Ce devoir 1 du 1er semestre 2ème Bac (PC et SVT) rassemble des exercices de contrôle : calcul de limites, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, bijection et racines n-ièmes. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.

Devoir 1 corrigé du 1er semestre 2ème Bac

Devoirs 1er semestre · Série de synthèse 2ème Bac

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Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

1) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-2x^3+x\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Limite d’un polynôme en \(\pm\infty\) : limite de son monôme de plus haut degré.

🔢 En \(\pm\infty\), un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré : \(-2x^3\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-2x^3+x=\lim_{x\to-\infty}-2x^3=+\infty\).

2) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}2x-x^3\)

Correction détaillée

🔢 Terme de plus haut degré : \(-x^3\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}2x-x^3=\lim_{x\to+\infty}-x^3=-\infty\).

3) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}3x^3+x+1\)

Correction détaillée

🔢 Terme de plus haut degré : \(3x^3\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}3x^3+x+1=\lim_{x\to-\infty}3x^3=-\infty\).

4) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^3+x+1}{x^4+5}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Fonction rationnelle en \(\pm\infty\) : quotient des termes de plus haut degré.

🔢 Une fonction rationnelle a en \(\pm\infty\) la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré : \(\dfrac{2x^3}{x^4}=\dfrac2x\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^3+x+1}{x^4+5}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac2x=0\).

5) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1+4x^2}{2x-x^3}\)

Correction détaillée

🔢 Quotient des termes de plus haut degré : \(\dfrac{4x^2}{-x^3}=-\dfrac4x\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1+4x^2}{2x-x^3}=\lim_{x\to-\infty}-\dfrac4x=0\).

6) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1-4x^2}{2x+1}\)

Correction détaillée

🔢 Quotient des termes de plus haut degré : \(\dfrac{-4x^2}{2x}=-2x\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1-4x^2}{2x+1}=\lim_{x\to+\infty}-2x=-\infty\).

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

1) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{2x^2+x-3}{x+1}\)

Correction détaillée

⚠️ Lu tel quel sur le scan (\(x+1\) au dénominateur). Il est probable que l’énoncé voulait \(x-1\) : dans ce cas \(\dfrac{2x^2+x-3}{x-1}=2x+3\to5\).

🔢 Étape 1 : Le dénominateur ne s’annule pas en \(1\) : on remplace.

🔢 Étape 2 : Numérateur : \(2+1-3=0\) ; dénominateur : \(1+1=2\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{2x^2+x-3}{x+1}=\dfrac02=0\).

2) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan(2x)}{x^2+x}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Limite usuelle : \(\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{\tan t}t=1\) ; on fait apparaître \(\dfrac{\tan(2x)}{2x}\).

🔢 On écrit \(\dfrac{\tan 2x}{x^2+x}=\dfrac{\tan 2x}{2x}\times\dfrac{2x}{x(x+1)}=\dfrac{\tan2x}{2x}\times\dfrac2{x+1}\).

✅ Comme \(\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{\tan t}{t}=1\), la limite vaut \(1\times2=2\).

3) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Limites usuelles : \(\dfrac{\sin x}x\to1\) et \(\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac12\) en \(0\).

🔢 Étape 1 : \(\tan x-\sin x=\sin x\left(\dfrac1{\cos x}-1\right)=\dfrac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}\).

🔢 Étape 2 : Donc \(\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}=\dfrac{\sin x}{x}\times\dfrac{1-\cos x}{x^2}\times\dfrac1{\cos x}\).

✅ Avec \(\dfrac{\sin x}x\to1\), \(\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac12\) et \(\dfrac1{\cos x}\to1\) : la limite vaut \(\dfrac12\).

4) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos(2x)}{x^2}\)

Correction détaillée

⚠️ Sur le scan, la borne est écrite de façon peu lisible (\(\frac\pi3\) ?). On la lit \(x\to0\), cas classique pour cette limite.

🔢 On pose \(t=2x\) : \(\dfrac{1-\cos 2x}{x^2}=4\times\dfrac{1-\cos t}{t^2}\).

✅ Quand \(x\to0\), \(t\to0\) : la limite vaut \(4\times\dfrac12=2\).

5) \(\displaystyle\lim_{x\to\frac{5\pi}3}\dfrac{2\cos x-1}{x-\frac{5\pi}3}\)

Correction détaillée

⚠️ Le dénominateur est difficile à lire sur le scan ; avec l’indication \(X=x-\frac{5\pi}3\) on lit \(x-\frac{5\pi}3\).

📘 Méthode : Changement de variable \(X=x-a\) pour se ramener en \(0\).

🔢 Étape 1 : On pose \(X=x-\frac{5\pi}3\) : \(x=X+\frac{5\pi}3\), et \(X\to0\).

🔢 Étape 2 : \(\cos\left(X+\frac{5\pi}3\right)=\cos X\cos\frac{5\pi}3-\sin X\sin\frac{5\pi}3=\frac12\cos X+\frac{\sqrt3}2\sin X\).

🔢 Étape 3 : Donc \(2\cos x-1=\cos X-1+\sqrt3\sin X\), et \(\dfrac{2\cos x-1}{X}=-X\cdot\dfrac{1-\cos X}{X^2}+\sqrt3\dfrac{\sin X}X\).

✅ Quand \(X\to0\) : la limite vaut \(0\times\frac12+\sqrt3\times1=\sqrt3\).

6) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt[3]x-1}{x-1}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : On pose \(t=\sqrt[n]x\) pour éliminer le radical, puis on factorise \(t^3-1\).

🔢 On pose \(t=\sqrt[3]x\), donc \(x=t^3\) et \(t\to1\) : \(\dfrac{t-1}{t^3-1}=\dfrac{t-1}{(t-1)(t^2+t+1)}=\dfrac1{t^2+t+1}\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt[3]x-1}{x-1}=\dfrac13\).

Exercice 3

Calculer les limites suivantes :

1) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+x}-x\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Forme indéterminée \(\infty-\infty\) : on factorise le terme dominant.

🔢 Forme \(\infty-\infty\) évitée par factorisation : \(\sqrt{1+x}-x=x\left(\dfrac{\sqrt{1+x}}x-1\right)\) avec \(\dfrac{\sqrt{1+x}}x=\sqrt{\dfrac1{x^2}+\dfrac1x}\to0\).

