Cette série de fonctions exponentielles 2ème Bac (PC et SVT) rassemble des exercices de synthèse : limites, dérivées, tangentes, asymptotes et branches infinies, tableaux de variations et bijections. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.

Exercices corrigés de fonctions exponentielles 2ème Bac

Fonctions exponentielles · Série de synthèse 2ème Bac

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Exercice 1

Résoudre dans \(\mathbb R\) :

1) \(\exp\!\left(\dfrac{x+5}{2x+3}\right)=\exp\!\left(\dfrac1{x-1}\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(e^a=e^b\iff a=b\) ; \(e^a\le e^b\iff a\le b\) ; \(e^a\cdot e^b=e^{a+b}\) ; \(\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\) ; \((e^a)^n=e^{na}\).

🔢 Étape 1 : Conditions d’existence : \(2x+3\ne0\) et \(x-1\ne0\), donc \(x\ne-\dfrac32\) et \(x\ne1\).

🔢 Étape 2 : Pour ces valeurs : \(\dfrac{x+5}{2x+3}=\dfrac1{x-1}\iff(x+5)(x-1)=2x+3\iff x^2+2x-8=0\).

🔢 Étape 3 : \(\Delta=4+32=36\), donc \(x=2\) ou \(x=-4\) : ces deux valeurs vérifient les conditions.

✅ \(S=\{-4\,;\,2\}\).

2) \(\exp(2x+1)\le\exp\!\left(\dfrac6x\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(e^a=e^b\iff a=b\) ; \(e^a\le e^b\iff a\le b\) ; \(e^a\cdot e^b=e^{a+b}\) ; \(\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\) ; \((e^a)^n=e^{na}\).

🔢 Étape 1 : Condition : \(x\ne0\). L’exponentielle étant strictement croissante : \(2x+1\le\dfrac6x\iff\dfrac{2x^2+x-6}{x}\le0\).

🔢 Étape 2 : \(2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)\) (racines \(-2\) et \(\dfrac32\)).

🔢 Étape 3 : Tableau de signes de \(\dfrac{(2x-3)(x+2)}{x}\) : négatif sur \(]-\infty,-2]\) et sur \(]0,\dfrac32]\), positif sur \([-2,0[\) et sur \([\dfrac32,+\infty[\).

✅ \(S=]-\infty,-2]\cup\left]0,\dfrac32\right]\).

Exercice 2

Résoudre dans \(\mathbb R\) :

1) \(e^{1-x}\times e^{2x}=e\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(e^a=e^b\iff a=b\) ; \(e^a\le e^b\iff a\le b\) ; \(e^a\cdot e^b=e^{a+b}\) ; \(\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\) ; \((e^a)^n=e^{na}\).

🔢 Étape 1 : \(e^{1-x}e^{2x}=e^{1+x}\) et \(e=e^1\).

🔢 Étape 2 : \(e^{1+x}=e^1\iff1+x=1\).

✅ \(S=\{0\}\).

2) \(\dfrac{e^{2-x}}{e^{1+2x}}=e^{x-1}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(e^a=e^b\iff a=b\) ; \(e^a\le e^b\iff a\le b\) ; \(e^a\cdot e^b=e^{a+b}\) ; \(\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\) ; \((e^a)^n=e^{na}\).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{e^{2-x}}{e^{1+2x}}=e^{2-x-1-2x}=e^{1-3x}\).

🔢 Étape 2 : \(e^{1-3x}=e^{x-1}\iff1-3x=x-1\iff x=\dfrac12\).

✅ \(S=\left\{\dfrac12\right\}\).

3) \(e^{2x}-5e^x+6=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation en \(e^x\) : poser \(X=e^x\) (avec \(X>0\)), résoudre en \(X\), puis revenir à \(x=\ln X\).

🔢 Étape 1 : On pose \(X=e^x>0\) : \(X^2-5X+6=0\), \(\Delta=1\), donc \(X=2\) ou \(X=3\).

🔢 Étape 2 : \(e^x=2\iff x=\ln2\) et \(e^x=3\iff x=\ln3\).

✅ \(S=\{\ln2\,;\,\ln3\}\).

4) \(e\,(e^x)^3=(e^{-x})^5\,e^{-7}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(e^a=e^b\iff a=b\) ; \(e^a\le e^b\iff a\le b\) ; \(e^a\cdot e^b=e^{a+b}\) ; \(\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\) ; \((e^a)^n=e^{na}\).

🔢 Étape 1 : Membre de gauche : \(e^{1+3x}\). Membre de droite : \(e^{-5x-7}\).

🔢 Étape 2 : \(1+3x=-5x-7\iff8x=-8\iff x=-1\).

✅ \(S=\{-1\}\).

5) \(e^{2x-3}-(e+1)e^{x-2}+1<0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation en \(e^x\) : poser \(X=e^x\) (avec \(X>0\)), résoudre en \(X\), puis revenir à \(x=\ln X\).

🔢 Étape 1 : On pose \(Y=e^{x-1}>0\) : \(e^{2x-3}=\dfrac{Y^2}{e}\) et \(e^{x-2}=\dfrac Ye\).

🔢 Étape 2 : L’inéquation devient \(\dfrac{Y^2}{e}-\dfrac{(e+1)Y}{e}+1<0\iff Y^2-(e+1)Y+e<0\iff(Y-1)(Y-e)<0\).

🔢 Étape 3 : Donc \(1<Y<e\iff0<x-1<1\).

✅ \(S=]1,2[\).

Exercice 3

1) Simplifier : \(A=\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2\).

Correction détaillée

🔢 Identité remarquable : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a=e^x+e^{-x}\), \(b=e^x-e^{-x}\) : \(a-b=2e^{-x}\), \(a+b=2e^x\).

✅ \(A=2e^{-x}\cdot2e^{x}=4\).

2) Simplifier : \(B=\left(e^x-e^{-x}\right)^2\left(e^{2x}+e^x+1\right)\).

Correction détaillée

⚠️ Le dernier facteur de \(B\) est écrit en très petit sur le scan : lu \(e^{2x}+e^x+1\) ; si l’énoncé est différent, la méthode (développer avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)) reste la même.

🔢 Étape 1 : \(\left(e^x-e^{-x}\right)^2=e^{2x}-2+e^{-2x}\).

🔢 Étape 2 : On développe : \(B=e^{4x}+e^{3x}+e^{2x}-2e^{2x}-2e^x-2+1+e^{-x}+e^{-2x}\).

✅ \(B=e^{4x}+e^{3x}-e^{2x}-2e^x-1+e^{-x}+e^{-2x}\).

3) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb R\) : \(\dfrac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=\dfrac{1-e^x}{e^x+1}\) et \(\dfrac1{e^x+1}=\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On multiplie numérateur et dénominateur par \(e^x\) : \(\dfrac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=\dfrac{(e^{-x}-1)e^x}{(e^{-x}+1)e^x}=\dfrac{1-e^x}{1+e^x}\).

🔢 Étape 2 : On multiplie par \(e^{-x}\) : \(\dfrac1{e^x+1}=\dfrac{e^{-x}}{(e^x+1)e^{-x}}=\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\).

✅ Les deux égalités sont démontrées.

Exercice 4

Résoudre dans \(\mathbb R\) :

1) \(e^{2x}+e^x-2=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation en \(e^x\) : poser \(X=e^x\) (avec \(X>0\)), résoudre en \(X\), puis revenir à \(x=\ln X\).

🔢 Étape 1 : \(X=e^x>0\) : \(X^2+X-2=(X-1)(X+2)=0\).

🔢 Étape 2 : \(X=1\) convient ; \(X=-2<0\) est rejeté.

✅ \(e^x=1\), donc \(S=\{0\}\).

2) \(e^{2x+1}+e^{x+1}-2e=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation en \(e^x\) : poser \(X=e^x\) (avec \(X>0\)), résoudre en \(X\), puis revenir à \(x=\ln X\).

🔢 On divise par \(e\) : \(e^{2x}+e^x-2=0\) (car \(e^{2x+1}=e\cdot e^{2x}\) et \(e^{x+1}=e\cdot e^x\)).

✅ D’après 1) : \(S=\{0\}\).

3) \(e^x-2e^{-x}+1=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation en \(e^x\) : poser \(X=e^x\) (avec \(X>0\)), résoudre en \(X\), puis revenir à \(x=\ln X\).

🔢 On multiplie par \(e^x>0\) : \(e^{2x}+e^x-2=0\).

✅ D’après 1) : \(S=\{0\}\).

Exercice 5

Résoudre dans \(\mathbb R\) :

1) \(e^{2x}+e^x-2<0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation en \(e^x\) : poser \(X=e^x\) (avec \(X>0\)), résoudre en \(X\), puis revenir à \(x=\ln X\).

🔢 \(X=e^x>0\) : \((X-1)(X+2)<0\iff-2<X<1\). Comme \(X>0\) : \(0<X<1\).

✅ \(e^x<1\iff x<0\) : \(S=]-\infty,0[\).

2) \(e^{2x}+2e^x-3\ge0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation en \(e^x\) : poser \(X=e^x\) (avec \(X>0\)), résoudre en \(X\), puis revenir à \(x=\ln X\).

🔢 \(X=e^x>0\) : \(X^2+2X-3=(X-1)(X+3)\ge0\iff X\le-3\) ou \(X\ge1\). Comme \(X>0\) : \(X\ge1\).

✅ \(e^x\ge1\iff x\ge0\) : \(S=[0,+\infty[\).

3) \(\dfrac{e^x-1}{e^x-2}>0\).

Correction détaillée

🔢 Le quotient est positif si numérateur et dénominateur ont le même signe : \(e^x<1\) et \(e^x<2\), ou \(e^x>1\) et \(e^x>2\).

✅ \(e^x<1\) ou \(e^x>2\) : \(S=]-\infty,0[\cup]\ln2,+\infty[\).

Exercice 6

Résoudre dans \(\mathbb R\) :

1) \(5^x=15\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(a>0\) : \(a^x=e^{x\ln a}\). On résout une équation en prenant \(\ln\) des deux membres.

🔢 \(a^x=e^{x\ln a}\) : on prend le logarithme népérien : \(x\ln5=\ln15\).

✅ \(S=\left\{\dfrac{\ln15}{\ln5}\right\}\).

2) \(3^{2x}\ge5^{1-x}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En prenant \(\ln\) (fonction croissante) : \(2x\ln3\ge(1-x)\ln5\iff x(2\ln3+\ln5)\ge\ln5\).

🔢 Étape 2 : \(2\ln3+\ln5=\ln45>0\).

✅ \(S=\left[\dfrac{\ln5}{\ln45},+\infty\right[\).

3) \(7^{x+1}-7^{-x}<6\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(X=7^x>0\) : \(7X-\dfrac1X<6\iff7X^2-6X-1<0\) (on multiplie par \(X>0\)).

🔢 Étape 2 : \(7X^2-6X-1=(7X+1)(X-1)\), donc \(X<1\) (car \(X>0\)).

✅ \(7^x<1\iff x<0\) : \(S=]-\infty,0[\).

Exercice 7

Résoudre dans \(\mathbb R\) :

1) \(2^{x+1}=8^x\).

Correction détaillée

🔢 \(8^x=(2^3)^x=2^{3x}\), donc \(x+1=3x\).

✅ \(S=\left\{\dfrac12\right\}\).

2) \(3^x=12\).

Correction détaillée

🔢 \(x\ln3=\ln12\).

✅ \(S=\left\{\dfrac{\ln12}{\ln3}\right\}\).

3) \(5\cdot2^x+2^{x+1}-336=0\).

Correction détaillée

🔢 \(2^{x+1}=2\cdot2^x\), donc \(7\cdot2^x=336\iff2^x=48\).

✅ \(S=\left\{\dfrac{\ln48}{\ln2}\right\}\).

4) \(100^x+40=14\cdot10^x\).

Correction détaillée

🔢 \(100^x=(10^x)^2\). On pose \(X=10^x>0\) : \(X^2-14X+40=0\), \(\Delta=36\), \(X=4\) ou \(X=10\).

✅ \(10^x=4\iff x=\log4\) et \(10^x=10\iff x=1\) : \(S=\{1\,;\,\log4\}\).

5) \(2^{x-1}>4^x\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan numérote deux questions \(5)\) ; on les lit \(5)\) et \(6)\).

🔢 \(4^x=2^{2x}\) et \(a\mapsto2^a\) est strictement croissante : \(x-1>2x\).

✅ \(S=]-\infty,-1[\).

6) \((0{,}5)^{2x}\ge(0{,}5)^{x+1}\).

Correction détaillée

🔢 La base \(0{,}5\in]0,1[\) : la fonction \(a\mapsto(0{,}5)^a\) est strictement décroissante, donc l’inégalité change de sens : \(2x\le x+1\).

✅ \(S=]-\infty,1]\).

Exercice 8

Calculer les limites suivantes.

1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(2x-1)e^x\).

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan les bornes des limites (\(\pm\infty\), \(0\), \(0^-\)) sont écrites en très petits indices ; elles ont été reconstituées d’après le schéma habituel de chaque question. Vérifiez-les sur votre feuille.

📘 Méthode : Limites de référence : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0\) ; \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\) ; \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\).

🔢 Étape 1 : \((2x-1)e^x=2xe^x-e^x\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^x=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0\).

✅ La limite vaut \(0\).

2) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x+3}{x}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{e^x+3}{x}=\dfrac{e^x}{x}+\dfrac3x\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{e^x}{x}\to+\infty\) et \(\dfrac3x\to0\).

✅ La limite vaut \(+\infty\).

3) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x+3x}{x^3}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{e^x+3x}{x^3}=\dfrac{e^x}{x^3}+\dfrac3{x^2}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{e^x}{x^3}\to+\infty\) et \(\dfrac3{x^2}\to0\).

✅ La limite vaut \(+\infty\).

4) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{e^x+1}{e^x+2}\).

Correction détaillée

🔢 \(e^x\to0\) donc numérateur \(\to1\) et dénominateur \(\to2\).

✅ La limite vaut \(\dfrac12\).

5) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{-x+1}\).

Correction détaillée

🔢 \(-x+1\to+\infty\) quand \(x\to-\infty\).

✅ La limite vaut \(+\infty\).

6) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x+1}\).

Correction détaillée

🔢 \(-x+1\to-\infty\) quand \(x\to+\infty\).

✅ La limite vaut \(0\).

7) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(e^x+e^{-x}\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(e^x\to0\) et \(e^{-x}=e^{|x|}\to+\infty\).

✅ La limite vaut \(+\infty\).

8) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{-x+1}{x^2+5}}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{-x+1}{x^2+5}\sim\dfrac{-x}{x^2}=-\dfrac1x\to0\).

✅ La limite vaut \(e^0=1\).

9) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On divise par \(e^x\) : \(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\).

🔢 Étape 2 : \(e^{-x}\to0\).

✅ La limite vaut \(1\).

10) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(2x-e^x\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Forme indéterminée \(\infty-\infty\) : \(2x-e^x=x\left(2-\dfrac{e^x}{x}\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{e^x}{x}\to+\infty\) donc \(2-\dfrac{e^x}{x}\to-\infty\).

✅ La limite vaut \(-\infty\).

11) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x-1}{x^2}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{e^x-1}{x^2}=\dfrac{e^x}{x^2}-\dfrac1{x^2}\).

✅ La limite vaut \(+\infty\).

12) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^2+3x}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{e^x}{x^2+3x}=\dfrac{e^x}{x^2}\cdot\dfrac1{1+\frac3x}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{e^x}{x^2}\to+\infty\) et \(\dfrac1{1+3/x}\to1\).

✅ La limite vaut \(+\infty\).

13) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(3x^3-e^x\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(3x^3-e^x=x^3\left(3-\dfrac{e^x}{x^3}\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{e^x}{x^3}\to+\infty\).

✅ La limite vaut \(-\infty\).

15) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}}{x^3}\).

Correction détaillée

🔢 On pose \(X=2x\) (\(X\to+\infty\)) : \(\dfrac{e^{2x}}{x^3}=\dfrac{e^X}{(X/2)^3}=8\dfrac{e^X}{X^3}\).

✅ La limite vaut \(+\infty\).

16) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{3x}}{x}\).

Correction détaillée

🔢 On pose \(X=3x\) : \(\dfrac{e^{3x}}{x}=3\dfrac{e^X}{X}\).

✅ La limite vaut \(+\infty\).

17) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}}{x^3+x+1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{e^{2x}}{x^3+x+1}=\dfrac{e^{2x}}{x^3}\cdot\dfrac1{1+\frac1{x^2}+\frac1{x^3}}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{e^{2x}}{x^3}\to+\infty\) d’après 15).

✅ La limite vaut \(+\infty\).

18) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(3x-1)e^x\).

Correction détaillée

🔢 \((3x-1)e^x=3xe^x-e^x\to0-0\).

✅ La limite vaut \(0\).

19) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(x^5-4x^3\right)e^x\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(x^5-4x^3\right)e^x=x^5e^x-4x^3e^x\), et \(x^ne^x\to0\) en \(-\infty\).

✅ La limite vaut \(0\).

20) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac1xe^{\frac1x}\).

Correction détaillée

🔢 On pose \(X=\dfrac1x\) : quand \(x\to0^-\), \(X\to-\infty\) et l’expression vaut \(Xe^X\).

✅ La limite vaut \(0\).

21) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(x^3-2x\right)e^{2x}\).

Correction détaillée

🔢 \((x^3-2x)e^{2x}=x^3e^{2x}-2xe^{2x}\). On pose \(X=2x\to-\infty\) : \(x^3e^{2x}=\dfrac{X^3e^X}{8}\to0\) et \(2xe^{2x}=Xe^X\to0\).

✅ La limite vaut \(0\).

22) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{3x}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{e^{2x}-1}{3x}=\dfrac23\cdot\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\), et \(\dfrac{e^X-1}{X}\to1\) pour \(X=2x\to0\).

✅ La limite vaut \(\dfrac23\).

23) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left(e^{\frac1x}-1\right)\).

Correction détaillée

🔢 On pose \(X=\dfrac1x\to0^+\) : \(x\left(e^{1/x}-1\right)=\dfrac{e^X-1}{X}\).

✅ La limite vaut \(1\).

24) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{e^{1-x}-1}{x-1}\).

Correction détaillée

🔢 On pose \(X=1-x\to0\) : \(\dfrac{e^{1-x}-1}{x-1}=-\dfrac{e^X-1}{X}\).

✅ La limite vaut \(-1\).

25) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{-x}-1}{x}\).

Correction détaillée

🔢 On pose \(X=-x\to0\) : \(\dfrac{e^{-x}-1}{x}=-\dfrac{e^X-1}{X}\).

✅ La limite vaut \(-1\).

26) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x+1}-e}{x}\).

Correction détaillée

🔢 \(e^{x+1}-e=e\left(e^x-1\right)\), donc \(\dfrac{e^{x+1}-e}{x}=e\cdot\dfrac{e^x-1}{x}\).

✅ La limite vaut \(e\).

Exercice 9

Calculer les limites suivantes.

1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln x+x-1}{x+e^{-x}}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Numérateur : \(\ln x\to-\infty\), donc \(\ln x+x-1\to-\infty\).

🔢 Étape 2 : Dénominateur : \(x+e^{-x}\to0+1=1\).

✅ La limite vaut \(-\infty\).

3) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^4e^{-\sqrt x}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On pose \(X=\sqrt x\to+\infty\) : \(x^4e^{-\sqrt x}=\dfrac{X^8}{e^X}=\dfrac1{e^X/X^8}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{e^X}{X^8}\to+\infty\).

✅ La limite vaut \(0\).

4) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}}{(\ln x)^3}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x>1\) : \(0<\ln x<x\), donc \((\ln x)^3<x^3\) et \(\dfrac{e^{2x}}{(\ln x)^3}>\dfrac{e^{2x}}{x^3}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{e^{2x}}{x^3}\to+\infty\) (voir 15 ci-dessus).

✅ Par comparaison, la limite vaut \(+\infty\).

5) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(e^{x^2}-e^{3x}+x^2\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On factorise \(e^{x^2}\) : \(e^{x^2}\left(1-e^{3x-x^2}+x^2e^{-x^2}\right)\).

🔢 Étape 2 : \(3x-x^2=x(3-x)\to-\infty\) donc \(e^{3x-x^2}\to0\) ; avec \(X=x^2\) : \(x^2e^{-x^2}=Xe^{-X}\to0\).

✅ La limite vaut \(+\infty\) (produit de \(e^{x^2}\to+\infty\) par un facteur de limite \(1\)).

7) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{e^{2x}+e^x+x}{e^x-x}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On divise numérateur et dénominateur par \(x\) : \(\dfrac{\frac{e^{2x}}{x}+\frac{e^x}{x}+1}{\frac{e^x}{x}-1}\).

🔢 Étape 2 : Quand \(x\to-\infty\) : \(e^{2x}\to0\), \(e^x\to0\), donc \(\frac{e^{2x}}x\to0\) et \(\frac{e^x}x\to0\).

✅ La limite vaut \(\dfrac{0+0+1}{0-1}=-1\).

Exercice 10

Calculer les limites suivantes.

C) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x\cdot e^{-x}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\ln x\cdot e^{-x}=\dfrac{\ln x}{x}\cdot\dfrac{x}{e^x}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) et \(\dfrac{x}{e^x}\to0\).

✅ La limite vaut \(0\).

F) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(2-x)e^{-x}\).

Correction détaillée

⚠️ Borne lue \(+\infty\) sur le scan (indice très petit).

🔢 Étape 1 : \((2-x)e^{-x}=2e^{-x}-\dfrac{x}{e^x}\).

🔢 Étape 2 : \(e^{-x}\to0\) et \(\dfrac x{e^x}\to0\).

✅ La limite vaut \(0\).

H) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x+x^2}{x+1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On divise par \(x\) : \(\dfrac{\frac{e^x}{x}+x}{1+\frac1x}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{e^x}x+x\to+\infty\) et \(1+\dfrac1x\to1\).

✅ La limite vaut \(+\infty\).

Exercice 11

On considère la fonction \(b(x)=\dfrac{xe^x+1}{e^x+1}\).

1) Étudier la branche infinie de la courbe de \(b(x)=\dfrac{xe^x+1}{e^x+1}\) au voisinage de \(-\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(e^x\to0\) : \(xe^x\to0\), donc \(b(x)\to\dfrac{0+1}{0+1}=1\).

✅ La droite \(y=1\) est asymptote horizontale à la courbe au voisinage de \(-\infty\).

2) Étudier la branche infinie de la même courbe au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(b(x)-x=\dfrac{xe^x+1-xe^x-x}{e^x+1}=\dfrac{1-x}{e^x+1}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{1-x}{e^x+1}=\dfrac{1}{e^x+1}-\dfrac{x}{e^x+1}\to0\) car \(\dfrac x{e^x}\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(b(x)-x\right)=0\) : la droite \(y=x\) est asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\).

Exercice 12

Calculer la dérivée de chaque fonction sur son domaine de dérivabilité.

