Dénombrement 2ème Bac : série de synthèse corrigée

Exercice 1

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois ensembles finis.

1) Calculer \(\operatorname{card}(A-B)\) et \(\operatorname{card}(A\,\Delta\,B)\) en fonction de \(\operatorname{card}(A)\), \(\operatorname{card}(B)\) et \(\operatorname{card}(A\cap B)\).

Correction détaillée

⚠️ Le symbole du scan pour la seconde quantité est peu lisible (\(A\wedge B\)) ; on l’a lu comme la différence symétrique \(A\,\Delta\,B\).

📘 Méthode : Pour des ensembles finis : \(\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}A+\operatorname{card}B-\operatorname{card}(A\cap B)\) ; \(\operatorname{card}(A\setminus B)=\operatorname{card}A-\operatorname{card}(A\cap B)\) ; \(\operatorname{card}\bar A=\operatorname{card}E-\operatorname{card}A\) dans un ensemble \(E\).

🔢 Étape 1 : \(A\) est la réunion disjointe de \(A-B\) et de \(A\cap B\), donc \(\operatorname{card}(A-B)=\operatorname{card}A-\operatorname{card}(A\cap B)\).

🔢 Étape 2 : De même \(\operatorname{card}(B-A)=\operatorname{card}B-\operatorname{card}(A\cap B)\).

🔢 Étape 3 : \(A\,\Delta\,B=(A-B)\cup(B-A)\) (réunion disjointe) : \(\operatorname{card}(A\,\Delta\,B)=\operatorname{card}A+\operatorname{card}B-2\operatorname{card}(A\cap B)\).

✅ \(\operatorname{card}(A-B)=\operatorname{card}A-\operatorname{card}(A\cap B)\) et \(\operatorname{card}(A\,\Delta\,B)=\operatorname{card}A+\operatorname{card}B-2\operatorname{card}(A\cap B)\).

2) Montrer que \(\operatorname{card}(A\cup B\cup C)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)+\operatorname{card}(C)-\operatorname{card}(A\cap B)-\operatorname{card}(A\cap C)-\operatorname{card}(B\cap C)+\operatorname{card}(A\cap B\cap C)\) (formule de Poincaré, cas \(n=3\)).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On applique la formule à deux ensembles \(A\cup B\) et \(C\) : \(\operatorname{card}(A\cup B\cup C)=\operatorname{card}(A\cup B)+\operatorname{card}C-\operatorname{card}\left((A\cup B)\cap C\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}A+\operatorname{card}B-\operatorname{card}(A\cap B)\).

🔢 Étape 3 : \((A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)\), dont l’intersection des deux parties est \(A\cap B\cap C\) : \(\operatorname{card}\left((A\cup B)\cap C\right)=\operatorname{card}(A\cap C)+\operatorname{card}(B\cap C)-\operatorname{card}(A\cap B\cap C)\).

🔢 Étape 4 : On remplace dans la première égalité et on regroupe.

✅ \(\operatorname{card}(A\cup B\cup C)=\operatorname{card}A+\operatorname{card}B+\operatorname{card}C-\operatorname{card}(A\cap B)-\operatorname{card}(A\cap C)-\operatorname{card}(B\cap C)+\operatorname{card}(A\cap B\cap C)\).

Exercice 2

1) Dans un lycée de 100 élèves, 53 pratiquent le football, 15 pratiquent le football et le basket-ball et 20 pratiquent seulement le basket-ball sans football. Quel est le nombre d’élèves qui pratiquent le basket-ball ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour des ensembles finis : \(\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}A+\operatorname{card}B-\operatorname{card}(A\cap B)\) ; \(\operatorname{card}(A\setminus B)=\operatorname{card}A-\operatorname{card}(A\cap B)\) ; \(\operatorname{card}\bar A=\operatorname{card}E-\operatorname{card}A\) dans un ensemble \(E\).

🔢 Les élèves qui pratiquent le basket-ball sont ceux qui le pratiquent avec le football (\(15\)) et ceux qui le pratiquent sans football (\(20\)).

✅ \(15+20=35\) élèves pratiquent le basket-ball.

2) Quel est le nombre d’élèves qui pratiquent au moins un sport ?

Correction détaillée

🔢 \(\operatorname{card}(F\cup B)=\operatorname{card}F+\operatorname{card}B-\operatorname{card}(F\cap B)=53+35-15\).

✅ \(73\) élèves pratiquent au moins un sport.

3) Quel est le nombre d’élèves qui ne pratiquent pas les deux sports ?

Correction détaillée

⚠️ « Ne pratiquent pas les deux sports » est lu comme « ne pratiquent ni le football ni le basket-ball ».

🔢 On entend « qui ne pratiquent aucun des deux sports » : \(100-73\).

✅ \(27\) élèves ne pratiquent aucun des deux sports.

Exercice 3

Dans une promotion de 36 étudiants, 22 maîtrisent le C++, 22 le \(\mathrm{C}\sharp\) et 18 le Java. De plus, 10 étudiants maîtrisent à la fois le C++ et le \(\mathrm{C}\sharp\), 9 maîtrisent à la fois le \(\mathrm{C}\sharp\) et le Java, et 11 à la fois le C++ et le Java. Combien d’étudiants maîtrisent les trois langages de programmation ?

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé suppose implicitement que chacun des 36 étudiants maîtrise au moins un langage.

📘 Méthode : Formule de Poincaré pour trois ensembles (exercice précédent).

🔢 Étape 1 : Chaque étudiant maîtrise au moins un langage : \(\operatorname{card}(A\cup B\cup C)=36\).

🔢 Étape 2 : Formule de Poincaré avec \(x=\operatorname{card}(A\cap B\cap C)\) : \(36=22+22+18-10-9-11+x=32+x\).

✅ \(x=4\) étudiants maîtrisent les trois langages.

Exercice 4

Dans une entreprise, il y a \(800\) employés. \(300\) sont des hommes, \(352\) sont membres d’un syndicat, \(424\) sont mariés, \(188\) hommes syndiqués, \(166\) hommes mariés, \(208\) syndiqués et mariés, \(144\) hommes mariés syndiqués. Combien y a-t-il de femmes célibataires non syndiquées ?

Correction détaillée

📘 Méthode : On utilise la formule de Poincaré puis le complémentaire : \(\operatorname{card}\overline{H\cup S\cup M}=\operatorname{card}E-\operatorname{card}(H\cup S\cup M)\).

🔢 Étape 1 : Soient \(H\) (hommes), \(S\) (syndiqués), \(M\) (mariés). Les femmes célibataires non syndiquées forment le complémentaire de \(H\cup S\cup M\).

🔢 Étape 2 : \(\operatorname{card}(H\cup S\cup M)=300+352+424-188-166-208+144=658\).

🔢 Étape 3 : \(800-658=142\).

✅ Il y a \(142\) femmes célibataires non syndiquées.

Exercice 5

Les localités \(X\) et \(Y\) sont reliées par trois routes (\(a\), \(b\) et \(c\)) et les localités \(Y\) et \(Z\) par deux routes (\(d\) et \(e\)). Combien y a-t-il de trajets de \(X\) à \(Z\) en passant par \(Y\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 Choix d’une route de \(X\) à \(Y\) : \(3\) possibilités ; puis d’une route de \(Y\) à \(Z\) : \(2\) possibilités.

✅ \(3\times2=6\) trajets.

Exercice 6

Combien de nombres de trois chiffres peut-on former avec les chiffres \(0,1,2,3,\dots,9\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 Le chiffre des centaines ne peut pas être \(0\) : \(9\) choix. Dizaines : \(10\) choix. Unités : \(10\) choix.

✅ \(9\times10\times10=900\) nombres.

Exercice 7

1) On lance une pièce de monnaie \(2\) fois de suite. Quel est le nombre de possibilités ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 Chaque lancer a \(2\) issues (pile, face).

✅ \(2^2=4\) possibilités.

2) On lance une pièce de monnaie \(3\) fois de suite. Quel est le nombre de possibilités ?

Correction détaillée

🔢 \(2\times2\times2\).

✅ \(2^3=8\) possibilités.

Exercice 8

Une classe de \(15\) garçons et \(12\) filles. Il faut un garçon et une fille pour représenter la classe. Combien de possibilités de choix ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 \(15\) choix du garçon, puis \(12\) choix de la fille.

✅ \(15\times12=180\) possibilités.

Exercice 9

Combien de nombres de deux chiffres tels que : le chiffre des unités est \(0\), \(1\) ou \(2\) et le chiffre des dizaines est \(5\), \(6\), \(7\) ou \(8\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 Dizaines : \(4\) choix ; unités : \(3\) choix.

✅ \(4\times3=12\) nombres.

Exercice 10

1) Si on lance un dé deux fois de suite, quel est le nombre de possibilités ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 \(6\) issues pour chaque lancer.

✅ \(6\times6=36\) possibilités.

