Ce devoir 3 du 1er semestre 2ème Bac (PC et SVT) rassemble des exercices de contrôle sur les suites numériques : limites, suites arithmétiques et géométriques, raisonnement par récurrence et convergence. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.
Devoir 3 corrigé du 1er semestre 2ème Bac
Devoir 3 (1er semestre) · Série de synthèse 2ème Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
1) Calculer la limite de la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \((\forall n\in\mathbb N^*)\) \(u_n=\dfrac{\cos(n)}{\sqrt n}-\left(\dfrac23\right)^n+1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Théorème des gendarmes : si \(|u_n-\ell|\le v_n\) et \(v_n\to0\), alors \(u_n\to\ell\).
🔢 Étape 1 : \(\left|\dfrac{\cos n}{\sqrt n}\right|\le\dfrac1{\sqrt n}\to0\), donc \(\dfrac{\cos n}{\sqrt n}\to0\).
🔢 Étape 2 : \(-1<\dfrac23<1\) donc \(\left(\dfrac23\right)^n\to0\).
✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0-0+1=1\).
2) Soit la suite \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N^*}\) définie par : \(u_n=\dfrac13+(-1)^n\dfrac{\cos(n)}{\sqrt n}\) \((\forall n\in\mathbb N^*)\). Montrer que : \(\left|u_n-\dfrac13\right|\le\dfrac1{\sqrt n}\) et déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\left|u_n-\dfrac13\right|=\dfrac{|(-1)^n||\cos n|}{\sqrt n}=\dfrac{|\cos n|}{\sqrt n}\le\dfrac1{\sqrt n}\) car \(|\cos n|\le1\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac1{\sqrt n}\to0\).
✅ Par le théorème des gendarmes : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac13\).
Exercice 2
On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac17u_n+3\) \((n\in\mathbb N)\). On pose \(v_n=u_n-\dfrac72\) \((n\in\mathbb N)\).
1) Vérifier que \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(u_{n+1}-\dfrac72=\dfrac17\left(u_n-\dfrac72\right)\).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-\dfrac72=\dfrac17u_n+3-\dfrac72=\dfrac17u_n-\dfrac12\) et \(\dfrac17\left(u_n-\dfrac72\right)=\dfrac17u_n-\dfrac12\).
✅ Les deux expressions sont égales.
2.a) Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(u_n<\dfrac72\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1<\dfrac72\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n<\dfrac72\), alors d’après 1), \(u_{n+1}-\dfrac72=\dfrac17\left(u_n-\dfrac72\right)<0\).
✅ \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(u_n<\dfrac72\).
2.b) Montrer que la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=3-\dfrac67u_n=\dfrac67\left(\dfrac72-u_n\right)>0\) d’après 2.a).
✅ \(\left(u_n\right)\) est croissante.
2.c) Déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.
Correction détaillée
📘 Méthode : Toute suite décroissante et minorée (ou croissante et majorée) est convergente.
🔢 \(\left(u_n\right)\) est croissante et majorée par \(\dfrac72\).
✅ \(\left(u_n\right)\) est convergente.
3.a) Montrer que la suite \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac17\) ; puis exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : D’après 1) : \(v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac72=\dfrac17\left(u_n-\dfrac72\right)=\dfrac17v_n\).
🔢 Étape 2 : \(v_0=u_0-\dfrac72=-\dfrac52\).
✅ \(\left(v_n\right)\) est géométrique de raison \(\dfrac17\) et \(v_n=-\dfrac52\left(\dfrac17\right)^n\).
3.b) Montrer que \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(u_n=\dfrac72-\dfrac52\left(\dfrac17\right)^n\), puis calculer sa limite.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_n=v_n+\dfrac72=\dfrac72-\dfrac52\left(\dfrac17\right)^n\).
🔢 Étape 2 : \(-1<\dfrac17<1\) donc \(\left(\dfrac17\right)^n\to0\).
✅ \(u_n=\dfrac72-\dfrac52\left(\dfrac17\right)^n\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac72\).
Exercice 3
On considère la suite \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}\) définie par : \(u_{n+1}=\dfrac56u_n+\dfrac16\), \(n\in\mathbb N\) et \(u_0=2\). On pose \(v_n=u_n-1\).
1) Montrer que \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(u_n>1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2>1\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}-1=\dfrac56u_n+\dfrac16-1=\dfrac56\left(u_n-1\right)>0\) si \(u_n>1\).
✅ \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(u_n>1\).
2) Montrer que \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}\) est une suite décroissante et qu’elle est convergente.
Correction détaillée
📘 Méthode : Toute suite décroissante et minorée (ou croissante et majorée) est convergente.
🔢 \(u_{n+1}-u_n=-\dfrac16u_n+\dfrac16=\dfrac16\left(1-u_n\right)<0\) d’après 1).
✅ \(\left(u_n\right)\) est décroissante et minorée par \(1\) : elle est convergente.
3.a) Montrer que \(\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac56\) et déterminer \(v_0\).
Correction détaillée
🔢 \(v_{n+1}=u_{n+1}-1=\dfrac56\left(u_n-1\right)=\dfrac56v_n\) et \(v_0=u_0-1=1\).
✅ \(\left(v_n\right)\) est géométrique de raison \(\dfrac56\) et \(v_0=1\).
3.b) Déduire que \(u_n=1+\left(\dfrac56\right)^n\) \((\forall n\in\mathbb N)\) et calculer la limite de la suite \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=v_0q^n=\left(\dfrac56\right)^n\), donc \(u_n=1+v_n\).
✅ \(u_n=1+\left(\dfrac56\right)^n\) et, comme \(-1<\dfrac56<1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1\).
3.c) Calculer \(S_n=u_0+u_1+u_2+\dots+u_n\) et calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n\) (remarquer que \(u_n=v_n+1\)).
Correction détaillée
📘 Méthode : Somme géométrique : \(\sum_{k=0}^nq^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (\(q\ne1\)).
🔢 Étape 1 : \(S_n=\sum_{k=0}^n\left(v_k+1\right)=(n+1)+\sum_{k=0}^n\left(\dfrac56\right)^k\).
🔢 Étape 2 : \(\sum_{k=0}^n\left(\dfrac56\right)^k=\dfrac{1-\left(\frac56\right)^{n+1}}{1-\frac56}=6\left(1-\left(\dfrac56\right)^{n+1}\right)\).
✅ \(S_n=n+1+6\left(1-\left(\dfrac56\right)^{n+1}\right)\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=+\infty\).
Exercice 4
Soit la suite \(\left(u\right)_{n\in\mathbb N}\) définie par : \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n-4}{u_n+1}\) \((\forall n\in\mathbb N)\). On considère la suite \(\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}\) définie par : \(v_n=\dfrac1{u_n-2}\).
1) Montrer que : \((\forall n\in\mathbb N)\) \(u_n>2\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan donne \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n-4}{u_n-1}\) mais seul \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n-4}{u_n+1}\) est compatible avec l’énoncé (suite décroissante, \(v_n\) arithmétique de raison \(\frac13\), formule finale). On a corrigé en \(u_n+1\).
📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=3>2\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}-2=\dfrac{5u_n-4-2u_n-2}{u_n+1}=\dfrac{3\left(u_n-2\right)}{u_n+1}>0\) si \(u_n>2\).
✅ \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(u_n>2\).
2) Montrer que \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}\) est décroissante et qu’elle est convergente.
Correction détaillée
📘 Méthode : Toute suite décroissante et minorée (ou croissante et majorée) est convergente.
🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{5u_n-4-u_n^2-u_n}{u_n+1}=-\dfrac{\left(u_n-2\right)^2}{u_n+1}<0\).
✅ \(\left(u_n\right)\) est décroissante et minorée par \(2\) : elle est convergente.
3.a) Montrer que \(\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}\) est arithmétique de raison \(\dfrac13\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Pour montrer qu’une suite est arithmétique : \(v_{n+1}-v_n=r\) (constante).
🔢 \(v_{n+1}=\dfrac1{u_{n+1}-2}=\dfrac{u_n+1}{3\left(u_n-2\right)}=\dfrac{\left(u_n-2\right)+3}{3\left(u_n-2\right)}=\dfrac13+\dfrac1{u_n-2}\).
✅ \(v_{n+1}=v_n+\dfrac13\) : \(\left(v_n\right)\) est arithmétique de raison \(\dfrac13\).
3.b) Calculer \(v_n\) en fonction de \(n\) et montrer que \(u_n=\dfrac{3+\frac23n}{1+\frac13n}\) \((\forall n\in\mathbb N)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_0=\dfrac1{3-2}=1\) donc \(v_n=1+\dfrac n3\).
🔢 Étape 2 : \(u_n=2+\dfrac1{v_n}=\dfrac{2v_n+1}{v_n}=\dfrac{2+\frac23n+1}{1+\frac13n}\).
✅ \(v_n=1+\dfrac n3\) et \(u_n=\dfrac{3+\frac23n}{1+\frac13n}\).
3.c) Calculer la limite de la suite \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}\).
Correction détaillée
🔢 \(u_n=2+\dfrac1{v_n}\) avec \(v_n=1+\dfrac n3\to+\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2\).
Exercice 5
Soit la suite numérique \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}\) définie par : \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=\dfrac{7u_n+4}{2u_n+5}\). On pose \((\forall n\in\mathbb N)\) \(v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}\).
1) Montrer que : \((\forall n\in\mathbb N)\) \(u_n>2\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=3>2\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}-2=\dfrac{7u_n+4-4u_n-10}{2u_n+5}=\dfrac{3\left(u_n-2\right)}{2u_n+5}>0\) si \(u_n>2\).
✅ \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(u_n>2\).
2.a) Montrer que : \((\forall n\in\mathbb N)\) \(u_n=\dfrac{2+v_n}{1-v_n}\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}\iff v_n\left(u_n+1\right)=u_n-2\iff u_n\left(v_n-1\right)=-2-v_n\).
✅ \(u_n=\dfrac{2+v_n}{1-v_n}\) (on a \(v_n\ne1\) car \(u_n\ne\infty\)).
2.b) Montrer que la suite \(\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac13\) et écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+1}=\dfrac{\frac{3(u_n-2)}{2u_n+5}}{\frac{9u_n+9}{2u_n+5}}=\dfrac{3\left(u_n-2\right)}{9\left(u_n+1\right)}=\dfrac13v_n\).
🔢 Étape 2 : \(v_0=\dfrac{3-2}{3+1}=\dfrac14\).
✅ \(\left(v_n\right)\) est géométrique de raison \(\dfrac13\) et \(v_n=\dfrac14\left(\dfrac13\right)^n\).
2.c) Montrer que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=0\) puis déduire la limite de la suite \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(-1<\dfrac13<1\) donc \(v_n\to0\).
🔢 Étape 2 : \(u_n=\dfrac{2+v_n}{1-v_n}\to\dfrac{2+0}{1-0}\).
✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=0\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2\).
Exercice 6
On considère la suite numérique \(\left(u_n\right)_{n\ge0}\) définie par : \(u_0=10\) et \(u_{n+1}=\dfrac{10u_n-81}{u_n-8}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\). On pose \(v_n=\dfrac1{u_n-9}\).
1.a) Montrer que : \((\forall n\in\mathbb N)\) ; \(u_n>9\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=10>9\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}-9=\dfrac{10u_n-81-9u_n+72}{u_n-8}=\dfrac{u_n-9}{u_n-8}>0\) si \(u_n>9\) (alors \(u_n-8>1>0\)).
✅ \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(u_n>9\).
1.b) Montrer que \(\left(u_n\right)_{n\ge0}\) est strictement décroissante et déduire que \(\left(u_n\right)_{n\ge0}\) est convergente.
Correction détaillée
📘 Méthode : Toute suite décroissante et minorée (ou croissante et majorée) est convergente.
🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{10u_n-81-u_n^2+8u_n}{u_n-8}=-\dfrac{u_n^2-18u_n+81}{u_n-8}=-\dfrac{\left(u_n-9\right)^2}{u_n-8}<0\).
✅ \(\left(u_n\right)\) est strictement décroissante et minorée par \(9\) : elle est convergente.
2.a) Montrer que : \((\forall n\in\mathbb N)\) ; \(v_n\ge1\).
Correction détaillée
🔢 \(\left(u_n\right)\) étant décroissante, \(u_n\le u_0=10\), donc \(0<u_n-9\le1\).
✅ \(v_n=\dfrac1{u_n-9}\ge1\).
2.b) Prouver que \(\left(v_n\right)_{n\ge0}\) est une suite arithmétique de raison \(r=1\).
Correction détaillée
🔢 \(v_{n+1}=\dfrac1{u_{n+1}-9}=\dfrac{u_n-8}{u_n-9}=\dfrac{\left(u_n-9\right)+1}{u_n-9}=1+\dfrac1{u_n-9}\).
✅ \(v_{n+1}=v_n+1\) : \(\left(v_n\right)\) est arithmétique de raison \(1\) (et \(v_0=1\)).
2.c) Vérifier que \(u_n=\dfrac{9v_n+1}{v_n}\) puis déduire \(u_n\) en fonction de \(n\) et calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_n=\dfrac1{u_n-9}\iff u_n=9+\dfrac1{v_n}=\dfrac{9v_n+1}{v_n}\).
🔢 Étape 2 : \(v_n=v_0+n\,r=1+n\), donc \(u_n=9+\dfrac1{n+1}\).
✅ \(u_n=\dfrac{9n+10}{n+1}\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=9\).
3) Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(u_n-8\right)}{u_n-9}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Limite usuelle : \(\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+t)}t=1\).
🔢 On pose \(t_n=u_n-9=\dfrac1{n+1}\to0\) : \(\dfrac{\ln(u_n-8)}{u_n-9}=\dfrac{\ln\left(1+t_n\right)}{t_n}\).
✅ \(\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+t)}t=1\) donc la limite vaut \(1\).
Exercice 7
On considère la suite numérique \(\left(u_n\right)_{n\ge0}\) définie par : \(u_0=20\) et \(u_{n+1}=\dfrac{20u_n}{u_n+1}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\). On pose \(v_n=\dfrac{u_n}{u_n-19}\).
1.a) Montrer par récurrence que pour tout \(n\in\mathbb N\) : \(u_n>19\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Récurrence : (1) initialisation ; (2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\) ; (3) conclusion.
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=20>19\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}-19=\dfrac{20u_n-19u_n-19}{u_n+1}=\dfrac{u_n-19}{u_n+1}>0\) si \(u_n>19\).
✅ \((\forall n\in\mathbb N)\) : \(u_n>19\).
1.b) Vérifier que : \((\forall n\in\mathbb N)\), \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n\left(19-u_n\right)}{u_n+1}\) puis déduire la monotonie de la suite \(\left(u_n\right)_{n\ge0}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{20u_n-u_n\left(u_n+1\right)}{u_n+1}=\dfrac{u_n\left(19-u_n\right)}{u_n+1}\).
