Cours Complet Suites Numériques
– Suites arithmétiques
– Suites géométriques
– Suites du type \(u_{n+1}= f(n)\)
– Suites définies par des sommes
– Suites du type \(u_{n+1}= f( u_{n})\)
– Suites homographiques
– Suites adjacentes
-Suites du type \(u_{n+1}=(au_{n}+bu_{n-1})\)
– Suites définies a l’aide d’intégrales
– Suites extraites
– Suites de nombres complexes
🅐 Définition
Une suite \((u_{n})\) est une application de l’ensemble I ⊂ℕ ⟶ ℝ
qui à chaque élément n de I associe un unique élément noté \(u_{n}\)
appelé terme d’indice n de la suite \((u_{n})\).
Exemple:
n∈IN*: \(u_{n}=n²+2n+5\).
n≥5 :\(u_{n+1}=u_{n}-5\).
qui à chaque élément n de I associe un unique élément noté \(u_{n}\)
appelé terme d’indice n de la suite \((u_{n})\).
Exemple:
n∈IN*: \(u_{n}=n²+2n+5\).
n≥5 :\(u_{n+1}=u_{n}-5\).
🅑 Suite croissante / décroissante / stationnaire
La suite \((u_n)\) est croissante ⇔ \(u_{n+1} ≥ u_n\).
La suite \((u_n)\) est décroissante ⇔ \(u_{n+1} ≤ u_n\).
La suite \((u_n)\) est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Une suite \((u_n)\) est stationnaire
s’il existe un rang \(n_0\) à partir du quel tous les termes de la suite sont égaux.
\(∃ n_0∈IN\), \(∀n≥n_0 ⇒ u_{n+1}=u_n\).
Méthodes pour étudier la monotonie d’une suite
1- \((u_n)\) est croissante si et seulement si \(u_{n+1}-u_n ≥0 \).
2- on suppose que \((u_n)\) est à termes positifs;
\((u_n)\)est croissante si et seulement si \(\frac{u_n+1}{u_n} ≥1 \).
3- on suppose qu’il existe une fonction f croissante sur IR+ tel que:
\(u_{n+1}=f(u_n)\) alors \((u_n)\) est croissante.
Exemple:
* \(u_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+…+\frac{1}{n^{2}}\).
\(u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{(n+1)^{2}}≥ 0\).
⇒ \((u_n)\) est croissante.
* \(u_{n}=\frac{5^{n}}{n !}\).
\(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{5}{n+1}≥1\)
⇒ \((u_n)\) est croissante.
* \(u_{n}=\frac{2n+5}{n+3}\).
\(f(x)=\frac{2x+5}{x+3}\).
\(f'(x)=\frac{6}{(x+3)^{2}}>0\); f est croissante sur IR+.
⇒ \((u_n)\) est croissante.
1- \((u_n)\) est croissante si et seulement si \(u_{n+1}-u_n ≥0 \).
2- on suppose que \((u_n)\) est à termes positifs;
\((u_n)\)est croissante si et seulement si \(\frac{u_n+1}{u_n} ≥1 \).
3- on suppose qu’il existe une fonction f croissante sur IR+ tel que:
\(u_{n+1}=f(u_n)\) alors \((u_n)\) est croissante.
Exemple:
* \(u_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+…+\frac{1}{n^{2}}\).
\(u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{(n+1)^{2}}≥ 0\).
⇒ \((u_n)\) est croissante.
* \(u_{n}=\frac{5^{n}}{n !}\).
\(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{5}{n+1}≥1\)
⇒ \((u_n)\) est croissante.
* \(u_{n}=\frac{2n+5}{n+3}\).
\(f(x)=\frac{2x+5}{x+3}\).
\(f'(x)=\frac{6}{(x+3)^{2}}>0\); f est croissante sur IR+.
⇒ \((u_n)\) est croissante.
Exercice:
Étudier le sens de variation des suites \(u_{n}\) définies sur IN* on pourra, selon le cas:
soit raisonner par récurrence,
soit étudier le signe de \(u_{n+1}-u_{n}\),
soit étudier le signe de \(1-\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (suites à termes strictement positifs),
soit étudier la fonction \(f\) telle que \(u_{n}=f(n)\)
a) \(u_{n}=\frac{n}{n+1}\)
b) \(u_{n}=\frac{{e}^{n}}{n!}\)
c) \(u_{n}=\frac{3 n-1}{2 n-1}\)
d) \(u_{n}=\sqrt[n]{n}\)
e) \(u_{n}=n^{2}-2^{n}\)
f) \(u_{n}=n-\ln(1+n)\)
g) \(u_{n}=\frac{1×3×…×(2 n-1)}{2×4×…×2n}\)
h) \(u_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\)
🅒 Raisonnement par récurrence
Soit P(n) une proposition qui dépend d’un entier naturel n.