2) Combien de menus peut-on composer si on a le choix entre \(3\) entrées, \(5\) plats et \(4\) desserts ?

Correction détaillée

🔢 Une entrée, un plat et un dessert : \(3\times5\times4\).

✅ \(60\) menus.

Exercice 11

1) Soit l’ensemble \(E=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}\). Combien de nombres de \(3\) chiffres peut-on former avec les éléments de \(E\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 Chaque chiffre (centaines, dizaines, unités) peut être choisi parmi les \(9\) éléments, avec répétition.

✅ \(9^3=729\) nombres.

2) Combien de nombres de \(3\) chiffres différents deux à deux peut-on former avec les éléments de \(E\) ?

Correction détaillée

🔢 \(9\) choix pour le 1er chiffre, \(8\) pour le 2ème, \(7\) pour le 3ème.

✅ \(9\times8\times7=504\) nombres.

Exercice 12

De combien de façons différentes peut-on ranger \(5\) boules de couleurs différentes dans \(4\) cases, sachant que chaque case peut contenir toutes les boules ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 Chaque boule choisit sa case parmi les \(4\), indépendamment des autres.

✅ \(4^5=1024\) façons.

Exercice 13

Combien de numéros de téléphone à \(8\) chiffres peut-on former ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 Chacun des \(8\) chiffres a \(10\) choix, sans restriction.

✅ \(10^8\) numéros (\(100\,000\,000\)).

Exercice 14

Une femme a dans sa garde-robe : \(4\) jupes, \(5\) chemisiers et \(3\) vestes. Elle choisit au hasard une jupe, un chemisier et une veste. De combien de façons différentes peut-elle s’habiller ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 \(4\times5\times3\).

✅ \(60\) façons.

Exercice 15

Un questionnaire à choix multiples, autorisant une seule réponse par question, comprend \(15\) questions. Pour chaque question, on propose \(4\) réponses possibles. De combien de façons peut-on répondre à ce questionnaire ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 Chacune des \(15\) questions a \(4\) réponses possibles, indépendamment des autres.

✅ \(4^{15}=1\,073\,741\,824\) façons.

Exercice 16

1) Six personnes choisissent mentalement un nombre entier compris entre \(1\) et \(6\). Combien de résultats peut-on obtenir ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 Chaque personne a \(6\) choix : on forme une liste de \(6\) nombres.

✅ \(6^6=46\,656\) résultats.

2) Combien de résultats ne comportant pas deux fois le même nombre peut-on obtenir ?

Correction détaillée

🔢 Les six nombres sont tous différents : ce sont les permutations de \(\{1,\dots,6\}\), de nombre \(6\times5\times4\times3\times2\times1\).

✅ \(6!=720\) résultats.

Exercice 17

1) On jette un dé cubique bien équilibré \(2\) fois successivement. Les deux valeurs lues successivement sur la face supérieure du dé sont prises comme résultat. Quel est le nombre des résultats peut-on envisager ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 \(6\) valeurs au 1er lancer, \(6\) au 2ème.

✅ \(6\times6=36\) résultats.

2) Quel est le nombre des résultats tel que la somme des deux valeurs lues sur la face supérieure du dé est inférieure ou égale à \(5\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Quand une condition lie les deux lancers, on fixe la première valeur et on compte les secondes valeurs possibles (principe additif).

🔢 On compte selon la 1ère valeur \(a\) : \(a=1\) donne \(b\in\{1,2,3,4\}\) (\(4\)) ; \(a=2\) donne \(3\) ; \(a=3\) donne \(2\) ; \(a=4\) donne \(1\) ; \(a=5,6\) donnent \(0\).

✅ \(4+3+2+1=10\) résultats.

3) Quel est le nombre des résultats tel que le premier lancement du dé est un nombre pair ?

Correction détaillée

🔢 1er lancer pair : \(3\) choix (\(2,4,6\)) ; 2ème lancer quelconque : \(6\) choix.

✅ \(3\times6=18\) résultats.

Exercice 18

Sur YouTube, les vidéos sont identifiées à l’aide d’une chaîne de \(11\) caractères alphanumériques (\(26\) lettres majuscules, minuscules, et \(10\) chiffres). Combien de vidéos différentes peut-on ainsi identifier ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe multiplicatif : si une situation se décompose en \(k\) choix successifs indépendants offrant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) possibilités, le nombre total de possibilités est \(n_1\times n_2\times\dots\times n_k\). Principe additif : si deux cas s’excluent, on additionne leurs nombres de possibilités.

🔢 Chaque caractère a \(26+26+10=62\) choix possibles.

✅ \(62^{11}\approx5{,}2\times10^{19}\) vidéos.

Exercice 19

L’association de \(20\) membres souhaite élire : le président, le secrétaire et le trésorier. Combien y a-t-il de possibilités d’avoir ces trois responsables ? (Pas de cumul de fonction.)

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 Les rôles sont distincts : l’ordre compte. \(20\) choix du président, \(19\) du secrétaire, \(18\) du trésorier.

✅ \(A_{20}^3=20\times19\times18=6840\) possibilités.

Exercice 20

Quel est le nombre de mots comportant \(5\) lettres distinctes ? (Sans se préoccuper du sens des mots.)

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 On utilise les \(26\) lettres de l’alphabet : \(26\times25\times24\times23\times22\).

✅ \(A_{26}^5=7\,893\,600\) mots.

Exercice 21

Dans un tournoi, il y a \(10\) participants. Déterminer le nombre de classements des \(3\) premiers (on suppose que \(2\) coureurs ne peuvent pas prendre le même classement).

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 Il s’agit de choisir et d’ordonner \(3\) coureurs parmi \(10\) : \(10\times9\times8\).

✅ \(A_{10}^3=720\) classements.

Exercice 22

1) Une urne contient \(9\) boules numérotées de \(1\) à \(9\). On tire \(3\) boules de l’urne successivement avec remise et on construit un nombre de trois chiffres. Quel est le nombre de nombres possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 À chaque tirage, \(9\) possibilités (la boule est remise).

✅ \(9^3=729\) nombres.

2) On tire \(3\) boules de l’urne successivement sans remise. Quel est le nombre de nombres possibles ?

Correction détaillée

🔢 \(9\) puis \(8\) puis \(7\) possibilités.

✅ \(A_9^3=9\times8\times7=504\) nombres.

3) Quel est le nombre de mots de \(4\) lettres (avec un sens ou non) du mot « AID » qu’on peut former ?

Correction détaillée

⚠️ Énoncé ambigu : on a compris « mots de \(4\) lettres écrits avec les lettres \(A\), \(I\), \(D\) » (répétitions autorisées). Sans répétition, il serait impossible de former un mot de \(4\) lettres avec \(3\) lettres distinctes.

🔢 Le mot « AID » n’a que \(3\) lettres distinctes : un mot de \(4\) lettres doit donc répéter des lettres. Chaque position a \(3\) choix (\(A\), \(I\) ou \(D\)).

✅ \(3^4=81\) mots.

Exercice 23

1) De combien de façons pouvez-vous ranger \(10\) livres sur une étagère ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 On ordonne \(10\) objets distincts.

✅ \(10!=3\,628\,800\) façons.

2) De combien de façons peut-on mélanger un jeu de \(36\) cartes ?

Correction détaillée

🔢 Mélanger = ordonner les \(36\) cartes.

✅ \(36!\approx3{,}72\times10^{41}\) façons.

3) Combien d’anagrammes peut-on former avec les lettres du mot « excellence » ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Anagrammes d’un mot de \(n\) lettres où les lettres répétées apparaissent \(n_1,n_2,\dots\) fois : \(\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}\).

🔢 Étape 1 : Le mot a \(10\) lettres : \(e\) apparaît \(4\) fois, \(c\) \(2\) fois, \(l\) \(2\) fois, \(x\) et \(n\) une fois chacune.

🔢 Étape 2 : Nombre d’anagrammes : \(\dfrac{10!}{4!\,2!\,2!}=\dfrac{3\,628\,800}{24\times2\times2}\).

✅ \(37\,800\) anagrammes.

4) Dénombrer les anagrammes des mots suivants : MATHS, RIRE, ANANAS.

Correction détaillée

📘 Méthode : Anagrammes d’un mot de \(n\) lettres où les lettres répétées apparaissent \(n_1,n_2,\dots\) fois : \(\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}\).

🔢 Étape 1 : MATHS : \(5\) lettres toutes différentes : \(5!=120\).

🔢 Étape 2 : RIRE : \(4\) lettres dont \(R\) deux fois : \(\dfrac{4!}{2!}=12\).

🔢 Étape 3 : ANANAS : \(6\) lettres dont \(A\) trois fois, \(N\) deux fois : \(\dfrac{6!}{3!\,2!}=60\).

✅ MATHS : \(120\) ; RIRE : \(12\) ; ANANAS : \(60\) anagrammes.

