Cette série de primitives 2ème Bac (PC et SVT) rassemble des exercices de synthèse sur le calcul de primitives : formules usuelles, fonctions composées, fonctions rationnelles et logarithmiques. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape. Retrouve aussi les autres cours et séries de la catégorie 2Bac PC-SVT.
Exercices corrigés de primitives 2ème Bac
Fonctions primitives · Série de synthèse 2ème Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
1) Calculer la dérivée de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=3x^3-9x+1\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=3\times3x^2-9\).
✅ \(f'(x)=9x^2-9\).
2) Déduisez-en deux primitives de la fonction \(g\) définie par \(g(x)=9x^2-9\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : D’après 1), \(f’=g\) : \(f\) est une primitive de \(g\).
🔢 Étape 2 : Toute fonction \(f+k\) (\(k\in\mathbb R\)) est aussi une primitive de \(g\) : on prend par exemple \(k=0\) et \(k=5\).
✅ Deux primitives de \(g\) : \(x\mapsto3x^3-9x+1\) et \(x\mapsto3x^3-9x+6\).
3) Déterminer le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=g(x)=9(x^2-1)=9(x-1)(x+1)\).
🔢 Étape 2 : \(f’>0\) sur \(]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\) et \(f'<0\) sur \(]-1,1[\).
✅ \(f\) est croissante sur \(]-\infty,-1]\) et sur \([1,+\infty[\), décroissante sur \([-1,1]\).
Exercice 2
Déterminer une primitive de \(f\) sur un intervalle contenu dans son ensemble de définition.
1) \(f(x)=2x+1\)
Correction détaillée
📘 Méthode : On utilise le tableau des primitives usuelles : \(x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}\), \(\frac1{\sqrt x}\to2\sqrt x\), \(\sin\to-\cos\), \(\cos\to\sin\).
🔢 Primitive de \(2x\) : \(x^2\) ; primitive de \(1\) : \(x\).
✅ \(F(x)=x^2+x\) (à une constante près).
2) \(f(x)=10x^4+6x^3-1\)
Correction détaillée
🔢 \(10x^4\to2x^5\) ; \(6x^3\to\frac64x^4=\frac32x^4\) ; \(-1\to-x\).
✅ \(F(x)=2x^5+\dfrac32x^4-x\) (à une constante près).
3) \(f(x)=(x-1)(x+3)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : On développe : \(f(x)=x^2+2x-3\).
🔢 Étape 2 : \(x^2\to\frac{x^3}3\) ; \(2x\to x^2\) ; \(-3\to-3x\).
✅ \(F(x)=\dfrac{x^3}3+x^2-3x\) (à une constante près).
4) \(f(x)=\dfrac1{x^2}-x^2\) sur \(]0,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac1{x^2}\to-\frac1x\) ; \(x^2\to\frac{x^3}3\).
✅ \(F(x)=-\dfrac1x-\dfrac{x^3}3\) (à une constante près).
5) \(f(x)=\dfrac{-4}{3x^5}\) sur \(]0,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=-\frac43x^{-5}\) ; \(x^{-5}\to\frac{x^{-4}}{-4}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac43\times\dfrac{x^{-4}}{-4}=\dfrac1{3x^4}\) (à une constante près).
6) \(f(x)=x+\dfrac1{\sqrt x}\) sur \(]0,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(x\to\frac{x^2}2\) ; \(\frac1{\sqrt x}\to2\sqrt x\).
✅ \(F(x)=\dfrac{x^2}2+2\sqrt x\) (à une constante près).
7) \(f(x)=\sin x-2\cos x\)
Correction détaillée
🔢 \(\sin x\to-\cos x\) ; \(\cos x\to\sin x\).
✅ \(F(x)=-\cos x-2\sin x\) (à une constante près).
Exercice 3
Déterminer l’ensemble des primitives de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle \(I\).
1) \(f(x)=x^3-2x^2+3x-5\) sur \(I=\mathbb R\)
Correction détaillée
🔢 On intègre chaque terme.
✅ \(F(x)=\dfrac{x^4}4-\dfrac{2x^3}3+\dfrac{3x^2}2-5x\) (à une constante près).
2) \(f(x)=\dfrac3{x^2}\) sur \(I=[1;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac1{x^2}\to-\frac1x\).
✅ \(F(x)=-\dfrac3x\) (à une constante près).
3) \(f(x)=\dfrac2{\sqrt x}\) sur \(I=[1;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac1{\sqrt x}\to2\sqrt x\).
✅ \(F(x)=4\sqrt x\) (à une constante près).
4) \(f(x)=\dfrac1{x^2}\) sur \(I=]0;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(x^{-2}\to\frac{x^{-1}}{-1}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac1x\) (à une constante près).
5) \(f(x)=3x^2(x^3-1)^2 \ (\text{notée } g)\) sur \(I=\mathbb R\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Reconnaître \(u’u^n\to\frac{u^{n+1}}{n+1}\).
🔢 Forme \(u’u^2\) avec \(u=x^3-1\), \(u’=3x^2\).
✅ \(F(x)=\dfrac{(x^3-1)^3}3\) (à une constante près).
6) \(f(x)=\dfrac{2x}{(x^2-3)^3}\) sur \(I=[4;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 Forme \(\frac{u’}{u^3}\) avec \(u=x^2-3\), \(u’=2x\) : \(\frac{u’}{u^3}=u’u^{-3}\to\frac{u^{-2}}{-2}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac1{2(x^2-3)^2}\) (à une constante près).
7) \(f(x)=\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}\) sur \(I=\mathbb R\)
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2+1\), \(u’=2x\) : \(f=\frac12\times\frac{u’}{\sqrt u}\) et \(\frac{u’}{\sqrt u}\to2\sqrt u\).
✅ \(F(x)=\sqrt{x^2+1}\) (à une constante près).
8) \(f(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{x^2+4}}\) sur \(I=\mathbb R\)
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2+4\), \(u’=2x\) : \(f=\frac32\times\frac{u’}{\sqrt u}\).