1) \(f(x)=e^{\sqrt{2x+1}}\) sur \(\left]-\dfrac12,+\infty\right[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(u(x)=\sqrt{2x+1}\), \(u'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}}\).

2) \(g(x)=e^{-2x^2}-3e^{3x+1}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(\left(e^{-2x^2}\right)’=-4xe^{-2x^2}\) et \(\left(e^{3x+1}\right)’=3e^{3x+1}\).

✅ \(g'(x)=-4xe^{-2x^2}-9e^{3x+1}\).

3) \(h(x)=e^{\frac{x+1}{-x+3}}\) sur \(\mathbb R\setminus\{3\}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(u(x)=\dfrac{x+1}{3-x}\) : \(u'(x)=\dfrac{(3-x)+(x+1)}{(3-x)^2}=\dfrac4{(3-x)^2}\).

✅ \(h'(x)=\dfrac4{(3-x)^2}\,e^{\frac{x+1}{3-x}}\).

Exercice 13

Montrer que la fonction \(f\) est dérivable sur son domaine puis calculer \(f'(x)\) :

1) \(f(x)=xe^{\sqrt x}\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan demande « dérivable sur \(\mathbb R\) » mais \(\sqrt x\) n’existe que pour \(x\ge0\) : le domaine est \([0,+\infty[\).

🔢 Étape 1 : \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) comme produit et composée de fonctions dérivables.

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=e^{\sqrt x}+x\cdot\dfrac1{2\sqrt x}e^{\sqrt x}\).

🔢 Étape 3 : Au point \(0\) (à droite) : \(\dfrac{f(x)}x=e^{\sqrt x}\to1\), et \(f'(x)\to1\) aussi.

✅ \(f'(x)=e^{\sqrt x}\left(1+\dfrac{\sqrt x}2\right)\) sur \([0,+\infty[\) (\(f’_d(0)=1\)).

2) \(f(x)=e^{-x}\ln x\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Domaine \(]0,+\infty[\) ; produit de fonctions dérivables : \(f'(x)=-e^{-x}\ln x+e^{-x}\cdot\dfrac1x\).

✅ \(f'(x)=e^{-x}\left(\dfrac1x-\ln x\right)\).

3) \(f(x)=\dfrac{e^x}{1+e^{2x}}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(1+e^{2x}>0\) : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{e^x\left(1+e^{2x}\right)-e^x\cdot2e^{2x}}{\left(1+e^{2x}\right)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{e^x\left(1-e^{2x}\right)}{\left(1+e^{2x}\right)^2}\).

4) \(f(x)=\ln\!\left(e^x+e^{-x}\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((\ln u)’=\dfrac{u’}u\).

🔢 \(e^x+e^{-x}>0\) : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \(f’=\dfrac{u’}{u}\) avec \(u=e^x+e^{-x}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\).

Exercice 14

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes.

1) \(f(x)=\dfrac{e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\) sur \(]0,+\infty[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 \(\left(\sqrt x\right)’=\dfrac1{2\sqrt x}\), donc \(f=2\left(\sqrt x\right)’e^{\sqrt x}\).

✅ \(F(x)=2e^{\sqrt x}\).

2) \(g(x)=\left(e^x\right)^2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 \(\left(e^x\right)^2=e^{2x}=\dfrac12\left(2e^{2x}\right)\).

✅ \(G(x)=\dfrac12e^{2x}\).

3) \(h(x)=\dfrac{e^{\arctan x}}{1+x^2}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 \(\left(\arctan x\right)’=\dfrac1{1+x^2}\), donc \(h=(\arctan x)’e^{\arctan x}\).

✅ \(H(x)=e^{\arctan x}\).

Exercice 15

Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) sur l’intervalle \(I\) dans chaque cas.

1) \(f(x)=2e^{3x}-e^{-x}\), \(I=\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 \(\left(e^{3x}\right)’=3e^{3x}\) et \(\left(e^{-x}\right)’=-e^{-x}\).

✅ \(F(x)=\dfrac23e^{3x}+e^{-x}\).

2) \(f(x)=\dfrac{e^{2x}}{\left(e^{2x}-1\right)^2}\), \(I=]0,+\infty[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 Avec \(u=e^{2x}-1\), \(u’=2e^{2x}\) : \(f=\dfrac12\cdot\dfrac{u’}{u^2}\). (\(u>0\) sur \(I\).)

✅ \(F(x)=-\dfrac1{2\left(e^{2x}-1\right)}\).

3) \(f(x)=e^x\left(e^x-1\right)^3\), \(I=\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 Avec \(u=e^x-1\), \(u’=e^x\) : \(f=u’u^3\).

✅ \(F(x)=\dfrac{\left(e^x-1\right)^4}{4}\).

4) \(f(x)=\sin x\,e^{\cos x}\), \(I=[0,\pi]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 Avec \(u=\cos x\), \(u’=-\sin x\) : \(f=-u’e^u\).

✅ \(F(x)=-e^{\cos x}\).

5) \(f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x-x}\), \(I=]0,+\infty[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 Avec \(u=e^x-x\), \(u’=e^x-1\) : \(f=\dfrac{u’}u\). On a \(e^x>x\), donc \(u>0\) sur \(I\).

✅ \(F(x)=\ln\left(e^x-x\right)\).

Exercice 16

Déterminer une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(I\).

1) \(f(x)=e^{-x+1}\), \(I=\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 \(\left(e^{-x+1}\right)’=-e^{-x+1}\).

✅ \(F(x)=-e^{-x+1}\).

2) \(f(x)=\dfrac1{e^{-x}+1}\), \(I=\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 On multiplie par \(e^x\) : \(f(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}=\dfrac{u’}u\) avec \(u=1+e^x>0\).

✅ \(F(x)=\ln\left(1+e^x\right)\).

3) \(f(x)=\dfrac{e^x}{e^{2x}+1}\), \(I=\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 Avec \(u=e^x\) : \(f=\dfrac{u’}{1+u^2}\).

✅ \(F(x)=\arctan\left(e^x\right)\).

4) \(f(x)=\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\), \(I=\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 Avec \(u=e^x+1\) : \(f=\dfrac{u’}{u^2}\).

✅ \(F(x)=-\dfrac1{e^x+1}\).

5) \(f(x)=\dfrac{e^{\frac1x}}{x^2}\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan indique \(I=\mathbb R\) mais \(f\) n’est pas définie en \(0\) : on travaille sur \(]0,+\infty[\) (ou \(]-\infty,0[\)).

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 Avec \(u=\dfrac1x\), \(u’=-\dfrac1{x^2}\) : \(f=-u’e^u\).

✅ \(F(x)=-e^{\frac1x}\) sur \(]-\infty,0[\) ou sur \(]0,+\infty[\).

6) \(f(x)=\dfrac{e^{2x}+e^x-1}{e^x-1}\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan indique \(I=\mathbb R\) mais \(e^x-1=0\) en \(x=0\) : \(f\) n’est pas définie en \(0\).

📘 Méthode : Primitives usuelles : \(u’e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u’}{u}\to\ln|u|\) ; \(\dfrac{u’}{u^2}\to-\dfrac1u\) ; \(u’u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u’}{1+u^2}\to\arctan u\).

🔢 Étape 1 : \(e^{2x}+e^x-1=(e^x-1)(e^x+2)+1\) (vérification : \(e^{2x}+2e^x-e^x-2+1\)).

🔢 Étape 2 : Donc \(f(x)=e^x+2+\dfrac1{e^x-1}\) et \(\dfrac1{e^x-1}=\dfrac{e^x}{e^x-1}-1\).

🔢 Étape 3 : Ainsi \(f(x)=e^x+1+\dfrac{e^x}{e^x-1}\), de primitive \(e^x+x+\ln\left|e^x-1\right|\).

✅ \(F(x)=e^x+x+\ln\left|e^x-1\right|\) sur \(]0,+\infty[\) (ou \(]-\infty,0[\)).

Exercice 17

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x)=\left(2x^2-7x+5\right)e^x\).

1) Déterminer la dérivée seconde de \(f\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=(4x-7)e^x+\left(2x^2-7x+5\right)e^x=\left(2x^2-3x-2\right)e^x\).

🔢 Étape 2 : \(f »(x)=(4x-3)e^x+\left(2x^2-3x-2\right)e^x\).

✅ \(f »(x)=\left(2x^2+x-5\right)e^x\).

2) Vérifier que \((\forall x\in\mathbb R)\) : \(f(x)=4e^x+2f'(x)-f »(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(4e^x+2f'(x)-f »(x)=e^x\left[4+2\left(2x^2-3x-2\right)-\left(2x^2+x-5\right)\right]\).

🔢 Étape 2 : Le crochet vaut \(4+4x^2-6x-4-2x^2-x+5=2x^2-7x+5\).

✅ On retrouve \(f(x)=\left(2x^2-7x+5\right)e^x\).

3) Déterminer une primitive de la fonction \(f\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Utiliser l’identité précédente pour exprimer \(f\) à l’aide de dérivées.

🔢 Étape 1 : D’après 2) : \(f=4e^x+2f’-f »\). Une primitive de \(f’\) est \(f\) et une primitive de \(f »\) est \(f’\).

🔢 Étape 2 : Donc \(F=4e^x+2f-f’\), soit \(F(x)=e^x\left[4+2\left(2x^2-7x+5\right)-\left(2x^2-3x-2\right)\right]\).

✅ \(F(x)=\left(2x^2-11x+16\right)e^x\).

Exercice 18

Déterminer les primitives de la fonction \(f(x)=3^{x-2}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\left(a^x\right)’=a^x\ln a\) pour \(a>0\).

🔢 \(3^{x-2}=e^{(x-2)\ln3}\) et \(\left(e^{(x-2)\ln3}\right)’=\ln3\cdot e^{(x-2)\ln3}\).

✅ \(F(x)=\dfrac{3^{x-2}}{\ln3}+c\), \(c\in\mathbb R\).

Exercice 19

Étudier la dérivabilité sur \(\mathbb R\) de \(f(x)=\dfrac{x^2e^{-x}}{1-e^{-2x}}\) si \(x\ne0\), \(f(0)=0\) (rappel : \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}x=1\)).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(\mathbb R^*\), \(1-e^{-2x}\ne0\) : \(f\) est dérivable comme quotient de fonctions dérivables.

🔢 Étape 2 : En \(0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=\dfrac{xe^{-x}}{1-e^{-2x}}=e^{-x}\cdot\dfrac{1}{\dfrac{1-e^{-2x}}x}\).

🔢 Étape 3 : Avec \(X=-2x\to0\) : \(\dfrac{1-e^{-2x}}x=-\dfrac{e^{X}-1}{x}=2\cdot\dfrac{e^X-1}{X}\to2\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}x=\dfrac12\) : \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=\dfrac12\), donc dérivable sur \(\mathbb R\).

Exercice 20

Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=(x+1)e^{-1/x}\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\).

1.a) Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb R^+\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(]0,+\infty[\) : composée et produit de fonctions continues.

🔢 Étape 2 : En \(0^+\) : \(X=-\dfrac1x\to-\infty\) donc \(e^{-1/x}\to0\), et \((x+1)e^{-1/x}\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=0=f(0)\) : \(f\) est continue sur \(\mathbb R^+\).

1.b) Montrer que \(f\) est dérivable à droite en \(0\) et que \(f’_d(0)=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=\dfrac{(x+1)e^{-1/x}}{x}=\left(1+\dfrac1x\right)e^{-1/x}\).

🔢 Étape 2 : On pose \(X=\dfrac1x\to+\infty\) : \((1+X)e^{-X}=e^{-X}+\dfrac X{e^X}\to0\).

✅ \(f’_d(0)=0\).

2.a) Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R^{*+}\) et calculer \(f'(x)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : Produit et composée de fonctions dérivables sur \(]0,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=e^{-1/x}+(x+1)\cdot\dfrac1{x^2}e^{-1/x}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2}\,e^{-1/x}\).

2.b) Calculer la limite de \(f\) en \(+\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(x+1\to+\infty\) et \(-\dfrac1x\to0\), donc \(e^{-1/x}\to1\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

2.c) Dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^2+x+1>0\) (\(\Delta=-3<0\)) et \(e^{-1/x}>0\), donc \(f'(x)>0\) sur \(]0,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : Tableau : \(f(0)=0\), \(f\) strictement croissante sur \([0,+\infty[\), de limite \(+\infty\) en \(+\infty\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R^+\) : \(f\) passe de \(0\) à \(+\infty\).

Exercice 21

Montrer que les fonctions suivantes sont de classe \(C^1\) sur \(\mathbb R\) et donner leurs dérivées.

1) \(f(x)=1+x\) si \(x\ge0\) ; \(f(x)=e^x\) si \(x<0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(]-\infty,0[\) et \(]0,+\infty[\) : \(f\) est de classe \(C^1\), avec \(f'(x)=e^x\) pour \(x<0\) et \(f'(x)=1\) pour \(x>0\).

🔢 Étape 2 : En \(0\) : \(f(0^-)=e^0=1=f(0)\), donc \(f\) est continue.

🔢 Étape 3 : \(f’_g(0)=\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac{e^x-1}x=1\) et \(f’_d(0)=\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{x}{x}=1\) : \(f\) est dérivable en \(0\), \(f'(0)=1\).

🔢 Étape 4 : \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}f'(x)=e^0=1=f'(0)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f'(x)=1\).

✅ \(f’\) est continue sur \(\mathbb R\) : \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb R\).

2) \(g(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(e^x+1>0\) : \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\).

🔢 Étape 2 : \(g'(x)=\dfrac{e^x(e^x+1)-(e^x-1)e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{2e^x}{(e^x+1)^2}\).

✅ \(g’\) est continue sur \(\mathbb R\) : \(g\) est de classe \(C^1\).

3) \(h(x)=xe^{-3/|x|}\) si \(x\ne0\) ; \(h(0)=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x>0\) : \(h(x)=xe^{-3/x}\), \(h'(x)=e^{-3/x}\left(1+\dfrac3x\right)\). Pour \(x<0\) : \(h(x)=xe^{3/x}\), \(h'(x)=e^{3/x}\left(1-\dfrac3x\right)\).

🔢 Étape 2 : En \(0\) : \(\dfrac{h(x)-h(0)}x=e^{-3/|x|}\to0\) (car \(-\dfrac3{|x|}\to-\infty\)) : \(h\) est dérivable en \(0\) et \(h'(0)=0\).

🔢 Étape 3 : Limites de \(h’\) en \(0\) : avec \(X=\dfrac1{|x|}\to+\infty\), \(h'(x)=e^{-3X}(1+3X)\to0\) des deux côtés.

✅ \(h’\) est continue en \(0\) (\(h'(0)=0\)) : \(h\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb R\).

Exercice 22

Soit \(f(x)=(x-1)e^x\) sur \(\mathbb R\), \(\left(C_f\right)\) sa courbe.

1) Calculer les limites aux bornes, \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x-1)e^x=\lim xe^x-\lim e^x=0\) ; \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-1)e^x=+\infty\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x\), du signe de \(x\).

🔢 Étape 3 : \(f(0)=-1\). Tableau : \(f\) décroît de \(0\) à \(-1\) sur \(]-\infty,0]\), puis croît de \(-1\) à \(+\infty\) sur \([0,+\infty[\).

✅ \(f\) est décroissante sur \(]-\infty,0]\), croissante sur \([0,+\infty[\), avec minimum \(f(0)=-1\).

2) Étudier les branches infinies de \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

🔢 \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=\lim\left(1-\dfrac1x\right)e^x=+\infty\).

✅ \(\left(C_f\right)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(+\infty\) ; (en \(-\infty\), \(y=0\) est asymptote).

3) Étudier la concavité de \(\left(C_f\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(f »(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x\), du signe de \(x+1\).

✅ \(\left(C_f\right)\) est concave sur \(]-\infty,-1]\), convexe sur \([-1,+\infty[\) ; point d’inflexion \(I\left(-1,-\dfrac2e\right)\).

Exercice 23

Soit \(f(x)=x-1+\dfrac3{e^x+1}\).

1) Déterminer \(D_f\) et les limites de \(f\) aux bornes de \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(e^x+1>0\), donc \(D_f=\mathbb R\).

🔢 Étape 2 : \(x\to+\infty\) : \(\dfrac3{e^x+1}\to0\), donc \(f(x)\to+\infty\).

🔢 Étape 3 : \(x\to-\infty\) : \(e^x\to0\), donc \(f(x)\approx x-1+3=x+2\to-\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=-\infty\).

2) Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau de variations.

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=1-\dfrac{3e^x}{\left(e^x+1\right)^2}=\dfrac{e^{2x}+2e^x+1-3e^x}{\left(e^x+1\right)^2}=\dfrac{e^{2x}-e^x+1}{\left(e^x+1\right)^2}\).

🔢 Étape 2 : \(e^{2x}-e^x+1=\left(e^x-\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0\), donc \(f'(x)>0\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\) (de \(-\infty\) à \(+\infty\)).

3) Montrer que \((\forall x\in\mathbb R)\) : \(f(x)=x+2-\dfrac{3e^x}{e^x+1}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac3{e^x+1}=\dfrac{3\left(e^x+1\right)-3e^x}{e^x+1}=3-\dfrac{3e^x}{e^x+1}\).

✅ \(f(x)=x-1+3-\dfrac{3e^x}{e^x+1}=x+2-\dfrac{3e^x}{e^x+1}\).

4) Étudier les branches infinies de \(\left(C_f\right)\) et la position de \(\left(C_f\right)\) par rapport aux asymptotes obliques.

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim\left[f(x)-(ax+b)\right]=0\), la droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique ; la position se lit sur le signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(f(x)-(x-1)=\dfrac3{e^x+1}\to0\), et \(\dfrac3{e^x+1}>0\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(f(x)-(x+2)=-\dfrac{3e^x}{e^x+1}\to0\), et \(-\dfrac{3e^x}{e^x+1}<0\).

✅ La droite \(y=x-1\) est asymptote en \(+\infty\) (courbe au-dessus) ; la droite \(y=x+2\) est asymptote en \(-\infty\) (courbe au-dessous).

Exercice 24

Soit \(f(x)=\left(e^x-4\right)\sqrt{e^x-1}\).

1) Déterminer \(D_f\) et les limites de \(f\) aux bornes de \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(e^x-1\ge0\iff x\ge0\), donc \(D_f=[0,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : \(f(0)=(1-4)\times0=0\) ; \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(e^x-4)\sqrt{e^x-1}=+\infty\).

✅ \(D_f=[0,+\infty[\), \(f(0)=0\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\).

2) Montrer que \((\forall x\in\mathbb R^{*+})\) : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{e^x-4}{\sqrt{e^x-1}}\times\dfrac{e^x-1}x\).

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt{e^x-1}=\dfrac{e^x-1}{\sqrt{e^x-1}}\) pour \(x>0\).

✅ \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{(e^x-4)(e^x-1)}{x\sqrt{e^x-1}}=\dfrac{e^x-4}{\sqrt{e^x-1}}\times\dfrac{e^x-1}x\).

3) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) et interpréter géométriquement.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{e^x-4}{\sqrt{e^x-1}}\to\dfrac{-3}{0^+}=-\infty\) et \(\dfrac{e^x-1}x\to1\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)}x=-\infty\) : \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) ; la courbe admet une demi-tangente verticale (dirigée vers le bas) au point \(O\).

4) Montrer que \((\forall x>0)\) : \(f'(x)=\dfrac{3e^x\left(e^x-2\right)}{2\sqrt{e^x-1}}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\left(\sqrt u\right)’=\dfrac{u’}{2\sqrt u}\).

🔢 \(f'(x)=e^x\sqrt{e^x-1}+\left(e^x-4\right)\dfrac{e^x}{2\sqrt{e^x-1}}=\dfrac{e^x\left[2\left(e^x-1\right)+e^x-4\right]}{2\sqrt{e^x-1}}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{e^x\left(3e^x-6\right)}{2\sqrt{e^x-1}}=\dfrac{3e^x\left(e^x-2\right)}{2\sqrt{e^x-1}}\).

5) Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau de variations.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Le signe de \(f’\) est celui de \(e^x-2\) : négatif si \(x<\ln2\), positif si \(x>\ln2\).

🔢 Étape 2 : \(f(\ln2)=(2-4)\sqrt{2-1}=-2\).

✅ \(f\) décroît de \(0\) à \(-2\) sur \([0,\ln2]\), puis croît de \(-2\) à \(+\infty\) sur \([\ln2,+\infty[\).

6) Étudier les branches infinies de \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

🔢 \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\left(e^x-4\right)\sqrt{e^x-1}}x\to+\infty\) (car \(\dfrac{e^x}x\to+\infty\)).

✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

7) Calculer \(f(2\ln2)\).

Correction détaillée

🔢 \(e^{2\ln2}=4\), donc \(f(2\ln2)=(4-4)\sqrt3=0\).

✅ \(f(2\ln2)=0\) (la courbe coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse \(2\ln2\)).

Exercice 25

Soit \(f(x)=\sqrt{e^{-x}-e^{-2x}}\).

1) Déterminer \(D_f\) et les limites de \(f\) aux bornes.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(e^{-x}-e^{-2x}\ge0\iff e^{-x}\ge e^{-2x}\iff-x\ge-2x\iff x\ge0\). Donc \(D_f=[0,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : \(f(0)=0\) ; en \(+\infty\), \(e^{-x}\to0\) et \(e^{-2x}\to0\).

✅ \(D_f=[0,+\infty[\), \(f(0)=0\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=0\).

2) Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) et interpréter géométriquement.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est continue à droite en \(0\) (composée de fonctions continues) : \(f(0)=0\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\dfrac{f(x)}x\right)^2=\dfrac{e^{-x}-e^{-2x}}{x^2}=e^{-2x}\cdot\dfrac{e^x-1}x\cdot\dfrac1x\).

🔢 Étape 3 : \(e^{-2x}\to1\), \(\dfrac{e^x-1}x\to1\), \(\dfrac1x\to+\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)}x=+\infty\) : \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) ; demi-tangente verticale (vers le haut) en \(O\).

3) Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau de variations.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x>0\) : \(f'(x)=\dfrac{-e^{-x}+2e^{-2x}}{2\sqrt{e^{-x}-e^{-2x}}}=\dfrac{e^{-2x}\left(2-e^x\right)}{2\sqrt{e^{-x}-e^{-2x}}}\).

🔢 Étape 2 : Signe de \(2-e^x\) : positif si \(x<\ln2\), négatif si \(x>\ln2\).

🔢 Étape 3 : \(f(\ln2)=\sqrt{\dfrac12-\dfrac14}=\dfrac12\).

✅ \(f\) croît de \(0\) à \(\dfrac12\) sur \([0,\ln2]\), puis décroît de \(\dfrac12\) à \(0\) sur \([\ln2,+\infty[\).

Exercice 26

Soit \(f(x)=\dfrac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\).

1) Déterminer \(D_f\) et les limites de \(f\) aux bornes de \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(1-e^{2x}>0\iff x<0\), donc \(D_f=]-\infty,0[\).

🔢 Étape 2 : \(x\to-\infty\) : \(e^x\to0\) et \(\sqrt{1-e^{2x}}\to1\).

