Équations différentielles 2ème Bac : exercices corrigés

Exercice 1

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1.a) \(5y’=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(y’=ay+b\) (\(a\neq0\)) : les solutions sont \(y(x)=ke^{ax}-\dfrac ba\), \(k\in\mathbb R\) ; pour \(b=0\) : \(y=ke^{ax}\). Une condition initiale \(y(x_0)=y_0\) fixe la constante \(k\).

🔢 \(5y’=0\iff y’=0\), c’est l’équation \(y’=ay\) avec \(a=0\).

✅ Les solutions sont les fonctions constantes : \(y(x)=k\), \(k\in\mathbb R\).

1.b) \(y’=-8y\).

Correction détaillée

🔢 C’est l’équation \(y’=ay\) avec \(a=-8\).

✅ \(y(x)=ke^{-8x}\), \(k\in\mathbb R\).

2) \(y’=5y+1\), puis déterminer la solution qui vérifie la condition \(g(0)=2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(y’=5y+1\) est de la forme \(y’=ay+b\) avec \(a=5\), \(b=1\) : \(y(x)=ke^{5x}-\dfrac15\).

🔢 Étape 2 : \(g(0)=2\iff k-\dfrac15=2\iff k=\dfrac{11}5\).

✅ \(y(x)=ke^{5x}-\dfrac15\) (\(k\in\mathbb R\)) et \(g(x)=\dfrac{11}5e^{5x}-\dfrac15\).

3.a) \((E):y’+2y=0\).

Correction détaillée

🔢 \(y’+2y=0\iff y’=-2y\).

✅ \(y(x)=ke^{-2x}\), \(k\in\mathbb R\).

3.b) Montrer que \(y_0=e^{-3x}\) est solution de l’équation \((E’):y’+2y=-e^{-3x}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(y_0′(x)=-3e^{-3x}\).

🔢 Étape 2 : \(y_0’+2y_0=-3e^{-3x}+2e^{-3x}=-e^{-3x}\).

✅ Donc \(y_0\) est solution de \((E’)\).

Exercice 2

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1) \((E):4y »-4y’+y=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(ay »+by’+cy=0\) : on résout l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) (\(\Delta=b^2-4ac\)). Si \(\Delta>0\) (racines \(r_1,r_2\)) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\). Si \(\Delta=0\) (racine double \(r\)) : \(y=(Ax+B)e^{rx}\). Si \(\Delta<0\) (racines \(\alpha\pm i\beta\)) : \(y=e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x+B\sin\beta x\right)\). Ici \(A,B\in\mathbb R\).

🔢 Équation caractéristique : \(4r^2-4r+1=0\iff(2r-1)^2=0\) : \(\Delta=0\), racine double \(r=\dfrac12\).

✅ \(y(x)=(Ax+B)e^{x/2}\), \(A,B\in\mathbb R\).

2) \((E):y »-2y’+5y=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(r^2-2r+5=0\) : \(\Delta=4-20=-16=(4i)^2<0\).

🔢 Étape 2 : Racines : \(r=\dfrac{2\pm4i}2=1\pm2i\), donc \(\alpha=1\), \(\beta=2\).

✅ \(y(x)=e^{x}\left(A\cos2x+B\sin2x\right)\), \(A,B\in\mathbb R\).

3.a) \((E):y »-3y’+2y=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(r^2-3r+2=0\) : \(\Delta=9-8=1>0\).

🔢 Étape 2 : Racines : \(r_1=\dfrac{3-1}2=1\) et \(r_2=\dfrac{3+1}2=2\).

✅ \(y(x)=Ae^{x}+Be^{2x}\), \(A,B\in\mathbb R\).

3.b) Déterminer la solution qui vérifie les conditions \(g(0)=-3\) et \(g'(0)=-2\) (bac 2016, session normale).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour une condition du type \(y(x_0)=\cdot\) et \(y'(x_0)=\cdot\), on écrit \(y\) et \(y’\) avec \(A,B\), puis on résout le système obtenu pour trouver \(A\) et \(B\).

🔢 Étape 1 : \(g(x)=Ae^x+Be^{2x}\) et \(g'(x)=Ae^x+2Be^{2x}\).