✅ \(F(x)=3\sqrt{x^2+4}\) (à une constante près).
9) \(f(x)=\tan^2x\) sur chaque intervalle \(\left]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right[\)
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé écrit « sur \(I=\mathbb R\) » : \(\tan\) n’est pas définie sur \(\mathbb R\) tout entier, on travaille donc sur un intervalle \(\left]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right[\).
🔢 \(\tan^2x=(1+\tan^2x)-1\) et \(1+\tan^2x=(\tan x)’\).
✅ \(F(x)=\tan x-x\) (à une constante près).
10) \(f(x)=x^2(2x-1)\) sur \(I=\mathbb R\)
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=2x^3-x^2\).
✅ \(F(x)=\dfrac{x^4}2-\dfrac{x^3}3\) (à une constante près).
Exercice 4
(situation directe) Déterminer une primitive des fonctions suivantes.
1) \(f(x)=5x^4+3x+1\)
Correction détaillée
🔢 On intègre terme à terme.
✅ \(F(x)=x^5+\dfrac32x^2+x\) (à une constante près).
2) \(f(x)=\dfrac1{\sqrt x}+\cos x+\sin x-1\) sur \(]0,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac1{\sqrt x}\to2\sqrt x\), \(\cos\to\sin\), \(\sin\to-\cos\), \(1\to x\).
✅ \(F(x)=2\sqrt x+\sin x-\cos x-x\) (à une constante près).
3) \(f(x)=\sin x+x\cos x\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Reconnaître la dérivée d’un produit \((uv)’=u’v+uv’\).
🔢 On remarque que \((x\sin x)’=\sin x+x\cos x\).
✅ \(F(x)=x\sin x\) (à une constante près).
4) \(f(x)=(2x-1)^3\)
Correction détaillée
🔢 Forme \(u’u^3\) avec \(u=2x-1\), \(u’=2\) : \(f=\frac12u’u^3\).
✅ \(F(x)=\dfrac12\times\dfrac{(2x-1)^4}4=\dfrac{(2x-1)^4}8\) (à une constante près).
5) \(f(x)=\dfrac x{(x^2-1)^2}\) (sur un intervalle ne contenant pas \(\pm1\))
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2-1\), \(u’=2x\) : \(f=\frac12\frac{u’}{u^2}\) et \(\frac{u’}{u^2}\to-\frac1u\).
✅ \(F(x)=-\dfrac1{2(x^2-1)}\) (à une constante près).
6) \(f(x)=5x\sqrt[3]{3x^2+1}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=3x^2+1\), \(u’=6x\) : \(5x=\frac56u’\), donc \(f=\frac56u’u^{1/3}\).
🔢 Étape 2 : \(u’u^{1/3}\to\frac{u^{4/3}}{4/3}=\frac34u^{4/3}\).
✅ \(F(x)=\dfrac56\times\dfrac34(3x^2+1)^{4/3}=\dfrac58(3x^2+1)^{4/3}\) (à une constante près).
7) \(f(x)=\dfrac{4x+1}{(2x^2+x)^4}\) (sur un intervalle où \(2x^2+x\neq0\))
Correction détaillée
🔢 \(u=2x^2+x\), \(u’=4x+1\) : \(f=u’u^{-4}\to\frac{u^{-3}}{-3}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac1{3(2x^2+x)^3}\) (à une constante près).
8) \(f(x)=7x\cos\left(\pi x^2+3\right)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=\pi x^2+3\), \(u’=2\pi x\) : \(7x=\frac7{2\pi}u’\), donc \(f=\frac7{2\pi}u’\cos u\).
🔢 Étape 2 : \(u’\cos u\to\sin u\).
✅ \(F(x)=\dfrac7{2\pi}\sin\left(\pi x^2+3\right)\) (à une constante près).
Exercice 5
Déterminer les fonctions primitives des fonctions suivantes.
1) \(f(x)=\dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{2+\cos x}}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=2+\cos x\), \(u’=-\sin x\) : \(f=-u’u^{-1/3}\).
🔢 Étape 2 : \(u’u^{-1/3}\to\frac{u^{2/3}}{2/3}=\frac32u^{2/3}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac32(2+\cos x)^{2/3}\) (à une constante près).
2) \(f(x)=2x\sin x+x^2\cos x\)
Correction détaillée
🔢 \((x^2\sin x)’=2x\sin x+x^2\cos x\).
✅ \(F(x)=x^2\sin x\) (à une constante près).
3) \(f(x)=(4x+5)^2\)
Correction détaillée
🔢 \(u=4x+5\), \(u’=4\) : \(f=\frac14u’u^2\).
✅ \(F(x)=\dfrac{(4x+5)^3}{12}\) (à une constante près).
4) \(f(x)=2\sqrt{2x+1}\) sur \(\left]-\frac12,+\infty\right[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=2x+1\), \(u’=2\) : \(f=u’u^{1/2}\) ; \(u’u^{1/2}\to\frac{u^{3/2}}{3/2}\).
✅ \(F(x)=\dfrac23(2x+1)^{3/2}\) (à une constante près).
5) \(f(x)=\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2+1\) : \(f=\frac12\frac{u’}{\sqrt u}\to\sqrt u\).
✅ \(F(x)=\sqrt{x^2+1}\) (à une constante près).
6) \(f(x)=x\sqrt{x^2+1}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2+1\), \(u’=2x\) : \(f=\frac12u’u^{1/2}\).
✅ \(F(x)=\dfrac12\times\dfrac23(x^2+1)^{3/2}=\dfrac13(x^2+1)^{3/2}\) (à une constante près).
7) \(f(x)=\tan^2x\) sur \(\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[\)
Correction détaillée
🔢 \(\tan^2x=(1+\tan^2x)-1\).
✅ \(F(x)=\tan x-x\) (à une constante près).
