Ce devoir 2 du 1er semestre 2ème Bac (PC et SVT) rassemble des exercices de contrôle : propriétés de la fonction logarithme népérien, équations et inéquations, limites et dérivation. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.
Devoir 2 corrigé du 1er semestre 2ème Bac
Devoir 2 (1er semestre) · Série de synthèse 2ème Bac
📌 Série de synthèse
⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée
📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
Simplifier les nombres suivants :
1) \(A=3\ln\left(e^2\right)+2\ln\left(\sqrt e\right)\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Propriétés : \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln\dfrac ab=\ln a-\ln b\), \(\ln a^n=n\ln a\), \(\ln e=1\), \(\ln\sqrt a=\dfrac12\ln a\).
🔢 \(\ln\left(e^2\right)=2\) et \(\ln\left(\sqrt e\right)=\dfrac12\ln e=\dfrac12\).
✅ \(A=3\times2+2\times\dfrac12=7\).
2) \(B=\ln\left(\sqrt5-\sqrt3\right)-\ln\left(\dfrac1{\sqrt5+\sqrt3}\right)-\ln(2)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(-\ln\left(\dfrac1{\sqrt5+\sqrt3}\right)=\ln\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\).
🔢 Étape 2 : \(B=\ln\left[\left(\sqrt5-\sqrt3\right)\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\right]-\ln2=\ln(5-3)-\ln2\).
✅ \(B=\ln2-\ln2=0\).
3) \(A=\ln\left(e^3\right)+2\ln(3e)+\ln\left(\dfrac19\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln\left(e^3\right)=3\) ; \(2\ln(3e)=2\ln3+2\) ; \(\ln\dfrac19=-\ln9=-2\ln3\).
✅ \(A=3+2\ln3+2-2\ln3=5\).
4) \(B=\ln\left(\sqrt{3-\sqrt2}+1\right)+\ln\left(\sqrt{3-\sqrt2}-1\right)+\ln\left(1+\dfrac1{\sqrt2}\right)\)
Correction détaillée
⚠️ Le radical « \(\sqrt{3-\sqrt2}\) » est lu avec la racine couvrant \(3-\sqrt2\) (le résultat \(0\) confirme la lecture).
🔢 Étape 1 : Les deux premiers logarithmes se regroupent : \(\ln\left[\left(\sqrt{3-\sqrt2}\right)^2-1\right]=\ln\left(2-\sqrt2\right)\).
🔢 Étape 2 : \(\left(2-\sqrt2\right)\left(1+\dfrac{\sqrt2}2\right)=2+\sqrt2-\sqrt2-1=1\).
✅ \(B=\ln\left[\left(2-\sqrt2\right)\left(1+\dfrac1{\sqrt2}\right)\right]=\ln1=0\).
Exercice 2
Soit \(f\) la fonction numérique définie par \(f:x\mapsto\ln\left(\dfrac x{x-1}\right)\). Montrer que le point \(\Omega\left(\dfrac12;0\right)\) est un centre de symétrie de la courbe \((C_f)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\Omega(a;b)\) centre de symétrie \(\iff\) \(\forall x\in D_f\) : \(2a-x\in D_f\) et \(f(2a-x)+f(x)=2b\).
🔢 Étape 1 : Ensemble de définition : \(\dfrac x{x-1}>0\iff x<0\) ou \(x>1\) : \(D_f=]-\infty;0[\cup]1;+\infty[\).
🔢 Étape 2 : Pour tout \(x\in D_f\), \(1-x\in D_f\) : si \(x<0\) alors \(1-x>1\), et si \(x>1\) alors \(1-x<0\).
🔢 Étape 3 : \(f(1-x)=\ln\left(\dfrac{1-x}{-x}\right)=\ln\left(\dfrac{x-1}x\right)=-\ln\left(\dfrac x{x-1}\right)=-f(x)\).
✅ \(\forall x\in D_f\) : \(1-x\in D_f\) et \(f(1-x)+f(x)=0=2\times0\) : \(\Omega\left(\frac12;0\right)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
Exercice 3
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations et les inéquations suivantes :
1) \(2\ln(x-3)=\ln(x+3)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x-3>0\) et \(x+3>0\), soit \(x>3\).
🔢 Étape 2 : Sur ce domaine : \(\ln(x-3)^2=\ln(x+3)\iff(x-3)^2=x+3\iff x^2-7x+6=0\), de racines \(1\) et \(6\).
✅ \(1\notin]3,+\infty[\) : \(S=\{6\}\).
2) \(1-2\ln(x)=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). \(\ln x=\dfrac12\iff x=e^{1/2}\).
✅ \(S=\{\sqrt e\}\).
3) \(\dfrac{\ln(x)}{2-x}<0\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>0\) et \(x\ne2\).
🔢 Étape 2 : Signe de \(\ln x\) : négatif sur \(]0,1[\), positif sur \(]1,+\infty[\). Signe de \(2-x\) : positif sur \(]0,2[\), négatif sur \(]2,+\infty[\).
🔢 Étape 3 : Quotient négatif : (\(\ln x<0\) et \(2-x>0\)) donc \(x\in]0,1[\) ; ou (\(\ln x>0\) et \(2-x<0\)) donc \(x>2\).
✅ \(S=]0,1[\cup]2,+\infty[\).