✅ Le facteur tend vers \(-1\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+x}-x=-\infty\).

2) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x-\sqrt{1+x}\)

Correction détaillée

🔢 C’est l’opposé de la question précédente.

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x-\sqrt{1+x}=+\infty\).

3) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+2}-x\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Forme \(\infty-\infty\) avec radical : on multiplie par l’expression conjuguée.

🔢 Expression conjuguée : \(\sqrt{x^2+2}-x=\dfrac{(x^2+2)-x^2}{\sqrt{x^2+2}+x}=\dfrac2{\sqrt{x^2+2}+x}\).

✅ Le dénominateur tend vers \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+2}-x=0\).

4) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\sqrt{1+x^2}-x\)

Correction détaillée

🔢 Quand \(x\to-\infty\), \(\sqrt{1+x^2}\to+\infty\) et \(-x\to+\infty\) : pas de forme indéterminée.

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\sqrt{1+x^2}-x=+\infty\).

5) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}2x^2+1-\sqrt{1+x^2}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On factorise \(x^2\) : \(2x^2+1-\sqrt{1+x^2}=x^2\left(2+\dfrac1{x^2}-\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\right)\).

🔢 Étape 2 : Pour \(x>0\) : \(\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}=\dfrac{\sqrt{\frac1{x^2}+1}}{x}\to0\).

✅ Le facteur tend vers \(2\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}2x^2+1-\sqrt{1+x^2}=+\infty\).

6) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{1+x^3}-2x^2\)

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt[3]{1+x^3}=x\sqrt[3]{1+\dfrac1{x^3}}\), donc \(\sqrt[3]{1+x^3}-2x^2=x^2\left(\dfrac1x\sqrt[3]{1+\frac1{x^3}}-2\right)\).

✅ Le facteur tend vers \(-2\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{1+x^3}-2x^2=-\infty\).

7) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x-\sqrt[3]x-\sqrt[4]x\)

Correction détaillée

📘 Méthode : On met le terme de plus grand exposant en facteur : \(\sqrt[3]x=x^{1/3}\), \(\sqrt[4]x=x^{1/4}\).

🔢 On factorise \(\sqrt x\) : \(\sqrt x-\sqrt[3]x-\sqrt[4]x=\sqrt x\left(1-x^{-\frac16}-x^{-\frac14}\right)\).

✅ Les deux puissances négatives tendent vers \(0\) : le facteur tend vers \(1\), donc la limite est \(+\infty\).

8) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}\)

Correction détaillée

🔢 On pose \(t=x-1\to+\infty\) : \(\dfrac{t^{1/3}-1}{t^{1/2}-1}=\dfrac{t^{1/3}\left(1-t^{-1/3}\right)}{t^{1/2}\left(1-t^{-1/2}\right)}=t^{-\frac16}\times\dfrac{1-t^{-1/3}}{1-t^{-1/2}}\).

✅ \(t^{-1/6}\to0\) et le quotient tend vers \(1\) : la limite vaut \(0\).

9) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt x-3\sqrt[3]x+\sqrt[4]x}{\sqrt[3]x-1}\)

Correction détaillée

⚠️ Expression lue : \(\dfrac{\sqrt x-3\sqrt[3]x+\sqrt[4]x}{\sqrt[3]x-1}\) (écriture petite sur le scan).

🔢 Étape 1 : Numérateur : \(\sqrt x\left(1-3x^{-\frac16}+x^{-\frac14}\right)\) ; dénominateur : \(\sqrt[3]x\left(1-x^{-\frac13}\right)\).

🔢 Étape 2 : Le quotient s’écrit \(x^{\frac12-\frac13}\times\dfrac{1-3x^{-1/6}+x^{-1/4}}{1-x^{-1/3}}=x^{\frac16}\times(\cdots)\) avec \((\cdots)\to1\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt x-3\sqrt[3]x+\sqrt[4]x}{\sqrt[3]x-1}=+\infty\).

10) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^3-x-1}-2x-1\)

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt[3]{x^3-x-1}=x\sqrt[3]{1-\frac1{x^2}-\frac1{x^3}}\), donc l’expression vaut \(x\left(\sqrt[3]{1-\frac1{x^2}-\frac1{x^3}}-2-\frac1x\right)\).

✅ Le facteur tend vers \(1-2=-1\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^3-x-1}-2x-1=-\infty\).

Exercice 4

Classer par ordre croissant les nombres suivants :

1) \(\sqrt[6]2\) ; \(2^{\frac34}\) ; \(\sqrt3\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour comparer des nombres positifs, on les élève à une même puissance (le ppcm des indices).

🔢 Indice commun \(12\) : \(\sqrt[6]2=2^{\frac2{12}}\), mais plus simplement on élève à la puissance \(12\) : \(\left(\sqrt[6]2\right)^{12}=2^2=4\), \(\left(2^{3/4}\right)^{12}=2^9=512\), \(\left(\sqrt3\right)^{12}=3^6=729\).

✅ Comme \(4<512<729\) (nombres positifs), \(\sqrt[6]2<2^{\frac34}<\sqrt3\).

2) \(\sqrt[3]2\) ; \(\sqrt[4]7\) ; \(\sqrt[8]5\)

Correction détaillée

⚠️ Les indices des racines sont petits sur le scan ; lecture : \(\sqrt[3]2,\ \sqrt[4]7,\ \sqrt[8]5\).

🔢 ppcm des indices : \(24\). \(\left(\sqrt[3]2\right)^{24}=2^8=256\), \(\left(\sqrt[4]7\right)^{24}=7^6=117\,649\), \(\left(\sqrt[8]5\right)^{24}=5^3=125\).

✅ Comme \(125<256<117\,649\) : \(\sqrt[8]5<\sqrt[3]2<\sqrt[4]7\).

3) \(2^{\frac14}\) ; \(\sqrt[4]{81}\) ; \(\sqrt5\)

Correction détaillée

⚠️ L’indice de la racine « \(\sqrt[?]{81}\) » est peu lisible : on a pris \(4\).

🔢 \(2^{\frac14}=1{,}19\ldots\) ; \(\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3\) ; \(\sqrt5=2{,}23\ldots\). Sans calculatrice : \(2^{1/4}<2<\sqrt5\) car \(2^{1/4}<2^1\) et \(\sqrt5>\sqrt4=2\) ; et \(\sqrt5<3\) car \(5<9\).