🔢 Étape 2 : \(g(0)=-3\iff A+B=-3\) et \(g'(0)=-2\iff A+2B=-2\).

🔢 Étape 3 : En soustrayant : \(B=1\), puis \(A=-4\).

✅ \(g(x)=-4e^{x}+e^{2x}\).

Exercice 3

Résoudre les équations différentielles suivantes (avec conditions initiales) :

1) Résoudre l’équation différentielle \((E_1):\begin{cases}y’=\dfrac2x-1+4x\\ y(1)=-7\end{cases}\)

Correction détaillée

⚠️ Domaine non précisé dans le scan ; \(]0,+\infty[\) est le domaine naturel à cause de \(\frac2x\) et de la condition en \(x=1\).

📘 Méthode : Ici \(y’\) est donnée directement en fonction de \(x\) : \(y\) est une primitive de ce second membre ; la condition initiale fixe la constante.

🔢 Étape 1 : Sur \(]0,+\infty[\), \(y\) est une primitive de \(x\mapsto\dfrac2x-1+4x\) : \(y(x)=2\ln x-x+2x^2+C\).

🔢 Étape 2 : \(y(1)=-7\iff0-1+2+C=-7\iff C=-8\).

✅ \(y(x)=2\ln x+2x^2-x-8\) sur \(]0,+\infty[\).

2) Résoudre l’équation différentielle \((E_2):\begin{cases}2y’+14y=5\\ y(0)=1\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(y’=ay+b\) (\(a\neq0\)) : les solutions sont \(y(x)=ke^{ax}-\dfrac ba\), \(k\in\mathbb R\) ; pour \(b=0\) : \(y=ke^{ax}\). Une condition initiale \(y(x_0)=y_0\) fixe la constante \(k\).

🔢 Étape 1 : \(2y’+14y=5\iff y’=-7y+\dfrac52\) : \(y(x)=ke^{-7x}+\dfrac5{14}\).

🔢 Étape 2 : \(y(0)=1\iff k+\dfrac5{14}=1\iff k=\dfrac9{14}\).

✅ \(y(x)=\dfrac9{14}e^{-7x}+\dfrac5{14}\).

3) Résoudre l’équation différentielle \((E_3):\begin{cases}y »+y’-2y=0\\ y(0)=0\ ;\ y'(0)=-3\end{cases}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(ay »+by’+cy=0\) : on résout l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) (\(\Delta=b^2-4ac\)). Si \(\Delta>0\) (racines \(r_1,r_2\)) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\). Si \(\Delta=0\) (racine double \(r\)) : \(y=(Ax+B)e^{rx}\). Si \(\Delta<0\) (racines \(\alpha\pm i\beta\)) : \(y=e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x+B\sin\beta x\right)\). Ici \(A,B\in\mathbb R\).

🔢 Étape 1 : \(r^2+r-2=0\) : \(\Delta=9\), racines \(r_1=1\), \(r_2=-2\). Donc \(y=Ae^x+Be^{-2x}\), \(y’=Ae^x-2Be^{-2x}\).

🔢 Étape 2 : \(y(0)=0\iff A+B=0\) et \(y'(0)=-3\iff A-2B=-3\).

🔢 Étape 3 : Par soustraction : \(3B=3\), \(B=1\) puis \(A=-1\).

✅ \(y(x)=-e^{x}+e^{-2x}\).

Exercice 4

1) Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-4z+7=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Si \(\Delta<0\), les deux racines complexes conjuguées sont \(\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

🔢 Étape 1 : \(\Delta=16-28=-12=\left(2i\sqrt3\right)^2\).

🔢 Étape 2 : \(z=\dfrac{4\pm2i\sqrt3}2\).

✅ \(z_1=2+i\sqrt3\) et \(z_2=2-i\sqrt3\).

2) Résoudre l’équation différentielle \(y »-4y’+7y=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(ay »+by’+cy=0\) : on résout l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) (\(\Delta=b^2-4ac\)). Si \(\Delta>0\) (racines \(r_1,r_2\)) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\). Si \(\Delta=0\) (racine double \(r\)) : \(y=(Ax+B)e^{rx}\). Si \(\Delta<0\) (racines \(\alpha\pm i\beta\)) : \(y=e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x+B\sin\beta x\right)\). Ici \(A,B\in\mathbb R\).

