Cette série de suites numériques 2ème Bac (PC et SVT) rassemble des exercices de synthèse : suites arithmétiques et géométriques, raisonnement par récurrence, suites majorées, convergence et calcul de limites. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.

Exercices corrigés de suites numériques 2ème Bac

Suites numériques · Série de synthèse 2ème Bac

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape

Exercice 1

Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants :

1) \(u_n=\dfrac{5n^2-3n+7}{n^2+n+1}\)

Correction détaillée

🔢 On met le terme de plus haut degré en facteur au numérateur et au dénominateur : \(u_n=\dfrac{5-\frac3n+\frac7{n^2}}{1+\frac1n+\frac1{n^2}}\).

✅ \(\lim u_n=5\).

2) \(u_n=\dfrac{5n^2+3}{2n-7}\)

Correction détaillée

🔢 \(u_n=\dfrac{n\left(5n+\frac3n\right)}{n\left(2-\frac7n\right)}=\dfrac{5n+\frac3n}{2-\frac7n}\) avec numérateur \(\to+\infty\) et dénominateur \(\to2\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

3) \(u_n=\dfrac{7n^2+1}{14n^3-5n+9}\)

Correction détaillée

🔢 La limite d’une fraction rationnelle en \(+\infty\) est celle du quotient des termes de plus haut degré : \(\dfrac{7n^2}{14n^3}=\dfrac1{2n}\).

✅ \(\lim u_n=0\).

4) \(u_n=4n^3-5n^2+3n-1\)

Correction détaillée

🔢 \(u_n=n^3\left(4-\frac5n+\frac3{n^2}-\frac1{n^3}\right)\) avec \(n^3\to+\infty\) et la parenthèse \(\to4\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

5) \(u_n=\sqrt n-2n\)

Correction détaillée

🔢 \(u_n=n\left(\dfrac1{\sqrt n}-2\right)\) avec \(n\to+\infty\) et la parenthèse \(\to-2\).

✅ \(\lim u_n=-\infty\).

6) \(u_n=\sqrt n-\sqrt{n+1}\)

Correction détaillée

🔢 Quantité conjuguée : \(u_n=\dfrac{n-(n+1)}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}=\dfrac{-1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}\).

✅ \(\lim u_n=0\).

7) \(u_n=\sqrt{n^2+n+1}-n\)

Correction détaillée

🔢 \(u_n=\dfrac{(n^2+n+1)-n^2}{\sqrt{n^2+n+1}+n}=\dfrac{n+1}{\sqrt{n^2+n+1}+n}=\dfrac{1+\frac1n}{\sqrt{1+\frac1n+\frac1{n^2}}+1}\).

✅ \(\lim u_n=\dfrac12\).

8) \(u_n=\sqrt{n^2-3n+2}-n\)

Correction détaillée

🔢 \(u_n=\dfrac{-3n+2}{\sqrt{n^2-3n+2}+n}=\dfrac{-3+\frac2n}{\sqrt{1-\frac3n+\frac2{n^2}}+1}\).

✅ \(\lim u_n=-\dfrac32\).

9) \(u_n=\sqrt{\dfrac{4n+3}{n+2}}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{4n+3}{n+2}\to4\) et la fonction racine carrée est continue en \(4\).

✅ \(\lim u_n=2\).

10) \(u_n=\sqrt[3]{n^5+2n^3-n+4}\)

Correction détaillée

🔢 \(n^5+2n^3-n+4=n^5\left(1+\frac2{n^2}-\frac1{n^4}+\frac4{n^5}\right)\to+\infty\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

11) \(u_n=\dfrac{5^n-3^n}{5^n+3^n}\)

Correction détaillée

🔢 On divise par \(5^n\) : \(u_n=\dfrac{1-\left(\frac35\right)^n}{1+\left(\frac35\right)^n}\) et \(\left(\frac35\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

12) \(u_n=\dfrac{4^n+2^n}{3^n-7^n}\)

Correction détaillée

🔢 On divise par \(7^n\) : \(u_n=\dfrac{\left(\frac47\right)^n+\left(\frac27\right)^n}{\left(\frac37\right)^n-1}\to\dfrac{0+0}{0-1}\).

✅ \(\lim u_n=0\).

13) \(u_n=\dfrac{3^n+5^n}{3^n+4\times5^n}\)

Correction détaillée

🔢 On divise par \(5^n\) : \(u_n=\dfrac{\left(\frac35\right)^n+1}{\left(\frac35\right)^n+4}\).

✅ \(\lim u_n=\dfrac14\).

14) \(u_n=1+\dfrac1{2^n}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac1{2^n}=\left(\frac12\right)^n\to0\) car \(-1<\frac12<1\).

✅ \(\lim u_n=1\).

15) \(u_n=\dfrac1n+\left(\dfrac13\right)^n\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac1n\to0\) et \(\left(\frac13\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=0\).

16) \(u_n=7+\dfrac53\left(-\dfrac14\right)^n\)

Correction détaillée

🔢 \(-1<-\frac14<1\), donc \(\left(-\frac14\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=7\).

17) \(u_n=3\times(-2)^n\)

Correction détaillée

🔢 La raison \(q=-2\) vérifie \(q\leq-1\) : la suite \(\left((-2)^n\right)\) n’a pas de limite (ses termes changent de signe et leur valeur absolue tend vers \(+\infty\)).

✅ \((u_n)\) n’a pas de limite.

18) \(u_n=5^n-4^n\)

Correction détaillée

🔢 \(u_n=5^n\left(1-\left(\frac45\right)^n\right)\) avec \(5^n\to+\infty\) et \(\left(\frac45\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

19) \(u_n=\dfrac{3^n+2}{8^n-1}\)

Correction détaillée

🔢 On divise par \(8^n\) : \(u_n=\dfrac{\left(\frac38\right)^n+\frac2{8^n}}{1-\frac1{8^n}}\to\dfrac01\).

✅ \(\lim u_n=0\).

20) \(u_n=\dfrac{2n^2-3n+2}{1-n}\)

Correction détaillée

🔢 On divise par \(n\) : \(u_n=\dfrac{2n-3+\frac2n}{\frac1n-1}\) avec numérateur \(\to+\infty\) et dénominateur \(\to-1\).

✅ \(\lim u_n=-\infty\).

21) \(u_n=\sqrt{\dfrac{2n^2-n+1}{3n^2+4}}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{2n^2-n+1}{3n^2+4}\to\dfrac23\) et la racine carrée est continue en \(\frac23\).

✅ \(\lim u_n=\sqrt{\dfrac23}=\dfrac{\sqrt6}{3}\).

22) \(u_n=\tan\left(\dfrac{\pi n+1}{3n+4}\right)\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{\pi n+1}{3n+4}\to\dfrac\pi3\) et la fonction \(\tan\) est continue en \(\dfrac\pi3\).

✅ \(\lim u_n=\tan\dfrac\pi3=\sqrt3\).

23) \(u_n=\sqrt{\dfrac{16n^2-3n+1}{2n^2+1}}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{16n^2-3n+1}{2n^2+1}\to8\).

✅ \(\lim u_n=\sqrt8=2\sqrt2\).

Exercice 2

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes en utilisant les théorèmes de comparaison.

1) \(u_n=\dfrac{\cos n}{n+1}\). Montrer que \(|u_n|\leq\dfrac1{n+1}\), puis en déduire la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(|\cos n|\leq1\), donc \(|u_n|=\dfrac{|\cos n|}{n+1}\leq\dfrac1{n+1}\).

🔢 Étape 2 : Comme \(\dfrac1{n+1}\to0\), le théorème des gendarmes donne \(u_n\to0\).

✅ \(\lim u_n=0\).

2) \(u_n=\sin(2n)+n\). Montrer que \(u_n\geq n-1\), puis en déduire la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sin(2n)\geq-1\), donc \(u_n\geq n-1\).

🔢 Étape 2 : \(n-1\to+\infty\), donc \(u_n\to+\infty\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

3) \(u_n=\dfrac{n+(-1)^n}{n^2+1}\). Montrer que \(|u_n|\leq\dfrac{n+1}{n^2+1}\), puis en déduire la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(|n+(-1)^n|\leq n+1\), donc \(|u_n|\leq\dfrac{n+1}{n^2+1}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{n+1}{n^2+1}\to0\) (quotient de polynômes de degrés \(1\) et \(2\)).

✅ \(\lim u_n=0\).

4) \(u_n=\dfrac{(-1)^n+n}{(-1)^n+2}\). Montrer que \(u_n\geq\dfrac{n-1}{3}\), puis en déduire la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Si \(n\) est pair : \(u_n=\dfrac{n+1}{3}\geq\dfrac{n-1}3\).

🔢 Étape 2 : Si \(n\) est impair : \(u_n=\dfrac{n-1}{1}=n-1\geq\dfrac{n-1}3\) car \(n-1\geq0\).

🔢 Étape 3 : Or \(\dfrac{n-1}{3}\to+\infty\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

5) \(v_n=2(-1)^n+\dfrac43n^2+2\). Montrer que \(v_n\geq\dfrac43n^2\), puis en déduire la limite.

Correction détaillée

🔢 \(2(-1)^n+2\geq-2+2=0\), donc \(v_n\geq\dfrac43n^2\).

✅ \(\dfrac43n^2\to+\infty\), donc \(\lim v_n=+\infty\).

6) \(v_n=-4n+3\cos n\). Majorer \(v_n\) puis en déduire la limite.

Correction détaillée

🔢 \(3\cos n\leq3\), donc \(v_n\leq-4n+3\).

✅ \(-4n+3\to-\infty\), donc \(\lim v_n=-\infty\).

7) \(u_n=\dfrac{\sin n}{n}\) (\(n\geq1\))

Correction détaillée

🔢 \(|u_n|\leq\dfrac1n\to0\) ; on conclut par le théorème des gendarmes.

✅ \(\lim u_n=0\).

8) \(u_n=3+\dfrac{\sin n}{n^3}\) (\(n\geq1\))

Correction détaillée

🔢 \(\left|\dfrac{\sin n}{n^3}\right|\leq\dfrac1{n^3}\to0\).

✅ \(\lim u_n=3\).

9) \(u_n=\dfrac{\cos n}{n+2}\)

Correction détaillée

🔢 \(|u_n|\leq\dfrac{1}{n+2}\to0\).

✅ \(\lim u_n=0\).

10) \(u_n=\dfrac{3n-2\sin\frac1n}{4n+\sin\frac1n}\) (\(n\geq1\))

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On divise par \(n\) : \(u_n=\dfrac{3-\frac{2}{n}\sin\frac1n}{4+\frac1n\sin\frac1n}\).

🔢 Étape 2 : \(\left|\dfrac1n\sin\dfrac1n\right|\leq\dfrac1n\to0\).

✅ \(\lim u_n=\dfrac34\).

11) \(u_n=\dfrac1{\sqrt{1+n^2}}+\dfrac1{\sqrt{2+n^2}}+\dfrac1{\sqrt{3+n^2}}+\dots+\dfrac1{\sqrt{n+n^2}}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n\) est une somme de \(n\) termes. Pour \(1\leq k\leq n\) : \(\dfrac1{\sqrt{n+n^2}}\leq\dfrac1{\sqrt{k+n^2}}\leq\dfrac1{\sqrt{1+n^2}}\).

🔢 Étape 2 : En sommant : \(\dfrac{n}{\sqrt{n+n^2}}\leq u_n\leq\dfrac n{\sqrt{1+n^2}}\).

🔢 Étape 3 : \(\dfrac{n}{\sqrt{n+n^2}}=\dfrac1{\sqrt{1+\frac1n}}\to1\) et \(\dfrac n{\sqrt{1+n^2}}=\dfrac1{\sqrt{1+\frac1{n^2}}}\to1\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 3

Soit \((v_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(v_0=1\) et \(v_{n+1}=v_n+n^4\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \(v_n\geq n\) pour tout \(n\geq1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}-v_n=n^4\geq1\) pour tout \(n\geq1\). Donc \(v_{n+1}\geq v_n+1\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(v_1=v_0+0^4=1\geq1\). Hérédité : si \(v_n\geq n\), alors \(v_{n+1}\geq n+1\).

✅ \(v_n\geq n\) pour tout \(n\geq1\).

2) En déduire \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n\).

Correction détaillée

🔢 \(n\to+\infty\) et \(v_n\geq n\).

✅ \(\lim v_n=+\infty\).

Exercice 4

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) où \(f(x)=x^2+x+1\).

1) Montrer que la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=u_n^2+1>0\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

2) Montrer que la suite \((u_n)\) n’est pas majorée (raisonnement par l’absurde).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Supposons \((u_n)\) majorée. Étant croissante, elle converge vers un réel \(\ell\).

🔢 Étape 2 : La fonction \(f:x\mapsto x^2+x+1\) est continue, donc \(\ell=f(\ell)=\ell^2+\ell+1\), soit \(\ell^2=-1\) : impossible.

✅ \((u_n)\) n’est pas majorée.

3) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Une suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

Exercice 5

Soit \((v_n)_{n\geq1}\) la suite définie par : \(v_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

1) Montrer que \((v_n)_{n\geq1}\) est minorée par \(0\).

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt{n+1}>\sqrt n\), donc \(v_n>0\).

✅ \(v_n>0\) pour tout \(n\geq1\).

2) Montrer que \((v_n)_{n\geq1}\) est majorée par \(\dfrac12\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=\dfrac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\).

🔢 Étape 2 : Pour \(n\geq1\) : \(\sqrt{n+1}+\sqrt n\geq\sqrt2+1>2\), donc \(v_n<\dfrac12\).

✅ \(v_n\leq\dfrac12\) pour tout \(n\geq1\).

3) Que peut-on dire de la suite \((v_n)_{n\geq1}\) ?

Correction détaillée

🔢 Elle est minorée par \(0\) et majorée par \(\frac12\).

✅ \((v_n)\) est bornée (on a même \(\lim v_n=0\) car \(v_n=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\)).

Exercice 6

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_n=\dfrac{2+\cos n}{3-\sin\sqrt n}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1) Montrer que la suite \((u_n)\) est bornée.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(-1\leq\cos n\leq1\), donc \(1\leq2+\cos n\leq3\).

🔢 Étape 2 : \(-1\leq\sin\sqrt n\leq1\), donc \(2\leq3-\sin\sqrt n\leq4\).

🔢 Étape 3 : Par suite \(\dfrac14\leq\dfrac{2+\cos n}{3-\sin\sqrt n}\leq\dfrac32\).

✅ \(\dfrac14\leq u_n\leq\dfrac32\) pour tout \(n\) : \((u_n)\) est bornée.

Exercice 7

1) Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) définie par : \(u_n=1-\dfrac13-\dfrac19-\dfrac1{27}-\dots-\dfrac1{3^n}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=1-\left(\dfrac13+\dfrac1{3^2}+\dots+\dfrac1{3^n}\right)\). La parenthèse est la somme des \(n\) premiers termes d’une suite géométrique de premier terme \(\frac13\) et de raison \(\frac13\) : \(\dfrac13\times\dfrac{1-\left(\frac13\right)^n}{1-\frac13}=\dfrac12\left(1-\left(\dfrac13\right)^n\right)\).

🔢 Étape 2 : Donc \(u_n=1-\dfrac12\left(1-\left(\dfrac13\right)^n\right)=\dfrac12+\dfrac12\left(\dfrac13\right)^n\).

🔢 Étape 3 : \(\left(\frac13\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=\dfrac12\).

2) Calculer en fonction de \(n\) la somme \(S_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac12\right)^k=1+\dfrac12+\left(\dfrac12\right)^2+\dots+\left(\dfrac12\right)^{n-1}\), puis sa limite.

Correction détaillée

🔢 Somme de \(n\) termes d’une suite géométrique de premier terme \(1\) et de raison \(\frac12\) : \(S_n=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^n}{1-\frac12}\).

✅ \(S_n=2\left(1-\left(\dfrac12\right)^n\right)\) et \(\lim S_n=2\).

