3\) jetons ; \(X\) est le nombre de jetons portant un chiffre impair.

1) Déterminer les valeurs prises par \(X\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Variable aléatoire \(X\) de valeurs \(x_1,\dots,x_k\) : loi \(p_i=P(X=x_i)\) avec \(\sum p_i=1\) ; espérance \(E(X)=\sum x_ip_i\) ; variance \(V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=\sum x_i^2p_i-E(X)^2\) ; écart-type \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\).

🔢 Jetons \(1\) à \(9\) : impairs \(1,3,5,7,9\) (\(5\) jetons), pairs \(2,4,6,8\) (\(4\) jetons). On tire \(3\) jetons : \(X\) est le nombre d’impairs.

✅ \(X(\Omega)=\{0,1,2,3\}\).

2) Déterminer la loi de \(X\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Tirage sans remise de \(3\) jetons parmi \(9\) : on raisonne sur les sous-ensembles (\(C_9^3=84\)), le résultat étant le même.

🔢 Étape 2 : \(P(X=0)=\dfrac{C_4^3}{84}=\dfrac4{84}=\dfrac1{21}\). \(P(X=1)=\dfrac{C_5^1C_4^2}{84}=\dfrac{30}{84}=\dfrac5{14}\). \(P(X=2)=\dfrac{C_5^2C_4^1}{84}=\dfrac{40}{84}=\dfrac{10}{21}\). \(P(X=3)=\dfrac{C_5^3}{84}=\dfrac{10}{84}=\dfrac5{42}\).

🔢 Étape 3 :

\(X=x_i\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(p_i\)	\(\frac1{21}\)	\(\frac5{14}\)	\(\frac{10}{21}\)	\(\frac5{42}\)

✅ Contrôle : \(\dfrac4{84}+\dfrac{30}{84}+\dfrac{40}{84}+\dfrac{10}{84}=1\).

3) Calculer \(E(X)\), \(V(X)\), \(\sigma(X)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(E(X)=\dfrac{30+80+30}{84}=\dfrac{140}{84}=\dfrac53\).

🔢 Étape 2 : \(E(X^2)=\dfrac{30+160+90}{84}=\dfrac{280}{84}=\dfrac{10}3\).

🔢 Étape 3 : \(V(X)=\dfrac{10}3-\dfrac{25}9=\dfrac59\).

✅ \(E(X)=\dfrac53\), \(V(X)=\dfrac59\), \(\sigma(X)=\dfrac{\sqrt5}3\).

Exercice 38

Une urne contient \(8\) boules : \(3\) portent le numéro \(1\), \(1\) porte le numéro \(0\) et les autres portent le numéro \(2\). On tire simultanément \(2\) boules ; \(X\) est le produit des numéros obtenus.

1) Déterminer les valeurs prises par \(X\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Variable aléatoire \(X\) de valeurs \(x_1,\dots,x_k\) : loi \(p_i=P(X=x_i)\) avec \(\sum p_i=1\) ; espérance \(E(X)=\sum x_ip_i\) ; variance \(V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=\sum x_i^2p_i-E(X)^2\) ; écart-type \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\).

🔢 Boules : \(3\) portent \(1\), \(1\) porte \(0\), \(4\) portent \(2\). Produits possibles : \(0\), \(1\times1=1\), \(1\times2=2\), \(2\times2=4\).

✅ \(X(\Omega)=\{0,1,2,4\}\).

2) Déterminer la loi de \(X\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\operatorname{card}\Omega=C_8^2=28\).

🔢 Étape 2 : \(X=0\) : la boule \(0\) avec une autre : \(7\). \(X=1\) : \(C_3^2=3\). \(X=2\) : \(3\times4=12\). \(X=4\) : \(C_4^2=6\). Contrôle : \(7+3+12+6=28\).

🔢 Étape 3 :

\(X=x_i\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(p_i\)	\(\frac14\)	\(\frac3{28}\)	\(\frac37\)	\(\frac3{14}\)

✅ Loi donnée dans le tableau ci-dessus.