Si P(n₀) est vraie (initialisation)
Et si P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie (hérédité)
alors la propriété P(n) est vraie pour tout entier n⩾n₀.
Si P(n₀) est vraie (initialisation)
Et si P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie (hérédité)
alors la propriété P(n) est vraie pour tout entier n⩾n₀.
Exemple:
Démontrer par récurrence:
P(n): \(1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
* Initialisation: pour n=1
\(1^{2}=\frac{1(1+1)(2.1+1)}{6}\)=1
⇒P(1) est vraie
* Hérédité: On suppose que p(n) est vraie.
\(1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
* Montrons que p(n+1) est vraie.
p(n+1)⇔ \(1^{2}+2^{2}+…+(n+1)^{2}=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}\)
⇔ \(1^{2}+2^{2}+…+(n+1)^{2}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\).
Soit n∈IN:
\(1^{2}+2^{2}+…+n^{2}+(n+1)^{2}\).
d’après hérédité
=\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}\).
=\(\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}\).
=\(\frac{(n+1)[2n²+7n+6)]}{6}\).
=\(\frac{(n+1)[2n²+4n+3n+6)]}{6}\).
=\(\frac{(n+1)[2n(n+2)+3(n+2))]}{6}\).
=\(\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\).
Donc: P(n): \(1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
Exercice:
Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :
1) \(1^{3}+2^{3}+3^{3}+…+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\)
2)\(S_{n}=1^{3}+3^{3}+5^{3}+…+(2 n-1)^{3}=2 n^{4}-n^{2}\).
Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :
1) \(1^{3}+2^{3}+3^{3}+…+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\)
2)\(S_{n}=1^{3}+3^{3}+5^{3}+…+(2 n-1)^{3}=2 n^{4}-n^{2}\).
3) ∀ n ≥ 4: \(2^{n} ≤ n !\).
4) ∀ n ≥ 5: \(3^{n} > n^{3}\).
5) ∀ n ≥ 7: \(3^{n} < n !\).
🅓 Majorée /Minorée / Bornée
une suite \((u_{n})\) est majorée par un réel M si ∀ n∊ℕ \(u_{n}≤M\).
une suite\((u_{n})\) est minorée par un réel m si ∀ n∊ℕ \(u_{n}≥m\).
une suite \((u_{n})\) est bornée, si elle est à la fois majorée et minorée.
Ceci équivaut au fait qu’il existe deux réels m et M
tels que: ∀ n∊ℕ \(m≤ u_{n} ≤M\).
Exercice:
① La suite \(u\) est définie par:
\(\left\{\begin{array}{l} u_{0}=-2 \\ u_{n+1}=1+\frac{1}{u_{n}}\end{array}\right.\)
a) Démontrer par récurrence que la suite \(u\) est minorée par \(\frac{3}{2}\) et majorée par 2 .
② La suite \(u_{n}\) est définie par:
\(\left\{\begin{array}{l} u_{0}=-2 \\ u_{n+1}=\frac{9}{6-u_{n}} \end{array}\right.\)
a) Démontrer par récurrence que : pour tout nombre entier naturel \(n, u_{n}<3\).
b) Étudier le sens de variation de la suite \(u_{n}\).
🅔 Suite Périodique
Une suite périodique s’il existe un entier naturel non nul p tel que:
\(u_{n} = u_p\). p est appelé une période de \((u_{n})\).
Exemple:
\(u_{n} = Sin(\frac{nπ}{3})\)
\(u_{n+6} =Sin(\frac{(n+6)π}{3})=Sin(\frac{nπ}{3}+2π)\)
⇒ \(u_{n+6}=u_n\).
⇒ \((u_n)\) est périodique de période p=6.
\(u_{n} = Sin(\frac{nπ}{3})\)
\(u_{n+6} =Sin(\frac{(n+6)π}{3})=Sin(\frac{nπ}{3}+2π)\)
⇒ \(u_{n+6}=u_n\).