🔢 Étape 3 : \(x\to0^-\) : numérateur \(\to1\), dénominateur \(\to0^+\).

✅ \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=0\) et \(\displaystyle\lim_{0^-}f=+\infty\).

2) Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau de variations.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f=e^x\left(1-e^{2x}\right)^{-1/2}\) : \(f'(x)=e^x\left(1-e^{2x}\right)^{-1/2}+e^x\cdot e^{2x}\left(1-e^{2x}\right)^{-3/2}\).

🔢 Étape 2 : On met en facteur : \(f'(x)=e^x\left(1-e^{2x}\right)^{-3/2}\left[\left(1-e^{2x}\right)+e^{2x}\right]=\dfrac{e^x}{\left(1-e^{2x}\right)\sqrt{1-e^{2x}}}\).

✅ \(f'(x)>0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty,0[\), de \(0\) à \(+\infty\).

3) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer, puis déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), elle réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) ; on obtient \(f^{-1}\) en résolvant \(y=f(x)\) pour exprimer \(x\) en fonction de \(y\).

🔢 Étape 1 : \(f\) est continue et strictement croissante sur \(]-\infty,0[\), donc bijective de \(]-\infty,0[\) sur \(J=]0,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : Pour \(y>0\) : \(y=\dfrac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\iff y^2\left(1-e^{2x}\right)=e^{2x}\iff e^{2x}=\dfrac{y^2}{1+y^2}\).

✅ \(J=]0,+\infty[\) et \(f^{-1}(x)=\dfrac12\ln\dfrac{x^2}{1+x^2}=\ln\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\).

Exercice 27

Soit \(f(x)=1-\ln\left(1+e^{-x}\right)\) sur \(\mathbb R\).

1.a) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=1\) et interpréter le résultat.

Correction détaillée

🔢 \(e^{-x}\to0\), donc \(\ln\left(1+e^{-x}\right)\to\ln1=0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=1\) : la droite \(y=1\) est asymptote horizontale en \(+\infty\).

1.b) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(e^{-x}\to+\infty\), donc \(\ln\left(1+e^{-x}\right)\to+\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=1-\infty=-\infty\).

2.a) Vérifier que \((\forall x\in\mathbb R)\) : \(f(x)=x+1-\ln\left(1+e^x\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(1+e^{-x}=e^{-x}\left(e^x+1\right)\), donc \(\ln\left(1+e^{-x}\right)=-x+\ln\left(1+e^x\right)\).

✅ \(f(x)=1-\left(-x+\ln(1+e^x)\right)=x+1-\ln\left(1+e^x\right)\).

2.b) Déduire que la droite \((D)\) : \(y=x+1\) est asymptote oblique à \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(-\infty\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim\left[f(x)-(ax+b)\right]=0\), la droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique ; la position se lit sur le signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 \(f(x)-(x+1)=-\ln\left(1+e^x\right)\to-\ln1=0\) quand \(x\to-\infty\).

✅ \((D)\) est asymptote oblique en \(-\infty\).

2.c) Étudier la position de \(\left(C_f\right)\) par rapport à \((D)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-(x+1)=-\ln\left(1+e^x\right)<0\) car \(1+e^x>1\).

✅ \(\left(C_f\right)\) est strictement au-dessous de \((D)\).

3.a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb R)\) : \(f'(x)=\dfrac1{1+e^x}\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=-\dfrac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\), puis on multiplie par \(e^x\).

✅ \(f'(x)=\dfrac1{e^x+1}\).

3.b) Dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)>0\) sur \(\mathbb R\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\) : elle passe de \(-\infty\) à \(1\).

3.c) Étudier la concavité de \(\left(C_f\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(f »(x)=-\dfrac{e^x}{\left(1+e^x\right)^2}<0\).

✅ \(\left(C_f\right)\) est concave sur \(\mathbb R\) (pas de point d’inflexion).

3.d) Montrer que \(\left(C_f\right)\) coupe l’axe des abscisses en un point à déterminer.

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=0\iff\ln\left(1+e^{-x}\right)=1\iff1+e^{-x}=e\iff e^{-x}=e-1\).

✅ Le point d’intersection est \(\left(-\ln(e-1),\,0\right)\).

5.a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

Correction détaillée

🔢 \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\) ; \(f(\mathbb R)=]-\infty,1[\).

✅ \(f\) est bijective de \(\mathbb R\) sur \(J=]-\infty,1[\).

5.b) Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).

Correction détaillée

🔢 \(y=1-\ln\left(1+e^{-x}\right)\iff1+e^{-x}=e^{1-y}\iff e^{-x}=e^{1-y}-1\).

✅ \(f^{-1}(x)=-\ln\left(e^{1-x}-1\right)\) pour \(x<1\).

Exercice 28

Partie 1 \(f(x)=(x+2)e^{-2/x}\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\).

1) Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}e^{-2/x}=0\), donc \(f(x)\to0=f(0)\) : continuité.

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=\left(1+\dfrac2x\right)e^{-2/x}\). Avec \(X=\dfrac1x\to+\infty\) : \((1+2X)e^{-2X}\to0\).

✅ \(f\) est continue à droite en \(0\) et \(f’_d(0)=0\).

2) Interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 \(f’_d(0)=0\) signifie que la tangente à droite en \(O\) est horizontale.

✅ \(\left(C_f\right)\) admet au point \(O\) une demi-tangente horizontale (l’axe des abscisses).

3) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(x+2\to+\infty\) et \(-\dfrac2x\to0\), donc \(e^{-2/x}\to1\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\).

4) Calculer \(f'(x)\) puis dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=e^{-2/x}+(x+2)\cdot\dfrac2{x^2}e^{-2/x}=\dfrac{x^2+2x+4}{x^2}e^{-2/x}\).

🔢 Étape 2 : \(x^2+2x+4>0\) (\(\Delta=-12<0\)).

✅ \(f’>0\) sur \(]0,+\infty[\) : \(f\) est strictement croissante, de \(0\) à \(+\infty\).

5.a) Montrer que \((\forall t>0)\) : \(0<e^{-t}+t-1<\dfrac{t^2}2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Étudier les variations de la différence des deux membres.

🔢 Étape 1 : On pose \(\varphi(t)=e^{-t}+t-1\) : \(\varphi'(t)=1-e^{-t}>0\) pour \(t>0\) et \(\varphi(0)=0\), donc \(\varphi(t)>0\).

🔢 Étape 2 : On pose \(\psi(t)=\dfrac{t^2}2-\varphi(t)\) : \(\psi'(t)=t-1+e^{-t}=\varphi(t)>0\) et \(\psi(0)=0\), donc \(\psi(t)>0\).

✅ \(0<e^{-t}+t-1<\dfrac{t^2}2\) pour tout \(t>0\).

5.b) Déduire que \((\forall x>0)\) : \(-\dfrac4x<f(x)-x<\dfrac4{x^2}-\dfrac2x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Avec \(t=\dfrac2x\) : \(1-\dfrac2x<e^{-2/x}<1-\dfrac2x+\dfrac2{x^2}\).

🔢 Étape 2 : On multiplie par \(x+2>0\) : \((x+2)\left(1-\dfrac2x\right)=x-\dfrac4x\) et \((x+2)\left(1-\dfrac2x+\dfrac2{x^2}\right)=x-\dfrac2x+\dfrac4{x^2}\).

🔢 Étape 3 : On soustrait \(x\).

✅ \(-\dfrac4x<f(x)-x<\dfrac4{x^2}-\dfrac2x\).

5.c) Déterminer la nature de la branche infinie de \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim\left[f(x)-(ax+b)\right]=0\), la droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique ; la position se lit sur le signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 D’après 5.b) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(-\dfrac4x\right)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac4{x^2}-\dfrac2x\right)=0\).

✅ Par encadrement \(\displaystyle\lim_{+\infty}\left(f(x)-x\right)=0\) : la droite \(y=x\) est asymptote oblique en \(+\infty\) (et \(f(x)-x<\frac4{x^2}-\frac2x<0\) pour \(x>2\) : courbe au-dessous).

Partie 2 \(f_n(x)=(x+2n)e^{-2/x}\) si \(x>0\) et \(f_n(0)=0\), \(n\in\mathbb N^*\).

1.a) Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f_n\) à droite en \(0\).

Correction détaillée

🔢 \(f_n(x)\to0\) car \(e^{-2/x}\to0\) ; \(\dfrac{f_n(x)}x=\left(1+\dfrac{2n}x\right)e^{-2/x}\to0\) (avec \(X=\frac1x\) : \((1+2nX)e^{-2X}\to0\)).

✅ \(f_n\) est continue et dérivable à droite en \(0\), avec \((f_n)’_d(0)=0\).

1.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(x+2n\to+\infty\) et \(e^{-2/x}\to1\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f_n=+\infty\).

1.c) Calculer \(f_n'(x)\) puis dresser le tableau de variations de \(f_n\).

Correction détaillée

🔢 \(f_n'(x)=e^{-2/x}\left[1+\dfrac{2(x+2n)}{x^2}\right]=\dfrac{x^2+2x+4n}{x^2}\,e^{-2/x}>0\).

✅ \(f_n\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\), de \(0\) à \(+\infty\).

2) Montrer que l’équation \(f_n(x)=\dfrac2n\) admet une solution unique \(\alpha_n\) dans \(]0,+\infty[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème de la bijection (valeurs intermédiaires + stricte monotonie).

🔢 Étape 1 : \(f_n\) est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\), avec \(f_n([0,+\infty[)=[0,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac2n\in[0,+\infty[\) a un unique antécédent ; il est différent de \(0\) car \(f_n(0)=0\ne\dfrac2n\).

✅ L’équation \(f_n(x)=\dfrac2n\) admet une unique solution \(\alpha_n>0\).

3.a) Montrer que \((\forall x>0)\) : \(f_{n+1}(x)-\dfrac2{n+1}>f_n(x)-\dfrac2n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f_{n+1}(x)-f_n(x)=2e^{-2/x}>0\).

🔢 Étape 2 : \(-\dfrac2{n+1}>-\dfrac2n\) car \(\dfrac2{n+1}<\dfrac2n\).

✅ On additionne les deux inégalités : le résultat est démontré.

3.b) Déduire la monotonie de la suite \(\left(\alpha_n\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Avec \(x=\alpha_n\) dans 3.a) : \(f_{n+1}(\alpha_n)-\dfrac2{n+1}>f_n(\alpha_n)-\dfrac2n=0\), donc \(f_{n+1}(\alpha_n)>\dfrac2{n+1}=f_{n+1}(\alpha_{n+1})\).

🔢 Étape 2 : \(f_{n+1}\) est strictement croissante, donc \(\alpha_n>\alpha_{n+1}\).

✅ La suite \(\left(\alpha_n\right)\) est strictement décroissante.

3.c) Montrer que \(\left(\alpha_n\right)\) est convergente et que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\alpha_n=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\left(\alpha_n\right)\) est décroissante et minorée par \(0\) : elle converge.

🔢 Étape 2 : De \(f_n(\alpha_n)=\dfrac2n\) : \(e^{-2/\alpha_n}=\dfrac2{n\left(\alpha_n+2n\right)}\le\dfrac2{2n^2}=\dfrac1{n^2}\) (car \(\alpha_n>0\)).

🔢 Étape 3 : En passant au logarithme : \(-\dfrac2{\alpha_n}\le-2\ln n\), donc \(0<\alpha_n\le\dfrac1{\ln n}\) pour \(n\ge2\).

✅ Comme \(\dfrac1{\ln n}\to0\), par encadrement \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\alpha_n=0\).

Exercice 29

Soit \(f(x)=4^x-2^{x+1}\).

1) Déterminer \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 \(4^x=e^{x\ln4}\) et \(2^{x+1}=e^{(x+1)\ln2}\) sont définies sur \(\mathbb R\).

✅ \(D_f=\mathbb R\).

2) Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x\to-\infty\) : \(4^x\to0\) et \(2^{x+1}\to0\).

🔢 Étape 2 : \(x\to+\infty\) : \(f(x)=4^x\left(1-2\cdot2^{-x}\right)\) avec \(4^x\to+\infty\) et \(2^{-x}\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=0\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\).

3) Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau de variations.

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\left(a^x\right)’=a^x\ln a\).

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=\ln4\cdot4^x-\ln2\cdot2^{x+1}=2\ln2\cdot2^x\left(2^x-1\right)\) (car \(4^x=\left(2^x\right)^2\)).

🔢 Étape 2 : \(2^x-1\) est négatif si \(x<0\) et positif si \(x>0\) ; \(f(0)=1-2=-1\).

✅ \(f\) décroît de \(0\) à \(-1\) sur \(]-\infty,0]\), puis croît de \(-1\) à \(+\infty\) sur \([0,+\infty[\).

4) Étudier les branches infinies de \(\left(C_f\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

🔢 Étape 1 : En \(-\infty\) : \(f(x)\to0\).

🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{4^x}x\left(1-2\cdot2^{-x}\right)\to+\infty\).

✅ La droite \(y=0\) est asymptote en \(-\infty\) ; branche parabolique de direction l’axe des ordonnées en \(+\infty\).

Exercice 30

On considère \(f(x)=x^x\) pour \(x>0\) (prolongée en \(0\)).

1) Étudier la continuité de \(f\) à droite en \(0\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé lu sur le scan donne \(f(0)=0\), ce qui contredit \(\displaystyle\lim_{0^+}x^x=1\) : on corrige en \(f(0)=1\) (prolongement par continuité). Avec \(f(0)=0\), la question 1 aurait pour réponse « non continue ».

🔢 \(x^x=e^{x\ln x}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=0\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^x=1\).

✅ \(\displaystyle\lim_{0^+}f=1\) : avec \(f(0)=1\), \(f\) est continue à droite en \(0\) (avec \(f(0)=0\) comme imprimé, elle ne le serait pas).

2) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=\dfrac{e^{x\ln x}-1}x=\dfrac{e^{x\ln x}-1}{x\ln x}\cdot\ln x\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{e^X-1}X\to1\) avec \(X=x\ln x\to0\), et \(\ln x\to-\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-1}x=-\infty\) : \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) (demi-tangente verticale).

3) Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau de variations.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x>0\) : \(f'(x)=\left(\ln x+1\right)e^{x\ln x}=x^x\left(\ln x+1\right)\), du signe de \(\ln x+1\).

🔢 Étape 2 : \(\ln x+1=0\iff x=\dfrac1e\) ; \(f\left(\dfrac1e\right)=e^{-1/e}\approx0{,}69\).

✅ \(f\) décroît de \(1\) à \(e^{-1/e}\) sur \(\left[0,\dfrac1e\right]\), puis croît jusqu’à \(+\infty\) sur \(\left[\dfrac1e,+\infty\right[\).

4) Déterminer la nature de la branche infinie de \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

🔢 \(\dfrac{f(x)}x=x^{x-1}=e^{(x-1)\ln x}\to+\infty\).

✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

6) Résoudre dans \(\mathbb R^+\) l’équation \(f(x)=x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x>0\) : \(x^x=x\iff x\ln x=\ln x\iff(x-1)\ln x=0\iff x=1\) (car \(\ln x=0\iff x=1\)).

🔢 Étape 2 : En \(0\) : \(f(0)=1\ne0\).

✅ \(S=\{1\}\) (avec \(f(0)=0\) comme imprimé, \(0\) serait aussi solution).

7.a) On pose \(u_0=\dfrac1e\) et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\). Montrer que \(u_n\le1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=\dfrac1e<1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(0<u_n<1\), alors \(\ln u_n<0\) donc \(u_n\ln u_n<0\) et \(u_{n+1}=e^{u_n\ln u_n}\in]0,1[\).

✅ \((\forall n)\) : \(0<u_n<1\).

7.b) Étudier la monotonie de \(\left(u_n\right)\), puis déduire qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\in]0,1[\) : \(f(x)>x\iff x^{x-1}>1\iff(x-1)\ln x>0\), vrai car \(x-1<0\) et \(\ln x<0\).

🔢 Étape 2 : Donc \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)>u_n\).

✅ \(\left(u_n\right)\) est strictement croissante et majorée par \(1\) : elle est convergente.

7.c) Déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(\ell=\lim u_n\in\left[\dfrac1e,1\right]\). \(f\) est continue sur \(]0,1]\), donc \(f(\ell)=\ell\).

🔢 Étape 2 : D’après 6), \(\ell=1\).

✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1\).

Exercice 31

Pour \(n\in\mathbb N^*\), soit \(f_n(x)=\dfrac1{n!}\cdot\dfrac{(\ln x)^n}{x^2}\) sur \([1,+\infty[\), \(\left(C_n\right)\) sa courbe.

1) Dresser le tableau de variations de \(f_1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f_1(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}\), \(f_1′(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x^2-2x\ln x}{x^4}=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\).

🔢 Étape 2 : \(f_1′(x)=0\iff x=\sqrt e\) ; \(f_1(1)=0\), \(f_1\left(\sqrt e\right)=\dfrac1{2e}\) ; \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0\).

✅ \(f_1\) croît de \(0\) à \(\dfrac1{2e}\) sur \([1,\sqrt e]\), puis décroît vers \(0\) sur \([\sqrt e,+\infty[\).

2) Déterminer l’équation de la tangente \((T_1)\) à \(\left(C_1\right)\) au point d’abscisse \(1\).

Correction détaillée

🔢 \(f_1(1)=0\) et \(f_1′(1)=\dfrac{1-0}1=1\).

✅ \((T_1)\) : \(y=x-1\).

4) Dresser le tableau de variations de \(f_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f_n'(x)=\dfrac1{n!}\left[\dfrac{n(\ln x)^{n-1}}{x}\cdot\dfrac1{x^2}-\dfrac{2(\ln x)^n}{x^3}\right]=\dfrac{(\ln x)^{n-1}}{n!\,x^3}\left(n-2\ln x\right)\).

🔢 Étape 2 : Pour \(x>1\), \((\ln x)^{n-1}>0\) : \(f_n’\) a le signe de \(n-2\ln x\), nul pour \(x=e^{n/2}\).

🔢 Étape 3 : \(f_n(1)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=0\) (avec \(X=\ln x\) : \(\dfrac{X^n}{n!\,e^{2X}}\to0\)).

✅ \(f_n\) croît de \(0\) jusqu’à \(f_n\left(e^{n/2}\right)\) sur \(\left[1,e^{n/2}\right]\), puis décroît vers \(0\) sur \(\left[e^{n/2},+\infty\right[\).

5.a) Étudier le signe sur \([1,+\infty[\) de \(f_2(x)-f_1(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f_2(x)-f_1(x)=\dfrac{(\ln x)^2}{2x^2}-\dfrac{\ln x}{x^2}=\dfrac{\ln x}{2x^2}\left(\ln x-2\right)\).

🔢 Étape 2 : Pour \(x\ge1\), \(\ln x\ge0\) ; \(\ln x-2\le0\iff x\le e^2\).

✅ \(f_2-f_1\le0\) sur \([1,e^2]\) et \(f_2-f_1\ge0\) sur \([e^2,+\infty[\).

5.b) Déduire les positions relatives de \(\left(C_1\right)\) et \(\left(C_2\right)\).

Correction détaillée

🔢 D’après 5.a), le signe de \(f_2-f_1\) change en \(x=e^2\) (et s’annule en \(x=1\)).

✅ \(\left(C_2\right)\) est au-dessous de \(\left(C_1\right)\) sur \([1,e^2]\), au-dessus sur \([e^2,+\infty[\) ; elles se coupent en \(x=1\) et \(x=e^2\).

6.a) On pose \(u_n=\) maximum de \(f_n\). Vérifier que \(u_n=\dfrac1{n!}\left(\dfrac n{2e}\right)^n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Le maximum est atteint en \(x=e^{n/2}\) : \(\ln x=\dfrac n2\) et \(x^2=e^n\).

🔢 Étape 2 : \(u_n=\dfrac1{n!}\cdot\dfrac{(n/2)^n}{e^n}\).

✅ \(u_n=\dfrac1{n!}\left(\dfrac n{2e}\right)^n\).

6.b) Pour \(x\in]1,+\infty[\), calculer \(\dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=\dfrac{(\ln x)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{(\ln x)^n}\).

✅ \(\dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=\dfrac{\ln x}{n+1}\).

6.c) Montrer que \(u_{n+1}=\dfrac12f_n\left(e^{\frac{n+1}2}\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}=f_{n+1}\left(e^{\frac{n+1}2}\right)\) et d’après 6.b) avec \(x=e^{\frac{n+1}2}\) : \(\ln x=\dfrac{n+1}2\).

✅ \(u_{n+1}=\dfrac{n+1}{2(n+1)}f_n\left(e^{\frac{n+1}2}\right)=\dfrac12f_n\left(e^{\frac{n+1}2}\right)\).

6.d) Déduire que \(u_n\le\dfrac1e\cdot\dfrac1{2^n}\) \((\forall n\ge1)\) et déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f_n\left(e^{\frac{n+1}2}\right)\le u_n\) (maximum de \(f_n\)), donc \(u_{n+1}\le\dfrac12u_n\).

🔢 Étape 2 : Par récurrence : \(u_n\le\dfrac{u_1}{2^{n-1}}\) avec \(u_1=\dfrac1{2e}\), donc \(u_n\le\dfrac1{2e}\cdot\dfrac2{2^n}=\dfrac1{e\,2^n}\).

✅ \(0<u_n\le\dfrac1{e\,2^n}\to0\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

Exercice 32

Première partie \(h(x)=xe^x+1\) sur \(\mathbb R\).

1.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}h(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(xe^x\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(xe^x\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}h=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}h=1\).

1.b) Calculer \(h'(x)\) puis étudier les variations de \(h\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(h'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x\), du signe de \(x+1\).

🔢 Étape 2 : \(h(-1)=1-\dfrac1e\).

✅ \(h\) décroît sur \(]-\infty,-1]\) et croît sur \([-1,+\infty[\), de minimum \(h(-1)=1-\dfrac1e\).

2) En déduire le signe de \(h(x)\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Minimum de \(h\) : \(1-\dfrac1e>0\).

✅ \(h(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Deuxième partie \(g(x)=x-e^x+2\) sur \(\mathbb R\).

1.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(g(x)=x\left(1-\dfrac{e^x}x\right)+2\) avec \(\dfrac{e^x}x\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(e^x\to0\) donc \(g(x)\approx x+2\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}g=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}g=-\infty\).

1.b) Calculer \(g'(x)\) puis étudier les variations de \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)=1-e^x\), positif si \(x<0\), négatif si \(x>0\) ; \(g(0)=1\).

✅ \(g\) croît sur \(]-\infty,0]\) et décroît sur \([0,+\infty[\), maximum \(g(0)=1\).

2) Montrer que l’équation \(g(x)=0\) admet deux solutions réelles distinctes \(\alpha\) et \(\beta\) (\(\alpha>\beta\)), puis que \(1{,}14<\alpha<1{,}15\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème des valeurs intermédiaires + stricte monotonie.

🔢 Étape 1 : Sur \(]-\infty,0]\) : \(g\) est continue, strictement croissante de \(-\infty\) à \(1\) : elle s’annule une seule fois, en \(\beta<0\).