✅ \(2^{\frac14}<\sqrt5<\sqrt[4]{81}\).

Exercice 5

Simplifier les nombres suivants :

1) \(A=\dfrac{\sqrt[6]{64\,000\,000}}{\sqrt[3]4\times2^{\frac13}\times\sqrt2}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : On décompose en facteurs premiers, puis on utilise \(\sqrt[n]{a^p}=a^{p/n}\).

🔢 Étape 1 : \(64\,000\,000=2^6\times10^6=2^{12}\times5^6\), donc \(\sqrt[6]{64\,000\,000}=2^2\times5=20\).

🔢 Étape 2 : Dénominateur : \(2^{\frac23}\times2^{\frac13}\times2^{\frac12}=2^{\frac32}=2\sqrt2\).

✅ \(A=\dfrac{20}{2\sqrt2}=\dfrac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2\).

2) \(A=\dfrac{\sqrt[15]{3^5}\times\sqrt[3]9\times\sqrt[5]{9^{-3}}}{\sqrt[5]3}\)

Correction détaillée

⚠️ Écriture manuscrite : l’exposant « \(-3\) » sous la 3ᵉ racine est lu \(9^{-3}\).

🔢 Étape 1 : \(\sqrt[15]{3^5}=3^{\frac13}\) ; \(\sqrt[3]9=3^{\frac23}\) ; \(\sqrt[5]{9^{-3}}=3^{-\frac65}\) ; \(\sqrt[5]3=3^{\frac15}\).

🔢 Étape 2 : Exposant total : \(\dfrac13+\dfrac23-\dfrac65-\dfrac15=1-\dfrac75=-\dfrac25\).

✅ \(A=3^{-\frac25}=\dfrac1{\sqrt[5]9}\).

3) \(A=\dfrac{\sqrt{18}\times\sqrt{\sqrt[3]{256}}\times\sqrt[4]{64}}{\sqrt[3]{1024}\times\sqrt[6]{64\times10^6}}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sqrt{18}=3\times2^{\frac12}\) ; \(\sqrt{\sqrt[3]{256}}=2^{\frac8{6}}=2^{\frac43}\) ; \(\sqrt[4]{64}=2^{\frac64}=2^{\frac32}\).

🔢 Étape 2 : Numérateur : \(3\times2^{\frac12+\frac43+\frac32}=3\times2^{\frac{10}3}\).

🔢 Étape 3 : Dénominateur : \(\sqrt[3]{1024}=2^{\frac{10}3}\) et \(\sqrt[6]{64\times10^6}=\sqrt[6]{2^{12}\times5^6}=2^2\times5=20\).

✅ \(A=\dfrac{3\times2^{\frac{10}3}}{2^{\frac{10}3}\times20}=\dfrac3{20}\).

4) \(B=\dfrac{\sqrt[15]3\times\sqrt[3]9\times\left(\sqrt9\right)^3}{\sqrt[4]{27}\times\sqrt{\sqrt3}}\)

Correction détaillée

⚠️ Résultat peu « joli » : l’énoncé a peut-être une coquille (indice de la 1ʳᵉ racine ?). On calcule l’expression telle que lue.

🔢 Étape 1 : Numérateur : \(3^{\frac1{15}}\times3^{\frac23}\times3^3=3^{\frac1{15}+\frac{10}{15}+3}=3^{\frac{11}{15}+3}\).

🔢 Étape 2 : Dénominateur : \(27^{\frac14}=3^{\frac34}\) et \(\sqrt{\sqrt3}=3^{\frac14}\), donc \(3^{\frac34+\frac14}=3\).

✅ \(B=3^{\frac{11}{15}+3-1}=3^{\frac{41}{15}}=9\sqrt[15]{3^{11}}\).

5) \(C=\dfrac{\sqrt[4]{2048}\times\sqrt[4]{160000}}{\sqrt[8]{4096}\times\sqrt[3]{\sqrt{256}\times\sqrt{512}}}\)

Correction détaillée

⚠️ Résultat non entier : peut-être une coquille dans l’énoncé (nombres sous les radicaux). On calcule l’expression telle que lue.

🔢 Étape 1 : \(2048=2^{11}\) donc \(\sqrt[4]{2048}=2^{\frac{11}4}\) ; \(160000=2^8\times5^4\) donc \(\sqrt[4]{160000}=4\times5=20\).

🔢 Étape 2 : \(\sqrt[8]{4096}=\sqrt[8]{2^{12}}=2^{\frac32}\) ; \(\sqrt{256}=16\) et \(\sqrt{512}=2^{\frac92}\), donc le produit sous la racine cubique vaut \(2^{4+\frac92}=2^{\frac{17}2}\) et \(\sqrt[3]{\cdots}=2^{\frac{17}6}\).

✅ \(C=\dfrac{20\times2^{\frac{11}4}}{2^{\frac32}\times2^{\frac{17}6}}=20\times2^{\frac{11}4-\frac{13}3}=20\times2^{-\frac{19}{12}}\).

Exercice 6

Montrer que \(\dfrac{\sqrt[3]2\times\sqrt[6]{32}}{\sqrt[3]{\sqrt8}}=\sqrt[3]4\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sqrt[3]2=2^{\frac13}\) et \(\sqrt[6]{32}=2^{\frac56}\), donc le numérateur vaut \(2^{\frac13+\frac56}=2^{\frac76}\).

🔢 Étape 2 : \(\sqrt[3]{\sqrt8}=\sqrt[6]8=2^{\frac36}=2^{\frac12}\).

✅ Le quotient vaut \(2^{\frac76-\frac12}=2^{\frac23}=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]4\).

Exercice 7

Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations et inéquations suivantes :

1) \((1-x)^3=-8\)

Correction détaillée

🔢 La fonction \(t\mapsto t^3\) est bijective sur \(\mathbb R\) : \((1-x)^3=(-2)^3\iff1-x=-2\).

✅ \(S=\{3\}\).

2) \(\sqrt[3]{x+2}<2\)

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt[3]{x+2}\) est définie sur \(\mathbb R\) et \(t\mapsto t^3\) est strictement croissante : \(\sqrt[3]{x+2}<2\iff x+2<8\).

✅ \(S=]-\infty;6[\).

3) \(x^6+2x^3-3=0\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation bicarrée généralisée : changement de variable \(X=x^3\).