8) \(f(x)=\cos^4x \quad(\text{utiliser } \cos^2x=\tfrac{1+\cos2x}2)\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Linéariser avant de chercher une primitive.
🔢 Étape 1 : \(\cos^4x=\left(\dfrac{1+\cos2x}2\right)^2=\dfrac{1+2\cos2x+\cos^22x}4\).
🔢 Étape 2 : \(\cos^22x=\dfrac{1+\cos4x}2\), donc \(\cos^4x=\dfrac38+\dfrac12\cos2x+\dfrac18\cos4x\).
🔢 Étape 3 : \(\cos2x\to\frac12\sin2x\) ; \(\cos4x\to\frac14\sin4x\).
✅ \(F(x)=\dfrac38x+\dfrac14\sin2x+\dfrac1{32}\sin4x\) (à une constante près).
9) \(f(x)=\sin^3x \quad(\text{remarquer que } \sin^3x=\sin x\,\sin^2x)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sin^3x=\sin x\,(1-\cos^2x)=\sin x-\sin x\cos^2x\).
🔢 Étape 2 : \(\sin x\to-\cos x\) ; \(\sin x\cos^2x=-u’u^2\) avec \(u=\cos x\), qui a pour primitive \(-\frac{\cos^3x}3\).
✅ \(F(x)=-\cos x+\dfrac{\cos^3x}3\) (à une constante près).
Exercice 6
Déterminer les fonctions primitives de chacune des fonctions suivantes.
1.a) \(f(x)=8x^7-12x^4-14x^3-6x+5\)
Correction détaillée
🔢 On intègre terme à terme.
✅ \(F(x)=x^8-\dfrac{12}5x^5-\dfrac72x^4-3x^2+5x\) (à une constante près).
1.b) \(f(x)=-4x^5+\dfrac2{x^2}+3\) sur \(]0,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(x^5\to\frac{x^6}6\) ; \(\frac2{x^2}\to-\frac2x\).
✅ \(F(x)=-\dfrac23x^6-\dfrac2x+3x\) (à une constante près).
1.c) \(f(x)=(11x+1)^5\)
Correction détaillée
🔢 \(u=11x+1\), \(u’=11\) : \(f=\frac1{11}u’u^5\).
✅ \(F(x)=\dfrac{(11x+1)^6}{66}\) (à une constante près).
2.a) \(f(x)=\dfrac{20x-6}{(5x^2-3x+2)^8}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=5x^2-3x+2\), \(u’=10x-3\) : \(f=2\dfrac{u’}{u^8}\).
🔢 Étape 2 : \(\frac{u’}{u^8}\to-\frac1{7u^7}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac2{7(5x^2-3x+2)^7}\) (à une constante près).
2.b) \(f(x)=\dfrac1{\sqrt{2x+5}}\) sur \(\left]-\frac52,+\infty\right[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=2x+5\), \(u’=2\) : \(f=\frac12\frac{u’}{\sqrt u}\to\frac12\times2\sqrt u\).
✅ \(F(x)=\sqrt{2x+5}\) (à une constante près).
2.c) \(f(x)=\dfrac{x^8}{\sqrt{4x^9+1}}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=4x^9+1\), \(u’=36x^8\) : \(f=\frac1{36}\frac{u’}{\sqrt u}\).
✅ \(F(x)=\dfrac1{36}\times2\sqrt{4x^9+1}=\dfrac1{18}\sqrt{4x^9+1}\) (à une constante près).
3.a) \(f(x)=\dfrac x{\sqrt{x-1}}\) sur \(]1,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : On écrit \(x=(x-1)+1\) : \(f(x)=\sqrt{x-1}+\dfrac1{\sqrt{x-1}}\).
🔢 Étape 2 : \(\sqrt{x-1}\to\frac23(x-1)^{3/2}\) ; \(\frac1{\sqrt{x-1}}\to2\sqrt{x-1}\).
✅ \(F(x)=\dfrac23(x-1)^{3/2}+2\sqrt{x-1}\) (à une constante près).
3.b) \(f(x)=\sqrt[3]{x^5}\) sur \(]0,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x^{5/3}\) et \(\frac53+1=\frac83\).
✅ \(F(x)=\dfrac38x^{8/3}\) (à une constante près).
3.c) \(f(x)=\sqrt[3]{5x-7}\) sur \(\left]\frac75,+\infty\right[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=5x-7\), \(u’=5\) : \(f=\frac15u’u^{1/3}\to\frac15\times\frac34u^{4/3}\).
✅ \(F(x)=\dfrac3{20}(5x-7)^{4/3}\) (à une constante près).
3.d) \(f(x)=x^7\sqrt{5x^8-7}\) (là où \(5x^8-7>0\))
Correction détaillée
🔢 \(u=5x^8-7\), \(u’=40x^7\) : \(f=\frac1{40}u’u^{1/2}\to\frac1{40}\times\frac23u^{3/2}\).
✅ \(F(x)=\dfrac1{60}(5x^8-7)^{3/2}\) (à une constante près).
4) \(f(x)=3\sin(7x)-5\cos(2x-\pi)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sin(ax+b)\to-\frac1a\cos(ax+b)\) et \(\cos(ax+b)\to\frac1a\sin(ax+b)\).
🔢 Étape 2 : \(3\sin7x\to-\frac37\cos7x\) ; \(-5\cos(2x-\pi)\to-\frac52\sin(2x-\pi)\).
✅ \(F(x)=-\dfrac37\cos7x-\dfrac52\sin(2x-\pi)=-\dfrac37\cos7x+\dfrac52\sin2x\) (à une constante près).
Exercice 7
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=3x-1+\dfrac2{x^2}\).
Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) sur \(]0;+\infty[\) qui s’annule pour \(x=1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Primitives de \(f\) : \(F(x)=\dfrac{3x^2}2-x-\dfrac2x+c\), \(c\in\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : \(F(1)=0\iff\frac32-1-2+c=0\iff c=\frac32\).