⇒ \((u_n)\) est périodique de période p=6.
🅗 Suite convergente / divergente
Une suite \((u_n)\) a pour limite un nombre \(l\)∈IR.
lorsque les nombres \(u_n\) se rapprochent indéfiniment de \(l\) pour des entiers n de plus en plus grands.
On dit alors que la suite\((u_n)\) converge vers \(l\) (convergente de limite \(l\) ).
Ceci se note par: \(\lim _{n⟶+∞}u_n=l\).
* Toute suite croissante et majorée est convergente.
* Toute suite décroissante et minorée est convergente.
* Composition de limites
lorsque les nombres \(u_n\) se rapprochent indéfiniment de \(l\) pour des entiers n de plus en plus grands.
On dit alors que la suite\((u_n)\) converge vers \(l\) (convergente de limite \(l\) ).
Ceci se note par: \(\lim _{n⟶+∞}u_n=l\).
* Toute suite croissante et majorée est convergente.
* Toute suite décroissante et minorée est convergente.
* Composition de limites
① f est une fonction définie sur I,
(un) une suite d’éléments de I.
Soit a et l des réels.
Si \(\lim_{n⟶+∞}u_n=a\) et \(\lim_{x⟶a}f(x)=l\)
alors \(\lim_{n⟶+∞}f(u_n)=l\) .
Exemple :
Soit le suite (un).
définie pour tout entier n par : \(v_n=\frac{2n²+3}{n²+2}\)
On a : \(\lim_{n⟶+∞}v_n=2\).
\(v_n=f(u_n)\)
avec \(f(x)=\frac{2x+3}{x+2}\) et \(u_n=n^{2}\)
avec \(f(x)=\frac{2x+3}{x+2}\) et \(u_n=n^{2}\)
② f est une fonction définie sur I,
(un) une suite d’éléments de I.
Si \(\lim_{n⟶+∞}u_n=+∞\) et \(\lim_{x⟶+∞}f(x)=+∞\)
alors \(\lim_{n⟶+∞}u_n=+∞\).
Exemple : Soit le suite (un).
définie pour tout entier n par : \(u_n=\frac{n²+1}{n+2}\)
On a : \(\lim_{n⟶+∞}u_n=+∞\) .
③ Si deux suites convergentes (un) et (vn)
telles que, à partir d’un certain indice, un>vn
alors \(\lim_{n⟶+∞}u_n ≥\lim_{n⟶+∞}v_n \).
Exemple :
① Soit le suite (un).
définie pour tout entier n par : \(u_n=\frac{1}{n}+n\)
\(u_n≥n\) et \(\lim_{n⟶+∞}n=+∞\) .
On a : \(\lim_{n⟶+∞}u_n=+∞\) .
② Soit le suite (un).
définie pour tout entier n par : \(u_n=-1-n²\)
\(u_n≤-2n \) car (-1-n²-(-2n)=-(n-1)²)) et \(\lim_{n⟶+∞}-2n=-∞\) .
On a : \(\lim_{n⟶+∞}u_n=-∞\) .
④ passage à la limite dans les inégalités larges.
\((u_n), (v_n) et (w_n)\) trois suites telles que : \(v_n ≤ u_n ≤ w_n\) (∀n⩾n₀).
et si: \(\lim _{n⟶+∞}v_n=w_n=l\) alors on a : \(\lim _{n⟶+∞}u_n=l\).
et si: \(\lim _{n⟶+∞}v_n=w_n=l\) alors on a : \(\lim _{n⟶+∞}u_n=l\).
Exemple :
1- Soit le suite \((u_{n})\).
tel que pour tout entier n on a:
\(|u_{n}-2|≤\frac{1}{n}\)
⇒ \(2-frac{1}{n}≤u_{n}-2≤2+\frac{1}{n}\)
on a: \(\lim_{n⟶+∞}2-\frac{1}{n}=2\) et \(\lim_{n⟶+∞}2+\frac{1}{n}=2\)
donc \(\lim _{n⟶+∞}u_{n}=2\).
⑤ Limite de la suite géométrique \(q^{n}\)
Si q>1 alors \(\lim _{n⟶+∞} q^{n}=+∞\)
Si q =1 alors\(\lim _{n⟶+∞} q^{n}=1\)
Si −1< q<1 alors \(\lim _{n⟶+∞} q^{n}=0\)
Si q≤ −1 alors \(q^{n}\) n’a pas de limite.