🔢 Étape 1 : On pose \(X=x^3\) : \(X^2+2X-3=0\), de discriminant \(16\) : \(X=1\) ou \(X=-3\).

🔢 Étape 2 : \(x^3=1\iff x=1\) et \(x^3=-3\iff x=-\sqrt[3]3\).

✅ \(S=\left\{-\sqrt[3]3\,;\,1\right\}\).

4) \(\sqrt[3]{1-x}=x-1\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On élève au cube (équivalence car \(t\mapsto t^3\) est bijective) : \(1-x=(x-1)^3\).

🔢 Étape 2 : \((x-1)^3+(x-1)=0\iff(x-1)\left((x-1)^2+1\right)=0\), et \((x-1)^2+1>0\).

✅ \(S=\{1\}\).

5) \((1+2x)^5-32=0\)

Correction détaillée

🔢 \((1+2x)^5=2^5\). \(t\mapsto t^5\) est bijective sur \(\mathbb R\) : \(1+2x=2\).

✅ \(S=\left\{\dfrac12\right\}\).

Exercice 8

Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb R\) par : \(g(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x-1}\) si \(x>1\) et \(g(x)=x+\sqrt{x^2+3}\) si \(x\le1\).

1) Montrer que \(g\) est continue sur chacun des intervalles \(]-\infty,1]\) et \(]1,+\infty[\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Les fonctions polynômes, rationnelles (sur leur domaine) et \(x\mapsto\sqrt x\) (sur \(\mathbb R^+\)) sont continues ; somme, produit, quotient et composée de fonctions continues sont continus.

🔢 Étape 1 : Sur \(]1,+\infty[\), \(g\) est une fonction rationnelle dont le dénominateur \(x-1\) ne s’annule pas.

🔢 Étape 2 : Sur \(]-\infty,1]\), \(x\mapsto x^2+3\) est continue et strictement positive, donc \(x\mapsto\sqrt{x^2+3}\) est continue ; \(g\) est la somme de \(x\mapsto x\) et de cette fonction.

✅ \(g\) est continue sur \(]-\infty,1]\) et sur \(]1,+\infty[\).

2) Est-ce que \(g\) est continue sur \(\mathbb R\) ?

Correction détaillée

📘 Méthode : Continuité en \(a\) : \(\lim_{x\to a^-}g=\lim_{x\to a^+}g=g(a)\).

🔢 Étape 1 : Seule la continuité en \(1\) reste à étudier. À gauche : \(g(1)=1+\sqrt{1+3}=3\) et \(g\) est continue à gauche en \(1\).

🔢 Étape 2 : À droite : \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), donc pour \(x>1\), \(g(x)=x+2\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}g(x)=3\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}g(x)=g(1)=3\) : \(g\) est continue en \(1\), donc sur \(\mathbb R\).

Exercice 9

Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(h(x)=\dfrac{x^3+x-2}{x-1}\) si \(x\ne1\) et \(h(1)=4\).

1) Montrer que la fonction \(h\) est continue sur les intervalles \(]-\infty,1[\) et \(]1,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Sur chacun de ces intervalles, \(h(x)=\dfrac{x^3+x-2}{x-1}\) est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas.

✅ \(h\) est continue sur \(]-\infty,1[\) et sur \(]1,+\infty[\).

2) Est-ce que \(h\) est continue sur \(\mathbb R\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2)\) (car \(1\) est racine), donc pour \(x\ne1\), \(h(x)=x^2+x+2\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\lim_{x\to1}h(x)=1+1+2=4=h(1)\).

✅ \(h\) est continue en \(1\), donc continue sur \(\mathbb R\).

Exercice 10

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x)=x^2-2\sqrt{1-x}\) si \(x<1\) ; \(f(x)=\dfrac x{2x-1}\) si \(x>1\) ; \(f(1)=1\).

a) Étudier la continuité de \(f\) sur l’intervalle \(]1,+\infty[\) et sur l’intervalle \(]-\infty,1[\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \(]1,+\infty[\) : \(f(x)=\dfrac x{2x-1}\) est rationnelle, et \(2x-1\ne0\) sur cet intervalle.

🔢 Étape 2 : Sur \(]-\infty,1[\) : \(x\mapsto1-x\) est continue et positive, donc \(x\mapsto\sqrt{1-x}\) est continue ; \(f\) est donc continue comme différence.

✅ \(f\) est continue sur \(]1,+\infty[\) et sur \(]-\infty,1[\).

b) \(f\) est-elle continue sur \(\mathbb R\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(1^-\) : \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}x^2-2\sqrt{1-x}=1-0=1\).

🔢 Étape 2 : En \(1^+\) : \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}\dfrac x{2x-1}=\dfrac11=1\). Et \(f(1)=1\).

✅ Les limites à gauche et à droite valent \(f(1)\) : \(f\) est continue en \(1\), donc sur \(\mathbb R\).

Exercice 11

Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([a,b]\) et à valeurs dans \([a,b]\) : \((\forall x\in[a,b])\ ;\ f(x)\in[a,b]\).

Montrer que la fonction \(f\) admet au moins un point fixe (c’est-à-dire \(\exists c\in[a,b]\) ; \(f(c)=c\)).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé écrit « \(f(c)=0\) » mais précise « point fixe » : la bonne égalité est \(f(c)=c\), c’est ce qu’on démontre.

📘 Méthode : On applique le TVI à \(\varphi(x)=f(x)-x\) sur \([a,b]\).

🔢 Étape 1 : On pose \(\varphi(x)=f(x)-x\), continue sur \([a,b]\) comme différence de fonctions continues.

🔢 Étape 2 : Comme \(f(a)\in[a,b]\), \(f(a)\ge a\) donc \(\varphi(a)\ge0\) ; comme \(f(b)\in[a,b]\), \(f(b)\le b\) donc \(\varphi(b)\le0\). Ainsi \(\varphi(a)\,\varphi(b)\le0\).

🔢 Étape 3 : Si l’un des deux vaut \(0\), on a un point fixe (\(a\) ou \(b\)). Sinon \(\varphi(a)>0>\varphi(b)\) et le théorème des valeurs intermédiaires donne \(c\in]a,b[\) avec \(\varphi(c)=0\).

✅ Il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(f(c)=c\).