🔢 Son équation caractéristique \(r^2-4r+7=0\) est celle de la question 1 : racines \(2\pm i\sqrt3\) (\(\alpha=2\), \(\beta=\sqrt3\)).

✅ \(y(x)=e^{2x}\left(A\cos\left(\sqrt3x\right)+B\sin\left(\sqrt3x\right)\right)\), \(A,B\in\mathbb R\).

Exercice 5

1) Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb C\) l’équation \(z^2+6z+12=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\Delta=36-48=-12=\left(2i\sqrt3\right)^2\).

🔢 Étape 2 : \(z=\dfrac{-6\pm2i\sqrt3}2\).

✅ \(z_1=-3+i\sqrt3\) et \(z_2=-3-i\sqrt3\).

2) Résoudre l’équation différentielle \(y »+6y’+12y=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(ay »+by’+cy=0\) : on résout l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) (\(\Delta=b^2-4ac\)). Si \(\Delta>0\) (racines \(r_1,r_2\)) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\). Si \(\Delta=0\) (racine double \(r\)) : \(y=(Ax+B)e^{rx}\). Si \(\Delta<0\) (racines \(\alpha\pm i\beta\)) : \(y=e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x+B\sin\beta x\right)\). Ici \(A,B\in\mathbb R\).

🔢 Équation caractéristique \(r^2+6r+12=0\) : racines \(-3\pm i\sqrt3\), donc \(\alpha=-3\), \(\beta=\sqrt3\).

✅ \(y(x)=e^{-3x}\left(A\cos\left(\sqrt3x\right)+B\sin\left(\sqrt3x\right)\right)\), \(A,B\in\mathbb R\).

Exercice 6

On considère l’équation différentielle suivante : \((E):y »-2y’+y=0\).

1) Résoudre l’équation \((E)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(ay »+by’+cy=0\) : on résout l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) (\(\Delta=b^2-4ac\)). Si \(\Delta>0\) (racines \(r_1,r_2\)) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\). Si \(\Delta=0\) (racine double \(r\)) : \(y=(Ax+B)e^{rx}\). Si \(\Delta<0\) (racines \(\alpha\pm i\beta\)) : \(y=e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x+B\sin\beta x\right)\). Ici \(A,B\in\mathbb R\).

🔢 \(r^2-2r+1=0\iff(r-1)^2=0\) : racine double \(r=1\).

✅ \(y(x)=(Ax+B)e^{x}\), \(A,B\in\mathbb R\).

2) Déterminer la fonction \(h\) qui vérifie l’équation \((E)\) et dont la courbe passe par le point \(O(0;0)\) et \(h'(0)=-1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour une condition du type \(y(x_0)=\cdot\) et \(y'(x_0)=\cdot\), on écrit \(y\) et \(y’\) avec \(A,B\), puis on résout le système obtenu pour trouver \(A\) et \(B\).

🔢 Étape 1 : \(h(x)=(Ax+B)e^x\), \(h'(x)=(Ax+A+B)e^x\).

🔢 Étape 2 : La courbe passe par \(O\) : \(h(0)=0\iff B=0\).

🔢 Étape 3 : \(h'(0)=-1\iff A+B=-1\iff A=-1\).

✅ \(h(x)=-xe^{x}\).

3) Vérifier que la fonction \(g(x)=2-xe^{x}\) vérifie l’équation \((E_1):y »-2y’+y=2\).

Correction détaillée

⚠️ Le scan ne définit pas \((E_1)\) ailleurs ; on la prend telle qu’écrite dans la question : \(y »-2y’+y=2\).

🔢 Étape 1 : \(g'(x)=-e^x-xe^x\) et \(g »(x)=-2e^x-xe^x\).

🔢 Étape 2 : \(g »-2g’+g=\left(-2e^x-xe^x\right)+\left(2e^x+2xe^x\right)+\left(2-xe^x\right)=2\).