Exercice 24

À l’occasion d’une compétition sportive groupant \(18\) athlètes, on attribue une médaille d’or, une d’argent, une de bronze. Combien y a-t-il de distributions possibles (avant la compétition, bien sûr) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 Les médailles sont différentes : on choisit et on ordonne \(3\) athlètes parmi \(18\).

✅ \(A_{18}^3=18\times17\times16=4896\) distributions.

Exercice 25

1) Soit \(A\) l’ensemble des nombres de quatre chiffres, le premier étant non nul. Calculer le nombre d’éléments de \(A\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 Premier chiffre : \(9\) choix ; les trois autres : \(10\) choix chacun.

✅ \(\operatorname{card}A=9\times10^3=9000\).

2.a) Dénombrer les éléments de \(A\) composés de quatre chiffres distincts.

Correction détaillée

🔢 Premier chiffre : \(9\) choix ; deuxième : \(9\) (tout sauf le premier, \(0\) permis) ; troisième : \(8\) ; quatrième : \(7\).

✅ \(9\times9\times8\times7=4536\).

2.b) Dénombrer les éléments de \(A\) composés d’au moins deux chiffres identiques.

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour « au moins un », on passe par le contraire : total \(-\) cas sans l’événement.

🔢 C’est le contraire de « quatre chiffres distincts » : \(9000-4536\).

✅ \(4464\).

2.c) Dénombrer les éléments de \(A\) composés de quatre chiffres distincts autres que \(5\) et \(7\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On dispose de \(8\) chiffres : \(0,1,2,3,4,6,8,9\).

🔢 Étape 2 : Premier chiffre : \(7\) choix (pas \(0\)) ; puis \(7\) choix (le \(0\) redevient possible), puis \(6\), puis \(5\).

✅ \(7\times7\times6\times5=1470\).

Exercice 26

1) Quatre garçons et deux filles s’assoient sur un banc. Quel est le nombre de dispositions possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 On ordonne \(6\) personnes.

✅ \(6!=720\).

2) Même question si les garçons sont d’un côté et les filles de l’autre.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On choisit quel groupe est à gauche : \(2\) façons.

🔢 Étape 2 : On ordonne les garçons : \(4!\) ; les filles : \(2!\).

✅ \(2\times4!\times2!=96\).

3) Même question si chaque fille est intercalée entre deux garçons.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On range d’abord les \(4\) garçons : \(4!=24\). Il y a \(3\) places intérieures (entre deux garçons consécutifs).

🔢 Étape 2 : Les \(2\) filles occupent deux de ces \(3\) places, dans l’ordre : \(A_3^2=6\).

✅ \(24\times6=144\).

4) Même question si les filles veulent rester l’une à côté de l’autre.

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour des objets qui doivent rester côte à côte, on forme un bloc, on permute les blocs, puis on permute à l’intérieur du bloc.

🔢 Étape 1 : On considère le couple de filles comme un bloc : on range \(5\) objets (\(4\) garçons et le bloc) : \(5!\).

🔢 Étape 2 : À l’intérieur du bloc, les filles peuvent permuter : \(2!\).

✅ \(5!\times2!=240\).

Exercice 27

1) Une course oppose \(20\) concurrents dont Ahmed. Combien y a-t-il de podiums possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 Un podium est une liste ordonnée de \(3\) concurrents parmi \(20\).

✅ \(A_{20}^3=20\times19\times18=6840\).

2) Combien y a-t-il de podiums possibles où Ahmed est premier ?

Correction détaillée

🔢 Ahmed fixé en 1ère place ; on ordonne \(2\) concurrents parmi les \(19\) autres.

✅ \(19\times18=342\).

3) Combien y a-t-il de podiums possibles dont Ahmed fait partie ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Ahmed peut occuper \(3\) places ; les deux autres places : \(19\times18\) possibilités.

🔢 Étape 2 : Autre méthode : total moins les podiums sans Ahmed : \(6840-A_{19}^3=6840-5814\).

✅ \(3\times19\times18=1026\).

4) On souhaite récompenser les \(3\) premiers en leur offrant un prix identique à chacun. Combien y a-t-il de distributions de récompenses possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons : \(C_n^p=\dfrac{A_n^p}{p!}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\) (l’ordre n’importe pas).

🔢 Les prix étant identiques, l’ordre n’importe plus : on choisit \(3\) concurrents parmi \(20\).

✅ \(C_{20}^3=\dfrac{20\times19\times18}{3!}=1140\).

Exercice 28

Dans une pièce, il y a deux tables. La première dispose de \(3\) chaises, numérotées de \(1\) à \(3\), la seconde dispose de \(4\) chaises, numérotées de \(1\) à \(4\). Sept personnes entrent. Combien y a-t-il de possibilités de les distribuer autour de ces deux tables ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 Il y a \(3+4=7\) chaises numérotées pour \(7\) personnes : chaque distribution est une bijection entre personnes et chaises.

✅ \(7!=5040\) possibilités.

Exercice 29

1-1) Un cadenas possède un code à \(3\) chiffres, chacun des chiffres pouvant être de \(1\) à \(9\). Combien y a-t-il de codes possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 \(9\) choix pour chaque chiffre.

✅ \(9^3=729\) codes.

1-2) Combien y a-t-il de codes se terminant par un chiffre pair ?

Correction détaillée

🔢 Dernier chiffre : \(2,4,6,8\) (\(4\) choix) ; les deux autres : \(9\) choix chacun.

✅ \(9\times9\times4=324\).

1-3) Combien y a-t-il de codes contenant au moins un chiffre \(4\) ?

Correction détaillée

🔢 Contraire : aucun \(4\) : \(8^3=512\).

✅ \(729-512=217\).

1-4) Combien y a-t-il de codes contenant exactement un chiffre \(4\) ?

Correction détaillée

🔢 Place du \(4\) : \(3\) choix ; les deux autres chiffres sont différents de \(4\) : \(8\times8\).

✅ \(3\times8^2=192\).

2-1) On souhaite que le code comporte obligatoirement trois chiffres distincts. Combien y a-t-il de codes possibles ?

Correction détaillée

🔢 \(9\times8\times7\).

✅ \(A_9^3=504\).

2-2) Combien y a-t-il de codes se terminant par un chiffre impair ?

Correction détaillée

🔢 Dernier chiffre : \(1,3,5,7,9\) (\(5\) choix) ; puis les deux premiers chiffres, distincts et différents du dernier : \(8\times7\).

✅ \(5\times8\times7=280\).

2-3) Combien y a-t-il de codes comprenant le chiffre \(6\) ?

Correction détaillée

🔢 Contraire : codes distincts sans \(6\) : \(A_8^3=336\).

✅ \(504-336=168\).

Exercice 30

On souhaite ranger sur une étagère \(4\) livres de mathématiques (distincts), \(6\) livres de physique, et \(3\) de chimie.

a) On souhaite ranger sur une étagère \(4\) livres de mathématiques (distincts), \(6\) livres de physique et \(3\) de chimie. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement si les livres doivent être groupés par matières ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Livres groupés par matières : on permute les groupes puis chaque groupe à l’intérieur.

🔢 Étape 1 : On ordonne les \(3\) matières : \(3!\).

🔢 Étape 2 : Dans chaque groupe : \(4!\) pour les maths, \(6!\) pour la physique, \(3!\) pour la chimie.

✅ \(3!\times4!\times6!\times3!=6\times24\times720\times6=622\,080\) façons.

b) Même question si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés.

Correction détaillée

⚠️ Le scan imprime ici un début de solution (\(3!4!6!3!\) et \(10\times4!\times9!\)) ; on l’a retrouvé et justifié.

🔢 Étape 1 : Le groupe des \(4\) livres de maths est un bloc, rangé de \(4!\) façons à l’intérieur.

🔢 Étape 2 : En traitant le bloc comme un seul objet, il y a \(9+1=10\) objets à ranger : \(10!\) façons (c’est aussi \(10\) positions du bloc \(\times\,9!\) rangements des autres livres).

✅ \(10!\times4!=87\,091\,200\) façons.

Exercice 31

Les quatre remplaçants d’une équipe de volley prennent place sur le banc des remplaçants. De combien de manières différentes peuvent-ils s’asseoir ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 On ordonne \(4\) personnes sur \(4\) places.

✅ \(4!=24\) manières.

Exercice 32

1) Combien de nombres de \(3\) chiffres distincts peut-on former avec les chiffres \(2,3,4,5,6,7\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Arrangements (ordre important, sans répétition) : \(A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (\(0\leq p\leq n\)). Permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\). Listes avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) : \(n^p\).

🔢 \(6\) chiffres disponibles : \(6\times5\times4\).

✅ \(A_6^3=120\) nombres.

2) Parmi ceux-ci, combien sont inférieurs à \(400\) ?

