Cette série de calcul intégral 2ème Bac (PC et SVT) rassemble des exercices de synthèse : primitives et intégrales, intégration par parties, valeur moyenne, calcul d’aires et de volumes de solides de révolution. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.

Exercices corrigés de calcul intégral 2ème Bac

Calcul intégral · Série de synthèse 2ème Bac

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

1) \(I=\displaystyle\int_2^43x\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On cherche une primitive \(F\) de la fonction puis on calcule \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left[F(x)\right]_a^b\). Primitives usuelles : \(x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\), \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\), \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\), \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\), \(\dfrac{u’}{\sqrt u}\to2\sqrt u\), \(u’e^u\to e^u\).

🔢 \(I=\left[\dfrac{3x^2}{2}\right]_2^4=\dfrac{3\times16}{2}-\dfrac{3\times4}2=24-6\).

✅ \(I=18\).

2) \(J=\displaystyle\int_0^1(2x+3)\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(J=\left[x^2+3x\right]_0^1=1+3\).

✅ \(J=4\).

3) \(K=\displaystyle\int_e^{e^2}\dfrac1t\,dt\).

Correction détaillée

🔢 \(K=\left[\ln t\right]_e^{e^2}=\ln e^2-\ln e=2-1\).

✅ \(K=1\).

4) \(L=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\cos(2\theta)\,d\theta\).

Correction détaillée

🔢 \(L=\left[\dfrac{\sin2\theta}{2}\right]_0^{\frac\pi4}=\dfrac{\sin\frac\pi2}2-0\).

✅ \(L=\dfrac12\).

Exercice 2

Calculer les intégrales suivantes :

1) \(I_1=\displaystyle\int_0^2(2x-1)\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I_1=\left[x^2-x\right]_0^2=4-2\).

✅ \(I_1=2\).

2) \(I_2=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(x^4-4x^3+2\right)dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I_2=\left[\dfrac{x^5}5-x^4+2x\right]_{-1}^1=\left(\dfrac15-1+2\right)-\left(-\dfrac15-1-2\right)\).

✅ \(I_2=\dfrac{22}5\).

3) \(I_3=\displaystyle\int_1^2\dfrac1{x^2}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I_3=\left[-\dfrac1x\right]_1^2=-\dfrac12+1\).

✅ \(I_3=\dfrac12\).

4) \(I_4=\displaystyle\int_0^{\ln2}e^{2t}\,dt\).

Correction détaillée

🔢 \(I_4=\left[\dfrac{e^{2t}}2\right]_0^{\ln2}=\dfrac{e^{2\ln2}-1}2=\dfrac{4-1}2\).

✅ \(I_4=\dfrac32\).

5) \(I_5=\displaystyle\int_0^{\sqrt{\ln2}}te^{-t^2}\,dt\).

Correction détaillée

🔢 \(te^{-t^2}=-\dfrac12\left(-2t\right)e^{-t^2}\) donc \(I_5=\left[-\dfrac12e^{-t^2}\right]_0^{\sqrt{\ln2}}=-\dfrac12\left(e^{-\ln2}-1\right)=-\dfrac12\left(\dfrac12-1\right)\).

✅ \(I_5=\dfrac14\).

6) \(I_6=\displaystyle\int_1^e\dfrac{\ln^2x}{x}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{\ln^2x}x=u’u^2\) avec \(u=\ln x\) : \(I_6=\left[\dfrac{\ln^3x}3\right]_1^e\).

✅ \(I_6=\dfrac13\).

7) \(I_7=\displaystyle\int_0^{\ln2}\dfrac{e^x}{e^x+1}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{e^x}{e^x+1}=\dfrac{u’}u\) avec \(u=e^x+1>0\) : \(I_7=\left[\ln(e^x+1)\right]_0^{\ln2}=\ln3-\ln2\).

✅ \(I_7=\ln\dfrac32\).

8) \(I_8=\displaystyle\int_{\ln2}^{\ln3}\dfrac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Le numérateur est la dérivée du dénominateur : \(I_8=\left[\ln\left(e^x-e^{-x}\right)\right]_{\ln2}^{\ln3}=\ln\left(3-\dfrac13\right)-\ln\left(2-\dfrac12\right)=\ln\dfrac83-\ln\dfrac32\).

✅ \(I_8=\ln\dfrac{16}9\).

9) \(I_9=\displaystyle\int_1^e\dfrac{\ln x}{x}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I_9=\left[\dfrac{\ln^2x}2\right]_1^e\).

✅ \(I_9=\dfrac12\).

10) \(I_{10}=\displaystyle\int_2^3\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x-4}}\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes sont peu lisibles sur le scan ; lues \(2\) et \(3\) (avec la borne \(1\), \(x^2+3x-4=0\) et l’intégrale serait impropre).

🔢 \(2x+3=\left(x^2+3x-4\right)’\), donc \(I_{10}=\left[2\sqrt{x^2+3x-4}\right]_2^3=2\sqrt{14}-2\sqrt6\).

✅ \(I_{10}=2\left(\sqrt{14}-\sqrt6\right)\).

11) \(I_{11}=\displaystyle\int_0^1\sqrt{2x+1}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I_{11}=\left[\dfrac13(2x+1)^{\frac32}\right]_0^1=\dfrac{3\sqrt3-1}3\).

✅ \(I_{11}=\sqrt3-\dfrac13\).

12) \(I_{12}=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos x\sin^3x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\cos x\sin^3x=u’u^3\) avec \(u=\sin x\) : \(I_{12}=\left[\dfrac{\sin^4x}4\right]_0^{\frac\pi2}\).

✅ \(I_{12}=\dfrac14\).

13) \(I_{13}=\displaystyle\int_2^3\dfrac3{(3x-4)^3}\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes ne sont pas nettes ; lues \(2\) et \(3\) (sur \([1,2]\), \(3x-4\) s’annule en \(\frac43\) et l’intégrale serait impropre).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac3{(3x-4)^3}=-\dfrac12\left[(3x-4)^{-2}\right]’\) (car \(\left[(3x-4)^{-2}\right]’=-6(3x-4)^{-3}\)).

🔢 Étape 2 : \(I_{13}=-\dfrac12\left[\dfrac1{(3x-4)^2}\right]_2^3=-\dfrac12\left(\dfrac1{25}-\dfrac14\right)\).

✅ \(I_{13}=\dfrac{21}{200}\).

14) \(I_{14}=\displaystyle\int_0^{\frac\pi3}(2-\cos3x)\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I_{14}=\left[2x-\dfrac{\sin3x}3\right]_0^{\frac\pi3}=\dfrac{2\pi}3-\dfrac{\sin\pi}3\).

✅ \(I_{14}=\dfrac{2\pi}3\).

15) \(I_{15}=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\cos^2x\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Linéarisation : \(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}2\) et \(\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}2\).

🔢 \(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}2\), donc \(I_{15}=\left[\dfrac x2+\dfrac{\sin2x}4\right]_0^{\frac\pi4}\).

✅ \(I_{15}=\dfrac\pi8+\dfrac14\).

16) \(I_{16}=\displaystyle\int_0^1\left(\dfrac1{(x+1)^2}+\dfrac1{2x+1}\right)dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I_{16}=\left[-\dfrac1{x+1}+\dfrac12\ln(2x+1)\right]_0^1=\left(-\dfrac12+\dfrac12\ln3\right)-(-1)\).

✅ \(I_{16}=\dfrac12+\dfrac12\ln3\).

17) \(I_{17}=\displaystyle\int_1^e\dfrac{\ln^3x}{x}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I_{17}=\left[\dfrac{\ln^4x}4\right]_1^e\).

✅ \(I_{17}=\dfrac14\).

18) \(I_{18}=\displaystyle\int_0^1(x-1)e^{(x-1)^2}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((x-1)e^{(x-1)^2}=\dfrac12u’e^u\) avec \(u=(x-1)^2\), \(u’=2(x-1)\).

🔢 Étape 2 : \(I_{18}=\left[\dfrac12e^{(x-1)^2}\right]_0^1=\dfrac12(1-e)\).

✅ \(I_{18}=\dfrac{1-e}2\).

19) \(I_{19}=\displaystyle\int_1^2\dfrac1{x(1+\ln x)}\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ La borne inférieure est peu lisible ; lue \(1\) (valeur naturelle car \(1+\ln x>0\) pour \(x\geq1\)).

🔢 \(\dfrac1{x(1+\ln x)}=\dfrac{u’}u\) avec \(u=1+\ln x>0\) : \(I_{19}=\left[\ln(1+\ln x)\right]_1^2\).

✅ \(I_{19}=\ln(1+\ln2)\).

20) \(I_{20}=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}(\tan x)^2\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}-1=\left(\tan x\right)’-1\).

🔢 Étape 2 : \(I_{20}=\left[\tan x-x\right]_0^{\frac\pi4}=1-\dfrac\pi4\).

✅ \(I_{20}=1-\dfrac\pi4\).

21) \(I_{21}=\displaystyle\int_1^e\dfrac{8x^9-4x+2}{x}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{8x^9-4x+2}x=8x^8-4+\dfrac2x\).

🔢 Étape 2 : \(I_{21}=\left[\dfrac89x^9-4x+2\ln x\right]_1^e=\left(\dfrac89e^9-4e+2\right)-\left(\dfrac89-4\right)\).

✅ \(I_{21}=\dfrac89e^9-4e+\dfrac{46}9\).

Exercice 3

Calculer les intégrales suivantes :

1) \(I=\displaystyle\int_0^3|x-1|\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour une valeur absolue, on étudie le signe de l’expression à l’intérieur, on sépare l’intervalle d’intégration en sous-intervalles où le signe est constant (relation de Chasles), puis on intègre sans valeur absolue.

🔢 Étape 1 : \(|x-1|=1-x\) sur \([0,1]\) et \(x-1\) sur \([1,3]\).

🔢 Étape 2 : \(I=\displaystyle\int_0^1(1-x)\,dx+\int_1^3(x-1)\,dx=\left[x-\dfrac{x^2}2\right]_0^1+\left[\dfrac{x^2}2-x\right]_1^3=\dfrac12+2\).

✅ \(I=\dfrac52\).

2) \(J=\displaystyle\int_{-2}^0\left|x(x+1)\right|dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x(x+1)\geq0\) sur \([-2,-1]\) et \(\leq0\) sur \([-1,0]\).

🔢 Étape 2 : \(J=\displaystyle\int_{-2}^{-1}\left(x^2+x\right)dx-\int_{-1}^0\left(x^2+x\right)dx\).

🔢 Étape 3 : Avec \(F(x)=\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^2}2\) : \(F(-1)=\dfrac16\), \(F(-2)=-\dfrac23\), \(F(0)=0\). Donc \(J=\left(\dfrac16+\dfrac23\right)-\left(0-\dfrac16\right)\).

✅ \(J=1\).

Exercice 4

Calculer les intégrales suivantes :

1) \(I=\displaystyle\int_1^3\dfrac{|x-2|}{\left(x^2-4x\right)^2}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Posons \(g(x)=\dfrac1{x^2-4x}\) ; \(g'(x)=-\dfrac{2(x-2)}{\left(x^2-4x\right)^2}\), donc \(\dfrac{x-2}{\left(x^2-4x\right)^2}=-\dfrac12g'(x)\).

🔢 Étape 2 : Sur \([1,2]\), \(|x-2|=2-x\) ; sur \([2,3]\), \(|x-2|=x-2\).

🔢 Étape 3 : \(I=\dfrac12\left[g\right]_1^2-\dfrac12\left[g\right]_2^3\) avec \(g(1)=-\dfrac13\), \(g(2)=-\dfrac14\), \(g(3)=-\dfrac13\).

🔢 Étape 4 : \(I=\dfrac12\left(-\dfrac14+\dfrac13\right)-\dfrac12\left(-\dfrac13+\dfrac14\right)=\dfrac1{24}+\dfrac1{24}\).

✅ \(I=\dfrac1{12}\).

2) \(I=\displaystyle\int_0^{\ln3}\left|2-e^x\right|dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2-e^x\geq0\iff x\leq\ln2\).

🔢 Étape 2 : \(I=\displaystyle\int_0^{\ln2}\left(2-e^x\right)dx+\int_{\ln2}^{\ln3}\left(e^x-2\right)dx=\left[2x-e^x\right]_0^{\ln2}+\left[e^x-2x\right]_{\ln2}^{\ln3}\).

🔢 Étape 3 : \(=(2\ln2-2+1)+(3-2\ln3-2+2\ln2)=4\ln2-2\ln3\).

✅ \(I=\ln\dfrac{16}9\).

3) \(I=\displaystyle\int_0^2\left|x^2-x-2\right|dx\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes de la dernière intégrale sont peu nettes ; lues \(0\) et \(2\) (les racines de \(x^2-x-2\) sont \(-1\) et \(2\)).

🔢 Étape 1 : \(x^2-x-2=(x+1)(x-2)\leq0\) sur \([0,2]\).

🔢 Étape 2 : \(I=\displaystyle\int_0^2\left(-x^2+x+2\right)dx=\left[-\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^2}2+2x\right]_0^2=-\dfrac83+2+4\).

✅ \(I=\dfrac{10}3\).

Exercice 5

Calculer les intégrales suivantes :

1) \(I_1=\displaystyle\int_0^2\left(-2x^2+4x\right)dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On cherche une primitive \(F\) de la fonction puis \(\displaystyle\int_a^bf=F(b)-F(a)\). Primitives usuelles : \(x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\), \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\), \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\), \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\), \(\dfrac{u’}{\sqrt u}\to2\sqrt u\), \(u’e^u\to e^u\).

🔢 \(I_1=\left[-\dfrac{2x^3}3+2x^2\right]_0^2=-\dfrac{16}3+8\).

✅ \(I_1=\dfrac83\).

2) \(I_2=\displaystyle\int_0^1\left(x+e^x\right)dx\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes sont minuscules sur le scan ; lues \(0\) et \(1\).

🔢 \(I_2=\left[\dfrac{x^2}2+e^x\right]_0^1=\dfrac12+e-1\).

✅ \(I_2=e-\dfrac12\).

3) \(I_3=\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{2x+1}}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac1{\sqrt{2x+1}}=\dfrac{u’}{\sqrt u}\times\dfrac12\) avec \(u=2x+1\) : \(I_3=\left[\sqrt{2x+1}\right]_0^1\).

✅ \(I_3=\sqrt3-1\).

4) \(I_4=\displaystyle\int_0^{\frac{\sqrt\pi}2}x\cos\left(x^2\right)dx\).

Correction détaillée

🔢 \(x\cos x^2=\dfrac12\left(\sin x^2\right)’\), donc \(I_4=\left[\dfrac12\sin x^2\right]_0^{\frac{\sqrt\pi}2}=\dfrac12\sin\dfrac\pi4\).

✅ \(I_4=\dfrac{\sqrt2}4\).

5) \(I_5=\displaystyle\int_2^3\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^2-2x=(x-1)^2-1\), donc \(\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}=1-\dfrac1{(x-1)^2}\).

🔢 Étape 2 : \(I_5=\left[x+\dfrac1{x-1}\right]_2^3=\left(3+\dfrac12\right)-(2+1)\).

✅ \(I_5=\dfrac12\).

6) \(I_6=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{\left(x^2-4\right)^2}\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan les bornes semblent être \(1\) et \(2\), mais \(x^2-4\) s’annule en \(2\) (intégrale impropre divergente) ; elles sont lues \(0\) et \(1\).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac x{\left(x^2-4\right)^2}=\dfrac12\dfrac{u’}{u^2}\) avec \(u=x^2-4\).

🔢 Étape 2 : \(I_6=\left[-\dfrac1{2\left(x^2-4\right)}\right]_0^1=\dfrac16-\dfrac18\).

✅ \(I_6=\dfrac1{24}\).

7) \(I_7=\displaystyle\int_{-1}^{1}x|x|\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Valeur absolue : on étudie le signe de l’expression, on découpe l’intervalle (Chasles) et on intègre sans valeur absolue.

🔢 Étape 1 : La fonction \(x\mapsto x|x|\) est impaire et l’intervalle \([-1,1]\) est symétrique par rapport à \(0\).

🔢 Étape 2 : Ou directement : \(\displaystyle\int_{-1}^0-x^2dx+\int_0^1x^2dx=-\dfrac13+\dfrac13\).

✅ \(I_7=0\).

8) \(I_8=\displaystyle\int_0^1\left(\dfrac13x^3+2x-5\right)dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I_8=\left[\dfrac{x^4}{12}+x^2-5x\right]_0^1=\dfrac1{12}+1-5\).

✅ \(I_8=-\dfrac{47}{12}\).

9) \(I_9=\displaystyle\int_0^1t\left(t^2+1\right)^3dt\).

Correction détaillée

🔢 \(t\left(t^2+1\right)^3=\dfrac12u’u^3\) avec \(u=t^2+1\) : \(I_9=\left[\dfrac{\left(t^2+1\right)^4}8\right]_0^1=\dfrac{16-1}8\).

✅ \(I_9=\dfrac{15}8\).

10) \(I_{10}=\displaystyle\int_0^1\dfrac t{\left(1+t^2\right)^2}\,dt\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac t{(1+t^2)^2}=\dfrac12\dfrac{u’}{u^2}\) avec \(u=1+t^2\) : \(I_{10}=\left[-\dfrac1{2\left(1+t^2\right)}\right]_0^1=-\dfrac14+\dfrac12\).

✅ \(I_{10}=\dfrac14\).

11) \(I_{11}=\displaystyle\int_0^1\dfrac t{\sqrt{1+t^2}}\,dt\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac t{\sqrt{1+t^2}}=\dfrac12\dfrac{u’}{\sqrt u}\) avec \(u=1+t^2\) : \(I_{11}=\left[\sqrt{1+t^2}\right]_0^1\).

✅ \(I_{11}=\sqrt2-1\).

12) \(I_{12}=\displaystyle\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\cos x\sin^3x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I_{12}=\left[\dfrac{\sin^4x}4\right]_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}=\dfrac14-\dfrac14\left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^4=\dfrac14-\dfrac1{16}\).

✅ \(I_{12}=\dfrac3{16}\).

13) \(I_{13}=\displaystyle\int_0^3|2t-1|\,dt\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Valeur absolue : on étudie le signe de l’expression, on découpe l’intervalle (Chasles) et on intègre sans valeur absolue.

🔢 Étape 1 : \(2t-1\leq0\iff t\leq\dfrac12\).

🔢 Étape 2 : \(I_{13}=\displaystyle\int_0^{\frac12}(1-2t)\,dt+\int_{\frac12}^3(2t-1)\,dt=\left[t-t^2\right]_0^{\frac12}+\left[t^2-t\right]_{\frac12}^3=\dfrac14+\left(6+\dfrac14\right)\).

✅ \(I_{13}=\dfrac{13}2\).

14) \(I_{14}=\displaystyle\int_{-1}^5\left(|x-2|+|x-4|\right)dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Valeur absolue : on étudie le signe de l’expression, on découpe l’intervalle (Chasles) et on intègre sans valeur absolue.

🔢 Étape 1 : \(\displaystyle\int_{-1}^5|x-2|dx=\int_{-1}^2(2-x)dx+\int_2^5(x-2)dx=\dfrac92+\dfrac92=9\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_{-1}^5|x-4|dx=\int_{-1}^4(4-x)dx+\int_4^5(x-4)dx=\dfrac{25}2+\dfrac12=13\).

✅ \(I_{14}=9+13=22\).

15) \(I_{15}=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\tan x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{(\cos x)’}{\cos x}\), donc \(I_{15}=\left[-\ln|\cos x|\right]_0^{\frac\pi4}=-\ln\dfrac{\sqrt2}2\).

✅ \(I_{15}=\dfrac12\ln2\).

Exercice 6

Calculer les intégrales suivantes :

a) \(a=\displaystyle\int_1^2\left(x^2+2x+3\right)dx\).

Correction détaillée

🔢 \(a=\left[\dfrac{x^3}3+x^2+3x\right]_1^2=\left(\dfrac83+4+6\right)-\left(\dfrac13+1+3\right)\).

✅ \(a=\dfrac{25}3\).

b) \(b=\displaystyle\int_0^1\left(x^5-6x\right)dx\).

Correction détaillée

🔢 \(b=\left[\dfrac{x^6}6-3x^2\right]_0^1=\dfrac16-3\).

✅ \(b=-\dfrac{17}6\).

c) \(c=\displaystyle\int_1^2\dfrac{x+1}{\left(x^2+2x\right)^3}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x+1=\dfrac12\left(x^2+2x\right)’\) : \(\dfrac{x+1}{u^3}=\dfrac12\dfrac{u’}{u^3}\) avec \(u=x^2+2x\).

🔢 Étape 2 : \(c=\left[-\dfrac1{4u^2}\right]_1^2\) avec \(u(2)=8\), \(u(1)=3\) : \(c=-\dfrac1{256}+\dfrac1{36}\).

✅ \(c=\dfrac{55}{2304}\).

d) \(d=\displaystyle\int_0^1(x+3)\left(x^2+6x+1\right)^3dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x^2+6x+1\), \(u’=2(x+3)\), donc \((x+3)u^3=\dfrac12u’u^3\).

🔢 Étape 2 : \(d=\left[\dfrac{u^4}8\right]_0^1\) avec \(u(1)=8\), \(u(0)=1\) : \(d=\dfrac{4096-1}8\).

✅ \(d=\dfrac{4095}8\).

e) \(e=\displaystyle\int_0^1\left(x^2+2\sqrt x+\sqrt[3]x\right)dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt x=x^{\frac12}\), \(\sqrt[3]x=x^{\frac13}\) : \(e=\left[\dfrac{x^3}3+\dfrac43x^{\frac32}+\dfrac34x^{\frac43}\right]_0^1=\dfrac13+\dfrac43+\dfrac34\).

✅ \(e=\dfrac{29}{12}\).

f) \(f=\displaystyle\int_{-1}^2\left|x^2-1\right|dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Valeur absolue : on étudie le signe de l’expression, on découpe l’intervalle (Chasles) et on intègre sans valeur absolue.

🔢 Étape 1 : \(x^2-1\leq0\) sur \([-1,1]\) et \(\geq0\) sur \([1,2]\).

🔢 Étape 2 : \(f=\displaystyle\int_{-1}^1\left(1-x^2\right)dx+\int_1^2\left(x^2-1\right)dx=\dfrac43+\dfrac43\).

✅ \(f=\dfrac83\).

g) \(g=\displaystyle\int_1^2\dfrac{x^2-2x}{\sqrt{3x^2-x^3}}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=3x^2-x^3\), \(u’=6x-3x^2=-3\left(x^2-2x\right)\), donc \(\dfrac{x^2-2x}{\sqrt u}=-\dfrac13\dfrac{u’}{\sqrt u}\).