✅ Donc \(g\) vérifie \((E_1)\).

Exercice 7

1) Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-4z+29=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\Delta=16-116=-100=(10i)^2\).

🔢 Étape 2 : \(z=\dfrac{4\pm10i}2\).

✅ \(z_1=2+5i\) et \(z_2=2-5i\).

2) Résoudre l’équation différentielle suivante : \(y »-4y’+29y=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(ay »+by’+cy=0\) : on résout l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) (\(\Delta=b^2-4ac\)). Si \(\Delta>0\) (racines \(r_1,r_2\)) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\). Si \(\Delta=0\) (racine double \(r\)) : \(y=(Ax+B)e^{rx}\). Si \(\Delta<0\) (racines \(\alpha\pm i\beta\)) : \(y=e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x+B\sin\beta x\right)\). Ici \(A,B\in\mathbb R\).

🔢 Équation caractéristique \(r^2-4r+29=0\) : racines \(2\pm5i\) (\(\alpha=2\), \(\beta=5\)).

✅ \(y(x)=e^{2x}\left(A\cos5x+B\sin5x\right)\), \(A,B\in\mathbb R\).

3) Déterminer la fonction \(g(x)\) solution de l’équation \((E)\) telle que : \(g(0)=1\) et \(g\left(\dfrac\pi2\right)=e^{\pi}\).

Correction détaillée

⚠️ L’équation \((E)\) de la question 3 est celle de la question 2 (\(y »-4y’+29y=0\)).

📘 Méthode : Avec deux conditions en deux points différents, on remplace chaque fois \(x\) par la valeur donnée et on résout le système en \(A,B\).

🔢 Étape 1 : \(g(x)=e^{2x}\left(A\cos5x+B\sin5x\right)\).

🔢 Étape 2 : \(g(0)=1\iff A=1\).

🔢 Étape 3 : \(g\left(\dfrac\pi2\right)=e^{\pi}\left(A\cos\dfrac{5\pi}2+B\sin\dfrac{5\pi}2\right)=e^{\pi}\left(0+B\right)\) car \(\cos\dfrac{5\pi}2=0\) et \(\sin\dfrac{5\pi}2=1\). Donc \(B=1\).

✅ \(g(x)=e^{2x}\left(\cos5x+\sin5x\right)\).

Exercice 8

1) Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-2\sqrt3z+4=0\). On notera \(z_1\) et \(z_2\) les solutions trouvées, \(z_1\) étant la solution de partie imaginaire positive.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\Delta=12-16=-4=(2i)^2\).

🔢 Étape 2 : \(z=\dfrac{2\sqrt3\pm2i}2\).

✅ \(z_1=\sqrt3+i\) et \(z_2=\sqrt3-i\).

2) Déterminer le module et un argument de \(z_1\) et de \(z_2\) puis donner l’écriture exponentielle de \(z_1\) et de \(z_2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour \(z=a+ib\) : \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\), puis on factorise \(|z|\) pour lire \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).

🔢 Étape 1 : \(|z_1|=\sqrt{3+1}=2\).

🔢 Étape 2 : \(z_1=2\left(\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\right)=2\left(\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\right)\), donc \(\arg z_1\equiv\dfrac\pi6\ [2\pi]\).

🔢 Étape 3 : \(z_2=\overline{z_1}\) : \(|z_2|=2\) et \(\arg z_2\equiv-\dfrac\pi6\ [2\pi]\).

✅ \(z_1=2e^{i\frac\pi6}\) et \(z_2=2e^{-i\frac\pi6}\).

3) Résoudre l’équation différentielle suivante : \(y »-2\sqrt3y’+4y=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(ay »+by’+cy=0\) : on résout l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) (\(\Delta=b^2-4ac\)). Si \(\Delta>0\) (racines \(r_1,r_2\)) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\). Si \(\Delta=0\) (racine double \(r\)) : \(y=(Ax+B)e^{rx}\). Si \(\Delta<0\) (racines \(\alpha\pm i\beta\)) : \(y=e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x+B\sin\beta x\right)\). Ici \(A,B\in\mathbb R\).