🔢 Étape 2 : Comme \(u_n>19>0\) : \(19-u_n<0\) donc la différence est négative.
✅ \(\left(u_n\right)\) est strictement décroissante.
1.c) Montrer que la suite \(\left(u_n\right)_{n\ge0}\) est convergente et que sa limite appartient à l’intervalle \([19,20]\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Toute suite décroissante et minorée (ou croissante et majorée) est convergente.
🔢 Étape 1 : \(\left(u_n\right)\) est décroissante et minorée par \(19\) : elle converge vers \(\ell\).
🔢 Étape 2 : \(19<u_n\le u_0=20\) pour tout \(n\) ; en passant à la limite : \(19\le\ell\le20\).
✅ \(\left(u_n\right)\) est convergente et \(\ell\in[19,20]\).
2.a) Montrer que \(\left(v_n\right)_{n\ge0}\) est une suite géométrique de raison \(q=20\) puis exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-19}=\dfrac{\frac{20u_n}{u_n+1}}{\frac{u_n-19}{u_n+1}}=\dfrac{20u_n}{u_n-19}=20\,v_n\).
🔢 Étape 2 : \(v_0=\dfrac{20}{20-19}=20\).
✅ \(\left(v_n\right)\) est géométrique de raison \(20\) et \(v_n=20\times20^n=20^{n+1}\).
2.b) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\) : \(u_n=\dfrac{19v_n}{v_n-1}\) puis déduire que \(u_n=\dfrac{19\times20^{n+1}}{20^{n+1}-1}\).
Correction détaillée
🔢 \(v_n=\dfrac{u_n}{u_n-19}\iff v_n\left(u_n-19\right)=u_n\iff u_n\left(v_n-1\right)=19v_n\).
✅ \(u_n=\dfrac{19v_n}{v_n-1}=\dfrac{19\times20^{n+1}}{20^{n+1}-1}\).
2.c) Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\) (justifier votre réponse).
Correction détaillée
🔢 \(u_n=\dfrac{19}{1-\frac1{20^{n+1}}}\) et \(20^{n+1}\to+\infty\) car \(20>1\).
✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=19\).
3.a) Montrer que \(u_n-19<10^{-25}\iff n>\dfrac{\ln\left(19\times10^{25}+1\right)}{\ln20}-1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u_n-19=\dfrac{19\times20^{n+1}-19\times20^{n+1}+19}{20^{n+1}-1}=\dfrac{19}{20^{n+1}-1}\).
🔢 Étape 2 : \(u_n-19<10^{-25}\iff20^{n+1}-1>19\times10^{25}\iff20^{n+1}>19\times10^{25}+1\).
🔢 Étape 3 : On applique \(\ln\) (strictement croissante) : \((n+1)\ln20>\ln\left(19\times10^{25}+1\right)\).
✅ \(u_n-19<10^{-25}\iff n>\dfrac{\ln\left(19\times10^{25}+1\right)}{\ln20}-1\).
3.b) Déduire la valeur du plus petit entier naturel \(n\) tel que \(u_n-19<10^{-25}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\ln\left(19\times10^{25}+1\right)\approx\ln19+25\ln10\approx2{,}944+57{,}565=60{,}509\) et \(\ln20\approx2{,}996\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{60{,}509}{2{,}996}\approx20{,}20\), donc \(n>20{,}20-1=19{,}20\).
✅ Le plus petit entier \(n\) est \(n=20\).
Exercice 8
On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec u,\vec v\right)\) les points \(A,B,C\) d’affixes respectivement : \(a=-1+i\), \(b=1+i\), \(c=\left(1+\sqrt3\right)i\). Soit \(M(z)\) un point du plan complexe et \(M'(z’)\) son image par la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{3\pi}2\).
1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\) l’équation : \(z^2+2z+2=0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Si \(\Delta<0\) : \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).
🔢 \(\Delta=4-8=-4=(2i)^2\).
✅ Les solutions sont \(z=\dfrac{-2-2i}2=-1-i\) et \(z=\dfrac{-2+2i}2=-1+i\) : \(S=\{-1-i\,;\,-1+i\}\).
2.a) Montrer que : \(z’=-iz\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : L’écriture complexe de la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\theta\) est \(z’=e^{i\theta}z\).
🔢 Étape 2 : Ici \(\theta=\dfrac{3\pi}2\) : \(e^{i\frac{3\pi}2}=\cos\dfrac{3\pi}2+i\sin\dfrac{3\pi}2=-i\).
✅ \(z’=-iz\).
2.b) Déduire que le point \(B\) est l’image du point \(A\) par la rotation \(R\).
Correction détaillée
🔢 L’image de \(A\) a pour affixe \(-ia=-i(-1+i)=i-i^2=1+i\).
✅ \(-ia=1+i=b\) : \(B\) est l’image de \(A\) par \(R\).
2.c) Montrer que : \(\dfrac{a-b}{c-b}=\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(a-b=-2\) et \(c-b=\left(1+\sqrt3\right)i-1-i=-1+i\sqrt3\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{-2}{-1+i\sqrt3}=\dfrac{-2\left(-1-i\sqrt3\right)}{1+3}=\dfrac{2+2i\sqrt3}4\).
✅ \(\dfrac{a-b}{c-b}=\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\).
2.d) Écrire le nombre complexe \(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\) sous la forme trigonométrique.
Correction détaillée
🔢 Module : \(\sqrt{\dfrac14+\dfrac34}=1\). \(\cos\theta=\dfrac12\) et \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}2\).
✅ \(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2=\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3\).
2.e) Déduire que le triangle \(ABC\) est équilatéral.
Correction détaillée
📘 Méthode : Triangle isocèle avec un angle de \(\dfrac\pi3\) \(\Rightarrow\) équilatéral.
🔢 Étape 1 : \(\left|\dfrac{a-b}{c-b}\right|=1\) donc \(BA=BC\).
🔢 Étape 2 : \(\arg\dfrac{a-b}{c-b}\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\), c’est-à-dire \(\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\).
✅ Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(B\) avec un angle de \(\dfrac\pi3\) : il est équilatéral.
Exercice 9
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec u,\vec v\right)\), on considère le point \(A\) d’affixe \(z_A=3+i\sqrt3\). Soit \(z\) l’affixe d’un point \(M\) du plan et \(z’\) l’affixe du point \(M’\), image de \(M\) par la rotation \(R\) de centre le point \(O\) et d’angle \(\dfrac\pi6\). Soit \(I\) milieu de \([AB]\) et \(C\) le symétrique de \(O\) par rapport au point \(I\).
1.a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-6z+12=0\). (On appelle \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation tel que \(\operatorname{Im}(z_1)>0\).)
Correction détaillée
🔢 \(\Delta=36-48=-12=\left(2i\sqrt3\right)^2\).
✅ \(z_1=\dfrac{6+2i\sqrt3}2=3+i\sqrt3\) et \(z_2=3-i\sqrt3\).
1.b) Écrire sous forme trigonométrique les solutions \(z_1\) et \(z_2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(|z_1|=\sqrt{9+3}=2\sqrt3\). \(\cos\theta=\dfrac3{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}2\), \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2\sqrt3}=\dfrac12\), donc \(\theta=\dfrac\pi6\).
🔢 Étape 2 : \(z_2=\overline{z_1}\).