Si q>1 alors \(\lim _{n⟶+∞} q^{n}=+∞\)
Si q =1 alors\(\lim _{n⟶+∞} q^{n}=1\)
Si −1< q<1 alors \(\lim _{n⟶+∞} q^{n}=0\)
Si q≤ −1 alors \(q^{n}\) n’a pas de limite.
⑥ Limite de la suite \(n^{a}\)
Si a>0 alors \(\lim _{n⟶+∞} n^{a}=+∞\)
Si a<0 alors \(\lim _{n⟶+∞} n^{a}=0\)
Exemples de suites numériques
① Suites arithmétiques
Définition
Une suite \(u_{n}\) est arithmétique s’il existe un réel r tel que \(u_{n+1}=u_{n}+r\).
Le réel r est appelé la raison de la suite.
Une suite \(u_{n}\) est arithmétique s’il existe un réel r tel que \(u_{n+1}=u_{n}+r\).
Le réel r est appelé la raison de la suite.
Exemple: \(u_{n}=3n+2\) : n∈ℕ
\(u_{n+1}-u_{n}=3(n+1)+2-3n-2=3∈ℝ\).
\((u_{n})_{n⩾n₀}\) est une suite arithmétique
de raison 3∈ℝ et son premier terme \(u_{0}=3×0+2=2\).
Expression de \(u_{n}\) en fonctions de n (Terme général)
\((u_{n})_{n⩾n₀}\) est une suite arithmétique de raison r∈ℝ.
alors: ∀n⩾p⩾n₀, \(u_{n} = u_{p} + (n-p)×r\).
pour p=0: \(u_{n} = u_{0} + n×r \) avec n⩾0.
pour p=1: \(u_{n} = u_{1} + (n-1)×r \) avec n⩾1.
Somme de termes successifs d’une suite arithmétique
\((u_{n})_{n⩾n₀}\) est une suite arithmétique alors:
\(S_{n} = u_{p}+u_{p+1}+….+u_{n}=\frac{(u_{p}+u_{n})×(n-p+1)}{2}\).
pour p=0: \(u_{n} = u_{0} + n×r \) avec n⩾0.
pour p=1: \(u_{n} = u_{1} + (n-1)×r \) avec n⩾1.
Somme de termes successifs d’une suite arithmétique
\((u_{n})_{n⩾n₀}\) est une suite arithmétique alors:
\(S_{n} = u_{p}+u_{p+1}+….+u_{n}=\frac{(u_{p}+u_{n})×(n-p+1)}{2}\).
avec n⩾p⩾n₀,
\(S_{n} =\frac{((1er\,terme\,+\,dernier\,terme\,)×(\,nbre\, de\, termes)}{2}\)
(nbre de termes=der-Pre+1=n-p+1)
pour p=0: \(S_{n} = u_{0}+u_{p+1}+….+u_{n}\).
\(S_{n} =\frac{((1er\,terme\,+\,dernier\,terme\,)×(\,nbre\, de\, termes)}{2}\)
(nbre de termes=der-Pre+1=n-p+1)
pour p=0: \(S_{n} = u_{0}+u_{p+1}+….+u_{n}\).
⇒ \(S_{n}=\frac{(u_{0}+u_{n})×(n+1)}{2}\).
Exercice:
Soit \(u_{n}\) une suite arithmétique
de raison \(r=6\) et de premier terme \(u_{1}=1\)
Calculer n pour que \(u_{1}+u_{2}+…+u_{n}=280\)
Calculer \(u_{n}\) pour la valeur trouvée de n.
② Suite géométrique
Définition
Une suite (un) est géométrique s’il existe un réel q
tel que \(u_{n+1}= q×u_{n}\).
Exemple: \(u_{n} =2^{n} \) : n∈ℕ
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}}{2^{n}}=2^{n+1-n}=2∈ℝ\).
\((u_n)_{n⩾n₀}\) est une suite géométrique
\((u_n)_{n⩾n₀}\) est une suite géométrique
de raison 2∈ℝ et son premier terme \(u_{0}=2^{0}=1\).