Correction détaillée

🔢 Le chiffre des centaines est \(2\) ou \(3\) : \(2\) choix ; puis \(5\times4\) pour les deux autres.

✅ \(2\times5\times4=40\).

3) Parmi ceux-ci, combien sont pairs ?

Correction détaillée

🔢 Chiffre des unités : \(2,4,6\) (\(3\) choix) ; puis \(5\times4\).

✅ \(3\times5\times4=60\).

4) Parmi ceux-ci, combien sont multiples de \(5\) ?

Correction détaillée

🔢 Un multiple de \(5\) se termine par \(5\) (le \(0\) n’est pas disponible) ; puis \(5\times4\) pour les deux autres chiffres.

✅ \(1\times5\times4=20\).

Exercice 33

Soit \(\Omega=\{a,b,c,d,e\}\) un ensemble. Quel est le nombre de sous-ensembles à \(2\) éléments ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 Un sous-ensemble ne dépend pas de l’ordre : on choisit \(2\) éléments parmi \(5\).

✅ \(C_5^2=\dfrac{5\times4}{2}=10\).

Exercice 34

1) Une urne contient \(7\) boules numérotées de \(1\) à \(7\). On tire \(2\) boules de l’urne simultanément. Quel est le nombre de tirages possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 Tirage simultané : combinaisons de \(2\) parmi \(7\).

✅ \(C_7^2=21\).

2) Quel est le nombre de tirages pour que la somme des numéros des boules tirées soit paire ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : La somme est paire si les deux numéros ont la même parité. Il y a \(3\) numéros pairs (\(2,4,6\)) et \(4\) impairs (\(1,3,5,7\)).

🔢 Étape 2 : Deux pairs : \(C_3^2=3\) ; deux impairs : \(C_4^2=6\).

✅ \(3+6=9\) tirages.

3) Quel est le nombre de tirages pour que la somme des numéros des boules tirées soit impaire ?

Correction détaillée

🔢 Un numéro pair et un impair : \(3\times4\). Contrôle : \(21-9\).

✅ \(12\) tirages.

Exercice 35

Un tournoi sportif compte \(8\) équipes engagées. Chaque équipe doit rencontrer toutes les autres une seule fois. Combien doit-on organiser de matchs ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 Un match est une paire d’équipes : \(C_8^2=\dfrac{8\times7}2\).

✅ \(28\) matchs.

Exercice 36

1) Le bureau d’une association contient \(4\) hommes et \(5\) femmes et on souhaite élire un comité de \(2\) hommes et \(3\) femmes. Combien de comités peut-on élire ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 \(2\) hommes parmi \(4\) : \(C_4^2=6\) ; \(3\) femmes parmi \(5\) : \(C_5^3=10\).

✅ \(6\times10=60\) comités.

2) On suppose que le président \(H_1\) et Madame la secrétaire \(F_1\) doivent être présents. Combien de comités peut-on élire ?

Correction détaillée

🔢 \(H_1\) et \(F_1\) sont déjà dans le comité : il reste à choisir \(1\) homme parmi les \(3\) autres et \(2\) femmes parmi les \(4\) autres.

✅ \(C_3^1\times C_4^2=3\times6=18\) comités.

Exercice 37

À la fin de l’année scolaire, tous les élèves se serrent la main. S’il y a \(30\) élèves, combien de poignées de mains sont échangées ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 Une poignée de main est une paire d’élèves : \(C_{30}^2=\dfrac{30\times29}2\).

✅ \(435\) poignées de mains.

Exercice 38

Dans une classe de \(20\) élèves, on compte \(12\) garçons et \(8\) filles. On doit élire \(5\) délégués.

1) Quel est le nombre de choix possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 On choisit \(5\) élèves parmi \(20\) : \(C_{20}^5\).

✅ \(C_{20}^5=15\,504\).

2) Quel est le nombre de choix de délégués de même sexe ?

Correction détaillée

🔢 \(5\) garçons parmi \(12\) : \(C_{12}^5=792\) ; \(5\) filles parmi \(8\) : \(C_8^5=56\).

✅ \(792+56=848\).

3) Quel est le nombre de choix de délégués de sexes différents ?

Correction détaillée

🔢 C’est le contraire du cas précédent : \(15\,504-848\).

✅ \(14\,656\).

4) Quel est le nombre de choix de délégués qui contient \(3\) garçons et \(2\) filles ?

Correction détaillée

🔢 \(C_{12}^3\times C_8^2=220\times28\).

✅ \(6160\).

5) Quel est le nombre de choix qui contient au plus une fille ?

Correction détaillée

🔢 Aucune fille : \(C_{12}^5=792\). Une fille : \(C_8^1\times C_{12}^4=8\times495=3960\).

✅ \(792+3960=4752\).

6.a) On suppose que dans cette classe il existe un élève \(x\) et sa sœur \(y\). Quel est le nombre de choix de délégués de \(5\) élèves qui ne contiennent ni \(x\) ni \(y\) ?

Correction détaillée

🔢 On choisit \(5\) élèves parmi les \(18\) autres.

✅ \(C_{18}^5=8568\).

6.b) Quel est le nombre de choix de délégués de \(5\) élèves qui contiennent \(x\) mais pas \(y\) ?

Correction détaillée

🔢 \(x\) est choisi, \(y\) est exclu : il reste à choisir \(4\) élèves parmi les \(18\) autres.

✅ \(C_{18}^4=3060\).

Exercice 39

1) Combien de diagonales contient un polygone convexe à \(n\) côtés (une diagonale relie deux sommets non adjacents) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 Étape 1 : Il y a \(C_n^2\) segments joignant deux sommets ; parmi eux, \(n\) sont des côtés.

🔢 Étape 2 : \(C_n^2-n=\dfrac{n(n-1)}2-n=\dfrac{n(n-3)}2\).

✅ \(\dfrac{n(n-3)}2\) diagonales.

2) On trace dans un plan \(n\geq3\) droites en position générale (c’est-à-dire que deux droites ne sont jamais parallèles, et \(3\) droites ne sont jamais concourantes). Combien de triangles a-t-on ainsi tracé ?

Correction détaillée

🔢 Trois droites quelconques forment un triangle (elles se coupent deux à deux en trois points distincts).

✅ \(C_n^3=\dfrac{n(n-1)(n-2)}6\) triangles.

Exercice 40

1) Dans une classe de \(32\) élèves, on compte \(19\) garçons et \(13\) filles. On doit élire deux délégués. Quel est le nombre de choix possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 \(2\) parmi \(32\).

✅ \(C_{32}^2=496\).

2) Quel est le nombre de choix si l’on impose un garçon et une fille ?

Correction détaillée

🔢 \(19\times13\).

✅ \(247\).

3) Quel est le nombre de choix si l’on impose \(2\) garçons ?

Correction détaillée

🔢 \(2\) garçons parmi \(19\).

✅ \(C_{19}^2=171\).

Exercice 41

1) Au service du personnel, on compte \(12\) célibataires parmi les \(30\) employés. On désire faire un sondage : pour cela on choisit un échantillon de quatre personnes dans ce service. Quel est le nombre d’échantillons différents possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 \(4\) parmi \(30\).

✅ \(C_{30}^4=27\,405\).

2) Quel est le nombre d’échantillons ne contenant aucun célibataire ?

Correction détaillée

🔢 \(4\) personnes parmi les \(18\) non célibataires.

✅ \(C_{18}^4=3060\).

3) Quel est le nombre d’échantillons contenant au moins un célibataire ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour « au moins un », on passe par le contraire : (total) \(-\) (aucun).

🔢 Contraire de la question 2 : \(27\,405-3060\).

✅ \(24\,345\).

Exercice 42

Un sac contient \(5\) jetons verts (numérotés de \(1\) à \(5\)) et \(4\) jetons rouges (numérotés de \(1\) à \(4\)).

1.a) On tire successivement et au hasard \(3\) jetons du sac, sans remettre le jeton tiré. Calculer les possibilités de ne tirer que \(3\) jetons verts.

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 Total : \(A_9^3=504\). Trois verts : \(5\times4\times3\).

✅ \(60\).

1.b) De ne tirer aucun jeton vert.

Correction détaillée

🔢 Trois rouges : \(4\times3\times2\).

✅ \(24\).

1.c) De tirer au plus \(2\) jetons verts.

Correction détaillée

🔢 Contraire : « \(3\) verts » : \(504-60\).

✅ \(444\).

1.d) De tirer exactement \(1\) jeton vert.

Correction détaillée

🔢 Place du jeton vert : \(3\) choix ; jeton vert : \(5\) choix ; deux rouges ordonnés : \(4\times3\).

✅ \(3\times5\times12=180\).

2) On tire simultanément et au hasard \(3\) jetons du sac. Reprendre alors les questions a), b), c) et d).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Total : \(C_9^3=84\).