3) Calculer \(E(X)\), \(V(X)\), \(\sigma(X)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(E(X)=\dfrac{0\times7+1\times3+2\times12+4\times6}{28}=\dfrac{51}{28}\).

🔢 Étape 2 : \(E(X^2)=\dfrac{3+4\times12+16\times6}{28}=\dfrac{147}{28}=\dfrac{21}4\).

🔢 Étape 3 : \(V(X)=\dfrac{21}4-\dfrac{2601}{784}=\dfrac{4116-2601}{784}\).

✅ \(E(X)=\dfrac{51}{28}\), \(V(X)=\dfrac{1515}{784}\), \(\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{1515}}{28}\).

Exercice 39

Une urne contient \(2\) boules noires et \(8\) boules blanches. 1) Un joueur tire successivement \(5\) boules en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage : s’il tire une boule blanche, il gagne \(2\) points, dans le cas contraire il perd trois points. Soit \(X\) le nombre de points obtenus par le joueur en une partie. 2) Le joueur tire \(5\) boules simultanément, les \(10\) boules de l’urne étant numérotées de \(1\) à \(10\).

1.a) Dresser le tableau définissant la loi de \(X\).

Correction détaillée

⚠️ Énoncé source ambigu : la règle « blanche : +2 points, sinon −3 » est lue à chaque tirage (X = points cumulés sur les 5 tirages).

📘 Méthode : Variable aléatoire \(X\) de valeurs \(x_1,\dots,x_k\) : loi \(p_i=P(X=x_i)\) avec \(\sum p_i=1\) ; espérance \(E(X)=\sum x_ip_i\) ; variance \(V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=\sum x_i^2p_i-E(X)^2\) ; écart-type \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\).

🔢 Étape 1 : À chaque tirage (avec remise) : blanche avec probabilité \(\dfrac8{10}=\dfrac45\) (gain \(2\)), noire avec probabilité \(\dfrac15\) (perte \(3\)). Soit \(k\) le nombre de blanches sur \(5\) tirages : \(k\) suit \(\mathcal B(5,\tfrac45)\) et \(X=2k-3(5-k)=5k-15\).

🔢 Étape 2 : \(P(X=5k-15)=C_5^k\left(\dfrac45\right)^k\left(\dfrac15\right)^{5-k}=\dfrac{C_5^k4^k}{3125}\) :

🔢 Étape 3 :

\(X=x_i\)	\(-15\)	\(-10\)	\(-5\)	\(0\)	\(5\)	\(10\)
\(p_i\)	\(\frac1{3125}\)	\(\frac{20}{3125}\)	\(\frac{160}{3125}\)	\(\frac{640}{3125}\)	\(\frac{1280}{3125}\)	\(\frac{1024}{3125}\)

✅ Loi donnée dans le tableau (somme \(=\dfrac{3125}{3125}=1\)).

1.b) Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(k\sim\mathcal B(5,0{,}8)\) : \(E(k)=5\times0{,}8=4\), \(V(k)=5\times0{,}8\times0{,}2=0{,}8\).

🔢 Étape 2 : \(X=5k-15\) : \(E(X)=5\times4-15=5\) et \(V(X)=5^2\times0{,}8=20\).

✅ \(E(X)=5\), \(V(X)=20\).

2) Soit \(Y\) le plus grand des numéros tirés : déterminer la loi de \(Y\) et calculer \(E(Y)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\operatorname{card}\Omega=C_{10}^5=252\). \(Y\in\{5,\dots,10\}\).

🔢 Étape 2 : \(Y=k\) : le numéro \(k\) est tiré et les \(4\) autres sont parmi \(1,\dots,k-1\) : \(P(Y=k)=\dfrac{C_{k-1}^4}{252}\).

🔢 Étape 3 :

\(Y=k\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
\(C_{k-1}^4\)	1	5	15	35	70	126
\(P(Y=k)\)	\(\frac1{252}\)	\(\frac5{252}\)	\(\frac{15}{252}\)	\(\frac{35}{252}\)	\(\frac{70}{252}\)	\(\frac{126}{252}\)

🔢 Étape 4 : \(E(Y)=\dfrac{5+30+105+280+630+1260}{252}=\dfrac{2310}{252}\).