🔢 Équation caractéristique \(r^2-2\sqrt3r+4=0\) : c’est celle de la question 1, de racines \(\sqrt3\pm i\) (\(\alpha=\sqrt3\), \(\beta=1\)).

✅ \(y(x)=e^{\sqrt3x}\left(A\cos x+B\sin x\right)\), \(A,B\in\mathbb R\).

Exercice 9

1) Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-6\cos\left(\dfrac\pi6\right)z+9=0\). On notera \(z_1\) et \(z_2\) les solutions trouvées, \(z_1\) étant la solution de partie imaginaire positive.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(6\cos\dfrac\pi6=6\times\dfrac{\sqrt3}2=3\sqrt3\), l’équation s’écrit \(z^2-3\sqrt3z+9=0\).

🔢 Étape 2 : \(\Delta=27-36=-9=(3i)^2\).

🔢 Étape 3 : \(z=\dfrac{3\sqrt3\pm3i}2\).

✅ \(z_1=\dfrac{3\sqrt3}2+\dfrac32i\) et \(z_2=\dfrac{3\sqrt3}2-\dfrac32i\).

2) Déterminer le module et un argument de \(z_1\) et de \(z_2\) puis donner l’écriture exponentielle de \(z_1\) et de \(z_2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(|z_1|=\sqrt{\dfrac{27}4+\dfrac94}=\sqrt9=3\).

🔢 Étape 2 : \(z_1=3\left(\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\right)=3\left(\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\right)\).

🔢 Étape 3 : \(z_2=\overline{z_1}\).

✅ \(z_1=3e^{i\frac\pi6}\) et \(z_2=3e^{-i\frac\pi6}\) (module \(3\), arguments \(\pm\dfrac\pi6\)).

3) Résoudre l’équation différentielle suivante : \(y »-6\cos\left(\dfrac\pi6\right)y’+9y=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(ay »+by’+cy=0\) : on résout l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) (\(\Delta=b^2-4ac\)). Si \(\Delta>0\) (racines \(r_1,r_2\)) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\). Si \(\Delta=0\) (racine double \(r\)) : \(y=(Ax+B)e^{rx}\). Si \(\Delta<0\) (racines \(\alpha\pm i\beta\)) : \(y=e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x+B\sin\beta x\right)\). Ici \(A,B\in\mathbb R\).

🔢 Équation caractéristique \(r^2-3\sqrt3r+9=0\) : racines \(\dfrac{3\sqrt3}2\pm\dfrac32i\), donc \(\alpha=\dfrac{3\sqrt3}2\) et \(\beta=\dfrac32\).

✅ \(y(x)=e^{\frac{3\sqrt3}2x}\left(A\cos\dfrac{3x}2+B\sin\dfrac{3x}2\right)\), \(A,B\in\mathbb R\).

Exercice 10

On considère l’équation suivante : \((E):z\in\mathbb C\), \(z^2-\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}2z+1=0\).

1) Montrer que : \(\sqrt{2-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour montrer \(\sqrt a=b\), on montre que \(b\geq0\) et \(b^2=a\).

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}2>0\) car \(\sqrt6>\sqrt2\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}2\right)^2=\dfrac{6+2-2\sqrt{12}}4=\dfrac{8-4\sqrt3}4=2-\sqrt3\).

✅ Deux nombres positifs ayant le même carré sont égaux : \(\sqrt{2-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}2\).

2) Déterminer : \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de l’équation \((E)\) avec \(\operatorname{Im}(z_1)>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\Delta=\left(\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}2\right)^2-4=\dfrac{8+2\sqrt{12}}4-4=2+\sqrt3-4=-(2-\sqrt3)\).

🔢 Étape 2 : D’après 1) : \(\Delta=-\left(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}2\right)^2=\left(i\,\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}2\right)^2\).

🔢 Étape 3 : \(z=\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}2\pm i\,\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}2\right)\).

✅ \(z_1=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4+i\,\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\) et \(z_2=\overline{z_1}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4-i\,\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

3) On en déduit les solutions de l’équation différentielle suivante : \(2y »-\left(\sqrt6+\sqrt2\right)y’+2y=0\).