Exercice 8

Un jeune homme se préparait à l’examen du baccalauréat ; son père, pour l’encourager, lui demanda ce qu’il désirait en récompense. « Mon examen devant avoir lieu le 20 juin, répondit-il, donne-moi seulement 1 centime le 1er juin, 2 centimes le lendemain, 4 centimes le surlendemain, en doublant chaque jour jusqu’au 20 juin inclusivement. Et donne-moi la somme. J’emploierai cet argent pour faire un voyage pendant les vacances. » Le père pensa qu’avec cette somme son fils n’irait pas loin ; mais au bout de quelques jours, il commença à s’apercevoir de son erreur. Avec quelle somme le fils va-t-il pouvoir partir en vacances ?

1) Exprimer, en centimes, la somme reçue le \(k\)-ième jour (\(1\leq k\leq20\)).

Correction détaillée

🔢 Le 1er juin : \(1\) centime ; le 2 : \(2\) ; le 3 : \(4\)… Chaque jour la somme est doublée : suite géométrique de premier terme \(1\) et de raison \(2\).

✅ Le \(k\)-ième jour, le fils reçoit \(2^{k-1}\) centimes.

2) Calculer la somme totale reçue du 1er au 20 juin inclus.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(S=1+2+2^2+\dots+2^{19}=\dfrac{2^{20}-1}{2-1}=2^{20}-1\).

🔢 Étape 2 : \(2^{20}=1\,048\,576\).

✅ \(S=1\,048\,575\) centimes, soit environ \(10\,485{,}75\) unités monétaires : le fils pouvait bien partir en voyage !

Exercice 9

Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants :

1) \(u_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2^k}{k}\) pour \(n\in\mathbb N^*\)

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}>0\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

2) \(u_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k}\) pour \(n\in\mathbb N^*\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=\dfrac1{n+1}+\dfrac1{n+2}+\dots+\dfrac1{2n}\) et \(u_{n+1}=\dfrac1{n+2}+\dots+\dfrac1{2n}+\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n+2}\).

🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n+2}-\dfrac1{n+1}=\dfrac1{2n+1}-\dfrac1{2n+2}>0\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

Exercice 10

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=13\) et \(u_{n+1}=\dfrac12u_n+7\) ; \(\forall n\in\mathbb N\).

1) Démontrer par récurrence que \(u_n<14\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=13<14\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n<14\), alors \(\dfrac12u_n<7\), donc \(u_{n+1}=\dfrac12u_n+7<14\).

✅ \(u_n<14\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2.a) On pose \(v_n=14-u_n\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), puis écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=14-u_{n+1}=14-\dfrac12u_n-7=7-\dfrac12u_n=\dfrac12(14-u_n)=\dfrac12v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=14-13=1\), donc \(v_n=v_0\left(\dfrac12\right)^n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\) et \(v_n=\left(\dfrac12\right)^n\).

2.b) En déduire que \(u_n=14-\left(\dfrac12\right)^n\) pour tout \(n\in\mathbb N\), puis calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=14-v_n=14-\left(\dfrac12\right)^n\).

🔢 Étape 2 : \(-1<\dfrac12<1\) donc \(\left(\dfrac12\right)^n\to0\).

✅ \(u_n=14-\left(\dfrac12\right)^n\) et \(\lim u_n=14\).

2.c) Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel \(n\) pour laquelle \(u_n>13{,}99\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n>13{,}99\iff14-\left(\frac12\right)^n>13{,}99\iff\left(\frac12\right)^n<0{,}01\iff2^n>100\).

🔢 Étape 2 : \(2^6=64<100\) et \(2^7=128>100\).

✅ La plus petite valeur est \(n=7\).

Exercice 11

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=4\) et \(u_{n+1}=\dfrac25u_n+3\) ; \(\forall n\in\mathbb N\).

1) Démontrer par récurrence que \(u_n<5\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=4<5\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n<5\), alors \(\frac25u_n<2\) donc \(u_{n+1}=\frac25u_n+3<5\).

✅ \(u_n<5\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2) Vérifier que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac35(5-u_n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\), puis en déduire que \((u_n)\) est croissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac25u_n+3-u_n=3-\dfrac35u_n=\dfrac35(5-u_n)\).

🔢 Étape 2 : D’après 1), \(5-u_n>0\), donc \(u_{n+1}-u_n>0\).

✅ \((u_n)\) est (strictement) croissante.

3) En déduire que \((u_n)\) est convergente.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) est croissante et majorée par \(5\).

✅ \((u_n)\) est convergente.

4.a) On pose \(v_n=5-u_n\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac25\), puis écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=5-\dfrac25u_n-3=2-\dfrac25u_n=\dfrac25(5-u_n)=\dfrac25v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=5-4=1\), donc \(v_n=\left(\dfrac25\right)^n\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac25\right)^n\).

4.b) En déduire que \(u_n=5-\left(\dfrac25\right)^n\), puis calculer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=5-v_n=5-\left(\frac25\right)^n\).

🔢 Étape 2 : \(-1<\frac25<1\) donc \(\left(\frac25\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=5\).

Exercice 12

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac15u_n+\dfrac45\) et \(u_0=2\).

1) Vérifier que \(u_{n+1}-1=\dfrac15(u_n-1)\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-1=\dfrac15u_n+\dfrac45-1=\dfrac15u_n-\dfrac15=\dfrac15(u_n-1)\).

✅ \(u_{n+1}-1=\dfrac15(u_n-1)\).

2.a) Montrer par récurrence que \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2>1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>1\), d’après 1) \(u_{n+1}-1=\frac15(u_n-1)>0\).

✅ \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac15u_n+\dfrac45-u_n=\dfrac45(1-u_n)\).

🔢 Étape 2 : Comme \(u_n>1\), \(1-u_n<0\).

✅ \(u_{n+1}-u_n<0\) : \((u_n)\) est décroissante.

2.c) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1\).

✅ \((u_n)\) est convergente.

3.a) On pose \(v_n=u_n-1\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac15\), puis calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 D’après 1), \(v_{n+1}=\dfrac15v_n\). Et \(v_0=u_0-1=1\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac15\right)^n\).

3.b) Montrer que \(u_n=\left(\dfrac15\right)^n+1\), puis calculer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=v_n+1=\left(\frac15\right)^n+1\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac15\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 13

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{10}{11}u_n+\dfrac{12}{11}\) et \(u_0=11\).

1) Vérifier que \(u_{n+1}-12=\dfrac{10}{11}(u_n-12)\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-12=\dfrac{10}{11}u_n+\dfrac{12}{11}-12=\dfrac{10}{11}u_n-\dfrac{120}{11}=\dfrac{10}{11}(u_n-12)\).

✅ \(u_{n+1}-12=\dfrac{10}{11}(u_n-12)\).

2.a) Montrer par récurrence que \(u_n<12\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=11<12\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n<12\), alors \(u_n-12<0\) et d’après 1) \(u_{n+1}-12=\frac{10}{11}(u_n-12)<0\).

✅ \(u_n<12\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

Correction détaillée

⚠️ Dans l’énoncé on lit « strictement décroissante », mais le calcul donne \(u_{n+1}-u_n=\frac1{11}(12-u_n)>0\) : la suite est strictement croissante (cohérent avec \(u_0=11\) et \(u_n\to12\)).

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{10}{11}u_n+\dfrac{12}{11}-u_n=\dfrac1{11}(12-u_n)\).

🔢 Étape 2 : Comme \(u_n<12\), \(12-u_n>0\) : donc \(u_{n+1}-u_n>0\).

✅ \(u_{n+1}-u_n>0\) pour tout \(n\) : la suite est strictement croissante.

2.c) Déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) est croissante et majorée par \(12\).

✅ \((u_n)\) est convergente.

3.a) On pose \(v_n=u_n-12\). En utilisant la question 1), montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{10}{11}\), puis calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 D’après 1), \(v_{n+1}=\dfrac{10}{11}v_n\) ; \(v_0=11-12=-1\).

✅ \(v_n=-\left(\dfrac{10}{11}\right)^n\).

3.b) Calculer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=12+v_n=12-\left(\dfrac{10}{11}\right)^n\).

🔢 Étape 2 : \(-1<\frac{10}{11}<1\).

✅ \(u_n=12-\left(\dfrac{10}{11}\right)^n\) et \(\lim u_n=12\).

Exercice 14

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac1{16}u_n+\dfrac{15}{16}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1.a) Démontrer par récurrence que \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2>1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>1\), alors \(u_{n+1}-1=\frac1{16}u_n+\frac{15}{16}-1=\frac1{16}(u_n-1)>0\).

✅ \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1.b) Vérifier que \(u_{n+1}-u_n=-\dfrac{15}{16}(u_n-1)\), puis montrer que \((u_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac1{16}u_n+\dfrac{15}{16}-u_n=-\dfrac{15}{16}u_n+\dfrac{15}{16}=-\dfrac{15}{16}(u_n-1)\).

🔢 Étape 2 : \(u_n-1>0\) donc \(u_{n+1}-u_n<0\).

✅ \((u_n)\) est décroissante.

1.c) En déduire que \((u_n)\) est convergente.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1\).

✅ \((u_n)\) est convergente.

2.a) On considère la suite \((v_n)\) définie par \(v_n=u_n-1\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac1{16}\), puis écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=u_{n+1}-1=\dfrac1{16}(u_n-1)=\dfrac1{16}v_n\) (calcul du 1.a)).

🔢 Étape 2 : \(v_0=2-1=1\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac1{16}\right)^n\).

2.b) Montrer que \(u_n=1+\left(\dfrac1{16}\right)^n\), puis déterminer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

⚠️ Dans une des sources on trouve « \(u_n=1-\left(\frac1{16}\right)^n\) » : c’est une faute de signe, car \(u_0=2\) donne bien \(u_n=1+\left(\frac1{16}\right)^n\).

🔢 Étape 1 : \(u_n=1+v_n=1+\left(\frac1{16}\right)^n\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac1{16}\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 15

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=17\) et \(u_{n+1}=\dfrac14u_n+12\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1.a) Montrer par récurrence que \(u_n>16\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=17>16\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>16\), alors \(\frac14u_n>4\) donc \(u_{n+1}=\frac14u_n+12>16\).

✅ \(u_n>16\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1.b) Montrer que \((u_n)\) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac14u_n+12-u_n=-\dfrac34(u_n-16)<0\) car \(u_n>16\).

🔢 Étape 2 : \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(16\).

✅ \((u_n)\) est décroissante et convergente.

2.a) On pose \(v_n=u_n-16\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique, puis écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

⚠️ Dans une des sources la raison est annoncée égale à \(\frac1{16}\) : c’est \(\frac14\) qui est correcte (et \(u_n=16+\left(\frac14\right)^n\)).

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\dfrac14u_n+12-16=\dfrac14u_n-4=\dfrac14(u_n-16)=\dfrac14v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=1\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac14\) et \(v_n=\left(\dfrac14\right)^n\).

2.b) En déduire que \(u_n=16+\left(\dfrac14\right)^n\), puis la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n=16+v_n\) et \(\left(\frac14\right)^n\to0\).

✅ \(u_n=16+\left(\dfrac14\right)^n\) et \(\lim u_n=16\).

2.c) Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel \(n\) pour laquelle \(u_n<16{,}0001\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n<16{,}0001\iff\left(\frac14\right)^n<10^{-4}\iff4^n>10^4\).

🔢 Étape 2 : \(4^6=4096<10000\) et \(4^7=16384>10000\).

✅ La plus petite valeur est \(n=7\).

Exercice 16

Considérons la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=10\) et \(u_{n+1}=\dfrac{17}{19}u_n+\dfrac{18}{19}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).

1) Montrer que \(u_n\geq9\), pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=10\geq9\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n\geq9\), alors \(u_{n+1}=\frac{17}{19}u_n+\frac{18}{19}\geq\frac{17\times9+18}{19}=\frac{171}{19}=9\).

✅ \(u_n\geq9\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2) Montrer que \((u_n)\) est décroissante, puis déduire qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{17}{19}u_n+\dfrac{18}{19}-u_n=\dfrac{18-2u_n}{19}=-\dfrac2{19}(u_n-9)\leq0\).

🔢 Étape 2 : Décroissante et minorée par \(9\).

✅ \((u_n)\) est décroissante et minorée : elle est convergente.

3.a) On pose \(v_n=u_n-9\). Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique.

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=\dfrac{17}{19}u_n+\dfrac{18}{19}-9=\dfrac{17}{19}u_n-\dfrac{153}{19}=\dfrac{17}{19}(u_n-9)=\dfrac{17}{19}v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{17}{19}\) et de premier terme \(v_0=1\).

3.b) Calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=v_0q^n\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac{17}{19}\right)^n\).

3.c) Déduire \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=9+v_n=9+\left(\frac{17}{19}\right)^n\).

🔢 Étape 2 : \(0<\frac{17}{19}<1\).

✅ \(u_n=9+\left(\dfrac{17}{19}\right)^n\) et \(\lim u_n=9\).

Exercice 17

Soit \((u_n)\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac12u_n+3\) (\(\forall n\in\mathbb N\)) et \(u_0=2\).

1) Calculer \(u_1\) et \(u_2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_1=\frac12\times2+3=4\) ; \(u_2=\frac12\times4+3=5\).

✅ \(u_1=4\) et \(u_2=5\).

2) Montrer que \(u_n<6\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2<6\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n<6\), \(u_{n+1}=\frac12u_n+3<3+3=6\).

✅ \(u_n<6\).

3) Étudier la monotonie de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=3-\dfrac12u_n=\dfrac12(6-u_n)>0\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

4) On définit la suite \((v_n)\) par \(v_n=u_n-6\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

4.a) Calculer \(v_0\) et \(v_1\).

Correction détaillée

🔢 \(v_0=2-6=-4\) ; \(v_1=4-6=-2\).

✅ \(v_0=-4\) et \(v_1=-2\).

4.b) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique.

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=\dfrac12u_n+3-6=\dfrac12(u_n-6)=\dfrac12v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\).

4.c) Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=v_0\left(\frac12\right)^n\).

✅ \(v_n=-4\left(\dfrac12\right)^n\).

4.d) En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n=v_n+6\).

✅ \(u_n=6-4\left(\dfrac12\right)^n\).

5) Exprimer \(S_n=v_0+v_1+\dots+v_n\) et \(w_n=u_0+u_1+\dots+u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme de \(n+1\) termes d’une suite géométrique : \(S_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=-4\times\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{\frac12}=-8\left(1-\left(\tfrac12\right)^{n+1}\right)\).

🔢 Étape 2 : \(w_n=\sum(v_k+6)=S_n+6(n+1)\).

✅ \(S_n=-8+8\left(\dfrac12\right)^{n+1}\) et \(w_n=6n-2+8\left(\dfrac12\right)^{n+1}\).

6) Calculer \(\lim v_n\) ; \(\lim u_n\) ; \(\lim S_n\) et \(\lim w_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\left(\frac12\right)^n\to0\) donc \(v_n\to0\), \(u_n\to6\), \(S_n\to-8\).

🔢 Étape 2 : \(w_n=6n-2+8\left(\frac12\right)^{n+1}\to+\infty\).

✅ \(\lim v_n=0\) ; \(\lim u_n=6\) ; \(\lim S_n=-8\) ; \(\lim w_n=+\infty\).

Exercice 18

On définit la suite \((u_n)\) par : \(u_0=13\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac15u_n+\dfrac45\). On définit la suite \((S_n)\) par \(S_n=\sum\limits_{k=0}^nu_k\).

1) Montrer par récurrence que \(u_n=1+\dfrac{12}{5^n}\) pour tout entier naturel \(n\). En déduire la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(1+\frac{12}{5^0}=13=u_0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n=1+\frac{12}{5^n}\), alors \(u_{n+1}=\frac15\left(1+\frac{12}{5^n}\right)+\frac45=1+\frac{12}{5^{n+1}}\).

🔢 Étape 3 : \(\frac{12}{5^n}\to0\).

✅ \(u_n=1+\dfrac{12}{5^n}\) et \(\lim u_n=1\).