🔢 Étape 2 : a) \(3\) verts : \(C_5^3=10\). b) aucun vert (\(3\) rouges) : \(C_4^3=4\).

🔢 Étape 3 : c) au plus \(2\) verts : \(84-10=74\).

🔢 Étape 4 : d) exactement \(1\) vert : \(C_5^1\times C_4^2=5\times6=30\).

✅ a) \(10\) ; b) \(4\) ; c) \(74\) ; d) \(30\).

Exercice 43

1) Najlaa et Amina font partie d’un club de \(18\) personnes. On doit former un groupe constitué de cinq d’entre elles pour représenter le club à un spectacle. Combien de groupes de \(5\) personnes peut-on constituer ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 \(5\) parmi \(18\).

✅ \(C_{18}^5=8568\).

2) Dans combien de ces groupes peut figurer Najlaa ?

Correction détaillée

🔢 Najlaa est choisie ; il reste \(4\) personnes à choisir parmi les \(17\) autres.

✅ \(C_{17}^4=2380\).

3) Najlaa et Amina ne pouvant pas se supporter, combien de groupes de \(5\) personnes peut-on constituer de telle façon que Najlaa et Amina ne se retrouvent pas ensemble ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour « au moins un », on passe par le contraire : (total) \(-\) (aucun).

🔢 Étape 1 : Groupes contenant les deux : il reste \(3\) à choisir parmi \(16\) : \(C_{16}^3=560\).

🔢 Étape 2 : Contraire : \(8568-560\).

✅ \(8008\) groupes.

Exercice 44

Ali et Fatima font partie d’une équipe de \(8\) joueurs (\(6\) garçons et \(2\) filles). On désire fabriquer un comité de \(3\) joueurs.

1) Combien y a-t-il de comités possibles ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 \(3\) joueurs parmi \(8\).

✅ \(C_8^3=56\).

2) Combien y a-t-il de comités contenant exactement \(2\) garçons et \(1\) fille ?

Correction détaillée

🔢 \(C_6^2\times C_2^1=15\times2\).

✅ \(30\).

3) Combien y a-t-il de comités contenant au moins deux garçons ?

Correction détaillée

🔢 Exactement \(2\) garçons : \(30\). Trois garçons : \(C_6^3=20\).

✅ \(30+20=50\).

4) On veut que Ali et Fatima soient ensemble dans le comité. Combien y a-t-il de comités possibles ?

Correction détaillée

🔢 Ali et Fatima sont choisis : il reste \(1\) joueur à choisir parmi les \(6\) autres.

✅ \(C_6^1=6\).

5) On ne veut pas que Ali et Fatima soient ensemble dans le comité. Combien y a-t-il de comités possibles ?

Correction détaillée

🔢 Contraire de la question 4 : \(56-6\).

✅ \(50\).

Exercice 45

Soit \(p\) points du plan distincts non alignés \(3\) par \(3\).

1) Combien de polygones à \(n\leq p\) côtés peut-on réaliser à partir de ces points ?

Correction détaillée

⚠️ On suppose que \(n\) sommets donnés déterminent un seul polygone (points en position convexe) ; sans cette hypothèse, \(n\) points déterminent plusieurs polygones non croisés.

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 Un polygone à \(n\) côtés est déterminé par ses \(n\) sommets, choisis parmi les \(p\) points (en position convexe, les sommets déterminent un seul polygone).

✅ \(C_p^n\) polygones.

2) On fixe un tel polygone à \(n\) côtés. Combien de diagonales ce polygone comporte-t-il ?

Correction détaillée

🔢 \(C_n^2-n=\dfrac{n(n-1)}2-n\).

✅ \(\dfrac{n(n-3)}2\) diagonales.

Exercice 46

Dans une urne se trouvent \(9\) boules : \(4\) rouges numérotées \(0,1,2,3\), \(3\) vertes numérotées \(1,2,2\) et \(2\) noires numérotées \(1,3\). On en tire \(3\) boules et on considère les événements : \(A\) « obtenir trois boules de trois couleurs différentes deux à deux » ; \(B\) « obtenir trois boules qui portent le même numéro » ; \(C\) « la somme des numéros des boules tirées est égale à \(4\) » ; \(D\) « obtenir au moins une boule rouge ».

1) Tirage de \(3\) boules simultanément : trouver le nombre de possibilités des événements \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 Étape 1 : Les \(9\) boules sont : \(R_0,R_1,R_2,R_3\) ; \(V_1,V_2,V_2’\) ; \(N_1,N_3\). Total : \(C_9^3=84\).

🔢 Étape 2 : \(A\) (trois couleurs différentes) : \(4\times3\times2=24\).

🔢 Étape 3 : \(B\) (même numéro) : numéro \(1\) : \(R_1,V_1,N_1\) (\(1\) tirage) ; numéro \(2\) : \(R_2,V_2,V_2’\) (\(1\) tirage) ; numéros \(0\) et \(3\) : pas assez de boules. Donc \(2\).

🔢 Étape 4 : \(C\) (somme \(4\)) : triplets de numéros \(\{0,1,3\}\) : \(1\times3\times2=6\) ; \(\{0,2,2\}\) : \(1\times C_3^2=3\) ; \(\{1,1,2\}\) : \(C_3^2\times3=9\).

🔢 Étape 5 : \(D\) (au moins une rouge) : \(84-C_5^3=84-10=74\).

✅ \(\operatorname{card}A=24\) ; \(\operatorname{card}B=2\) ; \(\operatorname{card}C=6+3+9=18\) ; \(\operatorname{card}D=74\).

2) Tirage de \(3\) boules successivement avec remise : trouver le nombre de possibilités des événements \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Total : \(9^3=729\).

🔢 Étape 2 : \(A\) : trois couleurs différentes : \(3!\) ordres des couleurs \(\times\,4\times3\times2=144\).

🔢 Étape 3 : \(B\) : même numéro : \(1^3+3^3+3^3+2^3=63\) (les numéros \(0,1,2,3\) sont portés par \(1,3,3,2\) boules).

🔢 Étape 4 : \(C\) (somme \(4\)) : \(6\times(1\times3\times2)+3\times(1\times3\times3)+3\times(3\times3\times3)=36+27+81=144\) (arrangements des numéros \((0,1,3)\), \((0,2,2)\), \((1,1,2)\)).

🔢 Étape 5 : \(D\) : \(729-5^3=604\).

✅ \(\operatorname{card}A=144\) ; \(\operatorname{card}B=63\) ; \(\operatorname{card}C=144\) ; \(\operatorname{card}D=604\).

3) Tirage de \(3\) boules successivement sans remise : trouver le nombre de possibilités des événements \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Total : \(A_9^3=504\) (chaque tirage de \(3\) boules distinctes correspond à \(3!=6\) tirages ordonnés).

🔢 Étape 2 : \(A\) : \(3!\times24=144\).

🔢 Étape 3 : \(B\) : tirages de même numéro : numéro \(1\) (\(R_1,V_1,N_1\)) et numéro \(2\) (\(R_2,V_2,V_2’\)), chacun dans \(3!=6\) ordres : \(2\times6=12\).

🔢 Étape 4 : \(C\) : \(3!\times18=108\).

🔢 Étape 5 : \(D\) : \(504-5\times4\times3=444\).

✅ \(\operatorname{card}A=144\) ; \(\operatorname{card}B=12\) ; \(\operatorname{card}C=108\) ; \(\operatorname{card}D=444\).

Exercice 47

On a une grille de \(7\times3=21\) carreaux.

1.a) On colore par le noir \(4\) carreaux de la grille. Quel est le nombre de cas possibles ?

Correction détaillée

⚠️ La grille est vue sur la figure du scan : \(3\) lignes et \(7\) colonnes. « Horizontale » = une ligne (\(7\) carreaux), « verticale » = une colonne (\(3\) carreaux).

📘 Méthode : Combinaisons (ordre sans importance, sans répétition) : \(C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}\). Propriétés : \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(C_n^0=C_n^n=1\), \(C_n^1=n\). « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons ; « tirage successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements ; « tirage successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes (\(n^p\)).

🔢 On choisit \(4\) carreaux parmi les \(21\) : \(C_{21}^4=\dfrac{21\times20\times19\times18}{24}\).

✅ \(C_{21}^4=5985\).

1.b) Quel est le nombre de cas possibles tel que tous les carreaux noirs soient sur la même horizontale ?

Correction détaillée

🔢 On choisit la ligne (\(3\) façons) puis \(4\) carreaux parmi les \(7\) de cette ligne.

✅ \(3\times C_7^4=3\times35=105\).

1.c) Quel est le nombre de cas possibles tel que \(3\) carreaux noirs soient sur la même verticale ?

Correction détaillée

🔢 Une colonne a exactement \(3\) carreaux : on choisit la colonne (\(7\) façons), tous ses carreaux sont noirs, puis le quatrième carreau noir parmi les \(21-3=18\) autres.