✅ \(E(Y)=\dfrac{55}6\).

Exercice 40

Une urne contient \(6\) boules blanches et \(4\) boules noires, indiscernables au toucher. Les boules blanches sont numérotées \(-1,-1,0,1,1,1\) et les boules noires \(-1,0,1,1\). On tire simultanément et au hasard \(3\) boules de l’urne. \(A\) : « les \(3\) boules tirées sont de même couleur » ; \(B\) : « les \(3\) boules tirées sont de même numéro » ; \(C\) : « les \(3\) boules tirées sont de même numéro et de même couleur ».

1.a) Calculer \(p(A)\), \(p(B)\) et \(p(C)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Variable aléatoire \(X\) de valeurs \(x_1,\dots,x_k\) : loi \(p_i=P(X=x_i)\) avec \(\sum p_i=1\) ; espérance \(E(X)=\sum x_ip_i\) ; variance \(V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=\sum x_i^2p_i-E(X)^2\) ; écart-type \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\).

🔢 Étape 1 : \(10\) boules : \(\operatorname{card}\Omega=C_{10}^3=120\). Numéros des blanches : \(-1,-1,0,1,1,1\) ; des noires : \(-1,0,1,1\).

🔢 Étape 2 : \(A\) : \(C_6^3+C_4^3=20+4=24\). \(B\) : numéro \(-1\) : \(3\) boules \(\Rightarrow C_3^3=1\) ; numéro \(0\) : \(2\) boules \(\Rightarrow0\) ; numéro \(1\) : \(5\) boules \(\Rightarrow C_5^3=10\) ; total \(11\). \(C\) (même couleur et même numéro) : \(3\) blanches de numéro \(1\) : \(1\) cas (les autres groupes ont moins de \(3\) boules).

✅ \(p(A)=\dfrac{24}{120}=\dfrac15\), \(p(B)=\dfrac{11}{120}\), \(p(C)=\dfrac1{120}\).

1.b) En déduire que \(p(A\cup B)=\dfrac{17}{60}\).

Correction détaillée

🔢 \(C=A\cap B\). \(p(A\cup B)=\dfrac{24}{120}+\dfrac{11}{120}-\dfrac1{120}=\dfrac{34}{120}\).

✅ \(p(A\cup B)=\dfrac{17}{60}\).

2.a) \(p(D)\), \(D\) : « au moins une boule numérotée \(1\) ».

Correction détaillée

🔢 Contraire : aucune boule \(1\) : les boules non numérotées \(1\) sont \(5\) (\(-1,-1,0\) blanches ; \(-1,0\) noires) : \(C_5^3=10\).

✅ \(p(D)=1-\dfrac{10}{120}=\dfrac{11}{12}\).

2.b) \(p(E)\), \(E\) : « la somme des numéros inscrits sur les boules tirées est égale à \(0\) ».

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Numéros : \(-1\) (\(3\) boules), \(0\) (\(2\) boules), \(1\) (\(5\) boules). Somme nulle \(\iff\) un \(-1\), un \(0\), un \(1\) (\(0+0+0\) impossible : seulement deux « 0 »).

🔢 Étape 2 : \(3\times2\times5=30\) cas.

✅ \(p(E)=\dfrac{30}{120}=\dfrac14\).

3) On tire au hasard une première boule : si elle porte \(0\), on ne la remet pas dans l’urne et on tire une deuxième boule ; sinon on la remet dans l’urne et on tire une deuxième boule. \(M\) : « la première boule porte \(0\) » ; \(N\) : « la deuxième boule porte \(1\) ». Calculer \(p(N)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(p(M)=\dfrac2{10}=\dfrac15\) et \(p(\overline M)=\dfrac45\).