🔢 Étape 2 : Sur \([0,+\infty[\) : \(g\) est continue, strictement décroissante de \(1\) à \(-\infty\) : elle s’annule une seule fois, en \(\alpha>0\).

🔢 Étape 3 : \(g(1{,}14)\approx0{,}013>0\) et \(g(1{,}15)\approx-0{,}008<0\).

✅ \(g(x)=0\) admet exactement deux solutions \(\beta<0<\alpha\), avec \(1{,}14<\alpha<1{,}15\).

3) En déduire le signe de \(g(x)\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 D’après les variations de \(g\) et ses deux zéros.

✅ \(g(x)>0\) sur \(]\beta,\alpha[\) ; \(g(x)<0\) sur \(]-\infty,\beta[\cup]\alpha,+\infty[\) ; \(g(\alpha)=g(\beta)=0\).

Troisième partie \(f(x)=\dfrac{e^x-1}{xe^x+1}\) sur \(\mathbb R\).

1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(f(x)=\dfrac{1-e^{-x}}{x+e^{-x}}\to\dfrac{1}{+\infty}\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(e^x\to0\), \(xe^x\to0\) : numérateur \(\to-1\), dénominateur \(\to1\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=0\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=-1\).

2.a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : Le dénominateur \(xe^x+1=h(x)>0\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{e^x\left(xe^x+1\right)-\left(e^x-1\right)(x+1)e^x}{\left(xe^x+1\right)^2}=\dfrac{e^x\left[xe^x+1-(x+1)e^x+x+1\right]}{\left(xe^x+1\right)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{e^x\left(x+2-e^x\right)}{\left(xe^x+1\right)^2}=\dfrac{e^xg(x)}{\left(xe^x+1\right)^2}\).

2.b) Étudier les variations de \(f\), puis dresser le tableau de variations.

Correction détaillée

🔢 Le signe de \(f’\) est celui de \(g\) (deuxième partie).

✅ \(f\) décroît sur \(]-\infty,\beta]\) (de \(-1\) à \(f(\beta)\)), croît sur \([\beta,\alpha]\), puis décroît sur \([\alpha,+\infty[\) vers \(0\).

3.a) Montrer que \(f(\alpha)=\dfrac1{\alpha+1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g(\alpha)=0\iff e^\alpha=\alpha+2\).

🔢 Étape 2 : \(f(\alpha)=\dfrac{e^\alpha-1}{\alpha e^\alpha+1}=\dfrac{\alpha+1}{\alpha(\alpha+2)+1}=\dfrac{\alpha+1}{(\alpha+1)^2}\).

✅ \(f(\alpha)=\dfrac1{\alpha+1}\).

3.b) Donner un encadrement de \(f(\alpha)\) d’amplitude \(10^{-2}\).

Correction détaillée

🔢 \(1{,}14<\alpha<1{,}15\) donc \(2{,}14<\alpha+1<2{,}15\), puis \(\dfrac1{2{,}15}<f(\alpha)<\dfrac1{2{,}14}\), soit \(0{,}465<f(\alpha)<0{,}468\).

✅ \(0{,}46<f(\alpha)<0{,}47\).

4) Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \(\left(C_f\right)\) au point d’abscisse \(0\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=0\) et \(f'(0)=\dfrac{e^0g(0)}{1}=1\).

✅ \((T)\) : \(y=x\).

5.a) Montrer que \(f(x)-x=\dfrac{(x+1)u(x)}{xe^x+1}\) avec \(u(x)=e^x-xe^x-1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)-x=\dfrac{e^x-1-x\left(xe^x+1\right)}{xe^x+1}=\dfrac{e^x-x^2e^x-x-1}{xe^x+1}\).

🔢 Étape 2 : \((x+1)\left(e^x-xe^x-1\right)=xe^x-x^2e^x-x+e^x-xe^x-1=e^x-x^2e^x-x-1\).

✅ Les deux numérateurs sont égaux : l’égalité est démontrée.

5.b) Étudier les variations de \(u\).

Correction détaillée

🔢 \(u'(x)=e^x-e^x-xe^x=-xe^x\), du signe de \(-x\) ; \(u(0)=0\).

✅ \(u\) croît sur \(]-\infty,0]\) et décroît sur \([0,+\infty[\), maximum \(u(0)=0\).

5.c) En déduire le signe de \(u\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Le maximum de \(u\) est \(0\).

✅ \(u(x)\le0\) pour tout \(x\), avec égalité seulement en \(x=0\).

5.d) En déduire les positions relatives de \(\left(C_f\right)\) et \((T)\).

Correction détaillée

🔢 \(xe^x+1>0\), \(u(x)<0\) pour \(x\ne0\) : le signe de \(f(x)-x\) est l’opposé du signe de \(x+1\).

✅ \(\left(C_f\right)\) est au-dessus de \((T)\) sur \(]-\infty,-1[\), au-dessous sur \(]-1,0[\cup]0,+\infty[\) ; elles se coupent en \(x=-1\) et sont tangentes en \(x=0\).

Exercice 33

Première partie \(g(x)=x-1+e^{-x}\) sur \(\mathbb R\).

1) Calculer \(g'(x)\) puis étudier les variations de \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)=1-e^{-x}\), négatif si \(x<0\), positif si \(x>0\) ; \(g(0)=0\).

✅ \(g\) décroît sur \(]-\infty,0]\), croît sur \([0,+\infty[\), minimum \(g(0)=0\).

2) Dresser le tableau de variations de \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty\) (car \(e^{-x}\to+\infty\)) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).

✅ \(g\) décroît de \(+\infty\) à \(0\) puis croît de \(0\) à \(+\infty\).

3.a) Montrer que \(g(x)\ge0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Le minimum de \(g\) est \(g(0)=0\).

✅ \(g(x)\ge0\) sur \(\mathbb R\).

3.b) Déduire que \(x+e^{-x}\ge1\).

Correction détaillée

🔢 \(g(x)\ge0\iff x-1+e^{-x}\ge0\).

✅ \(x+e^{-x}\ge1\).

Deuxième partie \(f(x)=\dfrac x{x+e^{-x}}\).

1) Déterminer \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 D’après 3.b) : \(x+e^{-x}\ge1>0\).

✅ \(D_f=\mathbb R\).

2) Montrer que \((\forall x\in\mathbb R^*)\) : \(f(x)=\dfrac1{1+\frac1{xe^x}}\).

Correction détaillée

🔢 On divise numérateur et dénominateur par \(x\) : \(f(x)=\dfrac1{1+\frac{e^{-x}}x}\) et \(\dfrac{e^{-x}}x=\dfrac1{xe^x}\).

✅ \(f(x)=\dfrac1{1+\frac1{xe^x}}\).

3.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(xe^x\to+\infty\) donc \(\dfrac1{xe^x}\to0\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(f(x)=\dfrac{xe^x}{xe^x+1}\) et \(xe^x\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=1\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=0\).

3.b) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

Correction détaillée

🔢 Ces limites sont finies.

✅ \(y=1\) est asymptote horizontale en \(+\infty\) et \(y=0\) (axe des abscisses) en \(-\infty\).

4.a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(f'(x)=\dfrac{\left(x+e^{-x}\right)-x\left(1-e^{-x}\right)}{\left(x+e^{-x}\right)^2}=\dfrac{e^{-x}+xe^{-x}}{\left(x+e^{-x}\right)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{(x+1)e^{-x}}{\left(x+e^{-x}\right)^2}\).

4.b) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(f’\) a le signe de \(x+1\) ; \(f(-1)=\dfrac{-1}{-1+e}=-\dfrac1{e-1}\).

✅ \(f\) décroît de \(0\) à \(-\dfrac1{e-1}\) sur \(]-\infty,-1]\), puis croît de \(-\dfrac1{e-1}\) à \(1\) sur \([-1,+\infty[\).

5.a) Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \(\left(C_f\right)\) au point d’abscisse \(0\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=0\) et \(f'(0)=\dfrac{1\cdot1}{1}=1\).

✅ \((T)\) : \(y=x\).

5.b) Vérifier que \(x-f(x)=\dfrac{xg(x)}{g(x)+1}\), puis étudier le signe de \(x-f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x-f(x)=\dfrac{x\left(x+e^{-x}\right)-x}{x+e^{-x}}=\dfrac{x\left(x+e^{-x}-1\right)}{x+e^{-x}}\) et \(g(x)+1=x+e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : \(g(x)\ge0\) et \(g(x)+1>0\) : le signe est celui de \(x\).

✅ \(x-f(x)\ge0\iff x\ge0\).

5.c) En déduire les positions relatives de \(\left(C_f\right)\) et \((T)\).

Correction détaillée

🔢 D’après 5.b).

✅ \(\left(C_f\right)\) est au-dessus de \((T)\) pour \(x<0\), au-dessous pour \(x>0\) (tangente en \(O\)).

Troisième partie \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\).

1) Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(0\le u_n\le1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(0\le u_n\le1\), comme \(f\) est croissante sur \([0,1]\) avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=\dfrac e{e+1}<1\), on a \(0\le u_{n+1}\le1\).

✅ \((\forall n)\) : \(0\le u_n\le1\).

2) Montrer que \(\left(u_n\right)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=f\left(u_n\right)-u_n=-\dfrac{u_ng\left(u_n\right)}{g\left(u_n\right)+1}\le0\) d’après 5.b) (\(u_n\ge0\)).

✅ \(\left(u_n\right)\) est décroissante.

3) Montrer que \(\left(u_n\right)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\left(u_n\right)\) converge vers \(\ell\), \(f\) est continue et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\), alors \(f(\ell)=\ell\).

🔢 Étape 1 : Décroissante et minorée par \(0\) : elle converge vers \(\ell\ge0\).

🔢 Étape 2 : \(f\) est continue : \(f(\ell)=\ell\iff\ell g(\ell)=0\iff\ell=0\) (car \(g(\ell)=0\iff\ell=0\)).

✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

Exercice 34

Soit \(f(x)=\dfrac{x\left(e^{2x}-1\right)}{e^{2x}+1}\) sur \(\mathbb R\).

1.a) Vérifier que \(f(x)=\dfrac{x\left(1-e^{-2x}\right)}{1+e^{-2x}}\).

Correction détaillée

🔢 On multiplie numérateur et dénominateur par \(e^{-2x}\).

✅ \(f(x)=\dfrac{x\left(e^{2x}-1\right)e^{-2x}}{\left(e^{2x}+1\right)e^{-2x}}=\dfrac{x\left(1-e^{-2x}\right)}{1+e^{-2x}}\).

1.b) Étudier la parité de \(f\) et interpréter graphiquement.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(D_f=\mathbb R\) est symétrique par rapport à \(0\).

🔢 Étape 2 : \(f(-x)=\dfrac{-x\left(1-e^{2x}\right)}{1+e^{2x}}=\dfrac{x\left(e^{2x}-1\right)}{e^{2x}+1}=f(x)\).

✅ \(f\) est paire : \(\left(C_f\right)\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\to1\) et \(x\to+\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\).

2.b) Montrer que la droite \((\Delta)\) : \(y=x\) est asymptote oblique à \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)-x=x\left[\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}-1\right]=\dfrac{-2x}{e^{2x}+1}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{-2x}{e^{2x}+1}\sim-2xe^{-2x}\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}\left(f(x)-x\right)=0\) : \((\Delta)\) est asymptote oblique en \(+\infty\).

2.c) En déduire les positions relatives de \(\left(C_f\right)\) et \((\Delta)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=\dfrac{-2x}{e^{2x}+1}\), du signe de \(-x\).

✅ \(\left(C_f\right)\) est au-dessous de \((\Delta)\) sur \(]0,+\infty[\) (et au-dessus pour \(x<0\)) ; elles se coupent en \(O\).

3.a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(\left(\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\right)’=\dfrac{2e^{2x}\left(e^{2x}+1\right)-2e^{2x}\left(e^{2x}-1\right)}{\left(e^{2x}+1\right)^2}=\dfrac{4e^{2x}}{\left(e^{2x}+1\right)^2}\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}+\dfrac{4xe^{2x}}{\left(e^{2x}+1\right)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{e^{4x}-1+4xe^{2x}}{\left(e^{2x}+1\right)^2}\).

3.b) Calculer \(f'(0)\) et interpréter graphiquement.

Correction détaillée

🔢 \(f'(0)=\dfrac{1-1+0}{4}=0\).

✅ \(f'(0)=0\) : \(\left(C_f\right)\) admet une tangente horizontale à l’origine.

3.c) Montrer que \((\forall x\in\mathbb R^+)\) : \(e^{4x}-1\ge0\).

Correction détaillée

🔢 \(x\ge0\Rightarrow4x\ge0\Rightarrow e^{4x}\ge e^0=1\).

✅ \(e^{4x}-1\ge0\) pour \(x\ge0\).

3.d) En déduire le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb R^+\), puis dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\ge0\) : \(e^{4x}-1\ge0\) et \(4xe^{2x}\ge0\), donc \(f'(x)\ge0\) (\(>0\) si \(x>0\)).

🔢 Étape 2 : \(f\) étant paire, elle est décroissante sur \(\mathbb R^-\).

✅ \(f\) est croissante sur \([0,+\infty[\) (de \(0\) à \(+\infty\)) et décroissante sur \(]-\infty,0]\) ; minimum \(f(0)=0\).

Exercice 35

Première partie \(g(x)=x+e^{-x}\) sur \(\mathbb R\).

1) Calculer \(g'(x)\) puis étudier les variations de \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)=1-e^{-x}\), négatif si \(x<0\), positif si \(x>0\) ; \(g(0)=1\).

✅ \(g\) décroît sur \(]-\infty,0]\), croît sur \([0,+\infty[\), minimum \(g(0)=1\).

2.a) Montrer que \(g(x)\ge1\).

Correction détaillée

🔢 Le minimum de \(g\) est \(1\).

✅ \((\forall x\in\mathbb R)\) : \(g(x)\ge1\).

2.b) Déduire que \((\forall x\in\mathbb R)\) : \(1+xe^x>0\).

Correction détaillée

🔢 On multiplie \(g(x)\ge1\) par \(e^x>0\) : \(xe^x+1\ge e^x\).

✅ \(1+xe^x\ge e^x>0\).

Deuxième partie \(f(x)=\ln\left(1+xe^x\right)\).

1) Déterminer \(D_f\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(D_f=\{x:1+xe^x>0\}=\mathbb R\) d’après 2.b).

🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(1+xe^x\to+\infty\).

✅ \(D_f=\mathbb R\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\).

2) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et interpréter graphiquement.

Correction détaillée

🔢 \(xe^x\to0\), donc \(1+xe^x\to1\) et \(\ln\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=0\) : l’axe des abscisses est asymptote en \(-\infty\).

3.a) Calculer \(f'(x)\) \((\forall x\in D_f)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((\ln u)’=\dfrac{u’}u\).

🔢 \(f’=\dfrac{u’}u\) avec \(u=1+xe^x\), \(u’=(x+1)e^x\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{(x+1)e^x}{1+xe^x}\).

3.b) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 \(f’\) a le signe de \(x+1\) ; \(f(-1)=\ln\left(1-\dfrac1e\right)\approx-0{,}46\).

✅ \(f\) décroît de \(0\) à \(\ln\left(1-\dfrac1e\right)\) sur \(]-\infty,-1]\), puis croît jusqu’à \(+\infty\) sur \([-1,+\infty[\).

4.a) Vérifier que \((\forall x\in\mathbb R^{*+})\) : \(f(x)=x+\ln x+\ln\left(1+\dfrac1{xe^x}\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(1+xe^x=xe^x\left(1+\dfrac1{xe^x}\right)\) pour \(x>0\), donc \(f(x)=\ln x+x+\ln\left(1+\dfrac1{xe^x}\right)\).

✅ L’égalité est vérifiée.

4.b) Étudier la branche infinie de \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

⚠️ Pas d’asymptote oblique car \(f(x)-x\to+\infty\) ; la direction asymptotique est celle de \(y=x\).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)}x=1+\dfrac{\ln x}x+\dfrac{\ln\left(1+\frac1{xe^x}\right)}x\to1\).

🔢 Étape 2 : \(f(x)-x=\ln x+\ln\left(1+\dfrac1{xe^x}\right)\to+\infty\).

✅ Branche parabolique de direction la droite \(y=x\).

Exercice 36

Première partie \(g(x)=2x-(x-1)\ln(x-1)\).

1) Déterminer \(D_g\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}g(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x-1>0\), donc \(D_g=]1,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : Avec \(X=x-1\to0^+\) : \(X\ln X\to0\) et \(2x\to2\).

✅ \(D_g=]1,+\infty[\) et \(\displaystyle\lim_{1^+}g=2\).

2) Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in D_g\), puis étudier les variations de \(g\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(g'(x)=2-\ln(x-1)-(x-1)\cdot\dfrac1{x-1}=1-\ln(x-1)\).

🔢 Étape 2 : \(g'(x)=0\iff x-1=e\iff x=e+1\) ; \(g(e+1)=2e+2-e=e+2\).

🔢 Étape 3 : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim x\left[2-\left(1-\tfrac1x\right)\ln(x-1)\right]=-\infty\).

✅ \(g\) croît de \(2\) à \(e+2\) sur \(]1,e+1]\), puis décroît de \(e+2\) à \(-\infty\) sur \([e+1,+\infty[\).

3.a) Montrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\left[e+1,e^3+1\right]\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème de la bijection.

🔢 Étape 1 : \(g(e+1)=e+2>0\) et \(g\left(e^3+1\right)=2e^3+2-3e^3=2-e^3<0\) (car \(e^3\approx20\)).

🔢 Étape 2 : \(g\) est continue et strictement décroissante sur \([e+1,e^3+1]\).

✅ Il existe un unique \(\alpha\in\left[e+1,e^3+1\right]\) tel que \(g(\alpha)=0\).

3.b) Déterminer le signe de \(g(x)\) sur \(]1,\alpha]\) et \([\alpha,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Sur \(]1,e+1]\), \(g\ge2>0\) ; sur \([e+1,\alpha]\), \(g\) décroît jusqu’à \(0\) ; puis \(g<0\) après \(\alpha\).

✅ \(g(x)\ge0\) sur \(]1,\alpha]\) et \(g(x)\le0\) sur \([\alpha,+\infty[\).

Deuxième partie \(f(x)=\dfrac{\ln\left(e^{2x}-1\right)}{e^x}\).

1.a) Déterminer \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 \(e^{2x}-1>0\iff x>0\).

✅ \(D_f=]0,+\infty[\).

1.b) Trouver les limites de \(f\) aux bornes de \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(0^+\) : \(\ln\left(e^{2x}-1\right)\to-\infty\) et \(e^x\to1\).

🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(\ln\left(e^{2x}-1\right)=2x+\ln\left(1-e^{-2x}\right)\), donc \(f(x)=\left(2x+\ln\left(1-e^{-2x}\right)\right)e^{-x}\to0\) (car \(xe^{-x}\to0\)).

✅ \(\displaystyle\lim_{0^+}f=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=0\).

2.a) Calculer \(f'(x)\) \((\forall x\in D_f)\), puis dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=\dfrac{\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}\cdot e^x-\ln\left(e^{2x}-1\right)e^x}{e^{2x}}=e^{-x}\cdot\dfrac{2e^{2x}-\left(e^{2x}-1\right)\ln\left(e^{2x}-1\right)}{e^{2x}-1}\).

🔢 Étape 2 : Avec \(y=e^{2x}>1\) : le numérateur est \(g\left(e^{2x}\right)\) (première partie). Donc \(f'(x)=\dfrac{e^{-x}\,g\left(e^{2x}\right)}{e^{2x}-1}\).

🔢 Étape 3 : \(g\left(e^{2x}\right)>0\iff e^{2x}<\alpha\iff x<x_0\) avec \(x_0=\dfrac12\ln\alpha\).

✅ \(f\) croît de \(-\infty\) à \(f(x_0)\) sur \(]0,x_0]\), puis décroît vers \(0\) sur \([x_0,+\infty[\).

2.b) Montrer que \((\forall x\in D_f)\) : \(f(x)\le\dfrac{2\sqrt\alpha}{\alpha-1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Le maximum de \(f\) est \(f(x_0)=\dfrac{\ln(\alpha-1)}{\sqrt\alpha}\) (car \(e^{x_0}=\sqrt\alpha\) et \(e^{2x_0}-1=\alpha-1\)).

🔢 Étape 2 : \(g(\alpha)=0\iff2\alpha=(\alpha-1)\ln(\alpha-1)\iff\ln(\alpha-1)=\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}\).

✅ \(f(x)\le f(x_0)=\dfrac{2\alpha}{(\alpha-1)\sqrt\alpha}=\dfrac{2\sqrt\alpha}{\alpha-1}\).

Exercice 37

Première partie \(g(x)=e^x+2x-e^{-x}\) sur \([0,+\infty[\).

1) Calculer \(g'(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)=e^x+2+e^{-x}\).

✅ \(g'(x)=e^x+2+e^{-x}\).

2) Dresser le tableau de variations de \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)>0\) ; \(g(0)=1-1=0\) ; \(\displaystyle\lim_{+\infty}g=+\infty\).

✅ \(g\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\), de \(0\) à \(+\infty\).

3) Déduire que \(g(x)\ge0\) pour tout \(x\in[0,+\infty[\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit \(g(x)\succ0\) ; comme \(g(0)=0\), l’inégalité stricte n’est vraie que pour \(x>0\).

🔢 \(g\) est croissante et \(g(0)=0\).

✅ \(g(x)\ge0\) sur \([0,+\infty[\) (strictement positif pour \(x>0\)).

Deuxième partie \(f(x)=x-\dfrac{2x}{1+e^x}\).

1) Déterminer \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 \(1+e^x>0\).

✅ \(D_f=\mathbb R\).

2.a) Vérifier que \((\forall x\in\mathbb R)\) : \(\dfrac{2x}{e^{-x}+1}=2x-\dfrac{2x}{1+e^x}\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{2x}{e^{-x}+1}=\dfrac{2xe^x}{1+e^x}=\dfrac{2x\left(1+e^x\right)-2x}{1+e^x}\).

✅ \(\dfrac{2x}{e^{-x}+1}=2x-\dfrac{2x}{1+e^x}\).

2.b) Étudier la parité de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après 2.a) : \(f(x)=-x+\dfrac{2x}{1+e^{-x}}\).

🔢 Étape 2 : Par ailleurs, d’après la définition : \(f(-x)=-x-\dfrac{2(-x)}{1+e^{-x}}=-x+\dfrac{2x}{1+e^{-x}}\).

✅ \(f(-x)=f(x)\) : \(f\) est paire.

3) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{2x}{1+e^x}\to0\) car \(\dfrac x{e^x}\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\).

4.a) Montrer que \((\forall x\in D_f)\) : \(f'(x)=\dfrac{g(x)e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\).

Correction détaillée

⚠️ La formule fait intervenir \(g\), définie seulement sur \([0,+\infty[\) : l’égalité est démontrée pour \(x\ge0\) (avec \(g(x)=e^x-e^{-x}+2x\), elle vaut en réalité sur tout \(\mathbb R\)).