Correction détaillée

⚠️ Dans le scan, l’équation différentielle de la question 3 est elle aussi nommée \((E)\), comme l’équation en \(z\) : on ne les confond pas ici.

📘 Méthode : Équation \(ay »+by’+cy=0\) : on résout l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) (\(\Delta=b^2-4ac\)). Si \(\Delta>0\) (racines \(r_1,r_2\)) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\). Si \(\Delta=0\) (racine double \(r\)) : \(y=(Ax+B)e^{rx}\). Si \(\Delta<0\) (racines \(\alpha\pm i\beta\)) : \(y=e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x+B\sin\beta x\right)\). Ici \(A,B\in\mathbb R\).

🔢 Étape 1 : On divise par \(2\) : \(y »-\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}2y’+y=0\). Son équation caractéristique est \(r^2-\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}2r+1=0\), c’est-à-dire \((E)\) avec \(r\) au lieu de \(z\).

🔢 Étape 2 : Ses racines sont \(z_1,z_2\) de la question 2, avec \(\alpha=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\) et \(\beta=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

✅ \(y(x)=e^{\frac{\sqrt6+\sqrt2}4x}\left(A\cos\left(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4x\right)+B\sin\left(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4x\right)\right)\), \(A,B\in\mathbb R\).

4) Donner l’écriture trigonométrique de : \(z_1\) et \(z_2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On sait que \(\cos\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\) et \(\sin\dfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\).

🔢 Étape 1 : \(|z_1|^2=\dfrac{(\sqrt6+\sqrt2)^2+(\sqrt6-\sqrt2)^2}{16}=\dfrac{16}{16}=1\), donc \(|z_1|=1\) (on le voit aussi par le produit des racines \(z_1z_2=|z_1|^2=1\)).

🔢 Étape 2 : \(\cos\theta=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4=\cos\dfrac\pi{12}\) et \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4=\sin\dfrac\pi{12}\).

✅ \(z_1=\cos\dfrac\pi{12}+i\sin\dfrac\pi{12}\) et \(z_2=\cos\dfrac\pi{12}-i\sin\dfrac\pi{12}=\cos\left(-\dfrac\pi{12}\right)+i\sin\left(-\dfrac\pi{12}\right)\).

Exercice 11

1) Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-6z+13=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\Delta=36-52=-16=(4i)^2\).

🔢 Étape 2 : \(z=\dfrac{6\pm4i}2\).

✅ \(z_1=3+2i\) et \(z_2=3-2i\).

2) Résoudre l’équation différentielle suivante : \((E):y »-6y’+13y=0\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(ay »+by’+cy=0\) : on résout l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) (\(\Delta=b^2-4ac\)). Si \(\Delta>0\) (racines \(r_1,r_2\)) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\). Si \(\Delta=0\) (racine double \(r\)) : \(y=(Ax+B)e^{rx}\). Si \(\Delta<0\) (racines \(\alpha\pm i\beta\)) : \(y=e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x+B\sin\beta x\right)\). Ici \(A,B\in\mathbb R\).

🔢 Équation caractéristique \(r^2-6r+13=0\) : racines \(3\pm2i\) (\(\alpha=3\), \(\beta=2\)).

✅ \(y(x)=e^{3x}\left(A\cos2x+B\sin2x\right)\), \(A,B\in\mathbb R\).

3) Déterminer la fonction \(f\) solution de \((E)\) telle que : \(f(0)=0\) et \(f'(0)=2\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour une condition du type \(y(x_0)=\cdot\) et \(y'(x_0)=\cdot\), on écrit \(y\) et \(y’\) avec \(A,B\), puis on résout le système obtenu pour trouver \(A\) et \(B\).

🔢 Étape 1 : \(f(x)=e^{3x}\left(A\cos2x+B\sin2x\right)\), \(f(0)=0\iff A=0\), donc \(f(x)=Be^{3x}\sin2x\).

🔢 Étape 2 : \(f'(x)=Be^{3x}\left(3\sin2x+2\cos2x\right)\), donc \(f'(0)=2B=2\iff B=1\).

✅ \(f(x)=e^{3x}\sin2x\).