4) \(2\ln^2(x)+3\ln(x)-5<0\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Changement de variable \(X=\ln x\), puis retour à \(x\) par l’exponentielle.
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>0\). On pose \(X=\ln x\) : \(2X^2+3X-5=(X-1)(2X+5)<0\iff-\dfrac52<X<1\).
🔢 Étape 2 : Soit \(-\dfrac52<\ln x<1\), et \(\exp\) est strictement croissante.
✅ \(S=\left]e^{-5/2},e\right[\).
5) \(\ln(2x)=\ln(x)\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). \(\ln(2x)=\ln x\iff2x=x\iff x=0\).
✅ \(0\notin]0,+\infty[\) : \(S=\varnothing\).
6) \(1+2\ln(x)>0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). \(\ln x>-\dfrac12\iff x>e^{-1/2}\).
✅ \(S=\left]e^{-1/2},+\infty\right[\).
7) \((\ln(x))(2-\ln(x))>0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). Avec \(X=\ln x\) : \(X(2-X)>0\iff0<X<2\).
✅ \(0<\ln x<2\iff1<x<e^2\) : \(S=]1,e^2[\).
8) \(\ln^2(x)-\ln(x)-2=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). Avec \(X=\ln x\) : \(X^2-X-2=0\iff X=2\) ou \(X=-1\).
✅ \(S=\left\{e^{-1}\,;\,e^{2}\right\}\).
Exercice 4
Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de l’intervalle \(I\) dans les cas suivants :
1) \(f(x)=x\ln(x)\), \(I=]0,+\infty[\)
Correction détaillée
📘 Méthode : \((\ln u)’=\dfrac{u’}u\) et \((uv)’=u’v+uv’\).
🔢 Dérivée d’un produit : \(f'(x)=1\times\ln x+x\times\dfrac1x\).
✅ \(f'(x)=\ln x+1\).
2) \(f(x)=x-\ln^3(x)\), \(I=]0,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \((\ln^3x)’=3\ln^2x\times\dfrac1x\).
✅ \(f'(x)=1-\dfrac{3\ln^2x}x\).
3) \(f(x)=\ln\left(x+\dfrac1x\right)\), \(I=]0,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{1-\frac1{x^2}}{x+\frac1x}=\dfrac{\frac{x^2-1}{x^2}}{\frac{x^2+1}x}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x\left(x^2+1\right)}\).
4) \(f(x)=\sqrt x+\ln(x)\), \(I=]0,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \((\sqrt x)’=\dfrac1{2\sqrt x}\) et \((\ln x)’=\dfrac1x\).
✅ \(f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}+\dfrac1x\).
5) \(f(x)=\dfrac x{\ln(x)}\), \(I=]1,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{1\times\ln x-x\times\frac1x}{\ln^2x}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{\ln x-1}{\ln^2x}\).
6) \(f(x)=\ln\left(\dfrac x{1-x}\right)\), \(I=]0,1[\)
Correction détaillée
🔢 Sur \(]0,1[\) : \(f(x)=\ln x-\ln(1-x)\).
✅ \(f'(x)=\dfrac1x+\dfrac1{1-x}=\dfrac1{x(1-x)}\).
7) \(f(x)=\ln\left(x^2+x+4\right)\), \(I=\mathbb R\)
Correction détaillée
🔢 \(x^2+x+4\) a pour discriminant \(1-16<0\) : elle est strictement positive sur \(\mathbb R\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+4}\).
Exercice 5
Calculer les limites suivantes :
1) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\dfrac{2x^2+1}{x^2+4}\right)\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Limites usuelles : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}x=1\).
🔢 \(\dfrac{2x^2+1}{x^2+4}\to2\) en \(+\infty\) (termes de plus haut degré).
✅ Par continuité de \(\ln\) en \(2\) : la limite vaut \(\ln2\).
2) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{x-\ln(x)}{1+2\ln(x)}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : On divise par \(\ln x\) (\(\ne0\) près de \(0\)) : \(\dfrac{x-\ln x}{1+2\ln x}=\dfrac{\frac x{\ln x}-1}{\frac1{\ln x}+2}\).
🔢 Étape 2 : Quand \(x\to0^+\) : \(\ln x\to-\infty\), donc \(\dfrac1{\ln x}\to0\) et \(\dfrac x{\ln x}\to0\).
✅ La limite vaut \(\dfrac{0-1}{0+2}=-\dfrac12\).
3) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x)}x\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\ln(1+3x)}x=3\times\dfrac{\ln(1+3x)}{3x}\).
✅ Avec \(t=3x\to0\) : la limite vaut \(3\times1=3\).
4) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac1x-\ln(x)\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac1x\to+\infty\) et \(-\ln x\to+\infty\) : pas de forme indéterminée.
✅ La limite vaut \(+\infty\).
5) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2-\ln(x)\)
Correction détaillée
🔢 \(x^2-\ln x=x^2\left(1-\dfrac{\ln x}{x^2}\right)\) et \(\dfrac{\ln x}{x^2}\to0\).
✅ La limite vaut \(+\infty\).
6) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln^2(x)\)
Correction détaillée
🔢 \(x\ln^2x=\left(\sqrt x\,\ln x\right)^2\) et \(\sqrt x\ln x\to0\).
✅ La limite vaut \(0\).
7) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln^3(x)\)
Correction détaillée
🔢 \(x\ln^3x=\left(x^{1/3}\ln x\right)^3\) et \(x^{1/3}\ln x\to0\).
✅ La limite vaut \(0\).
8) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x+\ln^2(x)\)
Correction détaillée
🔢 \(x\to0\) et \(\ln^2x\to+\infty\).
✅ La limite vaut \(+\infty\).
9) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x+\ln(x)\)
Correction détaillée
🔢 Les deux termes tendent vers \(+\infty\).
✅ La limite vaut \(+\infty\).
10) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}1+\dfrac{\ln(x)}{x^3}\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\ln x}{x^3}\to0\) (croissances comparées).
✅ La limite vaut \(1\).
11) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\ln\left(\dfrac{1+x^2}{2+x^2}\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{1+x^2}{2+x^2}\to1\) quand \(x\to-\infty\).
✅ La limite vaut \(\ln1=0\).
12) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}-x^3+x+2+\ln(x)\)
Correction détaillée
⚠️ Le scan indique « \(x\to-\infty\) », mais \(\ln x\) n’existe pas en \(-\infty\) : on a pris \(x\to+\infty\).
🔢 \(-x^3+x+2+\ln x=-x^3\left(1-\dfrac1{x^2}-\dfrac2{x^3}-\dfrac{\ln x}{x^3}\right)\) et le facteur entre parenthèses tend vers \(1\).
✅ La limite vaut \(-\infty\).
Exercice 6
Montrer que les fonctions suivantes sont dérivables sur \(\mathbb R\) puis déterminer leur fonction dérivée :
1) \(f(x)=\left(2x^3-3x^2+1\right)^3\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Formules : \((u^n)’=nu’u^{n-1}\), \(\left(\dfrac1u\right)’=-\dfrac{u’}{u^2}\), \((\sqrt u)’=\dfrac{u’}{2\sqrt u}\), \((\sin u)’=u’\cos u\), \((uv)’=u’v+uv’\), \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).
🔢 Étape 1 : \(f\) est un polynôme (puissance d’un polynôme) donc dérivable sur \(\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=3\left(6x^2-6x\right)\left(2x^3-3x^2+1\right)^2\).
✅ \(f'(x)=18x(x-1)\left(2x^3-3x^2+1\right)^2\).
2) \(g(x)=\dfrac1{1+x^2}\)
Correction détaillée
🔢 \(1+x^2>0\) : \(g\) est rationnelle, dérivable sur \(\mathbb R\).
✅ \(g'(x)=-\dfrac{2x}{\left(1+x^2\right)^2}\).
3) \(h(x)=\sin(2x)\)
Correction détaillée
🔢 \(h\) est la composée de \(x\mapsto2x\) et de \(\sin\), dérivables sur \(\mathbb R\).
✅ \(h'(x)=2\cos(2x)\).
4) \(k(x)=\sqrt{x^2+x+1}\)
Correction détaillée
🔢 \(x^2+x+1\) a pour discriminant \(1-4=-3<0\) : elle est strictement positive sur \(\mathbb R\), donc \(k\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
✅ \(k'(x)=\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\).
5) \(l(x)=\left(x^2+x\right)\sin x\)
Correction détaillée
🔢 Produit de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb R\).
✅ \(l'(x)=(2x+1)\sin x+\left(x^2+x\right)\cos x\).
6) \(M(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+2}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Le dénominateur \(x^2+2>0\) : \(M\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : \(M'(x)=\dfrac{2x\left(x^2+2\right)-2x\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+2\right)^2}\).
✅ \(M'(x)=\dfrac{6x}{\left(x^2+2\right)^2}\).
Exercice 7
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(I=[1,+\infty[\) par : \(f(x)=3x+2(x-1)\sqrt{x-1}\).
1) La fonction \(f\) est-elle dérivable à droite en \(1\) ?
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>1\) : \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{3x+2(x-1)\sqrt{x-1}-3}{x-1}=\dfrac{3(x-1)+2(x-1)\sqrt{x-1}}{x-1}=3+2\sqrt{x-1}\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=3\) : \(f\) est dérivable à droite en \(1\) et \(f’_d(1)=3\).
2) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]1,+\infty[\) et que \((\forall x>1)\) : \(f'(x)=3+3\sqrt{x-1}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=3+2\sqrt{x-1}+2(x-1)\times\dfrac1{2\sqrt{x-1}}=3+2\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}\).
✅ \(f'(x)=3+3\sqrt{x-1}\).
3) Donner le tableau de variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)>0\) sur \(]1,+\infty[\) et \(f(1)=3\).
🔢 Étape 2 : Pour \(x\ge1\) : \(2(x-1)\sqrt{x-1}\ge0\), donc \(f(x)\ge3x\to+\infty\) : \(\lim_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\) : de \(f(1)=3\) à \(+\infty\).
4.a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J=[3,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\).
✅ \(f\) réalise une bijection de \([1,+\infty[\) sur \(f([1,+\infty[)=[3,+\infty[=J\).
4.b) Vérifier que \(f^{-1}(8)=2\).
Correction détaillée
🔢 \(f(2)=6+2\times1\times1=8\).
✅ \(f(2)=8\) donc \(f^{-1}(8)=2\).