2.a) Déterminer la monotonie de la suite \((S_n)\) où \(S_n=\sum\limits_{k=0}^nu_k=u_0+u_1+\dots+u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(S_{n+1}-S_n=u_{n+1}=1+\dfrac{12}{5^{n+1}}>0\).

✅ \((S_n)\) est strictement croissante.

2.b) Calculer \(S_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(S_n=(n+1)+12\sum\limits_{k=0}^n\left(\dfrac15\right)^k=(n+1)+12\times\dfrac{1-\left(\frac15\right)^{n+1}}{\frac45}\).

✅ \(S_n=n+1+15\left(1-\left(\dfrac15\right)^{n+1}\right)=n+16-15\left(\dfrac15\right)^{n+1}\).

2.c) Déterminer la limite de \((S_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(n+16\to+\infty\) et \(\left(\frac15\right)^{n+1}\to0\).

✅ \(\lim S_n=+\infty\).

Exercice 19

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac13u_n+n-2\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

Correction détaillée

🔢 \(u_1=\frac13-2=-\frac53\) ; \(u_2=-\frac59+1-2=-\frac{14}9\) ; \(u_3=-\frac{14}{27}+2-2=-\frac{14}{27}\).

✅ \(u_1=-\dfrac53\), \(u_2=-\dfrac{14}9\), \(u_3=-\dfrac{14}{27}\).

2.a) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\geq4\), \(u_n\geq0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_4=\frac13u_3+3-2=-\frac{14}{81}+1=\frac{67}{81}\geq0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n\geq0\) (\(n\geq4\)), \(u_{n+1}=\frac13u_n+n-2\geq n-2\geq2>0\).

✅ \(u_n\geq0\) pour tout \(n\geq4\).

2.b) En déduire que pour tout entier naturel \(n\geq5\), \(u_n\geq n-3\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(n\geq4\) : \(u_n\geq0\), donc \(u_{n+1}=\frac13u_n+n-2\geq n-2=(n+1)-3\).

🔢 Étape 2 : C’est vrai pour tout \(n+1\geq5\).

✅ \(u_n\geq n-3\) pour tout \(n\geq5\).

2.c) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n\geq n-3\) et \(n-3\to+\infty\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

3) On définit la suite \((v_n)\) par : \(v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}2\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

3.a) Démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=-2\left(\frac13u_n+n-2\right)+3(n+1)-\frac{21}2=-\frac23u_n+n-\frac72\).

🔢 Étape 2 : Et \(\frac13v_n=-\frac23u_n+n-\frac72\). Donc \(v_{n+1}=\frac13v_n\).

🔢 Étape 3 : \(v_0=-2\times1-\frac{21}2=-\frac{25}2\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac13\) et de premier terme \(v_0=-\dfrac{25}2\).

3.b) En déduire que \(u_n=\dfrac{25}4\left(\dfrac13\right)^n+\dfrac32n-\dfrac{21}4\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=-\frac{25}2\left(\frac13\right)^n\).

🔢 Étape 2 : De \(v_n=-2u_n+3n-\frac{21}2\) : \(u_n=\dfrac{3n-\frac{21}2-v_n}{2}=\dfrac32n-\dfrac{21}4+\dfrac{25}4\left(\dfrac13\right)^n\).

✅ \(u_n=\dfrac{25}4\left(\dfrac13\right)^n+\dfrac32n-\dfrac{21}4\).

3.c) Soit la somme \(S_n=u_0+u_1+\dots+u_n\). Déterminer l’expression de \(S_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac13\right)^k=\dfrac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{\frac23}=\dfrac32\left(1-\left(\tfrac13\right)^{n+1}\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\sum\limits_{k=0}^nk=\dfrac{n(n+1)}2\) et \(\sum\limits_{k=0}^n1=n+1\).

🔢 Étape 3 : \(S_n=\dfrac{25}4\times\dfrac32\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right)+\dfrac32\times\dfrac{n(n+1)}2-\dfrac{21}4(n+1)\).

✅ \(S_n=\dfrac{75}8\left(1-\left(\dfrac13\right)^{n+1}\right)+\dfrac{3n(n+1)}4-\dfrac{21(n+1)}4\).

Exercice 20

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=\dfrac12\) et \(u_{n+1}=\dfrac12u_n+\dfrac n2-\dfrac32\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

Correction détaillée

🔢 \(u_1=\frac14-\frac32=-\frac54\) ; \(u_2=-\frac58+\frac12-\frac32=-\frac{13}8\) ; \(u_3=-\frac{13}{16}+1-\frac32=-\frac{21}{16}\).

✅ \(u_1=-\dfrac54\), \(u_2=-\dfrac{13}8\), \(u_3=-\dfrac{21}{16}\).

2) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\geq3\), \(u_{n+1}>u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_4=-\frac{21}{32}+\frac32-\frac32=-\frac{21}{32}>-\frac{21}{16}=u_3\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+2}-u_{n+1}=\frac12(u_{n+1}-u_n)+\frac12>0\) si \(u_{n+1}-u_n>0\).

✅ \(u_{n+1}>u_n\) pour tout \(n\geq3\).

3) En déduire le sens de variation de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 D’après 2).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante à partir du rang \(3\).

4) On définit la suite \((v_n)\) par : \(v_n=0{,}1u_n-0{,}1n+0{,}5\) (\(\forall n\in\mathbb N\)). Démontrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}5\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=0{,}1\left(\frac12u_n+\frac n2-\frac32\right)-0{,}1(n+1)+0{,}5=0{,}05u_n-0{,}05n+0{,}25\).

🔢 Étape 2 : \(0{,}5\,v_n=0{,}05u_n-0{,}05n+0{,}25\). Donc \(v_{n+1}=0{,}5v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}5\).

5) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\dfrac{11}2\left(\dfrac12\right)^n+n-5\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé écrit \(u_n=10\times\left(\frac12\right)^n+n-5\) : cette formule correspond à \(u_0=5\). Avec \(u_0=\frac12\) (comme dans l’énoncé), on trouve \(\frac{11}2\) au lieu de \(10\) (vérification : \(u_0=\frac{11}2-5=\frac12\)).

🔢 Étape 1 : \(v_0=0{,}1\times\frac12+0{,}5=0{,}55\), donc \(v_n=0{,}55\times(0{,}5)^n\).

🔢 Étape 2 : \(u_n=10v_n+n-5=5{,}5\left(\frac12\right)^n+n-5\).

✅ \(u_n=\dfrac{11}2\left(\dfrac12\right)^n+n-5\).

6) Déterminer alors la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac12\right)^n\to0\) et \(n-5\to+\infty\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

Exercice 21

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac15(u_n-4n-1)\) (\(\forall n\in\mathbb N\)). On pose \(v_n=u_n+n-1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac15\).

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=u_{n+1}+(n+1)-1=\dfrac15(u_n-4n-1)+n=\dfrac15u_n+\dfrac15n-\dfrac15=\dfrac15(u_n+n-1)=\dfrac15v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac15\).

2.a) Calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_0=u_0+0-1=1\) donc \(v_n=\left(\frac15\right)^n\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac15\right)^n\).

2.b) En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=v_n-n+1=\left(\frac15\right)^n-n+1\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac15\right)^n\to0\) et \(-n+1\to-\infty\).

✅ \(u_n=\left(\dfrac15\right)^n-n+1\) et \(\lim u_n=-\infty\).

3) On pose \(T_n=v_0+v_1+\dots+v_n\) et \(S_n=u_0+u_1+\dots+u_n\). Montrer que \(T_n=\dfrac14\left(5-\dfrac1{5^n}\right)\) et \(S_n=T_n-\dfrac{(n+1)(n-2)}2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(T_n=\dfrac{1-\left(\frac15\right)^{n+1}}{1-\frac15}=\dfrac54\left(1-\dfrac1{5^{n+1}}\right)=\dfrac14\left(5-\dfrac1{5^n}\right)\).

🔢 Étape 2 : \(S_n=\sum(v_k-k+1)=T_n-\sum\limits_{k=0}^n(k-1)=T_n-\left(\dfrac{n(n+1)}2-(n+1)\right)=T_n-\dfrac{(n+1)(n-2)}2\).

✅ \(T_n=\dfrac14\left(5-\dfrac1{5^n}\right)\) et \(S_n=T_n-\dfrac{(n+1)(n-2)}2\).

Exercice 22

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=2\), \(u_1=\dfrac49\) et \(u_{n+2}=\dfrac1{27}(12u_{n+1}-u_n)\) (\(\forall n\in\mathbb N\)), et \(v_n=u_n-\dfrac1{3^n}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \(u_{n+1}=\dfrac19u_n+\dfrac2{3^{n+2}}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(w_n=u_{n+1}-\dfrac19u_n-\dfrac2{3^{n+2}}\). On a \(w_0=\frac49-\frac29-\frac29=0\).

🔢 Étape 2 : \(w_{n+1}=u_{n+2}-\frac19u_{n+1}-\frac2{3^{n+3}}=\frac{12u_{n+1}-u_n}{27}-\frac{3u_{n+1}}{27}-\frac2{3^{n+3}}=\frac13\left(u_{n+1}-\frac19u_n-\frac2{3^{n+2}}\right)=\frac13w_n\).

🔢 Étape 3 : Donc \(w_n=0\) pour tout \(n\) (récurrence).

✅ \(u_{n+1}=\dfrac19u_n+\dfrac2{3^{n+2}}\).

2.a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique, dont on déterminera la raison et le premier terme.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac1{3^{n+1}}=\dfrac19u_n+\dfrac2{3^{n+2}}-\dfrac3{3^{n+2}}=\dfrac19u_n-\dfrac1{3^{n+2}}=\dfrac19\left(u_n-\dfrac1{3^n}\right)=\dfrac19v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=u_0-1=1\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac19\) et de premier terme \(v_0=1\).

2.b) Écrire \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=\left(\frac19\right)^n\) et \(u_n=v_n+\frac1{3^n}\).

✅ \(v_n=\dfrac1{9^n}\) et \(u_n=\dfrac1{9^n}+\dfrac1{3^n}\).

2.c) Calculer la somme \(s_n=\sum\limits_{k=0}^nu_k=u_0+u_1+\dots+u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\sum\limits_{k=0}^n\frac1{9^k}=\dfrac{1-\left(\frac19\right)^{n+1}}{\frac89}=\dfrac98\left(1-\dfrac1{9^{n+1}}\right)\) et \(\sum\limits_{k=0}^n\frac1{3^k}=\dfrac32\left(1-\dfrac1{3^{n+1}}\right)\).

✅ \(s_n=\dfrac98\left(1-\dfrac1{9^{n+1}}\right)+\dfrac32\left(1-\dfrac1{3^{n+1}}\right)\).

Exercice 23

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=u_1=1\), \(u_{n+2}=\dfrac25u_{n+1}-\dfrac1{25}u_n\) (\(\forall n\in\mathbb N\)). On pose \(a_n=u_{n+1}-\dfrac15u_n\) et \(b_n=5^nu_n\).

1) Montrer que \((a_n)\) est une suite géométrique, puis calculer \(a_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(a_{n+1}=u_{n+2}-\frac15u_{n+1}=\frac25u_{n+1}-\frac1{25}u_n-\frac15u_{n+1}=\frac15u_{n+1}-\frac1{25}u_n=\frac15\left(u_{n+1}-\frac15u_n\right)=\frac15a_n\).

🔢 Étape 2 : \(a_0=u_1-\frac15u_0=1-\frac15=\frac45\).

✅ \((a_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac15\) et \(a_n=\dfrac45\left(\dfrac15\right)^n\).

2) Étudier la nature de \((b_n)_{n\in\mathbb N}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(b_{n+1}-b_n=5^{n+1}u_{n+1}-5^nu_n=5^n(5u_{n+1}-u_n)=5^{n+1}a_n=5^{n+1}\times\dfrac45\times\dfrac1{5^n}=4\).

🔢 Étape 2 : \(b_0=u_0=1\).

✅ \((b_n)\) est arithmétique de raison \(4\) et de premier terme \(1\).

3.a) Calculer \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(b_n=1+4n\) et \(u_n=\dfrac{b_n}{5^n}\).

✅ \(u_n=\dfrac{4n+1}{5^n}\).

3.b) Montrer que \(0<u_{n+1}\leq\dfrac25u_n\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n>0\). De plus \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{4n+5}{5(4n+1)}\) et \(\dfrac{4n+5}{5(4n+1)}\leq\dfrac25\iff4n+5\leq8n+2\iff n\geq\dfrac34\).

✅ Pour \(n\geq1\) : \(0<u_{n+1}\leq\dfrac25u_n\).

3.c) Déduire que \(0<u_n\leq\left(\dfrac25\right)^{n-1}\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Par récurrence : \(u_1=1\leq\left(\frac25\right)^0\).

🔢 Étape 2 : Si \(u_n\leq\left(\frac25\right)^{n-1}\), alors \(u_{n+1}\leq\frac25u_n\leq\left(\frac25\right)^n\).

✅ \(0<u_n\leq\left(\dfrac25\right)^{n-1}\).

4) Calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(0<u_n\leq\left(\frac25\right)^{n-1}\to0\) : théorème des gendarmes.

✅ \(\lim u_n=0\).

Exercice 24

On considère une suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb N\) par : \(u_0=6\) et \(u_{n+1}=\dfrac13u_n+2\). On pose \(v_n=u_n-3\).

1.a) Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme \(v_0\).

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=u_{n+1}-3=\dfrac13u_n+2-3=\dfrac13(u_n-3)=\dfrac13v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac13\), \(v_0=6-3=3\).

1.b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=3\left(\frac13\right)^n\) et \(u_n=v_n+3\).

✅ \(v_n=3\left(\dfrac13\right)^n\) et \(u_n=3+3\left(\dfrac13\right)^n\).

1.c) En déduire \(\lim v_n\) et \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac13\right)^n\to0\).

✅ \(\lim v_n=0\) et \(\lim u_n=3\).

2) Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose \(S_n=v_0+v_1+\dots+v_n\). Déterminer \(\lim S_n\).

Correction détaillée

🔢 \(S_n=3\times\dfrac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{1-\frac13}=\dfrac92\left(1-\left(\dfrac13\right)^{n+1}\right)\).

✅ \(\lim S_n=\dfrac92\).

Exercice 25

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=2u_n+1-n\) pour tout entier naturel \(n\).

1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(n\leq u_n\). Qu’en déduit-on ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1\geq0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n\geq n\), alors \(u_{n+1}=2u_n+1-n\geq2n+1-n=n+1\).

🔢 Étape 3 : Comme \(n\to+\infty\), le théorème de comparaison s’applique.

✅ \(u_n\geq n\) pour tout \(n\), donc \(\lim u_n=+\infty\).

Exercice 26

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\dfrac12\sqrt{u_n^2+12}\).

1.a) Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

Correction détaillée

🔢 \(u_0=0\) ; \(u_1=\frac12\sqrt{12}=\sqrt3\approx1{,}732\) ; \(u_2=\frac12\sqrt{15}\approx1{,}936\) ; \(u_3=\frac12\sqrt{\frac{15}4+12}=\frac{\sqrt{63}}4\approx1{,}984\) ; \(u_4=\frac12\sqrt{\frac{63}{16}+12}=\frac{\sqrt{255}}8\approx1{,}996\).

✅ \(0\) ; \(\sqrt3\) ; \(\dfrac{\sqrt{15}}2\) ; \(\dfrac{\sqrt{63}}4\) ; \(\dfrac{\sqrt{255}}8\).

1.b) Quel semble être la limite de \((u_n)\) ?

Correction détaillée

🔢 Les termes se rapprochent de \(2\).

✅ La limite semble être \(2\).

2) Montrer que la suite \((v_n)\) définie par \(v_n=u_n^2-4\) est géométrique. En déduire la limite de \((v_n)\) puis celle de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=u_{n+1}^2-4=\dfrac14(u_n^2+12)-4=\dfrac14u_n^2-1=\dfrac14(u_n^2-4)=\dfrac14v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=-4\), donc \(v_n=-4\left(\frac14\right)^n\to0\).