4) En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^\pi e^{3x}\sin(2x)\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Astuce : l’équation \(f »-6f’+13f=0\) donne \(f=\dfrac1{13}\left(6f’-f »\right)\), dont on connaît une primitive \(\dfrac1{13}\left(6f-f’\right)\). On évite ainsi une double intégration par parties.

🔢 Étape 1 : \(f\) est solution de \((E)\) : \(f »-6f’+13f=0\), donc \(13f=6f’-f »\).

🔢 Étape 2 : \(13\displaystyle\int_0^\pi f(x)\,dx=\int_0^\pi\left(6f’-f »\right)dx=6\left[f\right]_0^\pi-\left[f’\right]_0^\pi\).

🔢 Étape 3 : \(f(0)=f(\pi)=0\) ; \(f'(\pi)=e^{3\pi}\left(3\sin2\pi+2\cos2\pi\right)=2e^{3\pi}\) et \(f'(0)=2\).

🔢 Étape 4 : \(13\displaystyle\int_0^\pi f=-\left(2e^{3\pi}-2\right)=-2\left(e^{3\pi}-1\right)\).

✅ \(\displaystyle\int_0^\pi e^{3x}\sin(2x)\,dx=-\dfrac2{13}\left(e^{3\pi}-1\right)=\dfrac{2\left(1-e^{3\pi}\right)}{13}\).

Exercice 12

On considère l’équation différentielle suivante : \((E):y »-4y’+13y=0\).

1) Résoudre l’équation différentielle \((E)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Équation \(ay »+by’+cy=0\) : on résout l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) (\(\Delta=b^2-4ac\)). Si \(\Delta>0\) (racines \(r_1,r_2\)) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\). Si \(\Delta=0\) (racine double \(r\)) : \(y=(Ax+B)e^{rx}\). Si \(\Delta<0\) (racines \(\alpha\pm i\beta\)) : \(y=e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x+B\sin\beta x\right)\). Ici \(A,B\in\mathbb R\).

🔢 \(r^2-4r+13=0\) : \(\Delta=16-52=-36=(6i)^2\), racines \(2\pm3i\) (\(\alpha=2\), \(\beta=3\)).

✅ \(y(x)=e^{2x}\left(A\cos3x+B\sin3x\right)\), \(A,B\in\mathbb R\).

2.a) Déterminer la solution de l’équation \((E)\) qui vérifie les conditions \(g(0)=0\) et \(g'(0)=3\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Pour une condition du type \(y(x_0)=\cdot\) et \(y'(x_0)=\cdot\), on écrit \(y\) et \(y’\) avec \(A,B\), puis on résout le système obtenu pour trouver \(A\) et \(B\).

🔢 Étape 1 : \(g(x)=e^{2x}\left(A\cos3x+B\sin3x\right)\) ; \(g(0)=0\iff A=0\), donc \(g(x)=Be^{2x}\sin3x\).

🔢 Étape 2 : \(g'(x)=Be^{2x}\left(2\sin3x+3\cos3x\right)\), \(g'(0)=3B=3\iff B=1\).

✅ \(g(x)=e^{2x}\sin3x\).

2.b) En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^\pi e^{2x}\sin(3x)\,dx=\dfrac3{13}\left(1+e^{2\pi}\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : On utilise \(13g=4g’-g »\) comme à l’exercice 11.

🔢 Étape 1 : \(g »-4g’+13g=0\) donc \(13g=4g’-g »\).

🔢 Étape 2 : \(13\displaystyle\int_0^\pi g=4\left[g\right]_0^\pi-\left[g’\right]_0^\pi\).

🔢 Étape 3 : \(g(0)=g(\pi)=0\) ; \(g'(0)=3\) ; \(g'(\pi)=e^{2\pi}\left(2\sin3\pi+3\cos3\pi\right)=-3e^{2\pi}\).

🔢 Étape 4 : \(13\displaystyle\int_0^\pi g=-\left(-3e^{2\pi}-3\right)=3\left(1+e^{2\pi}\right)\).

✅ \(\displaystyle\int_0^\pi e^{2x}\sin(3x)\,dx=\dfrac3{13}\left(1+e^{2\pi}\right)\).