✅ \(7\times18=126\).

2.a) Maintenant on colore \(4\) carreaux de la grille par les couleurs : noire, rouge, vert et jaune. Quel est le nombre de façons possibles ?

Correction détaillée

🔢 On associe à chaque couleur un carreau, tous différents : on choisit et on ordonne \(4\) carreaux parmi \(21\).

✅ \(A_{21}^4=21\times20\times19\times18=143\,640\).

2.b) Quel est le nombre de façons possibles pour que les carreaux colorés soient sur la même horizontale ?

Correction détaillée

🔢 Ligne : \(3\) choix ; puis arrangement de \(4\) carreaux parmi les \(7\) de la ligne : \(A_7^4=840\).

✅ \(3\times840=2520\).

Exercice 48

Un sac contient dix boules indiscernables au toucher dont : trois boules rouges, trois boules vertes, quatre boules noires. On tire au hasard et simultanément \(2\) boules du sac.

1) Déterminer le nombre des tirages possibles (ou les cas possibles).

Correction détaillée

📘 Méthode : « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons \(C_n^p\) ; « successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements \(A_n^p\) ; « successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes \(n^p\). Pour « au moins un », on passe par le contraire.

🔢 On tire \(2\) boules parmi \(10\) simultanément.

✅ \(C_{10}^2=45\).

2) Déterminer le nombre des cas tel que les deux boules sont de même couleur.

Correction détaillée

🔢 Deux rouges : \(C_3^2=3\) ; deux vertes : \(C_3^2=3\) ; deux noires : \(C_4^2=6\).

✅ \(3+3+6=12\).

3) Déterminer le nombre des cas tel que les deux boules sont de couleurs différentes.

Correction détaillée

🔢 Contraire de 2) : \(45-12\) (ou \(3\times3+3\times4+3\times4=33\)).

✅ \(33\).

4.a) Répondre aux mêmes questions tel que : on tire au hasard et successivement et sans remise deux boules du sac.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Cas possibles : \(A_{10}^2=90\).

🔢 Étape 2 : Même couleur : \(3\times2+3\times2+4\times3=24\).

🔢 Étape 3 : Couleurs différentes : \(90-24=66\).

✅ Sans remise : \(90\) cas, dont \(24\) de même couleur et \(66\) de couleurs différentes.

4.b) On tire au hasard et successivement et avec remise deux boules du sac.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Cas possibles : \(10^2=100\).

🔢 Étape 2 : Même couleur : \(3^2+3^2+4^2=34\).

🔢 Étape 3 : Couleurs différentes : \(100-34=66\).

✅ Avec remise : \(100\) cas, dont \(34\) de même couleur et \(66\) de couleurs différentes.

Exercice 49

On dispose une urne contenant dix jetons indiscernables au toucher : quatre jetons bleus numérotés \(1\ ;2\ ;3\ ;4\), trois jetons rouges numérotés \(1\ ;2\ ;3\), trois jetons verts numérotés \(1\ ;2\ ;3\). On tire au hasard et simultanément deux jetons de l’urne.

1) Déterminer le nombre des tirages possibles (ou les cas possibles).

Correction détaillée

📘 Méthode : « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons \(C_n^p\) ; « successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements \(A_n^p\) ; « successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes \(n^p\). Pour « au moins un », on passe par le contraire.

🔢 \(2\) jetons parmi \(10\).

✅ \(C_{10}^2=45\).

2) Déterminer le nombre des cas tel que les deux jetons sont de même couleur.

Correction détaillée

🔢 Bleus : \(C_4^2=6\) ; rouges : \(C_3^2=3\) ; verts : \(C_3^2=3\).

✅ \(6+3+3=12\).

3) Déterminer le nombre des cas tel que les deux jetons sont de couleurs différentes.

Correction détaillée

🔢 \(45-12\).

✅ \(33\).

4) Déterminer le nombre des cas tel que la somme des numéros des deux jetons est \(5\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Les numéros \(1,2,3\) sont portés par \(3\) jetons chacun (un de chaque couleur) et le numéro \(4\) par un seul jeton (bleu).

🔢 Étape 2 : Somme \(5\) : numéros \(\{1,4\}\) : \(3\times1=3\) ; numéros \(\{2,3\}\) : \(3\times3=9\).

✅ \(3+9=12\).

5.a) Répondre aux mêmes questions tel que : on tire au hasard et successivement et sans remise deux jetons de l’urne.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Cas possibles : \(A_{10}^2=90\).

🔢 Étape 2 : Même couleur : \(4\times3+3\times2+3\times2=24\) ; couleurs différentes : \(90-24=66\).

🔢 Étape 3 : Somme \(5\) : chaque paire non ordonnée devient \(2\) tirages ordonnés : \(2\times12=24\).

✅ Sans remise : \(90\) ; \(24\) ; \(66\) ; \(24\).

5.b) On tire au hasard et successivement et avec remise deux jetons de l’urne.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Cas possibles : \(10^2=100\).

🔢 Étape 2 : Même couleur : \(4^2+3^2+3^2=34\) ; couleurs différentes : \(100-34=66\).

🔢 Étape 3 : Somme \(5\) (le même jeton ne peut pas être tiré deux fois avec somme \(5\)) : \(2\times3\times1+2\times3\times3=6+18=24\).

✅ Avec remise : \(100\) ; \(34\) ; \(66\) ; \(24\).

Exercice 50

Dans une assemblée de \(25\) dames et \(15\) messieurs, il est décidé de nommer un comité de \(5\) personnes.

1) Combien de comités peut-on envisager ?

Correction détaillée

📘 Méthode : « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons \(C_n^p\) ; « successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements \(A_n^p\) ; « successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes \(n^p\). Pour « au moins un », on passe par le contraire.

🔢 \(5\) personnes parmi \(25+15=40\).

✅ \(C_{40}^5=658\,008\).

2) Combien de ces comités comprennent \(3\) messieurs ?

Correction détaillée

🔢 \(3\) messieurs parmi \(15\) et \(2\) dames parmi \(25\) : \(C_{15}^3\times C_{25}^2=455\times300\).

✅ \(136\,500\).

3) Combien de ces comités comprennent au moins \(3\) dames ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(3\) dames : \(C_{25}^3\times C_{15}^2=2300\times105=241\,500\).

🔢 Étape 2 : \(4\) dames : \(C_{25}^4\times C_{15}^1=12\,650\times15=189\,750\).

🔢 Étape 3 : \(5\) dames : \(C_{25}^5=53\,130\).

✅ \(241\,500+189\,750+53\,130=484\,380\).

Exercice 51

Un sac contient \(5\) boules blanches, \(3\) boules rouges et \(2\) boules noires. On tire successivement et sans remise, trois boules du sac. Les événements sont : \(A\) « tirer une boule blanche, puis une boule rouge, puis une boule noire » ; \(B\) « tirer une boule blanche et une boule rouge et une boule noire » ; \(C\) « tirer deux boules blanches, puis une boule noire » ; \(D\) « tirer deux boules blanches et une boule noire » ; \(E\) « tirer trois boules noires » ; \(F\) « tirer trois boules blanches » ; \(G\) « tirage contenant une boule rouge exactement » ; \(H\) « tirage ne contenant aucune boule rouge » ; \(K\) « au moins une boule rouge » ; \(L\) « au moins deux boules blanches » ; \(M\) « au plus deux boules blanches » ; \(R\) « la deuxième boule tirée est rouge pour la première fois » ; \(S\) « la deuxième boule tirée est rouge » ; \(T\) « les boules tirées sont de même couleur » ; \(U\) « les boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux » ; \(V\) « les boules tirées sont de couleurs différentes » ; \(W\) « tirer une boule de chaque couleur » ; \(Y\) « tirage contenant au moins deux couleurs » ; \(Z\) « tirage contenant au plus deux couleurs ».

1) Déterminer le nombre de cas possibles.

Correction détaillée

📘 Méthode : « Tirage simultané » \(\Rightarrow\) combinaisons \(C_n^p\) ; « successif sans remise » \(\Rightarrow\) arrangements \(A_n^p\) ; « successif avec remise » \(\Rightarrow\) listes \(n^p\). Pour « au moins un », on passe par le contraire.

🔢 Tirage successif sans remise de \(3\) boules parmi \(10\) : \(A_{10}^3=10\times9\times8\).

✅ \(720\) cas possibles.

2) Déterminer le nombre de cas possibles de chacun des événements suivants (tirage successif sans remise).

Correction détaillée

⚠️ L’événement \(V\) « les boules tirées sont de couleur différentes » est ambigu (c’est \(U\) s’il veut dire « deux à deux différentes ») ; on l’a lu « pas toutes de la même couleur ».

🔢 Étape 1 : \(A\) (blanche, rouge, noire dans cet ordre) : \(5\times3\times2=30\). \(B\) (une de chaque couleur, ordre libre) : \(3!\times30=180\).