🔢 Étape 2 : \(g=\left[-\dfrac23\sqrt u\right]_1^2\) avec \(u(2)=4\), \(u(1)=2\) : \(g=-\dfrac23\left(2-\sqrt2\right)\).

✅ \(g=\dfrac{2\sqrt2-4}3\).

h) \(h=\displaystyle\int_2^3\dfrac{\left|x^2-1\right|}{x^3-3x}\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Valeur absolue : on étudie le signe de l’expression, on découpe l’intervalle (Chasles) et on intègre sans valeur absolue.

🔢 Étape 1 : Sur \([2,3]\) : \(x^2-1>0\) et \(x^3-3x=x\left(x^2-3\right)>0\), donc la valeur absolue disparaît.

🔢 Étape 2 : \(u=x^3-3x\), \(u’=3\left(x^2-1\right)\) : \(h=\left[\dfrac13\ln u\right]_2^3=\dfrac13\left(\ln18-\ln2\right)\).

✅ \(h=\dfrac13\ln9=\dfrac23\ln3\).

i) \(i=\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=-\dfrac{u’}u\) avec \(u=1+e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : \(i=\left[-\ln\left(1+e^{-x}\right)\right]_{-1}^1=-\ln\left(1+e^{-1}\right)+\ln(1+e)=\ln\dfrac{1+e}{1+\frac1e}\).

✅ \(i=\ln e=1\).

j) \(j=\displaystyle\int_{\frac1e}^e\dfrac{|\ln x|}x\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Valeur absolue : on étudie le signe de l’expression, on découpe l’intervalle (Chasles) et on intègre sans valeur absolue.

🔢 Étape 1 : \(\ln x\leq0\) sur \(\left[\dfrac1e,1\right]\) et \(\geq0\) sur \([1,e]\).

🔢 Étape 2 : \(j=-\left[\dfrac{\ln^2x}2\right]_{\frac1e}^1+\left[\dfrac{\ln^2x}2\right]_1^e=\dfrac12+\dfrac12\).

✅ \(j=1\).

k) \(k=\displaystyle\int_1^2\dfrac{e^{\frac1x}}{x^2}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{e^{1/x}}{x^2}=-u’e^u\) avec \(u=\dfrac1x\), \(u’=-\dfrac1{x^2}\).

🔢 Étape 2 : \(k=\left[-e^{\frac1x}\right]_1^2=-\sqrt e+e\).

✅ \(k=e-\sqrt e\).

l) \(l=\displaystyle\int_1^2\dfrac{x^2+x+2}{x^3+2x^2}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^3+2x^2=x^2(x+2)\) et \(\dfrac{x^2+x+2}{x^2(x+2)}=\dfrac1{x^2}+\dfrac1{x+2}\) (car \(x+2+x^2\)).

🔢 Étape 2 : \(l=\left[-\dfrac1x+\ln(x+2)\right]_1^2=\left(-\dfrac12+\ln4\right)-(-1+\ln3)\).

✅ \(l=\dfrac12+\ln\dfrac43\).

m) \(m=\displaystyle\int_3^8\dfrac x{\sqrt{x+1}}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac x{\sqrt{x+1}}=\dfrac{(x+1)-1}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}-\dfrac1{\sqrt{x+1}}\).

🔢 Étape 2 : \(m=\left[\dfrac23(x+1)^{\frac32}-2\sqrt{x+1}\right]_3^8=(18-6)-\left(\dfrac{16}3-4\right)\).

✅ \(m=\dfrac{32}3\).

n) \(n=\displaystyle\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}(\cos x)^2dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}2\).

🔢 Étape 2 : \(n=\left[\dfrac x2+\dfrac{\sin2x}4\right]_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}=\dfrac\pi4-\left(\dfrac\pi8+\dfrac14\right)\).

✅ \(n=\dfrac\pi8-\dfrac14\).

o) \(o=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}(\sin x)^3dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sin^3x=\sin x\left(1-\cos^2x\right)=\sin x-\sin x\cos^2x\).

🔢 Étape 2 : \(o=\left[-\cos x+\dfrac{\cos^3x}3\right]_0^{\frac\pi2}=0-\left(-1+\dfrac13\right)\).

✅ \(o=\dfrac23\).

p) \(p=\displaystyle\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}\dfrac1{1-\cos x}\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On utilise \(1-\cos x=2\sin^2\dfrac x2\) et \(\cot\dfrac\pi8=1+\sqrt2\).

🔢 Étape 1 : \(1-\cos x=2\sin^2\dfrac x2\), donc \(\dfrac1{1-\cos x}=\dfrac1{2\sin^2\frac x2}=\left(-\cot\dfrac x2\right)’\).

🔢 Étape 2 : \(p=\left[-\cot\dfrac x2\right]_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}=-\cot\dfrac\pi6+\cot\dfrac\pi8=-\sqrt3+\left(1+\sqrt2\right)\).

✅ \(p=1+\sqrt2-\sqrt3\).

Exercice 7

Calculer les intégrales suivantes :

1.a) \(\displaystyle\int_4^9(5x+8)\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\left[\dfrac52x^2+8x\right]_4^9=\left(\dfrac{405}2+72\right)-(40+32)\).

✅ \(\dfrac{405}2\).

1.b) \(\displaystyle\int_0^1(2x+3)^4dx\).

Correction détaillée

🔢 \((2x+3)^4=\dfrac12u’u^4\) avec \(u=2x+3\) : \(\left[\dfrac{(2x+3)^5}{10}\right]_0^1=\dfrac{3125-243}{10}\).

✅ \(\dfrac{1441}5\).

1.c) \(\displaystyle\int_0^1x\left(4x^2+2\right)^3dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=4x^2+2\), \(u’=8x\) : \(x\,u^3=\dfrac18u’u^3\).

🔢 Étape 2 : \(\left[\dfrac{u^4}{32}\right]_0^1=\dfrac{6^4-2^4}{32}=\dfrac{1296-16}{32}\).

✅ \(40\).

2.a) \(\displaystyle\int_1^5|x-2|\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Valeur absolue : on étudie le signe de l’expression, on découpe l’intervalle (Chasles) et on intègre sans valeur absolue.

🔢 \(\displaystyle\int_1^2(2-x)dx+\int_2^5(x-2)dx=\dfrac12+\dfrac92\).

✅ \(5\).

2.b) \(\displaystyle\int_0^2\left|(x-1)(x-3)\right|dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Valeur absolue : on étudie le signe de l’expression, on découpe l’intervalle (Chasles) et on intègre sans valeur absolue.

🔢 Étape 1 : \((x-1)(x-3)\geq0\) sur \([0,1]\), \(\leq0\) sur \([1,2]\) ; \(F(x)=\dfrac{x^3}3-2x^2+3x\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^1(\dots)=F(1)-F(0)=\dfrac43\) ; \(-\displaystyle\int_1^2(\dots)=-(F(2)-F(1))=-\left(\dfrac23-\dfrac43\right)=\dfrac23\).

✅ \(2\).

2.c) \(\displaystyle\int_0^\pi|\cos x|\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ La borne supérieure est peu lisible ; lue \(\pi\).

📘 Méthode : Valeur absolue : on étudie le signe de l’expression, on découpe l’intervalle (Chasles) et on intègre sans valeur absolue.

🔢 Étape 1 : \(\cos x\geq0\) sur \(\left[0,\dfrac\pi2\right]\), \(\leq0\) sur \(\left[\dfrac\pi2,\pi\right]\).

🔢 Étape 2 : \(\left[\sin x\right]_0^{\frac\pi2}-\left[\sin x\right]_{\frac\pi2}^\pi=1+1\).

✅ \(2\).

3.a) \(\displaystyle\int_1^3-\dfrac1{x^2}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\left[\dfrac1x\right]_1^3=\dfrac13-1\).

✅ \(-\dfrac23\).

3.b) \(\displaystyle\int_1^e\dfrac1x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\left[\ln x\right]_1^e\).

✅ \(1\).

3.c) \(\displaystyle\int_1^3\dfrac1{x+2}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\left[\ln(x+2)\right]_1^3=\ln5-\ln3\).

✅ \(\ln\dfrac53\).

3.d) \(\displaystyle\int_2^3\dfrac{2x+2}{x^2+2x}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Numérateur = dérivée du dénominateur : \(\left[\ln\left(x^2+2x\right)\right]_2^3=\ln15-\ln8\).

✅ \(\ln\dfrac{15}8\).

4.a) \(\displaystyle\int_1^9\dfrac1{\sqrt x}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\left[2\sqrt x\right]_1^9=6-2\).

✅ \(4\).

4.b) \(\displaystyle\int_1^2\sqrt[4]x\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ L’indice de la racine est petit sur le scan ; lu \(4\).

🔢 \(\sqrt[4]x=x^{\frac14}\) : \(\left[\dfrac45x^{\frac54}\right]_1^2=\dfrac45\left(2\sqrt[4]2-1\right)\).

✅ \(\dfrac45\left(2\sqrt[4]2-1\right)\).

4.c) \(\displaystyle\int_0^1\dfrac x{\sqrt{x^2+4}}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac x{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac12\dfrac{u’}{\sqrt u}\) : \(\left[\sqrt{x^2+4}\right]_0^1=\sqrt5-2\).

✅ \(\sqrt5-2\).

5.a) \(\displaystyle\int_{\frac\pi3}^{\frac\pi2}\sin x\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes de la ligne 5 sont minuscules sur le scan ; elles sont lues telles qu’affichées ici (à vérifier sur la feuille).

🔢 \(\left[-\cos x\right]_{\frac\pi3}^{\frac\pi2}=0+\dfrac12\).

✅ \(\dfrac12\).

5.b) \(\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\cos x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\left[\sin x\right]_0^{\frac\pi4}\).

✅ \(\dfrac{\sqrt2}2\).

5.c) \(\displaystyle\int_0^{\frac\pi5}\sin(5x)\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\left[-\dfrac{\cos5x}5\right]_0^{\frac\pi5}=\dfrac{-\cos\pi+\cos0}5\).

✅ \(\dfrac25\).

5.d) \(\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\left[2\sin(3x)+5\cos\left(2x-\dfrac\pi4\right)\right]dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\left[-\dfrac23\cos3x+\dfrac52\sin\left(2x-\dfrac\pi4\right)\right]_0^{\frac\pi2}\).

🔢 Étape 2 : En \(\dfrac\pi2\) : \(0+\dfrac52\sin\dfrac{3\pi}4=\dfrac{5\sqrt2}4\). En \(0\) : \(-\dfrac23+\dfrac52\sin\left(-\dfrac\pi4\right)=-\dfrac23-\dfrac{5\sqrt2}4\).

✅ \(\dfrac23+\dfrac{5\sqrt2}2\).

5.e) \(\displaystyle\int_{-\frac\pi3}^{\frac\pi2}\dfrac{\sin t}{(2+\cos t)^2}\,dt\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes sont très petites sur le scan ; lues \(-\frac\pi3\) et \(\frac\pi2\).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{\sin t}{(2+\cos t)^2}=\left(\dfrac1{2+\cos t}\right)’\).

🔢 Étape 2 : \(\left[\dfrac1{2+\cos t}\right]_{-\frac\pi3}^{\frac\pi2}=\dfrac12-\dfrac1{2+\frac12}\).

✅ \(\dfrac1{10}\).

5.f) \(A=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\sin x\cos2x\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes des trois intégrales de la ligne « b » sont minuscules sur le scan ; lues \(0\) et \(\frac\pi4\).

🔢 Étape 1 : \(\sin x\cos2x=\dfrac12\left(\sin3x-\sin x\right)\) (formule de produit-somme).

🔢 Étape 2 : \(A=\dfrac12\left[-\dfrac{\cos3x}3+\cos x\right]_0^{\frac\pi4}=\dfrac12\left[\left(\dfrac{\sqrt2}6+\dfrac{\sqrt2}2\right)-\dfrac23\right]\).

✅ \(A=\dfrac{\sqrt2-1}3\).

5.g) \(\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\sin x\cos^4x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\sin x\cos^4x=-u’u^4\) avec \(u=\cos x\) : \(\left[-\dfrac{\cos^5x}5\right]_0^{\frac\pi4}=\dfrac15\left(1-\dfrac{\sqrt2}8\right)\) (car \(\cos^5\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}8\)).

✅ \(\dfrac{8-\sqrt2}{40}\).

5.h) \(\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\cos^3x\,dx\) (remarque : \(\cos^3x=\left(1-\sin^2x\right)\cos x\)).

Correction détaillée

🔢 \(\cos^3x=\cos x-\sin^2x\cos x\), donc \(\left[\sin x-\dfrac{\sin^3x}3\right]_0^{\frac\pi4}=\dfrac{\sqrt2}2-\dfrac13\times\dfrac{\sqrt2}4\).

✅ \(\dfrac{5\sqrt2}{12}\).

6.a) \(\displaystyle\int_1^e\dfrac1x(1+\ln x)\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac1x(1+\ln x)=u’u\) avec \(u=1+\ln x\) : \(\left[\dfrac{(1+\ln x)^2}2\right]_1^e=2-\dfrac12\).

✅ \(\dfrac32\).

6.b) \(A=\displaystyle\int_{e-1}^{e^2-1}\dfrac1{(1+x)\ln^2(x+1)}\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes sont peu nettes ; lues \(e-1\) et \(e^2-1\) (pour que \(\ln(x+1)\) vale \(1\) et \(2\)). La première intégrale de la ligne, \(\int_1^e\frac{\ln^2x}x\,dx=\frac13\), est déjà dans l’exercice 2 (question 6).

🔢 Étape 1 : Avec \(u=\ln(x+1)\), \(u’=\dfrac1{x+1}\) : \(\dfrac{u’}{u^2}\).

🔢 Étape 2 : \(A=\left[-\dfrac1{\ln(x+1)}\right]_{e-1}^{e^2-1}=-\dfrac12+1\).

✅ \(A=\dfrac12\).

7.a) \(\displaystyle\int_0^1e^{-x}dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\left[-e^{-x}\right]_0^1\).

✅ \(1-\dfrac1e\).

7.b) \(\displaystyle\int_0^1e^{5x}dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\left[\dfrac{e^{5x}}5\right]_0^1\).

✅ \(\dfrac{e^5-1}5\).

7.c) \(\displaystyle\int_0^1e^x\left(e^{-4x}+e^{2x}\right)dx\) (Bac 2016).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(e^x\left(e^{-4x}+e^{2x}\right)=e^{-3x}+e^{3x}\).

🔢 Étape 2 : \(\left[-\dfrac{e^{-3x}}3+\dfrac{e^{3x}}3\right]_0^1=\dfrac{e^3-e^{-3}}3\).

✅ \(\dfrac{e^3-e^{-3}}3\).

7.d) \(\displaystyle\int_0^{\ln2}\dfrac{3e^x}{e^x+2}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{3e^x}{e^x+2}=3\dfrac{u’}u\) avec \(u=e^x+2\) : \(\left[3\ln(e^x+2)\right]_0^{\ln2}=3(\ln4-\ln3)\).

✅ \(3\ln\dfrac43\).

7.e) \(\displaystyle\int_{-1}^1xe^{x^2}dx\).

Correction détaillée

🔢 \(xe^{x^2}=\dfrac12u’e^u\) avec \(u=x^2\) : \(\left[\dfrac12e^{x^2}\right]_{-1}^1=\dfrac12(e-e)\).

✅ \(0\).

7.f) \(A=\displaystyle\int_0^{\ln2}\dfrac{e^{5x}+2e^x-2}{e^x}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{e^{5x}+2e^x-2}{e^x}=e^{4x}+2-2e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : \(A=\left[\dfrac{e^{4x}}4+2x+2e^{-x}\right]_0^{\ln2}=\left(4+2\ln2+1\right)-\left(\dfrac14+2\right)\).

✅ \(A=\dfrac{11}4+2\ln2\).

Exercice 8

Déterminer le réel \(\lambda>-3\) tel que \(\displaystyle\int_0^\lambda(x+3)\,dx=-4\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\displaystyle\int_0^\lambda(x+3)dx=\left[\dfrac{x^2}2+3x\right]_0^\lambda=\dfrac{\lambda^2}2+3\lambda\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{\lambda^2}2+3\lambda=-4\iff\lambda^2+6\lambda+8=0\), de discriminant \(\Delta=36-32=4\) : \(\lambda=-4\) ou \(\lambda=-2\).

🔢 Étape 3 : Seule la valeur \(\lambda=-2\) vérifie \(\lambda>-3\).

✅ \(\lambda=-2\).

Exercice 9

Déterminer \(f(c)\), la valeur moyenne de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(I\) dans chacun des cas suivants :

a) Déterminer \(f(c)\), la valeur moyenne de \(f(x)=x+1\) sur \(I=[1,3]\), puis donner une interprétation géométrique du nombre \(2\times f(c)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) : \(\mu=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\). Ainsi \((b-a)\mu=\displaystyle\int_a^bf\).

🔢 Étape 1 : \(f(c)=\dfrac1{3-1}\displaystyle\int_1^3(x+1)dx=\dfrac12\left[\dfrac{x^2}2+x\right]_1^3=\dfrac12\left(\dfrac{15}2-\dfrac32\right)=3\).

🔢 Étape 2 : \(2\times f(c)=(3-1)f(c)=\displaystyle\int_1^3(x+1)dx=6\).

✅ \(f(c)=3\). Le nombre \(2f(c)=6\) est l’aire (en unités d’aire) du trapèze limité par la droite \(y=x+1\), l’axe des abscisses et les droites \(x=1\), \(x=3\).

b) Déterminer \(f(c)\), la valeur moyenne de \(f(x)=x^3+2x\) sur \(I=[-1,2]\), puis donner une interprétation géométrique du nombre \(3\times f(c)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Valeur moyenne : \(\mu=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bf\).

🔢 Étape 1 : \(f(c)=\dfrac1{3}\displaystyle\int_{-1}^2\left(x^3+2x\right)dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^4}4+x^2\right]_{-1}^2=\dfrac13\left(8-\dfrac54\right)=\dfrac94\).

🔢 Étape 2 : \(3\times f(c)=\displaystyle\int_{-1}^2\left(x^3+2x\right)dx=\dfrac{27}4\).

✅ \(f(c)=\dfrac94\). Le nombre \(3f(c)=\dfrac{27}4\) est l’aire algébrique entre la courbe de \(f\) et l’axe des abscisses sur \([-1,2]\) (comptée négativement sur \([-1,0]\) où \(f\leq0\)).

Exercice 10

Calculer les intégrales suivantes :

2) \(J=\displaystyle\int_0^{\ln2}xe^x\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu(x)v'(x)\,dx=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx\). On choisit \(u\) qui se simplifie en dérivant (polynôme, \(\ln x\)) et \(v’\) facile à intégrer.

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=e^x\) ; \(u’=1\), \(v=e^x\).

🔢 Étape 2 : \(J=\left[xe^x\right]_0^{\ln2}-\displaystyle\int_0^{\ln2}e^xdx=2\ln2-(2-1)\).

✅ \(J=2\ln2-1\).

3) \(K=\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=1\) ; \(u’=\dfrac1x\), \(v=x\).

🔢 Étape 2 : \(K=\left[x\ln x\right]_1^e-\displaystyle\int_1^e1\,dx=e-(e-1)\).

✅ \(K=1\).

Exercice 11

En utilisant une intégration par parties, calculer :

1) \(I=\displaystyle\int_0^1xe^{2x}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=e^{2x}\) ; \(u’=1\), \(v=\dfrac{e^{2x}}2\).

🔢 Étape 2 : \(I=\left[\dfrac{xe^{2x}}2\right]_0^1-\dfrac12\displaystyle\int_0^1e^{2x}dx=\dfrac{e^2}2-\dfrac{e^2-1}4\).

✅ \(I=\dfrac{e^2+1}4\).

2) \(J=\displaystyle\int_1^{e^3}\dfrac{\ln x}{\sqrt[3]{x^2}}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}=x^{-\frac23}\). \(u=\ln x\), \(v’=x^{-\frac23}\) ; \(u’=\dfrac1x\), \(v=3x^{\frac13}\).

🔢 Étape 2 : \(J=\left[3x^{\frac13}\ln x\right]_1^{e^3}-3\displaystyle\int_1^{e^3}x^{-\frac23}dx=3e\times3-3\left[3x^{\frac13}\right]_1^{e^3}=9e-9(e-1)\).

✅ \(J=9\).

3) \(K=\displaystyle\int_0^1x\sqrt{e^x}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sqrt{e^x}=e^{\frac x2}\). \(u=x\), \(v’=e^{\frac x2}\) ; \(v=2e^{\frac x2}\).

🔢 Étape 2 : \(K=\left[2xe^{\frac x2}\right]_0^1-2\displaystyle\int_0^1e^{\frac x2}dx=2\sqrt e-4\left(\sqrt e-1\right)\).

✅ \(K=4-2\sqrt e\).

4) \(L=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x^2\sin x\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes de \(L\) sont peu lisibles ; lues \(0\) et \(\frac\pi2\). La numérotation du scan répète « 3) » ; les questions sont numérotées 1) à 6).

📘 Méthode : Double intégration par parties : on applique la formule deux fois de suite ; le polynôme voit son degré baisser à chaque étape.

🔢 Étape 1 : \(u=x^2\), \(v’=\sin x\) ; \(u’=2x\), \(v=-\cos x\).

🔢 Étape 2 : \(L=\left[-x^2\cos x\right]_0^{\frac\pi2}+2\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x\cos x\,dx=2\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x\cos x\,dx\).

🔢 Étape 3 : Seconde intégration par parties : \(\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x\cos x\,dx=\left[x\sin x\right]_0^{\frac\pi2}-\int_0^{\frac\pi2}\sin x\,dx=\dfrac\pi2-1\).

✅ \(L=\pi-2\).

5) \(M=\displaystyle\int_1^ex\ln x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=x\) ; \(u’=\dfrac1x\), \(v=\dfrac{x^2}2\).

🔢 Étape 2 : \(M=\left[\dfrac{x^2\ln x}2\right]_1^e-\dfrac12\displaystyle\int_1^ex\,dx=\dfrac{e^2}2-\dfrac{e^2-1}4\).

✅ \(M=\dfrac{e^2+1}4\).

6) \(N=\displaystyle\int_1^e\cos(\ln x)\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\displaystyle\int e^x\cos x\) et \(\displaystyle\int e^x\sin x\) : deux intégrations par parties donnent un système linéaire en ces deux intégrales.

🔢 Étape 1 : On pose aussi \(N’=\displaystyle\int_1^e\sin(\ln x)\,dx\).