2.c) À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale suivante : \(\displaystyle\int_0^\pi e^{2x}\cos(3x)\,dx\).

Correction détaillée

📘 Méthode : IPP : \(\displaystyle\int_a^bu\,v’=\left[uv\right]_a^b-\int_a^bu’v\).

🔢 Étape 1 : Posons \(u(x)=e^{2x}\), \(v'(x)=\cos3x\) ; \(u'(x)=2e^{2x}\), \(v(x)=\dfrac{\sin3x}3\).

🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_0^\pi e^{2x}\cos3x\,dx=\left[\dfrac{e^{2x}\sin3x}3\right]_0^\pi-\dfrac23\int_0^\pi e^{2x}\sin3x\,dx\).

🔢 Étape 3 : Le crochet vaut \(0\) car \(\sin3\pi=\sin0=0\). On remplace par la valeur de 2.b) : \(-\dfrac23\times\dfrac3{13}\left(1+e^{2\pi}\right)\).

✅ \(\displaystyle\int_0^\pi e^{2x}\cos(3x)\,dx=-\dfrac2{13}\left(1+e^{2\pi}\right)\).

Exercice 13

On considère l’équation différentielle suivante : \((E):y’-2y=2\left(e^{2x}-1\right)\) tel que la fonction \(y\) est définie et dérivable sur \(\mathbb R\).

1) Montrer que la fonction \(h(x)=2xe^{2x}+1\) est solution de l’équation \((E)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(h'(x)=2e^{2x}+4xe^{2x}\).

🔢 Étape 2 : \(h'(x)-2h(x)=2e^{2x}+4xe^{2x}-4xe^{2x}-2=2\left(e^{2x}-1\right)\).

✅ Donc \(h\) est solution de \((E)\).

2) On pose : \(y=z+h\) tel que \(z\) est une fonction dérivable sur \(\mathbb R\).

2.a) Montrer que : si \(y\) est solution de l’équation \((E)\) alors \(z\) est solution de l’équation \(z’-2z=0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Si \(y\) est solution de \((E)\) : \(y’-2y=2\left(e^{2x}-1\right)\). Comme \(h\) l’est aussi : \(h’-2h=2\left(e^{2x}-1\right)\).

🔢 Étape 2 : Par soustraction, \((y-h)’-2(y-h)=0\), c’est-à-dire \(z’-2z=0\).

✅ Donc \(z\) est solution de \(z’-2z=0\).

2.b) Montrer que : si \(z\) est solution de l’équation \(z’-2z=0\) alors \(y\) est solution de l’équation \((E)\).

Correction détaillée

🔢 Si \(z’-2z=0\), alors \(y’-2y=(z+h)’-2(z+h)=\left(z’-2z\right)+\left(h’-2h\right)=0+2\left(e^{2x}-1\right)\).

✅ Donc \(y\) est solution de \((E)\).

2.c) Écrire l’équivalence obtenue.

Correction détaillée

🔢 Les deux implications précédentes se résument en une équivalence.

✅ \(y\) est solution de \((E)\) \(\iff\) \(z=y-h\) est solution de \((E’):z’-2z=0\).

2.d) Résoudre l’équation \((E’):z’-2z=0\) puis déduire les solutions de l’équation \((E)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Principe : solution générale de \((E)\) = solution générale de l’équation sans second membre + une solution particulière.

🔢 Étape 1 : \(z’=2z\) : \(z(x)=ke^{2x}\), \(k\in\mathbb R\).

🔢 Étape 2 : \(y=z+h\) : \(y(x)=ke^{2x}+2xe^{2x}+1\).

✅ Les solutions de \((E)\) sont \(y(x)=(2x+k)e^{2x}+1\), \(k\in\mathbb R\).

2.e) Déterminer la fonction \(f\) solution de \((E)\) qui vérifie \(f(0)=0\).

Correction détaillée

🔢 \(f(0)=(0+k)e^0+1=k+1=0\iff k=-1\).

✅ \(f(x)=(2x-1)e^{2x}+1\).

Exercices corrigés d’équations différentielles 2ème Bac

Équations différentielles · Série de synthèse 2ème Bac