Examen Bac 2 SM PDF Math 2016 Normal Avec Correction
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Structures Algébriques (3.5 points )
* Nombres complexes (3.5 points )
* Arithmétique (3 points )
* Analyse 1 (7 points )
* Analyse 2 (3 points )
Structures Algébriques (3.5 points )
On rappelle que ((mathbf{C},+, mathbf{x})) est un corps commutatif
et (left(mathbf{M}_{3}(mathbf{I R}),+, mathbf{x}right)) est un anneau unitaire non commutatif et non intègre dont le zéro est la matrice nulle 0 et dont l’unité est la matrice identique (mathbf{I})
et que (left(mathbf{M}_{3}(mathbf{I} mathbf{R}),+, cdotright)) est un espace vectoriel réel.
On pose (mathbf{A}=left(begin{array}{ccc}mathbf{0} & mathbf{0} & mathbf{0} \ mathbf{0} & mathbf{1} & mathbf{0} \ mathbf{0} & mathbf{0} & mathbf{0}end{array}right))
et (mathbf{M}(mathbf{x}, mathbf{y})=left(begin{array}{ccc}mathbf{x}+mathbf{y} & mathbf{0} & -mathbf{2 y} \ mathbf{0} & mathbf{0} & mathbf{0} \ mathbf{y} & mathbf{0} & mathbf{x}-mathbf{y}end{array}right))
et pour tout couple ((mathbf{x}, mathbf{y}) in mathbf{I R}^{2})
On considère l’ensemble (mathbf{E}=left{mathbf{M}(mathbf{x}, mathbf{y}) /(mathbf{x}, mathbf{y}) in mathbf{I} mathbf{R}^{2}right})
1) Montrer que:
(mathbf{E}) est un sous-groupe de (left(mathbf{M}_{3}(mathbf{I R}),+right))
2) Vérifier que:
(left(forall(mathbf{x}, mathbf{y}) in mathbf{I} mathbf{R}^{2}right)left(forallleft(mathbf{x}^{prime}, mathbf{y}^{prime}right) in mathbf{I} mathbf{R}^{2}right) ; quad mathbf{M}(mathbf{x}, mathbf{y}) operatorname{T} mathbf{M}left(mathbf{x}^{prime}, mathbf{y}^{prime}right)=mathbf{M}left(mathbf{x} mathbf{x}^{prime}-mathbf{y} mathbf{y}^{prime}, mathbf{x} mathbf{y}^{prime}+mathbf{y} mathbf{x}^{prime}right))
3) On considère l’application (varphi) de (mathbf{C}^{*}) vers (mathbf{E}) définie par:
(left(forall(mathbf{x}, mathbf{y}) in mathbf{I} mathbf{R}^{2}right) quad ; quad varphi(mathbf{x}+mathbf{i y})=mathbf{M}(mathbf{x}, mathbf{y})) et On pose (mathbf{E}^{*}=mathbf{E}-{mathbf{M}(mathbf{0}, mathbf{0})})
a) Montrer que:
(varphi) est un homomorphisme de (left(mathbf{C}^{*}, timesright)) vers ((mathbf{E}, x))
b) En déduire que:
(left(mathbf{E}^{*}, mathbf{x}right)) est un groupe commutatif dont on deéterminera l’élément neutre (mathbf{J})
4) Montrer que:
((mathbf{E},+, mathbf{x})) est un corps commutatif.
5) a) Calculer:
(mathbf{A} times mathbf{M}(mathbf{x}, mathbf{y})) pour tout (mathbf{M}(mathbf{x}, mathbf{y})) de (mathbf{E})
b) En déduire que:
tout élément de (mathbf{E}) n’admet pas de symétrique dans (left(mathbf{M}_{3}(mathbf{I R}), timesright))
* Arithmétique (3 points )
Soit ((a, b)) dans IN*×IN* tel que le nombre premier 173 divise (a^{3}+b^{3})
1- Montrer que : (a^{171} equiv-b^{171}[173]) (remarquer que : (171=3 times 57) )
2- Montrer que : 173 divise (a) si et seulement si 173 divise (b)
3- On suppose que 173 divise (a). Montrer que 173 divise (a+b)
4- On suppose que 173 ne divise pas (a)
a) En utilisant le théorème de FERMAT, montrer que : (a^{172} equiv b^{172}[173])
b) Montrer que : (a^{171}(a+b) equiv 0[173])
c) En déduire que 173 divise (a+b)
On considère dans IN*×IN* l’équation suivante :
((E) x^{3}+y^{3}=173(x y+1))
Soit ((x, y)) un élément de IN*×IN* solution de ((E),)
on pose (: x+y=173 k) avec (k∊IN*)
1- Vérifier que : (k(x-y)^{2}+(k-1) x y=1)
2- Montrer que (k=1) puis résoudre l’équation ((E))
* Nombres complexes (3.5 points )
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ((O, vec{u}, vec{v})) On considère dans le plan complexe deux points (M_{1}) et (M_{2}) tels que les points (O, M_{1}) et (M_{2}) sont distincts deux à deux et non alignés. Soient (z_{1}) et (z_{2}) les affixes respectives des points (M_{1}) et (M_{2}) et soit (M) le point dont l’affixe (z) vérifie la relation : (quad z=frac{2 z_{1} z_{2}}{z_{1}+z_{2}})
1-a) Montrer que : (quad frac{z_{1}-z}{z_{2}-z} times frac{z_{2}}{z_{1}}=-1)
b) En déduire que le point (M) appartient au cercle circonscrit au triangle (O M_{1} M_{2})
2- Montrer que si (z_{2}=overline{z_{1}}) alors (M) appartient à Yaxe des réels.