Exercice 12

1) Montrer que l’équation \(x^3+2x-1=0\) admet une solution unique \(d\) dans \(\mathbb R\) et que \(0<d<1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Corollaire du TVI : \(f\) continue strictement monotone sur \([a,b]\) et \(f(a)f(b)<0\) \(\Rightarrow\) \(f(x)=0\) a une unique solution dans \(]a,b[\).

🔢 Étape 1 : Soit \(\varphi(x)=x^3+2x-1\), continue sur \(\mathbb R\), avec \(\varphi'(x)=3x^2+2>0\) : \(\varphi\) est strictement croissante.

🔢 Étape 2 : \(\varphi(0)=-1<0\) et \(\varphi(1)=2>0\).

✅ D’après le corollaire du TVI, l’équation \(\varphi(x)=0\) a une solution unique \(d\) dans \(\mathbb R\), et \(0<d<1\).

2) Donner un encadrement de \(d\) d’amplitude \(0{,}25\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Dichotomie : on évalue \(\varphi\) au milieu de l’intervalle courant.

🔢 Étape 1 : \(\varphi(0{,}5)=0{,}125+1-1=0{,}125>0\), donc \(d<0{,}5\).

🔢 Étape 2 : \(\varphi(0{,}25)=0{,}015625+0{,}5-1<0\), donc \(d>0{,}25\).

✅ \(0{,}25<d<0{,}5\).

Exercice 13

1) Montrer que l’équation \(x^3+x-1=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\mathbb R\) et que \(0<\alpha<1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(\varphi(x)=x^3+x-1\), continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\) (\(\varphi'(x)=3x^2+1>0\)).

🔢 Étape 2 : \(\varphi(0)=-1<0\) et \(\varphi(1)=1>0\).

✅ Corollaire du TVI : \(\alpha\) existe, est unique, et \(0<\alpha<1\).

2.a) En utilisant la méthode de dichotomie, donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}25\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\varphi(0{,}5)=0{,}125+0{,}5-1=-0{,}375<0\), donc \(\alpha\in]0{,}5;1[\).

🔢 Étape 2 : \(\varphi(0{,}75)=0{,}421875+0{,}75-1=0{,}171875>0\), donc \(\alpha\in]0{,}5;0{,}75[\).

✅ \(0{,}5<\alpha<0{,}75\).

2.b) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation : \(x^3+x-1>0\).

Correction détaillée

🔢 \(\varphi\) est strictement croissante et \(\varphi(\alpha)=0\) : \(\varphi(x)>0\iff\varphi(x)>\varphi(\alpha)\iff x>\alpha\).

✅ \(S=]\alpha;+\infty[\).

3) Donner le tableau de variation de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par : \(g(x)=\dfrac14x^4+\dfrac12x^2-x+1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \(g'(x)=x^3+x-1\), qui est exactement \(\varphi(x)\).

🔢 Étape 2 : D’après 2.b) : \(g'(x)<0\) si \(x<\alpha\), \(g'(\alpha)=0\) et \(g'(x)>0\) si \(x>\alpha\).

🔢 Étape 3 : Limites : \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac14x^4=+\infty\).

✅ \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\) et strictement croissante sur \([\alpha;+\infty[\) ; elle admet en \(\alpha\) un minimum \(g(\alpha)\). Tableau : \(+\infty\searrow g(\alpha)\nearrow+\infty\).

Exercice 14

Soit \(h\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb R\) par : \(h(x)=x^5-5x+1\).

1) Montrer que : \((\forall x\in\mathbb R)\) ; \(h'(x)=5(x^2+1)(x^2-1)\).

Correction détaillée

🔢 \(h'(x)=5x^4-5=5(x^4-1)=5(x^2-1)(x^2+1)\).

✅ \(h'(x)=5(x^2+1)(x^2-1)\).

2.a) Étudier le signe de \((x-1)(x+1)\), puis dresser le tableau de variations de la fonction \(h\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((x-1)(x+1)=x^2-1\) est négatif sur \([-1,1]\) et positif en dehors.

🔢 Étape 2 : Comme \(x^2+1>0\), \(h’\) a le signe de \(x^2-1\).

🔢 Étape 3 : \(h(-1)=-1+5+1=5\) ; \(h(1)=1-5+1=-3\) ; \(\lim_{-\infty}h=-\infty\) ; \(\lim_{+\infty}h=+\infty\).

✅ \(h\) est strictement croissante sur \(]-\infty,-1]\) (de \(-\infty\) à \(5\)), strictement décroissante sur \([-1,1]\) (de \(5\) à \(-3\)) et strictement croissante sur \([1,+\infty[\) (de \(-3\) à \(+\infty\)).

2.b) Déterminer les images par la fonction \(h\) des intervalles suivants : \(I=[-1,1]\) ; \(J=[1,+\infty[\) ; \(K=\mathbb R\).

Correction détaillée

📘 Méthode : L’image d’un intervalle par une fonction continue strictement monotone est un intervalle dont les bornes sont les valeurs/limites aux extrémités.

🔢 Étape 1 : \(h\) est continue et strictement décroissante sur \(I\) : \(h(I)=[h(1),h(-1)]=[-3,5]\).

🔢 Étape 2 : \(h\) est continue et strictement croissante sur \(J\) : \(h(J)=\left[h(1),\lim_{+\infty}h\right[=[-3,+\infty[\).

🔢 Étape 3 : Sur \(\mathbb R\) : \(h\) est continue, \(\lim_{-\infty}h=-\infty\) et \(\lim_{+\infty}h=+\infty\), donc \(h(\mathbb R)=\mathbb R\).

✅ \(h([-1,1])=[-3,5]\) ; \(h([1,+\infty[)=[-3,+\infty[\) ; \(h(\mathbb R)=\mathbb R\).

3.a) Montrer que l’équation \(h(x)=0\) admet une et une seule solution \(\alpha\) dans l’intervalle \([0,1]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(h\) est continue et strictement décroissante sur \([0,1]\subset[-1,1]\).

🔢 Étape 2 : \(h(0)=1>0\) et \(h(1)=-3<0\).

✅ Corollaire du TVI : l’équation \(h(x)=0\) a une unique solution \(\alpha\in]0,1[\).

3.b) Donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}25\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé indique « amplitude \(0{,}25\) » (écriture manuscrite peu nette).

🔢 \(h(0{,}25)=0{,}25^5-5\times0{,}25+1\approx0{,}00098-1{,}25+1=-0{,}249<0\) et \(h(0)=1>0\).