🔢 Étape 3 : \(u_n\geq0\) et \(u_n^2=4+v_n\to4\) ; \(u_n=\sqrt{4+v_n}\to\sqrt4=2\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac14\) ; \(\lim v_n=0\) et \(\lim u_n=2\).

Exercice 27

Soit la suite récurrente \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n+3}{u_n+3}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)). Soit \((v_n)\) définie par \(v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}\).

1) Montrer que \(0\leq u_n\leq3\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1\in[0,3]\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(0\leq u_n\leq3\) : \(u_{n+1}\geq0\) (quotient de termes positifs) et \(3-u_{n+1}=\dfrac{3u_n+9-5u_n-3}{u_n+3}=\dfrac{2(3-u_n)}{u_n+3}\geq0\).

✅ \(0\leq u_n\leq3\) pour tout \(n\).

2.a) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{5u_n+3-u_n^2-3u_n}{u_n+3}=\dfrac{-u_n^2+2u_n+3}{u_n+3}=\dfrac{(3-u_n)(u_n+1)}{u_n+3}\).

🔢 Étape 2 : Pour \(0\leq u_n\leq3\), ce quotient est \(\geq0\).

✅ \((u_n)\) est croissante.

2.b) Que peut-on déduire pour la suite \((u_n)\) ?

Correction détaillée

🔢 Elle est croissante et majorée par \(3\).

✅ \((u_n)\) est convergente.

3) Montrer que la suite \((v_n)\) définie par \(v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}\) est géométrique ; donner sa raison et son premier terme.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\dfrac{\frac{5u_n+3}{u_n+3}-3}{\frac{5u_n+3}{u_n+3}+1}=\dfrac{2u_n-6}{6u_n+6}=\dfrac13\times\dfrac{u_n-3}{u_n+1}=\dfrac13v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=\dfrac{1-3}{1+1}=-1\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac13\) et de premier terme \(v_0=-1\).

4) Déterminer \(v_n\) en fonction de \(n\) et en déduire \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=-\left(\frac13\right)^n\).

🔢 Étape 2 : De \(v_n(u_n+1)=u_n-3\) on tire \(u_n(v_n-1)=-3-v_n\), soit \(u_n=\dfrac{3+v_n}{1-v_n}\).

✅ \(v_n=-\left(\dfrac13\right)^n\) et \(u_n=\dfrac{3-\left(\frac13\right)^n}{1+\left(\frac13\right)^n}\).

5) Déterminer \(\lim v_n\) et \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac13\right)^n\to0\), donc \(v_n\to0\) et \(u_n\to\dfrac{3-0}{1+0}\).

✅ \(\lim v_n=0\) et \(\lim u_n=3\).

Exercice 28

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites telles que : \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+2u_n}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)), \(u_0=1\) et \(v_n=\dfrac{u_n+1}{u_n}\).

1) Calculer \(u_1\) et \(v_0\).

Correction détaillée

🔢 \(u_1=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac13\) ; \(v_0=\dfrac{u_0+1}{u_0}=2\).

✅ \(u_1=\dfrac13\) et \(v_0=2\).

2) Montrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique de raison \(2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n>0\) pour tout \(n\) (récurrence immédiate), et \(v_n=1+\dfrac1{u_n}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=1+\dfrac{1+2u_n}{u_n}=3+\dfrac1{u_n}=v_n+2\).

✅ \((v_n)\) est arithmétique de raison \(2\) (et \(v_0=2\)).

3) Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=v_0+nr=2+2n\).

✅ \(v_n=2n+2\).

4) En déduire l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=1+\frac1{u_n}\) donc \(u_n=\dfrac1{v_n-1}\).

✅ \(u_n=\dfrac1{2n+1}\).

5) Exprimer \(S_n=v_0+v_1+\dots+v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Somme de \(n+1\) termes d’une suite arithmétique : \(S_n=(n+1)\dfrac{v_0+v_n}2=(n+1)\dfrac{2+2n+2}2\).

✅ \(S_n=(n+1)(n+2)\).

6) En déduire la valeur de \(S=v_0+v_1+\dots+v_{99}\).

Correction détaillée

🔢 C’est \(S_{99}=100\times101\).

✅ \(S=10100\).

7) Calculer \(\lim v_n\) ; \(\lim u_n\) et \(\lim S_n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=2n+2\to+\infty\), \(u_n=\frac1{2n+1}\to0\), \(S_n=(n+1)(n+2)\to+\infty\).

✅ \(\lim v_n=+\infty\) ; \(\lim u_n=0\) ; \(\lim S_n=+\infty\).

Exercice 29

Soit \((u_n)\) une suite définie par : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=2-\dfrac1{u_n}\) avec \(n\in\mathbb N\). On pose \(v_n=3+\dfrac1{u_n-1}\).

1.a) Montrer que \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2>1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>1\), alors \(u_{n+1}-1=1-\dfrac1{u_n}=\dfrac{u_n-1}{u_n}>0\).

✅ \(u_n>1\).

1.b) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=2-\dfrac1{u_n}-u_n=-\dfrac{u_n^2-2u_n+1}{u_n}=-\dfrac{(u_n-1)^2}{u_n}\leq0\).

✅ \((u_n)\) est décroissante.

2.a) Montrer que la suite \((v_n)\), \(v_n=3+\dfrac1{u_n-1}\), est arithmétique dont on précisera son premier terme et sa raison.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-1=\dfrac{u_n-1}{u_n}\), donc \(\dfrac1{u_{n+1}-1}=\dfrac{u_n}{u_n-1}=1+\dfrac1{u_n-1}\).

🔢 Étape 2 : Ainsi \(v_{n+1}=3+1+\dfrac1{u_n-1}=v_n+1\) ; \(v_0=3+\dfrac1{2-1}=4\).

✅ \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\) et de premier terme \(v_0=4\).

2.b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=4+n\), puis \(\dfrac1{u_n-1}=v_n-3=n+1\).

✅ \(v_n=n+4\) et \(u_n=1+\dfrac1{n+1}\).

2.c) Déterminer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac1{n+1}\to0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 30

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_1=5\) et \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n-4}{1+u_n}\) ; \(\forall n\in\mathbb N^*\).

1) Démontrer par récurrence que \(u_n>2\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_1=5>2\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>2\), \(u_{n+1}-2=\dfrac{5u_n-4-2-2u_n}{1+u_n}=\dfrac{3(u_n-2)}{1+u_n}>0\).

✅ \(u_n>2\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

2.a) On pose \(v_n=\dfrac3{u_n-2}\). Montrer que \(v_{n+1}=\dfrac{1+u_n}{u_n-2}\), puis que \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après 1), \(u_{n+1}-2=\dfrac{3(u_n-2)}{1+u_n}\), donc \(v_{n+1}=\dfrac3{u_{n+1}-2}=\dfrac{1+u_n}{u_n-2}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{1+u_n-3}{u_n-2}=\dfrac{u_n-2}{u_n-2}=1\).

✅ \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\).

2.b) Écrire \(v_n\) en fonction de \(n\), puis en déduire que \(u_n=2+\dfrac3n\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_1=\dfrac3{5-2}=1\) donc \(v_n=v_1+(n-1)\times1=n\).

🔢 Étape 2 : \(u_n-2=\dfrac3{v_n}=\dfrac3n\).

✅ \(v_n=n\) et \(u_n=2+\dfrac3n\).

2.c) Déterminer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac3n\to0\).

✅ \(\lim u_n=2\).

Exercice 31

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{3+u_n}{5-u_n}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)) et \(u_0=2\).

1) Vérifier que \(u_{n+1}-3=\dfrac{4(u_n-3)}{2+(3-u_n)}\), puis montrer par récurrence que \(u_n<3\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-3=\dfrac{3+u_n-15+3u_n}{5-u_n}=\dfrac{4(u_n-3)}{5-u_n}\) et \(5-u_n=2+(3-u_n)\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(u_0=2<3\). Hérédité : si \(u_n<3\) alors \(u_n-3<0\) et \(2+(3-u_n)>0\), donc \(u_{n+1}-3<0\).

✅ \(u_n<3\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2.a) Soit \(v_n=\dfrac{u_n-1}{3-u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\). En déduire \(v_n=\left(\dfrac12\right)^n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-1=\dfrac{3+u_n-5+u_n}{5-u_n}=\dfrac{2(u_n-1)}{5-u_n}\) et \(3-u_{n+1}=\dfrac{4(3-u_n)}{5-u_n}\).

🔢 Étape 2 : Donc \(v_{n+1}=\dfrac{2(u_n-1)}{4(3-u_n)}=\dfrac12v_n\) ; \(v_0=\dfrac{2-1}{3-2}=1\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\) et \(v_n=\left(\dfrac12\right)^n\).

2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac{1+3v_n}{1+v_n}\), puis écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n(3-u_n)=u_n-1\iff3v_n+1=u_n(1+v_n)\).

🔢 Étape 2 : Avec \(v_n=\left(\frac12\right)^n\).

✅ \(u_n=\dfrac{1+3\left(\frac12\right)^n}{1+\left(\frac12\right)^n}\).

2.c) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac12\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 32

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{25}{10-u_n}\) (\(\forall n\in\mathbb N^*\)) et \(u_1=0\).

1) Vérifier que \(5-u_{n+1}=\dfrac{5(5-u_n)}{5+(5-u_n)}\) (\(\forall n\in\mathbb N^*\)) puis montrer par récurrence que \(5-u_n>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(5-u_{n+1}=5-\dfrac{25}{10-u_n}=\dfrac{25-5u_n}{10-u_n}=\dfrac{5(5-u_n)}{5+(5-u_n)}\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(5-u_1=5>0\). Hérédité : si \(5-u_n>0\), le quotient ci-dessus est positif.

✅ \(5-u_n>0\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

2.a) Soit \(v_n=\dfrac5{5-u_n}\). Montrer que \(v_{n+1}=\dfrac{10-u_n}{5-u_n}\), puis vérifier que \(v_{n+1}-v_n=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après 1), \(v_{n+1}=\dfrac5{5-u_{n+1}}=\dfrac{5(10-u_n)}{5(5-u_n)}=\dfrac{10-u_n}{5-u_n}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{10-u_n-5}{5-u_n}=1\).

✅ \(v_{n+1}-v_n=1\).

2.b) Montrer que \(v_n=n\), puis en déduire \(u_n=5-\dfrac5n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((v_n)\) arithmétique de raison \(1\) et \(v_1=\dfrac5{5-0}=1\), donc \(v_n=1+(n-1)=n\).

🔢 Étape 2 : \(5-u_n=\dfrac5{v_n}\).

✅ \(v_n=n\) et \(u_n=5-\dfrac5n\).

2.c) Calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac5n\to0\).

✅ \(\lim u_n=5\).

Exercice 33

Soit \((u_n)\) la suite définie par : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{2u_n}\) ; \(\forall n\in\mathbb N\).

1) Montrer par récurrence que \(u_n-1>0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0-1=1>0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>1\), \(u_{n+1}-1=\dfrac{3u_n-1-2u_n}{2u_n}=\dfrac{u_n-1}{2u_n}>0\).

✅ \(u_n>1\).

2.a) On pose \(v_n=\dfrac{u_n-1}{2u_n-1}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), puis déduire que \(v_n=\dfrac13\left(\dfrac12\right)^n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-1=\dfrac{u_n-1}{2u_n}\) et \(2u_{n+1}-1=\dfrac{3u_n-1}{u_n}-1=\dfrac{2u_n-1}{u_n}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac{(u_n-1)/(2u_n)}{(2u_n-1)/u_n}=\dfrac12\times\dfrac{u_n-1}{2u_n-1}=\dfrac12v_n\) ; \(v_0=\dfrac{1}{3}\).

✅ \(v_n=\dfrac13\left(\dfrac12\right)^n\).

2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac{v_n-1}{2v_n-1}\) puis en déduire \(\lim u_n=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n(2u_n-1)=u_n-1\iff u_n(2v_n-1)=v_n-1\).

🔢 Étape 2 : \(v_n\to0\) donc \(u_n\to\dfrac{-1}{-1}\).

✅ \(u_n=\dfrac{v_n-1}{2v_n-1}\) et \(\lim u_n=1\).

3) Calculer \(\lim w_n\), où \(w_n=\ln(u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n\to1\) et \(\ln\) est continue en \(1\).

✅ \(\lim w_n=\ln1=0\).

Exercice 34

Soit \((u_n)\) la suite définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+21}\) ; \(\forall n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \(u_n>0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1>0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>0\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+21}>0\).

✅ \(u_n>0\).

2) Montrer que \(u_{n+1}<\dfrac17u_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}=u_n\times\dfrac1{u_n+21}\) et \(u_n+21>21>7\), donc \(\dfrac1{u_n+21}<\dfrac17\).

✅ \(u_{n+1}<\dfrac17u_n\).

3) Montrer que \((u_n)\) est décroissante et convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}<\frac17u_n<u_n\) car \(u_n>0\).

🔢 Étape 2 : Décroissante et minorée par \(0\).

✅ \((u_n)\) est décroissante et convergente.

4.a) Montrer par récurrence que \(u_n<\left(\dfrac17\right)^n\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_1=\frac1{22}<\frac17\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}<\frac17u_n<\frac17\left(\frac17\right)^n=\left(\frac17\right)^{n+1}\).

✅ \(0<u_n<\left(\dfrac17\right)^n\).

4.b) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(0<u_n<\left(\frac17\right)^n\to0\) : théorème des gendarmes.

✅ \(\lim u_n=0\).

Exercice 35

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{8u_n+5}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Montrer par récurrence que \(u_n>0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1>0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>0\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{8u_n+5}>0\).

✅ \(u_n>0\).

2.a) On pose \(v_n=\dfrac1{u_n}+2\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(5\), puis calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\dfrac{8u_n+5}{u_n}+2=10+\dfrac5{u_n}=5\left(2+\dfrac1{u_n}\right)=5v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=1+2=3\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(5\) et \(v_n=3\times5^n\).

2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac1{3\times5^n-2}\), puis calculer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=\dfrac1{v_n-2}\).

🔢 Étape 2 : \(3\times5^n-2\to+\infty\).

✅ \(u_n=\dfrac1{3\times5^n-2}\) et \(\lim u_n=0\).

Exercice 36

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n}{2u_n+3}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Montrer que \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2>1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}-1=\dfrac{5u_n-2u_n-3}{2u_n+3}=\dfrac{3(u_n-1)}{2u_n+3}>0\).

✅ \(u_n>1\).

2.a) On pose \(v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac35\), puis calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}}=\dfrac{3(u_n-1)/(2u_n+3)}{5u_n/(2u_n+3)}=\dfrac35\times\dfrac{u_n-1}{u_n}=\dfrac35v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=\dfrac12\).

✅ \(v_n=\dfrac12\left(\dfrac35\right)^n\).

2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac2{2-\left(\frac35\right)^n}\) puis calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=1-\dfrac1{u_n}\), donc \(u_n=\dfrac1{1-v_n}=\dfrac1{1-\frac12\left(\frac35\right)^n}\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac35\right)^n\to0\).

✅ \(u_n=\dfrac2{2-\left(\frac35\right)^n}\) et \(\lim u_n=1\).

Exercice 37

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1+4u_n}{7-2u_n}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Vérifier que \(1-u_{n+1}=\dfrac{6(1-u_n)}{5+2(1-u_n)}\), puis montrer par récurrence que \(1-u_n>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(1-u_{n+1}=\dfrac{7-2u_n-1-4u_n}{7-2u_n}=\dfrac{6(1-u_n)}{7-2u_n}\) et \(7-2u_n=5+2(1-u_n)\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(1-u_0=1>0\). Hérédité : si \(1-u_n>0\) alors le quotient est positif.

✅ \(1-u_n>0\).