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=1-2\cdot\dfrac{\left(1+e^x\right)-xe^x}{\left(1+e^x\right)^2}=\dfrac{e^{2x}-1+2xe^x}{\left(1+e^x\right)^2}\).

🔢 Étape 2 : \(e^{2x}-1+2xe^x=e^x\left(e^x-e^{-x}+2x\right)=e^xg(x)\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{g(x)e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\) pour \(x\ge0\).

4.b) Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(g(x)>0\) pour \(x>0\), \(e^x>0\) : \(f'(x)>0\) sur \(]0,+\infty[\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).

4.c) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=0\) ; \(f\) paire donc décroissante sur \(]-\infty,0]\).

✅ \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(0\) sur \(]-\infty,0]\), puis croît de \(0\) à \(+\infty\) sur \([0,+\infty[\).

5.a) Montrer que la droite \((\Delta)\) : \(y=x\) est asymptote oblique à \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=-\dfrac{2x}{1+e^x}\to0\).

✅ \((\Delta)\) est asymptote oblique en \(+\infty\).

5.b) Étudier les positions relatives de \(\left(C_f\right)\) et \((\Delta)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=-\dfrac{2x}{1+e^x}\), du signe de \(-x\).

✅ \(\left(C_f\right)\) est au-dessous de \((\Delta)\) pour \(x>0\), au-dessus pour \(x<0\), et ils se coupent en \(O\).

Troisième partie \(u_0=\ln2\) et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\).

1) Montrer par récurrence que \(u_n>0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=\ln2>0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>0\), comme \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\) avec \(f(0)=0\), on a \(f\left(u_n\right)>0\).

✅ \((\forall n)\) : \(u_n>0\).

2) Montrer que \(\left(u_n\right)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=f\left(u_n\right)-u_n=-\dfrac{2u_n}{1+e^{u_n}}<0\) car \(u_n>0\).

✅ \(\left(u_n\right)\) est strictement décroissante.

3) Montrer que \(\left(u_n\right)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\left(u_n\right)\) converge vers \(\ell\), \(f\) est continue et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\), alors \(f(\ell)=\ell\).

🔢 Étape 1 : Décroissante et minorée par \(0\) : elle converge vers \(\ell\ge0\).

🔢 Étape 2 : \(f(\ell)=\ell\iff\dfrac{2\ell}{1+e^\ell}=0\iff\ell=0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

Exercice 38

Soit \(f(x)=x+\ln\left|e^x-2\right|\) sur \(\mathbb R\).

1.a) Déterminer \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 \(\ln\left|e^x-2\right|\) existe si \(e^x-2\ne0\iff x\ne\ln2\).

✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{\ln2\}\).

1.b) Trouver les limites de \(f\) aux bornes des intervalles de \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(-\infty\) : \(e^x\to0\), \(\ln\left|e^x-2\right|\to\ln2\), donc \(f(x)\approx x+\ln2\to-\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(\ln2\) : \(\left|e^x-2\right|\to0^+\), donc \(\ln\left|e^x-2\right|\to-\infty\).

🔢 Étape 3 : En \(+\infty\) : \(f(x)=x+\ln\left(e^x-2\right)\to+\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=-\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{(\ln2)^\pm}f=-\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\).

2) Déterminer l’asymptote oblique à \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(-\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-(x+\ln2)=\ln\left|e^x-2\right|-\ln2=\ln\left(1-\dfrac{e^x}2\right)\to\ln1=0\).

✅ La droite \(y=x+\ln2\) est asymptote oblique en \(-\infty\).

3.a) Montrer que \((\forall x\in]\ln2,+\infty[)\) : \(f(x)=2x+\ln\left(1-\dfrac2{e^x}\right)\).

Correction détaillée

🔢 Pour \(x>\ln2\) : \(e^x-2>0\) et \(e^x-2=e^x\left(1-2e^{-x}\right)\).

✅ \(f(x)=x+\ln e^x+\ln\left(1-\dfrac2{e^x}\right)=2x+\ln\left(1-\dfrac2{e^x}\right)\).

3.b) Étudier la branche infinie de \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-2x=\ln\left(1-2e^{-x}\right)\to\ln1=0\).

✅ La droite \(y=2x\) est asymptote oblique en \(+\infty\).

4.a) Montrer que \((\forall x\in D_f)\) : \(f'(x)=\dfrac{2\left(e^x-1\right)}{e^x-2}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\left(\ln|u|\right)’=\dfrac{u’}u\).

🔢 \(\left(\ln|u|\right)’=\dfrac{u’}u\) avec \(u=e^x-2\) : \(f'(x)=1+\dfrac{e^x}{e^x-2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{e^x-2+e^x}{e^x-2}=\dfrac{2\left(e^x-1\right)}{e^x-2}\).

4.b) Dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Signe de \(\dfrac{e^x-1}{e^x-2}\) : positif sur \(]-\infty,0[\) (deux facteurs négatifs), négatif sur \(]0,\ln2[\), positif sur \(]\ln2,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : \(f(0)=0+\ln|1-2|=0\).

✅ \(f\) croît de \(-\infty\) à \(0\) sur \(]-\infty,0]\), décroît de \(0\) à \(-\infty\) sur \([0,\ln2[\), puis croît de \(-\infty\) à \(+\infty\) sur \(]\ln2,+\infty[\).

5) Résoudre dans \(]\ln2,+\infty[\) l’équation \(f(x)=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)=0\iff\ln\left(e^x-2\right)=-x\iff e^x-2=e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : Avec \(X=e^x>2\) : \(X-2=\dfrac1X\iff X^2-2X-1=0\iff X=1\pm\sqrt2\). Seule \(X=1+\sqrt2\) est \(>2\).

✅ \(S=\left\{\ln\left(1+\sqrt2\right)\right\}\) (\(\approx0{,}88\)).

6) Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \(\left(C_f\right)\) au point d’abscisse \(\ln3\).

Correction détaillée

🔢 \(f(\ln3)=\ln3+\ln|3-2|=\ln3\) et \(f'(\ln3)=\dfrac{2(3-1)}{3-2}=4\).

✅ \((T)\) : \(y=4(x-\ln3)+\ln3=4x-3\ln3\).

Exercice 39

Première partie \(h(x)=xe^x+e^x-1\).

1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}h(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(h(x)=(x+1)e^x-1\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \((x+1)e^x\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}h=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}h=-1\).

2) Calculer \(h'(x)\) puis étudier les variations de \(h\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(h'(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x\), du signe de \(x+2\).

✅ \(h\) décroît sur \(]-\infty,-2]\), croît sur \([-2,+\infty[\) ; minimum \(h(-2)=-e^{-2}-1\).

3.a) Dresser le tableau de variations de \(h\).

Correction détaillée

🔢 \(h\) décroît de \(-1\) à \(-1-e^{-2}\), puis croît de \(-1-e^{-2}\) à \(+\infty\).

✅ Tableau de variations de \(h\) dressé ci-dessus.

3.b) Calculer \(h(0)\), puis déduire le signe de \(h\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(h(0)=0+1-1=0\).

🔢 Étape 2 : Sur \(]-\infty,-2]\), \(h\le-1<0\) ; sur \([-2,0]\), \(h\) est croissante donc \(h\le h(0)=0\) ; sur \([0,+\infty[\), \(h\ge h(0)=0\).

✅ \(h(x)<0\) pour \(x<0\), \(h(0)=0\), \(h(x)>0\) pour \(x>0\).

Deuxième partie \(g(x)=xe^x-x+1\).

1) Montrer que \(g'(x)=h(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)=e^x+xe^x-1\).

✅ \(g'(x)=xe^x+e^x-1=h(x)\).

2.a) Étudier les variations de la fonction \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(g’=h\) est négative sur \(]-\infty,0]\) et positive sur \([0,+\infty[\).

✅ \(g\) décroît sur \(]-\infty,0]\) et croît sur \([0,+\infty[\).

2.b) Calculer \(g(0)\), puis déduire que \(g(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(g(0)=0-0+1=1\) est le minimum de \(g\).

✅ \(g(x)\ge1>0\).

3.a) Vérifier que \(g(x)-e^x=(x-1)\left(e^x-1\right)\).

Correction détaillée

🔢 \((x-1)\left(e^x-1\right)=xe^x-x-e^x+1\).

✅ \(g(x)-e^x=xe^x-x+1-e^x\) : égalité vérifiée.

3.b) Déduire que \((\forall x\in[0,1])\) : \(g(x)\le e^x\).

Correction détaillée

🔢 Sur \([0,1]\) : \(x-1\le0\) et \(e^x-1\ge0\), donc \((x-1)\left(e^x-1\right)\le0\).

✅ \(g(x)\le e^x\) sur \([0,1]\).

Troisième partie \(f(x)=\ln\left(xe^x-x+1\right)=\ln g(x)\) sur \(\mathbb R\).

1.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(g(x)=x\left(e^x-1\right)+1\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(xe^x\to0\) et \(-x\to+\infty\), donc \(g(x)\to+\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=+\infty\).

1.b) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{h(x)}{g(x)}\), puis dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f’=\dfrac{g’}g=\dfrac hg\) avec \(g>0\).

🔢 Étape 2 : Le signe de \(f’\) est celui de \(h\) ; \(f(0)=\ln1=0\).

✅ \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(0\) sur \(]-\infty,0]\), puis croît de \(0\) à \(+\infty\) sur \([0,+\infty[\).

2.a) Vérifier que \((\forall x\in\mathbb R^*)\) : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\ln\left(xe^x-x+1\right)}{xe^x-x+1}\left(e^x-1+\dfrac1x\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{g(x)}x=e^x-1+\dfrac1x\), donc \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\ln g(x)}{g(x)}\cdot\dfrac{g(x)}x\).

✅ L’égalité est vérifiée.

2.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}x\) et interpréter graphiquement.

Correction détaillée

⚠️ L’indice de la limite est illisible sur le scan ; on a pris \(-\infty\) (la question 3 traite ensuite \(+\infty\)).

🔢 Quand \(x\to-\infty\) : \(g(x)\to+\infty\) donc \(\dfrac{\ln g}g\to0\) ; et \(e^x-1+\dfrac1x\to-1\).

✅ \(\displaystyle\lim_{-\infty}\dfrac{f(x)}x=0\) : branche parabolique de direction l’axe des abscisses en \(-\infty\).

3.a) Vérifier que \((\forall x\in]0,+\infty[)\) : \(f(x)=x+\ln x+\ln\left(1-\dfrac1{e^x}+\dfrac1{xe^x}\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(g(x)=xe^x\left(1-e^{-x}+\dfrac1{xe^x}\right)\) pour \(x>0\), puis on passe au logarithme.

✅ \(f(x)=\ln(xe^x)+\ln\left(1-e^{-x}+\dfrac1{xe^x}\right)=x+\ln x+\ln\left(\cdots\right)\).

3.b) Étudier la branche infinie de \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)}x=1+\dfrac{\ln x}x+\dfrac{\ln(\cdots)}x\to1\).

🔢 Étape 2 : \(f(x)-x=\ln x+\ln\left(1-e^{-x}+\dfrac1{xe^x}\right)\to+\infty\).

✅ Branche parabolique de direction la droite \(y=x\).

4) Calculer \(f(1)\).

Correction détaillée

🔢 \(g(1)=e-1+1=e\).

✅ \(f(1)=\ln e=1\).

Quatrième partie \(u_0=\ln2\) et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\).

1) Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(0\le u_n\le1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(0\le\ln2\le1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(f\) est croissante sur \([0,1]\) avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\) : si \(0\le u_n\le1\) alors \(0\le f\left(u_n\right)\le1\).

✅ \((\forall n)\) : \(0\le u_n\le1\).

2) Montrer que \(\left(u_n\right)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\in[0,1]\) : \(g(x)\le e^x\) (2ème partie 3.b), donc \(f(x)=\ln g(x)\le x\).

🔢 Étape 2 : Donc \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\le u_n\).

✅ \(\left(u_n\right)\) est décroissante.

3) Montrer que \(\left(u_n\right)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\left(u_n\right)\) converge vers \(\ell\), \(f\) est continue et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\), alors \(f(\ell)=\ell\).

🔢 Étape 1 : Décroissante et minorée par \(0\) : convergente, de limite \(\ell\in[0,\ln2]\).

🔢 Étape 2 : \(f(\ell)=\ell\iff g(\ell)=e^\ell\iff(\ell-1)\left(e^\ell-1\right)=0\iff\ell=0\) ou \(\ell=1\). Or \(\ell\le\ln2<1\).

✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

Exercice 40

Première partie \(g(x)=e^x-x-1\) sur \(\mathbb R\).

1) Calculer \(g'(x)\), puis étudier les variations de \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)=e^x-1\) : négatif si \(x<0\), positif si \(x>0\) ; \(g(0)=0\).

✅ \(g\) décroît sur \(]-\infty,0]\), croît sur \([0,+\infty[\), minimum \(g(0)=0\).

2.a) Déduire que \((\forall x\in\mathbb R^*)\) : \(g(x)>0\).

Correction détaillée

🔢 Le minimum \(0\) n’est atteint qu’en \(x=0\).

✅ \(g(x)>0\) pour \(x\ne0\).

2.b) Montrer que \((\forall x>0)\) : \(\dfrac{e^x-1}x>1\) et que \((\forall x<0)\) : \(\dfrac{e^x-1}x<1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g(x)>0\iff e^x-1>x\).

🔢 Étape 2 : Si \(x>0\) : on divise par \(x>0\). Si \(x<0\) : on divise par \(x<0\), le sens de l’inégalité change.

✅ \(\dfrac{e^x-1}x>1\) pour \(x>0\) et \(\dfrac{e^x-1}x<1\) pour \(x<0\).

3.a) Montrer que \(g(-x)=e^{-x}\left[1+(x-1)e^x\right]\).

Correction détaillée

🔢 \(g(-x)=e^{-x}+x-1\) et \(e^{-x}\left[1+(x-1)e^x\right]=e^{-x}+x-1\).

✅ Les deux expressions sont égales.

3.b) Déduire que \((\forall x\in\mathbb R)\) : \(1+(x-1)e^x\ge0\).

Correction détaillée

🔢 \(g(-x)\ge0\) et \(e^{-x}>0\).

✅ \(1+(x-1)e^x=\dfrac{g(-x)}{e^{-x}}\ge0\).

Deuxième partie \(f(x)=x-1-\dfrac x{e^x-x-1}\) sur \(\mathbb R^*\).

1.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(\dfrac x{g(x)}\sim\dfrac x{e^x}\to0\), donc \(f(x)\approx x-1\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(g(x)\approx-x-1\), donc \(\dfrac x{g(x)}\to-1\) et \(f(x)\approx x\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=-\infty\).

1.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)\).

Correction détaillée

⚠️ Justification via le développement \(e^x=1+x+\frac{x^2}2+\dots\) (ou en écrivant \(\frac{g(x)}{x^2}\to\frac12\)).

🔢 Au voisinage de \(0\) : \(g(x)=\dfrac{x^2}2+o\left(x^2\right)\), donc \(\dfrac x{g(x)}\sim\dfrac2x\).

✅ \(\displaystyle\lim_{0^+}f=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{0^-}f=+\infty\).

2) Calculer \(f'(x)\), puis dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=1-\dfrac{g(x)-xg'(x)}{g(x)^2}\) et \(g(x)-xg'(x)=e^x-x-1-xe^x+x=e^x-xe^x-1=-\left[1+(x-1)e^x\right]\).

🔢 Étape 2 : Donc \(f'(x)=\dfrac{g(x)^2+1+(x-1)e^x}{g(x)^2}\), avec \(g^2>0\) et \(1+(x-1)e^x\ge0\) (première partie, 3.b).

✅ \(f'(x)>0\) sur \(\mathbb R^*\) : \(f\) croît de \(-\infty\) à \(+\infty\) sur \(]-\infty,0[\), et de \(-\infty\) à \(+\infty\) sur \(]0,+\infty[\).

3.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-(x-1)\right]\) et interpréter.

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-(x-1)=-\dfrac x{g(x)}\to0\).

✅ La droite \(y=x-1\) est asymptote oblique à \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(+\infty\).

3.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left[f(x)-x\right]\) et interpréter.

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=-1-\dfrac x{g(x)}\to-1-(-1)=0\).

✅ La droite \(y=x\) est asymptote oblique à \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(-\infty\).

4.a) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(]-2,-1[\) et une solution unique \(\beta\) dans \(]1,2[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème de la bijection : \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\) \(\Rightarrow\) tout réel de \(f(I)\) a un unique antécédent dans \(I\).

🔢 Étape 1 : \(f\) est continue et strictement croissante sur \(]-\infty,0[\) et sur \(]0,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : \(f(-2)\approx-1{,}24<0\) et \(f(-1)\approx0{,}72>0\) ; \(f(1)=-\dfrac1{e-2}\approx-1{,}39<0\) et \(f(2)\approx0{,}54>0\).

✅ Il existe un unique \(\alpha\in]-2,-1[\) et un unique \(\beta\in]1,2[\) tels que \(f(\alpha)=f(\beta)=0\).

4.b) Déduire que \(e^\alpha-\alpha-1=\dfrac\alpha{\alpha-1}\).

Correction détaillée

🔢 \(f(\alpha)=0\iff\alpha-1=\dfrac\alpha{g(\alpha)}\iff g(\alpha)=\dfrac\alpha{\alpha-1}\) (\(\alpha\ne1\)).

✅ \(e^\alpha-\alpha-1=\dfrac\alpha{\alpha-1}\).

Exercice 41

Première partie \(g(x)=-\dfrac1{x+1}+\ln\left|\dfrac{x+1}x\right|\).

1.a) Déterminer \(D_g\).

Correction détaillée

🔢 Il faut \(x+1\ne0\) et \(\dfrac{x+1}x\) défini et non nul : \(x\ne-1\) et \(x\ne0\).

✅ \(D_g=]-\infty,-1[\cup]-1,0[\cup]0,+\infty[\).

1.b) Trouver les limites de \(g\) aux bornes de \(D_g\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(\pm\infty\) : \(\dfrac1{x+1}\to0\) et \(\dfrac{x+1}x\to1\), donc \(g\to0\).

🔢 Étape 2 : En \(0\) : \(\ln\left|\dfrac{x+1}x\right|\to+\infty\) et \(-\dfrac1{x+1}\to-1\).

🔢 Étape 3 : En \(-1\) : avec \(t=x+1\to0\), \(g=-\dfrac1t+\ln|t|-\ln|x|\) et \(\dfrac1{|t|}\) l’emporte sur \(\ln|t|\).

✅ \(\displaystyle\lim_{\pm\infty}g=0\) ; \(\displaystyle\lim_{0^\pm}g=+\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{(-1)^-}g=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{(-1)^+}g=-\infty\).

2.a) Calculer \(g'(x)\), puis étudier les variations de \(g\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(g'(x)=\dfrac1{(x+1)^2}+\dfrac1{x+1}-\dfrac1x\) (car \(\ln\left|\dfrac{x+1}x\right|=\ln|x+1|-\ln|x|\)).

🔢 Étape 2 : On réduit au même dénominateur : \(\dfrac{x+x(x+1)-(x+1)^2}{x(x+1)^2}\), soit \(\dfrac{x+x^2+x-x^2-2x-1}{x(x+1)^2}=\dfrac{-1}{x(x+1)^2}\).

✅ \(g'(x)=-\dfrac1{x(x+1)^2}\) : \(g\) est croissante sur \(]-\infty,-1[\) et sur \(]-1,0[\), décroissante sur \(]0,+\infty[\).

2.b) Déduire que \((\forall x\in]-\infty,-1[\cup]0,+\infty[)\) : \(g(x)>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(]-\infty,-1[\) : \(g\) croît à partir de la limite \(0\) en \(-\infty\), donc \(g>0\).

🔢 Étape 2 : Sur \(]0,+\infty[\) : \(g\) décroît de \(+\infty\) vers la limite \(0\) en \(+\infty\), donc \(g>0\).

✅ \(g(x)>0\) sur \(]-\infty,-1[\cup]0,+\infty[\).

3.a) Montrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(]-1,0[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème de la bijection : \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\) \(\Rightarrow\) tout réel de \(f(I)\) a un unique antécédent dans \(I\).

🔢 Sur \(]-1,0[\) : \(g\) est continue, strictement croissante, de \(-\infty\) à \(+\infty\).

✅ Il existe un unique \(\alpha\in]-1,0[\) tel que \(g(\alpha)=0\).

3.b) Déduire le signe de \(g\) sur \(]-1,0[\).

Correction détaillée

🔢 \(g\) est croissante et s’annule en \(\alpha\).

✅ \(g(x)<0\) sur \(]-1,\alpha[\) et \(g(x)>0\) sur \(]\alpha,0[\).

Deuxième partie \(f(x)=\left|\dfrac{x+1}x\right|^x\) pour \(x\in\mathbb R^*\setminus\{-1\}\) et \(f(0)=1\).

1.a) Déterminer \(D_f\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan donne « \(\mathbb R^*-\{1\}\) » ; l’exclusion \(x=1\) n’a pas de sens (\(\left|\frac{x+1}{x}\right|=2\) en \(1\)) : on lit \(\{-1\}\).

🔢 \(\left|\dfrac{x+1}x\right|^x=e^{x\ln\left|\frac{x+1}x\right|}\) existe pour \(x\ne0\) et \(x\ne-1\) ; et \(f(0)=1\) est donné.

✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}\).

1.b) Trouver les limites de \(f\) aux bornes des intervalles de \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On pose \(\varphi(x)=x\ln\left|\dfrac{x+1}x\right|\), de sorte que \(f=e^\varphi\).

🔢 Étape 2 : En \(\pm\infty\) : \(\varphi(x)=x\ln\left(1+\dfrac1x\right)\to1\).

🔢 Étape 3 : En \(-1\) : \(\varphi(x)\to(-1)\times(-\infty)=+\infty\).

🔢 Étape 4 : En \(0\) : \(\varphi(x)=x\ln|x+1|-x\ln|x|\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{\pm\infty}f=e\) ; \(\displaystyle\lim_{-1}f=+\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{0}f=1\).

2.a) Étudier la continuité de \(f\) en \(0\).

Correction détaillée

🔢 \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=1=f(0)\).

✅ \(f\) est continue en \(0\).

2.b) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) et interpréter géométriquement.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{f(x)-1}x=\dfrac{e^{\varphi(x)}-1}{\varphi(x)}\cdot\dfrac{\varphi(x)}x\) avec \(\dfrac{\varphi(x)}x=\ln\left|\dfrac{x+1}x\right|\to+\infty\) et \(\dfrac{e^X-1}X\to1\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}x=+\infty\) : \(f\) n’est pas dérivable en \(0\) ; \(\left(C_f\right)\) admet une tangente verticale au point \((0,1)\).

3.a) Étudier la continuité de \(f\) sur \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Sur \(D_f\setminus\{0\}\) : composée de fonctions continues ; en \(0\) : voir 2.a).

✅ \(f\) est continue sur \(D_f\).