🔢 Étape 2 : Si \(M\) : l’urne contient \(9\) boules dont \(5\) portent \(1\) : \(p_M(N)=\dfrac59\). Si \(\overline M\) : la première est remise, l’urne a \(10\) boules dont \(5\) portent \(1\) : \(p_{\overline M}(N)=\dfrac12\).

🔢 Étape 3 : Probabilités totales : \(p(N)=\dfrac15\times\dfrac59+\dfrac45\times\dfrac12=\dfrac19+\dfrac25\).

✅ \(p(N)=\dfrac{5+18}{45}=\dfrac{23}{45}\).

Exercice 41

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenus.

1) Dresser l’arbre des résultats possibles.

Correction détaillée

📘 Méthode : Loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\) : on répète \(n\) fois, de façon indépendante, la même épreuve à deux issues (succès de probabilité \(p\)). Si \(X\) est le nombre de succès : \(P(X=k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}\) pour \(k\in\{0,\dots,n\}\) ; \(E(X)=np\) ; \(V(X)=np(1-p)\).

🔢 Trois lancers successifs, chacun \(P\) ou \(F\) avec la probabilité \(\dfrac12\) : \(8\) chemins \(PPP,PPF,PFP,PFF,FPP,FPF,FFP,FFF\), chacun de probabilité \(\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18\).

✅ Arbre à \(3\) niveaux, \(8\) issues équiprobables.

2) Déterminer la loi de probabilité de \(X\) (nombre de piles).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(X=0\) : \(FFF\) ; \(X=1\) : \(PFF,FPF,FFP\) ; \(X=2\) : \(PPF,PFP,FPP\) ; \(X=3\) : \(PPP\).

🔢 Étape 2 : On retrouve la loi binomiale \(\mathcal B\!\left(3,\dfrac12\right)\) : \(P(X=k)=C_3^k\left(\dfrac12\right)^3\).

🔢 Étape 3 :

\(X=k\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(P(X=k)\)	\(\frac18\)	\(\frac38\)	\(\frac38\)	\(\frac18\)

✅ \(P(X=0)=\dfrac18,\ P(X=1)=\dfrac38,\ P(X=2)=\dfrac38,\ P(X=3)=\dfrac18\).

3) Calculer \(E(X)\) et l’interpréter.

Correction détaillée

🔢 \(E(X)=0\times\dfrac18+1\times\dfrac38+2\times\dfrac38+3\times\dfrac18=\dfrac{12}8\). On retrouve \(np=3\times\dfrac12\).

✅ \(E(X)=\dfrac32\) : en répétant l’expérience un très grand nombre de fois, on obtient en moyenne \(1{,}5\) pile par série de \(3\) lancers.

Exercice 42

Un élève répond au hasard aux dix questions d’un Q.C.M. Pour chaque question, cinq réponses sont proposées dont une seule est exacte. \(X\) est la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses.

1) Montrer que la loi de probabilité de \(X\) est une loi binomiale.

Correction détaillée

📘 Méthode : Loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\) : on répète \(n\) fois, de façon indépendante, la même épreuve à deux issues (succès de probabilité \(p\)). Si \(X\) est le nombre de succès : \(P(X=k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}\) pour \(k\in\{0,\dots,n\}\) ; \(E(X)=np\) ; \(V(X)=np(1-p)\).

🔢 Étape 1 : Chaque question est une épreuve à deux issues : « bonne réponse » (succès) avec probabilité \(p=\dfrac15\) (une seule réponse exacte sur \(5\)), ou échec \(\dfrac45\).

🔢 Étape 2 : Les \(10\) questions sont répondues au hasard et indépendamment : \(10\) répétitions identiques et indépendantes. \(X\) compte les succès.

✅ \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal B\!\left(10,\dfrac15\right)\) : \(P(X=k)=C_{10}^k\left(\dfrac15\right)^k\left(\dfrac45\right)^{10-k}\).

2) Calculer la probabilité d’avoir au moins cinq bonnes réponses.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(P(X\geq5)=\displaystyle\sum_{k=5}^{10}C_{10}^k\frac{4^{10-k}}{5^{10}}\).

