Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade Mathématiques – Algèbre Niv 01 – Ex 08
x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que:
\((x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})≥9\)
solution:
∸∸∸
⊸ (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) = 1+x/y+x/z+y/x+1+y/z+z/x+z/y+1
⇾ (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y) ①
∸∸∸
on a
∸∸∸
⊸ (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) = 1+x/y+x/z+y/x+1+y/z+z/x+z/y+1
⇾ (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y) ①
∸∸∸
on a
(x-y)²≥ 0
⇾ x²+y²≥2xy & x,y≥0
⇾ x²/xy + y²/xy ≥2
⇾ x/y + y/x ≥2 ≡ x/z + z/x ≥2 ≡ y/z + z/y ≥2
①⇾ 3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y) ≥ 3+2+2+2=9 ②
∸∸∸
① & ②
⇾ x²+y²≥2xy & x,y≥0
⇾ x²/xy + y²/xy ≥2
⇾ x/y + y/x ≥2 ≡ x/z + z/x ≥2 ≡ y/z + z/y ≥2
①⇾ 3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y) ≥ 3+2+2+2=9 ②
∸∸∸
① & ②
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)≥9
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit,
Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques
4math.net Le première clé pour être bon en maths