3.b) Étudier la dérivabilité de \(f\) sur \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Sur \(D_f\setminus\{0\}\) : composée de fonctions dérivables ; en \(0\) : non dérivable (2.b).

✅ \(f\) est dérivable sur \(D_f\setminus\{0\}\), non dérivable en \(0\).

4.a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in D_f\setminus\{0\}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(f=e^\varphi\), donc \(f’=\varphi’e^\varphi\).

🔢 Étape 2 : \(\varphi'(x)=\ln\left|\dfrac{x+1}x\right|+x\left(\dfrac1{x+1}-\dfrac1x\right)=\ln\left|\dfrac{x+1}x\right|-\dfrac1{x+1}=g(x)\).

✅ \(f'(x)=f(x)\,g(x)\).

4.b) Dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f>0\) donc \(f’\) a le signe de \(g\) (première partie).

✅ \(f\) croît de \(e\) à \(+\infty\) sur \(]-\infty,-1[\) ; décroît de \(+\infty\) à \(f(\alpha)\) sur \(]-1,\alpha]\) ; croît de \(f(\alpha)\) à \(e\) sur \([\alpha,+\infty[\) (en passant par \(f(0)=1\)).

5) Étudier les branches infinies de \(\left(C_f\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(\displaystyle\lim_{\pm\infty}f=e\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-1}f(x)=+\infty\).

✅ La droite \(y=e\) est asymptote horizontale en \(+\infty\) et en \(-\infty\) ; la droite \(x=-1\) est asymptote verticale.

Exercice 42

Première partie \(g(x)=(2-x)e^{-x}+1\).

1.a) Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(g'(x)=-e^{-x}-(2-x)e^{-x}\).

✅ \(g'(x)=(x-3)e^{-x}\).

1.b) Étudier les variations de \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(g’\) a le signe de \(x-3\) ; \(g(3)=1-e^{-3}\).

✅ \(g\) décroît sur \(]-\infty,3]\), croît sur \([3,+\infty[\) ; minimum \(g(3)=1-e^{-3}>0\).

2) En déduire que \(g(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Le minimum \(1-e^{-3}\) est strictement positif.

✅ \(g(x)>0\) sur \(\mathbb R\).

Deuxième partie \(f(x)=(x-1)e^{-x}+x\).

1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \((x-1)e^{-x}=\dfrac x{e^x}-e^{-x}\to0\), donc \(f(x)\approx x\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(x-1\to-\infty\), \(e^{-x}\to+\infty\), donc \((x-1)e^{-x}\to-\infty\), et \(x\to-\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=-\infty\).

2) Étudier les variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=e^{-x}-(x-1)e^{-x}+1=(2-x)e^{-x}+1=g(x)>0\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

3.a) Étudier les branches infinies de \(\left(C_f\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(f(x)-x=(x-1)e^{-x}\to0\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(\dfrac{f(x)}x=\left(1-\dfrac1x\right)e^{-x}+1\to+\infty\).

✅ La droite \(y=x\) est asymptote oblique en \(+\infty\) ; branche parabolique de direction l’axe des ordonnées en \(-\infty\).

3.b) Étudier les positions relatives de \(\left(C_f\right)\) et \((\Delta)\) : \(y=x\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=(x-1)e^{-x}\), du signe de \(x-1\).

✅ \(\left(C_f\right)\) est au-dessus de \((\Delta)\) pour \(x>1\), au-dessous pour \(x<1\), et la coupe en \(x=1\).

Exercice 43

Première partie \(g(x)=e^x-2x+2\).

1) Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)=e^x-2\).

✅ \(g'(x)=e^x-2\).

2.a) Étudier le signe de \(g'(x)\) et déduire les variations de \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(e^x-2\ge0\iff x\ge\ln2\).

✅ \(g\) décroît sur \(]-\infty,\ln2]\) et croît sur \([\ln2,+\infty[\) ; minimum \(g(\ln2)=4-2\ln2\).

2.b) En déduire que \(g(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(g(\ln2)=4-2\ln2=2(2-\ln2)>0\).

✅ \(g(x)\ge4-2\ln2>0\).

Deuxième partie \(f(x)=xe^{-x}+\dfrac x2+1\).

1.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}x\), et interpréter graphiquement.

Correction détaillée

⚠️ Les indices des limites sont illisibles sur le scan ; on a pris \(-\infty\) pour 1.a) (la question 1.b) traite \(+\infty\)).

🔢 Étape 1 : \(xe^{-x}\to-\infty\) et \(\dfrac x2+1\to-\infty\), donc \(f(x)\to-\infty\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=e^{-x}+\dfrac12+\dfrac1x\to+\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

1.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(\dfrac12x+1\right)\right]\) et interpréter.

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-\left(\dfrac x2+1\right)=xe^{-x}\to0\).

✅ La droite \(y=\dfrac12x+1\) est asymptote oblique en \(+\infty\).

1.c) Étudier les positions relatives de \(\left(C_f\right)\) et \((\Delta)\) : \(y=\dfrac12x+1\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-\left(\dfrac x2+1\right)=xe^{-x}\), du signe de \(x\).

✅ \(\left(C_f\right)\) est au-dessus de \((\Delta)\) pour \(x>0\), au-dessous pour \(x<0\).

2.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{2e^x}\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(f'(x)=(1-x)e^{-x}+\dfrac12=\dfrac{2(1-x)+e^x}{2e^x}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{e^x-2x+2}{2e^x}=\dfrac{g(x)}{2e^x}\).

2.b) Dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(g>0\) donc \(f’>0\) ; limites : \(-\infty\) en \(-\infty\), \(+\infty\) en \(+\infty\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), de \(-\infty\) à \(+\infty\).

3.a) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(]-1,0[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème de la bijection : \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\) \(\Rightarrow\) tout réel de \(f(I)\) a un unique antécédent dans \(I\).

🔢 \(f(-1)=-e-\dfrac12+1=\dfrac12-e<0\) et \(f(0)=1>0\) ; \(f\) est continue et strictement croissante.

✅ Il existe un unique \(\alpha\in]-1,0[\) tel que \(f(\alpha)=0\).

3.b) Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \(\left(C_f\right)\) au point d’abscisse \(0\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=1\) et \(f'(0)=\dfrac{g(0)}2=\dfrac32\).

✅ \((T)\) : \(y=\dfrac32x+1\).

4) Calculer \(f »(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\), puis déterminer le point d’inflexion de \(\left(C_f\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f »(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}\), du signe de \(x-2\).

🔢 Étape 2 : \(f »\) s’annule en changeant de signe en \(x=2\) ; \(f(2)=2e^{-2}+2\).

✅ \(\left(C_f\right)\) admet un unique point d’inflexion \(I\left(2,\,2+\dfrac2{e^2}\right)\) (\(\approx2{,}27\)).

Exercice 44

Première partie \(g(x)=e^x-x\).

1) Étudier les variations de \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)=e^x-1\) : négatif si \(x<0\), positif si \(x>0\) ; \(g(0)=1\).

✅ \(g\) décroît sur \(]-\infty,0]\), croît sur \([0,+\infty[\) ; minimum \(g(0)=1\).

2) En déduire le signe de \(g(x)\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Minimum \(=1>0\).

✅ \(g(x)\ge1>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Deuxième partie \(f(x)=\dfrac{xe^x-1}{e^x-1}\).

1.a) Déterminer \(D_f\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit \(f(x)=\dfrac{xe^x-1}{e^x-1}\) (lu ainsi) : c’est cette expression qui rend cohérentes les questions suivantes (asymptote \(y=x\), \(f’\) liée à \(g\)).

🔢 \(e^x-1=0\iff x=0\).

✅ \(D_f=\mathbb R^*\).

1.b) Trouver les limites de \(f\) aux bornes des intervalles de \(D_f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(f(x)=\dfrac{x-e^{-x}}{1-e^{-x}}\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : numérateur \(\to-1\), dénominateur \(\to-1\).

🔢 Étape 3 : En \(0\) : numérateur \(\to-1\), dénominateur \(\to0^\pm\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=1\) ; \(\displaystyle\lim_{0^+}f=-\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{0^-}f=+\infty\).

2.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-x\right]\) et interpréter.

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=\dfrac{xe^x-1-xe^x+x}{e^x-1}=\dfrac{x-1}{e^x-1}\to0\) (car \(\dfrac x{e^x}\to0\)).

✅ La droite \(y=x\) est asymptote oblique en \(+\infty\).

2.b) Étudier le signe de \(f(x)-x\) sur \(\mathbb R^*_+\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=\dfrac{x-1}{e^x-1}\) avec \(e^x-1>0\) pour \(x>0\).

✅ \(f(x)-x<0\) sur \(]0,1[\) et \(f(x)-x>0\) sur \(]1,+\infty[\).

2.c) En déduire la position relative de \(\left(C_f\right)\) et \((\Delta)\) : \(y=x\).

Correction détaillée

🔢 D’après 2.b).

✅ \(\left(C_f\right)\) est au-dessous de \((\Delta)\) sur \(]0,1[\), au-dessus sur \(]1,+\infty[\), et coupe \((\Delta)\) en \(x=1\).

3) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R^*\), puis dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=\dfrac{(x+1)e^x\left(e^x-1\right)-\left(xe^x-1\right)e^x}{\left(e^x-1\right)^2}=\dfrac{e^x\left[e^x-x\right]}{\left(e^x-1\right)^2}\).

🔢 Étape 2 : Le numérateur vaut \(e^x\left[(x+1)\left(e^x-1\right)-xe^x+1\right]=e^x\left(e^x-x\right)=e^xg(x)>0\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{e^xg(x)}{\left(e^x-1\right)^2}>0\) : \(f\) croît de \(1\) à \(+\infty\) sur \(]-\infty,0[\) et de \(-\infty\) à \(+\infty\) sur \(]0,+\infty[\).

Exercice 45

Première partie \(f(x)=1-\dfrac x2-\dfrac2{e^x+1}\) sur \(\mathbb R\).

1.a) Vérifier que \(1-\dfrac1{e^x+1}=\dfrac1{e^{-x}+1}\).

Correction détaillée

🔢 \(1-\dfrac1{e^x+1}=\dfrac{e^x}{e^x+1}\), puis on divise numérateur et dénominateur par \(e^x\).

✅ \(\dfrac{e^x}{e^x+1}=\dfrac1{1+e^{-x}}\) : égalité vérifiée.

1.b) Étudier la parité de \(f\) et interpréter graphiquement.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(-x)=1+\dfrac x2-\dfrac2{e^{-x}+1}=1+\dfrac x2-\dfrac{2e^x}{1+e^x}=1+\dfrac x2-2+\dfrac2{1+e^x}\).

🔢 Étape 2 : Donc \(f(-x)=-\left(1-\dfrac x2-\dfrac2{1+e^x}\right)=-f(x)\).

✅ \(f\) est impaire : \(\left(C_f\right)\) est symétrique par rapport à l’origine \(O\).

2) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(1-\dfrac x2\right)\right]\) et interpréter.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac2{e^x+1}\to0\), donc \(f(x)\approx1-\dfrac x2\to-\infty\) ; \(f(x)-\left(1-\dfrac x2\right)=-\dfrac2{e^x+1}\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=-\infty\) et la droite \(y=1-\dfrac x2\) est asymptote oblique en \(+\infty\).

3.a) Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb R^+\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(f'(x)=-\dfrac12+\dfrac{2e^x}{\left(e^x+1\right)^2}=\dfrac{-\left(e^x+1\right)^2+4e^x}{2\left(e^x+1\right)^2}=-\dfrac{\left(e^x-1\right)^2}{2\left(e^x+1\right)^2}\).

✅ \(f'(x)=-\dfrac{\left(e^x-1\right)^2}{2\left(e^x+1\right)^2}\le0\) : \(f\) est décroissante sur \(\mathbb R^+\) (et sur \(\mathbb R\)).

3.b) Déduire que \((\forall x\in\mathbb R^+)\) : \(1-\dfrac2{e^x+1}\le\dfrac x2\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit \(\dfrac1{e^x+1}\) au numérateur du terme, mais l’inégalité n’est vraie qu’avec \(\dfrac2{e^x+1}\) (par exemple en \(x=1\), \(1-\frac1{e+1}\approx0{,}73>\frac12\)) : on corrige en \(\dfrac2{e^x+1}\).

🔢 Étape 1 : \(f(0)=1-0-1=0\) et \(f\) est décroissante : \(f(x)\le0\) pour \(x\ge0\).

🔢 Étape 2 : \(f(x)\le0\iff1-\dfrac2{e^x+1}\le\dfrac x2\).

✅ \(1-\dfrac2{e^x+1}\le\dfrac x2\) pour tout \(x\ge0\).

Deuxième partie \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=1-\dfrac2{e^{u_n}+1}\).

1) Montrer par récurrence que \(u_n>0\).

Correction détaillée

⚠️ On lit la suite \(u_{n+1}=1-\dfrac2{e^{u_n}+1}\) (avec \(2\) au numérateur, comme dans 3.b) ; avec \(1\), la suite ne tendrait pas vers \(0\).

📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1>0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>0\), alors \(e^{u_n}>1\), donc \(\dfrac2{e^{u_n}+1}<1\) et \(u_{n+1}>0\).

✅ \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(u_n>0\).

2) Montrer que \(u_{n+1}\le\dfrac{u_n}2\), puis que \(\left(u_n\right)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après 3.b) avec \(x=u_n\ge0\) : \(1-\dfrac2{e^{u_n}+1}\le\dfrac{u_n}2\).

🔢 Étape 2 : Comme \(u_n>0\) : \(u_{n+1}\le\dfrac{u_n}2<u_n\).

✅ \(u_{n+1}\le\dfrac{u_n}2\) et \(\left(u_n\right)\) est strictement décroissante.

3) Montrer que \(u_n\le\left(\dfrac12\right)^n\) et déterminer sa limite.

Correction détaillée

📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.

🔢 Initialisation : \(u_0=1\le1\). Hérédité : \(u_{n+1}\le\dfrac{u_n}2\le\dfrac12\left(\dfrac12\right)^n\).

✅ \(0<u_n\le\left(\dfrac12\right)^n\) et \(-1<\dfrac12<1\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

Exercice 46

Montrer que \(f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2e^{-x}+1}\) est une bijection de \(\mathbb R\) sur un intervalle \(J\) à préciser.

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème de la bijection : \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\) \(\Rightarrow\) tout réel de \(f(I)\) a un unique antécédent dans \(I\).

🔢 Étape 1 : On multiplie par \(e^x\) : \(f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^x+2}\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{2e^{2x}\left(e^x+2\right)-\left(e^{2x}-1\right)e^x}{\left(e^x+2\right)^2}=\dfrac{e^x\left(e^{2x}+4e^x+1\right)}{\left(e^x+2\right)^2}>0\).

🔢 Étape 3 : \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=\dfrac{0-1}{0+2}=-\dfrac12\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\).

✅ \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\) : elle réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur \(J=\left]-\dfrac12,+\infty\right[\).

Exercice 47

Montrer que l’équation \(3-2x=e^x\) admet une solution unique \(\alpha\in\mathbb R\), puis que \(\dfrac12\le\alpha\le1\) (on donne \(e\approx2{,}718\) et \(e^{1/2}\approx1{,}648\)).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème de la bijection : \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\) \(\Rightarrow\) tout réel de \(f(I)\) a un unique antécédent dans \(I\).

🔢 Étape 1 : \(3-2x=e^x\iff\varphi(x)=e^x+2x-3=0\). \(\varphi'(x)=e^x+2>0\) : \(\varphi\) est strictement croissante, de \(-\infty\) à \(+\infty\).

🔢 Étape 2 : \(\varphi\) est continue : elle s’annule une seule fois, en \(\alpha\).

🔢 Étape 3 : \(\varphi\left(\dfrac12\right)=e^{1/2}-2\approx-0{,}35<0\) et \(\varphi(1)=e-1>0\).

✅ L’équation admet une unique solution \(\alpha\), et \(\varphi\left(\dfrac12\right)<0<\varphi(1)\) donne \(\dfrac12<\alpha<1\).

Exercice 48

Soit \(f(x)=x+\dfrac4{1+e^x}\) pour tout réel \(x\) et \(\left(C_f\right)\) sa courbe.

1) Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(\dfrac4{1+e^x}\to0\), donc \(f(x)\approx x\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(e^x\to0\) donc \(f(x)\approx x+4\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=-\infty\).

2.a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb R)\) : \(f'(x)=\left(\dfrac{1-e^x}{1+e^x}\right)^2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=1-\dfrac{4e^x}{\left(1+e^x\right)^2}=\dfrac{\left(1+e^x\right)^2-4e^x}{\left(1+e^x\right)^2}\).

🔢 Étape 2 : \(\left(1+e^x\right)^2-4e^x=1-2e^x+e^{2x}=\left(1-e^x\right)^2\).

✅ \(f'(x)=\left(\dfrac{1-e^x}{1+e^x}\right)^2\).

2.b) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)\ge0\), nulle seulement en \(x=0\) ; \(f(0)=2\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), de \(-\infty\) à \(+\infty\) (tangente horizontale en \(x=0\)).

2.c) En déduire que \(I(0;2)\) est un point d’inflexion.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f »(x)=2\cdot\dfrac{1-e^x}{1+e^x}\cdot\dfrac{-2e^x}{\left(1+e^x\right)^2}=\dfrac{-4e^x\left(1-e^x\right)}{\left(1+e^x\right)^3}\).

🔢 Étape 2 : \(f »\) est négative pour \(x<0\), positive pour \(x>0\) : elle change de signe en \(0\) ; \(f(0)=2\).

✅ \(I(0,2)\) est un point d’inflexion de \(\left(C_f\right)\).

3) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-x\right]\) et interpréter graphiquement.

Correction détaillée

⚠️ L’indice de la limite est illisible sur le scan ; on a pris \(+\infty\) (la question 4 traite \(-\infty\)).

🔢 \(f(x)-x=\dfrac4{1+e^x}\to0\).

✅ La droite \(y=x\) est asymptote oblique à \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(+\infty\).

4) Montrer que la droite \((D)\) : \(y=x+4\) est asymptote oblique à \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(-\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-(x+4)=\dfrac4{1+e^x}-4=\dfrac{-4e^x}{1+e^x}\to0\) quand \(x\to-\infty\).

✅ \((D)\) est asymptote oblique en \(-\infty\).

5) Étudier la position relative de \(\left(C_f\right)\) et \((D)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-(x+4)=\dfrac{-4e^x}{1+e^x}<0\) pour tout \(x\).

✅ \(\left(C_f\right)\) est strictement au-dessous de \((D)\).

6) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\mathbb R\) et que \(-4<\alpha<-3\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème de la bijection : \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\) \(\Rightarrow\) tout réel de \(f(I)\) a un unique antécédent dans \(I\).

🔢 Étape 1 : \(f\) est continue et strictement croissante de \(-\infty\) à \(+\infty\) : unique \(\alpha\).

🔢 Étape 2 : \(f(-4)=-4+\dfrac4{1+e^{-4}}\approx-0{,}07<0\) et \(f(-3)=-3+\dfrac4{1+e^{-3}}\approx0{,}81>0\).

✅ Il existe un unique \(\alpha\) avec \(f(\alpha)=0\), et \(-4<\alpha<-3\).

7) Déduire que \(e^\alpha=-1-\dfrac4\alpha\).

Correction détaillée

🔢 \(f(\alpha)=0\iff\alpha+\dfrac4{1+e^\alpha}=0\iff1+e^\alpha=-\dfrac4\alpha\).

✅ \(e^\alpha=-1-\dfrac4\alpha\).

Exercice 49

Soit \(f(x)=\left(e^{-x}-1\right)^2\) sur \(\mathbb R\).

1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et interpréter graphiquement.

Correction détaillée

🔢 \(e^{-x}\to0\), donc \(f(x)\to(0-1)^2=1\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=1\) : la droite \(y=1\) est asymptote horizontale en \(+\infty\).

2) Montrer que l’axe des ordonnées est une direction asymptotique de \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(-\infty\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim f(x)=\pm\infty\) et \(\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}x=\pm\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

🔢 Étape 1 : \(e^{-x}\to+\infty\), donc \(f(x)\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\left(e^{-x}-1\right)^2}x=\dfrac{e^{-2x}}x\left(1-e^x\right)^2\to-\infty\).

✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées en \(-\infty\).

3.a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb R)\) : \(f'(x)=2e^{-x}\left(1-e^{-x}\right)\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan semble afficher \(2e^{-x}\left(1-e^{-2x}\right)\) ; le calcul donne \(\left(1-e^{-x}\right)\).

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(f'(x)=2\left(e^{-x}-1\right)\times\left(-e^{-x}\right)\).

✅ \(f'(x)=2e^{-x}\left(1-e^{-x}\right)\).

3.b) Dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(1-e^{-x}\) est négatif si \(x<0\), positif si \(x>0\) ; \(f(0)=0\).

✅ \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(0\) sur \(]-\infty,0]\), puis croît de \(0\) à \(1\) sur \([0,+\infty[\).

4) Montrer que \(\left(C_f\right)\) admet un point d’inflexion.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f »(x)=2\left[-e^{-x}\left(1-e^{-x}\right)+e^{-x}\cdot e^{-x}\right]=2e^{-x}\left(2e^{-x}-1\right)\).

🔢 Étape 2 : \(f »(x)=0\iff e^{-x}=\dfrac12\iff x=\ln2\), et \(f »\) change de signe en ce point ; \(f(\ln2)=\left(\dfrac12-1\right)^2=\dfrac14\).

✅ \(\left(C_f\right)\) admet un unique point d’inflexion \(I\left(\ln2,\dfrac14\right)\).

5.a) Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \([0,+\infty[\). Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\), elle réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) ; on obtient \(f^{-1}\) en résolvant \(y=f(x)\).

🔢 \(g\) est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\), avec \(g(0)=0\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}g=1\).

✅ \(g\) réalise une bijection de \([0,+\infty[\) sur \([0,1[\), donc admet une fonction réciproque \(g^{-1}:[0,1[\to[0,+\infty[\).

5.b) Montrer que \(g^{-1}(x)=-\ln\left(1-\sqrt x\right)\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan écrit « \(\forall x\ge0\) » ; en réalité \(g^{-1}\) est définie seulement pour \(x\in[0,1[\) (il faut \(1-\sqrt x>0\)).

🔢 Étape 1 : Pour \(y\in[0,1[\) et \(x\ge0\) : \(y=\left(e^{-x}-1\right)^2\). Comme \(x\ge0\), \(e^{-x}-1\in]-1,0]\), donc \(e^{-x}-1=-\sqrt y\).

🔢 Étape 2 : \(e^{-x}=1-\sqrt y\iff x=-\ln\left(1-\sqrt y\right)\).

✅ \(g^{-1}(x)=-\ln\left(1-\sqrt x\right)\) pour \(x\in[0,1[\).

Exercice 50

Partie A \(g(x)=1-(1+x)e^x\).

1) Dresser le tableau de variations de \(g\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(g'(x)=-e^x-(1+x)e^x=-(x+2)e^x\), du signe de \(-(x+2)\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\lim_{-\infty}g=1\), \(g(-2)=1+e^{-2}\), \(\displaystyle\lim_{+\infty}g=-\infty\).