✅ \(z_1=2\sqrt3\left(\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\right)\) et \(z_2=2\sqrt3\left(\cos\left(-\dfrac\pi6\right)+i\sin\left(-\dfrac\pi6\right)\right)\).
1.c) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe \(z_1^{2019}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Moivre : \(\left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\).
🔢 Étape 1 : Formule de Moivre : \(z_1^{2019}=\left(2\sqrt3\right)^{2019}\left(\cos\dfrac{2019\pi}6+i\sin\dfrac{2019\pi}6\right)\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{2019\pi}6=336\pi+\dfrac\pi2\) et \(336\pi=168\times2\pi\), donc \(\cos\dfrac{2019\pi}6=0\) et \(\sin\dfrac{2019\pi}6=1\).
✅ \(z_1^{2019}=\left(2\sqrt3\right)^{2019}\,i\) (forme algébrique \(0+\left(2\sqrt3\right)^{2019}i\)).
2.a) Donner l’écriture complexe de la rotation \(R\).
Correction détaillée
🔢 \(R\) a pour centre \(O\) et pour angle \(\dfrac\pi6\) : \(z’=e^{i\frac\pi6}z\).
✅ \(z’=\left(\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac i2\right)z\).
2.b) Vérifier que l’affixe du point \(B\) image du point \(A\) par la rotation \(R\) est \(z_B=\sqrt3+3i\).
Correction détaillée
🔢 \(z_B=\left(\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac i2\right)\left(3+i\sqrt3\right)=\dfrac{3\sqrt3}2+\dfrac{3i}2+\dfrac{3i}2+\dfrac{i^2\sqrt3}2\).
✅ \(z_B=\dfrac{3\sqrt3-\sqrt3}2+3i=\sqrt3+3i\).
3.a) Montrer que : \(z_C=\left(3+\sqrt3\right)(1+i)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(I\) milieu de \([AB]\) : \(z_I=\dfrac{z_A+z_B}2=\dfrac{3+\sqrt3+i\left(\sqrt3+3\right)}2=\dfrac{\left(3+\sqrt3\right)(1+i)}2\).
🔢 Étape 2 : \(C\) symétrique de \(O\) par rapport à \(I\) : \(I\) est le milieu de \([OC]\), donc \(z_C=2z_I\).
✅ \(z_C=\left(3+\sqrt3\right)(1+i)\).
3.b) Montrer que \(OACB\) est un losange.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Les diagonales \([AB]\) et \([OC]\) ont le même milieu \(I\) : \(OACB\) est un parallélogramme.
🔢 Étape 2 : \(B\) est l’image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) : \(OA=OB\).
✅ Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs égaux (\(OA=OB\)) est un losange : \(OACB\) est un losange.
3.c) Déduire une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{CI},\overrightarrow{CA}\right)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\left(\overrightarrow{CI},\overrightarrow{CA}\right)\equiv\arg\dfrac{z_A-z_C}{z_I-z_C}\,[2\pi]\).
🔢 Étape 1 : \(z_A-z_C=3+i\sqrt3-(3+\sqrt3)-(3+\sqrt3)i=-\sqrt3-3i\) et \(z_I-z_C=-z_I=-\dfrac{(3+\sqrt3)(1+i)}2\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{z_A-z_C}{z_I-z_C}=\dfrac{2\left(\sqrt3+3i\right)}{(3+\sqrt3)(1+i)}\) avec \(\sqrt3+3i=2\sqrt3\,e^{i\frac\pi3}\) et \(1+i=\sqrt2\,e^{i\frac\pi4}\).
🔢 Étape 3 : Le coefficient \(\dfrac{4\sqrt3}{(3+\sqrt3)\sqrt2}\) est un réel strictement positif, donc l’argument est \(\dfrac\pi3-\dfrac\pi4\).
✅ \(\left(\overrightarrow{CI},\overrightarrow{CA}\right)\equiv\dfrac\pi{12}\,[2\pi]\).
Exercice 10
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O,\vec u,\vec v\right)\), on considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives \(z_A\) et \(z_B\) telles que \(z_A=2\sqrt3+2i\) et \(z_B=-2+2\sqrt3\,i\). Soit le point \(D\) d’affixe \(z_D=2\sqrt3-6i\).
1.a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\) l’équation \((E):\dfrac14z^2-\sqrt3z+4=0\). (On appelle \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation \((E)\) tel que \(\operatorname{Im}(z_1)>0\).)
Correction détaillée
🔢 On multiplie par \(4\) : \(z^2-4\sqrt3z+16=0\), \(\Delta=48-64=-16=(4i)^2\).
✅ \(z_1=\dfrac{4\sqrt3+4i}2=2\sqrt3+2i\) et \(z_2=2\sqrt3-2i\).
1.b) Écrire sous forme trigonométrique la solution \(z_1\) de \((E)\).
Correction détaillée
🔢 \(|z_1|=\sqrt{12+4}=4\). \(\cos\theta=\dfrac{2\sqrt3}4=\dfrac{\sqrt3}2\), \(\sin\theta=\dfrac24=\dfrac12\).
✅ \(z_1=4\left(\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\right)\).
1.c) Montrer que \(z_1^{21}\) est imaginaire pur.
Correction détaillée
🔢 \(z_1^{21}=4^{21}\left(\cos\dfrac{21\pi}6+i\sin\dfrac{21\pi}6\right)\) avec \(\dfrac{21\pi}6=\dfrac{7\pi}2=2\pi+\dfrac{3\pi}2\).
✅ \(z_1^{21}=4^{21}\left(\cos\dfrac{3\pi}2+i\sin\dfrac{3\pi}2\right)=-4^{21}\,i\) : c’est un imaginaire pur.
2.a) Montrer que l’écriture complexe de la rotation \(R\) de centre le point \(B\) et d’angle \(-\dfrac\pi2\) est \(z’=-iz-2\left(1+\sqrt3\right)+2\left(\sqrt3-1\right)i\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(z’-z_B=e^{-i\frac\pi2}\left(z-z_B\right)=-i\left(z-z_B\right)\), donc \(z’=-iz+z_B(1+i)\).
🔢 Étape 2 : \(z_B(1+i)=\left(-2+2\sqrt3i\right)(1+i)=-2-2i+2\sqrt3i-2\sqrt3\).
✅ \(z’=-iz-2\left(1+\sqrt3\right)+2\left(\sqrt3-1\right)i\).
2.b) Déduire que l’affixe du point \(C\) image du point \(A\) par la rotation \(R\) est \(z_C=-2\sqrt3-2i\).
Correction détaillée
🔢 \(z_C=-i\left(2\sqrt3+2i\right)-2-2\sqrt3+2\left(\sqrt3-1\right)i=-2\sqrt3\,i+2-2-2\sqrt3+2\sqrt3\,i-2i\).
✅ \(z_C=-2\sqrt3-2i\).
3.a) Montrer que les points \(O\), \(B\) et \(D\) sont alignés.
Correction détaillée
📘 Méthode : Trois points sont alignés si le quotient \(\dfrac{z_D-z_O}{z_B-z_O}\) est réel.
🔢 \(\dfrac{z_D}{z_B}=\dfrac{2\sqrt3-6i}{-2+2\sqrt3\,i}\). On remarque que \(-\sqrt3\,z_B=2\sqrt3-6i=z_D\).
✅ \(\dfrac{z_D}{z_B}=-\sqrt3\in\mathbb R\) : \(O\), \(B\) et \(D\) sont alignés.