✅ \(F(x)=\dfrac{3x^2}2-x-\dfrac2x+\dfrac32\).
Exercice 8
Trouver la primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) vérifiant la condition donnée.
1) \(f(x)=1-x+x^2-x^3\) sur \(I=\mathbb R\), avec \(F(0)=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Primitives de \(f\) : \(F(x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4+c\).
🔢 Étape 2 : \(F(0)=c=0\).
✅ \(F(x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4\).
2) \(f(x)=x+\dfrac1{x^2}-\dfrac1{\sqrt x}\) sur \(I=]0;+\infty[\), avec \(F(1)=1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Primitives de \(f\) : \(F(x)=\dfrac{x^2}2-\dfrac1x-2\sqrt x+c\).
🔢 Étape 2 : \(F(1)=\frac12-1-2+c=1\iff c=\frac72\).
✅ \(F(x)=\dfrac{x^2}2-\dfrac1x-2\sqrt x+\dfrac72\).
Exercice 9
Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(f(x)=2x^2+x+1+\dfrac1{x^2}\).
1) Déterminer les fonctions primitives de la fonction \(f\) sur \(]0;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(2x^2\to\frac{2x^3}3\) ; \(x\to\frac{x^2}2\) ; \(1\to x\) ; \(\frac1{x^2}\to-\frac1x\).
✅ \(F(x)=\dfrac{2x^3}3+\dfrac{x^2}2+x-\dfrac1x+c\), \(c\in\mathbb R\).
2) Déterminer la fonction primitive de la fonction \(f\) sur \(]0;+\infty[\) telle que \(F(1)=3\).
Correction détaillée
🔢 \(F(1)=\frac23+\frac12+1-1+c=\frac76+c=3\).
✅ \(c=\dfrac{11}6\) : \(F(x)=\dfrac{2x^3}3+\dfrac{x^2}2+x-\dfrac1x+\dfrac{11}6\).
Exercice 10
Déterminer la fonction primitive \(g\) de la fonction \(f\) telle que \(g\) prend la valeur \(y_0\) en \(x_0\), pour chaque cas suivant.
1) \(y_0=0\) ; \(x_0=1\) ; \(f(x)=x^3-6x^2+1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Primitives : \(g(x)=\dfrac{x^4}4-2x^3+x+c\).
🔢 Étape 2 : \(g(1)=\frac14-2+1+c=0\iff c=\frac34\).
✅ \(g(x)=\dfrac{x^4}4-2x^3+x+\dfrac34\).
2) \(y_0=1\) ; \(x_0=1\) ; \(f(x)=(x+1)^3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Primitives : \(g(x)=\dfrac{(x+1)^4}4+c\).
🔢 Étape 2 : \(g(1)=\frac{16}4+c=4+c=1\iff c=-3\).
✅ \(g(x)=\dfrac{(x+1)^4}4-3\).
Exercice 11
Forme \(u’u^n\). Déterminer une primitive des fonctions données.
1) \(f(x)=3(3x+1)^4\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Forme \(u’u^n\) : primitive \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\).
🔢 \(u=3x+1\), \(u’=3\) : \(f=u’u^4\to\frac{u^5}5\).
✅ \(F(x)=\dfrac{(3x+1)^5}5\) (à une constante près).
2) \(f(x)=16(4x-1)^3\)
Correction détaillée
🔢 \(u=4x-1\), \(u’=4\) : \(f=4u’u^3\to4\times\frac{u^4}4\).
✅ \(F(x)=(4x-1)^4\) (à une constante près).
3) \(f(x)=(2x+7)^6\)
Correction détaillée
🔢 \(u=2x+7\), \(u’=2\) : \(f=\frac12u’u^6\to\frac12\times\frac{u^7}7\).
✅ \(F(x)=\dfrac{(2x+7)^7}{14}\) (à une constante près).
4) \(f(x)=(6x-2)\left(3x^2-2x+3\right)^5\)
Correction détaillée
🔢 \(u=3x^2-2x+3\), \(u’=6x-2\) : \(f=u’u^5\).
✅ \(F(x)=\dfrac{\left(3x^2-2x+3\right)^6}6\) (à une constante près).
5) \(f(x)=\dfrac1{x^2}\left(1+\dfrac1x\right)^4\) sur \(]0,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=1+\frac1x\), \(u’=-\frac1{x^2}\) : \(f=-u’u^4\to-\frac{u^5}5\).
✅ \(F(x)=-\dfrac15\left(1+\dfrac1x\right)^5\) (à une constante près).
6) \(f(x)=\sin x\cos x\)
Correction détaillée
📘 Méthode : On peut aussi écrire \(\sin x\cos x=\frac12\sin2x\), de primitive \(-\frac14\cos2x\) (qui diffère de \(\frac{\sin^2x}2\) d’une constante).
🔢 \(u=\sin x\), \(u’=\cos x\) : \(f=uu’\to\frac{u^2}2\).
✅ \(F(x)=\dfrac{\sin^2x}2\) (à une constante près).
Exercice 12
Forme \(\dfrac{u’}{u^2}\). Déterminer une primitive des fonctions données.
1) \(f(x)=\dfrac4{(1+4x)^2}\) (sur un intervalle où \(1+4x\neq0\))
Correction détaillée
📘 Méthode : Forme \(\dfrac{u’}{u^2}\) : primitive \(-\dfrac1u\).
🔢 \(u=1+4x\), \(u’=4\) : \(f=\frac{u’}{u^2}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac1{1+4x}\) (à une constante près).
2) \(f(x)=\dfrac6{(2x+1)^2}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=2x+1\), \(u’=2\) : \(f=3\dfrac{u’}{u^2}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac3{2x+1}\) (à une constante près).
3) \(f(x)=\dfrac1{(4x+3)^2}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=4x+3\), \(u’=4\) : \(f=\frac14\dfrac{u’}{u^2}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac1{4(4x+3)}\) (à une constante près).