🔢 Étape 2 : \(C\) (blanche, blanche, noire) : \(5\times4\times2=40\). \(D\) (deux blanches et une noire) : \(3\) positions pour la noire \(\times\,40=120\).

🔢 Étape 3 : \(E\) (trois noires) : il n’y a que \(2\) noires : \(0\). \(F\) (trois blanches) : \(5\times4\times3=60\).

🔢 Étape 4 : \(G\) (exactement une rouge) : \(3\) positions \(\times\,3\) rouges \(\times\,(7\times6)\) pour les deux autres (non rouges) \(=378\). \(H\) (aucune rouge) : \(7\times6\times5=210\). \(K\) (au moins une rouge) : \(720-210=510\).

🔢 Étape 5 : \(L\) (au moins deux blanches) : exactement \(2\) blanches : \(3\times(5\times4\times5)=300\) ; \(3\) blanches : \(60\) ; total \(360\). \(M\) (au plus deux blanches) : \(720-60=660\).

🔢 Étape 6 : \(R\) (la 2ème est rouge pour la première fois) : 1ère non rouge (\(7\)), 2ème rouge (\(3\)), 3ème quelconque (\(8\)) : \(7\times3\times8=168\). \(S\) (la 2ème est rouge) : \(3\times9\times8=216\).

🔢 Étape 7 : \(T\) (même couleur) : trois blanches \(60\) ; trois rouges \(3\times2\times1=6\) ; trois noires \(0\) : \(66\). \(U\) (couleurs différentes deux à deux) \(=B=180\). \(W\) (une de chaque couleur) \(=180\).

🔢 Étape 8 : \(V\) (pas toutes de la même couleur) : \(720-66=654\). \(Y\) (au moins deux couleurs) \(=654\). \(Z\) (au plus deux couleurs) : \(720-180=540\).

✅ \(A=30\), \(B=180\), \(C=40\), \(D=120\), \(E=0\), \(F=60\), \(G=378\), \(H=210\), \(K=510\), \(L=360\), \(M=660\), \(R=168\), \(S=216\), \(T=66\), \(U=180\), \(V=654\), \(W=180\), \(Y=654\), \(Z=540\).

3) Répondre aux questions précédentes sachant que le tirage est simultané.

Correction détaillée

⚠️ Pour un tirage simultané, les événements \(A\), \(C\), \(R\), \(S\) font intervenir un ordre : on a identifié \(A\) à \(B\) et \(C\) à \(D\) ; \(R\) et \(S\) n’ont pas de sens.

🔢 Étape 1 : Cas possibles : \(C_{10}^3=120\).

🔢 Étape 2 : \(B=U=W=5\times3\times2=30\) (l’ordre n’intervient plus : \(A\) coïncide avec \(B\)) ; \(D=C_5^2\times2=20\) (\(C\) coïncide avec \(D\)) ; \(E=0\) ; \(F=C_5^3=10\).

🔢 Étape 3 : \(G=3\times C_7^2=63\) ; \(H=C_7^3=35\) ; \(K=120-35=85\).

🔢 Étape 4 : \(L=C_5^2\times5+C_5^3=50+10=60\) ; \(M=120-10=110\).

🔢 Étape 5 : \(T=10+1+0=11\) ; \(V=Y=120-11=109\) ; \(Z=120-30=90\).

🔢 Étape 6 : Les événements \(R\) et \(S\) parlent de « la deuxième boule tirée » : ils n’ont pas de sens pour un tirage simultané.

✅ Cas possibles \(120\) ; \(A=B=U=W=30\), \(C=D=20\), \(E=0\), \(F=10\), \(G=63\), \(H=35\), \(K=85\), \(L=60\), \(M=110\), \(T=11\), \(V=Y=109\), \(Z=90\).

Exercice 52

Développer \((1+x)^5\) et \((1-x)^5\) à l’aide de la formule du binôme.

Correction détaillée

📘 Méthode : Binôme de Newton : \((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k\,a^{n-k}b^k\). Pascal : \(C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p\). Aussi : \(pC_n^p=nC_{n-1}^{p-1}\), \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n\).

🔢 Étape 1 : Coefficients : \(C_5^0=1,\ C_5^1=5,\ C_5^2=10,\ C_5^3=10,\ C_5^4=5,\ C_5^5=1\).

🔢 Étape 2 : \((1+x)^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5\).

🔢 Étape 3 : Pour \((1-x)^5\), on remplace \(x\) par \(-x\) : les termes de degré impair changent de signe.

✅ \((1+x)^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5\) et \((1-x)^5=1-5x+10x^2-10x^3+5x^4-x^5\).

Exercice 53

1) Pour \(k\in\mathbb N\), \(n\in\mathbb N\) et \(1\leq k\leq n\), montrer que \(A_{n+1}^k=A_n^k+kA_n^{k-1}\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit \(0\leq k\leq n\) ; pour \(k=0\) la formule contient \(A_n^{-1}\), qui n’a pas de sens : on prend \(1\leq k\leq n\).

📘 Méthode : On écrit tout avec des factorielles et on met au même dénominateur, en utilisant \((n-k+1)!=(n-k+1)\,(n-k)!\).

🔢 Étape 1 : \(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) et \(A_n^{k-1}=\dfrac{n!}{(n-k+1)!}\).

🔢 Étape 2 : \(A_n^k+kA_n^{k-1}=\dfrac{n!}{(n-k)!}+\dfrac{k\,n!}{(n-k+1)!}=\dfrac{n!\left[(n-k+1)+k\right]}{(n-k+1)!}=\dfrac{(n+1)\,n!}{(n+1-k)!}\).

✅ \(A_n^k+kA_n^{k-1}=\dfrac{(n+1)!}{(n+1-k)!}=A_{n+1}^k\).

2) \(k\in\mathbb N\), \(p\in\mathbb N\) et \(n\in\mathbb N\) avec \(0\leq k\leq p\leq n\). Montrer que \(C_n^kC_{n-k}^{p-k}=C_p^kC_n^p\) et déterminer la valeur de la somme suivante : \(S=\displaystyle\sum_{k=0}^pC_n^kC_{n-k}^{p-k}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Binôme de Newton : \((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k\,a^{n-k}b^k\). Pascal : \(C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p\). Aussi : \(pC_n^p=nC_{n-1}^{p-1}\), \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n\).

🔢 Étape 1 : \(C_n^kC_{n-k}^{p-k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\times\dfrac{(n-k)!}{(p-k)!(n-p)!}=\dfrac{n!}{k!\,(p-k)!\,(n-p)!}\).

🔢 Étape 2 : \(C_p^kC_n^p=\dfrac{p!}{k!(p-k)!}\times\dfrac{n!}{p!(n-p)!}=\dfrac{n!}{k!\,(p-k)!\,(n-p)!}\) : même résultat.

🔢 Étape 3 : Donc \(S=\displaystyle\sum_{k=0}^pC_p^kC_n^p=C_n^p\sum_{k=0}^pC_p^k=C_n^p\times2^p\).

✅ \(C_n^kC_{n-k}^{p-k}=C_p^kC_n^p\) et \(S=2^p\,C_n^p\).

3) Déterminer le nombre entier \(n\geq3\) tel que \(C_n^1+C_n^2+C_n^3=5n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(n+\dfrac{n(n-1)}2+\dfrac{n(n-1)(n-2)}6=5n\). Comme \(n\neq0\), on divise par \(n\) : \(1+\dfrac{n-1}2+\dfrac{(n-1)(n-2)}6=5\).

🔢 Étape 2 : On multiplie par \(6\) : \(6+3(n-1)+(n-1)(n-2)=30\iff n^2-3n+2+3n-3+6=30\iff n^2=25\).

🔢 Étape 3 : \(n\geq3\) donc \(n=5\). Vérification : \(5+10+10=25=5\times5\).

✅ \(n=5\).

4) Montrer que \(2^n\geq1+n\) et \(3^n\geq1+2n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On développe avec le binôme et on ne garde que les premiers termes, tous les termes étant positifs.

🔢 Étape 1 : \(2^n=(1+1)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k\geq C_n^0+C_n^1=1+n\) (tous les termes sont positifs ; pour \(n=0\) l’inégalité est \(1\geq1\)).

🔢 Étape 2 : \(3^n=(1+2)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k2^k\geq C_n^0+2C_n^1=1+2n\).

✅ Pour tout \(n\in\mathbb N\) : \(2^n\geq1+n\) et \(3^n\geq1+2n\).

5.a) Montrer que \(\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k=0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

⚠️ Pour \(n=0\) la somme vaut \(1\) (\(0^0=1\)) : l’énoncé « \(\forall n\in\mathbb N\) » doit se lire \(n\geq1\).

📘 Méthode : Binôme de Newton : \((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k\,a^{n-k}b^k\). Pascal : \(C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p\). Aussi : \(pC_n^p=nC_{n-1}^{p-1}\), \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n\).