3.b) Montrer que \(\dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}=\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(z_D-z_A=2\sqrt3-6i-2\sqrt3-2i=-8i\) et \(z_C-z_A=-2\sqrt3-2i-2\sqrt3-2i=-4\sqrt3-4i\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{-8i}{-4\sqrt3-4i}=\dfrac{2i}{\sqrt3+i}=\dfrac{2i\left(\sqrt3-i\right)}4=\dfrac{2+2\sqrt3\,i}4\).
✅ \(\dfrac{z_D-z_A}{z_C-z_A}=\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\).
3.c) Déduire que \(AD=AC\) et \(\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\) puis donner la nature du triangle \(ACD\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2=\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3\) : module \(1\), argument \(\dfrac\pi3\).
🔢 Étape 2 : Module : \(\dfrac{AD}{AC}=1\). Argument : \(\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\).
✅ \(AD=AC\) et \(\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\equiv\dfrac\pi3\,[2\pi]\) : le triangle \(ACD\) est équilatéral.
4) Montrer que la droite \((BD)\) est la médiatrice du segment \([AC]\).
Correction détaillée
📘 Méthode : La médiatrice de \([AC]\) est l’ensemble des points équidistants de \(A\) et \(C\).
🔢 Étape 1 : \(C\) est l’image de \(A\) par la rotation de centre \(B\) : \(BA=BC\).
🔢 Étape 2 : Le triangle \(ACD\) est équilatéral : \(DA=DC\).
🔢 Étape 3 : \(B\ne D\) car \(z_B=-2+2\sqrt3\,i\ne2\sqrt3-6i=z_D\).
✅ \(B\) et \(D\) sont équidistants de \(A\) et \(C\) : la droite \((BD)\) est la médiatrice de \([AC]\).
Exercice 11
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations et les inéquations suivantes :
1) \(\ln\left(x^2+5\right)=\ln(x+2)+\ln(2x)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x+2>0\) et \(2x>0\), soit \(x>0\).
🔢 Étape 2 : \(\ln(x+2)+\ln(2x)=\ln\left[2x(x+2)\right]\), donc l’équation devient \(x^2+5=2x^2+4x\iff x^2+4x-5=0\).
🔢 Étape 3 : \(\Delta=16+20=36\) : \(x=1\) ou \(x=-5\).
✅ \(-5\notin]0,+\infty[\) : \(S=\{1\}\).
2) \((2-x)\ln x>0\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>0\). Produit positif : les deux facteurs ont le même signe.
🔢 Étape 2 : Cas 1 : \(2-x>0\) et \(\ln x>0\) : \(x<2\) et \(x>1\), soit \(1<x<2\).
🔢 Étape 3 : Cas 2 : \(2-x<0\) et \(\ln x<0\) : \(x>2\) et \(x<1\), impossible.
✅ \(S=]1,2[\).
3) \(2-\ln(x)=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). \(\ln x=2\iff x=e^2\).
✅ \(S=\left\{e^2\right\}\).
Exercice 12
Calculer les limites suivantes :
1) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+2x)}x\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Limite usuelle : \(\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+t)}t=1\).
🔢 \(\dfrac{\ln(1+2x)}x=2\times\dfrac{\ln(1+2x)}{2x}\).
✅ Avec \(t=2x\to0\) : la limite vaut \(2\times1=2\).
2) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln^3(x)}x\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\ln^3x}x=\left(\dfrac{\ln x}{x^{1/3}}\right)^3\) et \(\dfrac{\ln x}{x^{1/3}}\to0\) (croissances comparées).
✅ La limite vaut \(0\).
3) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\ln\left(2x^2+1\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(2x^2+1\to+\infty\) quand \(x\to-\infty\).
✅ La limite vaut \(+\infty\).
4) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac1{x^2}+\ln x\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac1{x^2}+\ln x=\dfrac1{x^2}\left(1+x^2\ln x\right)\) et \(x^2\ln x\to0\).
✅ La limite vaut \(+\infty\).
Exercice 13
On considère la fonction \(g(x)=x-\dfrac12\ln x\) définie sur \(]0,+\infty[\) (partie A) et la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x^2-1-(\ln x)^2\), \((C)\) sa courbe dans un repère orthonormé (partie B).
1.a) Montrer que \((\forall x>0)\) : \(g'(x)=\dfrac{2x-1}{2x}\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=1-\dfrac12\cdot\dfrac1x=\dfrac{2x-1}{2x}\).
✅ \(g'(x)=\dfrac{2x-1}{2x}\).
1.b) En déduire que la fonction \(g\) est croissante sur \(\left[\dfrac12,+\infty\right[\) et décroissante sur \(\left]0,\dfrac12\right]\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>0\), \(g'(x)\) a le signe de \(2x-1\).
✅ \(g\) est décroissante sur \(\left]0,\dfrac12\right]\) et croissante sur \(\left[\dfrac12,+\infty\right[\).
1.c) Montrer que \((\forall x>0)\) : \(g(x)>0\) (remarquer que \(g\left(\frac12\right)>0\)).
Correction détaillée
🔢 D’après 1.b), \(g\) admet un minimum en \(\dfrac12\) : \(g(x)\ge g\left(\dfrac12\right)=\dfrac12-\dfrac12\ln\dfrac12=\dfrac{1+\ln2}2>0\).
✅ \((\forall x>0)\) : \(g(x)>0\).
1.d) En déduire que \((\forall x>0)\) : \(x^2-\ln x>0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g(x)\ge\dfrac{1+\ln2}2\) donne \(\ln x\le2x-1-\ln2\).
🔢 Étape 2 : Donc \(x^2-\ln x\ge x^2-2x+1+\ln2=(x-1)^2+\ln2\).
✅ \((x-1)^2+\ln2>0\) : \(x^2-\ln x>0\) pour tout \(x>0\).
2.a) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) puis interpréter graphiquement.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x^2-1-\ln^2x\) avec \(\ln^2x\to+\infty\) quand \(x\to0^+\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) : l’axe des ordonnées est asymptote verticale à \((C)\).
2.b) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x^2\left(1-\dfrac1{x^2}-\dfrac{\ln^2x}{x^2}\right)\) et \(\dfrac{\ln^2x}{x^2}\to0\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=x-\dfrac1x-\dfrac{\ln^2x}x\) avec \(\dfrac{\ln^2x}x\to0\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\).
2.c) Que peut-on en déduire pour la courbe \((C)\) ?
Correction détaillée
🔢 \(\lim f=+\infty\) et \(\lim\dfrac{f(x)}x=+\infty\).
✅ \((C)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(+\infty\).
3.a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et que : \((\forall x>0)\) \(f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-\ln x\right)}x\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=2x-2\ln x\times\dfrac1x=2x-\dfrac{2\ln x}x=\dfrac{2x^2-2\ln x}x\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-\ln x\right)}x\).
3.b) En déduire que \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 D’après 1.d) : \(x^2-\ln x>0\) donc \(f'(x)>0\) pour tout \(x>0\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
3.c) Montrer que la tangente à la courbe \((C)\) au point \(A(1,0)\) a pour équation : \((T):y=2x-2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(1)=1-1-0=0\) et \(f'(1)=\dfrac{2(1-0)}1=2\).
🔢 Étape 2 : \(y=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)\).
✅ \((T):y=2x-2\).
4.a) Montrer que \((\forall x>0)\) : \(f »(x)=\dfrac{2\left(x^2-1+\ln x\right)}{x^2}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=2x-\dfrac{2\ln x}x\), donc \(f »(x)=2-2\cdot\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=2-\dfrac{2(1-\ln x)}{x^2}\).