2.a) On pose \(v_n=\dfrac{2u_n-1}{u_n-1}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac56\), puis calculer \(v_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2u_{n+1}-1=\dfrac{2+8u_n-7+2u_n}{7-2u_n}=\dfrac{5(2u_n-1)}{7-2u_n}\) et \(u_{n+1}-1=\dfrac{6(u_n-1)}{7-2u_n}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac56v_n\) ; \(v_0=\dfrac{-1}{-1}=1\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac56\right)^n\).

2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac{\left(\frac56\right)^n-1}{\left(\frac56\right)^n-2}\), puis calculer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n(u_n-1)=2u_n-1\iff u_n(v_n-2)=v_n-1\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac56\right)^n\to0\) donc \(u_n\to\dfrac{-1}{-2}\).

✅ \(u_n=\dfrac{v_n-1}{v_n-2}\) et \(\lim u_n=\dfrac12\).

Exercice 38

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{6u_n}{15u_n+1}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)) et \(u_0=1\).

1.a) Vérifier que \(u_{n+1}-\dfrac13=\dfrac{u_n-\frac13}{15u_n+1}\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-\dfrac13=\dfrac{18u_n-15u_n-1}{3(15u_n+1)}=\dfrac{3u_n-1}{3(15u_n+1)}=\dfrac{u_n-\frac13}{15u_n+1}\).

✅ \(u_{n+1}-\dfrac13=\dfrac{u_n-\frac13}{15u_n+1}\).

1.b) Montrer par récurrence que \(u_n>\dfrac13\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1>\frac13\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>\frac13\), \(u_{n+1}-\frac13=\dfrac{u_n-\frac13}{15u_n+1}>0\).

✅ \(u_n>\dfrac13\).

2) On pose \(v_n=1-\dfrac1{3u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac16\), puis calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=1-\dfrac{15u_n+1}{18u_n}=\dfrac{3u_n-1}{18u_n}=\dfrac16\times\dfrac{3u_n-1}{3u_n}=\dfrac16v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=1-\frac13=\frac23\).

✅ \(v_n=\dfrac23\left(\dfrac16\right)^n\).

3) Montrer que \(u_n=\dfrac1{3-2\left(\frac16\right)^n}\), puis calculer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=\dfrac1{3(1-v_n)}=\dfrac1{3-2\left(\frac16\right)^n}\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac16\right)^n\to0\).

✅ \(u_n=\dfrac1{3-2\left(\frac16\right)^n}\) et \(\lim u_n=\dfrac13\).

Exercice 39

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{4u_n+3}{3u_n+4}\) et \(u_0=3\).

1) Montrer par récurrence que \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=3>1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}-1=\dfrac{4u_n+3-3u_n-4}{3u_n+4}=\dfrac{u_n-1}{3u_n+4}>0\).

✅ \(u_n>1\).

2.a) On pose \(v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+1}\). Vérifier que \(1-v_n=\dfrac2{u_n+1}\) et déduire que \(1-v_n>0\).

Correction détaillée

🔢 \(1-v_n=\dfrac{u_n+1-u_n+1}{u_n+1}=\dfrac2{u_n+1}>0\) car \(u_n>1\).

✅ \(1-v_n=\dfrac2{u_n+1}>0\).

2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n(u_n+1)=u_n-1\iff u_n(v_n-1)=-1-v_n\).

✅ \(u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}\).

2.c) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac17\) et calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-1=\dfrac{u_n-1}{3u_n+4}\) et \(u_{n+1}+1=\dfrac{7(u_n+1)}{3u_n+4}\), donc \(v_{n+1}=\dfrac17v_n\) ; \(v_0=\dfrac12\), \(v_n=\dfrac12\left(\dfrac17\right)^n\to0\).

🔢 Étape 2 : \(u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}\to1\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac17\) et \(\lim u_n=1\).

Exercice 40

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=6\) et \(u_{n+1}=\dfrac{6u_n+4}{u_n+6}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Montrer que \(u_n\geq2\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=6\geq2\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}-2=\dfrac{6u_n+4-2u_n-12}{u_n+6}=\dfrac{4(u_n-2)}{u_n+6}\geq0\).

✅ \(u_n\geq2\).

2) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante, et qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{6u_n+4-u_n^2-6u_n}{u_n+6}=\dfrac{(2-u_n)(2+u_n)}{u_n+6}\leq0\) car \(u_n\geq2\).

🔢 Étape 2 : Décroissante et minorée par \(2\).

✅ \((u_n)\) est décroissante et convergente.

3.a) On pose \(v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+2}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et déterminer sa raison.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-2=\dfrac{4(u_n-2)}{u_n+6}\) et \(u_{n+1}+2=\dfrac{8u_n+16}{u_n+6}=\dfrac{8(u_n+2)}{u_n+6}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac48\,v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\) (et \(v_0=\dfrac12\)).

3.b) Calculer \((v_n)\) puis \((u_n)\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=\left(\frac12\right)^{n+1}\).

🔢 Étape 2 : \(v_n(u_n+2)=u_n-2\iff u_n(1-v_n)=2(1+v_n)\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac12\right)^{n+1}\) et \(u_n=\dfrac{2(1+v_n)}{1-v_n}\).

4) Calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n\to0\).

✅ \(\lim u_n=2\).

Exercice 41

On considère la suite réelle \((u_n)\) définie sur \(\mathbb N\) par : \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2+u_n}\) et \(u_0=1\).

1.a) Montrer que \(u_n\geq0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Initialisation : \(u_0=1\). Hérédité : si \(u_n\geq0\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2+u_n}\geq0\).

✅ \(u_n\geq0\).

1.b) Montrer que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-u_n(1+u_n)}{2+u_n}\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-2u_n-u_n^2}{2+u_n}=\dfrac{-u_n(1+u_n)}{2+u_n}\).

✅ \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-u_n(1+u_n)}{2+u_n}\).

1.c) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Comme \(u_n\geq0\), le numérateur \(-u_n(1+u_n)\leq0\) et le dénominateur est positif.

✅ \((u_n)\) est décroissante.

2.a) Soit \(v_n=\dfrac{u_n}{1+u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\).

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=\dfrac{\frac{u_n}{2+u_n}}{1+\frac{u_n}{2+u_n}}=\dfrac{u_n}{2+2u_n}=\dfrac12\times\dfrac{u_n}{1+u_n}=\dfrac12v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), \(v_0=\dfrac12\).

2.b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=\left(\frac12\right)^{n+1}\).

🔢 Étape 2 : \(u_n=\dfrac{v_n}{1-v_n}=\dfrac{\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}\).

✅ \(u_n=\dfrac1{2^{n+1}-1}\).

2.c) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(2^{n+1}-1\to+\infty\).

✅ \(\lim u_n=0\).

Exercice 42

Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=[1;2]\) par : \(f(x)=\dfrac{5x-1}{x+3}\). Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\).

1) Étudier les variations de la fonction \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=\dfrac{5(x+3)-(5x-1)}{(x+3)^2}=\dfrac{16}{(x+3)^2}>0\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

2) Montrer que \(f(I)\subset I\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) est croissante : \(f([1,2])=[f(1),f(2)]=\left[1,\dfrac95\right]\subset[1,2]\).

✅ \(f(I)\subset I\).

3.a) Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\). Montrer que \(1\leq u_n\leq2\) pour tout \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2\in I\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n\in I\), alors \(u_{n+1}=f(u_n)\in f(I)\subset I\).

✅ \(1\leq u_n\leq2\).

3.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{5u_n-1-u_n^2-3u_n}{u_n+3}=\dfrac{-(u_n-1)^2}{u_n+3}\leq0\).

✅ \((u_n)\) est décroissante.

3.c) Montrer que \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Décroissante et minorée par \(1\) : convergente vers \(\ell\in[1,2]\).

🔢 Étape 2 : \(f\) continue : \(f(\ell)=\ell\iff\ell^2+3\ell=5\ell-1\iff(\ell-1)^2=0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 43

Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\dfrac12\sqrt{3+x^2}\).

1) Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb R^+\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=\dfrac12\times\dfrac{2x}{2\sqrt{3+x^2}}=\dfrac{x}{2\sqrt{3+x^2}}\geq0\) sur \(\mathbb R^+\).

✅ \(f\) est croissante sur \(\mathbb R^+\).

2) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation \(f(x)=x\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)\geq0\), donc il faut \(x\geq0\). Alors \(\frac12\sqrt{3+x^2}=x\iff3+x^2=4x^2\iff x^2=1\).

✅ \(S=\{1\}\).

3) Montrer que \(\forall x\in[0;1]\) : \(f(x)\geq x\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=\dfrac{\sqrt{3+x^2}-2x}2\). Pour \(x\in[0,1]\) : \(3+x^2-4x^2=3(1-x^2)\geq0\), donc \(\sqrt{3+x^2}\geq2x\).

✅ \(f(x)\geq x\) sur \([0,1]\).

4.a) Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\). Montrer que \(0\leq u_n\leq1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est croissante et \(f(0)=\frac{\sqrt3}2\), \(f(1)=1\) : \(f([0,1])\subset[0,1]\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(u_0=0\). Hérédité : \(u_n\in[0,1]\Rightarrow u_{n+1}=f(u_n)\in[0,1]\).

✅ \(0\leq u_n\leq1\).

4.b) Déterminer le sens de variations de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 D’après 3) : \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\geq0\) car \(u_n\in[0,1]\).

✅ \((u_n)\) est croissante.

4.c) Montrer que \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Croissante et majorée par \(1\) : convergente vers \(\ell\in[0,1]\), et \(f(\ell)=\ell\).

🔢 Étape 2 : D’après 2), \(\ell=1\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 44

Partie 1 On considère la fonction numérique \(f\) définie par \(f(x)=\left(\dfrac{4\sqrt x}{\sqrt x+2}\right)^2\).

1) Déterminer \(D_f\), puis calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(D_f=[0,+\infty[\) (il faut \(x\geq0\), et \(\sqrt x+2>0\)).

🔢 Étape 2 : \(f(x)=\dfrac{16x}{(\sqrt x+2)^2}=\dfrac{16x}{x+4\sqrt x+4}=\dfrac{16}{1+\frac4{\sqrt x}+\frac4x}\to16\).

✅ \(D_f=[0,+\infty[\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=16\).

2) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) à droite et interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{16}{(\sqrt x+2)^2}\to\dfrac{16}4=4\) quand \(x\to0^+\).

✅ \(f\) est dérivable à droite en \(0\) avec \(f’_d(0)=4\) : demi-tangente d’équation \(y=4x\) à l’origine.

3.a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Posons \(g(x)=\dfrac{4\sqrt x}{\sqrt x+2}\) ; alors \(f=g^2\). \(g'(x)=\dfrac{\frac4{2\sqrt x}(\sqrt x+2)-4\sqrt x\times\frac1{2\sqrt x}}{(\sqrt x+2)^2}=\dfrac{4}{\sqrt x(\sqrt x+2)^2}\).

🔢 Étape 2 : \(f’=2gg’=2\times\dfrac{4\sqrt x}{\sqrt x+2}\times\dfrac4{\sqrt x(\sqrt x+2)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{32}{(\sqrt x+2)^3}\).

3.b) Dresser le tableau de variation de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)>0\) sur \(]0,+\infty[\), \(f(0)=0\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=16\).

✅ \(f\) est strictement croissante de \(0\) vers \(16\) sur \([0,+\infty[\).

4) Étudier les positions relatives de \((\mathcal C_f)\) et de la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)-x=x\left(\dfrac{16}{(\sqrt x+2)^2}-1\right)=x\times\dfrac{(4-\sqrt x-2)(4+\sqrt x+2)}{(\sqrt x+2)^2}=\dfrac{x(2-\sqrt x)(6+\sqrt x)}{(\sqrt x+2)^2}\).

🔢 Étape 2 : Le signe est celui de \(2-\sqrt x\) (pour \(x>0\)).

✅ \((\mathcal C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]0,4[\), au-dessous sur \(]4,+\infty[\), et ils se coupent en \(O(0,0)\) et \(A(4,4)\).

5) Étudier la concavité de la courbe \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=32(\sqrt x+2)^{-3}\) donc \(f »(x)=-96(\sqrt x+2)^{-4}\times\dfrac1{2\sqrt x}=\dfrac{-48}{\sqrt x(\sqrt x+2)^4}<0\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est concave sur \(]0,+\infty[\).

6) Tracer \((\mathcal C_f)\) dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).

Partie 2 Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) ; \(\forall n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \(0\leq u_n\leq4\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est croissante avec \(f(0)=0\) et \(f(4)=\left(\dfrac{8}{4}\right)^2=4\) : \(f([0,4])=[0,4]\).

🔢 Étape 2 : \(u_0=1\in[0,4]\) ; si \(u_n\in[0,4]\), alors \(u_{n+1}\in[0,4]\).

✅ \(0\leq u_n\leq4\).

2) Déterminer le sens des variations de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 D’après la partie 1 (question 4), \(f(x)\geq x\) sur \([0,4]\) ; donc \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\geq0\).

✅ \((u_n)\) est croissante.

3) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Croissante et majorée par \(4\) : convergente vers \(\ell\in[1,4]\).

🔢 Étape 2 : \(f(\ell)=\ell\iff\ell=0\) ou \(\ell=4\) ; comme \(\ell\geq u_0=1\) :

✅ \(\lim u_n=4\).

Partie 3 Soit \((v_n)\) la suite définie par \(v_n=1-\dfrac2{\sqrt{u_n}}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique et déterminer sa raison.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n\geq1>0\). \(\sqrt{u_{n+1}}=\dfrac{4\sqrt{u_n}}{\sqrt{u_n}+2}\), donc \(\dfrac2{\sqrt{u_{n+1}}}=\dfrac{\sqrt{u_n}+2}{2\sqrt{u_n}}=\dfrac12+\dfrac1{\sqrt{u_n}}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=1-\dfrac12-\dfrac1{\sqrt{u_n}}=\dfrac12\left(1-\dfrac2{\sqrt{u_n}}\right)=\dfrac12v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), \(v_0=-1\).

2) Calculer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=-\left(\frac12\right)^n\).

🔢 Étape 2 : \(\sqrt{u_n}=\dfrac2{1-v_n}=\dfrac2{1+\left(\frac12\right)^n}\).

✅ \(u_n=\dfrac4{\left(1+\left(\frac12\right)^n\right)^2}\).

3) Calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac12\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=4\).

Exercice 45

Partie 1 On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par : \(f(x)=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-x\).

1.a) Vérifier que \(\forall x\in\mathbb R_+^*\) : \(f(x)=x\left(\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-1\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(x\times\dfrac1{\sqrt[3]x}=\sqrt[3]{x^2}\) et \(x\times\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}=\sqrt[3]x\).

✅ \(f(x)=x\left(\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-1\right)\).

1.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et étudier la branche infinie de \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-1\to-1\), donc \(f(x)\to-\infty\) et \(\dfrac{f(x)}x\to-1\).

🔢 Étape 2 : \(f(x)+x=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]x\to+\infty\).

✅ \(\lim f=-\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}x\to-1\) et \(f(x)+x\to+\infty\) : branche parabolique de direction la droite \(y=-x\).

2.a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\), puis interpréter graphiquement.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-1\to+\infty\) quand \(x\to0^+\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale (vers le haut) à l’origine.

2.b) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in]0;+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=\dfrac23x^{-1/3}+\dfrac13x^{-2/3}-1\). Avec \(t=\sqrt[3]x\) : \(f'(x)=\dfrac{2t+1-3t^2}{3t^2}=\dfrac{(1-t)(3t+1)}{3t^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{\left(1-\sqrt[3]x\right)\left(3\sqrt[3]x+1\right)}{3\sqrt[3]{x^2}}\).

2.c) Dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)>0\) si \(\sqrt[3]x<1\), c’est-à-dire \(x<1\) ; \(f'(x)<0\) si \(x>1\).

🔢 Étape 2 : \(f(0)=0\) ; \(f(1)=1+1-1=1\).

✅ \(f\) croît de \(0\) à \(1\) sur \([0,1]\), puis décroît de \(1\) à \(-\infty\) sur \([1,+\infty[\).