4) \(f(x)=\dfrac{-1}{(2-x)^2}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=2-x\), \(u’=-1\) : \(f=\dfrac{u’}{u^2}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac1{2-x}\) (à une constante près).
5) \(f(x)=\dfrac2{(4-3x)^2}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=4-3x\), \(u’=-3\) : \(f=-\frac23\dfrac{u’}{u^2}\).
✅ \(F(x)=\dfrac2{3(4-3x)}\) (à une constante près).
6) \(f(x)=\dfrac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2+x+1\), \(u’=2x+1\) : \(f=\dfrac{u’}{u^2}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac1{x^2+x+1}\) (à une constante près).
7) \(f(x)=\dfrac{4x-10}{(x^2-5x+6)^2}\) (sur un intervalle ne contenant ni \(2\) ni \(3\))
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2-5x+6\), \(u’=2x-5\) : \(f=2\dfrac{u’}{u^2}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac2{x^2-5x+6}\) (à une constante près).
8) \(f(x)=\dfrac{\cos x}{\sin^2x}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=\sin x\), \(u’=\cos x\) : \(f=\dfrac{u’}{u^2}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac1{\sin x}\) (à une constante près).
9) \(f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^2x}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=\cos x\), \(u’=-\sin x\) : \(f=-\dfrac{u’}{u^2}\).
✅ \(F(x)=\dfrac1{\cos x}\) (à une constante près).
Exercice 13
Forme \(\dfrac{u’}{\sqrt u}\). Déterminer une primitive des fonctions données.
1) \(f(x)=\dfrac3{\sqrt{3x+2}}\) sur \(\left]-\frac23,+\infty\right[\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Forme \(\dfrac{u’}{\sqrt u}\) : primitive \(2\sqrt u\).
🔢 \(u=3x+2\), \(u’=3\) : \(f=\dfrac{u’}{\sqrt u}\).
✅ \(F(x)=2\sqrt{3x+2}\) (à une constante près).
2) \(f(x)=\dfrac1{\sqrt{2-5x}}\) sur \(\left]-\infty,\frac25\right[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=2-5x\), \(u’=-5\) : \(f=-\frac15\dfrac{u’}{\sqrt u}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac25\sqrt{2-5x}\) (à une constante près).
3) \(f(x)=\dfrac1{\sqrt{2x-3}}\) sur \(\left]\frac32,+\infty\right[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=2x-3\), \(u’=2\) : \(f=\frac12\dfrac{u’}{\sqrt u}\).
✅ \(F(x)=\sqrt{2x-3}\) (à une constante près).
4) \(f(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}\) sur \(\mathbb R\)
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2+x+1>0\), \(u’=2x+1\) : \(f=\dfrac{u’}{\sqrt u}\).
✅ \(F(x)=2\sqrt{x^2+x+1}\) (à une constante près).
5) \(f(x)=\dfrac x{\sqrt{x^2-1}}\) sur \(]1,+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2-1\), \(u’=2x\) : \(f=\frac12\dfrac{u’}{\sqrt u}\).
✅ \(F(x)=\sqrt{x^2-1}\) (à une constante près).
6) \(f(x)=\dfrac{\cos x}{\sqrt{2+\sin x}}\) sur \(\mathbb R\)
Correction détaillée
🔢 \(u=2+\sin x>0\), \(u’=\cos x\) : \(f=\dfrac{u’}{\sqrt u}\).
✅ \(F(x)=2\sqrt{2+\sin x}\) (à une constante près).
Exercice 14
Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=x\sqrt x\).
1) Calculer la dérivée de \(g\) sur \(]0;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g(x)=x\sqrt x=x^{3/2}\), donc \(g'(x)=\dfrac32x^{1/2}\).
✅ \(g'(x)=\dfrac32\sqrt x\).
2) Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\sqrt x\). Déduisez de la première question une primitive de \(f\) sur \(]0;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f=\frac23g’\), donc \(\frac23g\) est une primitive de \(f\).
✅ \(F(x)=\dfrac23x\sqrt x\).
Exercice 15
Déterminer une primitive de la fonction suivante.
\(f(x)=\dfrac2{4x^2+4x+1}\) (sur un intervalle ne contenant pas \(-\frac12\))
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(4x^2+4x+1=(2x+1)^2\), donc \(f(x)=\dfrac2{(2x+1)^2}\).
🔢 Étape 2 : \(u=2x+1\), \(u’=2\) : \(f=\dfrac{u’}{u^2}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac1{2x+1}\) (à une constante près).
Exercice 16
Soit la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=2x+1\) si \(x\leq1\) et \(f(x)=2x-1\) si \(x>1\).
Montrer que la fonction \(f\) n’admet pas de primitive sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Supposons que \(F\) soit une primitive de \(f\) sur \(\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : Sur \(]-\infty,1]\) : \(F(x)=x^2+x+a\) ; sur \(]1,+\infty[\) : \(F(x)=x^2-x+b\) (\(a,b\in\mathbb R\)).
🔢 Étape 3 : \(F\) est continue en \(1\) : \(2+a=b\). Calculons les dérivées à gauche et à droite en \(1\) : \(F’_g(1)=2\times1+1=3\) et \(F’_d(1)=2\times1-1=1\).
🔢 Étape 4 : Or \(F\) dérivable en \(1\) exigerait \(F’_g(1)=F’_d(1)\). Contradiction.
✅ \(f\) n’admet pas de primitive sur \(\mathbb R\) .
Exercice 17
Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{3x+4}{(x+1)^3}\).
1) Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(x\neq-1\), \(f(x)=\dfrac a{(x+1)^2}+\dfrac b{(x+1)^3}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(3x+4=3(x+1)+1\), donc \(f(x)=\dfrac{3(x+1)+1}{(x+1)^3}=\dfrac3{(x+1)^2}+\dfrac1{(x+1)^3}\).
🔢 Étape 2 : Par identification (unicité de la décomposition) :
✅ \(a=3\) et \(b=1\).