🔢 Étape 2 : Par parties (\(u=\cos(\ln x)\), \(v’=1\)) : \(N=\left[x\cos(\ln x)\right]_1^e+\displaystyle\int_1^e\sin(\ln x)\,dx=e\cos1-1+N’\).

🔢 Étape 3 : Par parties (\(u=\sin(\ln x)\), \(v’=1\)) : \(N’=\left[x\sin(\ln x)\right]_1^e-\displaystyle\int_1^e\cos(\ln x)\,dx=e\sin1-N\).

🔢 Étape 4 : On remplace : \(N=e\cos1-1+e\sin1-N\), donc \(2N=e(\cos1+\sin1)-1\).

✅ \(N=\dfrac{e(\cos1+\sin1)-1}2\).

Exercice 12

En utilisant une intégration par parties, calculer :

1) \(J=\displaystyle\int_0^1(x-1)e^{-x}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x-1\), \(v’=e^{-x}\) ; \(u’=1\), \(v=-e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : \(J=\left[-(x-1)e^{-x}\right]_0^1+\displaystyle\int_0^1e^{-x}dx=(0-1)+\left(1-e^{-1}\right)\).

✅ \(J=-\dfrac1e\).

2) \(K=\displaystyle\int_0^1\ln\left(1+\sqrt x\right)dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=\ln\left(1+\sqrt x\right)\), \(v’=1\) ; \(u’=\dfrac1{2\sqrt x\left(1+\sqrt x\right)}\), \(v=x\).

🔢 Étape 2 : \(K=\left[x\ln\left(1+\sqrt x\right)\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{2\sqrt x\left(1+\sqrt x\right)}dx=\ln2-\dfrac12\int_0^1\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}dx\).

🔢 Étape 3 : \(\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}=1-\dfrac1{1+\sqrt x}\) et, avec le changement de variable \(t=\sqrt x\) (\(dx=2t\,dt\)), \(\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{1+\sqrt x}=\int_0^1\dfrac{2t}{1+t}dt=2\int_0^1\left(1-\dfrac1{1+t}\right)dt=2(1-\ln2)\).

🔢 Étape 4 : Donc \(\displaystyle\int_0^1\dfrac{\sqrt x}{1+\sqrt x}dx=1-2(1-\ln2)=2\ln2-1\) et \(K=\ln2-\dfrac12(2\ln2-1)\).

✅ \(K=\dfrac12\).

Exercice 13

Calculer les intégrales suivantes en utilisant une intégration par parties :

3) \(I_3=\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=\sin x\) ; \(u’=1\), \(v=-\cos x\).

🔢 Étape 2 : \(I_3=\left[-x\cos x\right]_0^\pi+\displaystyle\int_0^\pi\cos x\,dx=\pi+0\).

✅ \(I_3=\pi\).

5) \(I_5=\displaystyle\int_1^x\ln t\,dt\) (\(x>0\)).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=\ln t\), \(v’=1\) ; \(u’=\dfrac1t\), \(v=t\).

🔢 Étape 2 : \(I_5=\left[t\ln t\right]_1^x-\displaystyle\int_1^xdt=x\ln x-(x-1)\).

✅ \(I_5=x\ln x-x+1\).

6) \(I_6=\displaystyle\int_0^1x\sqrt{1+x}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=\sqrt{1+x}\) ; \(v=\dfrac23(1+x)^{\frac32}\).

🔢 Étape 2 : \(I_6=\left[\dfrac{2x}3(1+x)^{\frac32}\right]_0^1-\dfrac23\displaystyle\int_0^1(1+x)^{\frac32}dx=\dfrac{4\sqrt2}3-\dfrac23\left[\dfrac25(1+x)^{\frac52}\right]_0^1\).

🔢 Étape 3 : \(=\dfrac{4\sqrt2}3-\dfrac4{15}\left(4\sqrt2-1\right)\).

✅ \(I_6=\dfrac{4\sqrt2+4}{15}\).

7) \(I_7=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x\cos x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=\cos x\) ; \(v=\sin x\).

🔢 Étape 2 : \(I_7=\left[x\sin x\right]_0^{\frac\pi2}-\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\sin x\,dx=\dfrac\pi2-1\).

✅ \(I_7=\dfrac\pi2-1\).

8) \(I_8=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x^2\cos x\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Double intégration par parties : on applique la formule deux fois de suite ; le polynôme voit son degré baisser à chaque étape.

🔢 Étape 1 : \(u=x^2\), \(v’=\cos x\) ; \(v=\sin x\) : \(I_8=\left[x^2\sin x\right]_0^{\frac\pi2}-2\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x\sin x\,dx=\dfrac{\pi^2}4-2\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x\sin x\,dx\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x\sin x\,dx=\left[-x\cos x+\sin x\right]_0^{\frac\pi2}=1\).

✅ \(I_8=\dfrac{\pi^2}4-2\).

9) \(I_9=\displaystyle\int_0^1\dfrac x{\sqrt{x+2}}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=\dfrac1{\sqrt{x+2}}\) ; \(v=2\sqrt{x+2}\).

🔢 Étape 2 : \(I_9=\left[2x\sqrt{x+2}\right]_0^1-2\displaystyle\int_0^1\sqrt{x+2}\,dx=2\sqrt3-\dfrac43\left[(x+2)^{\frac32}\right]_0^1=2\sqrt3-\dfrac43\left(3\sqrt3-2\sqrt2\right)\).

✅ \(I_9=\dfrac{8\sqrt2}3-2\sqrt3\).

10) \(I_{10}=\displaystyle\int_1^e\dfrac{\ln x}{x^2}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=\dfrac1{x^2}\) ; \(u’=\dfrac1x\), \(v=-\dfrac1x\).

🔢 Étape 2 : \(I_{10}=\left[-\dfrac{\ln x}x\right]_1^e+\displaystyle\int_1^e\dfrac1{x^2}dx=-\dfrac1e+\left(1-\dfrac1e\right)\).

✅ \(I_{10}=1-\dfrac2e\).

11) \(I_{11}=\displaystyle\int_1^ex^2\ln x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=x^2\) ; \(v=\dfrac{x^3}3\).

🔢 Étape 2 : \(I_{11}=\left[\dfrac{x^3\ln x}3\right]_1^e-\dfrac13\displaystyle\int_1^ex^2dx=\dfrac{e^3}3-\dfrac{e^3-1}9\).

✅ \(I_{11}=\dfrac{2e^3+1}9\).

13) \(I_{13}=\displaystyle\int_0^x\cos t\,e^t\,dt\) (\(x\in\mathbb R\)).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\displaystyle\int e^x\cos x\) et \(\displaystyle\int e^x\sin x\) : deux intégrations par parties donnent un système linéaire en ces deux intégrales.

🔢 Étape 1 : On pose \(I_{14}=\displaystyle\int_0^x\sin t\,e^t\,dt\).

🔢 Étape 2 : Par parties (\(u=\cos t\), \(v’=e^t\)) : \(I_{13}=\left[e^t\cos t\right]_0^x+\displaystyle\int_0^xe^t\sin t\,dt=e^x\cos x-1+I_{14}\).

🔢 Étape 3 : Par parties (\(u=\sin t\), \(v’=e^t\)) : \(I_{14}=\left[e^t\sin t\right]_0^x-\displaystyle\int_0^xe^t\cos t\,dt=e^x\sin x-I_{13}\).

🔢 Étape 4 : Donc \(2I_{13}=e^x(\cos x+\sin x)-1\).

✅ \(I_{13}=\dfrac{e^x(\cos x+\sin x)-1}2\).

14) \(I_{14}=\displaystyle\int_0^x\sin t\,e^t\,dt\) (\(x\in\mathbb R\)).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(\displaystyle\int e^x\cos x\) et \(\displaystyle\int e^x\sin x\) : deux intégrations par parties donnent un système linéaire en ces deux intégrales.

🔢 D’après la question précédente, \(I_{14}=e^x\sin x-I_{13}=e^x\sin x-\dfrac{e^x(\cos x+\sin x)-1}2\).

✅ \(I_{14}=\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)+1}2\).

15) \(I_{15}=\displaystyle\int_1^{e^2}\left(x^3+1\right)\ln x\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ La borne supérieure est peu lisible ; lue \(e^2\). Les questions 1, 2, 4 et 12 de ce même exercice sont identiques à d’autres questions de la série (\(\int_0^1xe^x\), \(\int_1^ex\ln x\), \(\int_0^{\pi/2}x^2\sin x\), \(\int_0^1xe^{2x}\)) et n’ont pas été répétées.

🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=x^3+1\) ; \(v=\dfrac{x^4}4+x\).

🔢 Étape 2 : \(I_{15}=\left[\left(\dfrac{x^4}4+x\right)\ln x\right]_1^{e^2}-\displaystyle\int_1^{e^2}\left(\dfrac{x^3}4+1\right)dx=2\left(\dfrac{e^8}4+e^2\right)-\left[\dfrac{x^4}{16}+x\right]_1^{e^2}\).

🔢 Étape 3 : \(=\dfrac{e^8}2+2e^2-\left(\dfrac{e^8}{16}+e^2-\dfrac1{16}-1\right)\).

✅ \(I_{15}=\dfrac{7e^8}{16}+e^2+\dfrac{17}{16}\).

Exercice 14

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :

a) \(a=\displaystyle\int_{\frac1e}^{e^2}\ln x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Primitive de \(\ln x\) : \(x\ln x-x\) (par parties avec \(u=\ln x\), \(v’=1\)).

🔢 Étape 2 : \(a=\left[x\ln x-x\right]_{\frac1e}^{e^2}=\left(2e^2-e^2\right)-\left(-\dfrac1e-\dfrac1e\right)\).

✅ \(a=e^2+\dfrac2e\).

b) \(b=\displaystyle\int_{\sqrt e}^ex^5\ln x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=x^5\) ; \(v=\dfrac{x^6}6\) : \(b=\left[\dfrac{x^6\ln x}6\right]_{\sqrt e}^e-\dfrac16\displaystyle\int_{\sqrt e}^ex^5dx=\left[\dfrac{x^6\ln x}6-\dfrac{x^6}{36}\right]_{\sqrt e}^e\).

🔢 Étape 2 : En \(e\) : \(\dfrac{e^6}6-\dfrac{e^6}{36}=\dfrac{5e^6}{36}\). En \(\sqrt e\) : \(\dfrac{e^3\times\frac12}6-\dfrac{e^3}{36}=\dfrac{e^3}{18}\).

✅ \(b=\dfrac{5e^6-2e^3}{36}\).

c) \(c=\displaystyle\int_0^1x^3e^{x^2}dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x^2\), \(v’=xe^{x^2}\) ; \(u’=2x\), \(v=\dfrac{e^{x^2}}2\).

🔢 Étape 2 : \(c=\left[\dfrac{x^2e^{x^2}}2\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1xe^{x^2}dx=\dfrac e2-\left[\dfrac{e^{x^2}}2\right]_0^1=\dfrac e2-\dfrac{e-1}2\).

✅ \(c=\dfrac12\).

d) \(d=\displaystyle\int_0^{\ln3}\dfrac{e^{2x}}{\left(1+e^x\right)^2}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{e^{2x}}{(1+e^x)^2}=e^x\times\dfrac{e^x}{(1+e^x)^2}\) : \(u=e^x\), \(v’=\dfrac{e^x}{(1+e^x)^2}\) ; \(v=-\dfrac1{1+e^x}\).

🔢 Étape 2 : \(d=\left[-\dfrac{e^x}{1+e^x}\right]_0^{\ln3}+\displaystyle\int_0^{\ln3}\dfrac{e^x}{1+e^x}dx=\left(-\dfrac34+\dfrac12\right)+\left[\ln(1+e^x)\right]_0^{\ln3}\).

✅ \(d=\ln2-\dfrac14\).

e) \(e=\displaystyle\int_0^{\frac\pi3}x\cos3x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=\cos3x\) ; \(v=\dfrac{\sin3x}3\).

🔢 Étape 2 : \(e=\left[\dfrac{x\sin3x}3\right]_0^{\frac\pi3}-\dfrac13\displaystyle\int_0^{\frac\pi3}\sin3x\,dx=0-\dfrac13\left[-\dfrac{\cos3x}3\right]_0^{\frac\pi3}=\dfrac19\left(\cos\pi-\cos0\right)\).

✅ \(e=-\dfrac29\).

f) \(f=\displaystyle\int_0^\pi2x\cos^2x\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes de \(f\) sont lues \(0\) et \(\pi\).

🔢 Étape 1 : \(2\cos^2x=1+\cos2x\), donc \(f=\displaystyle\int_0^\pi x\,dx+\int_0^\pi x\cos2x\,dx=\dfrac{\pi^2}2+\int_0^\pi x\cos2x\,dx\).

🔢 Étape 2 : Par parties : \(\displaystyle\int_0^\pi x\cos2x\,dx=\left[\dfrac{x\sin2x}2\right]_0^\pi-\dfrac12\int_0^\pi\sin2x\,dx=0-\dfrac12\left[-\dfrac{\cos2x}2\right]_0^\pi=0\).

✅ \(f=\dfrac{\pi^2}2\).

g) \(g=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\cos x\ln(1+\cos x)\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=\ln(1+\cos x)\), \(v’=\cos x\) ; \(u’=\dfrac{-\sin x}{1+\cos x}\), \(v=\sin x\).

🔢 Étape 2 : \(g=\left[\sin x\ln(1+\cos x)\right]_0^{\frac\pi4}+\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\dfrac{\sin^2x}{1+\cos x}dx\).

🔢 Étape 3 : \(\dfrac{\sin^2x}{1+\cos x}=\dfrac{1-\cos^2x}{1+\cos x}=1-\cos x\), donc \(\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}(1-\cos x)dx=\dfrac\pi4-\dfrac{\sqrt2}2\).

✅ \(g=\dfrac{\sqrt2}2\ln\left(1+\dfrac{\sqrt2}2\right)+\dfrac\pi4-\dfrac{\sqrt2}2\).

Exercice 15

1.a) Calculer \(A=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x\cos(2x)\,dx\), puis en déduire une primitive de \(f(x)=x\cos(2x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=\cos2x\) ; \(v=\dfrac{\sin2x}2\).

🔢 Étape 2 : \(A=\left[\dfrac{x\sin2x}2\right]_0^{\frac\pi2}-\dfrac12\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\sin2x\,dx=0+\dfrac14\left[\cos2x\right]_0^{\frac\pi2}=\dfrac14(-1-1)\).

🔢 Étape 3 : En laissant la borne supérieure variable, le même calcul donne \(\displaystyle\int_0^xt\cos2t\,dt=\dfrac{x\sin2x}2+\dfrac{\cos2x}4-\dfrac14\), donc \(F(x)=\dfrac{x\sin2x}2+\dfrac{\cos2x}4\) est une primitive de \(f\).

✅ \(A=-\dfrac12\) ; primitive : \(F(x)=\dfrac{x\sin2x}2+\dfrac{\cos2x}4\).

1.b) Calculer \(B=\displaystyle\int_1^e\ln(x)\,dx\), puis en déduire une primitive de \(f(x)=\ln x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(B=\left[x\ln x\right]_1^e-\displaystyle\int_1^edx=e-(e-1)=1\).

🔢 Étape 2 : Avec une borne supérieure variable : \(\displaystyle\int_1^x\ln t\,dt=x\ln x-x+1\).

✅ \(B=1\) ; une primitive de \(\ln x\) est \(x\mapsto x\ln x-x\).

1.c) Calculer \(C=\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx\), puis en déduire une primitive de \(f(x)=xe^x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=e^x\) : \(C=\left[xe^x\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1e^xdx=e-(e-1)=1\).

🔢 Étape 2 : Avec une borne variable : \(\displaystyle\int_0^xte^tdt=xe^x-e^x+1\).

✅ \(C=1\) ; une primitive de \(xe^x\) est \(x\mapsto(x-1)e^x\).

2.a) Calculer par double intégration par parties \(E=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x\sin2x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=\sin2x\) ; \(v=-\dfrac{\cos2x}2\).

🔢 Étape 2 : \(E=\left[-\dfrac{x\cos2x}2\right]_0^{\frac\pi2}+\dfrac12\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos2x\,dx=\dfrac\pi4+\dfrac12\left[\dfrac{\sin2x}2\right]_0^{\frac\pi2}=\dfrac\pi4+0\).

✅ \(E=\dfrac\pi4\).

2.b) Calculer par double intégration par parties \(F=\displaystyle\int_1^e\ln^2(x)\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Double intégration par parties : on applique la formule deux fois de suite ; le polynôme voit son degré baisser à chaque étape.

🔢 Étape 1 : \(u=\ln^2x\), \(v’=1\) ; \(u’=\dfrac{2\ln x}x\), \(v=x\).

🔢 Étape 2 : \(F=\left[x\ln^2x\right]_1^e-2\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx=e-2\times1\) (car \(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx=1\)).

✅ \(F=e-2\).

2.c) Calculer par double intégration par parties \(G=\displaystyle\int_0^1x^2e^x\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Double intégration par parties : on applique la formule deux fois de suite ; le polynôme voit son degré baisser à chaque étape.

🔢 Étape 1 : \(u=x^2\), \(v’=e^x\) : \(G=\left[x^2e^x\right]_0^1-2\displaystyle\int_0^1xe^xdx=e-2C\).

🔢 Étape 2 : Avec \(C=1\) : \(G=e-2\).

✅ \(G=e-2\).

Exercice 16

À l’aide d’une intégration par parties, calculer :

1) \(A=\displaystyle\int_0^{\frac\pi3}x\cos3x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=\cos3x\) ; \(v=\dfrac{\sin3x}3\).

🔢 Étape 2 : \(A=\left[\dfrac{x\sin3x}3\right]_0^{\frac\pi3}-\dfrac13\displaystyle\int_0^{\frac\pi3}\sin3x\,dx=0+\dfrac19\left[\cos3x\right]_0^{\frac\pi3}=\dfrac19(-1-1)\).

✅ \(A=-\dfrac29\).

2) \(B=\displaystyle\int_3^\lambda\ln(x-2)\,dx\) avec \(\lambda>2\).

Correction détaillée

⚠️ La borne inférieure est illisible ; avec \(1\), \(\ln(x-2)\) ne serait pas défini sur \([1,2]\). Elle est lue \(3\) (toute borne \(a>2\) convient : \(B=\left[(x-2)\ln(x-2)-(x-2)\right]_a^\lambda\)).

🔢 Étape 1 : \(u=\ln(x-2)\), \(v’=1\) ; \(u’=\dfrac1{x-2}\), \(v=x-2\) (primitive choisie pour simplifier).

🔢 Étape 2 : \(B=\left[(x-2)\ln(x-2)\right]_3^\lambda-\displaystyle\int_3^\lambda1\,dx=(\lambda-2)\ln(\lambda-2)-0-(\lambda-3)\).

✅ \(B=(\lambda-2)\ln(\lambda-2)-\lambda+3\).

Exercice 17

1) On pose \(I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\cos^2x\,dx\) et \(J=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\sin^2x\,dx\). Calculer \(I+J\) et \(I-J\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour calculer deux intégrales \(I\) et \(J\) : on calcule \(I+J\) et \(I-J\) (ou une autre combinaison) qui sont faciles, puis on résout le système.

🔢 Étape 1 : \(I+J=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\left(\cos^2x+\sin^2x\right)dx=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}dx=\dfrac\pi4\).

🔢 Étape 2 : \(I-J=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\cos2x\,dx=\left[\dfrac{\sin2x}2\right]_0^{\frac\pi4}=\dfrac12\).

✅ \(I+J=\dfrac\pi4\) et \(I-J=\dfrac12\).

2) En déduire \(I\) et \(J\).

Correction détaillée

🔢 \(2I=(I+J)+(I-J)=\dfrac\pi4+\dfrac12\) et \(2J=(I+J)-(I-J)=\dfrac\pi4-\dfrac12\).

✅ \(I=\dfrac\pi8+\dfrac14\) et \(J=\dfrac\pi8-\dfrac14\).

Exercice 18

1) On pose \(I=\displaystyle\int_0^{\ln16}\dfrac{e^x+3}{e^x+4}\,dx\) et \(J=\displaystyle\int_0^{\ln16}\dfrac1{e^x+4}\,dx\). Calculer \(I+J\) puis \(I-3J\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour calculer deux intégrales \(I\) et \(J\) : on calcule \(I+J\) et \(I-J\) (ou une autre combinaison) qui sont faciles, puis on résout le système.

🔢 Étape 1 : \(I+J=\displaystyle\int_0^{\ln16}\dfrac{e^x+4}{e^x+4}dx=\ln16\).

🔢 Étape 2 : \(I-3J=\displaystyle\int_0^{\ln16}\dfrac{e^x+3-3}{e^x+4}dx=\int_0^{\ln16}\dfrac{e^x}{e^x+4}dx=\left[\ln\left(e^x+4\right)\right]_0^{\ln16}=\ln20-\ln5\).

✅ \(I+J=\ln16=4\ln2\) et \(I-3J=\ln4=2\ln2\).

2) En déduire \(I\) et \(J\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((I+J)-(I-3J)=4J\), donc \(4J=4\ln2-2\ln2=2\ln2\).

🔢 Étape 2 : \(I=4\ln2-J\).

✅ \(J=\dfrac12\ln2\) et \(I=\dfrac72\ln2\).

Exercice 19

On pose \(A=\displaystyle\int_1^e\left(\dfrac1t+\ln t\right)dt\) et \(B=\displaystyle\int_1^e\left(1+\ln\left(\dfrac1t\right)\right)dt\). Calculer \(A+B\).

Correction détaillée

📘 Méthode : La somme \(A+B\) fait disparaître le terme \(\ln t\) : on regroupe sous un seul signe somme.

🔢 Étape 1 : \(\ln\dfrac1t=-\ln t\), donc \(A+B=\displaystyle\int_1^e\left(\dfrac1t+\ln t+1-\ln t\right)dt=\displaystyle\int_1^e\left(\dfrac1t+1\right)dt\).

🔢 Étape 2 : \(A+B=\left[\ln t+t\right]_1^e=(1+e)-1\).

✅ \(A+B=e\).

Exercice 20

1) On pose \(I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos^2x\cos2x\,dx\) et \(J=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\sin^2x\cos2x\,dx\). Calculer \(I+J\) et \(I-J\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes sont lues \(0\) et \(\frac\pi2\) (peu nettes sur le scan).

📘 Méthode : Pour calculer deux intégrales \(I\) et \(J\) : on calcule \(I+J\) et \(I-J\) (ou une autre combinaison) qui sont faciles, puis on résout le système.

🔢 Étape 1 : \(I+J=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos2x\,dx=\left[\dfrac{\sin2x}2\right]_0^{\frac\pi2}=0\).