Expression de un en fonctions de n (Terme général)
\((u_n)_{n⩾n₀}\) est une suite géométrique raison q∈ℝ
Expression de un en fonctions de n (Terme général)
\((u_n)_{n⩾n₀}\) est une suite géométrique raison q∈ℝ
alors: ∀n⩾p⩾n₀, \(u_{n} = u_{p}×q^{(n-p)}\)
⇒ pour p=0: \(u_{n} = u_{0}×q^{n}\) avec n⩾0.
⇒ pour p=0: \(u_{n} = u_{0}×q^{n}\) avec n⩾0.
⇒ pour p=1: \(u_{n} = u_{1}×q^{(n-1)}\) avec n⩾1..
Somme de termes successifs d’une suite géométrique
\((u_n)_{n⩾n₀}\) est une suite géométrique alors:
∀n⩾p⩾n₀ \(S_{n} = u_{p}+u_{p+1}+….+u_{p}=\frac{1-q^{(n-p+1)}}{1-q}×u_{p}\).
\(S_{n} = \frac{1-q^{(nbre\, de\, termes)}}{1-q}×(1er\,terme)\).
pour p=0: \(S_{n} =\frac{1-q^{(n+1)}}{1-q}×u_{0}\).
pour p=1: \(S_{n} =\frac{1-q^{n}}{1-q}×u_{1}\).
\((u_n)_{n⩾n₀}\) est une suite géométrique alors:
∀n⩾p⩾n₀ \(S_{n} = u_{p}+u_{p+1}+….+u_{p}=\frac{1-q^{(n-p+1)}}{1-q}×u_{p}\).
\(S_{n} = \frac{1-q^{(nbre\, de\, termes)}}{1-q}×(1er\,terme)\).
pour p=0: \(S_{n} =\frac{1-q^{(n+1)}}{1-q}×u_{0}\).
pour p=1: \(S_{n} =\frac{1-q^{n}}{1-q}×u_{1}\).
Exercice:
① Soit \((u_{n})\) une suite arithmétique croissante telle que :
\(\left\{\begin{array}{l} u_{1}+u_{2}+u_{3}=9 \\ u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=35 \end{array}\right.\)
1) Calculer le premier terme \(u_{0}\) et la raison r de cette suite,
puis exprimer le terme général \(u_{n}\) en fonction de n.
2) Soit \((v_{n})\) la suite définie par: \(v_{n}=2^{u_{n}}\)
a) Montrer que \((v_{n})\) est une suite géométrique
pour laquelle on déterminera \(v_{0}\) et la raison.
b) Calculer \(P_{n}=v_{0}×v_{1}×…×v_{n}\).
②On considère deux suites numériques définies par pour tout n de IN:
\(u_{n}=\frac{3^{n}-6 n+4}{3}\)
et \(v_{n}=\frac{3^{n}+6 n-4}{3}\)
1) Soit \(a_{n}=u_{n}-v_{n}\)
Montrer que la suite de terme général \(a_{n}\) est une suite arithmétique.
Calculer \(a_{0}+a_{1}+…+a_{10}\)
2) Soit \(b_{n}=u_{n}+v_{n}\)
Montrer que la suite de terme général \(b_{n}\) est une suite géométrique.
Calculer \(b_{0}+b_{1}+…+b_{10}\)
3) En déduire les sommes :
\(u_{0}+u_{1}+…+u_{10}\).
et \(v_{0}+v_{1}+…+v_{10}\).
③ Suites du type \(u_{n}=f(n)\)
A toute fonction f définie sur un intervalle de IR, du type ]b;+∞[ ,
on peut associer une suite (un) telle que \(u_{n}=f(n)\) .
– le sens de variation de f implique celui de la suite.
– si f est majorée, minorée, bornée sur ]b;+∞[ , il en est de même de la suite.
– si f est majorée, minorée, bornée sur ]b;+∞[ , il en est de même de la suite.
– si f a une limite \(l\) en +∞, alors la suite a aussi pour limite \(l\).
Exemple:
monotonie et limite de:
\(u_{n}=\frac{n}{n²+n}\) avec\(f(x)=\frac{x}{x²+x}\)
\(v_{n}=n-ln(n)\) avec f(x)=x-ln(x).
Exercice:
Étudier le comportement de la suite de terme général \(u_{n}\) quand n tend vers +∞.