✅ \(f »(x)=\dfrac{2x^2-2+2\ln x}{x^2}=\dfrac{2\left(x^2-1+\ln x\right)}{x^2}\).
4.b) Montrer que \(A\) est le seul point d’inflexion de \((C)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Point d’inflexion : \(f »\) s’annule en changeant de signe.
🔢 Étape 1 : Soit \(\varphi(x)=x^2-1+\ln x\) : \(\varphi'(x)=2x+\dfrac1x>0\), donc \(\varphi\) est strictement croissante, avec \(\varphi(1)=0\).
🔢 Étape 2 : Ainsi \(f »(x)<0\) sur \(]0,1[\) et \(f »(x)>0\) sur \(]1,+\infty[\) : \(f »\) s’annule en changeant de signe uniquement en \(1\).
✅ \(A(1,0)\) est l’unique point d’inflexion de \((C)\).
Exercice 14
Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \([1,+\infty[\) (questions 5).
Partie 1 On considère la fonction numérique \(h\) définie sur l’intervalle \(I=]0,+\infty[\) par : \(h(x)=x^2-1+2\ln(x)\).
1) Montrer que \(h\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(h\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et \(h'(x)=2x+\dfrac2x\).
✅ \(h'(x)>0\) pour tout \(x>0\) : \(h\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
2) Calculer \(h(1)\) et déduire que : \(h(x)\le0\) \((\forall x\in]0,1])\) et que : \(h(x)\ge0\) \((\forall x\in[1,+\infty[)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(h(1)=1-1+2\ln1=0\).
🔢 Étape 2 : \(h\) est strictement croissante : si \(x\le1\) alors \(h(x)\le h(1)=0\) ; si \(x\ge1\) alors \(h(x)\ge h(1)=0\).
✅ \(h(1)=0\), \(h(x)\le0\) sur \(]0,1]\) et \(h(x)\ge0\) sur \([1,+\infty[\).
Partie 2 On considère la fonction \(f\) définie sur \(I=]0,+\infty[\) par : \(f(x)=\ln(x)-\dfrac{\ln(x)}{x^2}\). Soit \((C_f)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\).
1) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et interpréter géométriquement le résultat.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=\ln x\left(1-\dfrac1{x^2}\right)\) : \(\ln x\to-\infty\) et \(1-\dfrac1{x^2}\to-\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) : l’axe des ordonnées est asymptote verticale à \((C_f)\).
2.a) Montrer que \((\forall x\in]0,+\infty[)\) : \(f'(x)=\dfrac{h(x)}{x^3}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac1x-\dfrac{\frac1x\cdot x^2-2x\ln x}{x^4}=\dfrac1x-\dfrac{x-2x\ln x}{x^4}=\dfrac1x-\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{x^2-1+2\ln x}{x^3}=\dfrac{h(x)}{x^3}\).
2.b) Déduire que \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([1,+\infty[\) et strictement décroissante sur l’intervalle \(]0,1]\).
Correction détaillée
🔢 \(x^3>0\) donc \(f’\) a le signe de \(h\) : négatif sur \(]0,1]\), positif sur \([1,+\infty[\) (Partie 1, question 2).
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(]0,1]\) et strictement croissante sur \([1,+\infty[\).
2.c) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et donner le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=\ln x\left(1-\dfrac1{x^2}\right)\to+\infty\times1\).
🔢 Étape 2 : \(f(1)=0\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). Tableau : \(+\infty\searrow f(1)=0\nearrow+\infty\) (minimum \(0\) en \(1\)).
3) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=0\) et interpréter géométriquement le résultat.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\ln x}x-\dfrac{\ln x}{x^3}\to0-0\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=0\) : \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de \(+\infty\).
5.a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) qu’on détermine.
Correction détaillée
🔢 \(g\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\) ; \(g(1)=0\) et \(\lim_{+\infty}g=+\infty\).
✅ \(g\) est une bijection de \([1,+\infty[\) sur \(J=[0,+\infty[\).
5.b) Calculer \(g(e)\) et \(\left(g^{-1}\right)’\left(1-\dfrac1{e^2}\right)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\left(g^{-1}\right)'(b)=\dfrac1{g’\left(g^{-1}(b)\right)}\).
🔢 Étape 1 : \(g(e)=\ln e-\dfrac{\ln e}{e^2}=1-\dfrac1{e^2}\), donc \(g^{-1}\left(1-\dfrac1{e^2}\right)=e\).
🔢 Étape 2 : \(g'(e)=\dfrac{h(e)}{e^3}=\dfrac{e^2-1+2}{e^3}=\dfrac{e^2+1}{e^3}\ne0\).
✅ \(g(e)=1-\dfrac1{e^2}\) et \(\left(g^{-1}\right)’\left(1-\dfrac1{e^2}\right)=\dfrac1{g'(e)}=\dfrac{e^3}{e^2+1}\).
Exercice 15
Étude de la fonction \(g\) (Partie 1), puis de la fonction \(f\) (Partie 2) définies sur \(]0,+\infty[\).
Partie 1 Soit la fonction numérique \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par : \(g(x)=x^2+x+3-3\ln(x)\).
1.a) Montrer que : \((\forall x\in]0,+\infty[)\) \(g'(x)=\dfrac{(2x+3)(x-1)}x\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=2x+1-\dfrac3x=\dfrac{2x^2+x-3}x\) et \(2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)\).
✅ \(g'(x)=\dfrac{(2x+3)(x-1)}x\).
1.b) Déduire que la fonction \(g\) est croissante sur l’intervalle \([1,+\infty[\) et décroissante sur l’intervalle \(]0,1]\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>0\), \(2x+3>0\) et \(x>0\) : \(g’\) a le signe de \(x-1\).
✅ \(g\) est décroissante sur \(]0,1]\) et croissante sur \([1,+\infty[\).
2) Déduire que : \((\forall x\in]0,+\infty[)\) \(g(x)>0\).
Correction détaillée
🔢 \(g\) admet un minimum en \(1\) : \(g(1)=1+1+3-0=5\).
✅ \(g(x)\ge5>0\) pour tout \(x>0\).
Partie 2 Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \(]0,+\infty[\) par : \(f(x)=x+\dfrac{x+3}x\ln(x)\). Soit \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\).
1) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) puis interpréter le résultat géométriquement.
Correction détaillée
⚠️ Sur le scan, le signe entre \(x\) et \(\frac{x+3}x\ln x\) est peu lisible (« \(-\) » ?). Seul le signe « \(+\) » donne \(f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}\) (question 3.a), \(\lim_{0^+}f=-\infty\) et \(f\) au-dessus de \((\Delta)\) sur \([1,+\infty[\) : on a pris \(+\).
🔢 \(\dfrac{x+3}x\ln x=\ln x+\dfrac{3\ln x}x\) ; \(\ln x\to-\infty\) et \(\dfrac{3\ln x}x\to-\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) : l’axe des ordonnées est asymptote verticale à \((C)\).
2.a) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x+\left(1+\dfrac3x\right)\ln x\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=1+\dfrac{\left(1+\frac3x\right)\ln x}x=1+\dfrac{\ln x}x+\dfrac{3\ln x}{x^2}\to1\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=1\).
2.b) Montrer que la courbe \((C)\) admet une branche parabolique de direction la droite \((\Delta)\) d’équation \((\Delta):y=x\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\lim\dfrac{f(x)}x=a\) et \(\lim(f(x)-ax)=\infty\) \(\Rightarrow\) branche parabolique de direction \(y=ax\).