3.a) Montrer que \(\forall x\in]0;1[\) : \(f(x)-x=x\left(\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-2\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=x\left(\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-1\right)-x\).

✅ \(f(x)-x=x\left(\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-2\right)\).

3.b) En déduire que \(\forall x\in]0;1[\) : \(f(x)>x\).

Correction détaillée

🔢 Pour \(0<x<1\) : \(\sqrt[3]x<1\), donc \(\dfrac1{\sqrt[3]x}>1\) et \(\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}>1\) ; la parenthèse est \(>0\).

✅ \(f(x)>x\) sur \(]0,1[\).

4.a) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle \(]1;+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \([1,+\infty[\), \(f\) est continue et strictement décroissante, \(f(1)=1>0\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=-\infty<0\).

🔢 Étape 2 : Théorème des valeurs intermédiaires + stricte monotonie.

✅ Il existe un unique \(\alpha>1\) tel que \(f(\alpha)=0\).

4.b) Montrer que \(\alpha^3-4\alpha^2-\alpha=0\), puis en déduire la valeur de \(\alpha\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(\alpha)=0\iff\sqrt[3]{\alpha^2}+\sqrt[3]\alpha=\alpha\). On élève au cube : \(\alpha^2+\alpha+3\sqrt[3]{\alpha^2}\sqrt[3]\alpha\left(\sqrt[3]{\alpha^2}+\sqrt[3]\alpha\right)=\alpha^3\).

🔢 Étape 2 : \(\sqrt[3]{\alpha^2}\sqrt[3]\alpha=\alpha\) et la parenthèse vaut \(\alpha\) : \(\alpha^2+\alpha+3\alpha^2=\alpha^3\), soit \(\alpha^3-4\alpha^2-\alpha=0\).

🔢 Étape 3 : \(\alpha\neq0\) : \(\alpha^2-4\alpha-1=0\), \(\Delta=20\), \(\alpha=2\pm\sqrt5\). Comme \(\alpha>1\) : \(\alpha=2+\sqrt5\).

✅ \(\alpha=2+\sqrt5\).

Partie 2 Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=\dfrac18\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) ; \(\forall n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(\dfrac18\leq u_n<1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est croissante sur \([0,1]\) avec \(f\left(\frac18\right)=\frac14+\frac12-\frac18=\frac58\) et \(f(1)=1\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(u_0=\frac18\in\left[\frac18,1\right[\). Hérédité : si \(\frac18\leq u_n<1\), alors \(\frac58\leq f(u_n)<1\), donc \(\frac18\leq u_{n+1}<1\).

✅ \(\dfrac18\leq u_n<1\).

2) Déterminer le sens des variations de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 D’après 3.b) de la partie 1 : \(f(u_n)>u_n\) car \(u_n\in]0,1[\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

3) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Croissante et majorée par \(1\) : convergente vers \(\ell\in[\frac18,1]\).

🔢 Étape 2 : \(f(\ell)=\ell\iff\sqrt[3]{\ell^2}+\sqrt[3]\ell=2\ell\). Avec \(t=\sqrt[3]\ell>0\) : \(t^2+t=2t^3\iff2t^2-t-1=0\iff(t-1)(2t+1)=0\), donc \(t=1\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 46

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=\sqrt{\dfrac23u_n^2+2}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1.a) Montrer que \(u_n>\sqrt6\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=3>\sqrt6\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>\sqrt6\), \(u_n^2>6\), donc \(u_{n+1}^2=\frac23u_n^2+2>4+2=6\).

✅ \(u_n>\sqrt6\).

1.b) Montrer que \((u_n)\) est strictement décroissante et qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}^2-u_n^2=2-\dfrac13u_n^2=-\dfrac13(u_n^2-6)<0\), et \(u_n>0\) : \(u_{n+1}<u_n\).

🔢 Étape 2 : Décroissante et minorée par \(\sqrt6\).

✅ \((u_n)\) est strictement décroissante et convergente.

2.a) On pose \(v_n=u_n^2-6\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\frac23u_n^2+2-6=\frac23u_n^2-4=\frac23(u_n^2-6)=\frac23v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=9-6=3\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac23\) et de premier terme \(3\).

2.b) Calculer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=3\left(\frac23\right)^n\), \(u_n^2=6+v_n\) et \(u_n>0\).

✅ \(u_n=\sqrt{6+3\left(\dfrac23\right)^n}\).

2.c) Calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac23\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=\sqrt6\).

Exercice 47

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=\sqrt[3]{\dfrac27}\) et \(u_{n+1}=\sqrt[3]{\dfrac{u_n^3+1}8}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Montrer que \(u_n>\sqrt[3]{\dfrac17}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Posons \(w_n=u_n^3\). Alors \(w_{n+1}=\dfrac{w_n+1}8\), \(w_0=\dfrac27\). On veut \(w_n>\dfrac17\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(\frac27>\frac17\). Hérédité : \(w_n>\frac17\Rightarrow w_{n+1}>\dfrac{\frac17+1}8=\dfrac17\).

🔢 Étape 3 : La fonction racine cubique est strictement croissante.

✅ \(u_n>\sqrt[3]{\dfrac17}\).

2) Montrer que \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1\). Conclure.

Correction détaillée

🔢 \(u_n>0\) et \(\dfrac{u_{n+1}^3}{u_n^3}=\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=\dfrac{w_n+1}{8w_n}<1\iff w_n+1<8w_n\iff w_n>\dfrac17\) (vrai d’après 1)).

✅ \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1\) : \((u_n)\) est strictement décroissante (et minorée, donc convergente).

3.a) On pose \(v_n=\dfrac78u_n^3-\dfrac18\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique ; déterminer sa raison.

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=\dfrac78\times\dfrac{u_n^3+1}8-\dfrac18=\dfrac{7u_n^3-1}{64}=\dfrac18\left(\dfrac{7u_n^3-1}8\right)=\dfrac18v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac18\) ; \(v_0=\dfrac78\times\dfrac27-\dfrac18=\dfrac18\).

3.b) Calculer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=\left(\frac18\right)^{n+1}\).

🔢 Étape 2 : \(u_n^3=\dfrac{8v_n+1}7=\dfrac{1+8^{-n}}7\).

✅ \(u_n=\sqrt[3]{\dfrac{1+8^{-n}}7}\).

4) Calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(8^{-n}\to0\) et \(x\mapsto\sqrt[3]x\) est continue en \(\frac17\).

✅ \(\lim u_n=\sqrt[3]{\dfrac17}\).

5) Calculer la somme \(S_n=u_0^3+u_1^3+\dots+u_n^3\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

⚠️ La somme de l’énoncé est écrite de façon peu lisible (« \(u_0^3+u_1^3+\dots+u_n^5\) ») : on l’interprète comme la somme des cubes \(u_k^3\), seule version cohérente avec la suite \((v_n)\).

🔢 Étape 1 : \(u_k^3=\dfrac17+\dfrac17\left(\dfrac18\right)^k\).

🔢 Étape 2 : \(S_n=\dfrac{n+1}7+\dfrac17\times\dfrac{1-\left(\frac18\right)^{n+1}}{\frac78}\).

✅ \(S_n=\dfrac{n+1}7+\dfrac8{49}\left(1-\left(\dfrac18\right)^{n+1}\right)\).

Exercice 48

Soit \((u_n)\) la suite numérique définie sur \(\mathbb N\) par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}\).

1.a) Montrer que \((u_n)\) est majorée par \(4\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=0\leq4\). Si \(u_n\leq4\), alors \(3u_n+4\leq16\) et \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}\leq4\).

✅ \(u_n\leq4\).

1.b) Montrer que \((u_n)\) est strictement croissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}^2-u_n^2=3u_n+4-u_n^2=-(u_n+1)(u_n-4)\).

🔢 Étape 2 : Comme \(u_n\geq0\) et \(u_n<4\) (car \(4-u_{n+1}=\frac{3(4-u_n)}{4+u_{n+1}}>0\) par récurrence), cette quantité est \(>0\), et \(u_n,u_{n+1}\geq0\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

1.c) En déduire que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Croissante et majorée : convergente vers \(\ell\).

🔢 Étape 2 : \(\ell=\sqrt{3\ell+4}\iff\ell^2-3\ell-4=0\iff\ell=4\) ou \(\ell=-1\) (rejeté car \(\ell\geq0\)).

✅ \(\lim u_n=4\).

2.a) Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(4-u_{n+1}\leq\dfrac12(4-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(4-u_{n+1}=\dfrac{16-(3u_n+4)}{4+u_{n+1}}=\dfrac{3(4-u_n)}{4+u_{n+1}}\).

🔢 Étape 2 : \((u_n)\) croissante : \(u_{n+1}\geq u_1=2\), donc \(4+u_{n+1}\geq6\) et \(\dfrac3{4+u_{n+1}}\leq\dfrac12\).

✅ \(4-u_{n+1}\leq\dfrac12(4-u_n)\).

2.b) Retrouver le résultat du 1.c).

Correction détaillée

🔢 Par récurrence : \(0<4-u_n\leq\left(\frac12\right)^n(4-u_0)=\dfrac4{2^n}\to0\).

✅ \(\lim u_n=4\).

2.c) Étudier la convergence de la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb N\) par \(v_n=n^2(4-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(0\leq v_n\leq\dfrac{4n^2}{2^n}\).

🔢 Étape 2 : Pour \(n\geq10\), \(2^n\geq n^3\) (récurrence), donc \(\dfrac{4n^2}{2^n}\leq\dfrac4n\to0\). Gendarmes.

✅ \((v_n)\) converge vers \(0\).

Exercice 49

On considère la suite \(u\) définie pour tout \(n\in\mathbb N\) par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}\).

1) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(0\leq u_n\leq3\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=0\). Si \(0\leq u_n\leq3\), alors \(3\leq2u_n+3\leq9\), donc \(\sqrt3\leq u_{n+1}\leq3\).

✅ \(0\leq u_n\leq3\).

2) Montrer que la suite \(u\) est strictement croissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}^2-u_n^2=2u_n+3-u_n^2=-(u_n-3)(u_n+1)\), \(>0\) tant que \(u_n<3\) (récurrence : \(3-u_{n+1}=\frac{2(3-u_n)}{3+u_{n+1}}>0\)).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

3) Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Croissante et majorée par \(3\) : convergente vers \(\ell\).

🔢 Étape 2 : \(\ell^2=2\ell+3\iff\ell=3\) ou \(\ell=-1\) (rejeté).

✅ \(\lim u_n=3\).

Exercice 50

Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+2}\).

1) Donner une valeur approchée à \(10^{-3}\) près des quatre premiers termes de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=1\) ; \(u_1=\frac53\approx1{,}667\) ; \(u_2=\frac{21}{11}\approx1{,}909\) ; \(u_3=\frac{85}{43}\approx1{,}977\).

✅ \(1\) ; \(1{,}667\) ; \(1{,}909\) ; \(1{,}977\).

2) Montrer par récurrence que pour tout entier \(n\), si \(0<u_n<2\) alors \(0<u_{n+1}<2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+2}>0\) et \(2-u_{n+1}=\dfrac{2u_n+4-3u_n-2}{u_n+2}=\dfrac{2-u_n}{u_n+2}>0\).

✅ \(0<u_n<2\) pour tout \(n\) (car \(u_0=1\)).

3) Résoudre l’inéquation \(-x^2+x+2\geq0\).

Correction détaillée

🔢 \(-x^2+x+2=-(x-2)(x+1)\).

✅ \(S=[-1,2]\).

4) Exprimer \(u_{n+1}-u_n\) en fonction de \(u_n\). En déduire que \(u_{n+1}-u_n\geq0\). Quel est le sens de variation de \((u_n)\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n+2-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\dfrac{-u_n^2+u_n+2}{u_n+2}\).

🔢 Étape 2 : Comme \(u_n\in]0,2[\subset[-1,2]\), le numérateur est \(\geq0\) (question 3).

✅ \(u_{n+1}-u_n\geq0\) : \((u_n)\) est croissante.

5) Montrer que pour tout \(n\), \(|u_{n+1}-2|<\dfrac12|u_n-2|\).

Correction détaillée

🔢 \(|u_{n+1}-2|=\dfrac{|u_n-2|}{u_n+2}\) et \(u_n+2>2\).

✅ \(|u_{n+1}-2|<\dfrac12|u_n-2|\).

6) En déduire que pour tout \(n\), \(|u_n-2|<\left(\dfrac12\right)^n|u_0-2|\).

Correction détaillée

🔢 Par récurrence (ou en itérant l’inégalité du 5)).

✅ \(|u_n-2|<\left(\dfrac12\right)^n|u_0-2|\) pour \(n\geq1\).

7) Que peut-on en conclure sur la convergence de \((u_n)\) ?

Correction détaillée

🔢 \(0\leq|u_n-2|<\left(\frac12\right)^n\to0\) : théorème des gendarmes.

✅ \((u_n)\) converge vers \(2\).

Exercice 51

Soit \(\theta\) un réel tel que \(0\leq\theta\leq\dfrac\pi2\). La suite \((u_n)\) est définie par : \(u_0=2\cos\theta\) et \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\) pour tout entier naturel \(n\).

1) Calculer les trois premiers termes de la suite en fonction de \(\theta\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_0=2\cos\theta\) ; \(u_1=\sqrt{2+2\cos\theta}\). Avec \(\cos2x=2\cos^2x-1\) : \(2+2\cos\theta=4\cos^2\frac\theta2\).

🔢 Étape 2 : Comme \(\frac\theta2\in\left[0,\frac\pi4\right]\), \(\cos\frac\theta2\geq0\) et \(u_1=2\cos\frac\theta2\) ; de même \(u_2=\sqrt{2+2\cos\frac\theta2}=2\cos\frac\theta4\).

✅ \(u_0=2\cos\theta\), \(u_1=2\cos\dfrac\theta2\), \(u_2=2\cos\dfrac\theta4\).

2) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n=2\cos\left(\dfrac\theta{2^n}\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2\cos\theta\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n=2\cos\frac\theta{2^n}\), alors \(u_{n+1}=\sqrt{2+2\cos\frac\theta{2^n}}=\sqrt{4\cos^2\frac\theta{2^{n+1}}}=2\cos\frac\theta{2^{n+1}}\) (cosinus positif).

✅ \(u_n=2\cos\left(\dfrac\theta{2^n}\right)\).

3) Soit \(v_n=\dfrac\theta{2^n}\). Déterminer la limite de \((v_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(0\leq v_n\leq\theta\left(\frac12\right)^n\to0\).

✅ \(\lim v_n=0\).

4) En déduire que \((u_n)\) est convergente ; quelle est sa limite ?

Correction détaillée

🔢 \(u_n=2\cos(v_n)\) et \(\cos\) est continue en \(0\).

✅ \(\lim u_n=2\cos0=2\).

Exercice 52

Soit la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\).

1) Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que, pour tout \(n\), \(0\leq u_n<2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=0\). Si \(0\leq u_n<2\), alors \(2\leq2+u_n<4\) et \(\sqrt2\leq u_{n+1}<2\).

✅ \(0\leq u_n<2\).

2.a) On considère la suite \((v_n)\) définie par \(v_n=2-u_n\). Quel est le signe de \(v_n\) ?

Correction détaillée

🔢 \(u_n<2\).

✅ \(v_n>0\) pour tout \(n\).

2.b) Montrer que, pour tout entier \(n\), \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\leq\dfrac12\), puis par récurrence que \(v_n\leq\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=2-\sqrt{2+u_n}=\dfrac{4-(2+u_n)}{2+\sqrt{2+u_n}}=\dfrac{v_n}{2+u_{n+1}}\), et \(2+u_{n+1}\geq2\).

🔢 Étape 2 : Donc \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\leq\dfrac12\). Initialisation : \(v_0=2\leq\left(\frac12\right)^{-1}=2\). Hérédité : \(v_{n+1}\leq\frac12v_n\leq\left(\frac12\right)^n\).

✅ \(v_n\leq\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).