🔢 Étape 2 : Numérateur : \(252\times1024+210\times256+120\times64+45\times16+10\times4+1=258048+53760+7680+720+40+1=320249\).

✅ \(P(X\geq5)=\dfrac{320\,249}{9\,765\,625}\approx0{,}033\) (environ \(3{,}3\,\%\)).

3) Calculer l’espérance mathématique du nombre de bonnes réponses.

Correction détaillée

🔢 \(E(X)=np=10\times\dfrac15\).

✅ \(E(X)=2\) bonnes réponses en moyenne (et \(V(X)=10\times\dfrac15\times\dfrac45=\dfrac85\)).

Exercice 43

Une urne contient \(9\) boules indiscernables au toucher : cinq boules rouges numérotées \(1;1;2;2;2\) et quatre boules blanches numérotées \(1;2;2;2\). 1) On tire au hasard simultanément trois boules de l’urne. \(A\) : « les \(3\) boules tirées sont de même couleur » ; \(B\) : « les \(3\) boules tirées portent le même numéro » ; \(C\) : « les \(3\) boules tirées sont de même numéro et de même couleur ». 2) On répète trois fois, avec remise, l’expérience précédente, et on considère la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de réalisations de l’événement \(A\).

1.a) Calculer \(p(A)\), \(p(B)\) et \(p(C)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\) : on répète \(n\) fois, de façon indépendante, la même épreuve à deux issues (succès de probabilité \(p\)). Si \(X\) est le nombre de succès : \(P(X=k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}\) pour \(k\in\{0,\dots,n\}\) ; \(E(X)=np\) ; \(V(X)=np(1-p)\).

🔢 Étape 1 : \(9\) boules : \(5\) rouges (numéros \(1,1,2,2,2\)) et \(4\) blanches (numéros \(1,2,2,2\)). \(\operatorname{card}\Omega=C_9^3=84\).

🔢 Étape 2 : \(A\) (même couleur) : \(C_5^3+C_4^3=10+4=14\) \(\Rightarrow p(A)=\dfrac{14}{84}=\dfrac16\).

🔢 Étape 3 : \(B\) (même numéro) : numéro \(1\) : \(3\) boules \(\Rightarrow1\) ; numéro \(2\) : \(6\) boules \(\Rightarrow C_6^3=20\) ; total \(21\) \(\Rightarrow p(B)=\dfrac{21}{84}=\dfrac14\).

🔢 Étape 4 : \(C\) (même couleur et même numéro) : \(3\) rouges de numéro \(2\) : \(C_3^3=1\) ; \(3\) blanches de numéro \(2\) : \(C_3^3=1\) ; rouges de numéro \(1\) : seulement \(2\). Total \(2\) \(\Rightarrow p(C)=\dfrac2{84}=\dfrac1{42}\).

✅ \(p(A)=\dfrac16\), \(p(B)=\dfrac14\), \(p(C)=\dfrac1{42}\).

2.a) Déterminer les paramètres de la variable aléatoire \(X\).

Correction détaillée

🔢 On répète \(3\) fois, avec remise, la même épreuve : les répétitions sont indépendantes. À chaque fois, le succès « \(A\) est réalisé » a la probabilité \(p(A)=\dfrac16\).

✅ \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal B\!\left(3,\dfrac16\right)\) : \(n=3\), \(p=\dfrac16\).

2.b) Montrer que \(P(X=1)=\dfrac{25}{72}\) et calculer \(P(X=2)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(P(X=1)=C_3^1\times\dfrac16\times\left(\dfrac56\right)^2=3\times\dfrac{25}{216}=\dfrac{75}{216}=\dfrac{25}{72}\).

🔢 Étape 2 : \(P(X=2)=C_3^2\times\left(\dfrac16\right)^2\times\dfrac56=3\times\dfrac5{216}=\dfrac{15}{216}\).

✅ \(P(X=1)=\dfrac{25}{72}\) et \(P(X=2)=\dfrac5{72}\).

Exercices corrigés de probabilités 2ème Bac

Probabilités · Série de synthèse 2ème Bac