1) \(u_{n}=\frac{5 n+1}{2 n+3}\)
2) \(u_{n}=\frac{7 n-1}{3 n-1}\)
3) \(u_{n}=\frac{5 n^{2}+3 n+1}{n^{2}+n+1}\)
4) \(u_{n}=\frac{-2 n^{2}+3 n+1}{3 n^{2}-n+7}\)
5) \(u_{n}=\frac{2 n+1}{3 n^{2}+2 n+1}\)
6) \(u_{n}=\frac{5 n^{2}+3}{2 n+1}\)
7) \(u_{n}=\frac{4 n+(-1)^{n}}{3 n+2}\)
8) \(u_{n}=\frac{2 n^{2}+(-1)^{n} \cdot n+1}{n^{3}+1}\)
9) \(u_{n}=2 n+1-\sqrt{n^{2}+n+1}\)
10) \(u_{n}=n+3-\sqrt{n^{2}-n+1}\)
11) \(u_{n}=\sqrt{2 n^{2}+n+1}-\sqrt{2 n^{2}+5}\)
12) \(u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}-n+1}-\sqrt{n^{2}+n+1}}\)
13) \(u_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n+1}}\)
14) \(u_{n}=\frac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\frac{n+1}{\sqrt{n+2}}\)
15) \(u_{n}=\frac{n-\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n^{2}+n+3}}\)
16) \(u_{n}=\frac{10^{n}-1}{10^{n}+3}\)
④ Suites du type \(u_{n+1}=f(u_{n})\)
a) Représentation graphique
On trace dans un repère orthonormal, la courbe C de la fonction f.
Le réel \(u_{0}\)étant donné,
– on obtient \(u_{1}=f(u_{0})\)
comme ordonnée du point de (C) d’abscisse \(u_{0}\);
soit \(A_{0}(u_{0},u_{1})\) ce point.
On place \(u_{1}\) sur l’axe des abscisses, pour cela, on utilise la droite (Δ) d’équation y = x;
le point d’intersection de (Δ) et de la droite horizontale \(y=u_{1}\) a pour abscisse \(u_{1}\): ayant ainsi placé \(u_{1}\) sur l’axe des abscisses.
on obtient \(u_{2}=f(u_{1})\)
de la même manière que \(u_{1})\) (voir figure)
et on continue …
Plan d’étude des suites \(u_{n+1}= f( u_{n})\)
Soient \(( u_{n})_ {n⩾n₀}\) une suite numérique définie par : \(u_{n+1}= f( u_{n})\).
les points essentiels de ce qu’il faut faire pour étudier cette suite.
1) il faut trouver un intervalle I = [a, b] (fermé et borné) qui soit stable par f, c’est-à-dire que \(f(I) ⊂ I\).
2) Ensuite vérifier que la fonction f est continue sur I.
3)\(( u_{n})_ {n⩾n₀}\) est une suite convergente.
Aors \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}=l\) avec \(l\) est la solution de l’équation : f (x) = x
Soient \(( u_{n})_ {n⩾n₀}\) une suite numérique définie par : \(u_{n+1}= f( u_{n})\).
les points essentiels de ce qu’il faut faire pour étudier cette suite.
1) il faut trouver un intervalle I = [a, b] (fermé et borné) qui soit stable par f, c’est-à-dire que \(f(I) ⊂ I\).
2) Ensuite vérifier que la fonction f est continue sur I.
3)\(( u_{n})_ {n⩾n₀}\) est une suite convergente.
Aors \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}=l\) avec \(l\) est la solution de l’équation : f (x) = x
(les points fixes de f ).
Exemple:
f(x)=\(\frac{5x-4}{x+1}\) I= [2,5]
\(u_{n+1}= f( u_{n})\) avec \(u_{n}\) converge.
Calculer \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}\)
Ona :
* f est continue sur [2,5] ①
* f est croissante
⟶ f(2)=2 et f(5) =\(\frac{21}{6}\)
⟶ \(f([2,5])=[2,\frac{21}{6}]\)
* \(f([2,5])⊂[2,5]\) ②
* \(u_{n}\) converge ③
Alors \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}=l\) avec f(\(l\)=(\(l)\)
résoudre de l’équation : f (x) = x
\(\frac{5x-4}{x+1}\)=x⟶ 5x-4=x(x+1) ⟶ 5x-4=x²+x
⟶x²-4x+4=0 ⟶ (x-2)²=0 ⟶ x=2.
donc \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}=2\).