🔢 Étape 2 : \(I-J=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\cos2x\,dx=\int_0^{\frac\pi2}\cos^22x\,dx=\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{1+\cos4x}2dx=\left[\dfrac x2+\dfrac{\sin4x}8\right]_0^{\frac\pi2}=\dfrac\pi4\).

✅ \(I+J=0\) et \(I-J=\dfrac\pi4\).

2) En déduire \(I\) et \(J\).

Correction détaillée

🔢 \(2I=0+\dfrac\pi4\) et \(2J=0-\dfrac\pi4\).

✅ \(I=\dfrac\pi8\) et \(J=-\dfrac\pi8\).

Exercice 21

1) On pose \(K=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx\) et \(L=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}dx\). Calculer \(K+L\) et \(K-L\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour calculer deux intégrales \(I\) et \(J\) : on calcule \(I+J\) et \(I-J\) (ou une autre combinaison) qui sont faciles, puis on résout le système.

🔢 Étape 1 : \(K+L=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\dfrac{\cos x+\sin x}{\cos x+\sin x}dx=\dfrac\pi4\).

🔢 Étape 2 : \(K-L=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}dx\), et \(\cos x-\sin x=(\cos x+\sin x)’\).

🔢 Étape 3 : \(K-L=\left[\ln(\cos x+\sin x)\right]_0^{\frac\pi4}=\ln\sqrt2-\ln1\).

✅ \(K+L=\dfrac\pi4\) et \(K-L=\dfrac12\ln2\).

2) En déduire \(K\) et \(L\).

Correction détaillée

🔢 \(2K=\dfrac\pi4+\dfrac12\ln2\) et \(2L=\dfrac\pi4-\dfrac12\ln2\).

✅ \(K=\dfrac\pi8+\dfrac14\ln2\) et \(L=\dfrac\pi8-\dfrac14\ln2\).

Exercice 22

1) Vérifier que \(\dfrac{t^2}{1+t}=t-1+\dfrac1{1+t}\) pour tout \(t\neq-1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition : on vérifie \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\text{polynôme}+\dfrac{a}{x-\alpha}+\dots\) puis on intègre terme à terme (\(\dfrac1{x-\alpha}\to\ln|x-\alpha|\)).

🔢 \(t-1+\dfrac1{1+t}=\dfrac{(t-1)(t+1)+1}{1+t}=\dfrac{t^2-1+1}{1+t}\).

✅ L’égalité est vérifiée.

2) Calculer \(I=\displaystyle\int_0^1\dfrac{t^2}{1+t}dt\).

Correction détaillée

🔢 \(I=\displaystyle\int_0^1\left(t-1+\dfrac1{1+t}\right)dt=\left[\dfrac{t^2}2-t+\ln(1+t)\right]_0^1=\dfrac12-1+\ln2\).

✅ \(I=\ln2-\dfrac12\).

Exercice 23

1) Vérifier que, pour tout \(x\in\mathbb R\setminus\{-1;1\}\) : \(\dfrac{4x-5}{x^2-1}=\dfrac9{2(x+1)}-\dfrac1{2(x-1)}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition : on vérifie \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\text{polynôme}+\dfrac{a}{x-\alpha}+\dots\) puis on intègre terme à terme (\(\dfrac1{x-\alpha}\to\ln|x-\alpha|\)).

🔢 \(\dfrac9{2(x+1)}-\dfrac1{2(x-1)}=\dfrac{9(x-1)-(x+1)}{2(x^2-1)}=\dfrac{8x-10}{2(x^2-1)}\).

✅ L’égalité est vérifiée.

2) Calculer \(I=\displaystyle\int_3^5\dfrac{4x-5}{x^2-1}dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(I=\left[\dfrac92\ln(x+1)-\dfrac12\ln(x-1)\right]_3^5=\left(\dfrac92\ln6-\dfrac12\ln4\right)-\left(\dfrac92\ln4-\dfrac12\ln2\right)\).

🔢 Étape 2 : \(I=\dfrac92\ln\dfrac64-\dfrac12\ln\dfrac42\).

✅ \(I=\dfrac92\ln\dfrac32-\dfrac12\ln2\).

Exercice 24

Calculer \(I=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x-1}{x+1}dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition : on vérifie \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\text{polynôme}+\dfrac{a}{x-\alpha}+\dots\) puis on intègre terme à terme (\(\dfrac1{x-\alpha}\to\ln|x-\alpha|\)).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{(x+1)-2}{x+1}=1-\dfrac2{x+1}\).

🔢 Étape 2 : \(I=\left[x-2\ln(x+1)\right]_0^1=1-2\ln2\).

✅ \(I=1-2\ln2\).

Exercice 25

1) Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(\dfrac{x^3}{x^2+1}=ax+\dfrac{bx}{x^2+1}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition : on vérifie \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\text{polynôme}+\dfrac{a}{x-\alpha}+\dots\) puis on intègre terme à terme (\(\dfrac1{x-\alpha}\to\ln|x-\alpha|\)).

🔢 Étape 1 : \(ax+\dfrac{bx}{x^2+1}=\dfrac{ax^3+(a+b)x}{x^2+1}\).

🔢 Étape 2 : Par identification : \(a=1\) et \(a+b=0\), donc \(b=-1\).

✅ \(a=1\) et \(b=-1\).

2) En déduire \(I=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^3}{x^2+1}dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I=\displaystyle\int_0^1\left(x-\dfrac{x}{x^2+1}\right)dx=\left[\dfrac{x^2}2-\dfrac12\ln\left(x^2+1\right)\right]_0^1\).

✅ \(I=\dfrac12-\dfrac12\ln2\).

Exercice 26

Calculer \(I=\displaystyle\int_0^1\dfrac1{x^2-4}dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition : on vérifie \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\text{polynôme}+\dfrac{a}{x-\alpha}+\dots\) puis on intègre terme à terme (\(\dfrac1{x-\alpha}\to\ln|x-\alpha|\)).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac1{x^2-4}=\dfrac1{(x-2)(x+2)}=\dfrac14\left(\dfrac1{x-2}-\dfrac1{x+2}\right)\).

🔢 Étape 2 : \(I=\dfrac14\left[\ln|x-2|-\ln|x+2|\right]_0^1=\dfrac14\left[(\ln1-\ln3)-(\ln2-\ln2)\right]\).

✅ \(I=-\dfrac14\ln3\).

Exercice 27

On pose \(I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos^4x\,dx\).

1) Montrer que \(\cos^4x=\dfrac18\left(\cos4x+4\cos2x+3\right)\) pour tout \(x\in\mathbb R\) (linéarisation de \(\cos^4x\)).

Correction détaillée

📘 Méthode : Linéarisation : \(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}2\), \(\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}2\) ; pour les puissances plus grandes, formules d’Euler.

🔢 Étape 1 : \(\cos^4x=\left(\dfrac{1+\cos2x}2\right)^2=\dfrac{1+2\cos2x+\cos^22x}4\).

🔢 Étape 2 : \(\cos^22x=\dfrac{1+\cos4x}2\), donc \(\cos^4x=\dfrac14\left(\dfrac32+2\cos2x+\dfrac{\cos4x}2\right)=\dfrac18\left(3+4\cos2x+\cos4x\right)\).

✅ \(\cos^4x=\dfrac18(\cos4x+4\cos2x+3)\).

2) En déduire \(I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\cos^4x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I=\dfrac18\left[\dfrac{\sin4x}4+2\sin2x+3x\right]_0^{\frac\pi2}=\dfrac18\times\dfrac{3\pi}2\).

✅ \(I=\dfrac{3\pi}{16}\).

Exercice 28

a) Vérifier que, pour tout réel \(x\) : \(\dfrac1{\left(e^x+1\right)^2}=1-\dfrac{e^x}{e^x+1}-\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition : on vérifie \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\text{polynôme}+\dfrac{a}{x-\alpha}+\dots\) puis on intègre terme à terme (\(\dfrac1{x-\alpha}\to\ln|x-\alpha|\)).

🔢 On réduit au même dénominateur \((e^x+1)^2\) : \(\left(e^x+1\right)^2-e^x\left(e^x+1\right)-e^x=e^{2x}+2e^x+1-e^{2x}-e^x-e^x=1\).

✅ L’égalité est vérifiée.

b) En déduire la valeur de \(J=\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{\left(e^x+1\right)^2}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(J=\displaystyle\int_0^1\left(1-\dfrac{e^x}{e^x+1}-\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}\right)dx=\left[x-\ln\left(e^x+1\right)+\dfrac1{e^x+1}\right]_0^1\).

🔢 Étape 2 : \(=\left(1-\ln(e+1)+\dfrac1{e+1}\right)-\left(-\ln2+\dfrac12\right)\).

✅ \(J=\dfrac12+\ln2-\ln(e+1)+\dfrac1{e+1}\).

c) À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(K=\displaystyle\int_0^1\dfrac{xe^x}{\left(e^x+1\right)^3}dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int uv’=[uv]-\int u’v\).

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^3}\) ; \(u’=1\), \(v=-\dfrac1{2(e^x+1)^2}\).

🔢 Étape 2 : \(K=\left[-\dfrac{x}{2(e^x+1)^2}\right]_0^1+\dfrac12\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{(e^x+1)^2}=-\dfrac1{2(e+1)^2}+\dfrac12J\).

✅ \(K=\dfrac12J-\dfrac1{2(e+1)^2}\) avec \(J\) calculé en b).

Exercice 29

1) On pose \(I=\displaystyle\int_0^1\dfrac{4x^4}{x^5+4}dx\) et \(J=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^9}{x^5+4}dx\). Calculer \(I\) puis \(I+J\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour calculer deux intégrales \(I\) et \(J\) : on calcule \(I+J\) et \(I-J\) (ou une autre combinaison) qui sont faciles, puis on résout le système.

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{4x^4}{x^5+4}=\dfrac45\dfrac{u’}u\) avec \(u=x^5+4\) : \(I=\dfrac45\left[\ln\left(x^5+4\right)\right]_0^1=\dfrac45\ln\dfrac54\).

🔢 Étape 2 : \(I+J=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^9+4x^4}{x^5+4}dx=\int_0^1\dfrac{x^4\left(x^5+4\right)}{x^5+4}dx=\int_0^1x^4dx=\dfrac15\).

✅ \(I=\dfrac45\ln\dfrac54\) et \(I+J=\dfrac15\).

2) En déduire la valeur de \(J\).

Correction détaillée

🔢 \(J=(I+J)-I\).

✅ \(J=\dfrac15-\dfrac45\ln\dfrac54\).

Exercice 30

1) Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(\dfrac{x-2}{x+4}=a+\dfrac b{x+4}\) pour tout \(x\neq-4\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition : on vérifie \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\text{polynôme}+\dfrac{a}{x-\alpha}+\dots\) puis on intègre terme à terme (\(\dfrac1{x-\alpha}\to\ln|x-\alpha|\)).

🔢 \(\dfrac{x-2}{x+4}=\dfrac{(x+4)-6}{x+4}=1-\dfrac6{x+4}\).

✅ \(a=1\) et \(b=-6\).

2) Calculer \(\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{x-2}{x+4}dx\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes de la question 2 sont lues \(-1\) et \(1\) (très petites sur le scan).

🔢 \(\displaystyle\int_{-1}^1\left(1-\dfrac6{x+4}\right)dx=\left[x-6\ln(x+4)\right]_{-1}^1=(1-6\ln5)-(-1-6\ln3)\).

✅ \(2-6\ln\dfrac53\).

Exercice 31

À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(A=\displaystyle\int_0^1x\ln(x+1)\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties avec le choix astucieux d’une primitive de \(x\) : \(\dfrac{x^2-1}{2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}2\).

🔢 Étape 1 : \(u=\ln(x+1)\), \(v’=x\) ; \(u’=\dfrac1{x+1}\). On choisit la primitive \(v=\dfrac{x^2-1}2\) (elle s’annule en \(-1\), ce qui simplifie).

🔢 Étape 2 : \(A=\left[\dfrac{x^2-1}2\ln(x+1)\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2-1}{2(x+1)}dx=0-\dfrac12\int_0^1(x-1)dx=-\dfrac12\left[\dfrac{x^2}2-x\right]_0^1\).

✅ \(A=\dfrac14\).

Exercice 32

1) Vérifier que \(\dfrac1{x\left(x^2+1\right)}=\dfrac1x-\dfrac x{x^2+1}\) pour tout \(x\in\mathbb R^*\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition : on vérifie \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\text{polynôme}+\dfrac{a}{x-\alpha}+\dots\) puis on intègre terme à terme (\(\dfrac1{x-\alpha}\to\ln|x-\alpha|\)).

🔢 \(\dfrac1x-\dfrac x{x^2+1}=\dfrac{x^2+1-x^2}{x\left(x^2+1\right)}\).

✅ L’égalité est vérifiée.

2.a) Calculer \(A=\displaystyle\int_1^2\dfrac x{x^2+1}dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac x{x^2+1}=\dfrac12\dfrac{u’}u\) avec \(u=x^2+1\) : \(A=\dfrac12\left[\ln\left(x^2+1\right)\right]_1^2=\dfrac12(\ln5-\ln2)\).

✅ \(A=\dfrac12\ln\dfrac52\).

2.b) Calculer \(B=\displaystyle\int_1^2\dfrac x{\left(x^2+1\right)^2}dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac x{(x^2+1)^2}=\dfrac12\dfrac{u’}{u^2}\) : \(B=\left[-\dfrac1{2\left(x^2+1\right)}\right]_1^2=-\dfrac1{10}+\dfrac14\).

✅ \(B=\dfrac3{20}\).

2.c) Calculer \(C=\displaystyle\int_1^2\dfrac1{x\left(x^2+1\right)}dx\).

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan, \(C\) est écrit \(\int_1^2\frac x{x(x^2+1)}dx\) ; lu \(\int_1^2\frac1{x(x^2+1)}dx\) (c’est la fraction de la question 1).

🔢 D’après 1) : \(C=\displaystyle\int_1^2\left(\dfrac1x-\dfrac x{x^2+1}\right)dx=\ln2-A\).

✅ \(C=\ln2-\dfrac12\ln\dfrac52\).

3) À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(D=\displaystyle\int_1^2\dfrac{x\ln x}{\left(x^2+1\right)^2}dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties.

🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=\dfrac x{(x^2+1)^2}\) ; \(u’=\dfrac1x\), \(v=-\dfrac1{2\left(x^2+1\right)}\).

🔢 Étape 2 : \(D=\left[-\dfrac{\ln x}{2\left(x^2+1\right)}\right]_1^2+\dfrac12\displaystyle\int_1^2\dfrac1{x\left(x^2+1\right)}dx=-\dfrac{\ln2}{10}+\dfrac12C\).

🔢 Étape 3 : \(D=-\dfrac{\ln2}{10}+\dfrac12\ln2-\dfrac14\ln\dfrac52\).

✅ \(D=\dfrac25\ln2-\dfrac14\ln\dfrac52\).

Exercice 33

1) Vérifier que \(\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}=2x+1+\dfrac1{x+1}\) pour tout \(x\in\mathbb R\setminus\{-1\}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition : on vérifie \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\text{polynôme}+\dfrac{a}{x-\alpha}+\dots\) puis on intègre terme à terme (\(\dfrac1{x-\alpha}\to\ln|x-\alpha|\)).

🔢 \(\left(2x+1\right)\left(x+1\right)+1=2x^2+3x+1+1\).

✅ L’égalité est vérifiée.

2) En déduire la valeur de \(A=\displaystyle\int_0^1\dfrac{2x^2+3x+2}{x+1}dx\).

Correction détaillée

🔢 \(A=\displaystyle\int_0^1\left(2x+1+\dfrac1{x+1}\right)dx=\left[x^2+x+\ln(x+1)\right]_0^1\).

✅ \(A=2+\ln2\).

3) Calculer \(\displaystyle\int_e^{e^2}\dfrac1{x\ln x}dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac1{x\ln x}=\dfrac{u’}u\) avec \(u=\ln x\) : \(\left[\ln|\ln x|\right]_e^{e^2}=\ln2-\ln1\).

✅ \(\ln2\).

4) Calculer \(\displaystyle\int_{-1}^1\left|e^x-1\right|dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Valeur absolue : on étudie le signe et on découpe l’intervalle.

🔢 Étape 1 : \(e^x-1\leq0\) sur \([-1,0]\) et \(\geq0\) sur \([0,1]\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_{-1}^0\left(1-e^x\right)dx+\int_0^1\left(e^x-1\right)dx=\left[x-e^x\right]_{-1}^0+\left[e^x-x\right]_0^1=\dfrac1e+(e-2)\).

✅ \(e+\dfrac1e-2\).

Exercice 34

1.a) Développer \(x(x-2)(x+2)\).

Correction détaillée

🔢 \(x(x-2)(x+2)=x\left(x^2-4\right)\).

✅ \(x(x-2)(x+2)=x^3-4x\).

1.b) Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(\dfrac{3x+1}{x^3-4x}=\dfrac ax+\dfrac b{x-2}+\dfrac c{x+2}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition : on vérifie \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\text{polynôme}+\dfrac{a}{x-\alpha}+\dots\) puis on intègre terme à terme (\(\dfrac1{x-\alpha}\to\ln|x-\alpha|\)).

🔢 Étape 1 : On réduit : \(\dfrac{3x+1}{x(x-2)(x+2)}\) et \(a(x-2)(x+2)+bx(x+2)+cx(x-2)=3x+1\).

🔢 Étape 2 : \(x=0\) : \(-4a=1\), \(a=-\dfrac14\). \(x=2\) : \(8b=7\), \(b=\dfrac78\). \(x=-2\) : \(8c=-5\), \(c=-\dfrac58\).

✅ \(a=-\dfrac14\), \(b=\dfrac78\), \(c=-\dfrac58\).

2) Calculer \(\displaystyle\int_3^4\dfrac{3x+1}{x^3-4x}dx\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes ne sont pas lisibles : sur \([1,3]\) l’intégrale serait impropre (la fraction n’est pas définie en \(2\)). Elles sont lues \(3\) et \(4\) ; avec toute autre paire de bornes dans \(]2,+\infty[\), la même primitive s’applique.

🔢 Étape 1 : \(\displaystyle\int_3^4\left(-\dfrac1{4x}+\dfrac7{8(x-2)}-\dfrac5{8(x+2)}\right)dx=\left[-\dfrac14\ln x+\dfrac78\ln(x-2)-\dfrac58\ln(x+2)\right]_3^4\).

🔢 Étape 2 : En \(4\) : \(-\dfrac12\ln2+\dfrac78\ln2-\dfrac58\ln6\). En \(3\) : \(-\dfrac14\ln3-\dfrac58\ln5\).

🔢 Étape 3 : En regroupant : \(\left(-\dfrac12+\dfrac78-\dfrac58\right)\ln2+\left(-\dfrac58+\dfrac14\right)\ln3+\dfrac58\ln5\).

✅ \(-\dfrac14\ln2-\dfrac38\ln3+\dfrac58\ln5\).

Exercice 35

1) Calculer \(A=\displaystyle\int_{\ln3}^{\ln4}\dfrac{2e^x-3}{e^x+2e^{-x}-3}dx\).

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan, la ligne 1) est coupée en bas de page (« … et ») : seules \(A\) et \(B=\int_1^e\frac{\ln^2x}x\,dx\) sont visibles ; \(B=\frac13\) figure déjà dans l’exercice 2 (question 6).

🔢 Étape 1 : On multiplie numérateur et dénominateur par \(e^x\) : \(\dfrac{2e^x-3}{e^x+2e^{-x}-3}=\dfrac{2e^{2x}-3e^x}{e^{2x}-3e^x+2}\).

🔢 Étape 2 : Le numérateur est la dérivée du dénominateur \(u=e^{2x}-3e^x+2\) : \(A=\left[\ln u\right]_{\ln3}^{\ln4}\).

🔢 Étape 3 : \(u(\ln4)=16-12+2=6\) et \(u(\ln3)=9-9+2=2\).

✅ \(A=\ln6-\ln2=\ln3\).

2) En utilisant une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{\left(x^2+1\right)^2}dx=\dfrac{\pi-2}8\).

Correction détaillée

⚠️ Les bornes lues sont \(0\) et \(1\) (confirmées par la valeur \(\frac{\pi-2}8\)).

📘 Méthode : Intégration par parties ; \(\displaystyle\int\dfrac{dx}{1+x^2}=\arctan x\).

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=\dfrac x{(x^2+1)^2}\) ; \(u’=1\), \(v=-\dfrac1{2\left(x^2+1\right)}\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}dx=\left[-\dfrac{x}{2\left(x^2+1\right)}\right]_0^1+\dfrac12\int_0^1\dfrac1{x^2+1}dx=-\dfrac14+\dfrac12\int_0^1\dfrac{dx}{x^2+1}\).

🔢 Étape 3 : On admet \(\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{x^2+1}=\left[\arctan x\right]_0^1=\dfrac\pi4\) (la fonction \(\arctan\) est la primitive de \(\dfrac1{1+x^2}\) qui s’annule en \(0\)).

✅ \(\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}dx=-\dfrac14+\dfrac\pi8=\dfrac{\pi-2}8\).

Exercice 36

1) Montrer que \(\dfrac{e^{-2x}}{1+e^{-x}}=e^{-x}-1+\dfrac{e^x}{1+e^x}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition : on vérifie \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\text{polynôme}+\dfrac{a}{x-\alpha}+\dots\) puis on intègre terme à terme (\(\dfrac1{x-\alpha}\to\ln|x-\alpha|\)).

🔢 Étape 1 : Posons \(t=e^{-x}\) ; alors \(\dfrac{e^x}{1+e^x}=\dfrac1{1+t}\) (diviser par \(e^x\)).

🔢 Étape 2 : \(t-1+\dfrac1{1+t}=\dfrac{(t-1)(t+1)+1}{1+t}=\dfrac{t^2}{1+t}=\dfrac{e^{-2x}}{1+e^{-x}}\).

✅ L’égalité est démontrée.

2) Calculer \(A=\displaystyle\int_0^{\ln2}\dfrac{e^{-2x}}{1+e^{-x}}dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A=\displaystyle\int_0^{\ln2}\left(e^{-x}-1+\dfrac{e^x}{1+e^x}\right)dx=\left[-e^{-x}-x+\ln\left(1+e^x\right)\right]_0^{\ln2}\).

🔢 Étape 2 : En \(\ln2\) : \(-\dfrac12-\ln2+\ln3\). En \(0\) : \(-1+\ln2\).

✅ \(A=\dfrac12-2\ln2+\ln3\).

3) À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(B=\displaystyle\int_0^{\ln2}e^{-x}\ln\left(1+e^{-x}\right)dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties.