4.c) Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(8\) puis calculer \(\left(f^{-1}\right)'(8)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Si \(f\) est dérivable en \(a=f^{-1}(b)\) avec \(f'(a)\ne0\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(b\) et \(\left(f^{-1}\right)'(b)=\dfrac1{f’\left(f^{-1}(b)\right)}\).
🔢 \(f\) est dérivable en \(2\) et \(f'(2)=3+3\sqrt1=6\ne0\).
✅ \(f^{-1}\) est dérivable en \(8\) et \(\left(f^{-1}\right)'(8)=\dfrac1{f'(2)}=\dfrac16\).
Exercice 8
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb R\) par : \(f:x\mapsto\sqrt{x^2+1}+\dfrac4{\sqrt{x^2+1}}\). Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur l’intervalle \([0,\sqrt3]\).
1.a) Vérifier que \(f\) est une fonction paire.
Correction détaillée
🔢 \(D_f=\mathbb R\) est symétrique par rapport à \(0\) et \(f(-x)=\sqrt{(-x)^2+1}+\dfrac4{\sqrt{(-x)^2+1}}=f(x)\).
✅ \(f\) est paire.
1.b) Montrer que : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et que : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0\) et interpréter géométriquement le résultat.
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\lim(f(x)-(ax+b))=0\) \(\Rightarrow\) la droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique.
🔢 Étape 1 : \(\sqrt{x^2+1}\to+\infty\) et \(\dfrac4{\sqrt{x^2+1}}\to0\) : \(\lim_{+\infty}f=+\infty\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)-x=\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)+\dfrac4{\sqrt{x^2+1}}\) avec \(\sqrt{x^2+1}-x=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}+x}\to0\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0\) : la droite \(y=x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
2.a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et que : \((\forall x\in\mathbb R)\) \(f'(x)=\dfrac{x\left(x^2-3\right)}{\left(1+x^2\right)\sqrt{1+x^2}}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(1+x^2>0\) donc \(\sqrt{1+x^2}\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et \(f\) aussi (quotient dont le dénominateur ne s’annule pas).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac x{\sqrt{1+x^2}}-\dfrac4{1+x^2}\cdot\dfrac x{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac x{\sqrt{1+x^2}}\cdot\dfrac{\left(1+x^2\right)-4}{1+x^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{x\left(x^2-3\right)}{\left(1+x^2\right)\sqrt{1+x^2}}\).
2.b) Donner le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb R^+\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \(\mathbb R^+\), \(f’\) a le signe de \(x\left(x^2-3\right)\) : négatif sur \(]0,\sqrt3[\), positif sur \(]\sqrt3,+\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(f(0)=1+4=5\) et \(f\left(\sqrt3\right)=2+\dfrac42=4\).
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \([0,\sqrt3]\) (de \(5\) à \(4\)) et strictement croissante sur \([\sqrt3,+\infty[\) (de \(4\) à \(+\infty\)).
3.a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
Correction détaillée
🔢 \(g\) est continue et strictement décroissante sur \([0,\sqrt3]\).
✅ \(g\) est une bijection de \([0,\sqrt3]\) sur \(J=g([0,\sqrt3])=[4,5]\).
3.b) Calculer \(g(1)\) et calculer \(\left(g^{-1}\right)’\left(3\sqrt2\right)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Si \(f\) est dérivable en \(a=f^{-1}(b)\) avec \(f'(a)\ne0\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(b\) et \(\left(f^{-1}\right)'(b)=\dfrac1{f’\left(f^{-1}(b)\right)}\).
🔢 Étape 1 : \(g(1)=\sqrt2+\dfrac4{\sqrt2}=\sqrt2+2\sqrt2=3\sqrt2\) et \(3\sqrt2\in[4,5]\) (\(3\sqrt2\approx4{,}24\)).
🔢 Étape 2 : \(g'(1)=\dfrac{1\times(1-3)}{2\sqrt2}=-\dfrac1{\sqrt2}\ne0\).
✅ \(g(1)=3\sqrt2\) et \(\left(g^{-1}\right)’\left(3\sqrt2\right)=\dfrac1{g'(1)}=-\sqrt2\).
Exercice 9
Soit \(f\) la fonction numérique définie par \(f(x)=x\sqrt{x^2-1}\) et \((C)\) sa courbe dans un repère orthonormé. Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur l’intervalle \([1,+\infty[\).
1) Montrer que le domaine de définition de la fonction \(f\) est : \(D_f=]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)\) existe \(\iff x^2-1\ge0\iff x\le-1\) ou \(x\ge1\).
✅ \(D_f=]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\).
2) Montrer que la fonction \(f\) est impaire.
Correction détaillée
🔢 \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\) et \(f(-x)=-x\sqrt{x^2-1}=-f(x)\).
✅ \(f\) est impaire.
3.a) Montrer que : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\) et interpréter le résultat.
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\lim f=\infty\) et \(\lim\dfrac{f(x)}x=\infty\) \(\Rightarrow\) branche parabolique de direction \((Oy)\).
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x\sqrt{x^2-1}\to+\infty\) (produit de deux termes qui tendent vers \(+\infty\)).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=\sqrt{x^2-1}\to+\infty\).
✅ \((C)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(+\infty\).
3.b) Montrer que : \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}\dfrac{f(x)}{x-1}=+\infty\) et interpréter géométriquement le résultat.