2) En déduire une primitive \(F\) de \(f\) sur \(]-1;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac3{(x+1)^2}\to-\dfrac3{x+1}\) ; \(\dfrac1{(x+1)^3}\to-\dfrac1{2(x+1)^2}\).
✅ \(F(x)=-\dfrac3{x+1}-\dfrac1{2(x+1)^2}\).
Exercice 18
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \(I=]2;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-4x+2}{(x-2)^2}\).
1) Déterminer \(a\) et \(b\) de \(\mathbb R\) tels que \(f(x)=a+\dfrac b{(x-2)^2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2-4x+2=(x-2)^2-2\).
🔢 Étape 2 : Donc \(f(x)=1-\dfrac2{(x-2)^2}\).
✅ \(a=1\) et \(b=-2\).
2) En déduire les fonctions primitives de \(f\) sur \(I\).
Correction détaillée
🔢 \(1\to x\) ; \(-\dfrac2{(x-2)^2}\to\dfrac2{x-2}\).
✅ \(F(x)=x+\dfrac2{x-2}+c\), \(c\in\mathbb R\).
Exercice 19
Soit la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}\).
1) Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(f(x)=a+\dfrac b{(x+1)^2}\) pour tout \(x\in[0;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2+2x=(x+1)^2-1\), donc \(f(x)=1-\dfrac1{(x+1)^2}\).
✅ \(a=1\) et \(b=-1\).
2) Déterminer la primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur \([0;+\infty[\) telle que \(F(1)=\dfrac52\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(F(x)=x+\dfrac1{x+1}+c\).
🔢 Étape 2 : \(F(1)=1+\frac12+c=\frac52\iff c=1\).
✅ \(F(x)=x+\dfrac1{x+1}+1\).
Exercice 20
Soit \(f\) la fonction définie sur \([1;+\infty[\) par \(f(x)=x\sqrt{x-1}\).
1) Montrer que \(f(x)=\sqrt{(x-1)^3}+\sqrt{x-1}\) pour tout \(x\in[1;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{(x-1)^3}+\sqrt{x-1}=\sqrt{x-1}\,(x-1)+\sqrt{x-1}=\sqrt{x-1}\,(x-1+1)\).
✅ \(=x\sqrt{x-1}=f(x)\).
2) Déterminer la primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur \([1;+\infty[\) telle que \(F(2)=1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((x-1)^{3/2}\to\frac25(x-1)^{5/2}\) et \((x-1)^{1/2}\to\frac23(x-1)^{3/2}\).
🔢 Étape 2 : \(F(x)=\frac25(x-1)^{5/2}+\frac23(x-1)^{3/2}+c\) ; \(F(2)=\frac25+\frac23+c=1\iff c=1-\frac{16}{15}\).
✅ \(F(x)=\dfrac25(x-1)^{5/2}+\dfrac23(x-1)^{3/2}-\dfrac1{15}\).
Exercice 21
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x)=\dfrac{5x^4+40x^2+20x+80}{(x^2+4)^2}\).
1) Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(f(x)=\dfrac{ax+b}{(x^2+4)^2}+c\) pour tout \(x\in\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Le coefficient de \(x^4\) au numérateur est \(5\) : \(c=5\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)-5=\dfrac{5x^4+40x^2+20x+80-5(x^4+8x^2+16)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{20x}{(x^2+4)^2}\).
✅ \(a=20\), \(b=0\), \(c=5\).
2) Déterminer la fonction primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb R\) telle que \(F(0)=c\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{20x}{(x^2+4)^2}=10\dfrac{u’}{u^2}\) avec \(u=x^2+4\), de primitive \(-\dfrac{10}{x^2+4}\).
🔢 Étape 2 : \(F(x)=5x-\dfrac{10}{x^2+4}+k\) ; \(F(0)=-\frac{10}4+k=5\iff k=\frac{15}2\).
✅ \(F(x)=5x-\dfrac{10}{x^2+4}+\dfrac{15}2\).
Exercice 22
Soit \(f:x\mapsto\dfrac{x^3-3x^2+7}{(x-2)^2}\) définie sur \(I=[3;+\infty[\).
1) Déterminer \(a\), \(b\) et \(c\) de façon que \(f(x)=ax+b+\dfrac c{(x-2)^2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((x-2)^2=x^2-4x+4\) et \((x+1)(x^2-4x+4)=x^3-3x^2+4\).
🔢 Étape 2 : Donc \(x^3-3x^2+7=(x+1)(x-2)^2+3\), soit \(f(x)=x+1+\dfrac3{(x-2)^2}\).
✅ \(a=1\), \(b=1\), \(c=3\).
2) Calculer les primitives de \(f\) sur \(I=[3;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(x\to\frac{x^2}2\) ; \(1\to x\) ; \(\frac3{(x-2)^2}\to-\frac3{x-2}\).
✅ \(F(x)=\dfrac{x^2}2+x-\dfrac3{x-2}+k\).
3) En déduire la primitive \(F\) de \(f\) sachant que \(F(3)=\dfrac{11}2\).
Correction détaillée
🔢 \(F(3)=\frac92+3-3+k=\frac92+k=\frac{11}2\iff k=1\).
✅ \(F(x)=\dfrac{x^2}2+x-\dfrac3{x-2}+1\).
Exercice 23
1) Déterminer les primitives de \(x\mapsto\dfrac1{1+\cos2x}\) sur l’intervalle \(\left[0;\dfrac\pi4\right]\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(1+\cos2x=2\cos^2x\), donc \(f(x)=\dfrac1{2\cos^2x}\).
🔢 Étape 2 : \(\frac1{\cos^2x}=1+\tan^2x=(\tan x)’\).
✅ \(F(x)=\dfrac12\tan x+c\), \(c\in\mathbb R\).
2) Déterminer la primitive \(F\) de \(f:x\mapsto x^3(x^4-1)\) telle que \(F(0)=-1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x^7-x^3\), donc \(F(x)=\dfrac{x^8}8-\dfrac{x^4}4+c\).