🔢 Étape 1 : \(u=\ln\left(1+e^{-x}\right)\), \(v’=e^{-x}\) ; \(u’=\dfrac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}\), \(v=-e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : \(B=\left[-e^{-x}\ln\left(1+e^{-x}\right)\right]_0^{\ln2}-\displaystyle\int_0^{\ln2}\dfrac{e^{-2x}}{1+e^{-x}}dx=\left(-\dfrac12\ln\dfrac32+\ln2\right)-A\).

🔢 Étape 3 : \(B=\dfrac32\ln2-\dfrac12\ln3-\dfrac12+2\ln2-\ln3\).

✅ \(B=\dfrac72\ln2-\dfrac32\ln3-\dfrac12\).

Exercice 37

2.a) Vérifier que \(\dfrac1{\sin^2x}=\dfrac{1+\tan^2x}{\tan^2x}\) avec \(x\in\left[\dfrac\pi4,\dfrac\pi3\right]\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{1+\tan^2x}{\tan^2x}=\dfrac{\frac1{\cos^2x}}{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=\dfrac1{\sin^2x}\) (car \(1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}\)).

✅ L’égalité est vérifiée.

2.b) Calculer \(\displaystyle\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}\dfrac1{\sin^2x}dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac1{\sin^2x}=\dfrac{1+\tan^2x}{\tan^2x}=\dfrac1{\tan^2x}+1=\cot^2x+1\) et \(\left(\cot x\right)’=-\dfrac1{\sin^2x}\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}\dfrac1{\sin^2x}dx=\left[-\dfrac1{\tan x}\right]_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}=-\dfrac1{\sqrt3}+1\).

✅ \(1-\dfrac{\sqrt3}3\).

3) À l’aide d’une double intégration par parties, calculer \(A=\displaystyle\int_1^e\cos(\pi\ln x)\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit « \(\cos(\pi\ln x)\) » ; lu ainsi. La question 1 de cet exercice (\(\int_e^{e^2}\frac1{x\ln x}dx\) et \(\int_{-1}^1|e^x-1|dx\)) est celle de l’exercice 33 de cette série.

📘 Méthode : Deux intégrations par parties donnent un système linéaire en \(A\) et \(A’\).

🔢 Étape 1 : On pose aussi \(A’=\displaystyle\int_1^e\sin(\pi\ln x)\,dx\).

🔢 Étape 2 : Par parties (\(u=\cos(\pi\ln x)\), \(v’=1\)) : \(A=\left[x\cos(\pi\ln x)\right]_1^e+\pi\displaystyle\int_1^e\sin(\pi\ln x)dx=(-e-1)+\pi A’\).

🔢 Étape 3 : Par parties (\(u=\sin(\pi\ln x)\), \(v’=1\)) : \(A’=\left[x\sin(\pi\ln x)\right]_1^e-\pi\displaystyle\int_1^e\cos(\pi\ln x)dx=0-\pi A\).

🔢 Étape 4 : Donc \(A=-e-1-\pi^2A\), c’est-à-dire \(\left(1+\pi^2\right)A=-(e+1)\).

✅ \(A=-\dfrac{e+1}{1+\pi^2}\).

Exercice 38

1) On pose \(A=\displaystyle\int_1^{e^\pi}\sin(\ln x)\,dx\) et \(B=\displaystyle\int_1^{e^\pi}\cos(\ln x)\,dx\). Montrer que \(A=-B\) (on pourra poser \(u(x)=\sin(\ln x)\) et \(v'(x)=1\)).

Correction détaillée

⚠️ La borne inférieure est illisible ; lue \(1\) (c’est elle qui donne le « \(-1\) » de la relation de la question 2.a)).

📘 Méthode : Intégration par parties avec \(v’=1\).

🔢 Étape 1 : \(u'(x)=\dfrac{\cos(\ln x)}x\) et \(v(x)=x\).

🔢 Étape 2 : \(A=\left[x\sin(\ln x)\right]_1^{e^\pi}-\displaystyle\int_1^{e^\pi}\cos(\ln x)dx=\left(e^\pi\sin\pi-\sin0\right)-B=-B\).

✅ \(A=-B\).

2.a) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(B=-e^\pi-1+A\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties avec \(v’=1\).

🔢 Étape 1 : \(u=\cos(\ln x)\), \(v’=1\) ; \(u’=-\dfrac{\sin(\ln x)}x\), \(v=x\).

🔢 Étape 2 : \(B=\left[x\cos(\ln x)\right]_1^{e^\pi}+\displaystyle\int_1^{e^\pi}\sin(\ln x)dx=\left(e^\pi\cos\pi-\cos0\right)+A\).

✅ \(B=-e^\pi-1+A\).

2.b) En déduire les valeurs de \(A\) et \(B\).

Correction détaillée

🔢 \(A=-B\) donne \(B=-e^\pi-1-B\), donc \(2B=-\left(e^\pi+1\right)\).

✅ \(B=-\dfrac{e^\pi+1}2\) et \(A=\dfrac{e^\pi+1}2\).

Exercice 39

1) Linéariser \(f(x)=\sin^2x\) puis en déduire une primitive de \(f\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Linéarisation : \(\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}2\).

🔢 Étape 1 : \(\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}2\).

🔢 Étape 2 : Une primitive est \(F(x)=\dfrac x2-\dfrac{\sin2x}4\).

✅ \(\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}2\) ; \(F(x)=\dfrac x2-\dfrac{\sin2x}4\).

2) Calculer \(I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\sin^2x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 \(I=\left[\dfrac x2-\dfrac{\sin2x}4\right]_0^{\frac\pi2}=\dfrac\pi4-0\).

✅ \(I=\dfrac\pi4\).

3) Calculer \(K=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x\sin^2x\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(K=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\dfrac x2dx-\dfrac12\int_0^{\frac\pi2}x\cos2x\,dx=\dfrac{\pi^2}{16}-\dfrac12\int_0^{\frac\pi2}x\cos2x\,dx\).

🔢 Étape 2 : Par parties (\(u=x\), \(v’=\cos2x\)) : \(\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}x\cos2x\,dx=\left[\dfrac{x\sin2x}2\right]_0^{\frac\pi2}-\dfrac12\int_0^{\frac\pi2}\sin2x\,dx=0-\dfrac12\times1=-\dfrac12\).

🔢 Étape 3 : \(K=\dfrac{\pi^2}{16}+\dfrac14\).

✅ \(K=\dfrac{\pi^2}{16}+\dfrac14\).

Exercice 40

1) Écrire la fonction \(g(x)=x\sqrt{x^2+1}\) sous la forme \(a\,f'(x)\sqrt{f(x)}\) avec \(a\in\mathbb R\) et \(f\) une fonction convenable à choisir.

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan la forme demandée est écrite « \(a\,f'(x)f(x)\) » ; avec \(f(x)=x^2+1\), \(x\sqrt{x^2+1}\) n’est pas de cette forme, c’est donc \(a\,f'(x)\sqrt{f(x)}\) qui est lu.

📘 Méthode : On reconnaît \(u’u^{\alpha}\), dont une primitive est \(\dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}\).

🔢 On pose \(f(x)=x^2+1\) ; \(f'(x)=2x\), donc \(x=\dfrac12f'(x)\).

✅ \(g(x)=\dfrac12f'(x)\sqrt{f(x)}\) avec \(f(x)=x^2+1\) et \(a=\dfrac12\).

2) Calculer \(\displaystyle\int_{-1}^1x\sqrt{x^2+1}\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Une primitive de \(g\) est \(G(x)=\dfrac12\times\dfrac{(x^2+1)^{\frac32}}{\frac32}=\dfrac13\left(x^2+1\right)^{\frac32}\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_{-1}^1g(x)dx=G(1)-G(-1)=\dfrac13\left(2\sqrt2-2\sqrt2\right)\) (\(G\) est paire).

✅ \(\displaystyle\int_{-1}^1x\sqrt{x^2+1}\,dx=0\) (\(g\) est impaire).

Exercice 41

1) Écrire la fonction \(g(x)=\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}\) sous la forme \(a\,\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\) avec \(a\in\mathbb R\) et \(f\) une fonction convenable à choisir.

Correction détaillée

⚠️ Même remarque que dans l’exercice précédent : la forme écrite sur le scan est lue \(a\,\frac{f’}{\sqrt f}\).

📘 Méthode : On reconnaît \(\dfrac{u’}{\sqrt u}\), dont une primitive est \(2\sqrt u\).

🔢 On pose \(f(x)=x^2+1\) ; \(f'(x)=2x\), donc \(g(x)=\dfrac12\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\).

✅ \(a=\dfrac12\) et \(f(x)=x^2+1\).

2) Calculer \(\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Une primitive de \(g\) est \(G(x)=\sqrt{x^2+1}\).

🔢 Étape 2 : \(G(1)-G(-1)=\sqrt2-\sqrt2\).

✅ \(\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}dx=0\) (\(g\) est impaire).

Exercice 42

1.a) On considère \(A=\displaystyle\int_0^{\ln2}\dfrac{e^{2x}}{e^x+1}dx\) et \(B=\displaystyle\int_0^{\ln2}e^x\ln\left(e^x+1\right)dx\). Vérifier que \(e^x-1+\dfrac1{e^x+1}=\dfrac{e^{2x}}{e^x+1}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition puis intégration terme à terme.

🔢 \(e^x-1+\dfrac1{e^x+1}=\dfrac{(e^x-1)(e^x+1)+1}{e^x+1}=\dfrac{e^{2x}-1+1}{e^x+1}\).

✅ L’égalité est vérifiée.

1.b) Donner la fonction dérivée de \(f(x)=\ln\left(\dfrac{e^{2x}}{e^x+1}\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=2x-\ln\left(e^x+1\right)\), donc \(f'(x)=2-\dfrac{e^x}{e^x+1}\).

✅ \(f'(x)=2-\dfrac{e^x}{e^x+1}=\dfrac{e^x+2}{e^x+1}\).

2.a) Calculer \(A\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après 1.a) : \(A=\displaystyle\int_0^{\ln2}\left(e^x-1+\dfrac1{e^x+1}\right)dx\). Or \(\dfrac1{e^x+1}=1-\dfrac{e^x}{e^x+1}\), donc \(e^x-1+\dfrac1{e^x+1}=e^x-\dfrac{e^x}{e^x+1}\).

🔢 Étape 2 : \(A=\left[e^x-\ln\left(e^x+1\right)\right]_0^{\ln2}=\left(2-\ln3\right)-\left(1-\ln2\right)\).

✅ \(A=1+\ln2-\ln3\).

2.b) À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(B\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=\ln\left(e^x+1\right)\), \(v’=e^x\) ; \(u’=\dfrac{e^x}{e^x+1}\). On choisit \(v=e^x+1\) (primitive de \(e^x\)).

🔢 Étape 2 : \(B=\left[(e^x+1)\ln\left(e^x+1\right)\right]_0^{\ln2}-\displaystyle\int_0^{\ln2}e^xdx=3\ln3-2\ln2-1\).

✅ \(B=3\ln3-2\ln2-1\).

Exercice 43

Calculer \(C=\displaystyle\int_0^12x\sqrt{x^2+1}\,dx\).

Correction détaillée

⚠️ La première intégrale de cet exercice du scan, \(\int_1^e\frac{(\ln x)^3}x\,dx=\frac14\), est identique à \(I_{17}\) de l’exercice 2 de la partie I ; elle n’est pas répétée.

📘 Méthode : Forme \(u’u^{\alpha}\) : primitive \(\dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}\).

🔢 Étape 1 : \(2x\sqrt{x^2+1}=u’\sqrt u\) avec \(u=x^2+1\).

🔢 Étape 2 : \(C=\left[\dfrac23\left(x^2+1\right)^{\frac32}\right]_0^1=\dfrac23\left(2\sqrt2-1\right)\).

✅ \(C=\dfrac{4\sqrt2-2}3\).

Exercice 44

Montrer les inégalités suivantes :

1) Montrer que \(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx\geq0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Positivité et ordre : si \(f\leq g\) sur \([a,b]\) avec \(a<b\), alors \(\displaystyle\int_a^bf\leq\int_a^bg\). Si \(m\leq f\leq M\), alors \(m(b-a)\leq\displaystyle\int_a^bf\leq M(b-a)\).

🔢 Étape 1 : Pour \(x\in[1,e]\), \(\ln x\geq0\) et \(1<e\).

🔢 Étape 2 : Par positivité de l’intégrale, \(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx\geq0\).

✅ \(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx\geq0\).

2) Montrer que \(\dfrac1e\leq\displaystyle\int_0^1e^{-t^2}dt\leq1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(t\in[0,1]\) : \(0\leq t^2\leq1\), donc \(-1\leq-t^2\leq0\) puis \(e^{-1}\leq e^{-t^2}\leq1\) (\(\exp\) croissante).

🔢 Étape 2 : On intègre sur \([0,1]\) (longueur \(1\)) : \(e^{-1}\times1\leq\displaystyle\int_0^1e^{-t^2}dt\leq1\times1\).

✅ \(\dfrac1e\leq\displaystyle\int_0^1e^{-t^2}dt\leq1\).

Exercice 45

Montrer que \(\dfrac16\leq I=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{1+x}dx\leq\dfrac13\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\in[0,1]\) : \(1\leq1+x\leq2\), donc \(\dfrac12\leq\dfrac1{1+x}\leq1\).

🔢 Étape 2 : En multipliant par \(x^2\geq0\) : \(\dfrac{x^2}2\leq\dfrac{x^2}{1+x}\leq x^2\).

🔢 Étape 3 : On intègre : \(\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}2dx=\dfrac16\) et \(\displaystyle\int_0^1x^2dx=\dfrac13\).

✅ \(\dfrac16\leq I\leq\dfrac13\).

Exercice 46

1) Soit \(f(x)=e^{-x^2}\) et, pour \(a\geq1\), \(F(a)=\displaystyle\int_1^af(x)\,dx\). Démontrer que pour tout réel \(x\geq1\) : \(0\leq f(x)\leq e^{-x}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\geq1\) : \(x^2\geq x\), donc \(-x^2\leq-x\) et, par croissance de \(\exp\), \(e^{-x^2}\leq e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : Et \(e^{-x^2}>0\).

✅ \(0\leq f(x)\leq e^{-x}\) pour tout \(x\geq1\).

2) En déduire que pour tout réel \(a\geq1\) : \(0\leq F(a)\leq e^{-1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On intègre l’encadrement sur \([1,a]\) : \(0\leq F(a)\leq\displaystyle\int_1^ae^{-x}dx=e^{-1}-e^{-a}\).

🔢 Étape 2 : Comme \(e^{-a}>0\), \(e^{-1}-e^{-a}\leq e^{-1}\).

✅ \(0\leq F(a)\leq e^{-1}\).

Exercice 47

Déterminer la valeur moyenne de la fonction \(f(x)=\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\) sur \([0,\ln2]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) : \(\mu=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\).

🔢 Étape 1 : Valeur moyenne : \(\mu=\dfrac1{\ln2-0}\displaystyle\int_0^{\ln2}\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}dx\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{u’}{u^2}\) avec \(u=e^x+1\) : \(\displaystyle\int_0^{\ln2}\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}dx=\left[-\dfrac1{e^x+1}\right]_0^{\ln2}=-\dfrac13+\dfrac12=\dfrac16\).

✅ \(\mu=\dfrac1{6\ln2}\).

Exercice 48

1) Soit \(f(x)=\dfrac1{1+x^2}\) définie sur \(\mathbb R\). Montrer que \(\forall t\in[0,1]\) : \(\dfrac t2\leq\dfrac t{1+t^2}\leq t\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(t\in[0,1]\) : \(1\leq1+t^2\leq2\), donc \(\dfrac12\leq\dfrac1{1+t^2}\leq1\).

🔢 Étape 2 : On multiplie par \(t\geq0\).

✅ \(\dfrac t2\leq\dfrac t{1+t^2}\leq t\) sur \([0,1]\).

2) En déduire un encadrement de \(\displaystyle\int_0^1\dfrac t{1+t^2}dt\), puis de \(\ln2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On intègre : \(\displaystyle\int_0^1\dfrac t2dt=\dfrac14\) et \(\displaystyle\int_0^1t\,dt=\dfrac12\), donc \(\dfrac14\leq\displaystyle\int_0^1\dfrac t{1+t^2}dt\leq\dfrac12\).

🔢 Étape 2 : Or \(\displaystyle\int_0^1\dfrac t{1+t^2}dt=\left[\dfrac12\ln\left(1+t^2\right)\right]_0^1=\dfrac12\ln2\).

🔢 Étape 3 : Donc \(\dfrac14\leq\dfrac12\ln2\leq\dfrac12\).

✅ \(\dfrac14\leq\displaystyle\int_0^1\dfrac t{1+t^2}dt\leq\dfrac12\) et \(\dfrac12\leq\ln2\leq1\).

Exercice 49

1) Soit \(f\) la fonction définie par \(f(t)=\dfrac1{\sqrt{t^2+1}}\) avec \(t\in[1;2]\). Vérifier que pour tout \(1\leq t\leq x\leq2\) : \(\dfrac1{\sqrt{x^2+1}}\leq f(t)\leq\dfrac1{\sqrt2}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(1\leq t\leq x\) donne \(2\leq t^2+1\leq x^2+1\), donc \(\sqrt2\leq\sqrt{t^2+1}\leq\sqrt{x^2+1}\).

🔢 Étape 2 : La fonction inverse est décroissante sur \(\mathbb R_+^*\) : \(\dfrac1{\sqrt{x^2+1}}\leq\dfrac1{\sqrt{t^2+1}}\leq\dfrac1{\sqrt2}\).

✅ \(\dfrac1{\sqrt{x^2+1}}\leq f(t)\leq\dfrac1{\sqrt2}\).

2) En déduire que \(\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}\leq F(x)\leq\dfrac{x-1}{\sqrt2}\), où \(F\) est la primitive de \(f\) qui s’annule en \(1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(F(x)=\displaystyle\int_1^xf(t)\,dt\).

🔢 Étape 2 : On intègre l’encadrement de la question 1 sur \([1,x]\) (longueur \(x-1\)) : \(\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}\leq F(x)\leq\dfrac{x-1}{\sqrt2}\).

✅ \(\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}\leq F(x)\leq\dfrac{x-1}{\sqrt2}\).

3) Soit \(g(x)\) la valeur moyenne de \(f\) sur \([1;x]\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}g(x)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème des gendarmes : si \(u(x)\leq g(x)\leq v(x)\) et \(u,v\) ont la même limite \(\ell\), alors \(g\to\ell\).

🔢 Étape 1 : \(g(x)=\dfrac1{x-1}\displaystyle\int_1^xf(t)dt=\dfrac{F(x)}{x-1}\) pour \(x\in]1,2]\).

🔢 Étape 2 : D’après la question 2 : \(\dfrac1{\sqrt{x^2+1}}\leq g(x)\leq\dfrac1{\sqrt2}\).

🔢 Étape 3 : Quand \(x\to1^+\) : \(\dfrac1{\sqrt{x^2+1}}\to\dfrac1{\sqrt2}\). Par le théorème des gendarmes, \(g(x)\to\dfrac1{\sqrt2}\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}g(x)=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\) (c’est \(f(1)\)).

Exercice 50

1) Pour \(n\in\mathbb N^*\), on pose \(I_n=\displaystyle\int_0^1x^ne^{-x}dx\). À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(I_1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=e^{-x}\) ; \(u’=1\), \(v=-e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : \(I_1=\left[-xe^{-x}\right]_0^1+\displaystyle\int_0^1e^{-x}dx=-\dfrac1e+\left(1-\dfrac1e\right)\).

✅ \(I_1=1-\dfrac2e\).

2.a) Montrer que \(I_n=nI_{n-1}-\dfrac1e\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=x^n\), \(v’=e^{-x}\) ; \(u’=nx^{n-1}\), \(v=-e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : \(I_n=\left[-x^ne^{-x}\right]_0^1+n\displaystyle\int_0^1x^{n-1}e^{-x}dx=-\dfrac1e+nI_{n-1}\) (avec \(I_0=\displaystyle\int_0^1e^{-x}dx=1-\dfrac1e\)).

✅ \(I_n=nI_{n-1}-\dfrac1e\).

2.b) En déduire les valeurs de \(I_2\) et \(I_3\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(I_2=2I_1-\dfrac1e=2-\dfrac4e-\dfrac1e\).

🔢 Étape 2 : \(I_3=3I_2-\dfrac1e=6-\dfrac{15}e-\dfrac1e\).

✅ \(I_2=2-\dfrac5e\) et \(I_3=6-\dfrac{16}e\).

2.c) Calculer \(\displaystyle\int_0^1\left(2x^3-4x^2\right)e^{-x}dx\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan note cette intégrale « \(I_n\) » ; c’est une valeur numérique à calculer avec \(I_2\) et \(I_3\).

🔢 \(\displaystyle\int_0^1\left(2x^3-4x^2\right)e^{-x}dx=2I_3-4I_2=12-\dfrac{32}e-8+\dfrac{20}e\).

✅ \(4-\dfrac{12}e\).

3.a) Montrer que la suite \((I_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\in[0,1]\), \(x^{n+1}\leq x^n\), donc \(x^{n+1}e^{-x}\leq x^ne^{-x}\).

🔢 Étape 2 : On intègre sur \([0,1]\) : \(I_{n+1}\leq I_n\).

✅ \((I_n)\) est décroissante.

3.b) Montrer que \((I_n)\) est minorée par \(0\).

Correction détaillée

🔢 Pour \(x\in[0,1]\), \(x^ne^{-x}\geq0\), donc \(I_n\geq0\).

✅ \((I_n)\) est minorée par \(0\).

3.c) En déduire que \((I_n)\) est convergente.

Correction détaillée

🔢 Elle est décroissante et minorée.

✅ \((I_n)\) est convergente (théorème de la limite monotone).

4) Montrer que \(I_n\leq\dfrac1{n+1}\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\). En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\in[0,1]\), \(e^{-x}\leq1\), donc \(x^ne^{-x}\leq x^n\).

🔢 Étape 2 : \(I_n\leq\displaystyle\int_0^1x^ndx=\dfrac1{n+1}\).

🔢 Étape 3 : Avec \(0\leq I_n\leq\dfrac1{n+1}\) et \(\dfrac1{n+1}\to0\).

✅ \(I_n\leq\dfrac1{n+1}\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0\) (gendarmes).

Exercice 51

1.a) Pour \(n\in\mathbb N^*\), on pose \(u_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}dx\) (et \(u_0=\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{1+e^{-x}}\)). Montrer que \(u_0+u_1=1\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0+u_1=\displaystyle\int_0^1\dfrac{1+e^{-x}}{1+e^{-x}}dx=\int_0^1dx=1\).

✅ \(u_0+u_1=1\).