* \(u_{n}\) converge ③
Alors \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}=l\) avec f(\(l\)=(\(l)\)
résoudre de l’équation : f (x) = x
\(\frac{5x-4}{x+1}\)=x⟶ 5x-4=x(x+1) ⟶ 5x-4=x²+x
⟶x²-4x+4=0 ⟶ (x-2)²=0 ⟶ x=2.
donc \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}=2\).
⑤ Suites définies par des sommes
On pose, pour tout n de IN*:
\(u_{n}=\sum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{k²}\)
– Montrer que \(u_{n}\) est croissante.
– Montrer que pour k≥2:
– Montrer que pour k≥2:
\(\frac{1}{k²}≤\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\)
– En déduire que \((u_{n})\) est majorée par 2.
– Montrer alors la convergence de la suite \(u_{n}\).
⑥ Suites homographiques
\(u_{n+1}=\frac{au_{n}+b}{cu_{n}+d}\) avec ad-bc≠0
Soit f une fonction tel que: f x➝\(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\)
On montre que :
– Si f(x) = x a deux solutions α et β la suite définie par:
\(v_{n}=\frac{u_{n}-β}{u_{n}-α}\) est géométrique.
– Si f(x) = x a une solution unique α, la suite définie par:
\(v_{n}=\frac{1}{u_{n}-α}\) est arithmétique.
Exemple 1.
Soit la suite (un) définie par \(u_{0}=1\): \(u_{n+1}=\frac{u_{n}+2}{u_{n}}\)
On a : (a=1,b=2,c=1,d=0 et ad-bc=-2≠0).
la fonction f: x➝\(f(x)=\frac{x+2}{x}\)
– Vérifier que α=-1 et β=2 sont les solutions de f(x)=x.
– On pose: \(v_{n}=\frac{u_{n}-2}{u_{n}+1}\).
– On pose: \(v_{n}=\frac{u_{n}-2}{u_{n}+1}\).
Démontrer que \((v_{n})\) est une suite géométrique.
– Exprimer \(v_{n}\), puis \(v_{n}\)en fonction de n.
– Exprimer \(v_{n}\), puis \(v_{n}\)en fonction de n.
En déduire \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}\).
Exemple 2.
Soit la suite (un) définie par \(u_{0}=1\): \(u_{n+1}=\frac{4u_{n}-1}{u_{n}+2}\)
On a : (a=4,b=-1,c=1,d=2 et ad-bc=9≠0).
la fonction f: x➝\(f(x)=\frac{4x-1}{x+2}\)
– Vérifier que α=1 l’unique solution de f(x)=x.
– On pose: \(v_{n}=\frac{1}{u_{n}-1}\).
– On pose: \(v_{n}=\frac{1}{u_{n}-1}\).
Démontrer que \((v_{n})\) est une suite arithmétique.
– Exprimer \(v_{n}\), puis \(v_{n}\)en fonction de n.
– Exprimer \(v_{n}\), puis \(v_{n}\)en fonction de n.
En déduire \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}\).
Exercice:
Une suite \((U_{n})\) est définie par son premier terme \(U_{1}=\frac{2}{7}\)
et par la relation:\(U_{n+1}=\frac{U_{n}}{3-U_{n}}\)
(on admettra que quel que soit n de IN*, \(U_{n}≠0\) et \(U_{n}≠3\).
1) Calculer \(U_{2}\) et \(U_{3}\)
2) Soit \((V_{n})\) la suite définie par: \(V_{n}=\frac{1}{U_{n}}\)
Calculer \(V_{1}\).
Montrer que pour tout n de IN, \(V_{n+1}=3V_{n}-\frac{1}{2}\)
3) Soit \((W_{n})\) la suite définie par: \(W_{n}=V_{n}-\frac{1}{2}\)
Déterminer \(W_{n+1}\) en fonction de \(W_{n}\)
et calculer le premier terme \(W_{n}\).
Quelle est la nature de la suite \((W_{n}) ?\)
Calculer le terme \(W_{n}\) en fonction de n.
4) En déduire l’expression générale de \(U_{n}\) en fonction de n.
⑦ Suites adjacentes
On dit que deux suites \(u_{n}\) et \(v_{n}\) sont adjacentes lorsque:
* l’une est croissante et l’autre est décroissante
* la limite \(\lim_{n⟶+∞}u_{n}-v_{n}=0\)
Si deux suites \(u_{n}\) et \(v_{n}\) sont adjacentes alors elles sont convergentes et ont même limite.