🔢 Étape 2 : \(F(0)=c=-1\).
✅ \(F(x)=\dfrac{x^8}8-\dfrac{x^4}4-1\).
3) Déterminer \(a\), \(b\) et \(c\) de façon que \(F(x)=(ax^2+bx+c)\sqrt{3-2x}\) soit une primitive de la fonction \(f:x\mapsto x\sqrt{3-2x}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \(\left]-\infty,\frac32\right[\) : \(F'(x)=(2ax+b)\sqrt{3-2x}-\dfrac{ax^2+bx+c}{\sqrt{3-2x}}=\dfrac{(2ax+b)(3-2x)-(ax^2+bx+c)}{\sqrt{3-2x}}\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)=\dfrac{x(3-2x)}{\sqrt{3-2x}}\). On identifie les numérateurs : \(-5ax^2+(6a-3b)x+3b-c=-2x^2+3x\).
🔢 Étape 3 : \(-5a=-2\Rightarrow a=\frac25\) ; \(6a-3b=3\Rightarrow b=-\frac15\) ; \(3b-c=0\Rightarrow c=-\frac35\).
✅ \(a=\dfrac25\), \(b=-\dfrac15\), \(c=-\dfrac35\), soit \(F(x)=\dfrac15\left(2x^2-x-3\right)\sqrt{3-2x}\).
Exercice 24
On considère la fonction définie sur \(I=[4;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{2x^2-3x-4}{x-2}\).
1) Trouver trois réels \(a,b\) et \(c\) tels que \(f(x)=ax+b+\dfrac c{x-2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Division euclidienne : \((x-2)(2x+1)=2x^2-3x-2\), donc \(2x^2-3x-4=(x-2)(2x+1)-2\).
🔢 Étape 2 : \(f(x)=2x+1-\dfrac2{x-2}\).
✅ \(a=2\), \(b=1\), \(c=-2\).
2) En déduire une primitive de \(f\) sur \([4;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(2x\to x^2\) ; \(1\to x\) ; \(-\dfrac2{x-2}\to-2\ln(x-2)\) (\(x-2>0\)).
✅ \(F(x)=x^2+x-2\ln(x-2)\).
Exercice 25
Déterminez une primitive de la fonction \(f\) proposée sur l’intervalle \(I\) donné.
1) \(f(x)=x^2-5x+\dfrac1x\) sur \(I=]0;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(x^2\to\frac{x^3}3\) ; \(-5x\to-\frac{5x^2}2\) ; \(\frac1x\to\ln x\) sur \(]0,+\infty[\).
✅ \(F(x)=\dfrac{x^3}3-\dfrac{5x^2}2+\ln x\) (à une constante près).
2) \(f(x)=\dfrac{x^2+x+1}x\) sur \(I=]0;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x+1+\dfrac1x\).
✅ \(F(x)=\dfrac{x^2}2+x+\ln x\) (à une constante près).
3) \(f(x)=\dfrac7x+\dfrac5{\sqrt x}+\dfrac1{x^2}\) sur \(I=]0;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac7x\to7\ln x\) ; \(\frac5{\sqrt x}\to10\sqrt x\) ; \(\frac1{x^2}\to-\frac1x\).
✅ \(F(x)=7\ln x+10\sqrt x-\dfrac1x\) (à une constante près).
4) \(f(x)=\dfrac3{3x-4}\) sur \(I=\left]\frac43;+\infty\right[\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Forme \(\dfrac{u’}u\) : primitive \(\ln|u|\).
🔢 \(u=3x-4>0\) sur \(I\), \(u’=3\) : \(f=\dfrac{u’}u\).
✅ \(F(x)=\ln(3x-4)\) (à une constante près).
5) \(f(x)=\dfrac1{x+1}\) sur \(I=]-1;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=x+1>0\) sur \(I\), \(u’=1\).
✅ \(F(x)=\ln(x+1)\) (à une constante près).
6) \(f(x)=\dfrac1{x+1}\) sur \(I=]-\infty;-1[\)
Correction détaillée
🔢 Ici \(x+1<0\) : une primitive de \(\frac{u’}u\) est \(\ln|u|=\ln(-x-1)\).
✅ \(F(x)=\ln(-x-1)\) (à une constante près).
7) \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2-4}\) sur \(]2;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2-4>0\) sur \(]2,+\infty[\), \(u’=2x\).
✅ \(F(x)=\ln\left(x^2-4\right)\) (à une constante près).
8) \(f(x)=\dfrac1{3x-5}\) sur \(]2;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=3x-5>0\), \(u’=3\) : \(f=\frac13\dfrac{u’}u\).
✅ \(F(x)=\dfrac13\ln(3x-5)\) (à une constante près).
9) \(f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+2x+2}\) sur \(\mathbb R\)
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2+2x+2>0\) (discriminant négatif), \(u’=2x+2\) : \(f=\frac12\dfrac{u’}u\).
✅ \(F(x)=\dfrac12\ln\left(x^2+2x+2\right)\) (à une constante près).
10) \(f(x)=\dfrac x{x^2-1}\) sur \(]-1;1[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2-1<0\) sur \(]-1,1[\), \(u’=2x\) : \(f=\frac12\dfrac{u’}u\) et une primitive de \(\frac{u’}u\) est \(\ln|u|\).
✅ \(F(x)=\dfrac12\ln\left(1-x^2\right)\) (à une constante près).
Exercice 26
Déterminez une primitive de la fonction \(f\) proposée sur l’intervalle \(I\) donné.
1) \(f(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}\) sur \(I=\left]0;\frac\pi2\right[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=\sin x>0\) sur \(]0,\frac\pi2[\), \(u’=\cos x\).
✅ \(F(x)=\ln(\sin x)\) (à une constante près).
2) \(f(x)=\dfrac{\ln x}x\) sur \(I=[1;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=\ln x\), \(u’=\frac1x\) : \(f=u’u\to\frac{u^2}2\).