✅ \(g\) croît de \(1\) à \(1+e^{-2}\) sur \(]-\infty,-2]\), puis décroît de \(1+e^{-2}\) à \(-\infty\) sur \([-2,+\infty[\).

2) Calculer \(g(0)\). Puis déduire le signe de \(g(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g(0)=1-1=0\).

🔢 Étape 2 : Sur \(]-\infty,-2]\), \(g\ge1>0\) ; sur \([-2,+\infty[\), \(g\) décroît et s’annule en \(0\).

✅ \(g(x)>0\) pour \(x<0\) ; \(g(0)=0\) ; \(g(x)<0\) pour \(x>0\).

Partie B \(f(x)=x\left(1-e^x\right)\) sur \(\mathbb R\).

1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(x\to+\infty\) et \(1-e^x\to-\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(f(x)=x-xe^x\) avec \(xe^x\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=-\infty\).

2) Montrer que la droite \((D)\) : \(y=x\) est asymptote oblique à \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(-\infty\). Préciser la position relative de \((D)\) et \(\left(C_f\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)-x=-xe^x\to0\) quand \(x\to-\infty\).

🔢 Étape 2 : Signe de \(-xe^x\) : positif si \(x<0\), négatif si \(x>0\).

✅ \((D)\) est asymptote en \(-\infty\) ; \(\left(C_f\right)\) est au-dessus de \((D)\) pour \(x<0\), au-dessous pour \(x>0\).

3) Montrer que \(\left(C_f\right)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique de direction asymptotique l’axe des ordonnées.

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim f(x)=\pm\infty\) et \(\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}x=\pm\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

🔢 \(\dfrac{f(x)}x=1-e^x\to-\infty\).

✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées (vers le bas).

4.a) Montrer que pour tout réel \(x\) : \(f'(x)=g(x)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(f'(x)=\left(1-e^x\right)+x\left(-e^x\right)=1-(1+x)e^x\).

✅ \(f'(x)=g(x)\).

4.b) Dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Le signe de \(f’=g\) est donné en partie A ; \(f(0)=0\).

✅ \(f\) croît de \(-\infty\) à \(0\) sur \(]-\infty,0]\), puis décroît de \(0\) à \(-\infty\) sur \([0,+\infty[\) ; maximum \(f(0)=0\).

5) Montrer que \(\left(C_f\right)\) admet un point d’inflexion \(I\) dont on déterminera les coordonnées.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f »(x)=g'(x)=-(x+2)e^x\), qui s’annule en changeant de signe en \(x=-2\).

🔢 Étape 2 : \(f(-2)=-2\left(1-e^{-2}\right)\).

✅ \(I\left(-2,\,-2+2e^{-2}\right)\) est le point d’inflexion.

Partie C \(u_0=-1\) et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\).

a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(-1\le u_n\le0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=-1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(f\) est croissante sur \([-1,0]\), \(f(-1)=-\left(1-e^{-1}\right)\approx-0{,}63\) et \(f(0)=0\), donc \(f([-1,0])\subset[-1,0]\).

✅ \((\forall n)\) : \(-1\le u_n\le0\).

b) Déterminer la monotonie de \(\left(u_n\right)\), puis déduire qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=f\left(u_n\right)-u_n=-u_ne^{u_n}\ge0\) car \(u_n\le0\).

✅ \(\left(u_n\right)\) est croissante et majorée par \(0\) : elle est convergente.

c) Calculer la limite de \(\left(u_n\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\left(u_n\right)\) converge vers \(\ell\), \(f\) est continue et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\), alors \(f(\ell)=\ell\).

🔢 La limite \(\ell\in[-1,0]\) vérifie \(f(\ell)=\ell\iff-\ell e^\ell=0\iff\ell=0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

Exercice 51

Soit \(f(x)=\left(xe^x-1\right)e^x\) sur \(\mathbb R\) et \(\left(C_f\right)\) sa courbe dans un repère orthonormé (unité : \(2\,\text{cm}\)).

1) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\) et interpréter géométriquement.

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=xe^{2x}-e^x\). Avec \(X=2x\to-\infty\) : \(xe^{2x}=\dfrac{Xe^X}2\to0\) et \(e^x\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=0\) : l’axe des abscisses est asymptote en \(-\infty\).

2.a) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)=e^x\left(xe^x-1\right)\) : \(xe^x-1\to+\infty\) et \(e^x\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=e^{2x}-\dfrac{e^x}x=e^x\left(e^x-\dfrac1x\right)\) avec \(e^x\to+\infty\) et \(e^x-\dfrac1x\to+\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\).

2.b) En déduire que \(\left(C_f\right)\) admet une branche parabolique au voisinage de \(+\infty\) et déterminer sa direction.

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}x=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

🔢 D’après 2.a).

✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

3.a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb R)\) : \(f'(x)=e^x\left(e^x-1+2xe^x\right)\) et que \(f'(0)=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=e^{2x}+2xe^{2x}-e^x=e^x\left(e^x+2xe^x-1\right)\).

🔢 Étape 2 : \(f'(0)=1\times(1+0-1)=0\).

✅ \(f'(x)=e^x\left(e^x-1+2xe^x\right)\) et \(f'(0)=0\).

3.b) Montrer que \(e^x-1\ge0\) sur \([0,+\infty[\) et \(e^x-1\le0\) sur \(]-\infty,0]\).

Correction détaillée

🔢 \(e^x\ge e^0=1\) si \(x\ge0\) et \(e^x\le1\) si \(x\le0\) (croissance de l’exponentielle).

✅ Les deux inégalités sont démontrées.

3.c) Montrer que \(f\) est croissante sur \([0,+\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty,0]\), puis dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Si \(x\ge0\) : \(e^x-1\ge0\) et \(2xe^x\ge0\), donc \(f'(x)\ge0\).

🔢 Étape 2 : Si \(x\le0\) : \(e^x-1\le0\) et \(2xe^x\le0\), donc \(f'(x)\le0\).

🔢 Étape 3 : \(f(0)=(0-1)\times1=-1\).

✅ \(f\) décroît de \(0\) à \(-1\) sur \(]-\infty,0]\), puis croît de \(-1\) à \(+\infty\) sur \([0,+\infty[\).

4.a) Montrer que l’équation \(f(x)=x\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \([0,+\infty[\) et que \(\dfrac12<\alpha<1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème de la bijection : \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\) \(\Rightarrow\) tout réel de \(f(I)\) a un unique antécédent dans \(I\).

🔢 Étape 1 : Pour \(x>0\) : \(f(x)=x\iff xe^{2x}-e^x-x=0\iff x\left(e^{2x}-1\right)=e^x\iff x=\dfrac1{e^x-e^{-x}}\). (\(x=0\) n’est pas solution car \(f(0)=-1\).)

🔢 Étape 2 : On pose \(\psi(x)=x-\dfrac1{e^x-e^{-x}}\) sur \(]0,+\infty[\) : \(\psi'(x)=1+\dfrac{e^x+e^{-x}}{\left(e^x-e^{-x}\right)^2}>0\), \(\displaystyle\lim_{0^+}\psi=-\infty\), \(\displaystyle\lim_{+\infty}\psi=+\infty\).

🔢 Étape 3 : \(\psi\left(\dfrac12\right)=0{,}5-\dfrac1{2\sinh(1/2)}\approx-0{,}46<0\) et \(\psi(1)=1-\dfrac1{e-e^{-1}}\approx0{,}57>0\).

✅ \(\psi\) s’annule une seule fois, en \(\alpha\in\left]\dfrac12,1\right[\) : l’équation \(f(x)=x\) a une unique solution \(\alpha\in[0,+\infty[\).

5) Par intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_0^{1/2}xe^{2x}\,dx=\dfrac14\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=\Big[uv\Big]_a^b-\int_a^bu’v\).

🔢 Étape 1 : On pose \(u=x\), \(v’=e^{2x}\) : \(u’=1\), \(v=\dfrac{e^{2x}}2\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^{1/2}xe^{2x}dx=\left[\dfrac{xe^{2x}}2\right]_0^{1/2}-\dfrac12\int_0^{1/2}e^{2x}dx=\dfrac e4-\dfrac12\cdot\dfrac{e-1}2\).

✅ \(\displaystyle\int_0^{1/2}xe^{2x}dx=\dfrac e4-\dfrac{e-1}4=\dfrac14\).

6) Calculer en \(\text{cm}^2\) l’aire du domaine plan limité par \(\left(C_f\right)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=\dfrac12\) (unité : \(2\,\text{cm}\)).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire entre deux courbes sur \([a,b]\) : \(\displaystyle\int_a^b|f-g|\) en unités d’aire ; multiplier par l’aire de l’unité (\(\text{cm}^2\)).

🔢 Étape 1 : Sur \([0,\frac12]\), \(f\) est croissante avec \(f(0)=-1\) et \(f\left(\frac12\right)=e^{1/2}\left(\frac12e^{1/2}-1\right)<0\) (car \(\frac12e^{1/2}<1\)) : \(f\le0\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^{1/2}f(x)dx=\int_0^{1/2}xe^{2x}dx-\int_0^{1/2}e^xdx=\dfrac14-\left(\sqrt e-1\right)=\dfrac54-\sqrt e\).

🔢 Étape 3 : Aire \(=-\displaystyle\int_0^{1/2}f(x)dx\) unités d’aire \(=\left(\sqrt e-\dfrac54\right)\times(2\times2)\,\text{cm}^2\).

✅ \(\mathcal A=\left(4\sqrt e-5\right)\text{cm}^2\approx1{,}59\ \text{cm}^2\).

Exercice 52

Soit \(g(x)=e^x-2x\) et \(f(x)=\dfrac x{e^x-2x}\).

Partie I \(g(x)=e^x-2x\) sur \(\mathbb R\).

1) Calculer \(g'(x)\) puis déduire que \(g\) est décroissante sur \(]-\infty,\ln2]\) et croissante sur \([\ln2,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(g'(x)=e^x-2\) et \(e^x-2\ge0\iff x\ge\ln2\).

✅ \(g\) décroît sur \(]-\infty,\ln2]\) et croît sur \([\ln2,+\infty[\).

2) Vérifier que \(g(\ln2)=2(1-\ln2)\) puis déterminer le signe de \(g(\ln2)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g(\ln2)=e^{\ln2}-2\ln2=2-2\ln2\).

🔢 Étape 2 : \(\ln2\approx0{,}69<1\) (car \(2<e\)).

✅ \(g(\ln2)=2(1-\ln2)>0\).

3) En déduire que \(g(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(g(\ln2)\) est le minimum de \(g\).

✅ \(g(x)\ge g(\ln2)>0\) sur \(\mathbb R\).

Partie II \(f(x)=\dfrac x{e^x-2x}\) sur \(\mathbb R\), \(\left(C_f\right)\) sa courbe (unité : \(1\,\text{cm}\)).

1.a) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\dfrac12\) (on remarquera que \(e^x-2x=x\left(\dfrac{e^x}x-2\right)\)).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(f(x)=\dfrac1{\frac{e^x}x-2}\) et \(\dfrac{e^x}x\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(f(x)=\dfrac x{x\left(\frac{e^x}x-2\right)}=\dfrac1{\frac{e^x}x-2}\) avec \(\dfrac{e^x}x\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=0\) et \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=\dfrac1{0-2}=-\dfrac12\).

1.b) Interpréter géométriquement les deux résultats.

Correction détaillée

🔢 Limites finies en \(\pm\infty\).

✅ \(y=0\) est asymptote horizontale en \(+\infty\) et \(y=-\dfrac12\) est asymptote horizontale en \(-\infty\).

2.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{(1-x)e^x}{\left(e^x-2x\right)^2}\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(f'(x)=\dfrac{\left(e^x-2x\right)-x\left(e^x-2\right)}{\left(e^x-2x\right)^2}=\dfrac{e^x-xe^x}{\left(e^x-2x\right)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{(1-x)e^x}{\left(e^x-2x\right)^2}\).

2.b) Étudier le signe de \(f'(x)\) puis dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f’\) a le signe de \(1-x\) ; \(f(1)=\dfrac1{e-2}\).

✅ \(f\) croît de \(-\dfrac12\) à \(\dfrac1{e-2}\) sur \(]-\infty,1]\), puis décroît de \(\dfrac1{e-2}\) à \(0\) sur \([1,+\infty[\).

2.c) Montrer que \(y=x\) est l’équation de la droite \((T)\) tangente à \(\left(C_f\right)\) au point \(O\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=0\) et \(f'(0)=\dfrac{1\times1}{1}=1\).

✅ \((T)\) : \(y=x\).

4.a) Montrer que \(xe^{-x}\le\dfrac x{e^x-2x}\le\dfrac1{e-2}\) pour tout \(x\in[0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\ge0\) : \(0<e^x-2x\le e^x\), donc \(\dfrac1{e^x-2x}\ge\dfrac1{e^x}\) et en multipliant par \(x\ge0\) : \(f(x)\ge xe^{-x}\).

🔢 Étape 2 : Le maximum de \(f\) est \(f(1)=\dfrac1{e-2}\).

✅ \(xe^{-x}\le f(x)\le\dfrac1{e-2}\) sur \([0,+\infty[\).

4.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx=1-\dfrac2e\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=\Big[uv\Big]_a^b-\int_a^bu’v\).

🔢 Étape 1 : \(u=x\), \(v’=e^{-x}\) : \(u’=1\), \(v=-e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx=\left[-xe^{-x}\right]_0^1+\int_0^1e^{-x}dx=-e^{-1}+\left[-e^{-x}\right]_0^1\).

✅ \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx=-\dfrac1e+1-\dfrac1e=1-\dfrac2e\).

4.c) Soit \(A(E)\) l’aire (en \(\text{cm}^2\)) du domaine limité par \(\left(C_f\right)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\), \(x=1\). Montrer que \(1-\dfrac2e\le A(E)\le\dfrac1{e-2}\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Positivité de l’intégrale : si \(f\le g\) sur \([a,b]\) alors \(\int_a^bf\le\int_a^bg\).

🔢 Étape 1 : Sur \([0,1]\), \(f\ge0\) : \(A(E)=\displaystyle\int_0^1f(x)dx\).

🔢 Étape 2 : On intègre l’encadrement 4.a) sur \([0,1]\) : \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx\le A(E)\le\int_0^1\dfrac1{e-2}dx\).

✅ \(1-\dfrac2e\le A(E)\le\dfrac1{e-2}\).

Partie III \(h(x)=f(x)\) sur \(]-\infty,0]\).

1) Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur l’intervalle \(J\) à déterminer.

Correction détaillée

🔢 \(h\) est continue et strictement croissante sur \(]-\infty,0]\) avec \(\displaystyle\lim_{-\infty}h=-\dfrac12\) et \(h(0)=0\).

✅ \(h\) est bijective de \(]-\infty,0]\) sur \(J=\left]-\dfrac12,0\right]\).

Partie IV \(u_0=-2\) et \(u_{n+1}=h\left(u_n\right)\).

1) Montrer par récurrence que \(u_n\le0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=-2\le0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n\le0\), alors \(u_{n+1}=h\left(u_n\right)\in\left]-\dfrac12,0\right]\).

✅ \((\forall n)\) : \(u_n\le0\).

2) Montrer que \(\left(u_n\right)\) est croissante (on remarquera graphiquement que \(h(x)\ge x\) pour \(x\in]-\infty,0]\)).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(h(x)-x=\dfrac{x\left(1-e^x+2x\right)}{e^x-2x}\).

🔢 Étape 2 : Pour \(x\le0\) : \(e^x\ge1+x\ge1+2x\), donc \(1-e^x+2x\le0\) ; avec \(x\le0\), le numérateur est \(\ge0\).

✅ \(h(x)\ge x\) sur \(]-\infty,0]\), donc \(u_{n+1}\ge u_n\) : \(\left(u_n\right)\) est croissante.

3) En déduire que \(\left(u_n\right)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\left(u_n\right)\) converge vers \(\ell\), \(f\) est continue et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\), alors \(f(\ell)=\ell\).

🔢 Étape 1 : Croissante et majorée par \(0\) : convergente, de limite \(\ell\le0\).

🔢 Étape 2 : \(h(\ell)=\ell\iff\ell\left(1-e^\ell+2\ell\right)=0\) ; pour \(\ell<0\), \(1-e^\ell+2\ell<0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

Exercice 53

On considère \(f(x)=2x-2+e^{2x}-4e^x\) sur \(\mathbb R\).

Partie I \(f(x)=2x-2+e^{2x}-4e^x\) sur \(\mathbb R\), \(\left(C_f\right)\) sa courbe (unité : \(1\,\text{cm}\)).

1.a) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(2x-2\to-\infty\) ; \(e^{2x}\to0\) ; \(4e^x\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=-\infty\).

1.b) Montrer que la droite \((D)\) : \(y=2x-2\) est asymptote à \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(-\infty\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim\left[f(x)-(ax+b)\right]=0\), la droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique ; la position se lit sur le signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 \(f(x)-(2x-2)=e^{2x}-4e^x\to0\).

✅ \((D)\) est asymptote oblique en \(-\infty\).

2.a) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=2x-2+e^x\left(e^x-4\right)\) avec \(e^x\left(e^x-4\right)\to+\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\).

2.b) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\) puis interpréter géométriquement.

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}x=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

🔢 \(\dfrac{f(x)}x=2-\dfrac2x+\dfrac{e^{2x}}x-\dfrac{4e^x}x\) et \(\dfrac{e^{2x}}x\to+\infty\) l’emporte sur \(\dfrac{4e^x}x\).

✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées en \(+\infty\).

3.a) Montrer que \(f'(x)=2\left(e^x-1\right)^2\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(f'(x)=2+2e^{2x}-4e^x=2\left(e^{2x}-2e^x+1\right)\).

✅ \(f'(x)=2\left(e^x-1\right)^2\).

3.b) Dresser le tableau de variations de \(f\) (remarquer que \(f'(0)=0\)).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)\ge0\) avec égalité seulement en \(0\) ; \(f(0)=-2+1-4=-5\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), de \(-\infty\) à \(+\infty\), avec une tangente horizontale au point \((0,-5)\).

3.c) Montrer qu’il existe un unique réel \(\alpha\) de \(]1,\ln4[\) tel que \(f(\alpha)=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème de la bijection : \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\) \(\Rightarrow\) tout réel de \(f(I)\) a un unique antécédent dans \(I\).

🔢 Étape 1 : \(f(1)=e^2-4e\approx-3{,}48<0\) et \(f(\ln4)=2\ln4-2+16-16=2\ln4-2\approx0{,}77>0\).

🔢 Étape 2 : \(f\) est continue et strictement croissante.

✅ Il existe un unique \(\alpha\in]1,\ln4[\) tel que \(f(\alpha)=0\).

4.a) Montrer que \(\left(C_f\right)\) est au-dessus de \((D)\) sur \(]\ln4,+\infty[\) et au-dessous de \((D)\) sur \(]-\infty,\ln4[\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-(2x-2)=e^x\left(e^x-4\right)\), du signe de \(e^x-4\).

✅ \(e^x-4>0\iff x>\ln4\) : \(\left(C_f\right)\) est au-dessus de \((D)\) sur \(]\ln4,+\infty[\) et au-dessous sur \(]-\infty,\ln4[\).

4.b) Montrer que \(\left(C_f\right)\) admet un point d’inflexion unique \((0,-5)\).

Correction détaillée

🔢 \(f »(x)=4\left(e^x-1\right)e^x\), qui s’annule en changeant de signe uniquement en \(x=0\) ; \(f(0)=-5\).

✅ Point d’inflexion unique : \(I(0,-5)\).

5.a) Montrer que \(\displaystyle\int_0^{\ln4}\left(e^{2x}-4e^x\right)dx=-\dfrac92\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Primitive : \(\dfrac{e^{2x}}2-4e^x\).

🔢 Étape 2 : En \(\ln4\) : \(\dfrac{16}2-16=-8\) ; en \(0\) : \(\dfrac12-4=-\dfrac72\).

✅ \(\displaystyle\int_0^{\ln4}\left(e^{2x}-4e^x\right)dx=-8+\dfrac72=-\dfrac92\).

5.b) Calculer en \(\text{cm}^2\) l’aire du domaine plan limité par \(\left(C_f\right)\), la droite \((D)\), l’axe des ordonnées et la droite d’équation \(x=\ln4\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire entre deux courbes sur \([a,b]\) : \(\displaystyle\int_a^b|f-g|\) en unités d’aire ; multiplier par l’aire de l’unité (\(\text{cm}^2\)).

🔢 Étape 1 : Sur \([0,\ln4]\) : \(f(x)-(2x-2)=e^{2x}-4e^x\le0\) (\(\left(C_f\right)\) au-dessous de \((D)\)).

🔢 Étape 2 : Aire \(=-\displaystyle\int_0^{\ln4}\left(e^{2x}-4e^x\right)dx\) (unité : \(1\,\text{cm}\)).

✅ \(\mathcal A=\dfrac92\ \text{cm}^2\).

Partie II

1.a) Résoudre l’équation différentielle \((E)\) : \(y »-3y’+2y=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(y »+ay’+by=0\) : si l’équation \(r^2+ar+b=0\) a deux racines réelles \(r_1\ne r_2\), \(y=\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x}\).

🔢 Équation caractéristique : \(r^2-3r+2=0\), \(\Delta=1\), \(r=1\) ou \(r=2\).

✅ Les solutions sont \(y(x)=\alpha e^x+\beta e^{2x}\), \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\).

1.b) Déterminer la solution \(g\) de \((E)\) vérifiant \(g(0)=-3\) et \(g'(0)=-2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g(0)=\alpha+\beta=-3\) et \(g'(0)=\alpha+2\beta=-2\).

🔢 Étape 2 : On soustrait : \(\beta=1\), puis \(\alpha=-4\).

✅ \(g(x)=e^{2x}-4e^x\).

2.a) Soit \(h(x)=\ln\left(e^{2x}-4e^x\right)\) sur \(]\ln4,+\infty[\). Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(h=\ln g\) avec \(g(x)=e^x\left(e^x-4\right)>0\) sur \(]\ln4,+\infty[\) et \(g'(x)=2e^x\left(e^x-2\right)>0\) pour \(x>\ln2\), donc \(g\) croît de \(0^+\) à \(+\infty\).

🔢 Étape 2 : Donc \(h\) est continue et strictement croissante, de \(-\infty\) à \(+\infty\).

✅ \(h\) est bijective de \(]\ln4,+\infty[\) sur \(\mathbb R\) : \(h^{-1}\) est définie sur \(\mathbb R\).

2.b) Vérifier que \(h(\ln5)=\ln5\) puis déterminer \(\left(h^{-1}\right)'(\ln5)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \(\left(h^{-1}\right)'(y)=\dfrac1{h’\left(h^{-1}(y)\right)}\).

🔢 Étape 1 : \(h(\ln5)=\ln\left(25-20\right)=\ln5\).