1.b) Calculer \(u_1\), puis en déduire \(u_0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=-\dfrac{u’}u\) avec \(u=1+e^{-x}\) : \(u_1=\left[-\ln\left(1+e^{-x}\right)\right]_0^1=-\ln\left(1+\dfrac1e\right)+\ln2\).

🔢 Étape 2 : \(u_0=1-u_1\).

✅ \(u_1=\ln\dfrac{2e}{e+1}\) et \(u_0=1-\ln\dfrac{2e}{e+1}\).

2) Montrer que \(u_n\geq0\) pour tout \(n\).

Correction détaillée

🔢 Pour \(x\in[0,1]\), \(\dfrac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}\geq0\).

✅ \(u_n\geq0\) par positivité de l’intégrale.

3.a) Montrer que \(u_{n+1}+u_n=\dfrac{1-e^{-n}}n\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit « pour tout \(n\in\mathbb N\) » ; pour \(n=0\) la formule n’a pas de sens (division par \(0\)), on prend donc \(n\in\mathbb N^*\).

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}+u_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{e^{-(n+1)x}+e^{-nx}}{1+e^{-x}}dx=\int_0^1\dfrac{e^{-nx}\left(e^{-x}+1\right)}{1+e^{-x}}dx=\int_0^1e^{-nx}dx\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^1e^{-nx}dx=\left[-\dfrac{e^{-nx}}n\right]_0^1=\dfrac{1-e^{-n}}n\).

✅ \(u_{n+1}+u_n=\dfrac{1-e^{-n}}n\).

3.b) En déduire que \(u_n\leq\dfrac{1-e^{-n}}n\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}\geq0\), donc \(u_n=\dfrac{1-e^{-n}}n-u_{n+1}\leq\dfrac{1-e^{-n}}n\).

✅ \(u_n\leq\dfrac{1-e^{-n}}n\).

3.c) Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(0\leq u_n\leq\dfrac{1-e^{-n}}n\leq\dfrac1n\) et \(\dfrac1n\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\) (gendarmes).

Exercice 52

1) Soit \(\left(u_n\right)_{n\geq1}\) définie par \(u_n=\displaystyle\int_1^ex(\ln x)^{n+1}dx\) pour \(n\in\mathbb N^*\) et \(u_0=\displaystyle\int_1^ex\ln x\,dx\). À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(u_0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=x\) ; \(u’=\dfrac1x\), \(v=\dfrac{x^2}2\).

🔢 Étape 2 : \(u_0=\left[\dfrac{x^2\ln x}2\right]_1^e-\dfrac12\displaystyle\int_1^ex\,dx=\dfrac{e^2}2-\dfrac{e^2-1}4\).

✅ \(u_0=\dfrac{e^2+1}4\).

2) À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(u_1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u_1=\displaystyle\int_1^ex\ln^2x\,dx\) ; \(u=\ln^2x\), \(v’=x\) ; \(u’=\dfrac{2\ln x}x\), \(v=\dfrac{x^2}2\).

🔢 Étape 2 : \(u_1=\left[\dfrac{x^2\ln^2x}2\right]_1^e-\displaystyle\int_1^ex\ln x\,dx=\dfrac{e^2}2-u_0=\dfrac{e^2}2-\dfrac{e^2+1}4\).

✅ \(u_1=\dfrac{e^2-1}4\).

3) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\) : \(u_n\geq0\).

Correction détaillée

🔢 Sur \([1,e]\), \(\ln x\geq0\) donc \(x(\ln x)^{n+1}\geq0\).

✅ \(u_n\geq0\).

4.a) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \([1,e]\), \(0\leq\ln x\leq1\), donc \((\ln x)^{n+2}\leq(\ln x)^{n+1}\).

🔢 Étape 2 : En multipliant par \(x>0\) et en intégrant : \(u_{n+1}\leq u_n\).

✅ \((u_n)\) est décroissante.

4.b) En déduire qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 Elle est décroissante et minorée par \(0\) (question 3).

✅ \((u_n)\) est convergente.

5.a) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(2u_{n+1}+(n+2)u_n=e^2\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : On calcule \(u_{n+1}=\displaystyle\int_1^ex(\ln x)^{n+2}dx\) : \(u=(\ln x)^{n+2}\), \(v’=x\) ; \(u’=\dfrac{(n+2)(\ln x)^{n+1}}x\), \(v=\dfrac{x^2}2\).

🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}=\left[\dfrac{x^2(\ln x)^{n+2}}2\right]_1^e-\dfrac{n+2}2\displaystyle\int_1^ex(\ln x)^{n+1}dx=\dfrac{e^2}2-\dfrac{n+2}2u_n\).

🔢 Étape 3 : On multiplie par \(2\).

✅ \(2u_{n+1}+(n+2)u_n=e^2\).

5.b) En déduire la valeur de \(u_2\).

Correction détaillée

⚠️ Cette question figure dans une autre version de la même suite (feuille de Benmoussa, exercice 27) : les deux sujets sont identiques, ils sont fusionnés ici.

🔢 Étape 1 : Avec \(n=1\) : \(2u_2+3u_1=e^2\).

🔢 Étape 2 : \(u_2=\dfrac{e^2-3u_1}2=\dfrac{e^2-\frac34\left(e^2-1\right)}2\).

✅ \(u_2=\dfrac{e^2+3}8\).

6.a) Montrer que \(u_n\leq\dfrac{e^2}{n+2}\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 D’après 5.a) : \((n+2)u_n=e^2-2u_{n+1}\leq e^2\) car \(u_{n+1}\geq0\).

✅ \(u_n\leq\dfrac{e^2}{n+2}\).

6.b) En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(0\leq u_n\leq\dfrac{e^2}{n+2}\) et \(\dfrac{e^2}{n+2}\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\) (gendarmes).

Exercice 53

1) Soit \(u_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac1{1+x^n}dx\) pour \(n\in\mathbb N\). Montrer que \((u_n)\) est croissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\in[0,1]\) : \(x^{n+1}\leq x^n\), donc \(1+x^{n+1}\leq1+x^n\) et \(\dfrac1{1+x^{n+1}}\geq\dfrac1{1+x^n}\).

🔢 Étape 2 : En intégrant sur \([0,1]\) : \(u_{n+1}\geq u_n\).

✅ \((u_n)\) est croissante.

2) Montrer que \(\dfrac12\leq u_n\leq1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\in[0,1]\) : \(1\leq1+x^n\leq2\), donc \(\dfrac12\leq\dfrac1{1+x^n}\leq1\).

🔢 Étape 2 : On intègre sur \([0,1]\) (longueur \(1\)).

✅ \(\dfrac12\leq u_n\leq1\).

Exercice 54

1) Soit \(u_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{e^{nx}}{1+e^x}dx\) pour \(n\in\mathbb N\). Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \(\forall x\in[0;1]\) : \(\dfrac{e^{nx}}{1+e}\leq\dfrac{e^{nx}}{1+e^x}\leq\dfrac{e^{nx}}2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\in[0,1]\) : \(1\leq e^x\leq e\), donc \(2\leq1+e^x\leq1+e\).

🔢 Étape 2 : Par décroissance de la fonction inverse : \(\dfrac1{1+e}\leq\dfrac1{1+e^x}\leq\dfrac12\), puis on multiplie par \(e^{nx}>0\).

✅ L’encadrement est démontré.

2) En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{u_n}{e^n}\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème de comparaison (limite \(+\infty\)) et théorème des gendarmes.

🔢 Étape 1 : On intègre sur \([0,1]\) pour \(n\geq1\) : \(\displaystyle\int_0^1e^{nx}dx=\dfrac{e^n-1}n\), donc \(\dfrac{e^n-1}{n(1+e)}\leq u_n\leq\dfrac{e^n-1}{2n}\).

🔢 Étape 2 : Or \(\dfrac{e^n-1}{n(1+e)}=\dfrac{e^n}n\times\dfrac{1-e^{-n}}{1+e}\to+\infty\) (croissances comparées : \(\dfrac{e^n}n\to+\infty\)). Donc \(u_n\to+\infty\).

🔢 Étape 3 : En divisant par \(e^n\) : \(\dfrac{1-e^{-n}}{n(1+e)}\leq\dfrac{u_n}{e^n}\leq\dfrac{1-e^{-n}}{2n}\). Les deux membres tendent vers \(0\) : \(\dfrac{u_n}{e^n}\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{e^n}=0\).

Exercice 55

1) On considère \(I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\dfrac1{\cos^2x}dx\) et \(J=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\dfrac1{\cos^4x}dx\). Calculer \(I\).

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan, \(J\) est écrit avec \(\cos^3x\) ; la fonction \(f(x)=\frac{\sin x}{\cos^3x}\) et la dérivée \(f’=\frac3{\cos^4x}-\frac2{\cos^2x}\) de la question 2 ne donnent une relation entre \(I\) et \(J\) que si \(J=\int\frac1{\cos^4x}\) : c’est la lecture retenue.

🔢 \(\dfrac1{\cos^2x}=\left(\tan x\right)’\), donc \(I=\left[\tan x\right]_0^{\frac\pi4}=1-0\).

✅ \(I=1\).

2.a) Soit \(f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^3x}\) définie sur \(\left[0;\dfrac\pi4\right]\). Montrer que \(f'(x)=\dfrac3{\cos^4x}-\dfrac2{\cos^2x}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=\dfrac{\cos x\cdot\cos^3x-\sin x\cdot\left(-3\cos^2x\sin x\right)}{\cos^6x}=\dfrac{\cos^2x+3\sin^2x}{\cos^4x}\).

🔢 Étape 2 : \(\cos^2x+3\sin^2x=3-2\cos^2x\) (car \(\sin^2x=1-\cos^2x\)), donc \(f'(x)=\dfrac{3-2\cos^2x}{\cos^4x}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac3{\cos^4x}-\dfrac2{\cos^2x}\).

2.b) Déterminer une relation entre \(I\) et \(J\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(f\) est dérivable, \(\displaystyle\int_a^bf'(x)dx=f(b)-f(a)\).

🔢 Étape 1 : On intègre \(f’\) sur \(\left[0,\dfrac\pi4\right]\) : \(\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}f'(x)dx=3J-2I\).

🔢 Étape 2 : Or \(\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}f’=f\left(\dfrac\pi4\right)-f(0)\) avec \(f\left(\dfrac\pi4\right)=\dfrac{\frac{\sqrt2}2}{\left(\frac{\sqrt2}2\right)^3}=\dfrac1{\frac12}=2\) et \(f(0)=0\).

✅ \(3J-2I=2\).

2.c) En déduire le calcul de \(J\).

Correction détaillée

🔢 \(3J=2+2I=4\).

✅ \(J=\dfrac43\).

Exercice 56

1.a) On pose \(I=\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+2}}\), \(J=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}dx\), \(K=\displaystyle\int_0^1\sqrt{x^2+2}\,dx\). Soit \(f(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\) sur \([0;1]\). Calculer la dérivée de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=\dfrac{1+\frac x{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}}=\dfrac{\frac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac1{\sqrt{x^2+2}}\).

1.b) Calculer la valeur de \(I\).

Correction détaillée

🔢 \(I=\displaystyle\int_0^1f'(x)dx=f(1)-f(0)=\ln\left(1+\sqrt3\right)-\ln\sqrt2\).

✅ \(I=\ln\dfrac{1+\sqrt3}{\sqrt2}\).

2.a) Vérifier que \(J+2I=K\).

Correction détaillée

🔢 \(J+2I=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^2+2}}dx=\int_0^1\sqrt{x^2+2}\,dx\).

✅ \(J+2I=K\).

2.b) Montrer que \(K=\sqrt3-J\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : Par parties : \(u=\sqrt{x^2+2}\), \(v’=1\) ; \(u’=\dfrac x{\sqrt{x^2+2}}\), \(v=x\).

🔢 Étape 2 : \(K=\left[x\sqrt{x^2+2}\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}dx=\sqrt3-J\).

✅ \(K=\sqrt3-J\).

2.c) En déduire les valeurs de \(J\) et de \(K\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(J+2I=\sqrt3-J\), donc \(J=\dfrac{\sqrt3}2-I\).

🔢 Étape 2 : \(K=\sqrt3-J=\dfrac{\sqrt3}2+I\).

✅ \(J=\dfrac{\sqrt3}2-\ln\dfrac{1+\sqrt3}{\sqrt2}\) et \(K=\dfrac{\sqrt3}2+\ln\dfrac{1+\sqrt3}{\sqrt2}\).

Exercice 57

1) Soit \(f:x\mapsto\dfrac1{e^x(1-x)}\). Étudier les variations de \(f\) sur \(\left[0,\dfrac12\right]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(g\) est décroissante et strictement positive, \(\dfrac1g\) est croissante.

🔢 Étape 1 : Posons \(g(x)=e^x(1-x)\). \(g'(x)=e^x(1-x)-e^x=-xe^x\leq0\) sur \(\left[0,\dfrac12\right]\) et \(g>0\).

🔢 Étape 2 : \(g\) est décroissante et strictement positive, donc \(f=\dfrac1g\) est croissante. (\(f'(x)=\dfrac{xe^x}{\left(e^x(1-x)\right)^2}\geq0\).)

✅ \(f\) est croissante sur \(\left[0,\dfrac12\right]\).

2) En déduire que \(\forall x\in\left[0;\dfrac12\right]\) : \(1\leq f(x)\leq\dfrac2{\sqrt e}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(0)=\dfrac1{1\times1}=1\) et \(f\left(\dfrac12\right)=\dfrac1{\sqrt e\times\frac12}=\dfrac2{\sqrt e}\).

🔢 Étape 2 : \(f\) étant croissante : \(f(0)\leq f(x)\leq f\left(\dfrac12\right)\).

✅ \(1\leq f(x)\leq\dfrac2{\sqrt e}\).

3.a) Vérifier que \(\forall x\in\left[0;\dfrac12\right]\) : \(1+x+\dfrac{x^2}{1-x}=\dfrac1{1-x}\).

Correction détaillée

🔢 \(1+x+\dfrac{x^2}{1-x}=\dfrac{(1+x)(1-x)+x^2}{1-x}=\dfrac{1-x^2+x^2}{1-x}\).

✅ L’égalité est vérifiée.

3.b) Montrer que \(\displaystyle\int_0^{\frac12}\dfrac{1+x}{e^x}dx+\int_0^{\frac12}x^2f(x)dx=\int_0^{\frac12}\dfrac{dx}{e^x(1-x)}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{1+x}{e^x}+x^2f(x)=e^{-x}\left(1+x+\dfrac{x^2}{1-x}\right)\) car \(f(x)=\dfrac{e^{-x}}{1-x}\).

🔢 Étape 2 : D’après 3.a) : \(e^{-x}\times\dfrac1{1-x}=\dfrac1{e^x(1-x)}\). On intègre sur \(\left[0,\dfrac12\right]\) (linéarité).

✅ L’égalité est démontrée.

3.c) Calculer \(\displaystyle\int_0^{\frac12}\dfrac{1+x}{e^x}dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{1+x}{e^x}=(1+x)e^{-x}\). Par parties (\(u=1+x\), \(v’=e^{-x}\)) : \(\left[-(1+x)e^{-x}\right]_0^{\frac12}+\displaystyle\int_0^{\frac12}e^{-x}dx\).

🔢 Étape 2 : \(=-\dfrac32e^{-\frac12}+1+\left(1-e^{-\frac12}\right)\). (On vérifie : \(\left[-(x+2)e^{-x}\right]’=(x+1)e^{-x}\).)

✅ \(\displaystyle\int_0^{\frac12}\dfrac{1+x}{e^x}dx=2-\dfrac5{2\sqrt e}\).

3.d) Montrer que \(\dfrac1{24}\leq\displaystyle\int_0^{\frac12}x^2f(x)\,dx\leq\dfrac1{12\sqrt e}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Encadrement : \(m\leq f\leq M\Rightarrow\displaystyle\int_a^bg\,m\leq\int_a^bg\,f\leq\int_a^bg\,M\) si \(g\geq0\).

🔢 Étape 1 : D’après la question 2 : \(x^2\leq x^2f(x)\leq\dfrac{2x^2}{\sqrt e}\) sur \(\left[0,\dfrac12\right]\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^{\frac12}x^2dx=\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^{\frac12}=\dfrac1{24}\) et \(\dfrac2{\sqrt e}\times\dfrac1{24}=\dfrac1{12\sqrt e}\).

✅ \(\dfrac1{24}\leq\displaystyle\int_0^{\frac12}x^2f(x)\,dx\leq\dfrac1{12\sqrt e}\).

Exercice 58

1) Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=(x+1)e^{-x}\), \((\mathcal C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) (unité \(4\) cm). Déterminer l’aire \(S(\lambda)\) de la surface délimitée par \((\mathcal C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=\lambda\) (\(\lambda>0\)).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\) (en unités d’aire). Si \(f\leq g\), l’aire entre les deux courbes est \(\displaystyle\int_a^b\left(g-f\right)dx\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : Pour \(x\geq0\), \(f(x)=(x+1)e^{-x}>0\) : l’aire est \(\displaystyle\int_0^\lambda f(x)dx\) en unités d’aire.

🔢 Étape 2 : Une primitive de \(f\) est \(F(x)=-(x+2)e^{-x}\) (car \(F'(x)=-e^{-x}+(x+2)e^{-x}=(x+1)e^{-x}\)).

🔢 Étape 3 : \(\displaystyle\int_0^\lambda f=F(\lambda)-F(0)=2-(\lambda+2)e^{-\lambda}\).

🔢 Étape 4 : Une unité d’aire vaut \(4\times4=16\) cm\(^2\).

✅ \(S(\lambda)=16\left[2-(\lambda+2)e^{-\lambda}\right]\) cm\(^2\).

2) Déterminer \(\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}S(\lambda)\).

Correction détaillée

🔢 \((\lambda+2)e^{-\lambda}=\lambda e^{-\lambda}+2e^{-\lambda}\to0\) (croissances comparées).

✅ \(\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}S(\lambda)=32\) cm\(^2\).

Exercice 59

1.a) Soit \(f(x)=x+3+\dfrac{2(1-\ln x)}{\sqrt x}\) sur \(]0,+\infty[\) et \((\mathcal C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé. Montrer que la droite \((D):y=x+3\) est asymptote à \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)-(x+3)=\dfrac2{\sqrt x}-2\dfrac{\ln x}{\sqrt x}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac2{\sqrt x}\to0\) et \(\dfrac{\ln x}{\sqrt x}\to0\) quand \(x\to+\infty\) (croissances comparées).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-(x+3)\right]=0\) : \((D)\) est asymptote à \((\mathcal C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).

1.b) Étudier la position relative de \((\mathcal C_f)\) et \((D)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)-(x+3)=\dfrac{2(1-\ln x)}{\sqrt x}\) a le signe de \(1-\ln x\).

🔢 Étape 2 : \(1-\ln x\geq0\iff x\leq e\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est au-dessus de \((D)\) sur \(]0,e]\), au-dessous sur \([e,+\infty[\) ; ils se coupent en \(x=e\).

2) Déterminer l’aire \(S(\lambda)\) de la surface comprise entre \((\mathcal C_f)\), \((D)\) et les droites \(x=1\) et \(x=\lambda\) avec \(\lambda\geq1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Posons \(h(x)=f(x)-(x+3)=2(1-\ln x)x^{-\frac12}\). Une primitive est \(G(x)=12\sqrt x-4\sqrt x\ln x\) (car \(G'(x)=\dfrac6{\sqrt x}-\dfrac{2\ln x}{\sqrt x}-\dfrac4{\sqrt x}=h(x)\)).

🔢 Étape 2 : Pour \(1\leq\lambda\leq e\) : \(h\geq0\) et \(S(\lambda)=G(\lambda)-G(1)=12\sqrt\lambda-4\sqrt\lambda\ln\lambda-12\).

🔢 Étape 3 : Pour \(\lambda\geq e\) : \(S(\lambda)=\displaystyle\int_1^eh-\int_e^\lambda h=\left[G(e)-G(1)\right]-\left[G(\lambda)-G(e)\right]=2G(e)-G(1)-G(\lambda)\), avec \(G(e)=8\sqrt e\).

✅ Pour \(1\leq\lambda\leq e\) : \(S(\lambda)=12\sqrt\lambda-4\sqrt\lambda\ln\lambda-12\) ; pour \(\lambda\geq e\) : \(S(\lambda)=16\sqrt e-12-12\sqrt\lambda+4\sqrt\lambda\ln\lambda\) (unités d’aire).

Exercice 60

1) Soit \(f(x)=\dfrac{2x+1}{(x-2)^3}\). Déterminer \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) est définie si et seulement si \((x-2)^3\neq0\iff x\neq2\).

✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{2\}\).

2) Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(\forall x\in D_f\) : \(f(x)=\dfrac a{(x-2)^2}+\dfrac b{(x-2)^3}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Décomposition en éléments simples par identification des coefficients.

🔢 Étape 1 : \(\dfrac a{(x-2)^2}+\dfrac b{(x-2)^3}=\dfrac{a(x-2)+b}{(x-2)^3}=\dfrac{ax-2a+b}{(x-2)^3}\).

🔢 Étape 2 : Identification avec \(2x+1\) : \(a=2\) et \(-2a+b=1\), donc \(b=5\).

✅ \(a=2\) et \(b=5\).

3) Calculer \(\displaystyle\int_{-1}^1f(x)\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)=\dfrac2{(x-2)^2}+\dfrac5{(x-2)^3}\), de primitive \(F(x)=-\dfrac2{x-2}-\dfrac5{2(x-2)^2}\).

🔢 Étape 2 : \(F(1)=2-\dfrac52=-\dfrac12\) et \(F(-1)=\dfrac23-\dfrac5{18}=\dfrac7{18}\).

🔢 Étape 3 : \(\displaystyle\int_{-1}^1f=F(1)-F(-1)=-\dfrac12-\dfrac7{18}\).

✅ \(\displaystyle\int_{-1}^1f(x)dx=-\dfrac89\).

Exercice 61

1) Pour tout réel \(a>0\) on définit \(I(a)=\displaystyle\int_1^a\dfrac{\ln x}{x^2}dx\). À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(I(a)=1-\dfrac{1+\ln a}a\).

Correction détaillée

⚠️ L’expression imprimée de \(I(a)\) sur le scan est peu lisible (dénominateur et signe) ; la valeur ci-dessus est celle obtenue par le calcul (vérifiée numériquement).

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=\dfrac1{x^2}\) ; \(u’=\dfrac1x\), \(v=-\dfrac1x\).

🔢 Étape 2 : \(I(a)=\left[-\dfrac{\ln x}x\right]_1^a+\displaystyle\int_1^a\dfrac1{x^2}dx=-\dfrac{\ln a}a+\left[-\dfrac1x\right]_1^a=-\dfrac{\ln a}a+1-\dfrac1a\).