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>1\) : \(\dfrac{f(x)}{x-1}=\dfrac{x\sqrt{(x-1)(x+1)}}{x-1}=x\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty\) (car \(f(1)=0\)) : \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(1\) et \((C)\) admet au point \((1,0)\) une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
4.a) Montrer que \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(]1,+\infty[\) et que : \((\forall x\in]1,+\infty[)\) \(f'(x)=\dfrac{2x^2-1}{\sqrt{x^2-1}}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2-1>0\) sur \(]1,+\infty[\) : \(f\) est dérivable comme produit.
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\sqrt{x^2-1}+x\cdot\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{\left(x^2-1\right)+x^2}{\sqrt{x^2-1}}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2x^2-1}{\sqrt{x^2-1}}\).
4.b) Déduire que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>1\) : \(2x^2-1>1>0\) donc \(f'(x)>0\) ; \(f\) est continue en \(1\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\).
6.a) Montrer que la fonction \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) en déterminant son domaine de définition.
Correction détaillée
🔢 \(g\) (restriction de \(f\) à \([1,+\infty[\)) est continue et strictement croissante ; \(g(1)=0\) et \(\lim_{+\infty}g=+\infty\).
✅ \(g\) réalise une bijection de \([1,+\infty[\) sur \([0,+\infty[\) : \(g^{-1}\) est définie sur \([0,+\infty[\).
6.b) Montrer que \(g^{-1}\) est dérivable en \(\sqrt2\) puis calculer \(\left(g^{-1}\right)’\left(\sqrt2\right)\) (Remarquer que \(g\left(\sqrt2\right)=\sqrt2\)).
Correction détaillée
📘 Méthode : Si \(f\) est dérivable en \(a=f^{-1}(b)\) avec \(f'(a)\ne0\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(b\) et \(\left(f^{-1}\right)'(b)=\dfrac1{f’\left(f^{-1}(b)\right)}\).
🔢 Étape 1 : \(g\left(\sqrt2\right)=\sqrt2\sqrt{2-1}=\sqrt2\), donc \(g^{-1}\left(\sqrt2\right)=\sqrt2\).
🔢 Étape 2 : \(g\) est dérivable en \(\sqrt2\) et \(g’\left(\sqrt2\right)=\dfrac{4-1}{\sqrt1}=3\ne0\).
✅ \(g^{-1}\) est dérivable en \(\sqrt2\) et \(\left(g^{-1}\right)’\left(\sqrt2\right)=\dfrac1{g’\left(\sqrt2\right)}=\dfrac13\).
Exercice 10
Soit \(f\) la fonction numérique définie par : \(f(x)=x\sqrt{x^2-2}\) et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\).
1) Montrer que l’ensemble de définition de \(f\) est \(D=]-\infty,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)\) existe \(\iff x^2-2\ge0\iff|x|\ge\sqrt2\).
✅ \(D=]-\infty,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,+\infty[\).
2) Étudier la parité de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(D\) est symétrique par rapport à \(0\) et \(f(-x)=-x\sqrt{x^2-2}=-f(x)\).
✅ \(f\) est impaire.
3.a) Montrer que : \((\forall x>\sqrt2)\) : \(\dfrac{f(x)}{x-\sqrt2}=\dfrac{x\left(x+\sqrt2\right)}{\sqrt{x^2-2}}\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{x\sqrt{x^2-2}}{x-\sqrt2}=\dfrac{x\sqrt{x^2-2}\left(x+\sqrt2\right)}{x^2-2}=\dfrac{x\left(x+\sqrt2\right)}{\sqrt{x^2-2}}\) (on multiplie par \(x+\sqrt2\) et \(\dfrac{\sqrt{x^2-2}}{x^2-2}=\dfrac1{\sqrt{x^2-2}}\)).
✅ \(\dfrac{f(x)}{x-\sqrt2}=\dfrac{x\left(x+\sqrt2\right)}{\sqrt{x^2-2}}\).
3.b) Montrer que \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(\sqrt2\).
Correction détaillée
🔢 \(f\left(\sqrt2\right)=0\). Quand \(x\to\sqrt2^+\) : le numérateur \(x\left(x+\sqrt2\right)\to\sqrt2\cdot2\sqrt2=4>0\) et \(\sqrt{x^2-2}\to0^+\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to\sqrt2^+}\dfrac{f(x)-f\left(\sqrt2\right)}{x-\sqrt2}=+\infty\) : \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(\sqrt2\) ; \((C)\) a une demi-tangente verticale au point \(\left(\sqrt2,0\right)\).
3.c) Montrer que : \((\forall x>\sqrt2)\) : \(f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{\sqrt{x^2-2}}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\sqrt{x^2-2}+x\cdot\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-2}}=\dfrac{\left(x^2-2\right)+x^2}{\sqrt{x^2-2}}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2x^2-2}{\sqrt{x^2-2}}=\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{\sqrt{x^2-2}}\).
3.d) Montrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \([\sqrt2,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>\sqrt2\) : \(x^2-1>1>0\) donc \(f'(x)>0\) ; \(f\) est continue en \(\sqrt2\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \([\sqrt2,+\infty[\).
3.e) Qu’en déduire concernant les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]-\infty,-\sqrt2]\) ?
Correction détaillée
🔢 \(f\) est impaire : elle a la même monotonie sur deux intervalles symétriques par rapport à \(0\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty,-\sqrt2]\).