🔢 \(f(x)-x=\left(1+\dfrac3x\right)\ln x\to+\infty\).
✅ \(\lim\dfrac{f(x)}x=1\) et \(\lim(f(x)-x)=+\infty\) : branche parabolique de direction la droite \(y=x\).
3.a) Montrer que : \((\forall x\in]0,+\infty[)\) \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{x+3}x=1+\dfrac3x\), de dérivée \(-\dfrac3{x^2}\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=1-\dfrac{3\ln x}{x^2}+\dfrac{x+3}x\cdot\dfrac1x=\dfrac{x^2-3\ln x+x+3}{x^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{x^2+x+3-3\ln x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
3.b) Donner le tableau de variation de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(g(x)>0\) donc \(f'(x)>0\) sur \(]0,+\infty[\) ; limites : \(-\infty\) en \(0^+\), \(+\infty\) en \(+\infty\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\), de \(-\infty\) à \(+\infty\).
4.a) Étudier le signe de : \(f(x)-x\) sur l’intervalle \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=\dfrac{x+3}x\ln x\), avec \(\dfrac{x+3}x>0\) : le signe est celui de \(\ln x\).
✅ \(f(x)-x<0\) sur \(]0,1[\), \(=0\) en \(1\), \(>0\) sur \(]1,+\infty[\).
4.b) Déduire que la courbe \((C)\) est au dessus de \((\Delta)\) sur l’intervalle \([1,+\infty[\) et au dessous de \((\Delta)\) sur l’intervalle \(]0,1]\).
Correction détaillée
🔢 D’après 4.a).
✅ \((C)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \([1,+\infty[\) et en dessous sur \(]0,1]\).
4.c) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle \(]0,+\infty[\) et que : \(\dfrac1e<\alpha<1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est continue et strictement croissante de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb R\) : \(\alpha\) existe et est unique.
🔢 Étape 2 : \(f(1)=1>0\) et \(f\left(\dfrac1e\right)=\dfrac1e-(1+3e)=\dfrac1e-1-3e<0\).
✅ \(f\left(\frac1e\right)<0<f(1)\) : \(\dfrac1e<\alpha<1\).
Exercice 16
Étude des fonctions \(g\) (I) et \(f\) (II), puis de la suite \(\left(u_n\right)\) (III).
Partie I Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(I=]0,+\infty[\) par : \(g(x)=\dfrac2{x+1}-\dfrac12\ln x-1\).
1.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(0^+\) : \(\dfrac2{x+1}\to2\) et \(-\dfrac12\ln x\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(\dfrac2{x+1}\to0\) et \(-\dfrac12\ln x\to-\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\).
1.b) Calculer \(g'(x)\) puis déduire que \(g\) est strictement décroissante sur \(I\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=-\dfrac2{(x+1)^2}-\dfrac1{2x}\).
✅ \(g'(x)<0\) sur \(I\) (somme de deux termes strictement négatifs) : \(g\) est strictement décroissante sur \(I\).
2) Calculer \(g(1)\) puis déduire le signe de \(g(x)\) sur chacun des intervalles \(]0,1]\) et \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=\dfrac22-0-1=0\).
✅ \(g\) étant décroissante : \(g(x)\ge0\) sur \(]0,1]\) et \(g(x)\le0\) sur \([1,+\infty[\).
3.a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) que l’on déterminera.
Correction détaillée
🔢 \(g\) est continue et strictement décroissante sur \(I\) ; limites \(+\infty\) en \(0^+\) et \(-\infty\) en \(+\infty\).
✅ \(g\) est une bijection de \(I\) sur \(J=g(I)=\mathbb R\).
3.b) Calculer \(\left(g^{-1}\right)'(0)\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=0\) donc \(g^{-1}(0)=1\) ; \(g'(1)=-\dfrac24-\dfrac12=-1\ne0\).
✅ \(\left(g^{-1}\right)'(0)=\dfrac1{g'(1)}=-1\).
Partie II On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(I=]0,+\infty[\) par : \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}-\dfrac12\ln x\). Soit \((C_f)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\).
1.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)\) puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{x^2+1}{x+1}\to1\) et \(-\dfrac12\ln x\to+\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) : l’axe des ordonnées est asymptote verticale à \((C_f)\).
1.b) Montrer que : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x-1+\dfrac2{x+1}-\dfrac12\ln x=x\left(1-\dfrac1x+\dfrac2{x(x+1)}-\dfrac{\ln x}{2x}\right)\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : Le facteur tend vers \(1\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=1\).
1.c) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)-x\) puis déduire que \((C_f)\) admet une branche parabolique dont on déterminera la direction.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=-1+\dfrac2{x+1}-\dfrac12\ln x\), c’est-à-dire \(f(x)-x=g(x)\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim g=-\infty\) : branche parabolique de direction la droite \(y=x\).
2.a) Montrer que : \(f(x)-x=g(x)\) pour tout \(x\) de \(I\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{x^2+1}{x+1}-x=\dfrac{x^2+1-x^2-x}{x+1}=\dfrac{1-x}{x+1}=\dfrac2{x+1}-1\).
✅ \(f(x)-x=\dfrac2{x+1}-1-\dfrac12\ln x=g(x)\).
2.b) Déduire que \(f(x)<x\) pour tout \(x\) de \(]1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 D’après I.2) : \(g(x)<0\) pour \(x>1\) (\(g\) strictement décroissante et \(g(1)=0\)).
✅ \(f(x)-x=g(x)<0\) donc \(f(x)<x\) sur \(]1,+\infty[\).
3.a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(I\) et que \(f'(x)=\dfrac{(x-1)\left(2x^2+5x+1\right)}{2x(x+1)^2}\) pour tout \(x\) de \(I\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=\dfrac{2x(x+1)-\left(x^2+1\right)}{(x+1)^2}-\dfrac1{2x}=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}-\dfrac1{2x}\).
🔢 Étape 2 : \(=\dfrac{2x\left(x^2+2x-1\right)-(x+1)^2}{2x(x+1)^2}=\dfrac{2x^3+4x^2-2x-x^2-2x-1}{2x(x+1)^2}=\dfrac{2x^3+3x^2-4x-1}{2x(x+1)^2}\).
🔢 Étape 3 : \((x-1)\left(2x^2+5x+1\right)=2x^3+5x^2+x-2x^2-5x-1=2x^3+3x^2-4x-1\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{(x-1)\left(2x^2+5x+1\right)}{2x(x+1)^2}\).
3.b) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(I\).
Correction détaillée
🔢 \(2x^2+5x+1>0\) sur \(I\) : \(f’\) a le signe de \(x-1\). \(f(1)=\dfrac22-0=1\).
✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(]0,1]\) (de \(+\infty\) à \(1\)) et strictement croissante sur \([1,+\infty[\) (de \(1\) à \(+\infty\)).
3.d) Montrer que l’équation \((x+1)\ln\sqrt x=x^2-2019x-2018\) admet une seule solution sur \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\ln\sqrt x=\dfrac12\ln x\). Comme \(x^2-2019x-2018=(x+1)(x-2020)+2\), en divisant par \(x+1>0\) : \(\dfrac12\ln x=x-2020+\dfrac2{x+1}\).
🔢 Étape 2 : Or \(f(x)=x-1+\dfrac2{x+1}-\dfrac12\ln x\) : l’équation équivaut à \(f(x)=2019\).