✅ \(I(a)=1-\dfrac{1+\ln a}a\).

2) En déduire la limite de \(I(a)\) quand \(a\) tend vers \(+\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{\ln a}a\to0\) et \(\dfrac1a\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{a\to+\infty}I(a)=1\).

3) On définit \(J(a)=\displaystyle\int_1^a\dfrac{\ln x}{x^2+1}dx\). Vérifier que \(\forall x\geq1\) : \(x^2\leq x^2+1\leq2x^2\).

Correction détaillée

🔢 \(x^2\leq x^2+1\) est évident ; et \(x^2+1\leq2x^2\iff1\leq x^2\), vrai pour \(x\geq1\).

✅ \(x^2\leq x^2+1\leq2x^2\) pour tout \(x\geq1\).

4) Montrer que \(\dfrac12I(a)\leq J(a)\leq I(a)\) pour \(a\geq1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Encadrement et intégration : \(f\leq g\Rightarrow\displaystyle\int f\leq\int g\).

🔢 Étape 1 : D’après 3), pour \(x\geq1\) : \(\dfrac1{2x^2}\leq\dfrac1{x^2+1}\leq\dfrac1{x^2}\).

🔢 Étape 2 : Comme \(\ln x\geq0\) sur \([1,a]\) : \(\dfrac{\ln x}{2x^2}\leq\dfrac{\ln x}{x^2+1}\leq\dfrac{\ln x}{x^2}\).

🔢 Étape 3 : On intègre sur \([1,a]\).

✅ \(\dfrac12I(a)\leq J(a)\leq I(a)\).

Exercice 62

1) Soit \(f(x)=\dfrac1x+\ln x\) et \((\mathcal C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé. Calculer \(I=\displaystyle\int_1^e\dfrac{dx}x\) et \(J=\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(I=\left[\ln x\right]_1^e=1\).

🔢 Étape 2 : \(J=\left[x\ln x-x\right]_1^e=(e-e)-(0-1)\).

✅ \(I=1\) et \(J=1\).

2) Calculer l’aire de la partie du plan délimitée par \((\mathcal C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=1\) et \(x=e\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \([1,e]\), \(\dfrac1x>0\) et \(\ln x\geq0\), donc \(f>0\).

🔢 Étape 2 : Aire \(=\displaystyle\int_1^ef(x)dx=I+J\).

✅ L’aire vaut \(2\) unités d’aire.

3) Montrer que \(G(x)=x\left[(\ln x)^2-2\ln x+2\right]\) est une primitive de \(g(x)=(\ln x)^2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(G'(x)=\left[(\ln x)^2-2\ln x+2\right]+x\left[\dfrac{2\ln x}x-\dfrac2x\right]\).

🔢 Étape 2 : \(=\ln^2x-2\ln x+2+2\ln x-2=\ln^2x\).

✅ \(G'(x)=(\ln x)^2\) : \(G\) est une primitive de \(g\).

4.a) Soit \(t\in]0;1[\). Calculer \(A=\displaystyle\int_t^1\dfrac{\ln x}x\,dx\) et \(B=\displaystyle\int_t^1(\ln x)^2dx\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A=\left[\dfrac{\ln^2x}2\right]_t^1=-\dfrac{\ln^2t}2\).

🔢 Étape 2 : \(B=G(1)-G(t)=2-t\left[\ln^2t-2\ln t+2\right]\).

✅ \(A=-\dfrac{\ln^2t}2\) et \(B=2-t\ln^2t+2t\ln t-2t\).

4.b) Calculer en fonction de \(t\) le volume \(V(t)\) du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses de la courbe \((\mathcal C_f)\) sur l’intervalle \([t;1]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(V(t)=\pi\displaystyle\int_t^1f(x)^2dx\) avec \(f(x)^2=\dfrac1{x^2}+\dfrac{2\ln x}x+\ln^2x\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_t^1\dfrac{dx}{x^2}=\left[-\dfrac1x\right]_t^1=\dfrac1t-1\) ; \(2A=-\ln^2t\) ; \(B\) comme ci-dessus.

🔢 Étape 3 : \(V(t)=\pi\left[\dfrac1t-1-\ln^2t+2-t\ln^2t+2t\ln t-2t\right]\).

✅ \(V(t)=\pi\left[\dfrac1t+1-(1+t)\ln^2t+2t\ln t-2t\right]\) (unités de volume).

4.c) Calculer \(\displaystyle\lim_{t\to0^+}V(t)\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit \(\lim_{t\to+\infty}V(t)\), mais \(t\in]0;1[\) : la limite qui a un sens est \(t\to0^+\).

🔢 \(t\ln t\to0\), \(t\ln^2t\to0\), \(t\to0\) ; \(\dfrac1t-\ln^2t=\dfrac1t\left(1-t\ln^2t\right)\to+\infty\) (croissances comparées).

✅ \(\displaystyle\lim_{t\to0^+}V(t)=+\infty\).

Exercice 63

1.a) Calculer la fonction dérivée de \(f(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=\dfrac{1+\frac x{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}}=\dfrac{\frac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac1{\sqrt{x^2+2}}\).

1.b) Montrer que \(A=\displaystyle\int_0^2\dfrac1{\sqrt{x^2+2}}dx=\ln\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A=f(2)-f(0)=\ln\left(2+\sqrt6\right)-\ln\sqrt2=\ln\dfrac{2+\sqrt6}{\sqrt2}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{2+\sqrt6}{\sqrt2}=\sqrt2+\sqrt3\).

✅ \(A=\ln\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\).

2.a) On pose \(B=\displaystyle\int_0^2\sqrt{x^2+2}\,dx\) et \(C=\displaystyle\int_0^2\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}dx\). Montrer que \(2A=B-C\).

Correction détaillée

🔢 \(B-C=\displaystyle\int_0^2\dfrac{x^2+2-x^2}{\sqrt{x^2+2}}dx=\int_0^2\dfrac2{\sqrt{x^2+2}}dx\).

✅ \(B-C=2A\).

2.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(B+C=2\sqrt6\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=\sqrt{x^2+2}\), \(v’=1\) ; \(u’=\dfrac x{\sqrt{x^2+2}}\), \(v=x\).

🔢 Étape 2 : \(B=\left[x\sqrt{x^2+2}\right]_0^2-\displaystyle\int_0^2\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}dx=2\sqrt6-C\).

✅ \(B+C=2\sqrt6\).

2.c) En déduire les valeurs de \(B\) et \(C\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan demande « les valeurs de \(A\) et \(B\) » ; \(A\) étant déjà connu en 1.b), ce sont \(B\) et \(C\) qui sont déduits.

🔢 Étape 1 : On additionne \(B-C=2A\) et \(B+C=2\sqrt6\) : \(2B=2A+2\sqrt6\).

🔢 Étape 2 : Puis \(C=2\sqrt6-B\).

✅ \(B=\sqrt6+\ln\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\) et \(C=\sqrt6-\ln\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\).

Exercice 64

1.a) Linéariser \(\sin^3x\) et en déduire que \(\sin^3x=-\dfrac14\sin3x+\dfrac34\sin x\).

Correction détaillée

⚠️ Le signe devant \(\frac14\sin3x\) est « \(+\) » sur le scan, ce qui est faux (à \(x=\frac\pi2\) : \(\sin^3=1\) alors que \(\frac14\sin\frac{3\pi}2+\frac34=\frac12\)). La formule correcte est \(-\frac14\sin3x+\frac34\sin x\).

📘 Méthode : Formules d’Euler, ou formule de trigonométrie \(\sin3x=3\sin x-4\sin^3x\).

🔢 Étape 1 : \(\sin^3x=\left(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^3=\dfrac{e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-3ix}}{-8i}\) (car \((2i)^3=-8i\)).

🔢 Étape 2 : On regroupe : \(e^{3ix}-e^{-3ix}=2i\sin3x\) et \(e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x\), donc le numérateur vaut \(2i\sin3x-3\times2i\sin x\).

🔢 Étape 3 : \(\sin^3x=\dfrac{2i\left(\sin3x-3\sin x\right)}{-8i}=\dfrac{3\sin x-\sin3x}4\).

✅ \(\sin^3x=-\dfrac14\sin3x+\dfrac34\sin x\).

1.b) Calculer \(A=\displaystyle\int_{\frac\pi3}^\pi\sin^3x\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Linéarisation puis primitives de \(\cos(kx)\) et \(\sin(kx)\).

🔢 Étape 1 : \(A=\left[\dfrac{\cos3x}{12}-\dfrac34\cos x\right]_{\frac\pi3}^\pi=\left(-\dfrac1{12}+\dfrac34\right)-\left(-\dfrac1{12}-\dfrac38\right)\).

🔢 Étape 2 : En \(\pi\) : \(\dfrac{\cos3\pi}{12}-\dfrac34\cos\pi=-\dfrac1{12}+\dfrac34=\dfrac23\). En \(\dfrac\pi3\) : \(\dfrac{\cos\pi}{12}-\dfrac34\cos\dfrac\pi3=-\dfrac1{12}-\dfrac38=-\dfrac{11}{24}\).

✅ \(A=\dfrac23+\dfrac{11}{24}=\dfrac98\).

2.a) On pose \(B=\displaystyle\int_{\frac\pi3}^\pi\cos^3x\,dx\). Calculer \(A+B\).

Correction détaillée

⚠️ Le sujet demande « \(A+B\) » puis « en déduire \(B\) » ; ici \(A\) et \(B\) sont calculées chacune par linéarisation, et la somme est donnée.

🔢 Étape 1 : \(\cos^3x=\dfrac14\cos3x+\dfrac34\cos x\) (linéarisation).

🔢 Étape 2 : \(A+B=\displaystyle\int_{\frac\pi3}^\pi\left(\sin^3x+\cos^3x\right)dx\). Les deux intégrales se calculent : \(A=\dfrac98\) et \(B=\left[\dfrac{\sin3x}{12}+\dfrac34\sin x\right]_{\frac\pi3}^\pi=0-\left(0+\dfrac{3\sqrt3}8\right)=-\dfrac{3\sqrt3}8\).

✅ \(A+B=\dfrac98-\dfrac{3\sqrt3}8\).

2.b) En déduire la valeur de \(B\).

Correction détaillée

🔢 \(B=(A+B)-A=\dfrac98-\dfrac{3\sqrt3}8-\dfrac98\).

✅ \(B=-\dfrac{3\sqrt3}8\).

3) On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y’+2y+1=0\). Déterminer la solution \(g\) de \((E)\) qui vérifie \(2\displaystyle\int_0^{\ln2}g(x)dx=3+\ln2\).

Correction détaillée

⚠️ La valeur de droite lue sur le scan, \(3+\ln2\), donne une constante peu naturelle ; avec \(3-\ln2\) on trouverait \(C=4\) et \(g(x)=4e^{-2x}-\frac12\). Le calcul est fait avec la valeur lue.

📘 Méthode : \(y’+ay=b\) a pour solutions \(y=Ce^{-ax}+\dfrac ba\).

🔢 Étape 1 : \((E)\iff y’=-2y-1\) : les solutions sont \(g(x)=Ce^{-2x}-\dfrac12\), \(C\in\mathbb R\) (solution particulière \(-\dfrac12\)).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^{\ln2}g(x)dx=C\left[-\dfrac{e^{-2x}}2\right]_0^{\ln2}-\dfrac{\ln2}2=C\times\dfrac38-\dfrac{\ln2}2\).

🔢 Étape 3 : \(2\displaystyle\int_0^{\ln2}g=\dfrac{3C}4-\ln2=3+\ln2\iff C=\dfrac43\left(3+2\ln2\right)=4+\dfrac83\ln2\).

✅ \(g(x)=\left(4+\dfrac83\ln2\right)e^{-2x}-\dfrac12\).

Exercice 65

Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) et l’espace d’un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) (unité \(1\) cm).

2) Soit \(f(x)=r\) sur \(I=[0,h]\) où \(r\) et \(h\) sont deux réels strictement positifs. Calculer en unités de volume le volume \(V\) du solide de révolution obtenu par la rotation de la courbe \((\mathcal C_f)\) autour de l’axe des abscisses sur \([0,h]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Volume du solide engendré par la rotation de la courbe de \(f\) autour de l’axe des abscisses sur \([a,b]\) : \(V=\pi\displaystyle\int_a^b\left(f(x)\right)^2dx\) (unités de volume ; si l’unité est le cm : \(V\) en cm\(^3\)).

🔢 Étape 1 : \(V=\pi\displaystyle\int_0^h\left(f(x)\right)^2dx=\pi\displaystyle\int_0^hr^2dx\).

🔢 Étape 2 : \(r^2\) est une constante : \(V=\pi\left[r^2x\right]_0^h=\pi r^2h\).

✅ \(V=\pi r^2h\) (unités de volume).

3) Que représente le résultat obtenu ?

Correction détaillée

🔢 Le solide est un cylindre de rayon de base \(r\) et de hauteur \(h\).

✅ On retrouve la formule du volume d’un cylindre : \(V=\pi r^2h\).

Exercice 66

2) Soit \(f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\) sur \(I=[-r,r]\) (\(r>0\)). Calculer en unités de volume le volume \(V\) du solide de révolution obtenu par la rotation de \((\mathcal C_f)\) autour de l’axe des abscisses.

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan, la question 2 parle de l’intervalle \([0,h]\) (copier-coller de l’exercice précédent) ; la solution du document intègre bien sur \([-r,r]\), intervalle retenu ici.

🔢 Étape 1 : \(V=\pi\displaystyle\int_{-r}^r\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2dx=\pi\displaystyle\int_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)dx\).

🔢 Étape 2 : \(V=\pi\left[r^2x-\dfrac{x^3}3\right]_{-r}^r=\pi\left[\left(r^3-\dfrac{r^3}3\right)-\left(-r^3+\dfrac{r^3}3\right)\right]=\pi\times\dfrac43r^3\).

✅ \(V=\dfrac43\pi r^3\) (unités de volume).

3) Que représente le résultat obtenu ?

Correction détaillée

🔢 La courbe est le demi-cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) ; en tournant, il engendre une sphère.

✅ On retrouve le volume d’une boule de rayon \(r\) : \(V=\dfrac43\pi r^3\).

Exercice 67

2) Soit \(f(x)=\dfrac rhx\) sur \(I=[0,h]\) (\(r,h>0\)). Calculer en unités de volume le volume \(V\) du solide de révolution obtenu par la rotation de \((\mathcal C_f)\) autour de l’axe des abscisses.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(V=\pi\displaystyle\int_0^h\left(\dfrac rhx\right)^2dx=\pi\dfrac{r^2}{h^2}\displaystyle\int_0^hx^2dx\).

🔢 Étape 2 : \(V=\pi\dfrac{r^2}{h^2}\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^h=\pi\dfrac{r^2}{h^2}\times\dfrac{h^3}3\).

✅ \(V=\dfrac13\pi r^2h\) (unités de volume).

3) Que représente le résultat obtenu ?

Correction détaillée

🔢 Le solide est un cône de révolution de rayon de base \(r\) et de hauteur \(h\).

✅ On retrouve le volume d’un cône de révolution : \(V=\dfrac13\pi r^2h\).

Exercice 68

2) Soit \(f(x)=x-5\) sur \([-1,2]\) (repère orthonormé, unité \(1\) cm). Calculer en unité de volume le volume \(V\) du solide de révolution obtenu par la rotation de \((\mathcal C_f)\) autour de l’axe des abscisses sur \([-1,2]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(V=\pi\displaystyle\int_{-1}^2(x-5)^2dx\), et \((x-5)^2=u’u^2\) avec \(u=x-5\).

🔢 Étape 2 : \(V=\pi\left[\dfrac{(x-5)^3}3\right]_{-1}^2=\dfrac\pi3\left[(-3)^3-(-6)^3\right]=\dfrac\pi3(-27+216)\).

✅ \(V=63\pi\) cm\(^3\).

Exercice 69

2) Soit \(f(x)=x+\dfrac1x(1+\ln x)\) définie sur \(]0,+\infty[\) (unité \(1\) cm) et \(\Delta:y=x\). Pour \(\lambda>1\), \((A)\) est le domaine des points \(M(x,y)\) tels que \(1\leq x\leq\lambda\) et \(x\leq y\leq f(x)\). Calculer en cm\(^2\), en fonction de \(\lambda\), l’aire \(A(\lambda)\) de \((A)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : Sur \([1,\lambda]\), \(f(x)-x=\dfrac{1+\ln x}x\geq0\) : la courbe est au-dessus de \(\Delta\).

🔢 Étape 2 : \(A(\lambda)=\displaystyle\int_1^\lambda\left(f(x)-x\right)dx=\int_1^\lambda\dfrac{1+\ln x}xdx\).

🔢 Étape 3 : \(\dfrac{1+\ln x}x=u’u\) avec \(u=1+\ln x\) : \(A(\lambda)=\left[\dfrac{(1+\ln x)^2}2\right]_1^\lambda=\dfrac{(1+\ln\lambda)^2-1}2\).

✅ \(A(\lambda)=\dfrac12\ln^2\lambda+\ln\lambda\) cm\(^2\).

3) Calculer \(\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)\).

Correction détaillée

🔢 \(\ln\lambda\to+\infty\), donc \(\dfrac12\ln^2\lambda+\ln\lambda\to+\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)=+\infty\).

Exercice 70

2) Soit \(f(x)=5\dfrac{\ln x}x\) sur \(]0,+\infty[\) (repère orthonormé, unité \(2\) cm). Pour \(\lambda>e\), \((A)\) est le domaine des points \(M(x,y)\) tels que \(e\leq x\leq\lambda\) et \(0\leq y\leq f(x)\). Calculer en cm\(^2\), en fonction de \(\lambda\), l’aire \(A(\lambda)\).

Correction détaillée

⚠️ La solution proposée dans le document pour cet exercice est un copier-coller de l’exercice précédent (\(f(x)=x+\frac1x(1+\ln x)\)) ; le calcul est refait ici pour \(f(x)=5\frac{\ln x}x\).

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : Sur \([e,\lambda]\), \(\ln x\geq1>0\) donc \(f\geq0\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_e^\lambda5\dfrac{\ln x}xdx=5\left[\dfrac{\ln^2x}2\right]_e^\lambda=\dfrac52\left(\ln^2\lambda-1\right)\) unités d’aire.

🔢 Étape 3 : Une unité d’aire vaut \(2\times2=4\) cm\(^2\).

✅ \(A(\lambda)=10\left(\ln^2\lambda-1\right)\) cm\(^2\).

3) Calculer \(\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)\).

Correction détaillée

🔢 \(\ln^2\lambda\to+\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)=+\infty\).

Exercice 71

2) Soit \(f(x)=2x+1+\ln x\) sur \(]0,+\infty[\). Montrer que \(H:x\mapsto x^2+x\ln x\) est une primitive de \(f\) sur \(]0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(H'(x)=2x+\ln x+x\times\dfrac1x\).

🔢 Étape 2 : \(=2x+\ln x+1\).

✅ \(H'(x)=2x+1+\ln x=f(x)\).

3) Le repère est orthonormé d’unité \(5\) cm. Pour \(\lambda\in\left]0,\dfrac15\right[\), \((A)\) est le domaine des points \(M(x,y)\) tels que \(\lambda\leq x\leq\dfrac15\) et \(f(x)\leq y\leq0\). Calculer en cm\(^2\) l’aire \(A(\lambda)\).

Correction détaillée

⚠️ Le document écrit \(A(\lambda)=1-5\ln5-25\lambda^2-25\lambda\ln\lambda\), ce qui est négatif (donc impossible pour une aire) : le signe de \(f\) sur \(\left[\lambda,\frac15\right]\) n’a pas été pris en compte. La valeur corrigée est donnée ici.

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : Sur \(\left[\lambda,\dfrac15\right]\), \(f\) est croissante et \(f\left(\dfrac15\right)=\dfrac75-\ln5<0\) : \(f\leq0\).

🔢 Étape 2 : \(A(\lambda)=25\displaystyle\int_\lambda^{\frac15}\left(0-f(x)\right)dx=-25\left[H(x)\right]_\lambda^{\frac15}=-25\left(H\left(\tfrac15\right)-H(\lambda)\right)\) (unité d’aire \(=25\) cm\(^2\)).

🔢 Étape 3 : \(H\left(\dfrac15\right)=\dfrac1{25}-\dfrac15\ln5\) ; donc \(A(\lambda)=-1+5\ln5+25\lambda^2+25\lambda\ln\lambda\).

✅ \(A(\lambda)=25\lambda^2+25\lambda\ln\lambda-1+5\ln5\) cm\(^2\).

4) Calculer \(\displaystyle\lim_{\lambda\to0^+}A(\lambda)\).

Correction détaillée

🔢 \(\lambda^2\to0\) et \(\lambda\ln\lambda\to0\) (croissances comparées) quand \(\lambda\to0^+\).

✅ \(\displaystyle\lim_{\lambda\to0^+}A(\lambda)=5\ln5-1\approx7{,}05\) cm\(^2\) : l’aire est finie bien que le domaine soit non borné.

Exercice 72

(Bac 2014, session normale)

1.a) On pose \(f(x)=(1+\ln x)^2+\dfrac1{x^2}\) pour \(x\in]0,+\infty[\), \((\mathcal C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé (unité \(1\) cm), et \(I=\displaystyle\int_1^e(1+\ln x)dx\), \(J=\displaystyle\int_1^e(1+\ln x)^2dx\). Montrer que \(H:x\mapsto x\ln x\) est une primitive de \(h:x\mapsto1+\ln x\) sur \(]0,+\infty[\), puis en déduire que \(I=e\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(H'(x)=\ln x+x\times\dfrac1x=1+\ln x=h(x)\).

🔢 Étape 2 : \(I=\left[x\ln x\right]_1^e=e\ln e-1\times\ln1\).

✅ \(H\) est une primitive de \(h\) et \(I=e\).

1.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(J=2e-1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=(1+\ln x)^2\), \(v’=1\) ; \(u’=\dfrac{2(1+\ln x)}x\), \(v=x\).

🔢 Étape 2 : \(J=\left[x(1+\ln x)^2\right]_1^e-\displaystyle\int_1^e2(1+\ln x)dx=\left(4e-1\right)-2I=4e-1-2e\).

✅ \(J=2e-1\).

1.c) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((\mathcal C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=1\) et \(x=e\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : Sur \([1,e]\), \(f(x)>0\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^ef(x)dx=J+\int_1^e\dfrac1{x^2}dx=(2e-1)+\left[-\dfrac1x\right]_1^e=2e-1+1-\dfrac1e\).

🔢 Étape 3 : L’unité d’aire est \(1\times1=1\) cm\(^2\).

