Théorème 3: Inégalité de Cauchy-Schwarz – Algèbre 1 –

Olympiade de Mathématique 

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Cours que nous vous proposons pour vous entraîner. 

Théorème 3: Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient a1,a2 …,an, b1,b2…bn des réels.
Alors :
( a1²+…+an²)( b1²+…+bn²) ≥ (a1b1+…+anbn)².
avec égalité si et seulement si les vecteurs (a1,a2,…,an) et (b1,b2,…bn) sont colinéaires.

♦️ Application 1 :
Montrer que, pour tous x1,x2, …,xn > 0, on a :
♦️ Application 2 : (USA 1978)
Soient a, b, c, d, e des réels tels que:
a+b+c+d+e= 8 et a²+b²+c²+d²+e²= 16.
Quelle est la valeur maximale de e?

Voir Solution 2

D’après Cauchy-Schwarz :
(a+b+c+d)² ≤ (1+1+1+1) (a²+b²+c²+d²)
(a+b+c+d)²
(8-e)² ≤ 4(16-e²)
5e²-16e ≤ 0
e(5e-16) ≤ 0
e ∊ [0,16/5]
la valeur maximale de e est:16/5.
Cette valeur étant atteinte pour:
a=b=c=d
a+b+c+d+e=8 a=b=c=d=(8-e)/4=6/5.

Théorème 3: Inégalité de Cauchy-Schwarz.


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