✅ \(h\) est décroissante sur \([0,1]\) donc \(0<\alpha<0{,}25\).

Exercice 15

On considère la fonction \(f\) définie sur \(I=\left[\frac\pi4,\frac\pi2\right]\) par : \(f(x)=x^2-x\sin(x)-\cos(x)\).

1) Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est dérivable sur \(I\) et \(f'(x)=2x-\sin x-x\cos x+\sin x=2x-x\cos x=x(2-\cos x)\).

🔢 Étape 2 : Sur \(I\), \(x>0\) et \(2-\cos x\ge1>0\).

✅ \(f'(x)>0\) sur \(I\) : \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

2) Montrer qu’il existe un unique réel \(\alpha\) de l’intervalle \(I\) tel que : \(f(\alpha)=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\).

🔢 Étape 2 : \(f\left(\frac\pi4\right)=\dfrac{\pi^2}{16}-\dfrac\pi4\cdot\dfrac{\sqrt2}2-\dfrac{\sqrt2}2\approx-0{,}65<0\) et \(f\left(\frac\pi2\right)=\dfrac{\pi^2}4-\dfrac\pi2-0\approx0{,}90>0\).

✅ Corollaire du TVI : il existe un unique \(\alpha\in I\) tel que \(f(\alpha)=0\).

3) À quel des intervalles \(]\frac\pi4,\frac\pi3[\) et \(]\frac\pi3,\frac\pi2[\) appartient-il le réel \(\alpha\) ? Justifier la réponse.

Correction détaillée

🔢 \(f\left(\frac\pi3\right)=\dfrac{\pi^2}9-\dfrac\pi3\cdot\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac12\approx1{,}097-0{,}907-0{,}5=-0{,}31<0\).

✅ \(f\left(\frac\pi3\right)<0=f(\alpha)\) et \(f\) est strictement croissante : \(\alpha>\frac\pi3\), donc \(\alpha\in]\frac\pi3,\frac\pi2[\).

4) Donner le tableau de signe de la fonction \(f\) sur \(I\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) est strictement croissante et \(f(\alpha)=0\).

✅ \(f(x)<0\) sur \([\frac\pi4,\alpha[\), \(f(\alpha)=0\), \(f(x)>0\) sur \(]\alpha,\frac\pi2]\).

Exercice 16

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}\). On pose : \(g(x)=x^3+3x+8\).

1.a) Étudier les variations de la fonction \(g\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \(g'(x)=3x^2+3>0\).

🔢 Étape 2 : \(\lim_{-\infty}g=-\infty\) et \(\lim_{+\infty}g=+\infty\).

✅ \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), de \(-\infty\) à \(+\infty\).

1.b) Montrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb R\) et que \(\alpha\in[-2;0]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\), à valeurs dans \(\mathbb R\) : l’équation \(g(x)=0\) a une unique solution \(\alpha\).

🔢 Étape 2 : \(g(-2)=-8-6+8=-6<0\) et \(g(0)=8>0\).

✅ \(\alpha\) existe, est unique et \(\alpha\in]-2;0[\subset[-2;0]\).

1.c) Préciser le signe de \(g(x)\) selon les valeurs de \(x\).

Correction détaillée

🔢 \(g\) est strictement croissante et \(g(\alpha)=0\).

✅ \(g(x)<0\) si \(x<\alpha\) ; \(g(\alpha)=0\) ; \(g(x)>0\) si \(x>\alpha\).

2.a) Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).

Correction détaillée

🔢 En \(\pm\infty\), \(f(x)\sim\dfrac{x^3}{x^2}=x\).

✅ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).

2.b) Calculer \(f'(x)\) et montrer que : \(f'(x)=\dfrac{x\left(x^3+3x+8\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=\dfrac{3x^2\left(x^2+1\right)-2x\left(x^3-4\right)}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{3x^4+3x^2-2x^4+8x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{x^4+3x^2+8x}{\left(x^2+1\right)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{x\left(x^3+3x+8\right)}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{x\,g(x)}{\left(x^2+1\right)^2}\).

2.c) À l’aide d’un tableau de signe donner le signe de \(f'(x)\) puis dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)\) a le signe de \(x\,g(x)\), avec \(\alpha<0\) : si \(x<\alpha\) : \(x<0\) et \(g<0\) donc \(f’>0\) ; si \(\alpha<x<0\) : \(x<0\) et \(g>0\) donc \(f'<0\) ; si \(x>0\) : \(f’>0\).

🔢 Étape 2 : \(f(0)=-4\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty,\alpha]\), strictement décroissante sur \([\alpha,0]\), strictement croissante sur \([0,+\infty[\) ; \(f(0)=-4\) est un minimum local et \(f(\alpha)\) un maximum local.

2.d) En écrivant \(f(x)=\dfrac{x\left(x^3-4\right)}{x^3+x}\), montrer alors que \(f(\alpha)=\dfrac32\alpha\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On remplace \(\alpha^3\) grâce à \(g(\alpha)=0\) pour simplifier.

🔢 Étape 1 : \(f(\alpha)=\dfrac{\alpha^3-4}{\alpha^2+1}\). Comme \(g(\alpha)=0\) : \(\alpha^3=-3\alpha-8\), donc \(\alpha^3-4=-3\alpha-12\).

🔢 Étape 2 : Et \(\alpha^3+\alpha=-2\alpha-8\), donc \(\alpha^2+1=\dfrac{\alpha^3+\alpha}\alpha=\dfrac{-2(\alpha+4)}\alpha\) (\(\alpha\ne0\)).

🔢 Étape 3 : \(f(\alpha)=\dfrac{-3(\alpha+4)}{-2(\alpha+4)/\alpha}=\dfrac32\alpha\) (\(\alpha+4\ne0\)).

✅ \(f(\alpha)=\dfrac32\alpha\).

2.e) En déduire un encadrement de \(f(\alpha)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g\left(-\frac32\right)=-\frac{27}8-\frac92+8=\frac18>0\), donc \(\alpha<-\frac32\) ; avec \(\alpha>-2\) : \(-2<\alpha<-\frac32\).

🔢 Étape 2 : On multiplie par \(\frac32>0\) : \(-3<\frac32\alpha<-\frac94\).

✅ \(-3<f(\alpha)<-\dfrac94\) (en utilisant seulement \(-2<\alpha<0\) : \(-3<f(\alpha)<0\)).