✅ L’aire vaut \(\left(2e-\dfrac1e\right)\) cm\(^2\).

Exercice 73

(Bac 2014, session de rattrapage)

1) On considère \(f(x)=\left(xe^x-1\right)e^x\) sur \(\mathbb R\), \((\mathcal C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé (unité \(2\) cm). À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_0^{\frac12}xe^{2x}dx=\dfrac14\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=e^{2x}\) ; \(u’=1\), \(v=\dfrac{e^{2x}}2\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^{\frac12}xe^{2x}dx=\left[\dfrac{xe^{2x}}2\right]_0^{\frac12}-\dfrac12\int_0^{\frac12}e^{2x}dx=\dfrac e4-\dfrac12\left[\dfrac{e^{2x}}2\right]_0^{\frac12}=\dfrac e4-\dfrac{e-1}4\).

✅ \(\displaystyle\int_0^{\frac12}xe^{2x}dx=\dfrac14\).

2) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((\mathcal C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=\dfrac12\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : \(f(x)=xe^{2x}-e^x\). Sur \(\left[0,\dfrac12\right]\), \(xe^x\leq\dfrac12e^{\frac12}<1\) donc \(f\leq0\) (la courbe est sous l’axe, comme sur la figure).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^{\frac12}f(x)dx=\dfrac14-\left[e^x\right]_0^{\frac12}=\dfrac14-\sqrt e+1=\dfrac54-\sqrt e\).

🔢 Étape 3 : Aire \(=-\displaystyle\int_0^{\frac12}f=\left(\sqrt e-\dfrac54\right)\) unités d’aire ; une unité d’aire vaut \(2\times2=4\) cm\(^2\).

✅ L’aire vaut \(4\left(\sqrt e-\dfrac54\right)=(4\sqrt e-5)\) cm\(^2\).

Exercice 74

(Bac 2015, session normale)

1.a) Soit \(f(x)=\dfrac1{x(1-\ln x)}\) définie sur \(D_f=]0;e[\cup]e;+\infty[\) (unité \(2\) cm). Montrer que \(\displaystyle\int_1^{\sqrt e}\dfrac1{x(1-\ln x)}dx=\ln2\) (on remarque que \(\dfrac1{x(1-\ln x)}=\dfrac{\frac1x}{1-\ln x}\)).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{\frac1x}{1-\ln x}=-\dfrac{u’}u\) avec \(u=1-\ln x\) (\(u’=-\dfrac1x\)).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^{\sqrt e}=\left[-\ln|1-\ln x|\right]_1^{\sqrt e}=-\ln\dfrac12+\ln1\).

✅ \(\displaystyle\int_1^{\sqrt e}\dfrac1{x(1-\ln x)}dx=\ln2\).

1.b) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((\mathcal C_f)\), la droite \((\Delta):y=x\) et les droites \(x=1\) et \(x=\sqrt e\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : Sur \([1,\sqrt e]\), \(\mathcal C_f\) est au-dessous de \(\Delta\) (on a \(f(1)=1\) et \(f(\sqrt e)=\dfrac2{\sqrt e}<\sqrt e\)).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^{\sqrt e}\left(x-f(x)\right)dx=\left[\dfrac{x^2}2\right]_1^{\sqrt e}-\ln2=\dfrac{e-1}2-\ln2\).

🔢 Étape 3 : Une unité d’aire vaut \(2\times2=4\) cm\(^2\).

✅ L’aire vaut \(4\left(\dfrac{e-1}2-\ln2\right)=\left(2(e-1)-4\ln2\right)\) cm\(^2\).

Exercice 75

(Bac 2015, session normale — sujet refait)

1.a) Soit \(f(x)=\dfrac x{e^x-2x}\) définie sur \(\mathbb R\), \((\mathcal C_f)\) sa courbe (unité \(1\) cm). Montrer que \(\forall x\in[0,+\infty[\) : \(xe^{-x}\leq\dfrac x{e^x-2x}\leq\dfrac1{e-2}\).

Correction détaillée

⚠️ La borne supérieure, écrite \(\frac1{e-2}\) sur le scan, est lue ainsi ; elle correspond au maximum de \(f\) (atteint en \(x=1\)) et redonne bien la borne de la question 1.c).

🔢 Étape 1 : Le dénominateur \(e^x-2x\) est strictement positif (son minimum, en \(x=\ln2\), vaut \(2-2\ln2>0\)).

🔢 Étape 2 : Minoration : pour \(x\geq0\), \(0<e^x-2x\leq e^x\), donc \(\dfrac x{e^x-2x}\geq\dfrac x{e^x}=xe^{-x}\).

🔢 Étape 3 : Majoration : \(f'(x)=\dfrac{\left(e^x-2x\right)-x\left(e^x-2\right)}{\left(e^x-2x\right)^2}=\dfrac{e^x(1-x)}{\left(e^x-2x\right)^2}\), positive sur \([0,1]\) et négative sur \([1,+\infty[\) : \(f\) admet un maximum en \(1\), égal à \(f(1)=\dfrac1{e-2}\).

✅ \(xe^{-x}\leq f(x)\leq\dfrac1{e-2}\) pour tout \(x\geq0\).

1.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx=1-\dfrac2e\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=e^{-x}\) ; \(u’=1\), \(v=-e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx=\left[-xe^{-x}\right]_0^1+\int_0^1e^{-x}dx=-\dfrac1e+1-\dfrac1e\).

✅ \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx=1-\dfrac2e\).

1.c) Soit \(A(E)\) l’aire du domaine plan limité par \((\mathcal C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=1\). Montrer que \(1-\dfrac2e\leq A(E)\leq\dfrac1{e-2}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : Sur \([0,1]\), \(f\geq0\) et \(A(E)=\displaystyle\int_0^1f(x)dx\) (unité d’aire \(1\) cm\(^2\)).

🔢 Étape 2 : On intègre l’encadrement de 1.a) sur \([0,1]\) (longueur \(1\)) : \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx\leq A(E)\leq\int_0^1\dfrac1{e-2}dx\).

✅ \(1-\dfrac2e\leq A(E)\leq\dfrac1{e-2}\).

Exercice 76

(Bac 2015, session de rattrapage)

1.a) Soit \(f(x)=3-\dfrac1{x^2}-\dfrac{2\ln x}x\) sur \(]0,+\infty[\) (unité \(2\) cm). Montrer que \(\displaystyle\int_1^e\dfrac{2\ln x}xdx=1\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{2\ln x}x=2u’u\) avec \(u=\ln x\) : \(\displaystyle\int_1^e\dfrac{2\ln x}xdx=\left[\ln^2x\right]_1^e=1-0\).

✅ \(\displaystyle\int_1^e\dfrac{2\ln x}xdx=1\).

1.b) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((\mathcal C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=1\) et \(x=e\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : Sur \([1,e]\), \(f\geq0\) (\(f(1)=2\), \(f(e)=3-\dfrac1{e^2}-\dfrac2e>0\) et \(f\) est au-dessus de l’axe sur la figure).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^ef(x)dx=3(e-1)+\left[\dfrac1x\right]_1^e-\displaystyle\int_1^e\dfrac{2\ln x}xdx=3e-3+\dfrac1e-1-1\).

🔢 Étape 3 : Une unité d’aire vaut \(2\times2=4\) cm\(^2\).

✅ L’aire vaut \(4\left(3e-5+\dfrac1e\right)=\left(12e-20+\dfrac4e\right)\) cm\(^2\).

Exercice 77

(Bac 2016, session normale)

1.a) Soit \(f(x)=2x-2+e^{2x}-4e^x\) sur \(\mathbb R\), \((\mathcal C_f)\) sa courbe (unité \(1\) cm). Montrer que \(\displaystyle\int_0^{\ln4}\left(e^{2x}-4e^x\right)dx=-\dfrac92\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\displaystyle\int_0^{\ln4}\left(e^{2x}-4e^x\right)dx=\left[\dfrac{e^{2x}}2-4e^x\right]_0^{\ln4}\).

🔢 Étape 2 : En \(\ln4\) : \(\dfrac{16}2-16=-8\). En \(0\) : \(\dfrac12-4=-\dfrac72\).

🔢 Étape 3 : \(-8-\left(-\dfrac72\right)=-\dfrac92\).

✅ \(\displaystyle\int_0^{\ln4}\left(e^{2x}-4e^x\right)dx=-\dfrac92\).

1.b) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((\mathcal C_f)\), la droite \((D):y=2x-2\), l’axe des ordonnées et la droite \(x=\ln4\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : \(f(x)-(2x-2)=e^{2x}-4e^x=e^x\left(e^x-4\right)\leq0\) sur \([0,\ln4]\) : \((\mathcal C_f)\) est au-dessous de \((D)\).

🔢 Étape 2 : Aire \(=\displaystyle\int_0^{\ln4}\left[(2x-2)-f(x)\right]dx=-\int_0^{\ln4}\left(e^{2x}-4e^x\right)dx=\dfrac92\) unités d’aire.

🔢 Étape 3 : Une unité d’aire vaut \(1\) cm\(^2\).

✅ L’aire vaut \(\dfrac92\) cm\(^2\).

Exercice 78

(Bac 2016, session de rattrapage)

1.a) Soit \(f(x)=3-3x+2(x+1)\ln x\) sur \(]0,+\infty[\) (unité \(2\) cm). Montrer que \(\displaystyle\int_1^2\left(1+\dfrac x2\right)dx=\dfrac74\).

Correction détaillée

🔢 \(\displaystyle\int_1^2\left(1+\dfrac x2\right)dx=\left[x+\dfrac{x^2}4\right]_1^2=(2+1)-\left(1+\dfrac14\right)\).

✅ \(\displaystyle\int_1^2\left(1+\dfrac x2\right)dx=\dfrac74\).

1.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_1^2(x+1)\ln x\,dx=4\ln2-\dfrac74\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=x+1\) ; \(u’=\dfrac1x\), \(v=\dfrac{x^2}2+x\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^2(x+1)\ln x\,dx=\left[\left(\dfrac{x^2}2+x\right)\ln x\right]_1^2-\int_1^2\left(\dfrac x2+1\right)dx=4\ln2-\dfrac74\).

✅ \(\displaystyle\int_1^2(x+1)\ln x\,dx=4\ln2-\dfrac74\).

1.c) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((\mathcal C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=1\) et \(x=2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : Sur \([1,2]\), \(f\geq0\) (\(f(1)=0\), \(f\) croissante sur cet intervalle, comme sur la figure).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^2f(x)dx=\int_1^2(3-3x)dx+2\int_1^2(x+1)\ln x\,dx=-\dfrac32+2\left(4\ln2-\dfrac74\right)=8\ln2-5\).

🔢 Étape 3 : Une unité d’aire vaut \(2\times2=4\) cm\(^2\).

✅ L’aire vaut \(4(8\ln2-5)=(32\ln2-20)\) cm\(^2\).

Exercice 79

(Bac 2017, session normale)

1.a) Soit \(f(x)=x+\left(1-\dfrac2x\right)\ln x\) sur \(]0,+\infty[\) (unité \(1\) cm). Montrer que \(\displaystyle\int_1^2\dfrac{\ln x}xdx=\dfrac12(\ln2)^2\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{\ln x}x=u’u\) avec \(u=\ln x\) : \(\displaystyle\int_1^2\dfrac{\ln x}xdx=\left[\dfrac{\ln^2x}2\right]_1^2\).

✅ \(\displaystyle\int_1^2\dfrac{\ln x}xdx=\dfrac12(\ln2)^2\).

1.b) Montrer que \(H:x\mapsto2\ln x-x\) est une primitive de \(h:x\mapsto\dfrac2x-1\) sur \(]0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(H'(x)=\dfrac2x-1=h(x)\).

✅ \(H\) est une primitive de \(h\).

1.c) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_1^2\left(\dfrac2x-1\right)\ln x\,dx=(1-\ln2)^2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=\dfrac2x-1\) ; \(u’=\dfrac1x\), \(v=2\ln x-x\) (question b).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^2=\left[\ln x\left(2\ln x-x\right)\right]_1^2-\int_1^2\dfrac{2\ln x-x}xdx=\ln2(2\ln2-2)-2\times\dfrac12\ln^22+\int_1^21\,dx\).

🔢 Étape 3 : \(=2\ln^22-2\ln2-\ln^22+1\).

✅ \(\displaystyle\int_1^2\left(\dfrac2x-1\right)\ln x\,dx=\ln^22-2\ln2+1=(1-\ln2)^2\).

1.d) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((\mathcal C_f)\), la droite \((D):y=x\) et les droites \(x=1\) et \(x=2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : \(f(x)-x=\left(1-\dfrac2x\right)\ln x\leq0\) sur \([1,2]\) (car \(1-\dfrac2x\leq0\) et \(\ln x\geq0\)) : \((\mathcal C_f)\) est au-dessous de \((D)\).

🔢 Étape 2 : Aire \(=\displaystyle\int_1^2\left[x-f(x)\right]dx=\int_1^2\left(\dfrac2x-1\right)\ln x\,dx=(1-\ln2)^2\).

✅ L’aire vaut \((1-\ln2)^2\) cm\(^2\) (unité d’aire \(=1\) cm\(^2\)).

Exercice 80

(Bac 2017, session de rattrapage)

1.a) Soit \(f(x)=x+1-\left(x^2+1\right)e^x\) sur \(\mathbb R\) (unité \(2\) cm). Vérifier que \(H:x\mapsto(x-1)e^x\) est une primitive de \(h:x\mapsto xe^x\) sur \(\mathbb R\), puis montrer que \(\displaystyle\int_{-1}^0xe^xdx=\dfrac2e-1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(H'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_{-1}^0xe^xdx=H(0)-H(-1)=(-1)-\left(-2e^{-1}\right)\).

✅ \(H\) est une primitive de \(h\) et \(\displaystyle\int_{-1}^0xe^xdx=\dfrac2e-1\).

1.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_{-1}^0\left(x^2+1\right)e^xdx=3\left(1-\dfrac2e\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=x^2+1\), \(v’=e^x\) ; \(u’=2x\), \(v=e^x\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_{-1}^0\left(x^2+1\right)e^xdx=\left[\left(x^2+1\right)e^x\right]_{-1}^0-2\int_{-1}^0xe^xdx=\left(1-\dfrac2e\right)-2\left(\dfrac2e-1\right)\).

✅ \(\displaystyle\int_{-1}^0\left(x^2+1\right)e^xdx=3-\dfrac6e=3\left(1-\dfrac2e\right)\).

1.c) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((\mathcal C_f)\), l’axe des ordonnées et la droite \((D):y=x+1\) et la droite d’équation \(x=-1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : \((x+1)-f(x)=\left(x^2+1\right)e^x>0\) : \((\mathcal C_f)\) est au-dessous de \((D)\).

🔢 Étape 2 : Aire \(=\displaystyle\int_{-1}^0\left(x^2+1\right)e^xdx=3\left(1-\dfrac2e\right)\) unités d’aire.

🔢 Étape 3 : Une unité d’aire vaut \(2\times2=4\) cm\(^2\).

✅ L’aire vaut \(12\left(1-\dfrac2e\right)\) cm\(^2\).

Exercice 81

(Bac 2018, session normale)

1.a) Soit \(f(x)=\left(x^2-x\right)e^{-x}+x\) sur \(\mathbb R\) (unité \(1\) cm). Vérifier que \(H:x\mapsto\left(x^2+2x+2\right)e^{-x}\) est une primitive de \(h:x\mapsto-x^2e^{-x}\) sur \(\mathbb R\), puis en déduire \(\displaystyle\int_0^1x^2e^{-x}dx=\dfrac{2e-5}e\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(H'(x)=(2x+2)e^{-x}-\left(x^2+2x+2\right)e^{-x}=-x^2e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^1-x^2e^{-x}dx=H(1)-H(0)=\dfrac5e-2\), donc \(\displaystyle\int_0^1x^2e^{-x}dx=2-\dfrac5e\).

✅ \(\displaystyle\int_0^1x^2e^{-x}dx=\dfrac{2e-5}e\).

1.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx=\dfrac{e-2}e\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 \(u=x\), \(v’=e^{-x}\) ; \(v=-e^{-x}\) : \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx=\left[-xe^{-x}\right]_0^1+\int_0^1e^{-x}dx=-\dfrac1e+1-\dfrac1e\).

✅ \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx=\dfrac{e-2}e\).

1.c) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((\mathcal C_f)\), la droite \((D):y=x\) et les droites \(x=0\) et \(x=1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : \(f(x)-x=\left(x^2-x\right)e^{-x}=x(x-1)e^{-x}\leq0\) sur \([0,1]\) : \((\mathcal C_f)\) est au-dessous de \((D)\).

🔢 Étape 2 : Aire \(=\displaystyle\int_0^1\left(x-f(x)\right)dx=\int_0^1xe^{-x}dx-\int_0^1x^2e^{-x}dx=\dfrac{e-2}e-\dfrac{2e-5}e=\dfrac{3-e}e\).

✅ L’aire vaut \(\dfrac{3-e}e=\dfrac3e-1\) cm\(^2\) (\(\approx0{,}104\)).

Exercice 82

(Bac 2018, session de rattrapage)

1.a) Montrer que la fonction \(H:x\mapsto xe^x\) est une primitive de \(h:x\mapsto(x+1)e^x\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(H'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x\).

✅ \(H’=h\) : \(H\) est une primitive de \(h\).

1.b) En déduire que \(\displaystyle\int_0^1(x+1)e^xdx=e\).

Correction détaillée

🔢 \(\displaystyle\int_0^1(x+1)e^xdx=H(1)-H(0)=e-0\).

✅ \(\displaystyle\int_0^1(x+1)e^xdx=e\).

2) En utilisant une intégration par parties, calculer \(\displaystyle\int_0^1\left(x^2+2x-1\right)e^xdx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=x^2+2x-1\), \(v’=e^x\) ; \(u’=2x+2\), \(v=e^x\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^1\left(x^2+2x-1\right)e^xdx=\left[\left(x^2+2x-1\right)e^x\right]_0^1-2\int_0^1(x+1)e^xdx=\left(2e+1\right)-2e\).

✅ \(\displaystyle\int_0^1\left(x^2+2x-1\right)e^xdx=1\).

Exercice 83

(Bac 2019, session normale)

1.a) Soit \(f(x)=x+\dfrac12-\ln x+\dfrac12(\ln x)^2\) sur \(]0,+\infty[\) (unité \(1\) cm). Vérifier que \(H:x\mapsto x\ln x-x\) est une primitive de \(h:x\mapsto\ln x\) sur \(]0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(H'(x)=\ln x+x\times\dfrac1x-1=\ln x\).

✅ \(H\) est une primitive de \(h\).

1.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_1^e(\ln x)^2dx=e-2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=[uv]_a^b-\int_a^bu’\,v\).

🔢 Étape 1 : \(u=\ln^2x\), \(v’=1\) ; \(u’=\dfrac{2\ln x}x\), \(v=x\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^e\ln^2x\,dx=\left[x\ln^2x\right]_1^e-2\int_1^e\ln x\,dx=e-2\left[x\ln x-x\right]_1^e=e-2\times1\).

✅ \(\displaystyle\int_1^e(\ln x)^2dx=e-2\).

1.c) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((\mathcal C_f)\), la droite \((\Delta):y=x\) et les droites \(x=1\) et \(x=e\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : \(f(x)-x=\dfrac12-\ln x+\dfrac12\ln^2x=\dfrac12(\ln x-1)^2\geq0\) : \((\mathcal C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\).

🔢 Étape 2 : Aire \(=\displaystyle\int_1^e\left(f(x)-x\right)dx=\dfrac{e-1}2-\left[x\ln x-x\right]_1^e+\dfrac12(e-2)=\dfrac{e-1}2-1+\dfrac{e-2}2\).

✅ L’aire vaut \(\left(e-\dfrac52\right)\) cm\(^2\) (\(\approx0{,}218\)).

Exercice 84

(Bac 2019, session de rattrapage)

1.a) Soit \(f(x)=2+8\left(\dfrac{x-2}x\right)^2e^{x-4}\) sur \(\mathbb R^*\) (unité \(1\) cm). Vérifier que \(H:x\mapsto\dfrac1xe^{x-4}\) est une primitive de \(h:x\mapsto\dfrac{x-1}{x^2}e^{x-4}\) sur l’intervalle \([2,4]\).

Correction détaillée

🔢 \(H'(x)=-\dfrac1{x^2}e^{x-4}+\dfrac1xe^{x-4}=\dfrac{-1+x}{x^2}e^{x-4}\).

✅ \(H’=h\) : \(H\) est une primitive de \(h\) sur \([2,4]\).

1.b) Vérifier que \(f(x)=2+8e^{x-4}-32\dfrac{x-1}{x^2}e^{x-4}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(8\left(\dfrac{x-2}x\right)^2=8\times\dfrac{x^2-4x+4}{x^2}=8-\dfrac{32}x+\dfrac{32}{x^2}\).

🔢 Étape 2 : Or \(-32\dfrac{x-1}{x^2}=-\dfrac{32}x+\dfrac{32}{x^2}\). Donc \(8\left(\dfrac{x-2}x\right)^2=8-32\dfrac{x-1}{x^2}\), et on multiplie par \(e^{x-4}\).

✅ \(f(x)=2+8e^{x-4}-32\dfrac{x-1}{x^2}e^{x-4}\).

1.c) Calculer l’intégrale \(\displaystyle\int_2^4e^{x-4}dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\displaystyle\int_2^4e^{x-4}dx=\left[e^{x-4}\right]_2^4=1-e^{-2}\).

✅ \(\displaystyle\int_2^4e^{x-4}dx=1-e^{-2}\).

1.d) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((\mathcal C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=2\) et \(x=4\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire : si \(f\geq0\) sur \([a,b]\), l’aire du domaine limité par \(\mathcal C_f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle\int_a^bf\) (unités d’aire) ; entre deux courbes \(f\leq g\) : \(\displaystyle\int_a^b(g-f)\). Une unité d’aire vaut \(\|\vec i\|\times\|\vec j\|\) cm\(^2\).

🔢 Étape 1 : Sur \([2,4]\), \(f(x)\geq2>0\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_2^4f(x)dx=2\times2+8\left(1-e^{-2}\right)-32\left[H(4)-H(2)\right]\) avec \(H(4)=\dfrac14\) et \(H(2)=\dfrac{e^{-2}}2\).

🔢 Étape 3 : \(=4+8-8e^{-2}-32\left(\dfrac14-\dfrac{e^{-2}}2\right)=12-8e^{-2}-8+16e^{-2}\).

✅ L’aire vaut \(\left(4+8e^{-2}\right)\) cm\(^2\) (unité d’aire \(=1\) cm\(^2\)).