4.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) puis interpréter géométriquement.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=\sqrt{x^2-2}\to+\infty\) et \(f(x)=x\sqrt{x^2-2}\to+\infty\).
✅ \((C)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(+\infty\).
Exercice 11
Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=x-2\sqrt x+2\). \((C_f)\) sa courbe dans le plan muni d’un repère orthonormé \(\left(O;\vec\imath;\vec\jmath\right)\).
1) Déterminer \(D_f\) et calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sqrt x\) existe pour \(x\ge0\) : \(D_f=[0,+\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)=x\left(1-\dfrac2{\sqrt x}+\dfrac2x\right)\) et le facteur tend vers \(1\).
✅ \(D_f=[0,+\infty[\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
2) Étudier les branches infinies de la courbe \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)}x=1-\dfrac2{\sqrt x}+\dfrac2x\to1\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)-x=-2\sqrt x+2\to-\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}x=1\) et \(\lim(f(x)-x)=-\infty\) : \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction la droite \(y=x\) au voisinage de \(+\infty\).
3) Étudier la position relative de la courbe \((C_f)\) et la droite \((\Delta)\) d’équation \((\Delta):y=x\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=2-2\sqrt x=-2\left(\sqrt x-1\right)\).
✅ \(f(x)-x>0\) pour \(0\le x<1\) : \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) ; \(f(x)-x<0\) pour \(x>1\) : en dessous ; ils se coupent en \((1,1)\).
4.a) Étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) à droite en \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=\dfrac{x-2\sqrt x}x=1-\dfrac2{\sqrt x}\) pour \(x>0\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(1-\dfrac2{\sqrt x}\right)=-\infty\) : \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) ; \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale (vers le bas) au point \((0,2)\).
4.b) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(]0;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1-2\times\dfrac1{2\sqrt x}\).
✅ \(f'(x)=1-\dfrac1{\sqrt x}=\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt x}\).
4.c) Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)<0\) sur \(]0,1[\) et \(f'(x)>0\) sur \(]1,+\infty[\). \(f(0)=2\), \(f(1)=1\).
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \([0,1]\) (de \(2\) à \(1\)) puis strictement croissante sur \([1,+\infty[\) (de \(1\) à \(+\infty\)).
Exercice 12
Soit la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=x\left(\sqrt x-2\right)^2\).
1.a) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt x\) n’existe que pour \(x\ge0\).
✅ \(D_f=[0,+\infty[\).
1.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et déduire la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x\left(\sqrt x-2\right)^2\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=\left(\sqrt x-2\right)^2\to+\infty\).
✅ \(\lim_{+\infty}f=+\infty\) et \(\lim\dfrac{f(x)}x=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
2.a) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0^+\), puis interpréter le résultat géométrique.
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=\left(\sqrt x-2\right)^2\to4\).
✅ \(f\) est dérivable à droite en \(0\) et \(f’_d(0)=4\) : \((C_f)\) admet au point \(O\) une demi-tangente de pente \(4\).
2.b) Écrire l’équation de \((T)\) la demi-tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\), à droite.
Correction détaillée
🔢 \(y=f(0)+f’_d(0)(x-0)\).
✅ \((T):y=4x\) (pour \(x\ge0\)).
3.a) Étudier la dérivabilité de \(f\) sur \(D_f\), et montrer que : \((\forall x\in\mathbb R^*_+)\) \(f'(x)=2\left(\sqrt x-2\right)\left(\sqrt x-1\right)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) (produit de fonctions dérivables) et à droite en \(0\) (2.a) : elle est donc dérivable sur \(D_f\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\left(\sqrt x-2\right)^2+x\cdot2\left(\sqrt x-2\right)\cdot\dfrac1{2\sqrt x}=\left(\sqrt x-2\right)\left[\left(\sqrt x-2\right)+\sqrt x\right]\).
✅ \(f'(x)=\left(\sqrt x-2\right)\left(2\sqrt x-2\right)=2\left(\sqrt x-2\right)\left(\sqrt x-1\right)\).
3.b) Calculer \(f'(4)\) et \(f'(1)\) puis interpréter géométriquement chacun des résultats.
Correction détaillée
🔢 \(f'(4)=2(2-2)(2-1)=0\) et \(f'(1)=2(1-2)(1-1)=0\).
✅ \(f'(4)=0\) : tangente horizontale au point \((4,0)\) ; \(f'(1)=0\) : tangente horizontale au point \((1,1)\).
3.c) Dresser le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Pour \(0<x<1\) : \(\sqrt x-2<0\) et \(\sqrt x-1<0\), donc \(f’>0\). Pour \(1<x<4\) : \(f'<0\). Pour \(x>4\) : \(f’>0\).
🔢 Étape 2 : \(f(0)=0\), \(f(1)=1\), \(f(4)=0\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \([0,1]\) (de \(0\) à \(1\)), strictement décroissante sur \([1,4]\) (de \(1\) à \(0\)), strictement croissante sur \([4,+\infty[\) (de \(0\) à \(+\infty\)).
4.a) Montrer que \((C_f)\) coupe l’axe \((OX)\) en deux points \(A\) et \(B\) à déterminer.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=0\iff x=0\) ou \(\sqrt x=2\).