🔢 \(\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k=(1-1)^n=0^n\).

✅ La somme vaut \(0\) pour tout \(n\geq1\).

5.b) Calculer \(S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^nkC_n^k\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(k\geq1\) : \(kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}\).

🔢 Étape 2 : \(S_n=n\displaystyle\sum_{k=1}^nC_{n-1}^{k-1}=n\sum_{j=0}^{n-1}C_{n-1}^j=n\times2^{n-1}\).

✅ \(S_n=n\,2^{n-1}\).

6) Quelle est le coefficient de \(x^7y^3z^2\) dans l’identité remarquable \((x+2y+3z)^{12}\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Coefficient de \(x^ay^bz^c\) dans \((\alpha x+\beta y+\gamma z)^n\) (\(a+b+c=n\)) : \(\dfrac{n!}{a!\,b!\,c!}\alpha^a\beta^b\gamma^c\).

🔢 Étape 1 : Formule du multinôme : le terme en \(x^7y^3z^2\) vaut \(\dfrac{12!}{7!\,3!\,2!}\,x^7(2y)^3(3z)^2\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{12!}{7!\,3!\,2!}=\dfrac{479\,001\,600}{5040\times6\times2}=7920\) ; \(2^3\times3^2=72\).

✅ Le coefficient est \(7920\times72=570\,240\).

Exercice 54

Soit \(E\) l’ensemble à \(12\) éléments \(\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}\). A) Dénombrer les parties de \(E\) à \(5\) éléments qui contiennent :

A.1) Dénombrer les parties de \(E\) à \(5\) éléments qui contiennent \(a\) et \(b\).

Correction détaillée

🔢 \(a\) et \(b\) sont déjà choisis : il reste \(3\) éléments à prendre parmi les \(10\) autres.

✅ \(C_{10}^3=120\).

A.2) Dénombrer les parties de \(E\) à \(5\) éléments qui contiennent \(a\) mais pas \(b\).

Correction détaillée

🔢 \(a\) choisi, \(b\) exclu : \(4\) éléments à prendre parmi les \(10\) autres.

✅ \(C_{10}^4=210\).

A.3) Dénombrer les parties de \(E\) à \(5\) éléments qui contiennent \(b\) mais pas \(a\).

Correction détaillée

🔢 Même raisonnement.

✅ \(C_{10}^4=210\).

A.4) Dénombrer les parties de \(E\) à \(5\) éléments qui ne contiennent ni \(a\) ni \(b\).

Correction détaillée

🔢 \(5\) éléments à prendre parmi les \(10\) autres.

✅ \(C_{10}^5=252\).

B) En déduire la relation : \(C_{12}^5=C_{10}^3+2C_{10}^4+C_{10}^5\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Toute partie à \(5\) éléments de \(E\) contient soit \(a\) et \(b\), soit \(a\) seul, soit \(b\) seul, soit aucun des deux : ces quatre cas s’excluent et épuisent tout.

🔢 Étape 2 : Donc \(C_{12}^5=120+210+210+252=792\).

✅ \(C_{12}^5=C_{10}^3+C_{10}^4+C_{10}^4+C_{10}^5=C_{10}^3+2C_{10}^4+C_{10}^5=792\).

C) Généraliser le résultat obtenu en prouvant, par un dénombrement, que pour \(2\leq p\leq n\) on a \(C_n^p=C_{n-2}^{p-2}+2C_{n-2}^{p-1}+C_{n-2}^p\).

Correction détaillée

⚠️ Les exposants et indices sont illisibles dans le scan (\(C_{n-2}^{p-1}+2C_{n-2}^{p-1}+\cdots\)). La formule correcte est celle-ci ; elle redonne bien \(C_{10}^3+2C_{10}^4+C_{10}^5\) pour \(n=12\), \(p=5\).

📘 Méthode : Dénombrement par disjonction de cas selon la présence de deux éléments fixés.

🔢 Étape 1 : Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments, dont deux éléments fixés \(a\) et \(b\). Les parties à \(p\) éléments se répartissent en \(4\) cas :

🔢 Étape 2 : contenant \(a\) et \(b\) : \(C_{n-2}^{p-2}\) ; contenant \(a\) sans \(b\) : \(C_{n-2}^{p-1}\) ; contenant \(b\) sans \(a\) : \(C_{n-2}^{p-1}\) ; ne contenant ni \(a\) ni \(b\) : \(C_{n-2}^{p}\).

✅ \(C_n^p=C_{n-2}^{p-2}+2C_{n-2}^{p-1}+C_{n-2}^p\).

D) Retrouver le résultat précédent en appliquant la formule du triangle de Pascal.

Correction détaillée

📘 Méthode : Binôme de Newton : \((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k\,a^{n-k}b^k\). Pascal : \(C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p\). Aussi : \(pC_n^p=nC_{n-1}^{p-1}\), \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n\).

🔢 Étape 1 : Une 1ère application : \(C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p\).

🔢 Étape 2 : Une 2ème application à chaque terme : \(C_{n-1}^{p-1}=C_{n-2}^{p-2}+C_{n-2}^{p-1}\) et \(C_{n-1}^p=C_{n-2}^{p-1}+C_{n-2}^p\).

🔢 Étape 3 : On additionne.

✅ \(C_n^p=C_{n-2}^{p-2}+2C_{n-2}^{p-1}+C_{n-2}^p\).

Exercice 55

Soit \(1\leq p\leq n\). On considère \(n\) boules et deux boîtes \(A\) et \(B\). Un échantillon est constitué d’une boule dans la boîte \(A\) et de \(p-1\) boules dans la boîte \(B\). En dénombrant de deux façons différentes ces échantillons, établir la formule \(nC_{n-1}^{p-1}=pC_n^p\). Retrouver cette formule par le calcul.

Correction détaillée

📘 Méthode : Une égalité entre deux nombres peut se prouver en comptant de deux façons le même ensemble.

🔢 Étape 1 : 1ère façon : on choisit d’abord la boule de \(A\) (\(n\) choix), puis les \(p-1\) boules de \(B\) parmi les \(n-1\) restantes : \(n\,C_{n-1}^{p-1}\).

🔢 Étape 2 : 2ème façon : on choisit d’abord l’ensemble des \(p\) boules de l’échantillon (\(C_n^p\) choix), puis on décide laquelle va dans \(A\) (\(p\) choix) : \(p\,C_n^p\).

🔢 Étape 3 : Les deux dénombrements comptent les mêmes échantillons.

🔢 Étape 4 : Par le calcul : \(pC_n^p=p\dfrac{n!}{p!(n-p)!}=\dfrac{n!}{(p-1)!(n-p)!}=n\dfrac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}=nC_{n-1}^{p-1}\).

✅ \(nC_{n-1}^{p-1}=pC_n^p\).

Exercice 56

\(n\in\mathbb N\) et \(p\in\mathbb N\) tels que \(0\leq p\leq n\).

1) Montrer que \(C_n^p=C_{n-1}^p+C_{n-1}^{p-1}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Binôme de Newton : \((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k\,a^{n-k}b^k\). Pascal : \(C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p\). Aussi : \(pC_n^p=nC_{n-1}^{p-1}\), \(C_n^p=C_n^{n-p}\), \(\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n\).

🔢 Étape 1 : Soit \(a\) un élément fixé de \(E\) (\(n\) éléments). Les parties à \(p\) éléments ne contenant pas \(a\) : \(C_{n-1}^p\) ; celles qui contiennent \(a\) : \(C_{n-1}^{p-1}\).

🔢 Étape 2 : Par le calcul : \(\dfrac{(n-1)!}{p!(n-1-p)!}+\dfrac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}=\dfrac{(n-1)!\left[(n-p)+p\right]}{p!(n-p)!}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}\).

✅ \(C_n^p=C_{n-1}^p+C_{n-1}^{p-1}\) (formule de Pascal).

2) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante : \(x^2-C_n^px+C_{n-1}^{p-1}C_{n-1}^p=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(S=r_1+r_2\) et \(P=r_1r_2\), l’équation \(x^2-Sx+P=0\) a pour solutions \(r_1\) et \(r_2\).

🔢 Étape 1 : D’après 1), la somme \(C_{n-1}^p+C_{n-1}^{p-1}\) vaut \(C_n^p\), et leur produit vaut \(C_{n-1}^{p-1}C_{n-1}^p\).

🔢 Étape 2 : L’équation s’écrit donc \(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2=0\) avec \(r_1=C_{n-1}^p\) et \(r_2=C_{n-1}^{p-1}\), soit \((x-r_1)(x-r_2)=0\).

✅ \(S=\left\{C_{n-1}^{p},\ C_{n-1}^{p-1}\right\}\).

Exercices corrigés de dénombrement 2ème Bac

Dénombrement · Série de synthèse 2ème Bac