🔢 Étape 2 : \(h'(x)=\dfrac{2e^{2x}-4e^x}{e^{2x}-4e^x}\) ; \(h'(\ln5)=\dfrac{50-20}{25-20}=6\).

✅ \(\left(h^{-1}\right)'(\ln5)=\dfrac1{h’\left(h^{-1}(\ln5)\right)}=\dfrac1{h'(\ln5)}=\dfrac16\).

Exercice 54

Soit \(g(x)=1-(x+1)^2e^x\) et \(f(x)=x+1-\left(x^2+1\right)e^x\).

Partie I \(g(x)=1-(x+1)^2e^x\) sur \(\mathbb R\).

1) Vérifier que \(g(0)=0\).

Correction détaillée

🔢 \(g(0)=1-1^2\times1\).

✅ \(g(0)=0\).

2) Montrer que \(g(x)\ge0\) pour tout \(x\in]-\infty,0]\) et \(g(x)\le0\) pour tout \(x\in[0,+\infty[\).

Correction détaillée

⚠️ Dans l’énoncé, ce résultat se lit sur la courbe de \(g\) (figure) ; on le justifie ici par l’étude des variations.

🔢 Étape 1 : \(g'(x)=-\left[2(x+1)+(x+1)^2\right]e^x=-(x+1)(x+3)e^x\).

🔢 Étape 2 : \(g\) décroît sur \(]-\infty,-3]\) (de \(1\) à \(g(-3)=1-4e^{-3}\approx0{,}80\)), croît sur \([-3,-1]\) (jusqu’à \(g(-1)=1\)), puis décroît sur \([-1,+\infty[\) avec \(g(0)=0\).

🔢 Étape 3 : Donc \(g>0\) sur \(]-\infty,0[\) et \(g<0\) sur \(]0,+\infty[\).

✅ \(g\ge0\) sur \(]-\infty,0]\) et \(g\le0\) sur \([0,+\infty[\).

Partie II \(f(x)=x+1-\left(x^2+1\right)e^x\) sur \(\mathbb R\) (unité : \(2\,\text{cm}\)).

1.a) Vérifier que \(f(x)=x+1-4\left(\dfrac x2e^{\frac x2}\right)^2-e^x\), puis déduire que \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(4\left(\dfrac x2e^{x/2}\right)^2=x^2e^x\), donc \(f(x)=x+1-x^2e^x-e^x\).

🔢 Étape 2 : Avec \(X=\dfrac x2\to-\infty\) : \(Xe^X\to0\) ; et \(e^x\to0\).

✅ \(f(x)\approx x+1\to-\infty\) : \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=-\infty\).

1.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left[f(x)-(x+1)\right]\) et déduire que la droite \((D)\) : \(y=x+1\) est asymptote à \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(-\infty\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim\left[f(x)-(ax+b)\right]=0\), la droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique ; la position se lit sur le signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 \(f(x)-(x+1)=-\left(x^2+1\right)e^x\to0\).

✅ \((D)\) est asymptote oblique en \(-\infty\).

1.c) Montrer que \(\left(C_f\right)\) est au-dessous de \((D)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-(x+1)=-\left(x^2+1\right)e^x<0\).

✅ \(\left(C_f\right)\) est strictement au-dessous de \((D)\).

2.a) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\) (on pourra écrire \(f(x)=x\left[1+\dfrac1x-\left(x+\dfrac1x\right)e^x\right]\)).

Correction détaillée

🔢 \(\left(x+\dfrac1x\right)e^x\to+\infty\), donc le crochet \(\to-\infty\) et \(x\to+\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=-\infty\).

2.b) Montrer que \(\left(C_f\right)\) admet, au voisinage de \(+\infty\), une branche parabolique dont on déterminera la direction.

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}x=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

🔢 \(\dfrac{f(x)}x=1+\dfrac1x-\left(x+\dfrac1x\right)e^x\to-\infty\).

✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées (vers le bas).

3.a) Montrer que \(f'(x)=g(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(f'(x)=1-\left[2xe^x+\left(x^2+1\right)e^x\right]=1-(x+1)^2e^x\).

✅ \(f'(x)=g(x)\).

3.b) Montrer que \(f\) est croissante sur \(]-\infty,0]\) et décroissante sur \([0,+\infty[\), puis dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Le signe de \(f’=g\) est donné en Partie I, question 2) ; \(f(0)=1-1=0\).

✅ \(f\) croît de \(-\infty\) à \(0\) sur \(]-\infty,0]\), puis décroît de \(0\) à \(-\infty\) sur \([0,+\infty[\).

3.c) Montrer que \(\left(C_f\right)\) admet deux points d’inflexion d’abscisses \(-3\) et \(-1\).

Correction détaillée

🔢 \(f »(x)=g'(x)=-(x+1)(x+3)e^x\), qui s’annule en changeant de signe en \(-3\) et en \(-1\).

✅ \(\left(C_f\right)\) admet deux points d’inflexion, d’abscisses \(-3\) et \(-1\).

5.a) Vérifier que \(H:x\mapsto(x-1)e^x\) est une primitive de \(h:x\mapsto xe^x\) sur \(\mathbb R\), puis montrer que \(\displaystyle\int_{-1}^0xe^xdx=\dfrac2e-1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(H'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_{-1}^0xe^xdx=H(0)-H(-1)=-1-\left(-2e^{-1}\right)\).

✅ \(\displaystyle\int_{-1}^0xe^xdx=\dfrac2e-1\).

5.b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que \(\displaystyle\int_{-1}^0\left(x^2+1\right)e^xdx=3\left(1-\dfrac2e\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=\Big[uv\Big]_a^b-\int_a^bu’v\).

🔢 Étape 1 : \(u=x^2+1\), \(v’=e^x\) : \(u’=2x\), \(v=e^x\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_{-1}^0\left(x^2+1\right)e^xdx=\left[\left(x^2+1\right)e^x\right]_{-1}^0-2\int_{-1}^0xe^xdx=\left(1-\dfrac2e\right)-2\left(\dfrac2e-1\right)\).

✅ \(\displaystyle\int_{-1}^0\left(x^2+1\right)e^xdx=3-\dfrac6e=3\left(1-\dfrac2e\right)\).

5.c) Calculer en \(\text{cm}^2\) l’aire du domaine plan limité par \(\left(C_f\right)\), la droite \((D)\), l’axe des ordonnées et la droite d’équation \(x=-1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire entre deux courbes sur \([a,b]\) : \(\displaystyle\int_a^b|f-g|\) en unités d’aire ; multiplier par l’aire de l’unité (\(\text{cm}^2\)).

🔢 Étape 1 : Sur \([-1,0]\) : \(f(x)-(x+1)=-\left(x^2+1\right)e^x<0\).

🔢 Étape 2 : Aire \(=\displaystyle\int_{-1}^0\left(x^2+1\right)e^xdx=3\left(1-\dfrac2e\right)\) unités d’aire, et une unité d’aire vaut \(2\times2=4\,\text{cm}^2\).

✅ \(\mathcal A=12\left(1-\dfrac2e\right)\text{cm}^2\approx3{,}17\ \text{cm}^2\).

Exercice 55

Partie I \(g(x)=e^x-x^2+3x-1\) sur \(\mathbb R\) ; on donne : \(g’>0\) sur \(\mathbb R\), \(g\) croît de \(-\infty\) à \(+\infty\).

1) Vérifier que \(g(0)=0\).

Correction détaillée

🔢 \(g(0)=1-0+0-1\).

✅ \(g(0)=0\).

2) Déterminer le signe de \(g(x)\) sur chacun des intervalles \(]-\infty,0]\) et \([0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(g\) est strictement croissante et \(g(0)=0\).

✅ \(g(x)\le0\) sur \(]-\infty,0]\) et \(g(x)\ge0\) sur \([0,+\infty[\).

Partie II \(f(x)=\left(x^2-x\right)e^{-x}+x\) sur \(\mathbb R\) (unité : \(1\,\text{cm}\)).

1.a) Vérifier que \(f(x)=\dfrac{x^2}{e^x}-\dfrac x{e^x}+x\), puis montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(e^{-x}=\dfrac1{e^x}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{x^2}{e^x}\to0\) et \(\dfrac x{e^x}\to0\).

✅ \(f(x)\approx x\) : \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\).

1.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)\) et déduire que \(\left(C_f\right)\) admet une asymptote \((D)\) : \(y=x\) au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim\left[f(x)-(ax+b)\right]=0\), la droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique ; la position se lit sur le signe de \(f(x)-(ax+b)\).

🔢 \(f(x)-x=\left(x^2-x\right)e^{-x}\to0\).

✅ \((D)\) : \(y=x\) est asymptote oblique en \(+\infty\).

1.c) Vérifier que \(f(x)=\dfrac{x^2-x+xe^x}{e^x}\) puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On met au même dénominateur : \(\dfrac{x^2-x}{e^x}+x=\dfrac{x^2-x+xe^x}{e^x}\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(x^2-x+xe^x\to+\infty\) et \(e^x\to0^+\).

✅ \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=+\infty\).

1.d) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}x=-\infty\) et interpréter géométriquement.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{f(x)}x=(x-1)e^{-x}+1\) avec \(x-1\to-\infty\) et \(e^{-x}\to+\infty\).

✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées en \(-\infty\).

2.a) Montrer que \(f(x)-x\) et \(x^2-x\) ont le même signe pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=\left(x^2-x\right)e^{-x}\) avec \(e^{-x}>0\).

✅ Les deux quantités ont le même signe.

2.b) En déduire que \(\left(C_f\right)\) est au-dessus de \((D)\) sur \(]-\infty,0]\) et \([1,+\infty[\), et au-dessous de \((D)\) sur \([0,1]\).

Correction détaillée

🔢 \(x^2-x=x(x-1)\ge0\) si \(x\le0\) ou \(x\ge1\), et \(\le0\) si \(0\le x\le1\).

✅ Résultat démontré.

3.a) Montrer que \(f'(x)=g(x)e^{-x}\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 \(f'(x)=(2x-1)e^{-x}-\left(x^2-x\right)e^{-x}+1=e^{-x}\left(-x^2+3x-1+e^x\right)\).

✅ \(f'(x)=g(x)e^{-x}\).

3.b) Déduire que \(f\) est décroissante sur \(]-\infty,0]\) et croissante sur \([0,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Signe de \(g\) (Partie I, 2)) et \(e^{-x}>0\).

✅ \(f\) décroît sur \(]-\infty,0]\) et croît sur \([0,+\infty[\).

3.c) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=0\) ; limites \(+\infty\) en \(\pm\infty\).

✅ \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(0\), puis croît de \(0\) à \(+\infty\).

4.a) Vérifier que \(f »(x)=\left(x^2-5x+4\right)e^{-x}\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f » = \left[g'(x)-g(x)\right]e^{-x}\) avec \(g'(x)=e^x-2x+3\).

🔢 Étape 2 : \(g'(x)-g(x)=e^x-2x+3-e^x+x^2-3x+1=x^2-5x+4\).

✅ \(f »(x)=\left(x^2-5x+4\right)e^{-x}\).

4.b) Déduire que \(\left(C_f\right)\) admet deux points d’inflexion d’abscisses respectives \(1\) et \(4\).

Correction détaillée

🔢 \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\) s’annule en changeant de signe en \(1\) et en \(4\).

✅ Deux points d’inflexion, d’abscisses \(1\) et \(4\).

6.a) Vérifier que \(H:x\mapsto\left(x^2+2x+2\right)e^{-x}\) est une primitive de \(h:x\mapsto-x^2e^{-x}\) sur \(\mathbb R\), puis déduire que \(\displaystyle\int_0^1x^2e^{-x}dx=\dfrac{2e-5}e\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(H'(x)=(2x+2)e^{-x}-\left(x^2+2x+2\right)e^{-x}=-x^2e^{-x}\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^1x^2e^{-x}dx=-\left[H\right]_0^1=-\left(5e^{-1}-2\right)\).

✅ \(\displaystyle\int_0^1x^2e^{-x}dx=2-\dfrac5e=\dfrac{2e-5}e\).

6.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx=\dfrac{e-2}e\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=\Big[uv\Big]_a^b-\int_a^bu’v\).

🔢 \(u=x\), \(v’=e^{-x}\) : \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx=\left[-xe^{-x}\right]_0^1+\int_0^1e^{-x}dx=-\dfrac1e+1-\dfrac1e\).

✅ \(\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx=1-\dfrac2e=\dfrac{e-2}e\).

6.c) Calculer en \(\text{cm}^2\) l’aire du domaine plan limité par \(\left(C_f\right)\), la droite \((D)\) et les droites \(x=0\) et \(x=1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire entre deux courbes sur \([a,b]\) : \(\displaystyle\int_a^b|f-g|\) en unités d’aire ; multiplier par l’aire de l’unité (\(\text{cm}^2\)).

🔢 Étape 1 : Sur \([0,1]\) : \(f(x)-x=\left(x^2-x\right)e^{-x}\le0\).

🔢 Étape 2 : Aire \(=\displaystyle\int_0^1\left(x-x^2\right)e^{-x}dx=\int_0^1xe^{-x}dx-\int_0^1x^2e^{-x}dx=\dfrac{e-2}e-\dfrac{2e-5}e\).

✅ \(\mathcal A=\dfrac{3-e}e\ \text{cm}^2=\left(\dfrac3e-1\right)\text{cm}^2\approx0{,}10\ \text{cm}^2\).

Partie III \(u_0=\dfrac12\) et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\).

1) Montrer par récurrence que \(0\le u_n\le1\) (on pourra utiliser le résultat de la question II.3.b)).

Correction détaillée

📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=\dfrac12\in[0,1]\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(f\) est croissante sur \([0,1]\) avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=0+1=1\) : si \(u_n\in[0,1]\) alors \(u_{n+1}\in[0,1]\).

✅ \((\forall n)\) : \(0\le u_n\le1\).

2) Montrer que la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Sur \([0,1]\) : \(f(x)-x=\left(x^2-x\right)e^{-x}\le0\) (II.2.b).

✅ \(u_{n+1}\le u_n\) : \(\left(u_n\right)\) est décroissante.

3) En déduire que \(\left(u_n\right)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\left(u_n\right)\) converge vers \(\ell\), \(f\) est continue et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\), alors \(f(\ell)=\ell\).

🔢 Étape 1 : Décroissante et minorée par \(0\) : convergente, de limite \(\ell\in\left[0,\dfrac12\right]\).

🔢 Étape 2 : \(f(\ell)=\ell\iff\left(\ell^2-\ell\right)e^{-\ell}=0\iff\ell=0\) ou \(\ell=1\) ; or \(\ell\le\dfrac12\).

✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

Exercice 56

Première partie \(f(x)=2+8\left(\dfrac{x-2}x\right)^2e^{x-4}\) sur \(\mathbb R^*\) (unité : \(1\,\text{cm}\)).

1.a) Vérifier que \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=2\) puis interpréter graphiquement.

Correction détaillée

⚠️ Les bornes des limites en 1.a) et 1.b) sont en très petits indices sur le scan ; on a pris \(-\infty\) pour 1.a) et \(0\) pour 1.b) (cohérent avec la suite de l’énoncé).

🔢 \(\dfrac{x-2}x\to1\) et \(e^{x-4}\to0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{-\infty}f=2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale en \(-\infty\).

1.b) Vérifier que \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=+\infty\) puis interpréter graphiquement.

Correction détaillée

🔢 \(\left(\dfrac{x-2}x\right)^2\to+\infty\) et \(e^{x-4}\to e^{-4}>0\).

✅ \(\displaystyle\lim_{0}f=+\infty\) : l’axe des ordonnées est asymptote verticale.

2.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\dfrac{x-2}x\right)^2\to1\) et \(e^{x-4}\to+\infty\).

✅ \(\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty\).

2.b) Montrer que \(\left(C_f\right)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(+\infty\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\displaystyle\lim f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}x=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

🔢 \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac2x+8\left(\dfrac{x-2}x\right)^2\dfrac{e^{x-4}}x\to+\infty\).

✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

3.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{8(x-2)\left(x^2-2x+4\right)e^{x-4}}{x^3}\) pour tout \(x\in\mathbb R^*\).

Correction détaillée

📘 Méthode : \((e^u)’=u’e^u\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac uv\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).

🔢 Étape 1 : \(\left(\dfrac{x-2}x\right)’=\dfrac2{x^2}\) ; \(f'(x)=8\left[2\cdot\dfrac{x-2}x\cdot\dfrac2{x^2}+\left(\dfrac{x-2}x\right)^2\right]e^{x-4}\).

🔢 Étape 2 : On factorise \(\dfrac{x-2}x\) : \(8\cdot\dfrac{x-2}x\left[\dfrac4{x^2}+\dfrac{x-2}x\right]e^{x-4}=8\cdot\dfrac{x-2}x\cdot\dfrac{x^2-2x+4}{x^2}e^{x-4}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{8(x-2)\left(x^2-2x+4\right)e^{x-4}}{x^3}\).

3.b) Vérifier que \(x^2-2x+4>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(x^2-2x+4=(x-1)^2+3\).

✅ \(x^2-2x+4\ge3>0\).

3.c) Montrer que \(f\) est strictement décroissante sur \(]0,2]\) et strictement croissante sur \(]-\infty,0[\) et sur \([2,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(f’\) a le signe de \(\dfrac{x-2}{x^3}\) : positif si \(x<0\), négatif si \(0<x<2\), positif si \(x>2\).

✅ Résultat démontré.

3.d) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb R^*\).

Correction détaillée

🔢 \(f(2)=2+0=2\).

✅ \(f\) croît de \(2\) à \(+\infty\) sur \(]-\infty,0[\) ; décroît de \(+\infty\) à \(2\) sur \(]0,2]\) ; croît de \(2\) à \(+\infty\) sur \([2,+\infty[\).

5.a) Vérifier que \(H:x\mapsto\dfrac1xe^{x-4}\) est une primitive de \(h:x\mapsto\dfrac{x-1}{x^2}e^{x-4}\) sur l’intervalle \([2,4]\).

Correction détaillée

🔢 \(H'(x)=-\dfrac1{x^2}e^{x-4}+\dfrac1xe^{x-4}=\dfrac{x-1}{x^2}e^{x-4}\).

✅ \(H’=h\) : \(H\) est une primitive de \(h\).

5.b) Vérifier que \(f(x)=2+8e^{x-4}-32\dfrac{x-1}{x^2}e^{x-4}\) pour tout \(x\in\mathbb R^*\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\dfrac{x-2}x\right)^2=1-\dfrac4x+\dfrac4{x^2}=1-\dfrac{4(x-1)}{x^2}\).

✅ \(f(x)=2+8e^{x-4}\left(1-\dfrac{4(x-1)}{x^2}\right)\) : égalité vérifiée.

5.c) Calculer l’intégrale \(\displaystyle\int_2^4e^{x-4}dx\).

Correction détaillée

🔢 \(\left[e^{x-4}\right]_2^4=e^0-e^{-2}\).

✅ \(\displaystyle\int_2^4e^{x-4}dx=1-e^{-2}\).

5.d) Calculer en \(\text{cm}^2\) l’aire du domaine plan limité par \(\left(C_f\right)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=2\) et \(x=4\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Aire entre deux courbes sur \([a,b]\) : \(\displaystyle\int_a^b|f-g|\) en unités d’aire ; multiplier par l’aire de l’unité (\(\text{cm}^2\)).

🔢 Étape 1 : \(f>0\) donc l’aire vaut \(\displaystyle\int_2^4f(x)dx=2\times2+8\left(1-e^{-2}\right)-32\left[H(4)-H(2)\right]\).

🔢 Étape 2 : \(H(4)=\dfrac14\), \(H(2)=\dfrac{e^{-2}}2\) : \(32\left(\dfrac14-\dfrac{e^{-2}}2\right)=8-16e^{-2}\).

✅ \(\mathcal A=4+8-8e^{-2}-8+16e^{-2}=\left(4+8e^{-2}\right)\text{cm}^2\approx5{,}08\ \text{cm}^2\).

Deuxième partie \(g(x)=8(x-2)e^{x-4}-x^2\) sur \([2,4]\).

1.a) Calculer \(g(4)\).

Correction détaillée

🔢 \(g(4)=8\times2\times1-16\).

✅ \(g(4)=0\).

1.b) Vérifier que pour tout \(x\in[2,4]\) : \(g(x)=-(x-4)^2e^{x-4}+x^2\left(e^{x-4}-1\right)\).

Correction détaillée

🔢 On développe : \(-\left(x^2-8x+16\right)e^{x-4}+x^2e^{x-4}-x^2=(8x-16)e^{x-4}-x^2\).

✅ \(=8(x-2)e^{x-4}-x^2=g(x)\) : égalité vérifiée.

1.c) Vérifier que \(e^{x-4}-1\le0\) sur \([2,4]\) puis déduire que \(g(x)\le0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x-4\le0\Rightarrow e^{x-4}\le1\).

🔢 Étape 2 : Dans l’écriture de 1.b), les deux termes sont \(\le0\).

✅ \(g(x)\le0\) pour tout \(x\in[2,4]\).

2.a) Vérifier que \((\forall x\in[2,4])\) : \(f(x)-x=\dfrac{x-2}{x^2}g(x)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=2-x+8\dfrac{(x-2)^2}{x^2}e^{x-4}\) et \(\dfrac{x-2}{x^2}g(x)=\dfrac{8(x-2)^2e^{x-4}}{x^2}-(x-2)\).

✅ Les deux expressions sont égales.

2.b) En déduire que \((\forall x\in[2,4])\) : \(f(x)\le x\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{x-2}{x^2}\ge0\) et \(g(x)\le0\).

✅ \(f(x)-x\le0\).

3.a) On pose \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\). Montrer par récurrence que \(2\le u_n\le4\).

Correction détaillée

⚠️ La valeur de \(u_0\) est partiellement masquée sur le scan (lue \(3\)) ; tout \(u_0\in[2,4[\) donne un raisonnement analogue, avec limite \(2\) pour \(u_0<4\).

📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=3\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(f\) est croissante sur \([2,4]\) avec \(f(2)=2\) et \(f(4)=2+8\times\dfrac14=4\) : \(f([2,4])=[2,4]\).

✅ \((\forall n)\) : \(2\le u_n\le4\).

3.b) Déterminer la monotonie de \(\left(u_n\right)\), puis déduire qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 D’après 2.b) : \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\le u_n\).

✅ \(\left(u_n\right)\) est décroissante et minorée par \(2\) : elle est convergente.

3.c) Calculer la limite de \(\left(u_n\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\left(u_n\right)\) converge vers \(\ell\), \(f\) est continue et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\), alors \(f(\ell)=\ell\).

🔢 Étape 1 : La limite \(\ell\in[2,3]\) vérifie \(f(\ell)=\ell\iff(\ell-2)g(\ell)=0\).

🔢 Étape 2 : \(g(\ell)=0\) n’a de solution dans \([2,4]\) que \(\ell=4\) (les deux termes de 1.b) sont \(\le0\) et ne s’annulent ensemble qu’en \(4\)) ; or \(\ell\le3\).

✅ \(\ell=2\) : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2\).