✅ \((C_f)\) coupe \((OX)\) en \(A(0,0)\) et \(B(4,0)\).
4.b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et l’axe des abscisses.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\left(\sqrt x-2\right)^2\ge0\) pour tout \(x\ge0\).
✅ \((C_f)\) est au-dessus de l’axe des abscisses, avec contact en \(A\) et \(B\).
5.a) Montrer que : \((\forall x\in\mathbb R^+)\) \(f(x)-x=x\left(\sqrt x-1\right)\left(\sqrt x-3\right)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : On factorise \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a=\sqrt x-2\) et \(b=1\).
🔢 \(f(x)-x=x\left[\left(\sqrt x-2\right)^2-1\right]=x\left(\sqrt x-2-1\right)\left(\sqrt x-2+1\right)\).
✅ \(f(x)-x=x\left(\sqrt x-3\right)\left(\sqrt x-1\right)\).
5.b) Déduire que \((C_f)\) coupe la droite \((D):y=x\) en trois points \(A\) ; \(E\) et \(F\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\iff x=0\) ou \(\sqrt x=1\) ou \(\sqrt x=3\).
✅ \((C_f)\) coupe \((D)\) en \(A(0,0)\), \(E(1,1)\) et \(F(9,9)\).
5.c) Étudier la position relative de \((C_f)\) et la droite \((D)\).
Correction détaillée
🔢 Signe de \(\left(\sqrt x-1\right)\left(\sqrt x-3\right)\) : positif si \(\sqrt x<1\) ou \(\sqrt x>3\), négatif si \(1<\sqrt x<3\).
✅ \((C_f)\) est au-dessus de \((D)\) sur \([0,1]\cup[9,+\infty[\) et en dessous sur \([1,9]\).
6.a) Montrer que : \((\forall x\in\mathbb R^*_+)\) \(f »(x)=\dfrac{2\sqrt x-3}{\sqrt x}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=2\left(x-3\sqrt x+2\right)\), donc \(f »(x)=2\left(1-\dfrac3{2\sqrt x}\right)=2-\dfrac3{\sqrt x}\).
✅ \(f »(x)=\dfrac{2\sqrt x-3}{\sqrt x}\).
6.b) Déduire la concavité de \((C_f)\) et montrer que \((C_f)\) admet un point d’inflexion \(I\) et donner ses coordonnées.
Correction détaillée
📘 Méthode : Point d’inflexion : \(f »\) s’annule en changeant de signe.
🔢 Étape 1 : \(f »(x)=0\iff\sqrt x=\dfrac32\iff x=\dfrac94\) ; \(f »<0\) sur \(\left]0,\dfrac94\right[\) et \(f »>0\) sur \(\left]\dfrac94,+\infty\right[\).
🔢 Étape 2 : \(f\left(\dfrac94\right)=\dfrac94\left(\dfrac32-2\right)^2=\dfrac94\times\dfrac14=\dfrac9{16}\).
✅ \((C_f)\) est concave sur \(\left]0,\dfrac94\right]\), convexe sur \(\left[\dfrac94,+\infty\right[\) et admet un point d’inflexion \(I\left(\dfrac94,\dfrac9{16}\right)\).
Exercice 13
On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) \((\forall n\in\mathbb N)\), où \(f(x)=x-2\sqrt x+2\).
5.a) Montrer par récurrence que \(u_n>1\) \((\forall n\in\mathbb N)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2>1\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : on suppose \(u_n>1\). \(f\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\) (\(f'(x)=1-\frac1{\sqrt x}>0\) pour \(x>1\)) et \(f(1)=1\), donc \(u_{n+1}=f(u_n)>f(1)=1\).
✅ Pour tout \(n\in\mathbb N\) : \(u_n>1\).
5.b) Montrer que \(\left(u_n\right)\) est décroissante, en déduire qu’elle converge.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=2-2\sqrt{u_n}=-2\left(\sqrt{u_n}-1\right)\).
🔢 Étape 2 : Comme \(u_n>1\), \(\sqrt{u_n}>1\) donc \(u_{n+1}-u_n<0\).
✅ \(\left(u_n\right)\) est décroissante et minorée par \(1\) : elle est convergente.
5.c) Calculer la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Si \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f\) continue, la limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell)=\ell\).
🔢 Étape 1 : Soit \(\ell=\lim u_n\) : \(\ell\ge1\). \(f\) est continue sur \([1,+\infty[\) donc \(f(\ell)=\ell\).
🔢 Étape 2 : \(f(\ell)=\ell\iff2-2\sqrt\ell=0\iff\ell=1\).
✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1\).
Exercice 14
On définit la suite \(\left(u_n\right)\) par : \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(u_{n+1}=f(u_n)\) et \(u_0=\dfrac12\), où \(f(x)=x\left(\sqrt x-2\right)^2\).
1) Montrer par récurrence que : \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(0\le u_n\le1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=\dfrac12\in[0,1]\).
🔢 Étape 2 : Pour \(x\in[0,1]\) : \(f'(x)=2\left(\sqrt x-2\right)\left(\sqrt x-1\right)\ge0\) (les deux facteurs sont négatifs) : \(f\) est croissante sur \([0,1]\), avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\).
🔢 Étape 3 : Hérédité : si \(0\le u_n\le1\), alors \(f(0)\le f(u_n)\le f(1)\), soit \(0\le u_{n+1}\le1\).