Exercice 17

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \([1,+\infty[\) par : \(f:x\mapsto x^2-2\sqrt{x^2-1}\). Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur l’intervalle \([\sqrt2,+\infty[\).

1) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

Correction détaillée

🔢 Pour \(x\ge1\) : \(f(x)=x^2\left(1-\dfrac{2\sqrt{x^2-1}}{x^2}\right)\) et \(\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^2}\le\dfrac x{x^2}=\dfrac1x\to0\).

✅ Le facteur tend vers \(1\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

2) Montrer que \(f\) est continue sur l’intervalle \([1,+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(x\mapsto x^2-1\) est continue et positive sur \([1,+\infty[\), donc \(x\mapsto\sqrt{x^2-1}\) y est continue.

✅ \(f\) est continue sur \([1,+\infty[\) (somme de fonctions continues).

3.a) Montrer que : \((\forall x>1)\) ; \(f'(x)=\left(\dfrac{2x}{\sqrt{x^2-1}\left(\sqrt{x^2-1}+1\right)}\right)\left(x^2-2\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)=2x-2\cdot\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=2x-\dfrac{2x}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{2x\left(\sqrt{x^2-1}-1\right)}{\sqrt{x^2-1}}\).

🔢 Étape 2 : On multiplie haut et bas par \(\sqrt{x^2-1}+1\) : \(\left(\sqrt{x^2-1}-1\right)\left(\sqrt{x^2-1}+1\right)=x^2-1-1=x^2-2\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{2x\left(x^2-2\right)}{\sqrt{x^2-1}\left(\sqrt{x^2-1}+1\right)}\), d’où la formule.

3.b) En déduire que \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([\sqrt2,+\infty[\) et strictement décroissante sur l’intervalle \([1,\sqrt2]\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x>1\), \(\dfrac{2x}{\sqrt{x^2-1}\left(\sqrt{x^2-1}+1\right)}>0\) : \(f’\) a le signe de \(x^2-2\).

🔢 Étape 2 : \(x^2-2<0\) sur \(]1,\sqrt2[\) et \(x^2-2>0\) sur \(]\sqrt2,+\infty[\) ; \(f\) est continue en \(1\) et \(\sqrt2\).

✅ \(f\) est strictement décroissante sur \([1,\sqrt2]\) et strictement croissante sur \([\sqrt2,+\infty[\).

4.a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

Correction détaillée

📘 Méthode : Théorème : si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), elle réalise une bijection de \(I\) sur \(J=f(I)\) : elle admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J\), de même monotonie que \(f\).

🔢 Étape 1 : \(g\) est continue et strictement croissante sur \([\sqrt2,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : \(g(\sqrt2)=2-2\sqrt1=0\) et \(\lim_{+\infty}g=+\infty\).

✅ \(g\) réalise une bijection de \([\sqrt2,+\infty[\) sur \(J=g([\sqrt2,+\infty[)=[0,+\infty[\).

4.b) Montrer que : \((\forall x\in[\sqrt2,+\infty[)\) ; \(g(x)=\left(\sqrt{x^2-1}-1\right)^2\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\sqrt{x^2-1}-1\right)^2=(x^2-1)-2\sqrt{x^2-1}+1=x^2-2\sqrt{x^2-1}\).

✅ C’est bien \(f(x)=g(x)\).

4.c) En déduire \(g^{-1}(x)\) pour tout \(x\) de \(J\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(y\in J=[0,+\infty[\) et \(x\ge\sqrt2\) : \(g(x)=y\iff\left(\sqrt{x^2-1}-1\right)^2=y\).

🔢 Étape 2 : Comme \(x\ge\sqrt2\), \(\sqrt{x^2-1}-1\ge0\) : \(\sqrt{x^2-1}-1=\sqrt y\), donc \(x^2=\left(1+\sqrt y\right)^2+1=y+2\sqrt y+2\).

✅ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+2\sqrt x+2}\) pour tout \(x\in[0,+\infty[\).

Exercice 18

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb R_+^*\) par : \(f(x)=\dfrac{1-x^2}x\).

1.a) Montrer que la fonction \(f\) est continue sur l’intervalle \(\mathbb R_+^*\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) est une fonction rationnelle définie sur \(\mathbb R^*\supset\mathbb R_+^*\).

✅ \(f\) est continue sur \(\mathbb R_+^*\).

1.b) Montrer que \(f\) est strictement décroissante sur l’intervalle \(\mathbb R_+^*\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)=\dfrac1x-x\) donc \(f'(x)=-\dfrac1{x^2}-1<0\) pour tout \(x>0\).

✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R_+^*\).

1.c) Déduire que la fonction \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) en déterminant son domaine de définition.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).

✅ \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb R_+^*\) sur \(f(\mathbb R_+^*)=\mathbb R\) : \(f^{-1}\) est définie sur \(\mathbb R\).

2.a) Calculer : \(f^{-1}(0)\) et \(f^{-1}\left(\dfrac{-3}2\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f^{-1}(0)=x\iff f(x)=0\iff1-x^2=0\iff x=1\) (\(x>0\)).

🔢 Étape 2 : \(f(x)=-\dfrac32\iff1-x^2=-\dfrac32x\iff2x^2-3x-2=0\), de racines \(2\) et \(-\dfrac12\) ; on garde \(x>0\).

✅ \(f^{-1}(0)=1\) et \(f^{-1}\left(-\dfrac32\right)=2\).

2.b) Comparer les deux nombres : \(f^{-1}\left(\sqrt2\right)\) et \(f^{-1}\left(\sqrt[3]2\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt[3]2=2^{1/3}<2^{1/2}=\sqrt2\).

✅ \(f^{-1}\) a la même monotonie que \(f\) : strictement décroissante, donc \(f^{-1}\left(\sqrt2\right)<f^{-1}\left(\sqrt[3]2\right)\).

3) Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\) appartenant au domaine de définition de \(f^{-1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(y\in\mathbb R\) et \(x>0\) : \(f(x)=y\iff1-x^2=xy\iff x^2+yx-1=0\).

🔢 Étape 2 : Discriminant \(y^2+4>0\) ; les racines sont \(\dfrac{-y\pm\sqrt{y^2+4}}2\) et leur produit vaut \(-1<0\) : une seule est positive.