2.c) En déduire la limite de la suite \((v_n)\) puis celle de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(0<v_n\leq\left(\frac12\right)^{n-1}\to0\).

🔢 Étape 2 : \(u_n=2-v_n\).

✅ \(\lim v_n=0\) et \(\lim u_n=2\).

Exercice 53

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite récurrente définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

Montrer par récurrence que \(u_n\leq u_{n+1}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1\leq u_1=\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n\leq u_{n+1}\), alors \(u_n+2\leq u_{n+1}+2\) et, la racine carrée étant croissante, \(u_{n+1}\leq u_{n+2}\).

✅ \(u_n\leq u_{n+1}\) : la suite est croissante.

Exercice 54

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par son premier terme \(u_0>0\) et la relation : \(\forall n\in\mathbb N,\ u_{n+1}=\dfrac12\left(u_n+\dfrac3{u_n}\right)\).

1) Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \(u_n>0\). Pour quelle valeur de \(u_0\) la suite est-elle stationnaire ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_0>0\) ; si \(u_n>0\), \(u_{n+1}=\frac12\left(u_n+\frac3{u_n}\right)>0\).

🔢 Étape 2 : Stationnaire : \(u_1=u_0\iff\frac12\left(u_0+\frac3{u_0}\right)=u_0\iff u_0^2=3\).

✅ \(u_n>0\) ; la suite est stationnaire pour \(u_0=\sqrt3\).

2.a) Démontrer que \(u_{n+1}-\sqrt3=\dfrac1{2u_n}\left(u_n-\sqrt3\right)^2\) et \(u_{n+1}+\sqrt3=\dfrac1{2u_n}\left(u_n+\sqrt3\right)^2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}\mp\sqrt3=\dfrac{u_n^2+3\mp2\sqrt3u_n}{2u_n}=\dfrac{\left(u_n\mp\sqrt3\right)^2}{2u_n}\).

✅ Les deux égalités sont vérifiées.

2.b) Démontrer que \((u_n)_{n\geq1}\) est strictement décroissante pour \(n\geq1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après a), \(u_{n+1}\geq\sqrt3\) donc \(u_n\geq\sqrt3\) pour \(n\geq1\).

🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3-u_n^2}{2u_n}<0\) si \(u_n>\sqrt3\).

✅ \((u_n)_{n\geq1}\) est décroissante (strictement si \(u_0\neq\sqrt3\)).

2.c) En déduire que \((u_n)\) est convergente et calculer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Décroissante et minorée par \(\sqrt3\) à partir de \(n=1\) : \(\ell\geq\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : \(\ell=\frac12\left(\ell+\frac3\ell\right)\iff\ell^2=3\).

✅ \(\lim u_n=\sqrt3\).

3.a) On définit \((v_n)\) par \(v_{n+1}=\dfrac{u_n-\sqrt3}{u_n+\sqrt3}\). Calculer \(v_{n+2}\) en fonction de \(v_{n+1}\). En déduire \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_1\) et \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après 2.a) : \(v_{n+2}=\dfrac{u_{n+1}-\sqrt3}{u_{n+1}+\sqrt3}=\dfrac{(u_n-\sqrt3)^2}{(u_n+\sqrt3)^2}=v_{n+1}^2\).

🔢 Étape 2 : Par récurrence : \(v_{n+1}=v_1^{\,2^n}\).

✅ \(v_{n+2}=v_{n+1}^2\) et \(v_{n+1}=\left(v_1\right)^{2^n}\).

3.b) Calculer la limite de \((v_n)\) et retrouver la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_1=\dfrac{u_0-\sqrt3}{u_0+\sqrt3}\) et \(|v_1|<1\) (car \(u_0>0\)). Donc \(v_{n+1}=v_1^{2^n}\to0\).

🔢 Étape 2 : De \(v_{n+1}(u_n+\sqrt3)=u_n-\sqrt3\) : \(u_n=\sqrt3\dfrac{1+v_{n+1}}{1-v_{n+1}}\to\sqrt3\).

✅ \(\lim v_n=0\) et \(\lim u_n=\sqrt3\).

Exercice 55

Soit la suite réelle définie sur \(\mathbb N\) par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1+u_n}{\sqrt{3+u_n^2}}\).

1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(0\leq u_n\leq1\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=0\). Si \(0\leq u_n\leq1\) : \(u_{n+1}\geq0\) et \(1+u_n\leq\sqrt{3+u_n^2}\) car \((1+u_n)^2=1+2u_n+u_n^2\leq3+u_n^2\iff u_n\leq1\).

✅ \(0\leq u_n\leq1\).

2.a) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(u_{n+1}\geq\dfrac{1+u_n}2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n^2\leq1\Rightarrow\sqrt{3+u_n^2}\leq2\) donc \(\dfrac{1+u_n}{\sqrt{3+u_n^2}}\geq\dfrac{1+u_n}2\).

✅ \(u_{n+1}\geq\dfrac{1+u_n}2\).

2.b) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n\geq\dfrac{1+u_n}2-u_n=\dfrac{1-u_n}2\geq0\).

✅ \((u_n)\) est croissante.

3.a) Vérifier que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(1-u_{n+1}\leq\dfrac12(1-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 D’après 2.a) : \(1-u_{n+1}\leq1-\dfrac{1+u_n}2=\dfrac{1-u_n}2\).

✅ \(1-u_{n+1}\leq\dfrac12(1-u_n)\).

3.b) En déduire que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(1-u_n\leq\left(\dfrac12\right)^n\).

Correction détaillée

⚠️ Dans l’énoncé source on lit « \(u_n\leq\left(\frac12\right)^n\) » : c’est une coquille (impossible car \(u_n\to1\)). La bonne inégalité est \(1-u_n\leq\left(\frac12\right)^n\).

🔢 Par récurrence : \(1-u_0=1\), puis \(1-u_{n+1}\leq\frac12\left(\frac12\right)^n\).

✅ \(1-u_n\leq\left(\dfrac12\right)^n\).

3.c) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(0\leq1-u_n\leq\left(\frac12\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 56

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite récurrente définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{8(u_n-1)}{u_n+2}\) \(\forall n\in\mathbb N\) et \(u_0=3\).

1) Montrer que \((u_n)\) est minorée par \(2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=3\geq2\). Si \(u_n\geq2\), \(u_{n+1}-2=\dfrac{8u_n-8-2u_n-4}{u_n+2}=\dfrac{6(u_n-2)}{u_n+2}\geq0\).

✅ \(u_n\geq2\).

2) Montrer que \((u_n)\) est majorée par \(4\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=3\leq4\). Si \(u_n\leq4\), \(4-u_{n+1}=\dfrac{4u_n+8-8u_n+8}{u_n+2}=\dfrac{4(4-u_n)}{u_n+2}\geq0\).

✅ \(u_n\leq4\).

3) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{8u_n-8-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\dfrac{-(u_n-2)(u_n-4)}{u_n+2}\geq0\) car \(2\leq u_n\leq4\).

✅ \((u_n)\) est croissante (donc convergente, de limite \(4\)).

Exercice 57

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n+2}}\) \(\forall n\in\mathbb N\), \(u_0\in]-1;0[\).

1) Montrer que \(-1<u_n<0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0\in]-1,0[\). Si \(-1<u_n<0\) : \(1<u_n+2<2\), donc \(\sqrt{u_n+2}>1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n+2}}<0\) ; de plus \(|u_{n+1}|<|u_n|<1\).

✅ \(-1<u_n<0\).

2) Montrer que \((u_n)\) est strictement croissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=u_n\left(\dfrac1{\sqrt{u_n+2}}-1\right)\). Or \(\sqrt{u_n+2}>1\) donc \(\frac1{\sqrt{u_n+2}}-1<0\), et \(u_n<0\).

✅ \(u_{n+1}-u_n>0\) : \((u_n)\) est strictement croissante.

3) Montrer que \(u_{n+1}\geq\dfrac{u_n}{\sqrt{u_0+2}}\) et en déduire que \(u_n\geq\dfrac{u_0}{\left(\sqrt{u_0+2}\right)^n}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((u_n)\) croissante : \(u_n\geq u_0\), donc \(\sqrt{u_n+2}\geq\sqrt{u_0+2}\) et \(\dfrac1{\sqrt{u_n+2}}\leq\dfrac1{\sqrt{u_0+2}}\). Comme \(u_n<0\) : \(\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n+2}}\geq\dfrac{u_n}{\sqrt{u_0+2}}\).

🔢 Étape 2 : Par récurrence : \(u_n\geq u_0\left(\dfrac1{\sqrt{u_0+2}}\right)^n\).

✅ \(u_n\geq\dfrac{u_0}{\left(\sqrt{u_0+2}\right)^n}\).

Exercice 58

Soit la fonction \(f(x)=\dfrac12x+1\).

1) Déterminer le point d’intersection de \(C_f\) avec la droite \((\Delta)\) : \(y=x\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac12x+1=x\iff x=2\).

✅ Le point d’intersection est \(A(2,2)\).

2.a) Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\). Calculer les premiers termes (pour les placer sur l’axe des abscisses).

Correction détaillée

🔢 \(u_1=1\) ; \(u_2=\dfrac32\) ; \(u_3=\dfrac74\).

✅ \(u_0=0\), \(u_1=1\), \(u_2=\dfrac32\), \(u_3=\dfrac74\).

2.b) Conjecturer la monotonie de \((u_n)\) et sa limite potentielle.

Correction détaillée

🔢 Les termes croissent et se rapprochent de l’abscisse du point d’intersection avec \(\Delta\).

✅ \((u_n)\) semble croissante de limite \(2\).

3) Montrer que \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_0=0\leq2\) ; si \(u_n\leq2\) alors \(u_{n+1}=\frac12u_n+1\leq2\).

🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=1-\dfrac12u_n=\dfrac{2-u_n}2\geq0\).

✅ \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\).

4.a) Soit \(v_n=u_n+\alpha\). Déterminer \(\alpha\) pour que \((v_n)\) soit géométrique.

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=\frac12u_n+1+\alpha=\frac12\left(u_n+2+2\alpha\right)\). Pour que ce soit \(\frac12(u_n+\alpha)\) il faut \(2+2\alpha=\alpha\).

✅ \(\alpha=-2\) : \(v_n=u_n-2\) est géométrique de raison \(\dfrac12\).

4.b) Déterminer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_0=-2\), \(v_n=-2\left(\frac12\right)^n\).

✅ \(u_n=2-2\left(\dfrac12\right)^n\).

4.c) Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac12\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=2\).

Exercice 59

Soit la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) où \(f(x)=\dfrac{3x+2}{x+2}\).

1) Étudier les variations de \(f\) et déterminer \(f([0,2])\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=\dfrac{3(x+2)-(3x+2)}{(x+2)^2}=\dfrac4{(x+2)^2}>0\). \(f(0)=1\) et \(f(2)=2\).

✅ \(f\) est croissante et \(f([0,2])=[1,2]\).

2.a) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(u_n\in I=[0,2]\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=0\in I\) ; si \(u_n\in I\), \(u_{n+1}\in f(I)=[1,2]\subset I\).

✅ \(u_n\in[0,2]\).

2.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante, puis en déduire qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n+2-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+2}\geq0\).

🔢 Étape 2 : Croissante et majorée par \(2\).

✅ \((u_n)\) est croissante et convergente.

2.c) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(\ell=\dfrac{3\ell+2}{\ell+2}\iff\ell^2-\ell-2=0\iff\ell=2\) ou \(\ell=-1\) ; comme \(\ell\in[0,2]\) :

✅ \(\lim u_n=2\).

Exercice 60

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\) la suite définie par : \(u_1=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{12u_n}{9+u_n^2}\) \(\forall n\in\mathbb N^*\).

1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\) : \(1\leq u_n\leq\sqrt3\).

Correction détaillée

⚠️ Le dénominateur de l’énoncé est lu comme \(9+u_n^2\) (valeur cohérente avec la borne \(\sqrt3\), car \(\ell=\frac{12\ell}{9+\ell^2}\iff\ell^2=3\)).

🔢 Étape 1 : \(g(x)=\dfrac{12x}{9+x^2}\) vérifie \(g'(x)=\dfrac{12(9-x^2)}{(9+x^2)^2}>0\) sur \([1,\sqrt3]\), avec \(g(1)=\frac65\) et \(g(\sqrt3)=\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(u_1=1\). Hérédité : \(1\leq u_n\leq\sqrt3\Rightarrow g(1)\leq u_{n+1}\leq g(\sqrt3)\), soit \(\frac65\leq u_{n+1}\leq\sqrt3\).

✅ \(1\leq u_n\leq\sqrt3\).

2) Étudier la monotonie de \((u_n)\) et en déduire sa convergence et sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{12u_n-9u_n-u_n^3}{9+u_n^2}=\dfrac{u_n(3-u_n^2)}{9+u_n^2}\geq0\).

🔢 Étape 2 : Croissante et majorée par \(\sqrt3\) : convergente vers \(\ell>0\), avec \(\ell^2=3\).

✅ \((u_n)\) est croissante, convergente, et \(\lim u_n=\sqrt3\).

Exercice 61

On définit deux suites \(u\) et \(v\) par \(u_0=1\), \(v_0=12\) et pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}=\dfrac13(u_n+2v_n)\) et \(v_{n+1}=\dfrac14(u_n+3v_n)\).

1) On appelle \(w\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(w_n=v_n-u_n\).

1.a) Montrer que \(w\) est une suite géométrique à termes positifs, dont on précisera la raison.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(w_{n+1}=\dfrac14(u_n+3v_n)-\dfrac13(u_n+2v_n)=\dfrac{3u_n+9v_n-4u_n-8v_n}{12}=\dfrac{v_n-u_n}{12}=\dfrac1{12}w_n\).

🔢 Étape 2 : \(w_0=12-1=11>0\), donc tous les termes sont positifs.

✅ \((w_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac1{12}\) ; \(w_n=11\left(\dfrac1{12}\right)^n>0\).

1.b) Déterminer la limite de la suite \(w\).

Correction détaillée

🔢 \(0<\frac1{12}<1\).

✅ \(\lim w_n=0\).

2.a) Montrer que la suite \(u\) est croissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+2v_n}3-u_n=\dfrac23(v_n-u_n)=\dfrac23w_n>0\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

2.b) Montrer que la suite \(v\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n+3v_n}4-v_n=\dfrac14(u_n-v_n)=-\dfrac14w_n<0\).

✅ \((v_n)\) est strictement décroissante.

2.c) En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u\) croissante : \(u_n\geq u_0\). \(v\) décroissante : \(v_n\leq v_0\).

🔢 Étape 2 : \(w_n>0\) donne \(u_n<v_n\).

✅ \(u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0\).

3) Montrer que les deux suites \(u\) et \(v\) convergent et ont la même limite que l’on appellera \(l\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u\) est croissante et majorée par \(v_0\) ; \(v\) est décroissante et minorée par \(u_0\) : elles convergent.

🔢 Étape 2 : De plus \(v_n-u_n=w_n\to0\) : leurs limites sont égales.

✅ \(u\) et \(v\) sont adjacentes : elles convergent vers la même limite \(l\).

4.a) On appelle \(t\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(t_n=3u_n+8v_n\). Montrer que \(t\) est une suite constante. Déterminer cette constante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(t_{n+1}=3\times\dfrac{u_n+2v_n}3+8\times\dfrac{u_n+3v_n}4=u_n+2v_n+2u_n+6v_n=3u_n+8v_n=t_n\).

🔢 Étape 2 : \(t_0=3\times1+8\times12=99\).

✅ \(t\) est constante égale à \(99\).

4.b) Déterminer alors la valeur de \(l\).

Correction détaillée

🔢 En passant à la limite : \(3l+8l=99\).

✅ \(l=9\).

Exercice 62

On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_0=2\), \(v_0=10\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n+v_n}3\) et \(v_{n+1}=\dfrac{u_n+3v_n}4\).

1.a) Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac5{12}(v_n-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{u_n+3v_n}4-\dfrac{2u_n+v_n}3=\dfrac{3u_n+9v_n-8u_n-4v_n}{12}=\dfrac{5(v_n-u_n)}{12}\).