✅ \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(0\le u_n\le1\).
2) Montrer que \(\left(u_n\right)\) est croissante et qu’elle est convergente.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=u_n\left(\sqrt{u_n}-1\right)\left(\sqrt{u_n}-3\right)\).
🔢 Étape 2 : Avec \(0\le u_n\le1\) : \(u_n\ge0\), \(\sqrt{u_n}-1\le0\) et \(\sqrt{u_n}-3<0\), donc le produit est positif.
✅ \(\left(u_n\right)\) est croissante et majorée par \(1\) : elle est convergente.
3) Calculer la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Soit \(\ell=\lim u_n\) : comme \(\left(u_n\right)\) est croissante, \(\dfrac12=u_0\le\ell\le1\). \(f\) est continue donc \(f(\ell)=\ell\).
🔢 Étape 2 : \(f(\ell)=\ell\iff\ell\left(\sqrt\ell-1\right)\left(\sqrt\ell-3\right)=0\iff\ell\in\{0,1,9\}\).
✅ Avec \(\ell\in\left[\frac12,1\right]\) : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1\).
Exercice 15
On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac13u_n+n-2\) \((\forall n\in\mathbb N)\). On définit la suite \(\left(v_n\right)\) par : \(v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}2\) \((\forall n\in\mathbb N)\).
1) Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_1=\dfrac13u_0+0-2=\dfrac13-2=-\dfrac53\).
🔢 Étape 2 : \(u_2=\dfrac13u_1+1-2=-\dfrac59-1=-\dfrac{14}9\).
🔢 Étape 3 : \(u_3=\dfrac13u_2+2-2=-\dfrac{14}{27}\).
✅ \(u_1=-\dfrac53\), \(u_2=-\dfrac{14}9\), \(u_3=-\dfrac{14}{27}\).
2.a) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\ge4\) : \(u_n\ge0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_4=\dfrac13u_3+3-2=1-\dfrac{14}{81}=\dfrac{67}{81}\ge0\).
🔢 Étape 2 : Si \(u_n\ge0\) avec \(n\ge4\) : \(u_{n+1}=\dfrac13u_n+n-2\ge0+n-2>0\).
✅ Pour tout \(n\ge4\) : \(u_n\ge0\).
2.b) En déduire que pour tout entier naturel \(n\ge5\) : \(u_n\ge n-3\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(m\ge5\), on pose \(m=n+1\) avec \(n\ge4\) : \(u_m=\dfrac13u_n+n-2\ge n-2\) car \(u_n\ge0\).
✅ \(u_m\ge m-3\) pour tout \(m\ge5\).
2.c) En déduire la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
Correction détaillée
🔢 \(u_n\ge n-3\) et \(\lim(n-3)=+\infty\).
✅ Par comparaison : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).
3.a) Démontrer que la suite \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
Correction détaillée
📘 Méthode : Pour montrer qu’une suite est géométrique : \(v_{n+1}=q\,v_n\).
🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=-2u_{n+1}+3(n+1)-\dfrac{21}2=-2\left(\dfrac13u_n+n-2\right)+3n+3-\dfrac{21}2\).
🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=-\dfrac23u_n+n-\dfrac72=\dfrac13\left(-2u_n+3n-\dfrac{21}2\right)\).
🔢 Étape 3 : \(v_0=-2u_0-\dfrac{21}2=-2-\dfrac{21}2=-\dfrac{25}2\).
✅ \(v_{n+1}=\dfrac13v_n\) : \(\left(v_n\right)\) est géométrique de raison \(q=\dfrac13\) et de premier terme \(v_0=-\dfrac{25}2\).
3.b) En déduire que : \(u_n=\dfrac{25}4\left(\dfrac13\right)^n+\dfrac32n-\dfrac{21}4\) \((\forall n\in\mathbb N)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_n=v_0q^n=-\dfrac{25}2\left(\dfrac13\right)^n\).
🔢 Étape 2 : De \(v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}2\) : \(u_n=\dfrac{-v_n+3n-\frac{21}2}2\).
✅ \(u_n=\dfrac{25}4\left(\dfrac13\right)^n+\dfrac32n-\dfrac{21}4\).
3.c) Soit la somme \(S_n\) définie par : \(S_n=u_0+u_1+\dots+u_n\) \((\forall n\in\mathbb N)\). Déterminer l’expression de \(S_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
📘 Méthode : On somme séparément la partie géométrique et la partie affine.
🔢 Étape 1 : Somme géométrique : \(\sum_{k=0}^n\left(\dfrac13\right)^k=\dfrac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{1-\frac13}=\dfrac32\left(1-\left(\dfrac13\right)^{n+1}\right)\).
🔢 Étape 2 : Somme arithmétique : \(\sum_{k=0}^nk=\dfrac{n(n+1)}2\) et \(\sum_{k=0}^n1=n+1\).
🔢 Étape 3 : \(S_n=\dfrac{25}4\cdot\dfrac32\left(1-\left(\dfrac13\right)^{n+1}\right)+\dfrac32\cdot\dfrac{n(n+1)}2-\dfrac{21}4(n+1)\).
✅ \(S_n=\dfrac{75}8\left(1-\left(\dfrac13\right)^{n+1}\right)+\dfrac{3(n+1)(n-7)}4\).