Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 51

Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 51

a,b et c trois réels non nuls.
Tel que:
$bc+\frac{1}{a}=ac+\frac{2}{b}=ab+\frac{7}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ 
Calculer abc? 

Solution 
* On a:
$bc+\frac{1}{a}=\frac{1}{a+b+c}$ 
$abc+1=\frac{a}{a+b+c}$ ① 
* $ac+\frac{2}{b}=\frac{1}{a+b+c}$ 
$abc+2=\frac{b}{a+b+c}$ ② 
* $ab+\frac{7}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ 
$abc+7=\frac{c}{a+b+c}$ ③ 
①+②+③
$3abc+1+2+7=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$
Donc: abc=-3.

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