Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Olympiade Mathématiques – Algèbre Niv 01 – Ex 06
x,y,z trois nombres réels strictement positifs
Montrer que:
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}≥x+y+z\)
Solution:
⊸ ona (x+z)² ≥ 0 ⇾ x²+z² ≥ 2xz & y>0
⇾x²y+z²y ≥ 2xyz ⇾ x²y / xz + z²y / xz ≥ 2y
⇾ xy / z + zy / x ≥ 2y ①
de même pour
⇾ yz/x + xz/y ≥ 2z ②
⇾ zx/y + yx/z ≥ 2x ③
①+②+③ 2xy/z + 2yz/x + 2zx/y ≥ 2x+2y+2z
donc xy/z + yz/x + zx/y ≥ x+y+z
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