3- On suppose que (M_{2}) est l’image de (M_{1}) par la rotation de centre (O) et de mesure d’angle (alpha) où (alpha text { est un réel de l’intervalle }] 0, pi[)
a) Calculer (z_{2}) en fonction de (z_{1}) et de (alpha)
b) Montrer que le point (M) appartient à la médiatrice du segment (left[M_{1} M_{2}right])
4- Soit (theta text { un réel donné de l’intervalle }] 0, pi[) On suppose que (z_{1}) et (z_{2}) sont les deux solutions de l’équation : (6 t^{2}-left(e^{i theta}+1right) t+left(e^{i theta}-1right)=0)
a) Sans calculer (z_{1}) et (z_{2}) vérifier que : (z=2 frac{e^{i theta}-1}{e^{i theta}+1})
b) Donner en fonction de (q), la forme trigonométrique du nombre complexe (z)
* Analyse 1 (7 points )
1- En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction (t mapsto e^{-t},) montrer que pour tout réel strictement positif (x), il existe un réel (theta) compris entre 0 et (x) tel que : (e^{theta}=frac{x}{1-e^{-x}})
2- En déduire que:
a) (∀ x>0: quad 1-x<e^{-x})
b) (∀ x>0: quad x+1<e^{x})
(∀ x>0: quad 0<ln left(frac{x e^{x}}{e^{x}-1}right)<x)
On considère la fonction numérique (f) définie sur ([0,+infty[ text { par: })
(f(x)=frac{x e^{x}}{e^{x}-1} quad text { si } x>0 text { et } f(0)=1)
et soit ((C)) la courbe représentative de (f) dans le plan muni d’un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j}))
1-a) Montrer que la fonction (f) est continue à droite en 0
b) Montrer que : (lim _{x rightarrow+infty}(f(x)-x)=0) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2-a) Montrer que : ( ∀ x≥3 ) (quad x-frac{x^{2}}{2} £-e^{-x}+1)
(On pourra utiliser le résultat de la question 2-a) de la première partie)
b) En déduire que ∀ x≥0:
( frac{x^{2}}{2}-frac{x^{3}}{6}≤e^{-x}+x-1≤frac{x^{2}}{2})
3-a) Vérifier que : ((∀ x>0) quad frac{f(x)-1}{x}=frac{e^{-x}+x-1}{x^{2}} f(x))
b) En déduire que (: lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{f(x)-1}{x}=frac{1}{2}) puis interpréter le résultat obtenu.
4-a) Montrer que (f text { est dérivable en tout point de }] 0,+infty[) et que :
((∀ x>0) quad f^{prime}(x)=frac{e^{x}left(e^{x}-1-xright)}{left(e^{x}-1right)^{2}})
b) En déduire que la fonction (f) est strictement croissante sur ([0,+infty[)
(On pourra utiliser le résultat de la question 2 -b) de la première partie) Troisième partie :
On considère la suite numérique (left(u_{n}right)_{n geq 0}) définie par (: u_{0}>0) et (u_{n+1}=ln left(fleft(u_{n}right)right)) pour (n dot{subset} ¥)
a) Montrer que pour tout entier naturel (n) on (a: u_{n}>0)
b) Montrer que la suite (left(u_{n}right)_{n geq 0}) est strictement décroissante et en déduire qu’elle est convergente.
(On pourra utiliser le résultat de la question 2 -c) de la première partie)
c) Montrer que 0 est l’unique solution de l’équation : (ln (f(x))=x) puis déterminer la limite de la suite (left(u_{n}right)_{n geq 0})
* Analyse 2 (3 points )
On considère la fonction numérique (F text { définie sur } 1 text { ‘intervalle } I=] 0,+infty[) par:
(F(x)=int_{ln 2}^{x} frac{1}{sqrt{e^{t}-1}} d t)
1-a) Etudier le signe de (F(x)) pour tout (x) de (I)
b) Montrer que la fonction (F) est dérivable sur l’intervalle (I) et calculer (F^{prime}(x)) pour tout (x) de (I).
c) Montrer que la fonction (F) est strictement croissante sur l’intervalle (I)
2-a) En utilisant la technique de changement de variable en posant (: u=sqrt{e^{t}-1},) montrer que pour tout (x operatorname{de} I) on a : (int_{ln 2}^{x} frac{1}{sqrt{e^{t}-1}} d t=2 arctan sqrt{e^{x}-1}-frac{pi}{2})
b) Calculer (lim _{x rightarrow 0^{+}} F(x)) et (lim _{x rightarrow+infty} F(x))
3-a) Montrer que la fonction (F) est une bijection de l’intervalle (I) dans un intervalle (J) que l’on déterminera.
b) Déterminer (F^{-1}) la bijection réciproque de (F)
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Feuille de l’examen a obtenu 20/20
Examen Bac 2 SM PDF Math 2016 Normal Avec Correction
Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2016 Normale