✅ \(v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac5{12}(v_n-u_n)\).

1.b) On pose \(w_n=v_n-u_n\). Montrer que \(w_n=8\left(\dfrac5{12}\right)^n\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

Correction détaillée

🔢 \((w_n)\) est géométrique de raison \(\frac5{12}\) et \(w_0=10-2=8\).

✅ \(w_n=8\left(\dfrac5{12}\right)^n\).

2.a) Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante et que la suite \((v_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(w_n>0\).

🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n+v_n}3-u_n=\dfrac{v_n-u_n}3>0\) et \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n+3v_n}4-v_n=\dfrac{u_n-v_n}4<0\).

✅ \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante.

2.b) Déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leq10\) et \(v_n\geq2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n\leq v_n\leq v_0=10\) et \(v_n\geq u_n\geq u_0=2\).

✅ \(u_n\leq10\) et \(v_n\geq2\).

2.c) En déduire que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) croissante majorée, \((v_n)\) décroissante minorée.

✅ Les deux suites sont convergentes.

3) Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) ont la même limite.

Correction détaillée

🔢 \(v_n-u_n=w_n\to0\).

✅ \(\lim u_n=\lim v_n\).

4) Montrer que la suite \((t_n)\) définie par \(t_n=3u_n+4v_n\) est constante.

Correction détaillée

🔢 \(t_{n+1}=(2u_n+v_n)+(u_n+3v_n)=3u_n+4v_n=t_n\).

✅ \(t_n=t_0=6+40=46\).

5) En déduire que la limite commune des suites \((u_n)\) et \((v_n)\) est \(\dfrac{46}7\).

Correction détaillée

🔢 Soit \(l\) la limite commune : \(3l+4l=46\).

✅ \(l=\dfrac{46}7\).

Exercice 63

\(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \(0<a<b\). On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_0=a\), \(v_0=b\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2\) et \(v_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}2}\).

1) Montrer par récurrence que \(u_n>0\) et \(v_n>0\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=a>0\), \(v_0=b>0\). Si \(u_n,v_n>0\), alors \(u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}2>0\) et \(v_{n+1}=\sqrt{\frac{u_n^2+v_n^2}2}>0\).

✅ \(u_n>0\) et \(v_n>0\).

2) Démontrer que \(v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\left(\dfrac{u_n-v_n}2\right)^2\). En déduire que \(u_n\leq v_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\dfrac{u_n^2+v_n^2}2-\dfrac{(u_n+v_n)^2}4=\dfrac{2u_n^2+2v_n^2-u_n^2-2u_nv_n-v_n^2}4=\dfrac{(u_n-v_n)^2}4\).

🔢 Étape 2 : Donc \(v_{n+1}^2\geq u_{n+1}^2\), et comme tout est positif, \(u_{n+1}\leq v_{n+1}\) pour tout \(n\) ; de plus \(u_0=a<b=v_0\).

✅ \(u_n\leq v_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

3) Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+v_n}2-u_n=\dfrac{v_n-u_n}2\geq0\).

✅ \((u_n)\) est croissante.

4) Comparer \(v_{n+1}^2\) et \(v_n^2\). En déduire le sens de variation de la suite \((v_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}^2-v_n^2=\dfrac{u_n^2+v_n^2}2-v_n^2=\dfrac{u_n^2-v_n^2}2\leq0\) car \(0<u_n\leq v_n\).

✅ \(v_{n+1}^2\leq v_n^2\) donc \(v_{n+1}\leq v_n\) (termes positifs) : \((v_n)\) est décroissante.

5) Démontrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) est croissante et majorée par \(v_0=b\) ; \((v_n)\) est décroissante et minorée par \(u_0=a\).

✅ Les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes.

Exercice 64

Soient les suites numériques \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_n=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac1{k!}\) et \(v_n=u_n+\dfrac1{n\times n!}\) (\(\forall n\in\mathbb N^*\)).

1) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante et que la suite \((v_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé écrit « \(\forall n\in\mathbb N\) », mais \(v_n=u_n+\frac1{n\times n!}\) n’est pas défini pour \(n=0\) : on travaille avec \(n\in\mathbb N^*\).

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)!}>0\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac1{(n+1)!}+\dfrac1{(n+1)(n+1)!}-\dfrac1{n\times n!}=\dfrac1{n!}\left(\dfrac{n+2}{(n+1)^2}-\dfrac1n\right)=\dfrac1{n!}\times\dfrac{n(n+2)-(n+1)^2}{n(n+1)^2}=\dfrac{-1}{n!\,n(n+1)^2}<0\).

✅ \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante (pour \(n\geq1\)).

2) Montrer que \(v_n>u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n-u_n=\dfrac1{n\times n!}>0\).

✅ \(v_n>u_n\).

3) Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes et ont la même limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n-u_n=\dfrac1{n\times n!}\leq\dfrac1n\to0\).

🔢 Étape 2 : Suites croissante / décroissante de différence tendant vers \(0\) : adjacentes.

✅ \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes : elles convergent vers la même limite.

Exercice 65

Considérons les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_0=a\) et \(v_0=b\) avec \(0<a<b<2a\), \(u_nv_n=ab\) et \(v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2\).

1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(0<u_n<v_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On a \(u_nv_n=ab\) pour tout \(n\), \(0<a<b\). Initialisation : \(0<u_0<v_0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(v_{n+1}^2=\dfrac{(u_n+v_n)^2}4>u_nv_n=ab=u_{n+1}v_{n+1}\) (car \(u_n\neq v_n\)), donc \(v_{n+1}>u_{n+1}\) ; de plus \(u_{n+1}=\dfrac{ab}{v_{n+1}}>0\).

✅ \(0<u_n<v_n\).

2) En déduire que la suite \((u_n)\) est croissante et que la suite \((v_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n-v_n}2<0\).

🔢 Étape 2 : \(u_n=\dfrac{ab}{v_n}\) et \((v_n)\) décroissante positive : \(u_{n+1}=\dfrac{ab}{v_{n+1}}>\dfrac{ab}{v_n}=u_n\).

✅ \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante.

3.a) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(v_{n+1}-u_{n+1}<\dfrac12(v_n-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{v_{n+1}^2-u_{n+1}v_{n+1}}{v_{n+1}}=\dfrac{\frac{(u_n+v_n)^2}4-u_nv_n}{v_{n+1}}=\dfrac{(v_n-u_n)^2}{4v_{n+1}}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{v_n-u_n}{4v_{n+1}}<\dfrac12\iff v_n-u_n<2v_{n+1}=u_n+v_n\), vrai car \(u_n>0\).

✅ \(v_{n+1}-u_{n+1}<\dfrac12(v_n-u_n)\).

3.b) En déduire \(\lim(v_n-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Par récurrence : \(0<v_n-u_n<\left(\frac12\right)^n(b-a)\to0\).

✅ \(\lim(v_n-u_n)=0\) : les suites sont adjacentes.

Exercice 66

Soient les suites numériques \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1{k^3}\) et \(v_n=u_n+\dfrac1n\) \(\forall n\in\mathbb N^*\).

1) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante et que la suite \((v_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)^3}>0\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac1{(n+1)^3}+\dfrac1{n+1}-\dfrac1n=\dfrac1{(n+1)^3}-\dfrac1{n(n+1)}=\dfrac{n-(n+1)^2}{n(n+1)^3}=-\dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)^3}<0\).

✅ \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante.

2) Calculer \(\lim(v_n-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n-u_n=\dfrac1n\to0\).

✅ \(\lim(v_n-u_n)=0\) : suites adjacentes, donc convergentes vers la même limite.

Exercice 67

Soient les suites numériques \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1{\sqrt k}-2\sqrt{n+1}\) et \(v_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1{\sqrt k}-2\sqrt n\) \(\forall n\in\mathbb N^*\).

1) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante et que la suite \((v_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac1{\sqrt{n+1}}-2\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)=\dfrac1{\sqrt{n+1}}-\dfrac2{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}\). Comme \(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}>2\sqrt{n+1}\), on a \(\dfrac2{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}<\dfrac1{\sqrt{n+1}}\) : \(u_{n+1}-u_n>0\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac1{\sqrt{n+1}}-\dfrac2{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\). Comme \(\sqrt{n+1}+\sqrt n<2\sqrt{n+1}\), on a \(\dfrac2{\sqrt{n+1}+\sqrt n}>\dfrac1{\sqrt{n+1}}\) : \(v_{n+1}-v_n<0\).

✅ \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante.

2) Calculer \(\lim(v_n-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n-u_n=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)=\dfrac2{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to0\).

✅ \(\lim(v_n-u_n)=0\) : suites adjacentes.

Exercice 68

Soient les suites numériques \((x_n)\), \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(x_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k+1}}{k^2}\), \(u_n=x_{2n}\) et \(v_n=x_{2n+1}\) \(\forall n\in\mathbb N^*\).

1) Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes et ont la même limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On a \(x_{2n+1}=x_{2n}+\dfrac1{(2n+1)^2}\) et \(x_{2n+2}=x_{2n+1}-\dfrac1{(2n+2)^2}\).

🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=x_{2n+2}-x_{2n}=\dfrac1{(2n+1)^2}-\dfrac1{(2n+2)^2}>0\) : \((u_n)\) croissante.

🔢 Étape 3 : \(v_{n+1}-v_n=x_{2n+3}-x_{2n+1}=-\dfrac1{(2n+2)^2}+\dfrac1{(2n+3)^2}<0\) : \((v_n)\) décroissante.

🔢 Étape 4 : \(v_n-u_n=x_{2n+1}-x_{2n}=\dfrac1{(2n+1)^2}\to0\).

✅ \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes : elles convergent vers la même limite.

Exercice 69

Soit la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) où \(f(x)=\dfrac1{x+1}\).

1) Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb R^+\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=-\dfrac1{(x+1)^2}<0\).

✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R^+\).

2) On pose : \(\alpha_n=u_{2n+1}\) et \(\beta_n=u_{2n}\) \(\forall n\in\mathbb N\).

2.a) Montrer que la suite \((\alpha_n)\) est croissante et que la suite \((\beta_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g=f\circ f\) est croissante (composée de deux fonctions décroissantes) et \(g(x)=\dfrac1{\frac1{x+1}+1}=\dfrac{x+1}{x+2}\).

🔢 Étape 2 : \(\beta_{n+1}=g(\beta_n)\) et \(\alpha_{n+1}=g(\alpha_n)\). On a \(u_0=1\), \(u_1=\frac12\), \(u_2=\frac23\), \(u_3=\frac35\) : \(\beta_1=\frac23<\beta_0=1\) et \(\alpha_1=\frac35>\alpha_0=\frac12\).

🔢 Étape 3 : Comme \(g\) est croissante, la monotonie du premier pas se propage par récurrence.

✅ \((\alpha_n)\) est croissante et \((\beta_n)\) est décroissante.

2.b) Montrer que \(\alpha_n\leq\beta_n\) \(\forall n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 \(\alpha_0=\frac12\leq1=\beta_0\). Si \(\alpha_n\leq\beta_n\), \(g\) croissante donne \(g(\alpha_n)\leq g(\beta_n)\).

✅ \(\alpha_n\leq\beta_n\).

3) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(\dfrac12\leq u_n\leq1\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) décroissante : \(f\left(\left[\frac12,1\right]\right)=\left[\frac12,\frac23\right]\subset\left[\frac12,1\right]\). \(u_0=1\in\left[\frac12,1\right]\) ; récurrence.

✅ \(\dfrac12\leq u_n\leq1\).

4) Montrer que \(|u_{n+1}-u_n|\leq\dfrac1n\) \(\forall n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(|f(x)-f(y)|=\dfrac{|x-y|}{(x+1)(y+1)}\leq\dfrac49|x-y|\) pour \(x,y\geq\frac12\).

🔢 Étape 2 : Donc \(|u_{n+1}-u_n|\leq\left(\dfrac49\right)^n|u_1-u_0|=\dfrac12\left(\dfrac49\right)^n\leq\dfrac1n\).

✅ \(|u_{n+1}-u_n|\leq\dfrac1n\).

5) Calculer \(\lim(\alpha_n-\beta_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(|\alpha_n-\beta_n|=|u_{2n+1}-u_{2n}|\leq\dfrac1{2n}\to0\).

✅ \(\lim(\alpha_n-\beta_n)=0\) : suites adjacentes, de même limite \(\ell\) vérifiant \(\ell=\dfrac1{\ell+1}\), soit \(\ell=\dfrac{\sqrt5-1}2\).

Exercice 70

On considère un carré \(F_1\) de côté de longueur \(1\). Au milieu de chaque côté, à l’extérieur de \(F_1\), on place un carré de côté \(\frac13\), dont on supprime le côté en contact avec la figure initiale. On obtient ainsi une figure \(F_2\). On procède de même avec \(F_2\) et on obtient une nouvelle figure \(F_3\). En réitérant le procédé, on construit une suite \((F_n)\) de figures. On note \(p_n\) le périmètre de \(F_n\).

1) Tracer \(F_3\).

2.a) Exprimer en fonction de \(n\) : \(c_n\), le nombre de côtés de \(F_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(F_1\) est un carré : \(c_1=4\), de côtés de longueur \(1\).

🔢 Étape 2 : Chaque côté de longueur \(l\) est remplacé par \(5\) segments de longueur \(\dfrac l3\) (deux tiers de côté conservés, plus trois côtés du petit carré). Donc \(c_{n+1}=5c_n\).

✅ \(c_n=4\times5^{n-1}\).

2.b) Exprimer en fonction de \(n\) : \(l_n\), la longueur de chaque côté de \(F_n\).

Correction détaillée

🔢 \(l_1=1\) et \(l_{n+1}=\dfrac13l_n\).

✅ \(l_n=\left(\dfrac13\right)^{n-1}\).

2.c) Exprimer en fonction de \(n\) : \(p_n\), le périmètre de \(F_n\).

Correction détaillée

🔢 \(p_n=c_nl_n=4\times5^{n-1}\times\dfrac1{3^{n-1}}\).

✅ \(p_n=4\left(\dfrac53\right)^{n-1}\).

3) La suite \((p_n)\) converge-t-elle ?

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac53>1\), donc \(\left(\dfrac53\right)^{n-1}\to+\infty\).

✅ \((p_n)\) ne converge pas : \(\lim p_n=+\infty\).

On note \(A_n\) l’aire de \(F_n\).

4) Exprimer \(A_{n+1}\) en fonction de \(A_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour passer de \(F_n\) à \(F_{n+1}\), on ajoute un carré de côté \(\dfrac{l_n}3\) sur chacun des \(c_n\) côtés.

🔢 Étape 2 : Aire ajoutée : \(c_n\left(\dfrac{l_n}3\right)^2=4\times5^{n-1}\times\dfrac1{9^n}=\dfrac49\left(\dfrac59\right)^{n-1}\).

✅ \(A_{n+1}=A_n+\dfrac49\left(\dfrac59\right)^{n-1}\).

5) En déduire \(A_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(A_1=1\) et \(A_n=1+\dfrac49\sum\limits_{k=0}^{n-2}\left(\dfrac59\right)^k=1+\dfrac49\times\dfrac{1-\left(\frac59\right)^{n-1}}{1-\frac59}=1+1-\left(\dfrac59\right)^{n-1}\).

✅ \(A_n=2-\left(\dfrac59\right)^{n-1}\).

6) Montrer que \((A_n)\) converge et calculer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A_{n+1}>A_n\) et \(A_n<2\) : croissante majorée.

🔢 Étape 2 : \(\left(\dfrac59\right)^{n-1}\to0\).

✅ \((A_n)\) converge et \(\lim A_n=2\).

7) Quelles réflexions vous inspire ce problème ?

Correction détaillée

🔢 Le périmètre \(p_n\) tend vers \(+\infty\) alors que l’aire \(A_n\) reste bornée (elle tend vers \(2\)).

✅ Une figure de périmètre infini peut avoir une aire finie : phénomène analogue au flocon de Koch.