✅ \(F(x)=\dfrac{(\ln x)^2}2\) (à une constante près).
3) \(f(x)=\dfrac1{x\ln x}\) sur \(]1;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(u=\ln x>0\) sur \(]1,+\infty[\), \(u’=\frac1x\) : \(f=\dfrac{u’}u\).
✅ \(F(x)=\ln(\ln x)\) (à une constante près).
4) \(f(x)=\tan x\) sur \(\left]\frac\pi2;\pi\right[\)
Correction détaillée
⚠️ Dans l’énoncé la fonction est partiellement masquée (« \(f(x)=t\dots\) ») : on la lit comme \(\tan x\).
🔢 \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{u’}u\) avec \(u=\cos x<0\) sur \(\left]\frac\pi2,\pi\right[\).
✅ \(F(x)=-\ln|\cos x|=-\ln(-\cos x)\) (à une constante près).
Exercice 27
Déterminez une primitive sur \(\mathbb R\) de la fonction \(f\) donnée.
1) \(f(x)=\dfrac14e^x\) sur \(\mathbb R\)
Correction détaillée
🔢 \((e^x)’=e^x\).
✅ \(F(x)=\dfrac14e^x\) (à une constante près).
2) \(f(x)=e^{-x}\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Forme \(u’e^u\) : primitive \(e^u\).
🔢 \(u=-x\), \(u’=-1\) : \(f=-u’e^u\).
✅ \(F(x)=-e^{-x}\) (à une constante près).
3) \(f(x)=e^{2x+3}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=2x+3\), \(u’=2\) : \(f=\frac12u’e^u\).
✅ \(F(x)=\dfrac12e^{2x+3}\) (à une constante près).
4) \(f(x)=xe^{x^2}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=x^2\), \(u’=2x\) : \(f=\frac12u’e^u\).
✅ \(F(x)=\dfrac12e^{x^2}\) (à une constante près).
5) \(f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}\)
Correction détaillée
🔢 \(u=e^x+1>0\), \(u’=e^x\) : \(f=\dfrac{u’}u\).
✅ \(F(x)=\ln\left(e^x+1\right)\) (à une constante près).
Exercice 28
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=(x+2)e^x\).
Déterminez les nombres \(a\) et \(b\) tels que la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb R\) par \(F(x)=(ax+b)e^x\) soit une primitive de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(F'(x)=ae^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x\).
🔢 Étape 2 : \(F’=f\iff ax+a+b=x+2\iff a=1\) et \(a+b=2\).
✅ \(a=1\), \(b=1\) : \(F(x)=(x+1)e^x\).
Exercice 29
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\dfrac3{e^{-x}+1}\).
1) Vérifiez que pour tout \(x\) de \(\mathbb R\), on a \(f(x)=\dfrac{3e^x}{e^x+1}\).
Correction détaillée
🔢 On multiplie numérateur et dénominateur par \(e^x\) : \(\dfrac3{e^{-x}+1}=\dfrac{3e^x}{e^x\left(e^{-x}+1\right)}=\dfrac{3e^x}{1+e^x}\).
✅ \(f(x)=\dfrac{3e^x}{e^x+1}\).
2) Déduisez-en la primitive \(F\) de \(f\) qui s’annule pour \(x=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f=3\dfrac{u’}u\) avec \(u=e^x+1>0\) : \(F(x)=3\ln(e^x+1)+c\).
🔢 Étape 2 : \(F(0)=3\ln2+c=0\iff c=-3\ln2\).
✅ \(F(x)=3\ln\left(e^x+1\right)-3\ln2=3\ln\dfrac{e^x+1}2\).
Exercice 30
Vérifier qu’une fonction \(H\) est une primitive de \(h\) (extraits d’examens).
1) Montrer que \(H:x\mapsto x\ln x\) est une primitive de la fonction \(h:x\mapsto1+\ln x\) sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(H'(x)=\ln x+x\times\dfrac1x=\ln x+1\).
✅ \(H’=h\) sur \(]0,+\infty[\).
2) Montrer que \(H:x\mapsto2\ln x-x\) est une primitive de la fonction \(h:x\mapsto\dfrac2x-1\) sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(H'(x)=\dfrac2x-1\).
✅ \(H’=h\).
3) Vérifier que \(H:x\mapsto(x-1)e^x\) est une primitive de la fonction \(h:x\mapsto xe^x\) sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 \(H'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x\).
✅ \(H’=h\).
4) Vérifier que \(H:x\mapsto\left(x^2+2x+2\right)e^{-x}\) est une primitive de la fonction \(h:x\mapsto-x^2e^{-x}\) sur \(\mathbb R\).
Correction détaillée
🔢 \(H'(x)=(2x+2)e^{-x}-\left(x^2+2x+2\right)e^{-x}=-x^2e^{-x}\).
✅ \(H’=h\).
5) Montrer que \(H:x\mapsto x\ln x-x\) est une primitive de la fonction \(h:x\mapsto\ln x\) sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(H'(x)=\ln x+1-1=\ln x\).
✅ \(H’=h\).
Exercice 31
Trouver sur \(D_f=]0;e[\,\cup\,]e;+\infty[\) les fonctions primitives de la fonction \(h:x\mapsto\dfrac1{x(1-\ln x)}\), on remarquera que \(\dfrac1{x(1-\ln x)}=\dfrac{\frac1x}{1-\ln x}\) pour tout \(x\) de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Posons \(u(x)=1-\ln x\), \(u'(x)=-\dfrac1x\). Alors \(h=-\dfrac{u’}u\).
🔢 Étape 2 : Une primitive de \(\dfrac{u’}u\) est \(\ln|u|\), donc \(-\ln|1-\ln x|\) est une primitive de \(h\) sur chacun des intervalles \(]0,e[\) et \(]e,+\infty[\).
✅ \(H(x)=-\ln|1-\ln x|+c\) sur chaque intervalle de \(D_f\).