✅ \(f^{-1}(x)=\dfrac{-x+\sqrt{x^2+4}}2\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Exercice 19

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(I=[0,+\infty[\) par : \(f(x)=x+2\sqrt x\).

1) Montrer que \(f\) est continue sur \(I\).

Correction détaillée

🔢 \(x\mapsto\sqrt x\) est continue sur \([0,+\infty[\) et \(x\mapsto x\) aussi.

✅ \(f\) est continue sur \(I\).

2.a) Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

Correction détaillée

🔢 \(x\mapsto x\) et \(x\mapsto2\sqrt x\) sont strictement croissantes sur \(I\) ; leur somme l’est aussi.

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

2.b) Déduire que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(I\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\) : \(f(I)=\left[f(0),\lim_{+\infty}f\right[=[0,+\infty[=I\).

✅ \(f\) est une bijection de \(I\) sur \(I\) : \(f^{-1}\) est définie sur \(I\).

3.a) Vérifier que \(f^{-1}(0)=0\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=0+2\sqrt0=0\).

✅ Donc \(f^{-1}(0)=0\).

3.b) Montrer que : \((\forall x\in I)\) ; \(f^{-1}(x)=\left(\sqrt{1+x}-1\right)^2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(y\ge0\) et \(x\ge0\) : \(f(x)=y\iff x+2\sqrt x=y\iff\left(\sqrt x+1\right)^2=y+1\).

🔢 Étape 2 : Comme \(\sqrt x+1>0\) : \(\sqrt x=\sqrt{1+y}-1\) (le membre de droite est \(\ge0\) car \(y\ge0\)).

✅ \(x=\left(\sqrt{1+y}-1\right)^2\), donc \(f^{-1}(x)=\left(\sqrt{1+x}-1\right)^2\).

3.c) Résoudre dans \(I\) l’équation : \(f^{-1}(x)=f(x)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(f\) strictement croissante : \(f(x)=f^{-1}(x)\iff f(x)=x\).

🔢 Étape 1 : Si \(f^{-1}(x)=f(x)\), en appliquant \(f\) : \(x=f(f(x))\).

🔢 Étape 2 : Si \(f(x)>x\), alors \(f(f(x))>f(x)>x\) (\(f\) croissante) : contradiction ; de même si \(f(x)<x\). Donc \(f(x)=x\).

🔢 Étape 3 : Réciproquement, \(f(x)=x\) donne \(f^{-1}(x)=x=f(x)\).

🔢 Étape 4 : \(f(x)=x\iff2\sqrt x=0\iff x=0\).

✅ \(S=\{0\}\).

Exercice 20

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x)=x^3+x\).

1) Montrer que la fonction \(f\) admet une fonction réciproque \(g\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), \(f'(x)=3x^2+1>0\) : \(f\) est continue et strictement croissante.

🔢 Étape 2 : \(\lim_{-\infty}f=-\infty\) et \(\lim_{+\infty}f=+\infty\).

✅ \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur \(J=\mathbb R\) : \(g=f^{-1}\) est définie sur \(\mathbb R\).

2) Dresser le tableau de variations de la fonction \(g\).

Correction détaillée

🔢 \(g\) a la même monotonie que \(f\), et \(g(0)=0\) car \(f(0)=0\).

✅ \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), de limite \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\).

3) \((\forall x\in\mathbb R)\) ; \((g(x))^3+g(x)=x\).

Correction détaillée

🔢 Pour tout \(x\in\mathbb R\) : \(f(g(x))=x\), c’est-à-dire \((g(x))^3+g(x)=x\).

✅ \((g(x))^3+g(x)=x\).

4) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb R^+\) : \(g(x)\le x\) puis calculer la limite : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac x{(g(x))^3}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x\ge0\) : \(g(x)\ge g(0)=0\) (\(g\) croissante), donc \((g(x))^3\ge0\). Alors \(g(x)=x-(g(x))^3\le x\).

🔢 Étape 2 : Pour \(x>0\), \(g(x)>0\) et \(\dfrac x{(g(x))^3}=\dfrac{(g(x))^3+g(x)}{(g(x))^3}=1+\dfrac1{(g(x))^2}\).

🔢 Étape 3 : Comme \(g(x)\le x\) ne suffit pas pour la limite, on utilise \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\) (\(g\) est une bijection croissante de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\)).

✅ \(g(x)\le x\) sur \(\mathbb R^+\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac x{(g(x))^3}=1+0=1\).

Exercice 21

Soit la fonction \(g(x)=x-2\sqrt x\) définie sur \(\mathbb R^+\).

1) Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\) puis déterminer \(J=g([1,+\infty[)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(x>1\) : \(g'(x)=1-\dfrac1{\sqrt x}>0\) ; \(g\) est continue en \(1\).

🔢 Étape 2 : \(g(1)=1-2=-1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}\sqrt x\left(\sqrt x-2\right)=+\infty\).

✅ \(g\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\) et \(J=[-1,+\infty[\).

2) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque de \(J\) vers \([1,+\infty[\) et déterminer \(g^{-1}(x)\) pour \(x\) dans \(J\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g\) est continue et strictement croissante de \([1,+\infty[\) sur \(J\) : bijection.

🔢 Étape 2 : Soit \(y\ge-1\) et \(x\ge1\) : \(g(x)=y\iff x-2\sqrt x+1=y+1\iff\left(\sqrt x-1\right)^2=y+1\).

🔢 Étape 3 : Comme \(\sqrt x-1\ge0\) : \(\sqrt x=1+\sqrt{y+1}\).

✅ \(g^{-1}(x)=\left(1+\sqrt{x+1}\right)^2\) pour tout \(x\in[-1,+\infty[\).

3) Résoudre dans \([1,+\infty[\) l’équation : \(x^2-4x\sqrt x+4x=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\left(x-2\sqrt x\right)^2=x^2-4x\sqrt x+4x\) : l’équation s’écrit \(\left(g(x)\right)^2=1\), c’est-à-dire \(g(x)=1\) ou \(g(x)=-1\).

🔢 Étape 2 : \(g(x)=-1\iff x=g^{-1}(-1)=\left(1+0\right)^2=1\).

🔢 Étape 3 : \(g(x)=1\iff x=g^{-1}(1)=\left(1+\sqrt2\right)^2=3+2\sqrt2\).

✅ \(S=\left\{1\,;\,3+2\sqrt2\right\}\).