🔢 Étape 3 : \(f\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\), de \(f(1)=1\) à \(+\infty\), et \(2019\in[1,+\infty[\).
✅ L’équation \(f(x)=2019\) admet une solution unique dans \([1,+\infty[\), donc l’équation proposée aussi.
Partie III On considère la suite numérique \(\left(u_n\right)\) définie par : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\).
1.a) Montrer que : \(u_n>1\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2>1\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>1\), \(f\) étant croissante sur \([1,+\infty[\) avec \(f(1)=1\) : \(u_{n+1}=f(u_n)>f(1)=1\).
✅ \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
1.b) Étudier la monotonie de \(\left(u_n\right)\) puis déduire que \(u_n\in]1,2]\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 D’après II.2.b) : \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n<0\) car \(u_n>1\).
✅ \(\left(u_n\right)\) est strictement décroissante, donc \(u_n\le u_0=2\) et avec \(u_n>1\) : \(u_n\in]1,2]\).
2) Montrer que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente et déterminer sa limite.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\left(u_n\right)\) est décroissante et minorée par \(1\) : elle converge vers \(\ell\in[1,2]\).
🔢 Étape 2 : \(f\) est continue donc \(f(\ell)=\ell\iff g(\ell)=0\iff\ell=1\) (\(g\) strictement décroissante, \(g(1)=0\)).
✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1\).
Exercice 17
Étude de \(g\) (I) et \(f\) (II), puis de la suite \(\left(u_n\right)\) (III).
Partie I Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(I=]0,+\infty[\) par : \(g(x)=x^2-x+1-\ln x\).
1.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)\) et montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(0^+\) : \(x^2-x+1\to1\) et \(-\ln x\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(g(x)=x^2\left(1-\dfrac1x+\dfrac1{x^2}-\dfrac{\ln x}{x^2}\right)\) et le facteur tend vers \(1\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).
1.b) Montrer que \((\forall x\in I)\) : \(g'(x)=\dfrac{(x-1)(2x+1)}x\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=2x-1-\dfrac1x=\dfrac{2x^2-x-1}x\) et \(2x^2-x-1=(x-1)(2x+1)\).
✅ \(g'(x)=\dfrac{(x-1)(2x+1)}x\).
2.a) Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(I\).
Correction détaillée
🔢 \(g’\) a le signe de \(x-1\). \(g(1)=1-1+1-0=1\).
✅ \(g\) décroît de \(+\infty\) à \(1\) sur \(]0,1]\), puis croît de \(1\) à \(+\infty\) sur \([1,+\infty[\).
2.b) Déduire que \((\forall x\in I)\) : \(g(x)>0\).
Correction détaillée
🔢 Le minimum de \(g\) est \(g(1)=1\).
✅ \(g(x)\ge1>0\) pour tout \(x\in I\).
Partie II On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(I=]0,+\infty[\) par : \(f(x)=x+\dfrac{\ln x}x-\ln x\). Soit \((C_f)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\).
1.a) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x+\ln x\left(\dfrac1x-1\right)\) avec \(\ln x\to-\infty\) et \(\dfrac1x-1\to+\infty\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) : l’axe des ordonnées est asymptote verticale à \((C_f)\).
1.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)}x=1+\dfrac{\ln x}{x^2}-\dfrac{\ln x}x\to1\) (croissances comparées).
🔢 Étape 2 : \(f(x)=x\times\dfrac{f(x)}x\) avec \(\dfrac{f(x)}x\to1\).
✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=1\).
1.c) Montrer que la courbe \((C_f)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique de direction la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=\ln x\left(\dfrac1x-1\right)\to-\infty\).
✅ \(\lim\dfrac{f(x)}x=1\) et \(\lim(f(x)-x)=-\infty\) : branche parabolique de direction \(y=x\).
2.a) Dresser le tableau de signes de \((1-x)\ln x\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x\in]0,1[\) : \(1-x>0\) et \(\ln x<0\). Pour \(x>1\) : \(1-x<0\) et \(\ln x>0\).
✅ \((1-x)\ln x\le0\) sur \(]0,+\infty[\) (nul en \(1\)).
2.b) Déduire que \((\forall x\in I)\), \(f(x)\le x\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=\dfrac{\ln x}x-\ln x=\dfrac{(1-x)\ln x}x\) avec \(x>0\).
✅ \(f(x)-x\le0\) : \(f(x)\le x\) pour tout \(x\in I\).
3.a) Montrer que \((\forall x\in I)\), \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\) puis déduire que \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1+\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}-\dfrac1x=1+\dfrac{1-\ln x}{x^2}-\dfrac1x=\dfrac{x^2+1-\ln x-x}{x^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{x^2-x+1-\ln x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}>0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
3.b) Montrer que la droite \((\Delta)\) est la tangente à la courbe \((C_f)\) au point d’abscisse \(1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\) et \(f'(1)=\dfrac{g(1)}1=1\) : tangente \(y=1+1\times(x-1)=x\).
✅ La tangente en \(1\) est \(y=x\) : c’est \((\Delta)\).
3.c) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une seule solution \(\alpha\) dans \(\left]\dfrac12,1\right[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est continue et strictement croissante.
🔢 Étape 2 : \(f\left(\dfrac12\right)=\dfrac12+2\ln\dfrac12+\ln2=\dfrac12-\ln2\approx-0{,}19<0\) et \(f(1)=1>0\).
✅ \(f\left(\frac12\right)<0<f(1)\) : il existe une unique solution \(\alpha\in\left]\frac12,1\right[\).
4.a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\) ; \(\lim_{0^+}f=-\infty\) et \(\lim_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(f\) est une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb R\).
4.b) Montrer que la fonction \(f^{-1}\) est dérivable en \(1\) puis calculer \(\left(f^{-1}\right)'(1)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\) donc \(f^{-1}(1)=1\) ; \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'(1)=1\ne0\).
✅ \(f^{-1}\) est dérivable en \(1\) et \(\left(f^{-1}\right)'(1)=\dfrac1{f'(1)}=1\).
4.c) Montrer que \(f^{-1}\left(\dfrac{2019}{2020}\right)<1\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{2019}{2020}<1=f(1)\) et \(f^{-1}\) est strictement croissante (comme \(f\)).
✅ \(f^{-1}\left(\dfrac{2019}{2020}\right)<f^{-1}(1)=1\).
Partie III On considère la suite numérique \(\left(u_n\right)_{n\ge0}\) définie par : \(u_0=\dfrac{20}{19}\) et \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\).
1) Montrer que : \(u_n>1\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=\dfrac{20}{19}>1\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(f\) est strictement croissante et \(f(1)=1\) : \(u_n>1\Rightarrow u_{n+1}=f\left(u_n\right)>f(1)=1\).
✅ \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
2) Montrer que la suite \(\left(u_n\right)_{n\ge0}\) est décroissante.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=\dfrac{(1-x)\ln x}x<0\) pour \(x>1\) (II.2.a) : \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n<0\).
✅ \(\left(u_n\right)\) est décroissante.
3) Déduire que la suite \(\left(u_n\right)_{n\ge0}\) est convergente puis calculer sa limite.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\left(u_n\right)\) est décroissante et minorée par \(1\) : elle converge vers \(\ell\ge1\).
🔢 Étape 2 : \(f\) continue : \(f(\ell)=\ell\iff\dfrac{(1-\ell)\ln\ell}\ell=0\iff\ell=1\) (car \(\ell\ge1\) donne \(\ln\ell\ge0\) et \(\ell=1\) est la seule valeur annulant le produit).
✅ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1\).