Exercice:
On définit les deux suites \(u_{n}\) et \(v_{n}\) par:
* \(u_{0}=1\) et pour tout n de IN:
\(u_{n+1}=\frac{u_{n}+2v_{n}}{3}\)
* \(v_{0}=12\) et pour tout n de IN:
\(v_{n+1}=\frac{u_{n}+3v_{n}}{4}\)
– On pose \(w_{n}=v_{n}-u_{n}\), pour tout n de IN.
Démontrer que \((w_{n})\) est une suite géométrique
et exprimer \(w_{n}\) en fonction de n.
En déduire la limite de \((w_{n})\).
– Démontrer que \(u_{n}\) est croissante et que \(v_{n}\) est décroissante.
En déduire la limite de \((w_{n})\).
– Démontrer que \(u_{n}\) est croissante et que \(v_{n}\) est décroissante.
Que peut-on conclure sur les suites \(u_{n}\) et \(v_{n}\).
– On pose \(t_{n}=3u_{n}+8v_{n}\).
– On pose \(t_{n}=3u_{n}+8v_{n}\).
Démontrer que: \(t_{n}\) est une suite stationnaire.
En déduire la limite de \(u_{n}\) et \(v_{n}\).
⑧ Suites du type \(u_{n+1}=(au_{n}+bu_{n-1})\)
On résoudre l’équation r²-a r- b=0:
* l’équation r²-a r- b=0 a deux racines distinctes r1 et r2,
les solutions sont de la forme:
\(u_{n}=αr_{1}^{n}+βr_{2}^{n}\) où α et β sont des constantes.
* l’équation r²-a r- b=0 a une racine double r,
les solutions sont de la forme:
\(u_{n}=(α+βn)×r_{2}^{n}\) où α et β sont des constantes.
Exemples :
Etudier les suites \(u_{n}\) et \(v_{n}\) définies par :
*\(u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}\) et \(u_{0}=u_{n}=1\)
*\(v_{n+1}=2v_{n}+v_{n-1}\) et \(v_{0}=7\),\(v_{1}=3\)
⑨ Suites définies a l’aide d’intégrales
On pose
\(I_{0}=\int_{1}^{e} x dx\) et pour tout n de IN*:
\(I_{n}=\int_{1}^{e} xln(x)^{n} dx\).
a) Calculer\(I_{1}\) et \(I_{2}\).
b) Pour tout n de IN:
établir la relation de récurrence \(2I_{n}+nI_{n-1}=e^{2}\).
2) Calculer \(I_{2}\).
3) Montrer que la suite \(I_{n}\) est décroissante.
4) En utilisant la relation de récurrence, montrer l’encadrement:
4) En utilisant la relation de récurrence, montrer l’encadrement:
\(\frac{e²}{n+3}≤I_{n}≤\frac{e²}{n+2}\).
5)Calculer \(\lim_{n⟶+∞} I_{n}\) et \(\lim_{n⟶+∞} nI_{n}\) .
⑩ Suites extraites
*Une suite \(v_{n}\) est dite extraite de la suite \(u_{n}\)
si elle est définie par \(v_{n}=u_{n’}\)
avec n’=g(n) où g est une application croissante de IN dans IN.
*Si la suite \(u_{n}\) est convergente, toute suite extraite \(v_{n}\) est convergente et a la même limite.
La réciproque de cette propriété est inexacte, c’est-à-dire qu’il existe des suites non convergentes dont on peut extraire des suites convergentes.
Par exemple:
la suite \(u_{n}=(-1)^{n}\) n’est pas convergente,
alors que les suites extraites:
\(v_{n}=(-1)^{2n}\) et \(w_{n}=(-1)^{2n+1}\) sont convergentes.
⑪ Suites de nombres complexes
Une suite de nombres complexes est une application de IN dans ℂ.
Le terme général est donc un nombre complexe:
\(u_{n}=a_{n}+ib_{n}\).
où \(a_{n}\)∈IR , \(b_{n}\)∈IR.
Si \(\lim_{n⟶+∞} a_{n}=a\)
et \(\lim_{n⟶+∞} b_{n}=b\)
alors la suite \(u_{n}\) est dite convergente.